Перші історики нашої цивілізації - стародавні греки - згадують Єгипет як місце зародження геометрії. Важко з ними не погодитися, знаючи, з якою приголомшливою точністю зведені гігантські усипальниці фараонів. Взаємне розташування площин пірамід, їх пропорції, орієнтація по сторонах світу - досягти такої досконалості було б немислимо, не знаючи основ геометрії.

Саме слово "геометрія" можна перевести як «вимір землі». Причому слово «земля» виступає не як планета - частина Сонячної системи, а як площину. Розмітка площ під ведення сільського господарства, швидше за все, і є самою початкової основою науки про геометричні фігури, їх видах і властивості.

Трикутник - найпростіша просторова фігура планіметрії, що містить усього три точки - вершини (менше не буває). Основа основ, може бути, тому й ввижається в ньому щось таємниче і прадавнє. Всевидюче око всередині трикутника - один з найбільш ранніх з відомих окультних знаків, причому географія його розповсюдження і тимчасові рамки просто вражають уяву. Від стародавніх єгипетської, шумерської, ацтекської та інших цивілізацій до більш сучасних спільнот любителів окультизму, розкиданих по всій земній кулі.

Якими бувають трикутники

Звичайний різнобічний трикутник - це замкнута геометрична фігура, що складається з трьох відрізків різної довжини і трьох кутів, жоден з яких не є прямим. Крім нього, розрізняють кілька особливих видів.

Трикутник гострокутий має всі кути величиною менше 90 градусів. Іншими словами - всі кути такого трикутника гострі.

Прямокутний трикутник, над яким в усі часи плакали школярі з-за великої кількості теорем, має один кут з величиною 90 градусів або, як його ще називають, прямий.

Тупоугольние трикутник відрізняється тим, що один з його кутів тупий, тобто величина його - понад 90 градусів.

Рівносторонній трикутник має три сторони однакової довжини. У такої фігури рівні також всі кути.

І нарешті, у рівнобедреного трикутника з трьох сторін дві рівні між собою.

Відмітні особливості

Властивості рівнобедреного трикутника визначають і його основне, головне, відмінність - рівність двох сторін. Ці рівні один одному боку прийнято називати стегнами (або, частіше, бічними сторонами), ну а третя сторона носить назву «підстава».

На даному малюнку a \u003d b.

Друга ознака рівнобедреного трикутника випливає з теореми синусів. Так як рівні сторони a і b, рівні і синуси їх протилежних кутів:

a / sin γ \u003d b / sin α, звідки маємо: sin γ \u003d sin α.

З рівності синусів слід рівність кутів: γ \u003d α.

Отже, другою ознакою рівнобедреного трикутника є рівність двох кутів, прилеглих до основи.

Третя ознака. У трикутнику розрізняють такі елементи, як висота, бісектриса і медіана.

Якщо в процесі виконання завдання з'ясовується, що в розглянутому трикутнику два будь-яких з цих елементів збігаються: висота з бісектрисою; бісектриса з медіаною; медіана з висотою - однозначно можна робити висновок, що трикутник рівнобедрений.

Геометричні властивості фігури

1. Властивості рівнобедреного трикутника. Одним з характерних якостей фігури є рівність кутів, прилеглих до основи:

<ВАС = <ВСА.

2. Ще одна властивість розглянуто вище: медіана, бісектриса і висота в трикутник збігаються, якщо вони побудовані від його вершини до основи.

3. Рівність биссектрис, проведених з вершин при підставі:

Якщо АЕ - бісектриса кута ВАС, а CD - бісектриса кута BCA, то: AE \u003d DC.

4. Властивості рівнобедреного трикутника передбачають також рівність висот, які проведені з вершин при підставі.

Якщо побудувати висоти трикутника АВС (де АВ \u003d ВС) з вершин А і С, то отримані відрізки CD та АЕ дорівнюватимуть.

5. Рівними також виявляться і медіани, проведені з кутів при підставі.

Так, якщо АЕ і DC - медіани, тобто AD \u003d DB, а BE \u003d EC, то АЕ \u003d DC.

