Мы использовали и другие аксиомы, хотя особо не выделяли их. Так, сравнение 2-ух отрезков мы проводили с помощью наложения. Возможность такого наложения вытекает из аксиомы «На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один»

Эти аксиомы не вызывают сомнений и с помощью них доказываются другие утверждения. Такой способ зародился очень давно и был изложен в сочинении «Начала» ученого Евклида. Некоторые из аксиом Евклида - постулаты сейчас используются в геометрии а сама геометрия, изложенная в «Началах», называется Евклидовой геометрией.

Теоремы об углах, образованных двумя параллельными и секущей. Условие – это то, что дано. Заключение – то, что требуется доказать. Теорема, обратная данной –такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением – условие данной теоремы.

Замечание. Если доказана некоторая теорема, то отсюда еще не следует справедливость обратного утверждения. Более того, обратное утверждение не всегда верно. Например, «вертикальные углы равны». Обратное утверждение: «если углы равны, то они вертикальные»- конечно же, неверно.

Видеоурок «Аксиома параллельных прямых» предполагает детальное рассмотрение важной аксиомы геометрии - аксиомы параллельных прямых, ее особенностей, следствий из данной аксиомы, широко применяющихся в практике решения геометрических задач. Задача данного видеоурока - облегчить запоминание аксиомы и ее следствий, сформировать представление о ее особенностях, применении при решении задач.

Подача материала в форме видеоурока открывает новые возможности для учителя. Подача ученикам стандартного блока учебного материала автоматизируется. При этом улучшается качество подачи материала, так как он обогащен наглядным представлением, анимационными эффектами, приближающими построения к реальным, проводимым на доске. Исторические сведения подаются с рисунками и фото, вызывая интерес к изучаемой теме. Видео также освобождает учителя для углубления индивидуальной работы во время обучения.

Сначала на данном видео демонстрируется название темы. Рассмотрение аксиомы начинается с построения ее модели. На экране изображены прямая а, лежащая вне ее точка М. Далее описывается доказательство утверждения, что через заданную точку М можно построить прямую, параллельную данной. Проводится перпендикулярно прямой а прямая с, затем перпендикулярно прямой с в точке М проводится прямая b. Основываясь на утверждении, о параллельности двух прямых, перпендикулярных третьей, отмечаем, что прямая b параллельна исходной прямой а. Учитывая это, указываем, что в точке М проведена прямая, параллельная данной. Однако необходимо еще проверить, есть ли возможность провести через М иную параллельную прямую. На экране показано, что любой поворот прямой b в точке М приведет к построению прямой, которая пересечет прямую а. Однако возможно ли доказать невозможность проведения другой прямой?

Вопрос доказательства невозможности проведения иной прямой, параллельной данной, имеет давнюю историю. Ученикам предлагается небольшой экскурс в историю вопроса. Отмечается, что в труде Евклида «Начала» данное утверждение приведено в виде пятого постулата. Попытки ученых доказать утверждение не привели к успеху. На протяжении многих веков математиков интересовала эта задача. Однако только в прошлом веке окончательно было доказано, что данное утверждение недоказуемо в евклидовой геометрии. Оно является аксиомой. Ученикам представляется один из знаменитых математиков, вложивших значительный вклад в математическую науку - Николай Иванович Лобачевский. Именно он сыграл важную роль в окончательном решении вопроса. Поэтому утверждение, рассматриваемое на данном уроке, является аксиомой, лежащей в фундаменте науки наряду с другими аксиомами.

Далее предлагается рассмотреть следствия из данной аксиомы. Для этого необходимо уточнить понятие «следствия». На экране отображается определение следствий как утверждений, выводящихся непосредственно из теорем или аксиом. Данное определение может быть предложено ученикам для записи в тетрадь. Понятие следствий демонстрируется на примере, который уже рассматривался в видеоуроке 18 «Свойства равнобедренного треугольника». На экране выведена теорема о свойствах равнобедренного треугольника. Напоминается, что после доказательства данной теоремы рассматривались не менее важные следствия из нее. Так, если основная теорема утверждала, что биссектриса равнобедренного треугольника является медианой и высотой, то следствия имели близкое содержание, утверждая, что и высота равнобедренного треугольника является биссектрисой и медианой, а также медиана равнобедренного треугольника является одновременно биссектрисой и высотой.

