Tento článok hovorí o téme « vzdialenosť od bodu k čiare », definície vzdialenosti od bodu k priamke sú uvažované s ilustrovanými príkladmi metódou súradníc. Každý blok teórie na konci ukázal príklady riešenia podobných problémov.

Vzdialenosť od bodu k priamke sa zistí určením vzdialenosti od bodu k bodu. Uvažujme podrobnejšie.

Nech existuje priamka a a bod M 1 nepatriaci do danej priamky. Nakreslite cez ňu čiaru umiestnenú kolmo na čiaru a. Vezmite priesečník čiar ako H1. Dostaneme, že M 1 H 1 je kolmica, ktorá bola znížená z bodu M 1 na priamku a.

Definícia 1

Vzdialenosť od bodu M 1 k priamke a nazývaná vzdialenosť medzi bodmi M 1 a H 1 .

Existujú záznamy o definícii s údajom o dĺžke kolmice.

Definícia 2

Vzdialenosť od bodu k čiare je dĺžka kolmice vedenej z daného bodu k danej priamke.

Definície sú ekvivalentné. Zvážte obrázok nižšie.

Je známe, že vzdialenosť od bodu k priamke je najmenšia zo všetkých možných. Pozrime sa na to na príklade.

Ak vezmeme bod Q ležiaci na priamke a, ktorý sa nezhoduje s bodom M 1, potom dostaneme, že úsečka M 1 Q sa nazýva šikmá, znížená z M 1 na priamku a. Je potrebné uviesť, že kolmica z bodu M 1 je menšia ako akákoľvek iná šikmá rovina vedená z bodu k priamke.

Aby sme to dokázali, uvažujme trojuholník M 1 Q 1 H 1 , kde M 1 Q 1 je prepona. Je známe, že jeho dĺžka je vždy väčšia ako dĺžka ktorejkoľvek z nôh. Máme teda M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Počiatočné údaje na nájdenie z bodu do priamky umožňujú použiť niekoľko metód riešenia: prostredníctvom Pytagorovej vety, definície sínusu, kosínusu, tangensu uhla a iné. Väčšina úloh tohto typu sa rieši v škole na hodinách geometrie.

Keď pri zisťovaní vzdialenosti od bodu k čiare môžete zadať pravouhlý súradnicový systém, použije sa metóda súradníc. V tomto odseku uvažujeme o dvoch hlavných metódach na nájdenie požadovanej vzdialenosti od daného bodu.

Prvá metóda zahŕňa nájdenie vzdialenosti ako kolmice vedenej z M 1 k priamke a. Druhá metóda používa normálnu rovnicu priamky a na nájdenie požadovanej vzdialenosti.

Ak sa v rovine nachádza bod so súradnicami M 1 (x 1, y 1) umiestnený v pravouhlom súradnicovom systéme, priamke a a potrebujete nájsť vzdialenosť M 1 H 1, môžete vypočítať dvoma spôsobmi. Zvážme ich.

Prvý spôsob

Ak sú súradnice bodu H 1 rovné x 2, y 2, tak vzdialenosť od bodu k priamke sa vypočíta zo súradníc zo vzorca M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Teraz prejdime k hľadaniu súradníc bodu H 1.

Je známe, že priamka v O x y zodpovedá rovnici priamky v rovine. Zoberme si spôsob, ako definovať priamku a prostredníctvom napísania všeobecnej rovnice priamky alebo rovnice so sklonom. Zostavíme rovnicu priamky, ktorá prechádza bodom M 1 kolmým na danú priamku a. Riadok označme bukom b . H 1 je priesečník priamok a a b, takže na určenie súradníc musíte použiť článok, ktorý sa zaoberá súradnicami priesečníkov dvoch priamok.

Je vidieť, že algoritmus na nájdenie vzdialenosti od daného bodu M 1 (x 1, y 1) k priamke a sa vykonáva podľa bodov:

Definícia 3

• nájdenie všeobecnej rovnice priamky a, ktorá má tvar A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0, alebo rovnice s koeficientom sklonu, ktorá má tvar y \u003d k 1 x + b 1;
• získanie všeobecnej rovnice priamky b, ktorá má tvar A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 alebo rovnicu so sklonom y \u003d k 2 x + b 2, ak priamka b pretína bod M 1 a je kolmá na danú priamku a;
• určenie súradníc x 2, y 2 bodu H 1, ktorý je priesečníkom a a b, na to sa rieši sústava lineárnych rovníc A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B2y + C2 = 0 alebo y = k1 x + b1 y = k2 x + b2;
• výpočet požadovanej vzdialenosti od bodu k priamke pomocou vzorca M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Druhý spôsob

Veta môže pomôcť odpovedať na otázku, ako nájsť vzdialenosť od daného bodu k danej priamke v rovine.

Veta

Pravouhlý súradnicový systém má O x y má bod M 1 (x 1, y 1), z ktorého je nakreslená priamka a do roviny, danej normálovou rovnicou roviny, v tvare cos α x + cos β y - p \u003d 0, rovná sa modulo hodnote získanej na ľavej strane rovnice normálnej priamky, vypočítanej pri x = x 1, y = y 1, znamená, že M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - str.

Dôkaz

Priamka a zodpovedá normálnej rovnici roviny, ktorá má tvar cos α x + cos β y - p = 0, potom n → = (cos α , cos β) sa považuje za normálový vektor priamky a v bode a vzdialenosť od začiatku k priamke a s jednotkami p . Je potrebné znázorniť všetky údaje na obrázku, pridať bod so súradnicami M 1 (x 1, y 1) , kde je polomerový vektor bodu M 1 - O M 1 → = (x 1 , y 1) . Z bodu do priamky je potrebné viesť priamku, ktorú označíme M 1 H 1 . Je potrebné znázorniť priemety M 2 a H 2 bodov M 1 a H 2 na priamku prechádzajúcu bodom O so smerovacím vektorom v tvare n → = (cos α , cos β) , a numerický priemet vektora budeme označovať ako O M 1 → = (x 1 , y 1) do smeru n → = (cos α , cos β) ako n p n → O M 1 → .

Variácie závisia od polohy samotného bodu M 1. Zvážte obrázok nižšie.

Výsledky fixujeme pomocou vzorca M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p . Potom privedieme rovnosť do tohto tvaru M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p, aby sme získali n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .

Výsledkom skalárneho súčinu vektorov je transformovaný vzorec v tvare n → , O M → 1 = n → n p n → O M 1 → = 1 n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , čo je súčin v súradnicovom tvare forma n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Dostaneme teda, že n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Z toho vyplýva, že M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p. Veta bola dokázaná.

Dostaneme, že na nájdenie vzdialenosti od bodu M 1 (x 1, y 1) k priamke a v rovine je potrebné vykonať niekoľko akcií:

Definícia 4

• získanie normálnej rovnice priamky a cos α · x + cos β · y - p = 0 za predpokladu, že to nie je v úlohe;
• výpočet výrazu cos α · x 1 + cos β · y 1 - p , kde výsledná hodnota nadobúda M 1 H 1 .

Aplikujme tieto metódy na riešenie problémov s hľadaním vzdialenosti od bodu k rovine.

Príklad 1

Nájdite vzdialenosť od bodu so súradnicami M 1 (- 1 , 2) k priamke 4 x - 3 y + 35 = 0 .

Riešenie

Na riešenie použijeme prvú metódu.

Aby ste to dosiahli, musíte nájsť všeobecnú rovnicu priamky b, ktorá prechádza daným bodom M 1 (- 1 , 2) kolmým na priamku 4 x - 3 y + 35 = 0. Z podmienky je vidieť, že priamka b je kolmá na priamku a, potom jej smerový vektor má súradnice rovné (4, - 3) . Máme teda možnosť napísať kanonickú rovnicu priamky b na rovinu, keďže tam sú súradnice bodu M 1, patrí priamke b. Určme súradnice smerového vektora priamky b . Dostaneme, že x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3 . Výslednú kanonickú rovnicu je potrebné previesť na všeobecnú. Potom to dostaneme

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 (x + 1) = 4 (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

Nájdite súradnice priesečníkov priamok, ktoré budeme brať ako označenie H 1. Transformácie vyzerajú takto:

4 x - 3 r + 35 = 0 3 x + 4 r - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 r. - 35 4 3 x + 4 r. - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 r. - 35 4 3 3 4 r. - 35 4 + 4 r - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 r - 35 4 r = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 4 r = 5 ⇔ x = - 5 r = 5

Z vyššie uvedeného máme, že súradnice bodu H 1 sú (- 5; 5) .

Je potrebné vypočítať vzdialenosť od bodu M 1 k priamke a. Máme, že súradnice bodov M 1 (- 1, 2) a H 1 (- 5, 5), potom dosadíme do vzorca na zistenie vzdialenosti a dostaneme, že

M 1 H 1 \u003d (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 \u003d 25 \u003d 5

Druhé riešenie.

Na riešenie iným spôsobom je potrebné získať normálnu rovnicu priamky. Vypočítame hodnotu normalizačného faktora a vynásobíme obe strany rovnice 4 x - 3 y + 35 = 0 . Odtiaľto dostaneme, že normalizačný faktor je - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5 a normálna rovnica bude mať tvar - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

Podľa výpočtového algoritmu je potrebné získať normálnu rovnicu priamky a vypočítať ju s hodnotami x = - 1, y = 2. Potom to dostaneme

4 5 - 1 + 3 5 2 - 7 = - 5

Odtiaľto dostaneme, že vzdialenosť od bodu M 1 (- 1 , 2) k danej priamke 4 x - 3 y + 35 = 0 má hodnotu - 5 = 5 .

odpoveď: 5 .

Je vidieť, že pri tejto metóde je dôležité použiť normálnu rovnicu priamky, keďže táto metóda je najkratšia. Ale prvá metóda je vhodná v tom, že je konzistentná a logická, hoci má viac výpočtových bodov.

Príklad 2

Na rovine je pravouhlý súradnicový systém O x y s bodom M 1 (8, 0) a priamkou y = 1 2 x + 1. Nájdite vzdialenosť od daného bodu k priamke.

Riešenie

Riešenie prvým spôsobom znamená redukciu danej rovnice so sklonovým koeficientom na všeobecnú rovnicu. Pre zjednodušenie to môžete urobiť inak.

Ak je súčin sklonov kolmých priamok -1, potom sklon priamky kolmej na dané y = 1 2 x + 1 je 2 . Teraz dostaneme rovnicu priamky prechádzajúcej bodom so súradnicami M 1 (8, 0) . Máme, že y - 0 = - 2 (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

Pokračujeme v hľadaní súradníc bodu H 1, to znamená priesečníkov y \u003d - 2 x + 16 a y \u003d 1 2 x + 1. Zostavíme sústavu rovníc a dostaneme:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 6 + 1 x \u003d 6 \u003d y \u003d 4 x \u003d 6 ⇒ H 1 (6, 4)

Z toho vyplýva, že vzdialenosť od bodu so súradnicami M 1 (8 , 0) k priamke y = 1 2 x + 1 sa rovná vzdialenosti od počiatočného a koncového bodu so súradnicami M 1 (8 , 0) a H. 1 (6, 4). Vypočítajme a získame, že M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5 .

Riešením druhým spôsobom je prejsť z rovnice s koeficientom do jej normálneho tvaru. To znamená, že dostaneme y \u003d 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 \u003d 0, potom hodnota normalizačného faktora bude - 1 1 2 2 + (- 1) 2 \u003d - 2 5 . Z toho vyplýva, že normálna rovnica priamky má tvar - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Počítajme z bodu M 1 8 , 0 po priamku v tvare - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Dostaneme:

M 1 H 1 \u003d - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 \u003d - 10 5 \u003d 2 5

odpoveď: 2 5 .

Príklad 3

Je potrebné vypočítať vzdialenosť od bodu so súradnicami M 1 (- 2 , 4) k priamkam 2 x - 3 = 0 a y + 1 = 0 .

Riešenie

Dostaneme rovnicu normálneho tvaru priamky 2 x - 3 = 0:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

Potom pristúpime k výpočtu vzdialenosti od bodu M 1 - 2, 4 k priamke x - 3 2 = 0. Dostaneme:

M1H1 = -2-32 = 312

Rovnica s priamkou y + 1 = 0 má normalizačný faktor s hodnotou -1. To znamená, že rovnica bude mať tvar - y-1 = 0. Pristúpime k výpočtu vzdialenosti od bodu M 1 (- 2 , 4) k priamke - y - 1 = 0 . Dostaneme, že sa rovná - 4 - 1 = 5.

odpoveď: 312 a 5.

Uvažujme podrobne o určení vzdialenosti od daného bodu roviny k súradnicovým osám O x a O y.

V pravouhlom súradnicovom systéme má os Oy rovnicu priamky, ktorá je neúplná a má tvar x \u003d 0 a O x - y \u003d 0. Rovnice sú normálne pre súradnicové osi, potom je potrebné nájsť vzdialenosť od bodu so súradnicami M 1 x 1 , y 1 k priamkam. Toto sa robí na základe vzorcov M1H1 = x 1 a M1H1 = y1. Zvážte obrázok nižšie.

Príklad 4

Nájdite vzdialenosť od bodu M 1 (6, - 7) k súradnicovým čiaram ležiacim v rovine O x y.

Riešenie

Keďže rovnica y \u003d 0 sa vzťahuje na čiaru O x, pomocou vzorca môžete nájsť vzdialenosť od M 1 s danými súradnicami k tejto čiare. Dostaneme, že 6 = 6.

