Primeri su sistemi eksponencijalnih nejednakosti. eksponencijalne jednačine. Teži slučajevi
U ovoj lekciji ćemo razmotriti rješavanje složenijih eksponencijalnih jednadžbi, podsjetiti se na glavne teorijske odredbe u vezi sa eksponencijalnom funkcijom.
1. Definicija i svojstva eksponencijalne funkcije, tehnika rješavanja najjednostavnijih eksponencijalnih jednačina
Prisjetite se definicije i glavnih svojstava eksponencijalne funkcije. Na svojstvima se zasniva rješenje svih eksponencijalnih jednačina i nejednačina.
Eksponencijalna funkcija je funkcija oblika , gdje je baza stepen i ovdje je x nezavisna varijabla, argument; y - zavisna varijabla, funkcija.
Rice. 1. Grafikon eksponencijalne funkcije
Grafikon prikazuje rastući i opadajući eksponent, ilustrujući eksponencijalnu funkciju na bazi većoj od jedan i manjoj od jedan, ali većoj od nule.
Obje krive prolaze kroz tačku (0;1)
Svojstva eksponencijalne funkcije:
Domen: ;
Raspon vrijednosti: ;
Funkcija je monotona, raste kao , smanjuje se kao .
Monotona funkcija uzima svaku od svojih vrijednosti s jednom vrijednošću argumenta.
Kada se argument poveća od minus do plus beskonačno, funkcija raste od nule, uključujući, na plus beskonačno. Naprotiv, kada se argument povećava od minus do plus beskonačno, funkcija se smanjuje od beskonačnosti do nule, uključujući.
2. Rješenje tipičnih eksponencijalnih jednačina
Prisjetimo se kako riješiti najjednostavnije eksponencijalne jednadžbe. Njihovo rješenje je bazirano na monotonosti eksponencijalne funkcije. Gotovo sve složene eksponencijalne jednadžbe svode se na takve jednačine.
Jednakost eksponenata sa jednakim bazama je posledica svojstva eksponencijalne funkcije, odnosno njene monotonosti.
Metoda rješenja:
Izjednačiti osnove stepeni;
Izjednačite eksponente.
Prijeđimo na složenije eksponencijalne jednadžbe, naš cilj je svaku od njih svesti na najjednostavniju.
Riješimo se korijena s lijeve strane i smanjimo stupnjeve na istu bazu:
Da bi se složena eksponencijalna jednačina svela na jednostavnu, često se koristi promjena varijabli.
Koristimo svojstvo stepena:
Predstavljamo zamjenu. Neka onda 
Dobivenu jednačinu množimo sa dva i sve članove prenosimo na lijevu stranu:
Prvi korijen ne zadovoljava interval y vrijednosti, odbacujemo ga. Dobijamo:
Dovedemo stepene do istog indikatora:
Predstavljamo zamjenu:
Neka onda 
. Sa ovom zamjenom, očito je da y uzima striktno pozitivne vrijednosti. Dobijamo:
Znamo riješiti slične kvadratne jednadžbe, ispisujemo odgovor:
Da biste bili sigurni da su korijeni ispravno pronađeni, možete provjeriti prema Vietinom teoremu, odnosno pronaći zbir korijena i njihovog proizvoda i provjeriti s odgovarajućim koeficijentima jednadžbe.
Dobijamo:
3. Tehnika rješavanja homogenih eksponencijalnih jednačina drugog stepena
Proučimo sljedeće važne vrste eksponencijalnih jednačina:
Jednačine ovog tipa nazivaju se homogenima drugog stepena u odnosu na funkcije f i g. Na njegovoj lijevoj strani nalazi se kvadratni trinom u odnosu na f sa parametrom g ili kvadratni trinom u odnosu na g sa parametrom f.
Metoda rješenja:
Ova jednačina se može riješiti kao kvadratna, ali je lakše učiniti obrnuto. Trebalo bi razmotriti dva slučaja:
U prvom slučaju dobijamo
U drugom slučaju imamo pravo da podijelimo najvećim stepenom i dobijemo:
Trebali biste uvesti promjenu varijabli, dobićemo kvadratnu jednačinu za y:
Imajte na umu da funkcije f i g mogu biti proizvoljne, ali nas zanima slučaj kada su to eksponencijalne funkcije.