Уточнив понятие следствий, рассматриваются непосредственно следствия, выходящие из данной аксиомы параллельности прямых. На экране отображается текст первого следствия аксиомы, утверждающий, что пересечение прямой одной из параллельных прямых означает пересечение ею и второй параллельной прямой. На рисунке под текстом следствия изображается прямая b и параллельная ей прямая а. Вторая прямая пересекает прямую с в точке М, принадлежащей прямой а. Приводится доказательство утверждения, что прямая с пересечет также прямую b. Доказательство производится от противного, используя аксиому о параллельных прямых. Если предположить, что прямая с не пересекает b, это означает, что через данную точку можно провести еще одну прямую, параллельную указанной. Но это невозможно, учитывая аксиому параллельных прямых. Следовательно, с пересекает также прямую b. Следствие доказано.

Далее рассматривается второе следствие из данной аксиомы. На экране отображается текст следствия, утверждающего, что если две прямые являются параллельными третьей, то можно утверждать о параллельности их между собой. На рисунке, демонстрирующем данное утверждение, построены прямые а, b, с. При этом прямая с как параллельная обеим прямым, выделена синим цветом. Предлагается доказать данное утверждение. В ходе доказательства допускается, что параллельные прямой с прямые а, b не являются параллельными между собой. Это означает, что они имеют точку пересечения. Это означает, что проходящие через точку М, обе прямые параллельны данной, что вступает в противоречие с аксиомой параллельных прямых. Данное следствие верно.

Видеоурок «Аксиома параллельных прямых» может облегчить учителю задачу объяснить ученикам особенности аксиомы, доказательства ее следствий, облегчить запоминание материала школьниками на обычном уроке. Также данный видеоматериал может быть использован при дистанционном обучении, быть рекомендованным для самостоятельного изучения.

Изучая свойства геометрических фигур, мы доказали ряд теорем. При этом мы опирались, как правило, на доказанные ранее теоремы. А на чём основаны доказательства самых первых теорем геометрии? Ответ на этот вопрос такой: некоторые утверждения о свойствах геометрических фигур принимаются в качестве исходных положений, на основе которых доказываются далее теоремы и вообще строится вся геометрия. Такие исходные положения называются аксиомами .

Некоторые аксиомы были сформулированы ещё в первой главе (хотя они и не назывались там аксиомами). Например, аксиомой является утверждение о том, что

Многие другие аксиомы, хотя и не были выделены особо, но фактически использовались в наших рассуждениях. Так, сравнение двух отрезков мы проводили с помощью наложения одного отрезка на другой. Возможность такого наложения вытекает из следующей аксиомы:

Сравнение двух углов основано на аналогичной аксиоме:

Все эти аксиомы являются наглядно очевидными и не вызывают сомнений. Само слово «аксиома» происходит от греческого «аксиос», что означает «ценный, достойный». Полный список аксиом планиметрии, принятых в нашем курсе геометрии, мы приводим в конце учебника.

Такой подход к построению геометрии, когда сначала формулируются исходные положения - аксиомы, а затем на их основе путём логических рассуждений доказываются другие утверждения, зародился ещё в глубокой древности и был изложен в знаменитом сочинении «Начала» древнегреческого учёного Евклида. Некоторые из аксиом Евклида (часть из них он называл постулатами ) и сейчас используются в курсах геометрии, а сама геометрия, изложенная в «Началах», называется евклидовой геометрией . В следующем пункте мы познакомимся с одной из самых известных аксиом геометрии.

Аксиома параллельных прямых

Рассмотрим произвольную прямую а и точку М, не лежащую на ней (рис. 110, а). Докажем, что через точку М можно провести прямую, параллельную прямой а. Для этого проведём через точку М две прямые: сначала прямую с перпендикулярно к прямой а, а затем прямую b перпендикулярно к прямой с (рис. 110, (б). Так как прямые а и b перпендикулярны к прямой с, то они параллельны.

Рис. 110

Итак, через точку М проходит прямая b, параллельная прямой а. Возникает следующий вопрос: можно ли через точку М провести ещё одну прямую, параллельную прямой а?

Нам представляется, что если прямую b «повернуть» даже на очень малый угол вокруг точки М, то она пересечёт прямую а (прямая b" на рисунке 110,6). Иными словами, нам кажется, что через точку М нельзя провести другую прямую (отличную от b), параллельную прямой а. А можно ли это утверждение доказать?

