III уровень
3.1. Гипербола касается прямых 5x – 6y – 16 = 0, 13x – 10y – – 48 = 0. Запишите уравнение гиперболы при условии, что ее оси совпадают с осями координат.
3.2. Составьте уравнения касательных к гиперболе
1) проходящих через точку A (4, 1), B (5, 2) и C (5, 6);
2) параллельных прямой 10x – 3y + 9 = 0;
3) перпендикулярных прямой 10x – 3y + 9 = 0.
Параболой называется геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению
Параметры параболы:
Точка F (p /2, 0) называется фокусом параболы, величина p – параметром , точка О (0, 0) – вершиной . При этом прямая OF , относительно которой парабола симметрична, задает ось этой кривой.
Величина где M (x , y ) – произвольная точка параболы, называется фокальным радиусом , прямая D : x = –p /2 – директрисой (она не пересекает внутреннюю область параболы). Величина называется эксцентриситетом параболы.
Основное характеристическое свойство параболы : все точки параболы равноудалены от директрисы и фокуса (рис. 24).
Существуют иные формы канонического уравнения параболы, которые определяют другие направления ее ветвей в системе координат (рис. 25).:
Для параметрического задания параболы в качестве параметра t может быть взята величина ординаты точки параболы:
где t – произвольное действительное число.
Пример 1. Определить параметры и форму параболы по ее каноническому уравнению:
Решение. 1. Уравнение y 2 = –8x определяет параболу с вершиной в точке О Оx . Ее ветви направлены влево. Сравнивая данное уравнение с уравнением y 2 = –2px , находим: 2p = 8, p = 4, p /2 = 2. Следовательно, фокус находится в точке F (–2; 0), уравнение директрисы D : x = 2 (рис. 26).
2. Уравнение x 2 = –4y задает параболу с вершиной в точке O (0; 0), симметричную относительно оси Oy . Ее ветви направлены вниз. Сравнивая данное уравнение с уравнением x 2 = –2py , находим: 2p = 4, p = 2, p /2 = 1. Следовательно, фокус находится в точке F (0; –1), уравнение директрисы D : y = 1 (рис. 27).
Пример 2. Определить параметры и вид кривой x 2 + 8x – 16y – 32 = 0. Сделать чертеж.
Решение. Преобразуем левую часть уравнения, используя метод выделения полного квадрата:
x 2 + 8x – 16y – 32 =0;
(x + 4) 2 – 16 – 16y – 32 =0;
(x + 4) 2 – 16y – 48 =0;
(x + 4) 2 – 16(y + 3).
В результате получим
(x + 4) 2 = 16(y + 3).
Это каноническое уравнение параболы с вершиной в точке (–4; –3), параметром p = 8, ветвями, направленными вверх (), осью x = –4. Фокус находится в точке F (–4; –3 + p /2), т. е. F (–4; 1) Директриса D задается уравнением y = –3 – p /2 или y = –7 (рис. 28).
Пример 4. Составить уравнение параболы с вершиной в точке V (3; –2) и фокусом в точке F (1; –2).
Решение. Вершина и фокус данной параболы лежат на прямой, параллельной оси Ox (одинаковые ординаты), ветви параболы направлены влево (абсцисса фокуса меньше абсциссы вершины), расстояние от фокуса до вершины равно p /2 = 3 – 1 = 2, p = 4. Значит, искомое уравнение
(y + 2) 2 = –2 · 4(x – 3) или (y + 2) 2 = = –8(x – 3).
Задания для самостоятельного решения
I уровень
1.1. Определите параметры параболы и построить ее:
1) y 2 = 2x ; 2) y 2 = –3x ;
3) x 2 = 6y ; 4) x 2 = –y .
1.2. Напишите уравнение параболы с вершиной в начале координат, если известно, что:
1) парабола расположена в левой полуплоскости симметрично относительно оси Ox и p = 4;
2) парабола расположена симметрично относительно оси Oy и проходит через точку M (4; –2).
3) директриса задана уравнением 3y + 4 = 0.
1.3. Составьте уравнение кривой, все точки которой равноудалены от точки (2; 0) и прямой x = –2.
II уровень
2.1. Определить тип и параметры кривой.
Остальным же читателям предлагаю существенно пополнить свои школьные знания о параболе и гиперболе. Гипербола и парабола – это просто? …Не дождётесь =)
Общая структура изложения материала будет напоминать предыдущий параграф. Начнём с общего понятия гиперболы и задачи на её построение.