Keďže rovnica x \u003d 0 sa vzťahuje na čiaru O y, vzdialenosť od M 1 k tejto čiare môžete nájsť pomocou vzorca. Potom dostaneme, že - 7 = 7 .

odpoveď: vzdialenosť od Mi po Ox má hodnotu 6 a od Mi po Oy má hodnotu 7.

Keď v trojrozmernom priestore máme bod so súradnicami M 1 (x 1, y 1, z 1), je potrebné nájsť vzdialenosť od bodu A k priamke a.

Zvážte dva spôsoby, ktoré vám umožňujú vypočítať vzdialenosť od bodu k priamke a umiestnenej v priestore. Prvý prípad uvažuje vzdialenosť od bodu M 1 k priamke, kde bod na priamke sa nazýva H 1 a je základňou kolmice vedenej z bodu M 1 k priamke a. Druhý prípad naznačuje, že body tejto roviny treba hľadať ako výšku rovnobežníka.

Prvý spôsob

Z definície máme, že vzdialenosť od bodu M 1 ležiaceho na priamke a je dĺžka kolmice M 1 H 1, potom dostaneme, že s nájdenými súradnicami bodu H 1 potom nájdeme vzdialenosť medzi M1 (x1, y1, z1) a H1 (x1, y1, z1) na základe vzorca M1H1 = x2 - x12 + y2 - y12 + z 2 - z 1 2 .

Dostaneme, že celé riešenie smeruje k nájdeniu súradníc základne kolmice vedenej z M 1 k priamke a. Robí sa to takto: H 1 je bod, kde sa priamka a pretína s rovinou, ktorá prechádza daným bodom.

To znamená, že algoritmus na určenie vzdialenosti od bodu M 1 (x 1, y 1, z 1) k priamke a priestoru zahŕňa niekoľko bodov:

Definícia 5

• zostavenie rovnice roviny χ ako rovnice roviny prechádzajúcej daným bodom kolmým na priamku;
• určenie súradníc (x 2 , y 2 , z 2) prislúchajúcich bodu H 1, ktorý je priesečníkom priamky a a roviny χ ;
• výpočet vzdialenosti od bodu k priamke pomocou vzorca M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

Druhý spôsob

Z podmienky máme priamku a, potom môžeme určiť smerový vektor a → = a x, a y, a z so súradnicami x 3, y 3, z 3 a určitým bodom M 3 patriacim priamke a. Vzhľadom na súradnice bodov M 1 (x 1 , y 1 ) a M 3 x 3 , y 3 , z 3 , M 3 M 1 → možno vypočítať:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

Je potrebné odložiť vektory a → \u003d a x, ay, az a M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 z bodu M 3, spojiť a získať obrazec rovnobežníka. M 1 H 1 je výška rovnobežníka.

Zvážte obrázok nižšie.

Máme, že výška M 1 H 1 je požadovaná vzdialenosť, potom ju musíte nájsť pomocou vzorca. To znamená, že hľadáme M 1 H 1 .

Označte plochu rovnobežníka písmenom S, nájdeme ho podľa vzorca pomocou vektora a → = (a x, ay, az) a M 3 M 1 → = x 1 - x 3 . y1-y3, z1-z3. Plošný vzorec má tvar S = a → × M 3 M 1 → . Tiež plocha obrázku sa rovná súčinu dĺžok jeho strán a výšky, dostaneme, že S \u003d a → M 1 H 1 s → \u003d a x 2 + a y 2 + a z 2, čo je dĺžka vektora a → \u003d (a x, a y, a z), ktorý sa rovná strane rovnobežníka. M 1 H 1 je teda vzdialenosť od bodu k priamke. Nájdeme ho podľa vzorca M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Ak chcete nájsť vzdialenosť od bodu so súradnicami M 1 (x 1, y 1, z 1) k priamke a v priestore, musíte vykonať niekoľko bodov algoritmu:

Definícia 6

• určenie smerového vektora priamky a - a → = (a x , a y , a z) ;
• výpočet dĺžky smerového vektora a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
• získanie súradníc x 3 , y 3 , z 3 prislúchajúcich bodu M 3 ležiacemu na priamke a;
• výpočet súradníc vektora M 3 M 1 → ;
• nájdenie krížového súčinu vektorov a → (a x, a y, a z) a M 3 M 1 → = x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 ako a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 na získanie dĺžky podľa vzorca a → × M 3 M 1 → ;
• výpočet vzdialenosti od bodu k priamke M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Riešenie úloh pri hľadaní vzdialenosti od daného bodu k danej priamke v priestore

Príklad 5

Nájdite vzdialenosť od bodu so súradnicami M 1 2 , - 4 , - 1 k priamke x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 .

Riešenie

Prvá metóda začína napísaním rovnice roviny χ prechádzajúcej cez M 1 a kolmej na daný bod. Dostaneme výraz ako:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Je potrebné nájsť súradnice bodu H 1, ktorý je priesečníkom s rovinou χ k priamke danej podmienkou. Je potrebné prejsť od kanonickej formy k pretínajúcej sa forme. Potom dostaneme sústavu rovníc v tvare:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 (x + 1) = 2 y 5 (x + 1) = 2 (z + 5) 5 y = - 1 (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Je potrebné vypočítať sústavu x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 Cramerovou metódou, potom dostaneme, že:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ 60 = 0

Máme teda H1 (1, - 1, 0).

M 1 H 1 \u003d 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 \u003d 11

Druhá metóda musí začať hľadaním súradníc v kanonickej rovnici. Aby ste to dosiahli, dávajte pozor na menovateľov zlomku. Potom a → = 2 , - 1 , 5 je smerový vektor priamky x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 . Je potrebné vypočítať dĺžku pomocou vzorca a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30.

Je jasné, že priamka x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 pretína bod M 3 (- 1 , 0 , - 5), teda vektor s počiatkom M 3 (- 1 , 0 , - 5) a jej koniec v bode M 1 2 , - 4 , - 1 je M 3 M 1 → = 3 , - 4 , 4 . Nájdite vektorový súčin a → = (2, - 1, 5) a M 3 M 1 → = (3, - 4, 4) .

Dostaneme vyjadrenie tvaru a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 j → = 16 i → + 7 j → - 5 k →

dostaneme, že dĺžka krížového súčinu je a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330 .

Máme všetky údaje na použitie vzorca na výpočet vzdialenosti od bodu pre priamku, takže ho použijeme a dostaneme:

M1H1 = a → × M3 M1 → a → = 330 30 = 11

odpoveď: 11 .

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Schopnosť nájsť vzdialenosť medzi rôznymi geometrickými objektmi je dôležitá pri výpočte plochy figúr a ich objemov. V tomto článku sa budeme zaoberať otázkou, ako nájsť vzdialenosť od bodu k priamke v priestore a v rovine.

Matematický popis priamky

Aby ste pochopili, ako nájsť vzdialenosť od bodu k čiare, mali by ste sa zaoberať otázkou matematickej špecifikácie týchto geometrických objektov.

Všetko je jednoduché s bodom, popisuje to množina súradníc, ktorých počet zodpovedá rozmeru priestoru. Napríklad v rovine sú to dve súradnice, v trojrozmernom priestore - tri.

Čo sa týka jednorozmerného objektu – priamky, na jej popis sa používa niekoľko typov rovníc. Uvažujme len o dvoch z nich.

Prvý typ sa nazýva vektorová rovnica. Nižšie sú uvedené výrazy pre čiary v trojrozmernom a dvojrozmernom priestore:

(x; y; z) = (xo; yo; zo) + a x (a; b; c);

(x; y) = (x 0; y 0) + α × (a; b)

V týchto výrazoch súradnice s nulovými indexmi opisujú bod, cez ktorý daná čiara prechádza, množina súradníc (a; b; c) a (a; b) sú takzvané smerové vektory pre zodpovedajúcu čiaru, α je a parameter, ktorý môže nadobudnúť akúkoľvek skutočnú hodnotu.

Vektorová rovnica je vhodná v tom zmysle, že explicitne obsahuje smerový vektor priamky, ktorej súradnice možno použiť pri riešení úloh rovnobežnosti alebo kolmosti rôznych geometrických objektov, napríklad dvoch priamok.

Druhý typ rovnice, ktorý budeme uvažovať pre priamku, sa nazýva všeobecný. Vo vesmíre je tento tvar daný všeobecnými rovnicami dvoch rovín. V lietadle má nasledujúcu podobu:

A × x + B × y + C = 0

Keď sa vykonáva vykresľovanie, často sa zapisuje ako závislosť na x / y, to znamená:

y = -A / B × x + (-C / B)

Voľný člen -C / B tu zodpovedá súradnici priesečníka čiary s osou y a koeficient -A / B súvisí s uhlom čiary k osi x.

Pojem vzdialenosti medzi čiarou a bodom

Po vysporiadaní sa s rovnicami môžete priamo prejsť k odpovedi na otázku, ako nájsť vzdialenosť od bodu k priamke. V 7. ročníku školy začínajú zvažovať túto problematiku stanovením vhodnej hodnoty.

Vzdialenosť medzi čiarou a bodom je dĺžka úsečky kolmej na túto čiaru, ktorá je vynechaná z uvažovaného bodu. Na obrázku nižšie je čiara r a bod A. Modrá čiara znázorňuje úsečku kolmú na čiaru r. Jeho dĺžka je požadovaná vzdialenosť.

Je tu znázornený 2D prípad, avšak táto definícia vzdialenosti platí aj pre 3D problém.

Požadované vzorce

V závislosti od tvaru, akým je rovnica priamky napísaná a v akom priestore sa problém rieši, možno dať dva základné vzorce, ktoré odpovedajú na otázku, ako zistiť vzdialenosť medzi priamkou a bodom.

Známy bod označíme symbolom P 2 . Ak je rovnica priamky daná vo vektorovej forme, potom pre vzdialenosť d medzi uvažovanými objektmi platí vzorec:

d = || / |v¯|

To znamená, že na určenie d je potrebné vypočítať modul vektorového súčinu priameho vektora v¯ a vektora P 1 P 2 ¯, ktorých začiatok leží v ľubovoľnom bode P 1 na priamke a koniec je v bode P 2 potom vydeľte tento modul dĺžkou v ¯. Tento vzorec je univerzálny pre plochý a trojrozmerný priestor.

Ak sa problém uvažuje v rovine v súradnicovom systéme xy a rovnica priamky je uvedená vo všeobecnom tvare, nasledujúci vzorec vám umožňuje nájsť vzdialenosť od priamky k bodu takto:

Priama čiara: A × x + B × y + C = 0;

Bod: P2 (x 2; y2; z 2);

Vzdialenosť: d = |A × x 2 + B × y 2 + C| / √(A 2 + B 2)

Vyššie uvedený vzorec je pomerne jednoduchý, ale jeho použitie je obmedzené podmienkami uvedenými vyššie.

Súradnice priemetu bodu na priamku a vzdialenosť

Na otázku, ako nájsť vzdialenosť od bodu k priamke, môžete odpovedať aj iným spôsobom, ktorý nezahŕňa zapamätanie si vyššie uvedených vzorcov. Táto metóda spočíva v určení bodu na priamke, ktorá je priemetom pôvodného bodu.

Predpokladajme, že existuje bod M a priamka r. Priemet bodu M na r zodpovedá nejakému bodu M 1 . Vzdialenosť od M do r sa rovná dĺžke vektora MM 1 ¯.

Ako nájsť súradnice M 1 ? Veľmi jednoduché. Stačí pripomenúť, že čiarový vektor v bude kolmý na MM 1 ¯, to znamená, že ich skalárny súčin sa musí rovnať nule. Keď k tejto podmienke pripočítame skutočnosť, že súradnice M 1 musia spĺňať rovnicu priamky r, dostaneme sústavu jednoduchých lineárnych rovníc. Výsledkom jeho riešenia sú súradnice priemetu bodu M na r.

Metódu opísanú v tomto odseku na zistenie vzdialenosti od priamky k bodu možno použiť pre rovinu a priestor, ale jej aplikácia vyžaduje znalosť vektorovej rovnice pre priamku.

Úloha v lietadle

Teraz je čas ukázať, ako využiť prezentovaný matematický aparát na riešenie skutočných problémov. Predpokladajme, že na rovine je daný bod M(-4; 5). Je potrebné nájsť vzdialenosť od bodu M k priamke, ktorá je opísaná všeobecnou rovnicou:

3 × (-4) + 6 = -6 ≠ 5

To znamená, že M neleží na čiare.

Keďže rovnica priamky nie je daná vo všeobecnom tvare, zredukujeme ju na takúto, aby sme mohli použiť zodpovedajúci vzorec, máme:

y = 3 x x + 6

3 x x - y + 6 = 0

Teraz môžete nahradiť známe čísla do vzorca pre d:

d = |A x x 2 + B x y2 + C| / √(A 2 + B 2) =

= |3 × (-4) -1 × 5+6| / √(3 2 +(-1) 2) = 11 / √10 ≈ 3,48

Úloha vo vesmíre

Teraz zvážte prípad vo vesmíre. Nech je priamka opísaná nasledujúcou rovnicou:

(x; y; z) = (1; -1; 0) + α × (3; -2; 1)

Aká je vzdialenosť od nej k bodu M(0; 2; -3)?