4. Primjeri rješavanja homogenih jednačina
Premjestimo sve članove na lijevu stranu jednačine:
Budući da eksponencijalne funkcije dobivaju striktno pozitivne vrijednosti, imamo pravo da odmah podijelimo jednačinu sa , bez razmatranja slučaja kada:
Dobijamo:
Predstavljamo zamjenu: 
(prema svojstvima eksponencijalne funkcije)
Dobili smo kvadratnu jednačinu:
Određujemo korijene prema Vietinoj teoremi:
Prvi korijen ne zadovoljava interval od y vrijednosti, odbacujemo ga, dobijamo:
Koristimo svojstva stepena i sve stepene svesti na jednostavne baze:
Lako je uočiti funkcije f i g:
Budući da eksponencijalne funkcije dobivaju striktno pozitivne vrijednosti, imamo pravo da odmah podijelimo jednadžbu sa , bez razmatranja slučaja kada .
a x = b je najjednostavnija eksponencijalna jednadžba. U njemu a veće od nule i a nije jednako jedan.
Rješenje eksponencijalnih jednačina
Iz svojstava eksponencijalne funkcije znamo da je njen raspon vrijednosti ograničen na pozitivne realne brojeve. Tada ako je b = 0, jednadžba nema rješenja. Ista situacija se dešava i u jednačini gdje je b
Sada pretpostavimo da je b>0. Ako je u eksponencijalnoj funkciji baza a veći od jedan, tada će funkcija rasti u cijelom domenu definicije. Ako je u eksponencijalnoj funkciji za bazu a sledeći uslov je zadovoljen 0 Na osnovu ovoga i primjenom teoreme o korijenu, dobijamo da jednačina a x = b ima jedan korijen, za b>0 i pozitivan a nije jednako jednom. Da biste ga pronašli, trebate predstaviti b u obliku b = a c. Razmotrite sljedeći primjer: riješite jednačinu 5 (x 2 - 2*x - 1) = 25. Predstavimo 25 kao 5 2 , dobićemo: 5 (x 2 - 2*x - 1) = 5 2 . Ili šta je ekvivalentno: x 2 - 2*x - 1 = 2. Rezultirajuću kvadratnu jednačinu rješavamo bilo kojom od poznatih metoda. Dobijamo dva korijena x = 3 i x = -1. Odgovor: 3;-1. Rešimo jednačinu 4 x - 5*2 x + 4 = 0. Napravimo zamenu: t=2 x i dobijemo sledeću kvadratnu jednačinu: t 2 - 5*t + 4 = 0. Sada rješavamo jednačine 2 x = 1 i 2 x = 4. Odgovor: 0;2. Rješenje najjednostavnijih eksponencijalnih nejednačina također se zasniva na svojstvima rastućih i opadajućih funkcija. Ako je u eksponencijalnoj funkciji baza a veća od jedan, tada će funkcija rasti u cijelom domenu definicije. Ako je u eksponencijalnoj funkciji za bazu a ispunjen je sledeći uslov 0 Razmotrimo primjer: riješimo nejednačinu (0,5) (7 - 3*x)< 4. Imajte na umu da je 4 = (0,5) 2 . Tada nejednakost poprima oblik (0.5)(7 - 3*x)< (0.5) (-2) . Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели. Dobijamo: 7 - 3*x>-2. Odavde: x<3. Odgovor: x<3. Ako je u nejednakosti baza bila veća od jedan, onda kada se oslobodite baze, znak nejednakosti ne bi trebalo mijenjati. Eksponencijalne jednadžbe i nejednačine su one jednačine i nejednačine u kojima je nepoznata sadržana u eksponentu. Rješenje eksponencijalnih jednadžbi često se svodi na rješavanje jednadžbe a x \u003d a b, gdje je a > 0, a ≠ 1, x je nepoznanica. Ova jednadžba ima jedan korijen x \u003d b, budući da je sljedeća teorema tačna: Teorema. Ako je a > 0, a ≠ 1 i a x 1 = a x 2, tada je x 1 = x 2. Hajde da opravdamo razmatranu tvrdnju. Pretpostavimo da jednakost x 1 = x 2 nije zadovoljena, tj. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, tada se eksponencijalna funkcija y = a x povećava i stoga nejednakost a x 1< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >a x 2. U oba slučaja dobili smo kontradikciju sa uslovom a x 1 = a x 2 . Razmotrimo nekoliko zadataka. Riješite jednačinu 4 ∙ 2 x = 1. Rješenje. Zapisujemo jednačinu u obliku 2 2 ∙ 2 x = 2 0 - 2 x + 2 = 2 0 x = -2. Odgovori. x = -2. Riješite jednačinu 2 3x ∙ 3 x = 576. Rješenje. Budući da je 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, jednadžba se može napisati u obliku 8 x ∙ 3 x = 24 2 ili u obliku 24 x = 24 2. Odavde dobijamo x = 2. Odgovori. x = 2. Riješite jednačinu 3 x + 1 - 2∙3 x - 2 = 25. Rješenje. Stavljajući u