Этот вопрос имеет большую историю. В «Началах» Евклида содержится постулат (пятый постулат Евклида), из которого следует, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Многие математики, начиная с древних времён, предпринимали попытки доказать пятый постулат Евклида, т. е. вывести его из других аксиом. Однако эти попытки каждый раз оказывались неудачными. И лишь в прошлом веке было окончательно выяснено, что утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой, не может быть доказано на основе остальных аксиом Евклида, а само является аксиомой.

Огромную роль в решении этого непростого вопроса сыграл великий русский математик Николай Иванович Лобачевский (1792-1856).

Итак, в качестве ещё одного из исходных положений мы принимаем аксиому параллельных прямых .

Утверждения, которые выводятся непосредственно из аксиом или теорем, называются следствиями . Например, утверждения 1 и 2 (см. с. 35) являются следствиями из теоремы о биссектрисе равнобедренного треугольника.

Рассмотрим некоторые следствия из аксиомы параллельных прямых.

Действительно, пусть прямые а и b параллельны и прямая с пересекает прямую а в точке М (рис. 111, а). Докажем, что прямая с пересекает и прямую b. Если бы прямая с не пересекала прямую b, то через точку М проходили бы две прямые (прямые а и с), параллельные прямой b (рис. 111, б). Но это противоречит аксиоме параллельных прямых, и, значит, прямая с пересекает прямую b.

Рис. 111

Действительно, пусть прямые а и Ь параллельны прямой с (рис. 112, а). Докажем, что а || b. Допустим, что прямые а и b не параллельны, т. е. пересекаются в некоторой точке М (рис. 112,6). Тогда через точку М проходят две прямые (прямые а и b), параллельные прямой с.

Рис. 112

Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Поэтому наше предположение неверно, а значит, прямые а и b параллельны.

Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Во всякой теореме различают две части: условие и заключение . Условие теоремы - это то, что дано, а заключение - то, что требуется доказать.

Рассмотрим, например, теорему, выражающую признак параллельности двух прямых: если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

В этой теореме условием является первая часть утверждения: «при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны» (это дано), а заключением - вторая часть: «прямые параллельны» (это требуется доказать).

Теоремой, обратной данной , называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением - условие данной теоремы. Докажем теоремы, обратные трём теоремам п. 25.

Теорема

Доказательство

Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей MN. Докажем, что накрест лежащие углы, например 1 и 2, равны (рис. 113).

Рис. 113

Допустим, что углы 1 и 2 не равны. Отложим от луча MN угол PMN, равный углу 2, так, чтобы ∠PMN и ∠2 были накрест лежащими углами при пересечении прямых МР и b секущей MN. По построению эти накрест лежащие углы равны, поэтому МР || b. Мы получили, что через точку М проходят две прямые (прямые а и МР), параллельные прямой Ь. Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, наше допущение неверно и ∠1 = ∠2. Теорема доказана.

Замечание

При доказательстве этой теоремы мы использовали способ рассуждений, который называется методом доказательства от противного .

Мы предположили, что при пересечении параллельных прямых а и b секущей MN накрест лежащие углы 1 и 2 не равны, т. е. предположили противоположное тому, что нужно доказать. Исходя из этого предположения, путём рассуждений мы пришли к противоречию с аксиомой параллельных прямых. Это означает, что наше предположение неверно и, следовательно, ∠1 = ∠2.

Такой способ рассуждений часто используется в математике. Мы им пользовались и ранее, например в п. 12 при доказательстве того, что две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются. Этим же методом мы пользовались в п. 28 при доказательстве следствий 1 0 и 2 0 из аксиомы параллельных прямых.

Следствие

Действительно, пусть а || b, с ⊥ a, т. е. ∠1 = 90° (рис. 114). Прямая с пересекает прямую а, поэтому она пересекает также прямую b. При пересечении параллельных прямых а и Ь секущей с образуются равные накрест лежащие углы: ∠1=∠2. Так как ∠1 = 90°, то и ∠2 = 90°, т. е. с ⊥ b, что и требовалось доказать.

Рис. 114

Теорема

Доказательство

Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, что соответственные углы, например 1 и 2, равны (см. рис. 102). Так как а || b, то накрест лежащие углы 1 и 3 равны.

Углы 2 и 3 равны как вертикальные. Из равенств ∠1 = ∠3 и ∠2 = ∠3 следует, что ∠1 = ∠2. Теорема доказана.