Висота рівнобедреного трикутника

Рівність бічних сторін і кутів при них привносить деякі особливості в обчислення довжин елементів розглянутої фігури.

Висота в трикутник ділить фігуру на 2 симетричних прямокутних трикутника, гіпотенуза у яких виступають бічні сторони. Висота в такому випадку визначається відповідно до теореми Піфагора, як катет.

У трикутника можуть бути рівними всі три сторони, тоді він буде називатися рівностороннім. Висота в рівносторонньому трикутнику визначається аналогічно, тільки для розрахунків достатньо знати лише одне значення - довжину сторони цього трикутника.

Можна визначити висоту і іншим шляхом, наприклад знаючи підставу і прилеглий до нього кут.

Медіана рівнобедреного трикутника

Розглянутий тип трикутника, завдяки геометричним особливостям, вирішується досить просто по мінімальному набору вихідних даних. Так як медіана в трикутник дорівнює і його висоті, і його бісектрисі, то алгоритм її визначення нічим не відрізняється від порядку обчислення даних елементів.

Наприклад, визначити довжину медіани можна по відомій боковій частині і величиною кута при вершині.

Як визначити периметр

Так як у розглянутій планіметричний фігури дві сторони завжди рівні, то для визначення периметра досить знати довжину підстави і довжину однієї зі сторін.

Розглянемо приклад, коли потрібно визначити периметр трикутника за відомими основи і висоті.

Периметр дорівнює сумі підстави і подвоєною довжини бічної сторони. Бічна сторона, в свою чергу, визначається за допомогою теореми Піфагора як гіпотенуза прямокутного трикутника. Довжина її дорівнює кореню квадратному із суми квадрата висоти і квадрата половини підстави.

Площа рівнобедреного трикутника

Не викликає, як правило, труднощів і обчислення площі рівнобедреного трикутника. Універсальне правило визначення площі трикутника як половини твори підстави на його висоту можна застосувати, звичайно ж, і в нашому випадку. Однак властивості рівнобедреного трикутника знову полегшують завдання.

Припустимо, що відомі висота і кут, прилегла до основи. Необхідно визначити площу фігури. Зробити це можна таким способом.

Так як сума кутів будь-якого трикутника дорівнює 180 °, то визначити величину кута не складе труднощів. Далі, скориставшись пропорцією, складеної відповідно до теореми синусів, визначається довжина підстави трикутника. Все, підстава та висота - достатні дані для визначення площі - є.

Інші властивості рівнобедреного трикутника

Положення центру кола, описаного навколо рівнобедреного трикутника, залежить від величини кута вершини. Так, якщо трикутник гострокутний, центр кола розташовується всередині фігури.

Центр кола, яка описана навколо тупоугольного рівнобедреного трикутника, лежить поза ним. І, нарешті, якщо величина кута при вершині дорівнює 90 °, центр лежить рівно на середині підстави, а через саму основу проходить діаметр окружності.

Для того щоб визначити радіус кола, описаного навколо рівнобедреного трикутника, досить розділити довжину бічної сторони на подвоєний косинус половини величини кута при вершині.

Серед всіх трикутників є два особливих види: прямокутні трикутники і трикутник. Чим же ці види трикутників такі вже особливі? Ну, по-перше, такі трикутники надзвичайно часто виявляються головними дійовими «особами» завдань ЄДІ першої частини. А по-друге, завдання про прямокутні і трикутник вирішуються набагато легше, ніж інші завдання з геометрії. Потрібно всього лише знати кілька правил і властивостей. Все найцікавіше про прямокутних трикутниках обговорюється в, а зараз розглянемо трикутник. І перш за все, що ж таке - трикутник. Або, як кажуть математики, яке визначення рівнобедреного трикутника?

Подивися, як це виглядає:

Як і у прямокутного трикутника, у рівнобедреного трикутника є спеціальні назви для сторін. Дві рівні сторони називаються бічними сторонами, А третя сторона - підставою.

І знову увагу на картинку:

Може бути, звичайно, і так:

Так що будь уважним: бічна сторона - одна з двох рівних сторін в трикутник, а підстава - третя сторона.