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид , где – положительные действительные числа. Обратите внимание, что в отличие от эллипса , здесь не накладывается условие , то есть, значение «а» может быть и меньше значения «бэ».
Надо сказать, довольно неожиданно… уравнение «школьной» гиперболы и близко не напоминает каноническую запись. Но эта загадка нас ещё подождёт, а пока почешем затылок и вспомним, какими характерными особенностями обладает рассматриваемая кривая? Раскинем на экране своего воображения график функции ….
У гиперболы две симметричные ветви.
Неплохой прогресс! Данными свойствами обладает любая гипербола, и сейчас мы с неподдельным восхищением заглянем в декольте этой линии:
Пример 4
Построить гиперболу, заданную уравнением
Решение
: на первом шаге приведём данное уравнение к каноническому виду . Пожалуйста, запомните типовой порядок действий. Справа необходимо получить «единицу», поэтому обе части исходного уравнения делим на 20:
Здесь можно сократить обе дроби, но оптимальнее сделать каждую из них трёхэтажной
:
И только после этого провести сокращение:
Выделяем квадраты в знаменателях:
Почему преобразования лучше проводить именно так? Ведь дроби левой части можно сразу сократить и получить . Дело в том, что в рассматриваемом примере немного повезло: число 20 делится и на 4 и на 5. В общем случае такой номер не проходит. Рассмотрим, например, уравнение . Здесь с делимостью всё печальнее и без трёхэтажных дробей
уже не обойтись:
Итак, воспользуемся плодом наших трудов – каноническим уравнением :
Существует два подхода к построению гиперболы – геометрический и алгебраический.
С практической точки зрения вычерчивание с помощью циркуля... я бы даже сказал утопично, поэтому гораздо выгоднее вновь привлечь на помощь нехитрые расчёты.
Целесообразно придерживаться следующего алгоритма, сначала готовый чертёж, потом комментарии:
На практике часто встречается комбинация поворота на произвольный угол и параллельного переноса гиперболы. Данная ситуация рассматривается на уроке Приведение уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду .
Свершилось! Она самая. Готовая раскрыть немало тайн. Каноническое уравнение параболы имеет вид , где – действительное число. Нетрудно заметить, что в своём стандартном положении парабола «лежит на боку» и её вершина находится в начале координат. При этом функция задаёт верхнюю ветвь данной линии, а функция – нижнюю ветвь. Очевидно, что парабола симметрична относительно оси . Собственно, чего париться:
Пример 6
Построить параболу
Решение : вершина известна, найдём дополнительные точки. Уравнение определяет верхнюю дугу параболы, уравнение – нижнюю дугу.
В целях сократить запись вычисления проведём «под одной гребёнкой» :
Для компактной записи результаты можно было свести в таблицу.
Перед тем, как выполнить элементарный поточечный чертёж, сформулируем строгое
Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки и данной прямой , не проходящей через точку .
Точка называется фокусом
параболы, прямая – директрисой
(пишется с одной «эс»)
параболы. Константа «пэ» канонического уравнения называется фокальным параметром
, который равен расстоянию от фокуса до директрисы. В данном случае . При этом фокус имеет координаты , а директриса задаётся уравнением .
В нашем примере :
Определение параболы понимается ещё проще, чем определения эллипса и гиперболы. Для любой точки параболы длина отрезка (расстояние от фокуса до точки) равна длине перпендикуляра (расстоянию от точки до директрисы):
Поздравляю! Многие из вас сегодня сделали самое настоящие открытие. Оказывается, гипербола и парабола вовсе не являются графиками «рядовых» функций, а имеют ярко выраженное геометрическое происхождение.
Очевидно, что при увеличении фокального параметра ветви графика будут «раздаваться» вверх и вниз, бесконечно близко приближаясь к оси . При уменьшении же значения «пэ» они начнут сжиматься и вытягиваться вдоль оси
Эксцентриситет любой параболы равен единице:
Парабола – одна из самых распространённых линий в математике, и строить её придётся действительно часто. Поэтому, пожалуйста, особенно внимательно отнестись к заключительному параграфу урока, где я разберу типовые варианты расположения данной кривой.