Теорема

Доказательство

Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с (см. рис. 102). Докажем, например, что ∠1 + ∠4 = 180°. Так как а || b, то соответственные углы 1 и 2 равны. Углы 2 и 4 смежные, поэтому ∠2 + ∠4 = 180°. Из равенств ∠1 = ∠2 и ∠2 + ∠4 = 180° следует, что ∠1 + ∠4 = 180°. Теорема доказана.

Замечание

Если доказана некоторая теорема, то отсюда ещё не следует справедливость обратного утверждения. Более того, обратное утверждение не всегда верно. Приведём простой пример. Мы знаем, что если углы вертикальные, то они равны. Обратное утверждение: «если углы равны, то они вертикальные», конечно же, неверно.

Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами

Докажем теорему об углах с соответственно параллельными сторонами.

Теорема

Доказательство

Пусть ∠AOB и ∠A 1 O 1 B 1 - данные углы и ОА || О 1 А 1 , ОВ || О 1 В 1 . Если угол АОВ развёрнутый, то и угол А 1 О 1 В 1 - развёрнутый (объясните почему), поэтому эти углы равны. Пусть ∠AOB - неразвёрнутый угол. Возможные случаи расположения углов АОВ и А 1 О 1 В 1 изображены на рисунке 115, а и б. Прямая О 1 В 1 пересекает прямую О 1 А 1 и, следовательно, пересекает параллельную ей прямую ОА в некоторой точке М. Параллельные прямые ОВ и О 1 В 1 пересечены секущей ОМ, поэтому один из углов, образованных при пересечении прямых О 1 В 1 и ОА (угол 1 на рисунке 115), равен углу АОВ (как накрест лежащие углы). Параллельные прямые ОА и О 1 А 1 пересечены секущей О 1 М, поэтому либо ∠1 = ∠A 1 O 1 B 1 (рис. 115, а), либо ∠1 + ∠A 1 O 1 B 1 = 180° (рис. 115, б). Из равенства ∠1 = ∠AOB и последних двух равенств следует, что либо ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1 (см. рис. 115, а), либо ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 = 180° (см. рис. 115, б). Теорема доказана.

Рис. 115

Докажем теперь теорему об углах с соответственно перпендикулярными сторонами.

Теорема

Доказательство

Пусть ∠AOB и ∠A 1 O 1 B 1 - данные углы, OA ⊥ O 1 A 1 , OB ⊥ O 1 B 1 . Если угол АОВ развёрнутый или прямой, то и угол А 1 О 1 В 1 развёрнутый или прямой (объясните почему), поэтому эти углы равны. Пусть ∠AOB < 180°, О ∉ О 1 А 1 , О ∉ О 1 В 1 (случаи О ∈ O 1 А 1 , О ∈ О 1 В 1 рассмотрите самостоятельно).

Возможны два случая (рис. 116).

1 0 . ∠AOB < 90° (см. рис. 116, а). Проведём луч ОС так, чтобы прямые ОА и ОС были взаимно перпендикулярными, а точки В и С лежали по разные стороны от прямой О А. Далее, проведём луч OD так, чтобы прямые ОВ и OD были взаимно перпендикулярными, а точки С и D лежали по одну сторону от прямой О А. Поскольку ∠AOB = 90° - ∠AOD и ∠COD = 90° - ∠AOD, то ∠AOB = ∠COD. Стороны угла COD соответственно параллельны сторонам угла А 1 О 1 В 1 (объясните почему), поэтому либо ∠COD = ∠A 1 O 1 B 1 , либо ∠COD + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°. Следовательно, либо ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1 , либо ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°.

2 0 . ∠AOB > 90° (см. рис. 116, б). Проведём луч ОС так, чтобы угол АОС был смежным с углом АОВ. Угол АОС острый, и его стороны соответственно перпендикулярны сторонам угла А 1 О 1 В 1 . Следовательно, либо.∠AOC + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°, либо ∠AOC = ∠A 1 O 1 B 1 . В первом случае ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1 , во втором случае ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°. Теорема доказана.

Задачи

196. Дан треугольник АВС. Сколько прямых, параллельных стороне АВ, можно провести через вершину С?

197. Через точку, не лежащую на прямой р, проведены четыре прямые. Сколько из этих прямых пересекают прямую р? Рассмотрите все возможные случаи.