Rovnako ako v predchádzajúcom prípade skontrolujeme, či M patrí do daného riadku. Aby sme to dosiahli, dosadíme súradnice do rovnice a prepíšeme ju explicitne:

x = 0 = 1 + 3 × α => α = -1/3;

y \u003d 2 \u003d -1 -2 × α => α \u003d -3/2;

Pretože sa získajú rôzne parametre α, potom M neleží na tejto priamke. Teraz vypočítame vzdialenosť od nej k priamke.

Ak chcete použiť vzorec pre d, zoberte ľubovoľný bod na čiare, napríklad P(1; -1; 0), potom:

Vypočítajme krížový súčin medzi PM¯ a priamkou v¯. Dostaneme:

= [(-1; 3; -3) * (3; -2; 1)] = (-3; -8; -7)

Teraz dosadíme moduly nájdeného vektora a vektora v¯ do vzorca pre d, dostaneme:

d = √(9 + 64 + 49) / √(9 + 4 + 1) ≈ 2,95

Túto odpoveď je možné získať pomocou vyššie opísanej metódy, ktorá zahŕňa riešenie systému lineárnych rovníc. V tomto a predchádzajúcich problémoch sú vypočítané hodnoty vzdialenosti od čiary k bodu uvedené v jednotkách zodpovedajúceho súradnicového systému.

V tomto článku začneme vy a ja diskusiu o jednej „kúzelnej palici“, ktorá vám umožní zredukovať mnohé problémy v geometrii na jednoduchú aritmetiku. Tento „prútik“ vám môže výrazne uľahčiť život, najmä keď sa cítite neisto pri stavaní priestorových figúrok, rezov atď. To všetko si vyžaduje určitú predstavivosť a praktické zručnosti. Metóda, ktorú tu začneme uvažovať, vám umožní takmer úplne abstrahovať od všetkých druhov geometrických konštrukcií a úvah. Metóda sa volá "súradnicová metóda". V tomto článku sa budeme zaoberať nasledujúcimi otázkami:

1. Súradnicová rovina
2. Body a vektory v rovine
3. Vytvorenie vektora z dvoch bodov
4. Dĺžka vektora (vzdialenosť medzi dvoma bodmi).
5. Stredové súradnice
6. Bodový súčin vektorov
7. Uhol medzi dvoma vektormi

Myslím, že ste už uhádli, prečo sa tak nazýva súradnicová metóda? Je pravda, že dostal taký názov, pretože nepracuje s geometrickými objektmi, ale s ich číselnými charakteristikami (súradnicami). A samotná transformácia, ktorá umožňuje prejsť od geometrie k algebre, spočíva v zavedení súradnicového systému. Ak bol pôvodný obrazec plochý, súradnice sú dvojrozmerné a ak je obrazec trojrozmerný, súradnice sú trojrozmerné. V tomto článku sa budeme zaoberať iba dvojrozmerným prípadom. A hlavným účelom článku je naučiť vás používať niektoré základné techniky súradnicovej metódy (niekedy sa ukážu ako užitočné pri riešení úloh z planimetrie v časti B Jednotnej štátnej skúšky). Nasledujúce dve časti na túto tému sú venované diskusii o metódach riešenia úloh C2 (problém stereometrie).

Kde by bolo logické začať diskutovať o metóde súradníc? Pravdepodobne s konceptom súradnicového systému. Spomeňte si, keď ste ju prvýkrát stretli. Zdá sa mi, že v 7. ročníku, keď ste sa učili o existencii lineárnej funkcie napr. Dovoľte mi pripomenúť, že ste to postavili bod po bode. Pamätáš si? Vybrali ste si ľubovoľné číslo, dosadili ste ho do vzorca a vypočítali ste týmto spôsobom. Napríklad, ak, potom, ak, potom atď. Čo ste dosiahli ako výsledok? A dostali ste body so súradnicami: a. Potom ste si nakreslili „kríž“ (súradnicový systém), zvolili ste si na ňom mierku (koľko buniek budete mať ako jeden segment) a označili ste na ňom body, ktoré ste dostali, ktoré ste potom spojili priamkou, výsledná čiara je graf funkcie.

Existuje niekoľko vecí, ktoré vám treba vysvetliť trochu podrobnejšie:

1. Vyberiete si jeden segment z dôvodu pohodlia, aby všetko pekne a kompaktne zapadalo do obrazu

2. Predpokladá sa, že os ide zľava doprava a os ide zdola nahor

3. Pretínajú sa v pravom uhle a ich priesečník sa nazýva počiatok. Označuje sa písmenom.

4. V zázname súradnice bodu je napríklad vľavo v zátvorke súradnica bodu pozdĺž osi a vpravo pozdĺž osi. Najmä jednoducho znamená, že bod

5. Ak chcete nastaviť ľubovoľný bod na súradnicovej osi, musíte zadať jeho súradnice (2 čísla)

6. Pre akýkoľvek bod ležiaci na osi,

7. Pre akýkoľvek bod ležiaci na osi,

8. Os sa nazýva os x

9. Os sa nazýva os y

Teraz urobme s vami ďalší krok: označte dva body. Spojte tieto dva body čiarou. A položme šípku, ako keby sme kreslili segment z bodu do bodu: to znamená, že náš segment nasmerujeme!

Pamätáte si, aký je iný názov pre riadený segment? Presne tak, volá sa to vektor!

Ak teda spojíme bodku s bodkou, a začiatok bude bod A a koniec bude bod B, potom dostaneme vektor. Túto stavbu ste robili aj v 8. ročníku, pamätáte?

Ukazuje sa, že vektory, podobne ako body, môžu byť označené dvoma číslami: tieto čísla sa nazývajú súradnice vektora. Otázka: myslíte si, že nám stačí poznať súradnice začiatku a konca vektora, aby sme našli jeho súradnice? Ukazuje sa, že áno! A je to veľmi jednoduché:

Keďže vo vektore je bod začiatkom a koncom, vektor má nasledujúce súradnice:

Napríklad ak, tak súradnice vektora

Teraz urobme opak, nájdime súradnice vektora. Čo k tomu musíme zmeniť? Áno, musíte vymeniť začiatok a koniec: teraz bude začiatok vektora v bode a koniec v bode. potom:

Pozrite sa pozorne, aký je rozdiel medzi vektormi a? Ich jediným rozdielom sú znaky v súradniciach. Sú opačné. Táto skutočnosť je napísaná takto:

Niekedy, ak nie je konkrétne uvedené, ktorý bod je začiatok vektora a ktorý koniec, potom sa vektory neoznačujú dvoma veľkými písmenami, ale jedným malým písmenom, napríklad: atď.

Teraz trochu prax a nájdite súradnice nasledujúcich vektorov:

Vyšetrenie:

Teraz vyriešte problém trochu zložitejšie:

Vektorový torus so šrotom on-cha v bode má co-or-di-on-you. Nájdite-di-te abs-cis-su body.

To isté je celkom prozaické: Nech sú súradnice bodu. Potom

Systém som zostavil tak, že som určil, aké sú súradnice vektora. Potom má bod súradnice. Nás zaujíma abscisa. Potom

odpoveď:

Čo ešte môžete robiť s vektormi? Áno, takmer všetko je rovnaké ako pri bežných číslach (okrem toho, že nemôžete deliť, ale môžete násobiť dvoma spôsobmi, o jednom z nich tu budeme diskutovať o niečo neskôr)

1. Vektory môžu byť navzájom stohované
2. Vektory je možné od seba odčítať
3. Vektory je možné násobiť (alebo deliť) ľubovoľným nenulovým číslom
4. Vektory sa môžu navzájom násobiť

Všetky tieto operácie majú celkom vizuálne geometrické znázornenie. Napríklad pravidlo trojuholníka (alebo rovnobežníka) na sčítanie a odčítanie:

Vektor sa pri vynásobení alebo delení číslom natiahne, zmenší alebo zmení smer:

Tu nás však bude zaujímať otázka, čo sa stane so súradnicami.

1. Pri sčítaní (odčítaní) dvoch vektorov pripočítavame (odčítame) ich súradnice prvok po prvku. To je:

2. Pri násobení (delení) vektora číslom sa všetky jeho súradnice vynásobia (delia) týmto číslom:

Napríklad:

· Nájsť-di-súčet ko-alebo-di-nat storočia-k-ra.

Najprv nájdime súradnice každého z vektorov. Obe majú rovnaký pôvod - východiskový bod. Ich konce sú rôzne. Potom, . Teraz vypočítame súradnice vektora Potom sa súčet súradníc výsledného vektora rovná.

odpoveď:

Teraz vyriešte nasledujúci problém sami:

· Nájdite súčet súradníc vektora

Kontrolujeme:

Uvažujme teraz o nasledujúcom probléme: v rovine súradníc máme dva body. Ako zistiť vzdialenosť medzi nimi? Nech je prvý bod a druhý. Označme vzdialenosť medzi nimi ako . Pre prehľadnosť urobme nasledujúci nákres:

Čo som urobil? Najprv som spojil body a nakreslil som z bodu priamku rovnobežnú s osou a z bodu som nakreslil priamku rovnobežnú s osou. Pretínali sa v určitom bode a vytvorili nádhernú postavu? Prečo je úžasná? Áno, vy a ja vieme o pravouhlom trojuholníku takmer všetko. No určite Pytagorova veta. Požadovaný segment je prepona tohto trojuholníka a segmenty sú nohy. Aké sú súradnice bodu? Áno, dajú sa ľahko nájsť z obrázku: Keďže segmenty sú rovnobežné s osami a ich dĺžky sa dajú ľahko nájsť: ak označíme dĺžky segmentov, resp.

Teraz použijeme Pytagorovu vetu. Poznáme dĺžky nôh, nájdeme preponu:

Vzdialenosť medzi dvoma bodmi je teda súčtom druhej mocniny rozdielov od súradníc. Alebo - vzdialenosť medzi dvoma bodmi je dĺžka segmentu, ktorý ich spája. Je ľahké vidieť, že vzdialenosť medzi bodmi nezávisí od smeru. potom:

Z toho vyvodíme tri závery:

Poďme si trochu precvičiť výpočet vzdialenosti medzi dvoma bodmi:

Napríklad, ak, potom vzdialenosť medzi a je

Alebo poďme inak: nájdite súradnice vektora

A nájdite dĺžku vektora:

Ako vidíte, je to to isté!

Teraz si trochu zacvičte sami:

Úloha: nájdite vzdialenosť medzi danými bodmi:

Kontrolujeme:

Tu je niekoľko ďalších problémov pre rovnaký vzorec, aj keď znejú trochu inak:

1. Nájdite-di-te druhú mocninu dĺžky očného viečka-ra.

2. Nai-di-te štvorec dĺžky očného viečka-to-ra

Hádam ich ľahko zvládnete? Kontrolujeme:

1. A to je pre pozornosť) Súradnice vektorov sme už našli predtým: . Potom má vektor súradnice. Štvorec jeho dĺžky bude:

2. Nájdite súradnice vektora

Potom je štvorec jeho dĺžky

Nič zložité, však? Jednoduchá aritmetika, nič viac.

Nasledujúce hádanky sa nedajú jednoznačne zaradiť, sú skôr pre všeobecnú erudíciu a schopnosť kresliť jednoduché obrázky.

1. Nájdite-di-ty sínus uhla na-klo-na-od-rezu, spojte-jeden-n-tý bod s osou x.

a

Ako to tu urobíme? Musíte nájsť sínus uhla medzi a osou. A kde môžeme hľadať sínus? Presne tak, v pravouhlom trojuholníku. Čo teda musíme urobiť? Postavte tento trojuholník!

Vzhľadom k tomu, súradnice bodu a, potom segment je rovnaký, a segment. Musíme nájsť sínus uhla. Dovoľte mi pripomenúť, že sínus je pomer opačnej nohy k prepone

Čo nám ostáva robiť? Nájdite preponu. Môžete to urobiť dvoma spôsobmi: Pytagorovou vetou (nohy sú známe!) alebo pomocou vzorca pre vzdialenosť medzi dvoma bodmi (v skutočnosti rovnako ako prvá metóda!). Pôjdem druhou cestou:

odpoveď:

Ďalšia úloha sa vám bude zdať ešte jednoduchšia. Ona - na súradniciach bodu.

Úloha 2. Z bodu sa per-pero-di-ku-lar spustí na abs-ciss os. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Urobme si kresbu:

Základňa kolmice je bod, v ktorom pretína os x (os) pre mňa je to bod. Obrázok ukazuje, že má súradnice: . Nás zaujíma abscisa – teda zložka „X“. Je rovnocenná.

odpoveď: .

Úloha 3. Za podmienok predchádzajúcej úlohy nájdite súčet vzdialeností od bodu k súradnicovým osám.

Úloha je vo všeobecnosti elementárna, ak viete, aká je vzdialenosť od bodu k osám. Vieš? Dúfam, ale stále pripomínam:

Takže na mojej kresbe umiestnenej o niečo vyššie som už jednu takúto kolmicu znázornil? Aká je to os? do osi. A aká je potom jeho dĺžka? Je rovnocenná. Teraz sami nakreslite kolmicu na os a nájdite jej dĺžku. Bude to rovnaké, však? Potom sa ich súčet rovná.

odpoveď: .

Úloha 4. V podmienkach úlohy 2 nájdite súradnicu bodu symetrickú k bodu okolo osi x.