Чим же так вже й хороший трикутник? Щоб це зрозуміти, давай проведемо висоту до основи. Ти пам'ятаєш, що таке висота?

Що ж вийшло? З одного рівнобедреного трикутника вийшло два прямокутних.

Це вже добре, але так вийде в будь-якому, самому «кособедренном» трикутнику.

Чим же відрізняється картинка для рівнобедреного трикутника? Дивись ще раз:

Ну, по-перше, звичайно, цим дивним математикам мало просто бачити - потрібно неодмінно доводити. А то раптом ці трикутники трохи різні, а ми вважатимемо їх однаковими.

Але не переживай: в даному випадку доводити майже так само просто, як і бачити.

Почнемо? Подивися уважно, у нас є:

І, значить,! Чому? Так ми просто знайдемо і, і з теореми Піфагора (пам'ятаючи ще при цьому, що)

Переконалися? Ну ось, тепер у нас

А вже за трьома сторонам - найлегший (третій) ознака рівності трикутників.

Ну ось, наш трикутник розділився на два однакових прямокутних.

Бачиш, як цікаво? Вийшло, що:

Як же про це прийнято говорити у математиків? Давай по порядку:

(Згадуємо тут, що медіана - лінія, проведена з вершини, яка ділить сторону навпіл, а бісектриса - кут.)

Ну ось, тут ми обговорили, що хорошого можна побачити, якщо дано трикутник. Ми вивели, що у рівнобедреного трикутника кути при основі рівні, а висота, бісектриса і медіана, проведені до основи, збігаються.

І тепер виникає інше питання: а як дізнатися трикутник? Тобто, як кажуть математики, які ознаки рівнобедреного трикутника?

І виявляється, що потрібно просто «перевернути» все висловлювання навпаки. Так, звичайно, не завжди буває, але трикутник все-таки відмінна штука! Що ж вийде після «перевертання»?

Ну ось дивись:
Якщо збігаються висота і медіана, то:

Якщо збігаються висота і бісектриса, то:


Якщо збігаються бісектриса і медіана, то:

Ну ось, не забувай і користуйся:

• Якщо дан рівнобедрений трикутний трикутник, сміливо проводь висоту, отримуй два прямокутних трикутника і вирішуй завдання вже про прямокутний трикутник.
• Якщо дано, що два кути рівні, То трикутник точно рівнобедрений і можна проводити висоту і .... (Будинок, який побудував Джек ...).
• Якщо виявилося, що висота розділена сторону навпіл, то трикутник - рівнобедрений з усіма наслідками, що випливають бонусами.
• Якщо виявилося, що висота розділила кут полам - теж рівнобедрений!
• Якщо бісектриса поділила сторону навпіл або медіана - кут, то це теж буває тільки в трикутник

Давай подивимося, як виглядає в задачах.

завдання 1(Найпростіша)

У трикутнику сторони і рівні, а. Знайти.

вирішуємо:

Спочатку малюнок.

Що тут - підстава? Звісно, \u200b\u200b.

Згадуємо, що якщо, то і.

Оновлений малюнок:

Позначимо за. Чому там дорівнює сума кутів трикутника? ?

користуємося:

От і відповідь: .

Нескладно, правда? Навіть висоту проводити не довелося.

завдання 2 (Теж не дуже хитра, але потрібно повторити тему)

У трикутнику,. Знайти.

вирішуємо:

Трикутник-то - рівнобедрений! Проводимо висоту (це і є фокус, за допомогою якого зараз все вирішиться).

Тепер «викреслюємо з життя», розглянемо тільки.

Отже, в маємо:

Згадуємо табличное значення косинусів (ну, або дивимося в шпаргалку ...)

Залишилося знайти:.

відповідь: .

Зауважимо, що нам тут дуже потрібні були знання, що стосуються прямокутного трикутника і «табличних» синусів і косинусів. Дуже часто так і буває: теми, «Рівнобедрений трикутник» і в завданнях ходять в зв'язках, а з іншими темами не дуже дружать.

Рівнобедрений трикутник. Середній рівень.

ці дві рівні сторони називаються бічними сторонами, а третя сторона - підстава рівнобедреного трикутника.