198. Прямые а и b перпендикулярны к прямой р, прямая с пересекает прямую а. Пересекает ли прямая с прямую b?

199. Прямая р параллельна стороне АВ треугольника АВС. Докажите, что прямые ВС и АС пересекают прямую р.

200. На рисунке 117 AD || p и PQ || ВС. Докажите, что прямая р пересекает прямые АВ, АЕ, АС, ВС и PQ.

Рис. 117

201. Сумма накрест лежащих углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 210°. Найдите эти углы.

202. На рисунке 118 прямые а, b и с пересечены прямой d, ∠1 = 42°, ∠2 = 140°, ∠3 = 138°. Какие из прямых а, b и с параллельны?

Рис. 118

203. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых а и b секущей с, если:

а) один из углов равен 150°;
б) один из углов на 70° больше другого.

204. Концы отрезка АВ лежат на параллельных прямых а и b. Прямая, проходящая через середину О этого отрезка, пересекает прямые а и b в точках С и D. Докажите, что СО = ОD.

205. По данным рисунка 119 найдите ∠1.

Рис. 119

206. ∠ABC = 70°, a ABCD = 110°. Могут ли прямые АВ и CD быть:

а) параллельными;
б) пересекающимися?

207. Ответьте на вопросы задачи 206, если ∠АВС = 65°, а ∠BCD= 105°.

208. Разность двух односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 50°. Найдите эти углы.

209. На рисунке 120 а || b, с || d, ∠4 = 45°. Найдите углы 1, 2 и 3.

Рис. 120

210. Два тела Р 1 и Р 2 подвешены на концах нити, перекинутой через блоки А и В (рис. 121). Третье тело Р 3 подвешено к той же нити в точке С и уравновешивает тела Р 1 и Р 2 . (При этом АР 1 || ВР 2 || СР 3 .) Докажите, что ∠ACB = ∠CAP 1 + ∠CBP 2 .

Рис. 121

211. Две параллельные прямые пересечены секущей. Докажите, что: а) биссектрисы накрест лежащих углов параллельны; б) биссектрисы односторонних углов перпендикулярны.

212. Прямые, содержащие высоты АА 1 и ВВ 1 треугольника АВС, пересекаются в точке Н, угол В - тупой, ∠C = 20°. Найдите угол АHВ.

Ответы к задачам

196. Одну прямую.

197. Три или четыре.

201. 105°, 105°.

203. б) Четыре угла по 55°, четыре других угла по 125°.

206. а) Да; б) да.

207. а) Нет; б) да.

208. 115° и 65°.

209. ∠1 = 135°, ∠2 = 45°, ∠3=135°.

210. Указание. Рассмотреть продолжение луча СР 3 .

Не объясняя их различия; в разных манускриптах «Начал» Евклида разбиение утверждений на аксиомы и постулаты различно, равно как не совпадает и их порядок. В классическом издании «Начал» Гейберга сформулированное утверждение является пятым постулатом.

На современном языке текст Евклида можно переформулировать так :

Если [на плоскости] при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов меньше двух прямых, то эти прямые при достаточном продолжении пересекаются, и притом с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.

Уточнение, с какой именно стороны пересекаются прямые, Евклид добавил, вероятно, для ясности - легко доказать, что оно вытекает из самого факта существования пересечения .

Пятый постулат чрезвычайно сильно отличается от других постулатов Евклида, простых и интуитивно очевидных (см. Начала Евклида). Поэтому в течение двух тысячелетий не прекращались попытки исключить его из списка аксиом и вывести как теорему. Все эти попытки окончились неудачей. «Вероятно, невозможно в науке найти более захватывающую и драматичную историю, чем история пятого постулата Евклида» . Несмотря на отрицательный результат, эти поиски не были напрасны, так как в конечном счёте привели к полному пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной.

Эквивалентные формулировки постулата о параллельных

В современных источниках обычно приводится другая формулировка постулата о параллельных , эквивалентная (равносильная) V постулату и принадлежащая Проклу (за рубежом её часто называют аксиомой Плейфера):

Постулат Прокла

В этой формулировке слова «одну и только одну» часто заменяют на «только одну» или «не более одной», так как существование хотя бы одной такой параллельной сразу следует из теорем 27 и 28 «Начал» Евклида.