! Примечание : как и в случаях с предыдущими кривыми, корректнее говорить о повороте и параллельном переносе координатных осей, но автор ограничится упрощённым вариантом изложения, чтобы у читателя сложились элементарные представления о данных преобразованиях.
Функция вида , где называется квадратичной функцией .
График квадратичной функции – парабола .
Рассмотрим случаи:
То есть , ,
Для построения заполняем таблицу, подставляя значения x в формулу:
Отмечаем точки (0;0); (1;1); (-1;1) и т.д. на координатной плоскости (чем с меньшим шагом мы берем значения х (в данном случае шаг 1), и чем больше берем значений х, тем плавнее будет кривая), получаем параболу:
Нетрудно заметить, что если мы возьмем случай , , , то есть , то мы получим параболу, симметричную относительно оси (ох). Убедиться в этом несложно, заполнив аналогичную таблицу:
Что же будет, если мы будем брать , , ? Как изменится поведение параболы? При title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):
На первой картинке (см. выше) хорошо видно, что точки из таблицы для параболы (1;1), (-1;1) трансформировались в точки (1;4), (1;-4), то есть при тех же значениях ордината каждой точки умножилась на 4. Это произойдет со всеми ключевыми точками исходной таблицы. Аналогично рассуждаем в случаях картинок 2 и 3.
А при парабола «станет шире» параболы :
Давайте подитожим:
1) Знак коэффициента отвечает за направление ветвей. При title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз.
2) Абсолютная величина коэффициента (модуля) отвечает за “расширение”, “сжатие” параболы. Чем больше , тем у’же парабола, чем меньше |a|, тем шире парабола.
Теперь давайте введем в игру (то есть рассматриваем случай, когда ), будем рассматривать параболы вида . Нетрудно догадаться (вы всегда можете обратиться к таблице), что будет происходить смещение параболы вдоль оси вверх или вниз в зависимости от знака :
Когда же парабола “оторвется” от оси и будет, наконец, “гулять” по всей координатной плоскости? Когда перестанет быть равным .
Здесь для построения параболы нам понадобится формула для вычисления вершины: , .
Так вот в этой точке (как в точке (0;0) новой системы координат) мы будем строить параболу , что уже нам по силам. Если имеем дело со случаем , то от вершины откладываем один единичный отрезок вправо, один вверх, – полученная точка – наша (аналогично шаг влево, шаг вверх – наша точка); если имеем дело с , например, то от вершины откладываем один единичный отрезок вправо, два – вверх и т.д.
Например, вершина параболы :
Теперь главное уяснить, что в этой вершине мы будем строить параболу по шаблону параболы , ведь в нашем случае.
При построении параболы после нахождения координат вершины очень удобно учитывать следующие моменты:
1) парабола обязательно пройдет через точку . Действительно, подставив в формулу x=0, получим, что . То есть ордината точки пересечения параболы с осью (оу), это . В нашем примере (выше), парабола пересекает ось ординат в точке , так как .
2) осью симметрии параболы является прямая , поэтому все точки параболы будут симметричны относительно нее. В нашем примере, мы сразу берем точку (0; -2) и строим ей симметричную относительно оси симметрии параболы, получим точку (4; -2), через которую будет проходить парабола.
3) Приравнивая к , мы узнаем точки пересечения параболы с осью (ох). Для этого решаем уравнение . В зависимости от дискриминанта, будем получать одну (, ), две ( title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) . В предыдущем примере у нас корень из дискриминанта – не целое число, при построении нам особо нет смысла находить корни, но мы видим четко, что две точки пересечения с осью (ох) у нас будут (так как title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.
Итак, давайте выработаем
1) определяем направление ветвей (а>0 – вверх, a<0 – вниз)
2) находим координаты вершины параболы по формуле , .
3) находим точку пересечения параболы с осью (оу) по свободному члену , строим точку, симметричную данной относительно оси симметрии параболы (надо заметить, бывает, что эту точку невыгодно отмечать, например, потому, что значение велико… пропускаем этот пункт…)
4) В найденной точке – вершине параболы (как в точке (0;0) новой системы координат) строим параболу . Если title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с
5) Находим точки пересечения параболы с осью (оу) (если они еще сами “не всплыли”), решая уравнение
Пример 1
Пример 2
Замечание 1. Если же парабола изначально нам задана в виде , где – некоторые числа (например, ), то построить ее будет еще легче, потому что нам уже заданы координаты вершины . Почему?