zagrade zajednički faktor 3 x - 2 na lijevoj strani, dobivamo 3 x - 2 ∙ (3 3 - 2) \u003d 25 - 3 x - 2 ∙ 25 \u003d 25, odakle je 3 x - 2 = 1, tj. x - 2 = 0, x = 2. Odgovori. x = 2. Riješite jednačinu 3 x = 7 x. Rješenje. Pošto je 7 x ≠ 0, jednačina se može napisati kao 3 x / 7 x = 1, dakle (3/7) x = 1, x = 0. Odgovori. x = 0. Riješite jednačinu 9 x - 4 ∙ 3 x - 45 = 0. Rješenje. Zamjenom 3 x \u003d a, ova se jednadžba svodi na kvadratnu jednadžbu a 2 - 4a - 45 \u003d 0. Rješavajući ovu jednačinu, nalazimo njezine korijene: a 1 = 9, i 2 = -5, odakle je 3 x = 9, 3 x = -5. Jednadžba 3 x = 9 ima korijen 2, a jednadžba 3 x = -5 nema korijena, jer eksponencijalna funkcija ne može imati negativne vrijednosti. Odgovori. x = 2. Rješavanje eksponencijalnih nejednačina često se svodi na rješavanje nejednačina a x > a b ili a x< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции. Razmotrimo neke zadatke. Riješite 3 x nejednakost< 81. Rješenje. Zapisujemo nejednačinu u obliku 3 x< 3 4 . Так как 3 >1, tada se funkcija y = 3 x povećava. Prema tome, za x< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 . Dakle, za x< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство Odgovori. X< 4.
Riješite nejednačinu 16 x +4 x - 2 > 0. Rješenje. Označimo 4 x = t, tada ćemo dobiti kvadratnu nejednakost t2 + t - 2 > 0. Ova nejednakost vrijedi za t< -2 и при t > 1. Kako je t = 4 x, dobijamo dvije nejednakosti 4 x< -2, 4 х > 1. Prva nejednačina nema rješenja, jer je 4 x > 0 za sve x ∈ R. Drugu nejednačinu zapisujemo u obliku 4 x > 4 0 , odakle je x > 0. Odgovori. x > 0. Grafički riješite jednačinu (1/3) x = x - 2/3. Rješenje. 1) Nacrtajmo grafove funkcija y = (1/3) x i y = x - 2/3. 2) Na osnovu naše slike možemo zaključiti da se grafovi razmatranih funkcija sijeku u tački sa apscisom x ≈ 1. Provjera dokazuje da x \u003d 1 - korijen ove jednadžbe: (1/3) 1 = 1/3 i 1 - 2/3 = 1/3. Drugim riječima, pronašli smo jedan od korijena jednačine. 3) Pronađite druge korijene ili dokažite da ih nema. Funkcija (1/3) x se smanjuje, a funkcija y = x - 2/3 raste. Dakle, za x > 1, vrijednosti prve funkcije su manje od 1/3, a druge veće od 1/3; na x< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 i x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1. Odgovori. x = 1. Imajte na umu da iz rješenja ovog problema, posebno, slijedi da je nejednakost (1/3) x > x – 2/3 zadovoljena za x< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1. stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor. Dodatni materijali Nastavna sredstva i simulatori u internet prodavnici "Integral" za 11. razred Definicija. Jednačine oblika: $a^(f(x))=a^(g(x))$, gdje se $a>0$, $a≠1$ nazivaju eksponencijalne jednačine. Sjećajući se teorema koje smo proučavali u temi "Eksponencijalna funkcija", možemo uvesti novu teoremu: B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$. C) Originalna jednačina je ekvivalentna jednačini: $x^2-6x=-3x+18$. Primjer. Primjer. Napravimo bilješku o načinima rješavanja eksponencijalnih jednačina: Primjer. Teorema. Ako je $a>1$, tada je eksponencijalna nejednakost $a^(f(x))>a^(g(x))$ ekvivalentna nejednakosti $f(x)>g(x)$. Primjer. B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) U našoj jednadžbi, baza sa stepenom manjim od 1, tada je pri zamjeni nejednakosti ekvivalentnom potrebno promijeniti predznak. C) Naša nejednakost je ekvivalentna nejednakosti:
Onda je očigledno da Withće biti rješenje jednačine a x = a c .
Ovu jednačinu rješavamo bilo kojom od poznatih metoda. Dobijamo korijene t1 = 1 t2 = 4Rješavanje eksponencijalnih nejednačina
3 x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.
Lekcija i prezentacija na temu: "Eksponencijalne jednadžbe i eksponencijalne nejednačine"
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, povratne informacije, sugestije! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.