Myslím, že intuitívne chápete, čo je symetria? Má ju veľmi veľa predmetov: veľa budov, stolov, rovín, veľa geometrických tvarov: guľa, valec, štvorec, kosoštvorec atď. Zhruba povedané, symetriu možno chápať takto: postava sa skladá z dvoch (alebo viacerých) rovnaké polovice. Táto symetria sa nazýva axiálna. Čo je potom os? Toto je presne tá čiara, pozdĺž ktorej sa dá obrazec relatívne povedané „rozrezať“ na identické polovice (na tomto obrázku je os symetrie rovná):

Teraz sa vráťme k našej úlohe. Vieme, že hľadáme bod, ktorý je symetrický okolo osi. Potom je táto os osou symetrie. Takže musíme označiť bod tak, aby os rozrezala segment na dve rovnaké časti. Skúste si sami vyznačiť takýto bod. Teraz porovnajte s mojím riešením:

Urobili ste to isté? Dobre! V nájdenom bode nás zaujíma ordináta. Je rovnocenná

odpoveď:

Teraz mi po chvíli premýšľania povedzte, aká bude úsečka bodu súmerného k bodu A podľa osi y? Aká je vaša odpoveď? Správna odpoveď: .

Vo všeobecnosti môže byť pravidlo napísané takto:

Bod symetrický k bodu okolo osi x má súradnice:

Bod symetrický k bodu okolo osi y má súradnice:

No teraz je to naozaj strašné. úloha: Nájdite súradnice bodu, ktorý je symetrický k bodu vzhľadom na počiatok. Najprv premýšľajte o sebe a potom sa pozrite na moju kresbu!

odpoveď:

Teraz Problém s paralelogramom:

Úloha 5: Body sú ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma. Nájdite-dee-te alebo-dee-on-tu body.

Tento problém môžete vyriešiť dvoma spôsobmi: logikou a súradnicovou metódou. Najprv použijem súradnicovú metódu a potom vám poviem, ako sa môžete rozhodnúť inak.

Je celkom jasné, že úsečka bodu je rovná. (leží na kolmici vedenej z bodu na os x). Musíme nájsť súradnicu. Využime skutočnosť, že naša postava je rovnobežník, čo znamená, že. Nájdite dĺžku segmentu pomocou vzorca pre vzdialenosť medzi dvoma bodmi:

Znížime kolmicu spájajúcu bod s osou. Priesečník je označený písmenom.

Dĺžka segmentu je rovnaká. (nájdite si problém sami, kde sme diskutovali o tomto momente), potom zistíme dĺžku segmentu pomocou Pytagorovej vety:

Dĺžka segmentu je presne rovnaká ako jeho ordináta.

odpoveď: .

Iné riešenie (poskytnem iba obrázok, ktorý to ilustruje)

Priebeh riešenia:

1. Stráviť

2. Nájdite súradnice a dĺžku bodu

3. Dokážte to.

Ďalší problém s dĺžkou rezu:

Body sú-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-angle-no-ka. Nájdite dĺžku jeho stredovej čiary, par-ral-lel-noy.

Pamätáte si, čo je stredná čiara trojuholníka? Potom je pre vás táto úloha základná. Ak si nepamätáte, pripomeniem vám: stredná čiara trojuholníka je čiara, ktorá spája stredy opačných strán. Je rovnobežná so základňou a rovná sa jej polovici.

Základom je segment. Jeho dĺžku sme museli hľadať skôr, je rovnaká. Potom je dĺžka stredovej čiary polovičná a rovnaká.

odpoveď: .

Komentár: Tento problém sa dá vyriešiť aj iným spôsobom, ktorému sa budeme venovať o niečo neskôr.

Zatiaľ je tu pre vás niekoľko úloh, precvičte si ich, sú celkom jednoduché, ale pomáhajú vám „naplniť ruku“ pomocou súradnicovej metódy!

1. Body sa objavia-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. Nájdite dĺžku jeho stredovej čiary.

2. Body a yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Nájdite-dee-te alebo-dee-on-tu body.

3. Nájdite dĺžku z rezu, pripojte druhý bod a

4. Nájdite-di-te oblasť pre-the-red-shen-noy fi-gu-ry na rovine ko-or-di-nat-noy.

5. Kruh so stredom na-cha-le ko-or-di-nat prechádza bodom. Nájdite-de-te jej ra-di-fúzy.

6. Nai-di-te ra-di-us kruh-no-sti, popíš-san-noy blízko pravého-uhla-no-ka, vrcholy-shi-ny niečoho-ro-go majú ko-alebo - di-na-si spolu-od-odpovede-ale

Riešenia:

1. Je známe, že stredová čiara lichobežníka sa rovná polovici súčtu jeho základov. Základ je rovnaký, ale základ. Potom

odpoveď:

2. Najjednoduchší spôsob, ako vyriešiť tento problém, je všimnúť si to (pravidlo rovnobežnosti). Vypočítajte súradnice vektorov a nie je ťažké: . Pri pridávaní vektorov sa súradnice pridávajú. Potom má súradnice. Bod má rovnaké súradnice, keďže začiatok vektora je bod so súradnicami. Zaujíma nás ordinát. Je rovnocenná.

odpoveď:

3. Okamžite konáme podľa vzorca pre vzdialenosť medzi dvoma bodmi:

odpoveď:

4. Pozrite sa na obrázok a povedzte, medzi ktoré dve čísla je „vtlačená“ vytieňovaná oblasť? Je vložený medzi dva štvorce. Potom sa plocha požadovaného čísla rovná ploche veľkého štvorca mínus plocha malého. Strana malého štvorca je segment spájajúci body a jeho dĺžka je

Potom je plocha malého námestia

To isté robíme s veľkým štvorcom: jeho strana je segment spájajúci body a jeho dĺžka sa rovná

Potom je plocha veľkého námestia

Oblasť požadovaného obrázku sa zistí podľa vzorca:

odpoveď:

5. Ak má kruh počiatok ako stred a prechádza bodom, potom sa jeho polomer bude presne rovnať dĺžke segmentu (nakreslite a pochopíte, prečo je to zrejmé). Nájdite dĺžku tohto segmentu:

odpoveď:

6. Je známe, že polomer kružnice opísanej obdĺžniku sa rovná polovici jeho uhlopriečky. Nájdite dĺžku ktorejkoľvek z dvoch uhlopriečok (napokon, v obdĺžniku sú rovnaké!)

odpoveď:

No zvládli ste všetko? Nebolo také ťažké na to prísť, však? Platí tu len jedno pravidlo – vedieť si urobiť vizuálny obraz a jednoducho z neho „prečítať“ všetky údaje.

Zostáva nám veľmi málo. Sú tu doslova dva ďalšie body, o ktorých by som chcel diskutovať.

Pokúsme sa vyriešiť tento jednoduchý problém. Nechajte dva body a budú dané. Nájdite súradnice stredu segmentu. Riešenie tohto problému je nasledovné: nech je bod požadovaný stred, potom má súradnice:

To je: súradnice stredu segmentu = aritmetický priemer zodpovedajúcich súradníc koncov segmentu.

Toto pravidlo je veľmi jednoduché a študentom zvyčajne nespôsobuje ťažkosti. Pozrime sa, v akých problémoch a ako sa používa:

1. Nájdite-di-te alebo-di-na-tu se-re-di-us z-cut, connect-nya-yu-th-th-th point and

2. Body sú yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka. Nájdite-di-te alebo-di-na-tu body re-re-se-che-niya jeho dia-go-on-lei.

3. Nájdite-di-te abs-cis-su stredu kruhu, popíšte-san-noy blízko obdĺžnika-no-ka, vrcholy-shi-máme niečo-ro-go co-alebo-di- na-ty spolu-od-vet-stvenno-ale.

Riešenia:

1. Prvá úloha je len klasika. Okamžite konáme určením stredu segmentu. Má súradnice. Súradnica je rovnaká.

odpoveď:

2. Ľahko je vidieť, že daný štvoruholník je rovnobežník (aj kosoštvorec!). Môžete to dokázať sami vypočítaním dĺžok strán a ich vzájomným porovnaním. Čo viem o rovnobežníku? Jeho uhlopriečky sú rozpolené priesečníkom! Aha! Aký je teda priesečník uhlopriečok? Toto je stred ktorejkoľvek z uhlopriečok! Vyberiem si najmä uhlopriečku. Potom má bod súradnice a ordináta bodu je rovná.

odpoveď:

3. Aký je stred kružnice opísanej okolo obdĺžnika? Zhoduje sa s priesečníkom jej uhlopriečok. Čo viete o uhlopriečkach obdĺžnika? Sú rovnaké a priesečník je rozdelený na polovicu. Úloha bola zredukovaná na predchádzajúcu. Vezmite si napríklad uhlopriečku. Potom, ak je stred opísanej kružnice, potom je stred. Hľadám súradnice: Úsečka sa rovná.

odpoveď:

Teraz si trochu zacvičte sami, na každý problém uvediem len odpovede, aby ste sa mohli skontrolovať.

1. Nai-di-te ra-di-us kruh-no-sti, opis-san-noy blízko trojuholníka-no-ka, vrcholy niekoho-ro-go majú ko-or-di -no misters

2. Nájdite-di-te alebo-di-na-tu stred kruhu, opíšte san-noy blízko trojuholníka-no-ka, vrcholy-shi-máme niečo-ro-go súradnice

3. Aký druh ra-di-y-sa by mal byť kruh so stredom v bode, aby sa dotýkal osi abs-ciss?

4. Nájdite-di-te alebo-di-na-tom bode re-re-se-che-ing osi a od-rezaného, ​​spojte-nya-yu-tého bodu a

Odpovede:

Vyšlo všetko? Naozaj v to dúfam! Teraz - posledné stlačenie. Teraz buďte obzvlášť opatrní. Materiál, ktorý teraz vysvetlím, nie je relevantný len pre jednoduché problémy súradnicovej metódy v časti B, ale je tiež všadeprítomný v úlohe C2.

Ktorý z mojich sľubov som ešte nedodržal? Pamätáte si, aké operácie s vektormi som sľúbil zaviesť a ktoré som nakoniec zaviedol? Som si istý, že som na nič nezabudol? Zabudol! Zabudol som vysvetliť, čo znamená násobenie vektorov.

Existujú dva spôsoby, ako vynásobiť vektor vektorom. V závislosti od zvolenej metódy získame objekty rôzneho charakteru:

Vektorový produkt je dosť zložitý. Ako to urobiť a prečo je to potrebné, budeme s vami diskutovať v ďalšom článku. A v tomto sa zameriame na skalárny súčin.

Existujú dva spôsoby, ktoré nám umožňujú vypočítať ho:

Ako ste uhádli, výsledok by mal byť rovnaký! Pozrime sa teda najprv na prvý spôsob:

Bodka produktu cez súradnice

Nájdite: - bežný zápis pre bodový súčin

Vzorec na výpočet je nasledujúci:

To znamená, že bodový súčin = súčet súčinov súradníc vektorov!

Príklad:

Nájsť-dee-te

Riešenie:

Nájdite súradnice každého z vektorov:

Skalárny súčin vypočítame podľa vzorca:

odpoveď:

Vidíte, absolútne nič zložité!

No a teraz to skúste sami:

Nájsť-di-te skalárne-noe pro-od-ve-de-nie storočia-do priekopy a

Zvládli ste to? Možno si všimol malý trik? Skontrolujme to:

Vektorové súradnice, ako v predchádzajúcej úlohe! Odpoveď: .

Okrem súradnice existuje ďalší spôsob, ako vypočítať skalárny súčin, a to prostredníctvom dĺžok vektorov a kosínusu uhla medzi nimi:

Označuje uhol medzi vektormi a.

To znamená, že skalárny súčin sa rovná súčinu dĺžok vektorov a kosínusu uhla medzi nimi.

Prečo potrebujeme tento druhý vzorec, ak máme prvý, ktorý je oveľa jednoduchší, aspoň v ňom nie sú žiadne kosínusy. A potrebujeme to, aby sme z prvého a druhého vzorca odvodili, ako nájsť uhol medzi vektormi!

Potom si zapamätajte vzorec pre dĺžku vektora!

Ak potom tieto údaje zapojím do vzorca bodového produktu, dostanem:

Ale na druhej strane:

Tak čo máme? Teraz máme vzorec na výpočet uhla medzi dvoma vektormi! Niekedy sa pre stručnosť píše aj takto:

To znamená, že algoritmus na výpočet uhla medzi vektormi je nasledujúci:

1. Skalárny súčin vypočítame cez súradnice
2. Nájdite dĺžky vektorov a vynásobte ich
3. Výsledok z bodu 1 vydeľte výsledkom z bodu 2

Precvičme si na príkladoch:

1. Nájdite uhol medzi viečkami-k-ra-mi a. Svoju odpoveď uveďte v stupňoch.

2. Za podmienok predchádzajúcej úlohy nájdite kosínus medzi vektormi

Poďme na to: Pomôžem vám vyriešiť prvý problém a druhý skúste vyriešiť sami! Súhlasím? Tak začnime!

1. Tieto vektory sú naši starí priatelia. Už sme zvažovali ich skalárny súčin a bol rovný. Ich súradnice sú: , . Potom zistíme ich dĺžky:

Potom hľadáme kosínus medzi vektormi:

Aký je kosínus uhla? Toto je roh.

odpoveď:

No a teraz vyriešte druhý problém sami a potom porovnajte! Dám len veľmi krátke riešenie:

2. má súradnice, má súradnice.