Вообще у V постулата имеется огромное количество эквивалентных формулировок, многие из которых кажутся довольно очевидными. Вот некоторые из них .

Пятый постулат резко выделяется среди других, вполне очевидных, он больше похож на сложную, неочевидную теорему. Евклид, вероятно, сознавал это, и поэтому первые 28 предложений в «Началах» доказываются без его помощи.

«Евклиду безусловно должны были быть известны различные формы постулата о параллельных». Почему же он выбрал приведенную, сложную и громоздкую? Историки высказывали различные предположения о причинах такого выбора. В. П. Смилга полагал, что Евклид такой формулировкой указывал на то, что данная часть теории является незавершённой . М. Клайн обращает внимание на то, что пятый постулат Евклида имеет локальный характер, то есть описывает событие на ограниченном участке плоскости, в то время как, например, аксиома Прокла утверждает факт параллельности, который требует рассмотрения всей бесконечной прямой. Надо пояснить, что античные математики избегали использовать актуальную бесконечность; например, второй постулат Евклида утверждает не бесконечность прямой, а всего лишь то, что «прямую можно непрерывно продолжать». С точки зрения античных математиков, вышеприведенные эквиваленты постулата о параллельных могли казаться неприемлемыми: они либо ссылаются на актуальную бесконечность или (ещё не введенное) понятие измерения, либо тоже не слишком очевидны. Ещё одну версию выдвинул историк Имре Тот : евклидова формулировка, возможно, была вначале (ошибочно доказанной) теоремой у кого-то из предшественников Евклида, и когда убедились, что доказать её не удаётся, статус теоремы повысили до постулата, не меняя текста формулировки.

Абсолютная геометрия

Если из списка аксиом исключить V постулат, то полученная система аксиом будет описывать так называемую абсолютную геометрию . В частности, первые 28 теорем «Начал» Евклида доказываются без использования V постулата и поэтому относятся к абсолютной геометрии. Для дальнейшего отметим две теоремы абсолютной геометрии:

Попытки доказательства

Математики с давних времён пытались «улучшить Евклида» - либо исключить пятый постулат из числа исходных утверждений, то есть доказать его, опираясь на остальные постулаты и аксиомы, либо заменить его другим, столь же очевидным, как другие постулаты. Надежду на достижимость этого результата поддерживало то, что IV постулат Евклида (все прямые углы равны ) действительно оказался лишним - он был строго доказан как теорема и исключён из перечня аксиом.

За два тысячелетия было предложено много доказательств пятого постулата, но в каждом из них рано или поздно обнаруживался порочный круг : оказывалось, что среди явных или неявных посылок содержится утверждение, которое не удаётся доказать без использования того же пятого постулата.

Доказательство Прокла

После упадка античной культуры V постулатом занялись математики стран ислама. Доказательство ал-Джаухари , ученика ал-Хорезми (IX век) , неявно подразумевало: если при пересечении двух прямых какой-либо третьей накрест-лежащие углы равны, то то же имеет место при пересечении тех же двух прямых любой другой. И это допущение равносильно V постулату.

Саккери рассматривает всё те же три гипотезы о 4-м угле четырёхугольника Ламберта. Гипотезу тупого угла он отверг сразу по формальным соображениям. Легко показать, что в этом случае вообще все прямые пересекаются, а тогда можно заключить, что V постулат Евклида справедлив - ведь он как раз и утверждает, что при некоторых условиях прямые пересекаются. Отсюда делается вывод, что «гипотеза тупого угла всегда целиком ложна, так как она сама себя разрушает » .

После этого Саккери переходит к опровержению «гипотезы острого угла», и здесь его исследование гораздо интереснее. Он допускает, что она верна, и, одно за другим, доказывает целый ряд следствий. Сам того не подозревая, он продвигается довольно далеко в построении геометрии Лобачевского . Многие теоремы, доказанные Саккери, выглядят интуитивно неприемлемыми, но он продолжает цепочку теорем. Наконец, Саккери доказывает, что в «ложной геометрии» любые две прямые или пересекаются, или имеют общий перпендикуляр, по обе стороны от которого они удаляются друг от друга, или же удаляются друг от друга с одной стороны и неограниченно сближаются с другой. В этом месте Саккери делает неожиданный вывод: «гипотеза острого угла совершенно ложна, так как противоречит природе прямой линии » .