Interaktivni priručnik za 9-11 razred "Trigonometrija"
Interaktivni priručnik za 10-11 razred "Logaritmi"Definicija eksponencijalnih jednadžbi
Ljudi, proučavali smo eksponencijalne funkcije, naučili njihova svojstva i napravili grafove, analizirali primjere jednadžbi u kojima se susreću eksponencijalne funkcije. Danas ćemo proučavati eksponencijalne jednačine i nejednačine.
Teorema. Eksponencijalna jednačina $a^(f(x))=a^(g(x))$, gdje je $a>0$, $a≠1$ ekvivalentna jednadžbi $f(x)=g(x) $.Primjeri eksponencijalnih jednadžbi
Primjer.
Riješite jednačine:
a) $3^(3x-3)=27$.
b) $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=\sqrt(\frac(2)(3))$.
c) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$.
Rješenje.
a) Znamo dobro da je $27=3^3$.
Prepišimo našu jednačinu: $3^(3x-3)=3^3$.
Koristeći gornju teoremu, dobijamo da se naša jednadžba svodi na jednačinu $3x-3=3$, rješavajući ovu jednačinu, dobijamo $x=2$.
Odgovor: $x=2$.
Tada se naša jednačina može prepisati: $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5 ) )=((\frac(2)(3)))^(0,2)$.
$2x+0,2=$0,2.
$x=0$.
Odgovor: $x=0$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ i $x_2=-3$.
Odgovor: $x_1=6$ i $x_2=-3$.
Riješite jednačinu: $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=16*((0.0625))^(x+1)$.
Rješenje:
Uzastopno ćemo izvršiti niz radnji i dovesti oba dijela naše jednadžbe na iste baze.
Izvršimo niz operacija na lijevoj strani:
1) $((0,25))^(x-0,5)=((\frac(1)(4)))^(x-0,5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0,5+0,5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
Pređimo na desnu stranu:
4) $16=4^2$.
5) $((0,0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) $16*((0,0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
Originalna jednadžba je ekvivalentna jednadžbi:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
Odgovor: $x=0$.
Riješite jednačinu: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
Rješenje:
Prepišimo našu jednačinu: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
Napravimo promjenu varijabli, neka je $a=3^x$.
U novim varijablama, jednačina će imati oblik: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ i $a_2=3$.
Izvršimo obrnutu promjenu varijabli: $3^x=-12$ i $3^x=3$.
U prošloj lekciji smo naučili da eksponencijalni izrazi mogu imati samo pozitivne vrijednosti, zapamtite graf. To znači da prva jednačina nema rješenja, druga jednačina ima jedno rješenje: $x=1$.
Odgovor: $x=1$.
1. Grafička metoda. Predstavljamo oba dijela jednadžbe kao funkcije i gradimo njihove grafove, pronalazimo točke presjeka grafova. (Ovu metodu smo koristili u prošloj lekciji).
2. Princip jednakosti indikatora. Princip se zasniva na činjenici da su dva izraza sa istim bazama jednaka ako i samo ako su stepeni (eksponenti) ovih baza jednaki. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. Metoda promjene varijabli. Ovu metodu treba koristiti ako jednačina, prilikom promjene varijabli, pojednostavljuje svoj oblik i mnogo je lakše riješiti.
Riješite sistem jednačina: $\begin (slučajevi) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \end(cases)$.
Rješenje.
Razmotrite obje jednačine sistema odvojeno:
$27^y*3^x=1$.
$3^(3y)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
Razmotrimo drugu jednačinu:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
Koristimo metodu promjene varijabli, neka $y=2^(x+y)$.
Tada će jednačina poprimiti oblik:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ i $y_2=-3$.
Pređimo na početne varijable, iz prve jednačine dobijamo $x+y=2$. Druga jednačina nema rješenja. Tada je naš početni sistem jednačina ekvivalentan sistemu: $\begin (slučajevi) x+3y=0, \\ x+y=2. \end(cases)$.
Oduzmite drugu jednačinu od prve jednačine, dobijamo: $\begin (slučajevi) 2y=-2, \\ x+y=2. \end(cases)$.
$\begin (slučajevi) y=-1, \\ x=3. \end(cases)$.
Odgovor: $(3;-1)$.eksponencijalne nejednakosti
Pređimo na nejednakosti. Prilikom rješavanja nejednačina potrebno je obratiti pažnju na osnovu stepena. Postoje dva moguća scenarija razvoja događaja pri rješavanju nejednakosti.
Ako $0
Riješite nejednačine:
a) $3^(2x+3)>81$.
b) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) c) $(0,3)^(x^2+6x)≤(0,3)^(4x+15)$ .
Rješenje.
a) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
Naša nejednakost je ekvivalentna nejednakosti:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0,5$.
$2x-4>2$.
$x>3$.
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
Koristimo metodu intervalnog rješenja:
Odgovor: $(-∞;-5]U)