Dovoliť je uhol medzi vektormi a, potom

odpoveď:

Treba poznamenať, že úlohy priamo na vektoroch a metóda súradníc v časti B skúšobnej práce sú pomerne zriedkavé. Prevažná väčšina problémov C2 sa však dá jednoducho vyriešiť zavedením súradnicového systému. Takže tento článok môžete považovať za základ, na základe ktorého urobíme dosť ošemetné konštrukcie, ktoré budeme potrebovať na riešenie zložitých problémov.

SÚRADNICE A VEKTORY. STREDNÁ ÚROVEŇ

Vy a ja pokračujeme v štúdiu metódy súradníc. V poslednej časti sme odvodili niekoľko dôležitých vzorcov, ktoré umožňujú:

1. Nájdite vektorové súradnice
2. Nájdite dĺžku vektora (alternatívne: vzdialenosť medzi dvoma bodmi)
3. Sčítajte, odčítajte vektory. Vynásobte ich skutočným číslom
4. Nájdite stred segmentu
5. Vypočítajte bodový súčin vektorov
6. Nájdite uhol medzi vektormi

Samozrejme, celá súradnicová metóda sa do týchto 6 bodov nezmestí. Je základom takej vedy, ako je analytická geometria, s ktorou sa zoznámite na univerzite. Chcem len vybudovať základ, ktorý vám umožní riešiť problémy v jedinom štáte. skúška. Prišli sme na úlohy časti B v Teraz je čas posunúť sa na kvalitatívne novú úroveň! Tento článok bude venovaný metóde riešenia tých problémov C2, pri ktorých by bolo rozumné prejsť na súradnicovú metódu. Táto primeranosť je určená tým, čo je potrebné v probléme nájsť a aký údaj je daný. Použil by som teda metódu súradníc, ak sú otázky:

1. Nájdite uhol medzi dvoma rovinami
2. Nájdite uhol medzi čiarou a rovinou
3. Nájdite uhol medzi dvoma čiarami
4. Nájdite vzdialenosť od bodu k rovine
5. Nájdite vzdialenosť od bodu k čiare
6. Nájdite vzdialenosť od priamky k rovine
7. Nájdite vzdialenosť medzi dvoma čiarami

Ak je údaj uvedený v stave problému rotačným telesom (guľa, valec, kužeľ ...)

Vhodné obrázky pre súradnicovú metódu sú:

1. kváder
2. Pyramída (trojuholníková, štvoruholníková, šesťuholníková)

Tiež podľa mojich skúseností je nevhodné použiť súradnicovú metódu na:

1. Nájdenie oblastí sekcií
2. Výpočty objemov telies

Malo by sa však okamžite poznamenať, že tri „nepriaznivé“ situácie pre súradnicovú metódu sú v praxi pomerne zriedkavé. Vo väčšine úloh sa môže stať vaším záchrancom, najmä ak nie ste veľmi silní v trojrozmerných konštrukciách (ktoré sú niekedy dosť zložité).

Aké sú všetky čísla, ktoré som uviedol vyššie? Už nie sú ploché, ako štvorec, trojuholník, kruh, ale objemné! Preto musíme brať do úvahy nie dvojrozmerný, ale trojrozmerný súradnicový systém. Zostavuje sa celkom jednoducho: len okrem úsečky a súradnice zavedieme ďalšiu os, aplikačnú os. Obrázok schematicky znázorňuje ich relatívnu polohu:

Všetky sú navzájom kolmé, pretínajú sa v jednom bode, ktorý nazveme počiatok. Os x, ako predtým, bude označená, zvislá os - a zavedená aplikačná os - .

Ak bol predtým každý bod v rovine charakterizovaný dvoma číslami - úsečkou a ordinátou, potom je každý bod v priestore už opísaný tromi číslami - úsečka, ordináta, aplikácia. Napríklad:

V súlade s tým je úsečka bodu rovná, ordináta je , a aplikácia je .

Niekedy sa úsečka bodu nazýva aj priemet bodu na súradnicovú os, ordináta je priemetom bodu na osi y a aplikácia je priemet bodu na osi aplikácie. Ak je teda daný bod, potom bod so súradnicami:

sa nazýva premietanie bodu do roviny

sa nazýva premietanie bodu do roviny

Vynára sa prirodzená otázka: sú všetky vzorce odvodené pre dvojrozmerný prípad platné v priestore? Odpoveď je áno, sú len a majú rovnaký vzhľad. Pre malý detail. Myslím, že ste už uhádli, ktorý. Vo všetkých vzorcoch budeme musieť pridať ešte jeden výraz zodpovedný za os aplikácie. Totiž.

1. Ak sú dané dva body: , potom:

• Vektorové súradnice:
• Vzdialenosť medzi dvoma bodmi (alebo dĺžka vektora)
• Stred segmentu má súradnice

2. Ak sú dané dva vektory: a, potom:

• Ich bodový produkt je:
• Kosínus uhla medzi vektormi je:

Priestor však nie je taký jednoduchý. Ako viete, pridanie ďalšej súradnice predstavuje významnú rozmanitosť v spektre postáv „žijúcich“ v tomto priestore. A pre ďalšie rozprávanie musím uviesť nejaké, zhruba povedané, „zovšeobecnenie“ priamky. Toto „zovšeobecnenie“ bude rovina. Čo viete o lietadle? Skúste si odpovedať na otázku, čo je lietadlo? Je to veľmi ťažké povedať. Všetci si však intuitívne predstavujeme, ako to vyzerá:

Zhruba povedané, ide o druh nekonečného „listu“ vysunutého do vesmíru. "Nekonečno" by sa malo chápať tak, že rovina sa rozprestiera vo všetkých smeroch, to znamená, že jej plocha sa rovná nekonečnu. Toto vysvetlenie „na prstoch“ však nedáva ani najmenšiu predstavu o štruktúre lietadla. A bude nás to zaujímať.

Pripomeňme si jednu zo základných axióm geometrie:

• Priamka prechádza dvoma rôznymi bodmi v rovine, navyše iba jedným:

Alebo jeho analóg vo vesmíre:

Samozrejme, pamätáte si, ako odvodiť rovnicu priamky z dvoch daných bodov, nie je to vôbec ťažké: ak má prvý bod súradnice: a druhý, potom rovnica priamky bude nasledovná:

Prešiel si tým v siedmej triede. V priestore vyzerá rovnica priamky takto: majme dva body so súradnicami: , potom rovnica priamky prechádzajúcej cez ne má tvar:

Napríklad čiara prechádza bodmi:

Ako tomu treba rozumieť? Malo by sa to chápať takto: bod leží na priamke, ak jeho súradnice spĺňajú nasledujúci systém:

Rovnica priamky nás nebude veľmi zaujímať, ale treba si dať pozor na veľmi dôležitý pojem smerového vektora priamky. - ľubovoľný nenulový vektor ležiaci na danej priamke alebo rovnobežne s ňou.

Napríklad oba vektory sú smerové vektory priamky. Nech je bod ležiaci na priamke a je jeho smerovým vektorom. Potom môže byť rovnica priamky napísaná v nasledujúcom tvare:

Ešte raz, nebudem sa veľmi zaujímať o rovnicu priamky, ale naozaj potrebujem, aby ste si zapamätali, čo je smerový vektor! znova: je to AKÝKOĽVEK nenulový vektor ležiaci na priamke alebo rovnobežne s ňou.

Odstúpiť trojbodová rovnica roviny už nie je taká triviálna a zvyčajne nie je pokrytá stredoškolským kurzom. Ale márne! Táto technika je životne dôležitá, keď sa pri riešení zložitých problémov uchýlime k metóde súradníc. Predpokladám však, že ste plný chuti naučiť sa niečo nové? Okrem toho budete môcť zapôsobiť na svojho učiteľa na univerzite, keď sa ukáže, že už viete, ako používať techniku, ktorá sa zvyčajne študuje v kurze analytickej geometrie. Tak poďme na to.

Rovnica roviny sa príliš nelíši od rovnice priamky v rovine, konkrétne má tvar:

niektoré čísla (nie všetky sa rovnajú nule), ale premenné, napríklad: atď. Ako vidíte, rovnica roviny sa veľmi nelíši od rovnice priamky (lineárna funkcia). Pamätáte si však, čo sme sa s vami hádali? Povedali sme, že ak máme tri body, ktoré neležia na jednej priamke, potom sa z nich jednoznačne obnoví rovnica roviny. Ale ako? Pokúsim sa ti to vysvetliť.

Pretože rovinná rovnica je:

A body patria do tejto roviny, potom pri dosadení súradníc každého bodu do rovnice roviny by sme mali dostať správnu identitu:

Preto je potrebné vyriešiť tri rovnice už s neznámymi! Dilema! Vždy však môžeme predpokladať, že (na to musíme deliť). Dostaneme teda tri rovnice s tromi neznámymi:

Takýto systém však nevyriešime, ale napíšeme si z neho vyplývajúci kryptický výraz:

Rovnica roviny prechádzajúcej tromi danými bodmi

\[\left| (\begin(pole)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(pole)) \vpravo| = 0\]

Stop! čo je ešte toto? Veľmi neobvyklý modul! Objekt, ktorý vidíte pred sebou, však nemá s modulom nič spoločné. Tento objekt sa nazýva determinant tretieho rádu. Odteraz, keď sa v rovine zaoberáte metódou súradníc, často narazíte práve na tieto determinanty. Čo je determinant tretieho rádu? Napodiv je to len číslo. Zostáva pochopiť, aké konkrétne číslo budeme porovnávať s determinantom.

Najprv napíšme determinant tretieho rádu vo všeobecnejšej forme:

Kde sú nejaké čísla. Okrem toho prvým indexom rozumieme číslo riadku a indexom číslo stĺpca. Napríklad to znamená, že dané číslo je na priesečníku druhého riadku a tretieho stĺpca. Položme si nasledujúcu otázku: ako presne vypočítame takýto determinant? Teda s akým konkrétnym číslom to budeme porovnávať? Pre determinant presne tretieho rádu existuje heuristické (vizuálne) trojuholníkové pravidlo, ktoré vyzerá takto:

1. Súčin prvkov hlavnej uhlopriečky (zhora zľava doprava dole) súčin prvkov, ktoré tvoria prvý trojuholník „kolmý“ na hlavnú uhlopriečku súčin prvkov, ktoré tvoria druhý trojuholník „kolmý“ k hlavnej uhlopriečke uhlopriečka
2. Súčin prvkov vedľajšej uhlopriečky (sprava hore doľava) súčin prvkov, ktoré tvoria prvý trojuholník „kolmý“ na vedľajšiu uhlopriečku súčin prvkov tvoriacich druhý trojuholník „kolmý“ k sekundárna uhlopriečka
3. Potom sa determinant rovná rozdielu medzi hodnotami získanými v kroku a

Ak to všetko napíšeme číslami, dostaneme nasledujúci výraz:

V tejto forme si však nemusíte zapamätať metódu výpočtu, stačí si ponechať trojuholníky v hlave a samotnú myšlienku toho, čo sa k čomu pridáva a čo sa potom od čoho odpočítava).

Ukážme si trojuholníkovú metódu na príklade:

1. Vypočítajte determinant:

Poďme zistiť, čo pridáme a čo odpočítame:

Výrazy, ktoré sa dodávajú so znamienkom „plus“:

Toto je hlavná uhlopriečka: súčin prvkov je

Prvý trojuholník, „kolmý na hlavnú uhlopriečku: súčin prvkov je

Druhý trojuholník, „kolmý na hlavnú uhlopriečku: súčin prvkov je

Pridáme tri čísla:

Výrazy, ktoré sú označené „mínusom“

Toto je bočná uhlopriečka: súčin prvkov je

Prvý trojuholník, „kolmý na sekundárnu uhlopriečku: súčin prvkov je

Druhý trojuholník, „kolmý na sekundárnu uhlopriečku: súčin prvkov je

Pridáme tri čísla:

Zostáva len odpočítať od súčtu plusových výrazov súčet mínusových výrazov:

Touto cestou,

Ako vidíte, vo výpočte determinantov tretieho rádu nie je nič zložité a nadprirodzené. Jednoducho je dôležité pamätať na trojuholníky a nerobiť aritmetické chyby. Teraz si skúste spočítať:

Kontrolujeme:

1. Prvý trojuholník kolmý na hlavnú uhlopriečku:
2. Druhý trojuholník kolmý na hlavnú uhlopriečku:
3. Súčet plusových výrazov:
4. Prvý trojuholník kolmý na bočnú uhlopriečku:
5. Druhý trojuholník, kolmý na bočnú uhlopriečku:
6. Súčet výrazov s mínusom:
7. Súčet plusových výrazov mínus súčet mínusových výrazov:

Tu je pre vás niekoľko ďalších determinantov, vypočítajte ich hodnoty sami a porovnajte ich s odpoveďami:

Odpovede:

Zhodovalo sa všetko? Skvelé, potom môžete pokračovať! Ak existujú ťažkosti, moja rada je takáto: na internete existuje veľa programov na výpočet determinantu online. Všetko, čo potrebujete, je prísť s vlastným determinantom, vypočítať si ho a potom porovnať s tým, čo vypočíta program. A tak ďalej, kým sa výsledky nezačnú zhodovať. Som si istý, že táto chvíľa na seba nenechá dlho čakať!