Видимо, Саккери чувствовал необоснованность этого «доказательства», потому что исследование продолжается. Он рассматривает эквидистанту - геометрическое место точек плоскости, равноотстоящих от прямой; в отличие от своих предшественников, Саккери понимает, что в рассматриваемом случае это вовсе не прямая. Однако, вычисляя длину её дуги, Саккери допускает ошибку и приходит к реальному противоречию, после чего заканчивает исследование и с облегчением заявляет, что он «вырвал эту зловредную гипотезу с корнем ». К сожалению, пионерская работа Саккери, изданная посмертно, не обратила на себя того внимания математиков, которого заслуживала, и только спустя 150 лет () его соотечественник Бельтрами обнаружил этот забытый труд и оценил его историческое значение.

Сферическая геометрия: все прямые пересекаются

Ламберт первым обнаружил, что «геометрия тупого угла» реализуется на сфере, если под прямыми понимать большие круги . Он, как и Саккери, вывел из «гипотезы острого угла» множество следствий, причём продвинулся гораздо дальше Саккери; в частности, он обнаружил, что дополнение суммы углов треугольника до 180° пропорционально площади треугольника.

В своей книге Ламберт проницательно отметил:

Мне кажется очень замечательным, что вторая гипотеза [тупого угла] оправдывается, если вместо плоских треугольников взять сферические. Я из этого почти должен был бы сделать вывод - заключение, что третья гипотеза имеет место на какой-то мнимой сфере . Во всяком случае, должна же существовать причина, почему она на плоскости далеко не так легко поддаётся опровержению, как это могло быть сделано в отношении второй гипотезы.

Ламберт не нашёл противоречия в гипотезе острого угла и пришёл к заключению, что все попытки доказать V постулат безнадёжны. Он не высказал каких-либо сомнений в ложности «геометрии острого угла», однако, судя по другому его проницательному замечанию, Ламберт размышлял о возможной физической реальности неевклидовой геометрии и о последствиях этого для науки :

В этом есть что-то восхитительное, что вызывает желание, чтобы третья гипотеза была справедлива. И всё же я хотел бы <…>, чтобы это было не так, потому что это было бы сопряжено с целым рядом <…> неудобств. Тригонометрические таблицы стали бы бесконечно пространными, подобие и пропорциональность фигур не существовали бы вовсе <…>, астрономии пришлось бы плохо.

Замечательная работа Ламберта, как и книга Саккери, далеко опередила своё время и не вызвала интереса у тогдашних математиков. Та же судьба постигла «астральную геометрию» немецких математиков Ф. К. Швейкарта () и Ф. А. Тауринуса (), по идеям близкую к построенной Ламбертом.

Тем временем попытки «смыть пятна» с Евклида продолжались (Луи Бертран, Лежандр , Семён Гурьев и другие). Лежандр дал целых три доказательства V постулата, ошибочность которых быстро показали его современники. Последнее «доказательство» он опубликовал в 1823 году , за три года до первого доклада Лобачевского о новой геометрии.

Открытие неевклидовой геометрии

Допущение, что сумма трёх углов треугольника меньше 180°, приводит к своеобразной, совершенно отличной от нашей (евклидовой) геометрии; эта геометрия совершенно последовательна, и я развил ее для себя совершенно удовлетворительно; я имею возможность решить в этой геометрии любую задачу, за исключением определения некоторой постоянной [кривизны], значение которой a priori установлено быть не может. Чем большее значение мы придадим этой постоянной, тем ближе мы подойдем к евклидовой геометрии, а бесконечно большое её значение приводит обе системы к совпадению. Предложения этой геометрии отчасти кажутся парадоксальными и непривычному человеку даже несуразными; но при строгом и спокойном размышлении оказывается, что они не содержат ничего невозможного. Так, например, все три угла треугольника можно сделать сколь угодно малыми, если только взять достаточно большие стороны; площадь же треугольника не может превысить, даже не может достичь некоторого предела, как бы велики ни были его стороны. Все мои старания найти в этой неевклидовой геометрии противоречие или непоследовательность остались бесплодными, и единственное, что в этой системе противится нашему разуму, это то, что в пространстве, если бы эта система была справедлива, должна была бы существовать некоторая сама по себе определенная (хотя нам и неизвестная) линейная величина. Но мне кажется, что мы, кроме ничего не выражающей словесной мудрости метафизиков, знаем очень мало или даже не знаем ничего о сущности пространства. (Из письма к

Выполнил ученик 7 класса «Г» МБОУ «ОК «Лицей №3» Гаврилов Дмитрий

Аксиома
Происходит от греческого «аксиос», что означает «ценный, достойный».Положение, принимаемое без логического доказательства в силу непосредственной убедительности, истинное исходное положение теории. (Советский энциклопедический словарь)

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Аксиома параллельных прямых Выполнил ученик 7 класса «Г» МБОУ «ОК «Лицей № 3» Гаврилов Дмитрий 2015-2016 уч.г (учитель Конарева Т.Н.)