Подивися на малюнок: і - бічні сторони, - підстава рівнобедреного трикутника.

Давай на одному малюнку зрозуміємо, чому так виходить. Проведемо з точки висоту.

Значить, у них рівні всі відповідні елементи.

Усе! Одним махом (висотою) довели відразу всі твердження.

І ти запам'ятай: щоб вирішити завдання про трикутник часто буває дуже корисно опустити висоту на підставу рівнобедреного трикутника і розділити його на два рівних прямокутних трикутника.

Ознаки рівнобедреного трикутника

Вірні і зворотні твердження:

Майже всі з цих тверджень знову можна довести «одним махом».

1. Отже, нехай в виявилися рівні і.

Проведемо висоту. тоді

2. a) Тепер нехай в якомусь трикутнику збігаються висота і бісектриса.

2. б) А якщо збігаються висота і медіана? Все майже так само, нітрохи не складніше!

- по двом катетам

2. в) А ось якщо немає висоти, Яка опущена на основу рівнобедреного трикутника, то немає і ніяких спочатку прямокутних трикутників. Погано!

Але вихід є - читай його в наступному рівні теорії, оскільки тут доказ складніше, а поки просто запам'ятай, що якщо медіана і бісектриса збіглися, то трикутник теж виявиться рівнобедреним, і висота все-таки теж співпаде з цими биссектрисой і медіаною.

Підсумуємо:

1. Якщо трикутник рівнобедрений, то кути при основі рівні, і висота, бісектриса і медіана, проведені до основи, збігаються.
2. Якщо в якомусь трикутнику знайдуться два рівних кута, або якісь дві з трьох ліній (бісектриса, медіана, висота) співпадуть, то такий трикутник - рівнобедрений.

Рівнобедрений трикутник. Короткий опис і основні формули

Трикутник - трикутник, у якого є дві рівні сторони.

Ознаки рівнобедреного трикутника:

1. Якщо в деякому трикутнику два кути рівні, то він - рівнобедрений.
2. Якщо в деякому трикутнику співпадають:
   а) висота і бісектриса або
   б) висота і медіана або
   в) медіана і бісектриса,
   проведені до однієї сторони, то такий трикутник - рівнобедрений.

В якому дві сторони рівні між собою по довжині. Бічними називаються рівні сторони, а остання нерівна їм сторона - підставою. За визначенням, правильний трикутник також є рівнобедреним, але зворотне твердження не так.

Термінологія

Якщо трикутник має дві рівні сторони, то ці сторони називаються бічними сторонами, а третя сторона - підставою. Кут, утворений бічними сторонами, називається вершинним кутом, А кути, однією зі сторін яких є підстава, називаються кутами при підставі.

властивості

• Кути, протилежні рівним сторонам рівнобедреного трикутника, рівні між собою. Також рівні бісектриси, медіани і висоти, проведені з цих кутів.
• Бісектриса, медіана, висота і серединний перпендикуляр, проведені до основи, збігаються між собою. Центри вписаного і описаного кіл лежать на цій лінії.

нехай a - довжина двох рівних сторін рівнобедреного трикутника, b - довжина третьої сторони, h - висота рівнобедреного трикутника

• $a\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; frac\; b\; (2\; \backslash \backslash \; cos\; \backslash \backslash \; alpha)$ (Наслідок теореми косинусів);
• $b\; \backslash u003d\; a\; \backslash \backslash \; sqrt\; (2\; (1\; -\; \backslash \backslash \; cos\; \backslash \backslash \; beta))$ (Наслідок теореми косинусів);
• $b\; \backslash u003d\; 2a\; \backslash \backslash \; sin\; \backslash \backslash \; frac\; \backslash \backslash \; beta\; 2$;
• $b\; \backslash u003d\; 2a\; \backslash \backslash \; cos\; \backslash \backslash \; alpha$ (Теорема про проекціях)

Радіус вписаного кола може бути виражений шістьма способами в залежності від того, які два параметри рівнобедреного трикутника відомі:

• $r\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; frac\; b2\; \backslash \backslash \; sqrt\; (\backslash \backslash \; frac\; (2a-b)\; (2a\; +\; b))$
• $r\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; frac\; (bh)\; (b\; +\; \backslash \backslash \; sqrt\; (4h\; ^\; 2\; +\; b\; ^\; 2))$
• $r\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; frac\; (h)\; (1+\; \backslash \backslash \; frac\; (a)\; (\backslash \backslash \; sqrt\; (a\; ^\; 2-h\; ^\; 2)))$
• $r\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; frac\; b2\; \backslash \backslash \; operatorname\; (tg)\; \backslash \backslash \; left\; (\backslash \backslash \; frac\; (\backslash \backslash \; alpha)\; (2)\; \backslash \backslash \; right)$
• $r\; \backslash u003d\; a\; \backslash \backslash \; cdot\; \backslash \backslash \; cos\; (\backslash \backslash \; alpha)\; \backslash \backslash \; cdot\; \backslash \backslash \; operatorname\; (tg)\; \backslash \backslash \; left\; (\backslash \backslash \; frac\; (\backslash \backslash \; alpha)\; (2)\; \backslash \backslash \; right)$

кути можуть бути виражені наступними способами:

• $\backslash \backslash \; Alpha\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; frac\; (\backslash \backslash \; pi\; -\; \backslash \backslash \; beta)\; 2;$
• $\backslash \backslash \; Beta\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; pi\; -\; 2\; \backslash \backslash \; alpha;$
• $\backslash \backslash \; Alpha\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; arcsin\; \backslash \backslash \; frac\; a\; (2R),\; \backslash \backslash \; beta\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; arcsin\; \backslash \backslash \; frac\; b\; (2R)$ (Теорема синусів).
• Кут може також знайдений без $(\backslash \backslash \; Pi)$ і $R$. Трикутник ділиться медіаною навпіл, і в отриманих двох рівних прямокутних трикутниках обчислюється кути:

$y\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; cos\; \backslash \backslash \; alpha\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; frac\; (b)\; (c),\; \backslash \backslash \; arccos\; y\; \backslash u003d\; x$

периметр рівнобедреного трикутника знаходиться наступним чином:

• $P\; \backslash u003d\; 2a\; +\; b$ (за визначенням);
• $P\; \backslash u003d\; 2R\; (2\; \backslash \backslash \; sin\; \backslash \backslash \; alpha\; +\; \backslash \backslash \; sin\; \backslash \backslash \; beta)$ (Наслідок теореми синусів).

Площа трикутника знаходиться наступним чином:

$S\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; frac\; 1\; 2bh;$

$S\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; frac\; 1\; 2\; a\; ^\; 2\; \backslash \backslash \; sin\; \backslash \backslash \; beta\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; frac\; 1\; 2\; ab\; \backslash \backslash \; sin\; \backslash \backslash \; alpha\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; frac\; (b\; ^\; 2)\; (4\; \backslash \backslash \; tan\; \backslash \backslash \; frac\; \backslash \backslash \; beta\; 2);$ $S\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; frac\; 1\; 2\; b\; \backslash \backslash \; sqrt\; (\backslash \backslash \; left\; (a\; +\; \backslash \backslash \; frac\; 1\; 2\; b\; \backslash \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; left\; (a\; -\; \backslash \backslash \; frac\; 1\; 2\; b\; \backslash \backslash \; right));$ $S\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; frac\; 2\; 1\; a\; \backslash \backslash \; sqrt\; \backslash \backslash \; beta\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; frac\; 2\; 1\; ab\; \backslash \backslash \; cos\; \backslash \backslash \; alpha\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; frac\; (b\; ^\; 1)\; (2\; \backslash \backslash \; sin\; \backslash \backslash \; frac\; \backslash \backslash \; beta\; 1);$

Дивись також

Напишіть відгук про статтю "Рівнобедрений трикутник"