Teraz sa vráťme k determinantu, ktorý som napísal, keď som hovoril o rovnici roviny prechádzajúcej tromi danými bodmi:

Stačí priamo vypočítať jeho hodnotu (metódou trojuholníka) a výsledok nastaviť na nulu. Prirodzene, keďže ide o premenné, dostanete nejaký výraz, ktorý od nich závisí. Práve tento výraz bude rovnicou roviny prechádzajúcej tromi danými bodmi, ktoré neležia na jednej priamke!

Ilustrujme si to na jednoduchom príklade:

1. Zostrojte rovnicu roviny prechádzajúcej bodmi

Pre tieto tri body vytvoríme determinant:

Zjednodušenie:

Teraz to vypočítame priamo podľa pravidla trojuholníkov:

\[(\left| (\začiatok(pole)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\koniec(pole)) \ vpravo| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Takže rovnica roviny prechádzajúcej bodmi je:

Teraz sa pokúste vyriešiť jeden problém sami a potom o ňom budeme diskutovať:

2. Nájdite rovnicu roviny prechádzajúcej bodmi

Nuž, poďme teraz diskutovať o riešení:

Urobíme determinant:

A vypočítajte jeho hodnotu:

Potom má rovnica roviny tvar:

Alebo znížením o dostaneme:

Teraz dve úlohy na sebaovládanie:

1. Zostrojte rovnicu roviny prechádzajúcej tromi bodmi:

Odpovede:

Zhodovalo sa všetko? Opäť, ak existujú určité ťažkosti, moja rada je takáto: vezmete si z hlavy tri body (s vysokou pravdepodobnosťou nebudú ležať na jednej priamke), postavte na nich rovinu. A potom sa overte online. Napríklad na stránke:

Pomocou determinantov však zostrojíme nielen rovnicu roviny. Pamätajte si, že som vám povedal, že pre vektory nie je definovaný iba bodový súčin. Existuje aj vektor, ako aj zmiešaný produkt. A ak skalárny súčin dvoch vektorov bude číslo, potom vektorový súčin dvoch vektorov bude vektor a tento vektor bude kolmý na dané vektory:

Okrem toho sa jeho modul bude rovnať ploche rovnobežníka postaveného na vektoroch a. Tento vektor budeme potrebovať na výpočet vzdialenosti od bodu k priamke. Ako môžeme vypočítať krížový súčin vektorov a ak sú uvedené ich súradnice? Na pomoc nám opäť prichádza determinant tretieho rádu. Avšak predtým, ako prejdem k algoritmu na výpočet krížového súčinu, musím urobiť malú lyrickú odbočku.

Táto odchýlka sa týka základných vektorov.

Schematicky sú znázornené na obrázku:

Prečo si myslíte, že sa nazývajú základné? Faktom je, že:

Alebo na obrázku:

Platnosť tohto vzorca je zrejmá, pretože:

vektorový produkt

Teraz môžem začať predstavovať krížový produkt:

Vektorový súčin dvoch vektorov je vektor, ktorý sa vypočíta podľa nasledujúceho pravidla:

Teraz uveďme niekoľko príkladov výpočtu krížového produktu:

Príklad 1: Nájdite krížový súčin vektorov:

Riešenie: Urobím determinant:

A počítam to:

Teraz, od písania cez základné vektory, sa vrátim k obvyklému vektorovému zápisu:

Touto cestou:

Teraz skúste.

pripravený? Kontrolujeme:

A tradične dve úlohy, ktoré treba ovládať:

1. Nájdite krížový súčin nasledujúcich vektorov:
2. Nájdite krížový súčin nasledujúcich vektorov:

Odpovede:

Zmiešaný súčin troch vektorov

Posledná konštrukcia, ktorú potrebujem, je zmiešaný súčin troch vektorov. Je to ako skalár číslo. Existujú dva spôsoby, ako to vypočítať. - cez determinant, - cez zmiešaný produkt.

Povedzme, že máme tri vektory:

Potom sa zmiešaný súčin troch vektorov, označený ako, môže vypočítať ako:

1. - to znamená, že zmiešaný súčin je skalárny súčin vektora a vektorový súčin dvoch ďalších vektorov

Napríklad zmiešaný produkt troch vektorov je:

Skúste si to vypočítať sami pomocou vektorového súčinu a uistite sa, že sa výsledky zhodujú!

A opäť - dva príklady pre nezávislé riešenie:

Odpovede:

Výber súradnicového systému

Teraz máme všetky potrebné základy vedomostí na riešenie zložitých stereometrických problémov v geometrii. Predtým, ako pristúpim priamo k príkladom a algoritmom na ich riešenie, verím, že bude užitočné pozastaviť sa nad nasledujúcou otázkou: ako presne vyberte súradnicový systém pre konkrétnu postavu. Koniec koncov, je to voľba relatívnej polohy súradnicového systému a obrazca v priestore, ktorý v konečnom dôsledku určí, aké ťažkopádne budú výpočty.

Pripomínam, že v tejto časti uvažujeme o nasledujúcich tvaroch:

1. kváder
2. Priamy hranol (trojuholníkový, šesťhranný...)
3. Pyramída (trojuholníková, štvoruholníková)
4. Tetrahedron (rovnaký ako trojuholníková pyramída)

Pre kváder alebo kocku odporúčam nasledujúcu konštrukciu:

To znamená, že postavím postavu „do rohu“. Kocka a krabica sú veľmi dobré figúrky. U nich vždy ľahko nájdete súradnice jej vrcholov. Napríklad, ak (ako je znázornené na obrázku)

potom súradnice vrcholov sú:

Samozrejme, nemusíte si to pamätať, ale je žiaduce zapamätať si, ako najlepšie umiestniť kocku alebo obdĺžnikový box.

rovný hranol

Hranol je škodlivejšia postava. V priestore ho môžete usporiadať rôznymi spôsobmi. Myslím si však, že najlepšou možnosťou je nasledovné:

Trojuholníkový hranol:

To znamená, že jednu zo strán trojuholníka položíme úplne na os a jeden z vrcholov sa zhoduje s počiatkom.

Šesťhranný hranol:

To znamená, že jeden z vrcholov sa zhoduje s počiatkom a jedna zo strán leží na osi.

Štvorhranná a šesťhranná pyramída:

Situácia podobná kocke: spojíme dve strany základne so súradnicovými osami, jeden z vrcholov spojíme s počiatkom. Jediným malým problémom bude výpočet súradníc bodu.

Pre šesťhrannú pyramídu - to isté ako pre šesťhranný hranol. Hlavná úloha bude opäť v hľadaní súradníc vrcholu.

Tetrahedron (trojuholníková pyramída)

Situácia je veľmi podobná tej, ktorú som uviedol pre trojuholníkový hranol: jeden vrchol sa zhoduje s počiatkom, jedna strana leží na súradnicovej osi.

Teraz sme konečne blízko k tomu, aby sme začali riešiť problémy. Z toho, čo som povedal na samom začiatku článku, môžete vyvodiť nasledujúci záver: väčšina problémov C2 spadá do 2 kategórií: problémy s uhlom a problémy so vzdialenosťou. Najprv zvážime problémy pri hľadaní uhla. Na druhej strane sú rozdelené do nasledujúcich kategórií (s rastúcou zložitosťou):

Problémy s hľadaním rohov

1. Nájdenie uhla medzi dvoma čiarami
2. Nájdenie uhla medzi dvoma rovinami

Uvažujme tieto problémy postupne: začnime nájdením uhla medzi dvoma priamkami. No tak, pamätajte, riešili sme už podobné príklady? Pamätáte si, pretože niečo podobné sme už mali... Hľadali sme uhol medzi dvoma vektormi. Pripomínam, že ak sú dané dva vektory: a, potom sa uhol medzi nimi zistí zo vzťahu:

Teraz máme cieľ - nájsť uhol medzi dvoma priamkami. Obráťme sa na „plochý obrázok“:

Koľko uhlov získame, keď sa pretnú dve priamky? Už veci. Je pravda, že iba dve z nich nie sú rovnaké, zatiaľ čo iné sú k nim vertikálne (a preto sa s nimi zhodujú). Aký uhol by sme teda mali považovať za uhol medzi dvoma priamkami: alebo? Tu je pravidlo: uhol medzi dvoma priamkami nie je vždy väčší ako stupne. To znamená, že z dvoch uhlov vždy zvolíme uhol s najmenšou mierou stupňov. To znamená, že na tomto obrázku je uhol medzi týmito dvoma čiarami rovnaký. Aby ste sa nemuseli obťažovať zakaždým hľadaním najmenšieho z dvoch uhlov, prefíkaní matematici navrhli použiť modul. Uhol medzi dvoma priamkami je teda určený vzorcom:

Vy, ako pozorný čitateľ, ste si mali položiť otázku: odkiaľ vlastne berieme práve tieto čísla, ktoré potrebujeme na výpočet kosínusu uhla? Odpoveď: vezmeme ich zo smerových vektorov čiar! Algoritmus na nájdenie uhla medzi dvoma čiarami je teda nasledujúci:

1. Aplikujeme vzorec 1.

Alebo podrobnejšie:

1. Hľadáme súradnice smerového vektora prvej priamky
2. Hľadáme súradnice smerového vektora druhého riadku
3. Vypočítajte modul ich skalárneho súčinu
4. Hľadáme dĺžku prvého vektora
5. Hľadáme dĺžku druhého vektora
6. Vynásobte výsledky z bodu 4 výsledkami z bodu 5
7. Výsledok bodu 3 vydelíme výsledkom bodu 6. Dostaneme kosínus uhla medzi priamkami
8. Ak nám tento výsledok umožňuje presne vypočítať uhol, hľadáme ho
9. V opačnom prípade píšeme cez arkozínus

No a teraz je čas prejsť k úlohám: riešenie prvých dvoch predvediem podrobne, riešenie ďalšej predstavím v skratke a odpoviem len na posledné dve úlohy, musíte urobte pre nich všetky výpočty sami.

Úlohy:

1. V pravom tet-ra-ed-re nájdi-di-te uhol medzi tebou-tak-že tet-ra-ed-ra a stranou me-di-a-noy bo-ko-how.

2. V pravom-doprednom six-coal-pi-ra-mi-de sú sto-ro-na-os-no-va-niya akosi rovnaké a bočné rebrá sú rovnaké, nájdite uhol medzi priamym linky a.

3. Dĺžky všetkých hrán pravotočivých štyroch-you-rech-coal-noy pi-ra-mi-dy sa navzájom rovnajú. Nájdite uhol medzi priamymi čiarami a ak z-re-zok - vy-tak-to dané pi-ra-mi-dy, bod je se-re-di-na jej bo-ko-th rebro

4. Na hrane kocky od-me-che-do bodu tak, že Nájdite-di-te uhol medzi priamkami a

5. Bod - se-re-di-na okrajoch kocky Nai-di-te uhol medzi priamkami a.

Nie je náhoda, že som úlohy umiestnil v tomto poradí. Zatiaľ čo ste ešte nemali čas začať navigovať súradnicovou metódou, ja sám analyzujem „najproblémovejšie“ čísla a nechám vás, aby ste sa zaoberali najjednoduchšou kockou! Postupne sa musíte naučiť pracovať so všetkými figúrkami, náročnosť úloh budem zvyšovať z témy na tému.

Začnime riešiť problémy:

1. Nakreslite štvorsten, umiestnite ho do súradnicového systému, ako som navrhol predtým. Keďže štvorsten je pravidelný, všetky jeho steny (vrátane základne) sú pravidelné trojuholníky. Keďže nám nie je daná dĺžka strany, môžem to brať rovnako. Myslím, že chápete, že uhol skutočne nebude závisieť od toho, do akej miery bude náš štvorsten "natiahnutý"?. V štvorstene nakreslím aj výšku a medián. Po ceste nakreslím jej základ (príde nám tiež vhod).

Potrebujem nájsť uhol medzi a. čo my vieme? Poznáme len súradnicu bodu. Musíme teda nájsť viac súradníc bodov. Teraz si myslíme: bod je priesečník výšok (alebo osi alebo stredov) trojuholníka. Bodka je vyvýšený bod. Bod je stredom segmentu. Potom konečne musíme nájsť: súradnice bodov: .

Začnime tým najjednoduchším: súradnicami bodu. Pozrite sa na obrázok: Je jasné, že aplikácia bodu sa rovná nule (bod leží v rovine). Jeho ordináta je rovnaká (pretože je to medián). Je ťažšie nájsť jeho úsečku. To sa však dá ľahko urobiť na základe Pytagorovej vety: Uvažujme trojuholník. Jeho prepona je rovnaká a jedna z nôh je rovnaká Potom:

Nakoniec tu máme:

Teraz nájdime súradnice bodu. Je jasné, že jeho aplikácia sa opäť rovná nule a jeho ordináta je rovnaká ako ordináta bodu, tj. Nájdime jej úsečku. Toto sa robí dosť triviálne, ak si to človek pamätá výšky rovnostranného trojuholníka sú delené priesečníkom v pomere počítanie zhora. Pretože:, potom sa požadovaná úsečka bodu rovná dĺžke úsečky rovná:. Súradnice bodu sú teda:

Nájdeme súradnice bodu. Je zrejmé, že jeho úsečka a ordináta sa zhodujú s úsečkou a osou bodu. A nášivka sa rovná dĺžke segmentu. - toto je jedna z nôh trojuholníka. Prepona trojuholníka je segment - noha. Hľadá sa podľa dôvodov, ktoré som zvýraznil tučným písmom:

Bod je stredom segmentu. Potom si musíme zapamätať vzorec pre súradnice stredu segmentu:

To je všetko, teraz môžeme hľadať súradnice smerových vektorov:

Všetko je pripravené: dosadíme všetky údaje do vzorca:

Touto cestou,

odpoveď:

Nemali by ste sa báť takýchto „hrozných“ odpovedí: pri problémoch C2 je to bežná prax. Skôr by som sa nechal prekvapiť "krásnou" odpoveďou v tejto časti. Taktiež, ako si poznamenal, prakticky som sa neuchýlil k ničomu inému ako k Pytagorovej vete a vlastnosti výšok rovnostranného trojuholníka. To znamená, že na vyriešenie stereometrického problému som použil minimum stereometrie. Zisk v tomto je čiastočne "uhasený" dosť ťažkopádnymi výpočtami. Ale sú dosť algoritmické!