Известные определения и факты. Закончи предложение. 1. Прямая х называется секущей по отношению к прямым а и b , если… 2. При пересечении двух прямых секущей образуется … неразвернутых углов. 3. Если прямые АВ и С D пересечены прямой В D , то прямая В D называется… 4. Если точки В и D лежат в разных полуплоскостях относительно секущей АС, то углы ВАС и DCA называются… 5. Если точки В и D лежат в одной полуплоскости относительно секущей АС, то углы ВАС и DCA называются… 6. Если внутренние накрест лежащие углы одной пары равны, то внутренние накрест лежащие углы другой пары… D C А С В D A B

Проверка задания. 1 . …если она пересекает их в двух точках 2. 8 3. … секущей 4. … накрест лежащими 5. … односторонними 6. … равны

Найдите соответствие a) a b m 1) a | | b , так как внутренние накрест лежащие углы равны б) 2) a | | b , так как соответственные углы равны в) a b 3) a | | b , так как сумма внутренних односторонних углов равна 180° 50 º 130 º 45 º 45 º m a b m a 150 º 150º

Об аксиомах геометрии

Аксиома Происходит от греческого «аксиос», что означает «ценный, достойный». Положение, принимаемое без логического доказательства в силу непосредственной убедительности, истинное исходное положение теории. Советский энциклопедический словарь

Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна Сколько прямых можно провести через любые две точки, лежащие на плоскости?

На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один Сколько отрезков данной длины можно отложить от начала луча?

От любого луча в заданную сторону можно отложить угол, равный данному неразвернутому углу, и притом только один Сколько углов равных данному можно отложить от данного луча в заданную полуплоскость?

аксиомы теоремы логические рассуждения знаменитое сочинение «Начала» Евклидова геометрия Логическое построение геометрии

Аксиома параллельных прямых

М а Докажем, что через точку М можно провести прямую, параллельную прямой а с в а ┴ с в ┴ с а ІІ в

Можно ли через точку М провести еще одну прямую, параллельную прямой а? а М в в 1 А можно ли это доказать?

Многие математики, начиная с древних времен, пытались доказать данное утверждение, а в «Началах» Евклида это утверждение называется пятым постулатом. Попытки доказать пятый постулат Евклида не увенчались успехом, и лишь в XIX веке было окончательно выяснено, что утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой, не может быть доказано на основе остальных аксиом Евклида, а само является аксиомой. Огромную роль в решении этого вопроса сыграл русский математик Николай Иванович Лобачевский.

Пятый постулат Евклида 1792-1856 Николай Иванович

«Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной». «Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной». Какое из данных утверждений является аксиомой? Чем отличаются вышеуказанные утверждения?

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Утверждения, которые выводятся из аксиом или теорем, называют следствиями Следствие 1. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую. a II b , c b ⇒ c a Аксиома параллельности и следствия из неё. а А Следствие 2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. a II с, b II с a II b а b с c b

Закрепление знаний. Тест Отметить знаком «+» правильные утверждения и знаком «-» - ошибочные. Вариант 1 1. Аксиомой называется математическое утверждение о свойствах геометрических фигур, требующее доказательства. 2. Через любые две точки проходит прямая. 3. На любом луче от начала можно отложить отрезки, равные данному, причем сколько угодно много. 4.Через точку не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. 5. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой. Вариант 2 1. Аксиомой называется математическое утверждение о свойствах геометрических фигур, принимаемое без доказательства. 2. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна. 3. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят только две прямые, параллельные данной. 4. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна другой прямой. 5. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Ответы теста Вариант 1 1. «-» 2. «-» 3. «-» 4. «+» 5. «+» Вариант 2 «+» «+» «-» «-» «+»

«Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение». (В. Произволов)