Примітки

Уривок, що характеризує Рівнобедрений трикутник

На Марію Дмитрівну, хоча і боялися її, дивилися в Петербурзі як на вертушку і тому з слів, сказаних нею, помітили тільки грубе слово і пошепки повторювали його один одному, припускаючи, що в цьому слові полягала вся сіль сказаного.
Князь Василь, останнім часом особливо часто забувають те, що він говорив, і повторював по сотні разів одне і те ж, говорив щоразу, коли йому траплялося бачити свою дочку.
- Helene, j "ai un mot a vous dire, - говорив він їй, відводячи її в сторону і смикаючи вниз за руку. - J" ai eu vent de certains projets relatifs a ... Vous savez. Eh bien, ma chere enfant, vous savez que mon c? Ur de pere se rejouit do vous savoir ... Vous avez tant souffert ... Mais, chere enfant ... ne consultez que votre c? Ur. C "est tout ce que je vous dis. [Елен, мені треба тобі дещо сказати. Я почув про деякі види щодо ... ти знаєш. Ну так, миле дитя моє, ти знаєш, що серце батька твого радіє тому, що ти ... ти стільки терпіла ... Але, миле дитя ... Роби, як велить тобі серце. Ось весь мій рада.] - і, приховуючи завжди однакове хвилювання, він притискав свою щоку до щоки дочки і відходив.
Білібін, що не втратив репутації геніальну людину і колишній безкорисливим другом Елен, одним з тих друзів, які бувають завжди у блискучих жінок, друзів чоловіків, ніколи не можуть перейти в роль закоханих, Билибин одного разу в petit comite [маленькому інтимному гуртку] висловив своєму другові Елен погляд свій на всю цю справу.
- Ecoutez, Bilibine (Елен таких друзів, як Білібін, завжди називала на прізвище), - і вона доторкнулася своєю білою в кільцях рукою до рукава його фрака. - Dites moi comme vous diriez a une s? Ur, que dois je faire? Lequel des deux? [Послухайте, Билибин: скажіть мені, як би сказали ви сестрі, що мені робити? Якого з двох?]
Билибин зібрав шкіру над бровами і з посмішкою на губах задумався.
- Vous ne me prenez pas en расплох, vous savez, - сказав він. - Comme veritable ami j "ai pense et repense a votre affaire. Voyez vous. Si vous epousez le prince (це був молодий чоловік), - він загнув палець, - vous perdez pour toujours la chance d" epouser l "autre, et puis vous mecontentez la Cour. (Comme vous savez, il ya une espece de parente.) Mais si vous epousez le vieux comte, vous faites le bonheur de ses derniers jours, et puis comme veuve du grand ... le prince ne fait plus de mesalliance en vous epousant, [ви мене не захопіть зненацька, ви знаєте. Як справжній друг, я довго обдумував ваша справа. Ось бачите: якщо вийти за принца, то ви назавжди втрачаєте можливості бути за жінку для іншого, до того ж двір буде незадоволений. (ви знаєте, адже тут замішано спорідненість.) А якщо вийти за старого графа, то ви складете щастя останніх днів його, і потім ... принцу вже не буде принизливо одружитися на вдові вельможі.] - і Билибин розпустив шкіру.
- Voila un veritable ami! - сказала просіяли Елен, ще раз дотрогіваясь рукою до рукава Білібіпа. - Mais c "est que j" aime l "un et l" autre, je ne voudrais pas leur faire de chagrin. Je donnerais ma vie pour leur bonheur a tous deux, [Ось справжній друг! Але ж я люблю того і іншого і не хотіла б засмучувати нікого. Для щастя обох я готова б пожертвувати життям.] - сказала вона.
Билибин знизав плечима, висловлюючи, що такого горя навіть і він підсобити вже не може.
«Une maitresse femme! Voila ce qui s "appelle poser carrement la question. Elle voudrait epouser tous les trois a la fois», [ «Молодець жінка! Ось що називається твердо поставити питання. Вона хотіла б бути жінкою всіх трьох в один і той же час».] - подумав Билибин.

Трикутник, у якого дві сторони рівні між собою, називається рівнобедреним. Ці його боку називають бічними, а третю сторону називають підставою. У цій статті ми розповімо Вам про те, які бувають властивості рівнобедреного трикутника.

теорема 1

Кути біля основи рівнобедреного трикутника рівні між собою

Доказ теореми.