2. Nakreslite pravidelný šesťuholníkový ihlan spolu so súradnicovým systémom, ako aj jeho základňou:

Musíme nájsť uhol medzi čiarami a. Naša úloha sa teda redukuje na hľadanie súradníc bodov: . Z malého výkresu zistíme súradnice posledných troch a cez súradnicu bodu nájdeme súradnicu vrcholu. Veľa práce, ale treba začať!

a) Súradnica: je jasné, že jej aplikácia a súradnica sú nulové. Nájdeme úsečku. Ak to chcete urobiť, zvážte pravouhlý trojuholník. Bohužiaľ, v ňom poznáme iba preponu, ktorá sa rovná. Pokúsime sa nájsť nohu (pretože je jasné, že dvojnásobok dĺžky nohy nám dá úsečku bodu). Ako to môžeme hľadať? Spomeňme si, akú postavu máme na základni pyramídy? Toto je pravidelný šesťuholník. Čo to znamená? To znamená, že všetky strany a všetky uhly sú rovnaké. Musíme nájsť jeden taký kútik. Nejaké nápady? Existuje veľa nápadov, ale existuje vzorec:

Súčet uhlov pravidelného n-uholníka je .

Súčet uhlov pravidelného šesťuholníka je teda stupňov. Potom sa každý z uhlov rovná:

Pozrime sa ešte raz na obrázok. Je jasné, že segment je osou uhla. Potom je uhol stupňov. potom:

Potom kde.

Má teda súradnice

b) Teraz už ľahko nájdeme súradnicu bodu: .

c) Nájdite súradnice bodu. Keďže jej úsečka sa zhoduje s dĺžkou úsečky, je rovnaká. Nájdenie súradnice tiež nie je veľmi ťažké: ak spojíme body a a označíme priesečník priamky, povedzme pre. (urob si sám jednoduchú konštrukciu). Potom sa teda súradnica bodu B rovná súčtu dĺžok úsečiek. Pozrime sa znova na trojuholník. Potom

Potom od Potom má bod súradnice

d) Teraz nájdite súradnice bodu. Zvážte obdĺžnik a dokážte, že súradnice bodu sú teda:

e) Zostáva nájsť súradnice vrcholu. Je zrejmé, že jeho úsečka a ordináta sa zhodujú s úsečkou a osou bodu. Poďme nájsť aplikáciu. Odvtedy. Predstavte si pravouhlý trojuholník. Podľa stavu problému, bočný okraj. Toto je prepona môjho trojuholníka. Potom je výška pyramídy noha.

Potom má bod súradnice:

To je všetko, mám súradnice všetkých bodov záujmu. Hľadám súradnice smerových vektorov priamych čiar:

Hľadáme uhol medzi týmito vektormi:

odpoveď:

Opäť som pri riešení tohto problému nepoužil žiadne sofistikované triky, okrem vzorca pre súčet uhlov pravidelného n-uholníka, ako aj definíciu kosínusu a sínusu pravouhlého trojuholníka.

3. Keďže nám opäť nie sú dané dĺžky hrán v pyramíde, budem ich považovať za rovné jednej. Keďže teda VŠETKY hrany, a nielen bočné, sú si navzájom rovné, potom na základni pyramídy a ja leží štvorec a bočné strany sú pravidelné trojuholníky. Znázornime takú pyramídu, ako aj jej základňu na rovine, pričom označíme všetky údaje uvedené v texte problému:

Hľadáme uhol medzi a. Keď budem hľadať súradnice bodov, urobím veľmi stručné výpočty. Budete ich musieť „dešifrovať“:

b) - stred segmentu. Jej súradnice:

c) Dĺžku úsečky zistím pomocou Pytagorovej vety v trojuholníku. Nájdem podľa Pytagorovej vety v trojuholníku.

súradnice:

d) - stred segmentu. Jeho súradnice sú

e) Súradnice vektora

f) Vektorové súradnice

g) Hľadanie uhla:

Kocka je najjednoduchšia figúrka. Som si istý, že na to prídeš sám. Odpovede na problémy 4 a 5 sú nasledovné:

Nájdenie uhla medzi priamkou a rovinou

Čas jednoduchých hádaniek sa skončil! Teraz budú príklady ešte ťažšie. Aby sme našli uhol medzi priamkou a rovinou, budeme postupovať takto:

1. Pomocou troch bodov zostavíme rovnicu roviny
   ,
   pomocou determinantu tretieho rádu.
2. V dvoch bodoch hľadáme súradnice smerového vektora priamky:
3. Na výpočet uhla medzi priamkou a rovinou použijeme vzorec:

Ako vidíte, tento vzorec je veľmi podobný tomu, ktorý sme použili na nájdenie uhlov medzi dvoma čiarami. Štruktúra pravej strany je rovnaká a na ľavej teraz hľadáme sínus a nie kosínus, ako predtým. No a pribudla jedna nepekná akcia – hľadanie rovnice lietadla.

Neodkladajme riešenie príkladov:

1. Os-no-va-ni-em straight-moja cena-sme-la-et-xia rovnakí-ale-chudobní-ren-ny trojuholník-prezývku-s-tou cenou-sme si rovní. Nájdite uhol medzi priamkou a rovinou

2. V pravouhlom par-ral-le-le-pi-pe-de zo západu Nai-di-te uhol medzi priamkou a rovinou

3. V pravotočivom šesťuhoľnom hranole sú všetky hrany rovnaké. Nájdite uhol medzi priamkou a rovinou.

4. V pravo trojhrannej pi-ra-mi-de s os-but-va-ni-em od zpadu rebra Nai-di-te uhol, ob-ra-zo-van -ny rovina os. -no-va-niya a straight-my, prechádzajúce cez se-re-di-na rebier a

5. Dĺžky všetkých hrán pravého štvoruholníka pi-ra-mi-dy s vrcholom sú navzájom rovnaké. Nájdite uhol medzi priamkou a rovinou, ak je bod se-re-di-na bo-ko-in-tej hrane pi-ra-mi-dy.

Opäť prvé dva problémy vyriešim podrobne, tretí - stručne a posledné dva nechám na vás, aby ste si ich vyriešili sami. Okrem toho ste si už museli poradiť s trojuholníkovými a štvorhrannými pyramídami, no s hranolmi ešte nie.

Riešenia:

1. Nakreslite hranol, ako aj jeho základňu. Skombinujme to so súradnicovým systémom a označme všetky údaje, ktoré sú uvedené v probléme:

Ospravedlňujem sa za určité nedodržanie proporcií, ale pre vyriešenie problému to v skutočnosti nie je také dôležité. Lietadlo je len „zadná stena“ môjho hranola. Stačí jednoducho uhádnuť, že rovnica takejto roviny má tvar:

Dá sa to však zobraziť aj priamo:

Vyberieme ľubovoľné tri body v tejto rovine: napríklad .

Urobme rovnicu roviny:

Cvičenie pre vás: vypočítajte si tento determinant sami. Podarilo sa ti to? Potom má rovnica roviny tvar:

Alebo jednoducho

Touto cestou,

Na vyriešenie príkladu potrebujem nájsť súradnice smerového vektora priamky. Keďže bod sa zhodoval s počiatkom, súradnice vektora sa jednoducho zhodujú so súradnicami bodu. Aby sme to dosiahli, najprv nájdeme súradnice bodu.

Ak to chcete urobiť, zvážte trojuholník. Nakreslíme výšku (je to aj stred a os) zhora. Pretože potom je ordináta bodu rovnaká. Aby sme našli úsečku tohto bodu, musíme vypočítať dĺžku segmentu. Podľa Pytagorovej vety máme:

Potom má bod súradnice:

Bodka je „vyvýšená“ bodka:

Potom súradnice vektora:

odpoveď:

Ako vidíte, pri riešení takýchto problémov nie je nič zásadne ťažké. V skutočnosti „priamočiarosť“ figúry, ako je hranol, proces ešte o niečo zjednodušuje. Teraz prejdime k ďalšiemu príkladu:

2. Nakreslíme rovnobežnosten, nakreslíme do neho rovinu a priamku a tiež samostatne nakreslíme jeho spodnú základňu:

Najprv nájdeme rovnicu roviny: Súradnice troch bodov, ktoré v nej ležia:

(prvé dve súradnice sa získajú zrejmým spôsobom a poslednú súradnicu môžete ľahko nájsť z obrázka z bodu). Potom zostavíme rovnicu roviny:

Vypočítame:

Hľadáme súradnice smerového vektora: Je jasné, že jeho súradnice sa zhodujú so súradnicami bodu, však? Ako nájsť súradnice? Toto sú súradnice bodu, zvýšené pozdĺž osi aplikácie o jednu! . Potom hľadáme požadovaný uhol:

odpoveď:

3. Nakreslite pravidelnú šesťhrannú pyramídu a potom do nej nakreslite rovinu a priamku.

Tu je dokonca problematické nakresliť rovinu, nehovoriac o riešení tohto problému, ale súradnicová metóda sa nestará! Práve v jeho všestrannosti je jeho hlavná výhoda!

Rovina prechádza tromi bodmi: . Hľadáme ich súradnice:

jeden) . Zobrazte súradnice posledných dvoch bodov sami. Na to budete musieť vyriešiť problém so šesťhrannou pyramídou!

2) Zostavíme rovnicu roviny:

Hľadáme súradnice vektora: . (Znova pozri problém s trojuholníkovou pyramídou!)

3) Hľadáme uhol:

odpoveď:

Ako vidíte, v týchto úlohách nie je nič nadprirodzene ťažké. Len musíte byť veľmi opatrní s koreňmi. Na posledné dva problémy dám len odpovede:

Ako vidíte, technika riešenia problémov je všade rovnaká: hlavnou úlohou je nájsť súradnice vrcholov a dosadiť ich do nejakých vzorcov. Zostáva nám zvážiť ešte jednu triedu problémov na výpočet uhlov, a to:

Výpočet uhlov medzi dvoma rovinami

Algoritmus riešenia bude nasledovný:

1. Pre tri body hľadáme rovnicu prvej roviny:
2. Pre ostatné tri body hľadáme rovnicu druhej roviny:
3. Aplikujeme vzorec:

Ako vidíte, vzorec je veľmi podobný predchádzajúcim dvom, pomocou ktorých sme hľadali uhly medzi priamkami a medzi priamkou a rovinou. Zapamätať si tento teda pre vás nebude ťažké. Poďme rovno k problému:

1. Sto-ro-na základe pravého trojuholníkového hranola je rovnaké a uhlopriečka bočnej steny je rovnaká. Nájdite uhol medzi rovinou a rovinou základne ceny.

2. V pravej-dopredu štyri-you-re-uhlie-noy pi-ra-mi-de sú všetky hrany niekoho rovnaké, nájdite sínus uhla medzi rovinou a rovinou Ko-Stu, prechádzajúc cez bod per-pen-di-ku-lyar-ale rovno-my.

3. V pravidelnom štvoruhoľnom hranole sú strany os-no-va-nia rovnaké a bočné okraje sú rovnaké. Na hrane od-me-che-do bodu tak, že. Nájdite uhol medzi rovinami a

4. V pravom štvorhrannom hranole sú strany základne rovnaké a bočné hrany sú rovnaké. Na hrane od-me-che-do bodu tak, že Nájdite uhol medzi rovinami a.

5. V kocke nájdite ko-sinus uhla medzi rovinami a

Riešenia problémov:

1. Nakreslím pravidelný (na základni - rovnostranný trojuholník) trojuholníkový hranol a vyznačím na ňom roviny, ktoré sa objavujú v stave úlohy:

Potrebujeme nájsť rovnice dvoch rovín: Základná rovnica sa získa triviálne: môžete vytvoriť zodpovedajúci determinant pre tri body, ale rovno urobím rovnicu:

Teraz nájdime rovnicu Bod má súradnice Bod - Keďže - medián a výšku trojuholníka, je ľahké ho nájsť pomocou Pytagorovej vety v trojuholníku. Potom má bod súradnice: Nájdite aplikáciu bodu Za týmto účelom uvažujme pravouhlý trojuholník

Potom dostaneme tieto súradnice: Zostavíme rovnicu roviny.

Vypočítame uhol medzi rovinami:

odpoveď:

2. Vytvorenie výkresu:

Najťažšie je pochopiť, o akú záhadnú rovinu ide, prechádzajúcu bodom kolmo. No, hlavné je, čo to je? Hlavná vec je pozornosť! V skutočnosti je čiara kolmá. Čiara je tiež kolmá. Potom bude rovina prechádzajúca týmito dvoma čiarami kolmá na čiaru a mimochodom bude prechádzať bodom. Táto rovina prechádza aj vrcholom pyramídy. Potom požadovaná rovina - A rovina je nám už daná. Hľadáme súradnice bodov.