Возьмем квадратный трехчлен и выделим в нем полный квадрат: Посмотрите, вот мы и получили, что , . Мы с вами ранее называли вершину параболы , то есть теперь , .
Например, . Отмечаем на плоскости вершину параболы , понимаем, что ветви направлены вниз, парабола расширена (относительно ). То есть выполняем пункты 1; 3; 4; 5 из алгоритма построения параболы (см. выше).
Замечание 2. Если парабола задана в виде, подобном этому (то есть представлен в виде произведения двух линейных множителей), то нам сразу видны точки пересечения параболы с осью (ох). В данном случае – (0;0) и (4;0). В остальном же действуем согласно алгоритму, раскрыв скобки.
Определение: Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой. Точка F называется фокусом параболы, а фиксированная прямая – директрисой параболы.
Для вывода уравнения построим:
Согласно определению:
Так
как у 2 >=0
то парабола лежит в правой полуплоскости.
При х возрастающем от 0 до бесконечности
.
Парабола симметрична относительно Ох.
Точка пересечения параболы со своей
осью симметрии называется вершиной
параболы.
Существует 8 типов КВП:
1.эллипсы
2.гиперболы
3.параболы
Кривые 1,2,3 – канонические сечения. Если пересечь конус плоскостью параллельной оси конуса то получим гиперболу. Если плоскостью параллельной образующей то параболу. Все плоскости не проходят через вершину конуса. Если любой другой плоскостью то эллипс.
4.пара параллельных прямых y 2 +a 2 =0, a0
5.пара пересекающихся прямых y 2 -k 2 x 2 =0
6.одна прямая y 2 =0
7.одна точка x 2 + y 2 =0
8.пустое множество - пустая кривая (кр. без точек) x 2 + y 2 +1=0 или x 2 + 1=0
Теорема(основная теорема о КВП): Уравнение вида
a 11 x 2 + 2 a 12 x y + a 22 y 2 + 2 a 1 x + 2 a 2 y + a 0 = 0
может представлять только кривую одного из указанных восьми типов.
Идея доказательства состоит в том чтобы прейти к такой системе координат в которой уравнение КВП примет наиболее простой вид, когда тип кривой, которую оно представляет становится очевидным. Теорема доказывается с помощью поворота системы координат на такой угол при котором член с произведением координат исчезает. И с помощью параллельного переноса системы координат при котором исчезает или член с переменной х или член с переменной у.
Переход
к новой системе координат:
1.
Параллельный перенос
2.
Поворот
ПВП - множество точек прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению 2 степени: (1)
Предполагается, что хотя бы один из коэффициентов при квадратах или при произведениях отличен от 0. Уравнение инвариантно относительно выбора системы координат.
Теорема Любая плоскость пересекает ПВП по КВП за исключением особого случая, когда в сечении – вся плоскость.(ПВП может быть плоскостью или парой плоскостей).
Существует 15 типов ПВП. Перечислим их указав уравнения, которыми они задаются в подходящих системах координат. Эти уравнения называются каноническими(простейшими). Строят геометрические образы соответствующие каноническим уравнениям методом параллельных сечений: Пересекают поверхность координатными плоскостями и плоскостями параллельными им. В результате получают сечения и кривые, которые дают представление о форме поверхности.
1.
Эллипсоид.
Если a=b=c то получаем сферу.
2. Гиперболоиды.
1).
Однополостный гиперболоид:
Cечение
однополостного гиперболоида координатными
плоскостями: XOZ:
- гипербола.
YOZ:
- гипербола.
Плоскостью
XOY:
- эллипс.
2).
Двуполостной гиперболоид.
Начало координат – точка симметрии.
Координатные плоскости – плоскости симметрии.
Плоскость
z
=
h
пересекает гиперболоид по эллипсу
,
т.е. плоскость z
=
h
начинает пересекать гиперболоид при
| h
|
c
.
Сечение гиперболоида плоскостями x
= 0
и y
= 0
- это
гиперболы.
Числа a,b,c в уравнениях (2),(3),(4) называются полуосями эллипсоидов и гиперболоидов.
3. Параболоиды.
1).
Эллиптический параболоид:
Сечение
плоскостью z
=
h
есть
,
где
.
Из уравнения видно, что z
0 – это бесконечная чаша.