Припустимо, ми маємо трикутник ABC, основа якого AB. Давайте розглянемо трикутник BAC. Ці трикутники, за першою ознакою, рівні між собою. Так і є, адже BC \u003d AC, AC \u003d BC, кут ACB \u003d кутку ACB. Звідси випливає, що кут BAC \u003d кутку ABC, адже це відповідні кути наших рівних між собою трикутників. Ось Вам і властивість кутів рівнобедреного трикутника.

теорема 2

Медіана в трикутник, яку провели до його основи, є також висотою і бісектрисою

Доказ теореми.

Припустимо, ми маємо трикутник ABC, основа якого AB, а CD - це медіана, яку ми провели до його основи. У трикутниках ACD і BCD кут CAD \u003d кутку CBD, як відповідні кути при основі рівнобедреного трикутника (Теоремі 1). А сторона AC \u003d стороні BC (за визначенням рівнобедреного трикутника). Сторона AD \u003d стороні BD, Адже точка D ділить відрізок AB на рівні частини. Звідси виходить, що трикутник ACD \u003d трикутнику BCD.

З рівності цих трикутників ми маємо рівність відповідних кутів. Тобто кут ACD \u003d кутку BCD і кут ADC \u003d кутку BDC. З рівності 1 виходить, що CD - це бісектриса. А кут ADC і кут BDC - суміжні кути, і з рівності 2 виходить, що вони обидва прямі. Виходить, що CD - це висота трикутника. Це і є властивість медіани рівнобедреного трикутника.

А тепер трохи про ознаки рівнобедреного трикутника.

теорема 3

Якщо в трикутнику два кути рівні між собою, то такий трикутник рівнобедрений

Доказ теореми.

Припустимо, ми маємо трикутник ABC, в якому кут CAB \u003d кутку CBA. Трикутник ABC \u003d трикутнику BAC за другою ознакою рівності між трикутниками. Так і є, адже AB \u003d BA; кут CBA \u003d кутку CAB, кут CAB \u003d кутку CBA. З такої рівності трикутників ми маємо рівність відповідних сторін трикутника - AC \u003d BC. Тоді виходить, що трикутник ABC рівнобедрений.

теорема 4

Якщо в будь-якому трикутнику його медіана є також і його висотою, то такий трикутник рівнобедрений

Доказ теореми.

У трикутнику ABC ми проведемо медіану CD. Вона також буде і висотою. Прямокутний трикутник ACD \u003d прямокутного трикутника BCD, так як катет CD загальний для них, а катет AD \u003d катету BD. З цього випливає, що їх гіпотенузи рівні між собою, як відповідні частини рівних трикутників. Це означає, що AB \u003d BC.

теорема 5

Якщо три сторони трикутника рівні трьом сторонам другого трикутника, то ці трикутники рівні

Доказ теореми.

Припустимо, ми маємо трикутник ABC і трикутник A1B1C1 такі, в яких сторони AB \u003d A1B1, AC \u003d A1C1, BC \u003d B1C1. Розглянемо доказ цієї теореми від противного.

Припустимо, що ці трикутники не рівні між собою. Звідси маємо, що кут BAC НЕ дорівнює куту B1A1C1, кут ABC НЕ дорівнює куту A1B1C1, кут ACB НЕ дорівнює куту A1C1B1 одночасно. В іншому випадку, ці трикутники були б рівні по вищерозглянутого ознакою.

Припустимо, що трикутник A1B1C2 \u003d трикутнику ABC. У трикутника вершина C2 лежить з вершиною C1 щодо прямої A1B1 в одній півплощині. Ми припустили, що вершини C2 і C1 не збігаються. Припустимо, що точка D - це середина відрізка C1C2. Так ми маємо трикутник B1C1C2 і A1C1C2, у яких є загальне підставу C1C2. Виходить, що їх медіани B1D і A1D - це також і їх висоти. А це означає, що пряма B1D і пряма A1D перпендикулярні прямий C1C2.

B1D і A1D мають різні точки B1 і A1, і відповідно, не можуть збігатися. Але ж через точку D прямий C1C2 ми можемо провести всього одну перпендикулярну їй пряму. У нас вийшло протиріччя.

Тепер Ви знаєте, які бувають властивості рівнобедреного трикутника!