Пересечение
плоскостями y
=
h
и x
=
h
- это парабола и вообще
2).
Гиперболический параболоид:
Очевидно,
плоскости XOZ
и YOZ
– плоскости симметрии, ось z
– ось параболоида. Пересечение параболоида
с плоскостью z
=
h
– гиперболы:
,
.
Плоскость z
=0
пересекает гиперболический параболоид
по двум осям
которые являются ассимптотами.
4. Конус и цилиндры второго порядка.
1).
Конус – это поверхность
.
Конус оюразован прямыми линиями,
проходящими через начало координат 0 (0, 0, 0). Сечение конуса – это эллипсы с
полуосями
.
2). Цилиндры второго порядка.
Это
эллиптический цилиндр
.
Какую бы прямую мы не взяли пересекающую эллипсы и параллельную оси Oz то она удовлетворяет этому уравнению. Перемещая эту прямую вокруг эллипса получим поверхность.
Гиперболический цилиндр:
На плоскости ХОУ это гипербола. Перемещаем прямую пересекающую гиперболу параллельно Oz вдоль гиперболы.
Параболический
цилиндр:
На плоскости ХОУ это парабола.
Цилиндрические поверхности образуются прямой(образующей) перемещающейся параллельно самой себе вдоль некоторой прямой(направляющей).
10.
Пара пересекающихся плоскостей
11.Пара
параллельных плоскостей
12.
- прямой
13.Прямая
– «цилиндр», построенный на одной точке
14.Одна
точка
15.Пустое
множество
Основная теорема о ПВП: Каждая ПВП принадлежит к одному из 15 типов рассмотренных выше. Других ПВП нет.
Поверхности
вращения.
Пусть
задана ПДСК Oxyz
и в плоскости Oyz
линия е определяемая уравнением F(y,z)=0
(1). Составим уравнение поверхности
полученной вращением этой линии вокруг
оси Oz.
Возьмем на линии е точку М(y,z).
При вращении плоскости Oyz
вокруг Oz
точка М опишет окружность. Пусть N(X,Y,Z)
– произвольная точка этой окружности.
Ясно что z=Z.
.
Подставив
найденные значения z
и y
в уравнение (1) получим верное равенство:
т.е. координаты точкиN
удовлетворяют уравнению
.
Таким образом любая точка поверхности
вращения удовлетворяет уравнению (2).
Не сложно доказать что если точкаN(x 1 ,y 1 ,z 1)
удовлетворяет уравнению (2) то она
принадлежит рассматриваемой поверхности.
Теперь можно сказать что уравнение (2)
есть искомое уравнение поверхности
вращения.
" |
Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки F
и заданной прямой dd, не проходящей через заданную точку. Это геометрическое определение выражает директориальное свойство параболы .
Директориальное свойство парабол
Точка F называется фокусом параболы, прямая d - директрисой параболы, середина O перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису, - вершиной параболы, расстояние p от фокуса до директрисы - параметром параболы, а расстояние p2от вершины параболы до её фокуса - фокусным расстоянием. Прямая, перпендикулярная директрисе и проходящая через фокус, называется осью параболы (фокальной осью параболы). Отрезок FM, соединяющий произвольную точку M параболы с её фокусом, называется фокальным радиусом точки
M. Отрезок, соединяющий две точки параболы, называется хордой параболы.
Для произвольной точки параболы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до директрисы равно единице. Сравнивая директориальные свойства эллипса, гиперболы и параболы, заключаем, что эксцентриситет параболы по определению равен единице
Геометрическое определение параболы , выражающее её директориальное свойство, эквивалентно её аналитическому определению - линии, задаваемой каноническим уравнением параболы:
Свойства
Функция одной действительной переменной: основные понятия, примеры.
Определение: Если каждому значению х числового множества X по правилу f соответствует единственное число множества Y, то говорят, что на числовом множестве X задана функция у = f(x), значения х определяются множеством значений, входящих в область определения функции (Х) .
В этом случае х называется аргументом, а у - значением функции. Множество X называется областью определения функции, Y - множеством значений функции.
Часто задают это правило формулой; например, у = 2х + 5. Указанный способ задания функции при помощи формулы называется аналитическим.
Функцияю можно так же задать графиком - Графиком функции у - f(x) называется множество точек плоскости, координаты х, у которых удовлетворяют соотношению у = f(x).