Cez bod nájdeme súradnicu bodu. Z malého nákresu sa dá ľahko vydedukovať, že súradnice bodu budú nasledovné: Čo teraz treba nájsť, aby sme našli súradnice vrcholu pyramídy? Ešte treba vypočítať jeho výšku. To sa robí pomocou rovnakej Pytagorovej vety: najprv to dokážte (triviálne z malých trojuholníkov tvoriacich štvorec na základni). Keďže podľa podmienok máme:

Teraz je všetko pripravené: súradnice vrcholov:

Zostavíme rovnicu roviny:

Už ste odborníkom na výpočet determinantov. Jednoducho dostanete:

Alebo inak (ak obe časti vynásobíme odmocninou z dvoch)

Teraz nájdime rovnicu roviny:

(Nezabudli ste, ako dostaneme rovnicu roviny, však? Ak nerozumiete, odkiaľ sa vzalo toto mínus, vráťte sa k definícii rovnice roviny! Pred tým to vždy vyšlo že moje lietadlo patrilo pôvodnému!)

Vypočítame determinant:

(Môžete si všimnúť, že rovnica roviny sa zhodovala s rovnicou priamky prechádzajúcej bodmi a! Zamyslite sa prečo!)

Teraz vypočítame uhol:

Musíme nájsť sínus:

odpoveď:

3. Záludná otázka: čo je to pravouhlý hranol, čo myslíš? Pre vás je to len dobre známy rovnobežnosten! Kreslenie ihneď! Základňu dokonca nemôžete vykresliť samostatne, tu je málo užitočné:

Rovina, ako sme už uviedli, je napísaná ako rovnica:

Teraz urobíme lietadlo

Okamžite zostavíme rovnicu roviny:

Hľadáte uhol pohľadu

Teraz odpovede na posledné dva problémy:

Teraz je čas na prestávku, pretože ty a ja sme skvelí a odviedli sme skvelú prácu!

Súradnice a vektory. Pokročilá úroveň

V tomto článku s vami rozoberieme ďalšiu triedu problémov, ktoré možno vyriešiť pomocou súradnicovej metódy: problémy so vzdialenosťou. Konkrétne budeme uvažovať o nasledujúcich prípadoch:

1. Výpočet vzdialenosti medzi šikmými čiarami.

Dané úlohy som si objednal tak, ako sa zvyšuje ich náročnosť. Najjednoduchšie je nájsť vzdialenosť bodu od roviny a najťažšie je nájsť vzdialenosť medzi pretínajúcimi sa čiarami. Aj keď, samozrejme, nič nie je nemožné! Neotáľajme a okamžite pristúpme k úvahe o prvej triede problémov:

Výpočet vzdialenosti od bodu k rovine

Čo potrebujeme na vyriešenie tohto problému?

1. Súradnice bodu

Takže hneď ako získame všetky potrebné údaje, použijeme vzorec:

Už by ste mali vedieť, ako zostavujeme rovnicu roviny z predchádzajúcich úloh, ktoré som rozoberal v minulej časti. Poďme hneď na vec. Schéma je nasledovná: 1, 2 - pomôžem vám rozhodnúť sa a podrobne 3, 4 - iba odpoveď, sami sa rozhodnite a porovnajte. Začalo!

Úlohy:

1. Daná kocka. Dĺžka hrany kocky je Nájdite-di-te vzdialenosť od se-re-di-ny od rezu po rovinu

2. Vzhľadom na pravú-vil-naya štyri-you-rekh-uhlie-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe hrana sto-ro-na os-no-va-nia sa rovná. Nájdite-di-tie vzdialenosti od bodu k rovine, kde - se-re-di-na hranách.

3. V pravom trojuholníkovom pi-ra-mi-de s os-but-va-ni-em je druhý okraj rovný a sto-ro-on os-no-vaniya sa rovná. Nájdite-di-tie vzdialenosti od vrcholu k rovine.

4. V pravotočivom šesťuhoľnom hranole sú všetky hrany rovnaké. Nájdite-di-tie vzdialenosti od bodu k rovine.

Riešenia:

1. Nakreslite kocku s jednoduchými hranami, vytvorte úsečku a rovinu, stred úsečky označte písmenom

.

Najprv začnime jednoduchým: nájdite súradnice bodu. Odvtedy (zapamätajte si súradnice stredu segmentu!)

Teraz zostavíme rovnicu roviny na troch bodoch

\[\left| (\začiatok(pole)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\koniec(pole)) \vpravo| = 0\]

Teraz môžem začať hľadať vzdialenosť:

2. Opäť začíname výkresom, na ktorý si zaznačíme všetky údaje!

Pre pyramídu by bolo užitočné nakresliť jej základňu samostatne.

Ani skutočnosť, že kreslím ako kuracia labka, nám nezabráni ľahko vyriešiť tento problém!

Teraz je ľahké nájsť súradnice bodu

Od súradníc bodu

2. Keďže súradnice bodu a sú stredom segmentu, potom

Ľahko nájdeme súradnice ďalších dvoch bodov v rovine, rovnicu roviny zostavíme a zjednodušíme:

\[\left| (\left| (\begin(pole)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(pole)) \right|) \right| = 0\]

Keďže bod má súradnice: , vypočítame vzdialenosť:

Odpoveď (veľmi zriedkavé!):

Dobre, pochopili ste? Zdá sa mi, že všetko je tu rovnako technické ako v príkladoch, ktoré sme s vami zvažovali v predchádzajúcej časti. Som si teda istý, že ak ste tento materiál zvládli, nebude pre vás ťažké vyriešiť zvyšné dva problémy. Dám vám len odpovede:

Výpočet vzdialenosti od priamky k rovine

V skutočnosti tu nie je nič nové. Ako môžu byť čiara a rovina umiestnené voči sebe navzájom? Majú všetky možnosti: pretínať sa, alebo je priamka rovnobežná s rovinou. Aká je podľa vás vzdialenosť od priamky k rovine, s ktorou sa daná priamka pretína? Zdá sa mi, že je jasné, že takáto vzdialenosť sa rovná nule. Nezaujímavý prípad.

Druhý prípad je zložitejší: tu je vzdialenosť už nenulová. Keďže je však priamka rovnobežná s rovinou, potom je každý bod priamky od tejto roviny rovnako vzdialený:

Touto cestou:

A to znamená, že moja úloha sa zredukovala na predchádzajúcu: hľadáme súradnice ľubovoľného bodu na priamke, hľadáme rovnicu roviny, vypočítame vzdialenosť od bodu k rovine. V skutočnosti sú takéto úlohy na skúške mimoriadne zriedkavé. Podarilo sa mi nájsť len jeden problém a údaje v ňom boli také, že súradnicová metóda sa naň veľmi nehodila!

Teraz prejdime k inej, oveľa dôležitejšej triede problémov:

Výpočet vzdialenosti bodu od priamky

Čo budeme potrebovať?

1. Súradnice bodu, od ktorého hľadáme vzdialenosť:

2. Súradnice ľubovoľného bodu ležiaceho na priamke

3. Súradnice smerového vektora priamky

Aký vzorec používame?

Čo pre vás znamená menovateľ tohto zlomku, a preto by malo byť jasné: toto je dĺžka smerového vektora priamky. Tu je veľmi zložitý čitateľ! Výraz znamená modul (dĺžku) vektorového súčinu vektorov a Ako vypočítať vektorový súčin sme študovali v predchádzajúcej časti práce. Osviežte si svoje vedomosti, teraz nám to bude veľmi užitočné!

Algoritmus na riešenie problémov bude teda nasledujúci:

1. Hľadáme súradnice bodu, od ktorého hľadáme vzdialenosť:

2. Hľadáme súradnice ľubovoľného bodu na priamke, ku ktorému hľadáme vzdialenosť:

3. Zostavenie vektora

4. Zostrojíme smerový vektor priamky

5. Vypočítajte krížový súčin

6. Hľadáme dĺžku výsledného vektora:

7. Vypočítajte vzdialenosť:

Máme veľa práce a príklady budú dosť zložité! Takže teraz sústreďte všetku svoju pozornosť!

1. Dana je pravotočivá trojuholníková pi-ra-mi-da s vrcholom. Sto-ro-na os-no-va-niya pi-ra-mi-dy sa rovná, vy-so-ta sa rovná. Nájdite-di-tie vzdialenosti od se-re-di-ny bo-ko-tej hrany k priamke, kde body a sú se-re-di-ny rebier a co-od- vet. -stven-ale.

2. Dĺžky rebier a pravý-uhol-no-para-ral-le-le-pi-pe-da sú rovnaké a vzdialenosť Find-di-te od top-shi-ny k priamemu-my

3. V pravom šesťuhoľnom hranole sú všetky okraje roja rovnaké, nájdite vzdialenosť od bodu k priamke

Riešenia:

1. Urobíme úhľadný výkres, na ktorom zaznačíme všetky údaje:

Máme pre vás veľa práce! Najprv by som chcel slovami opísať, čo budeme hľadať a v akom poradí:

1. Súradnice bodov a

2. Súradnice bodu

3. Súradnice bodov a

4. Súradnice vektorov a

5. Ich krížový produkt

6. Dĺžka vektora

7. Dĺžka vektorového súčinu

8. Vzdialenosť od do

No, máme veľa práce! Vyhrňme si rukávy!

1. Aby sme našli súradnice výšky pyramídy, potrebujeme poznať súradnice bodu, ktorého aplikácia je nula a ordináta sa rovná jeho úsečke. Nakoniec sme dostali súradnice:

Súradnice bodu

2. - stred segmentu

3. - stred segmentu

stredný bod

4.Súradnice

Vektorové súradnice

5. Vypočítajte vektorový súčin:

6. Dĺžka vektora: najjednoduchší spôsob je nahradiť, že segment je stredná čiara trojuholníka, čo znamená, že sa rovná polovici základne. Takže to.

7. Uvažujeme dĺžku vektorového súčinu:

8. Nakoniec nájdite vzdialenosť:

Fíha, to je všetko! Úprimne vám poviem: vyriešiť tento problém pomocou tradičných metód (cez konštrukcie) by bolo oveľa rýchlejšie. Ale tu som všetko zredukoval na hotový algoritmus! Myslím, že algoritmus riešenia je vám jasný? Preto vás požiadam, aby ste zvyšné dva problémy vyriešili svojpomocne. Porovnať odpovede?

Opäť opakujem: je jednoduchšie (rýchlejšie) vyriešiť tieto problémy pomocou konštrukcií, než sa uchýliť k súradnicovej metóde. Tento spôsob riešenia som demonštroval len preto, aby som vám ukázal univerzálnu metódu, ktorá vám umožní „nič nedokončiť“.

Nakoniec zvážte poslednú triedu problémov:

Výpočet vzdialenosti medzi šikmými čiarami

Tu bude algoritmus na riešenie problémov podobný predchádzajúcemu. Čo máme:

3. Akýkoľvek vektor spájajúci body prvého a druhého riadku:

Ako zistíme vzdialenosť medzi čiarami?

Vzorec je:

Čitateľ je modul zmiešaného súčinu (uviedli sme ho v predchádzajúcej časti) a menovateľ - ako v predchádzajúcom vzorci (modul vektorového súčinu smerovacích vektorov čiar, vzdialenosť medzi ktorými sa pozeráme pre).

Pripomeniem ti to

potom vzorec vzdialenosti možno prepísať ako:

Vydeľte tento determinant determinantom! Aj keď pravdu povediac, nemám tu náladu na vtipy! Tento vzorec je v skutočnosti veľmi ťažkopádny a vedie k pomerne komplikovaným výpočtom. Na tvojom mieste by som to použil len ako poslednú možnosť!

Pokúsme sa vyriešiť niekoľko problémov pomocou vyššie uvedenej metódy:

1. V pravom trojuholníkovom hranole sú všetky hrany akosi rovnaké, nájdite vzdialenosť medzi priamkami a.

2. Daný pravouhlý trojuholníkový hranol, všetky okraje os-no-va-niya niekoho sú rovné Se-che-tion, prechádzajúce cez druhé rebro a se-re-di-nu rebrá sú yav-la-et-sya štvorec-ra-tom. Nájsť-di-te dis-sto-I-nie medzi rovno-we-mi a

Ja rozhodujem o prvom a na základe toho sa ty rozhoduješ o druhom!

1. Nakreslím hranol a označím čiary a

Súradnice bodu C: potom

Súradnice bodu

Vektorové súradnice

Súradnice bodu

Vektorové súradnice

Vektorové súradnice

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\začiatok(pole)(*(20)(l))(\začiatok(pole)(*(20)(c))0&1&0\koniec(pole))\\(\začiatok(pole)(*(20) (c))0&0&1\end(pole))\\(\začiatok(pole)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\koniec(pole))\koniec(pole)) \vpravo| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Uvažujeme krížový súčin medzi vektormi a

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(pole)(l)\begin(pole)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(pole)\\\begin(pole )(*(20)(c))0&0&1\end(pole)\\\začiatok(pole)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(pole)\end(pole) \vpravo| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\šípka vpravo k + \frac(1)(2)\šípka vpravo i \]

Teraz zvážime jeho dĺžku:

odpoveď:

Teraz sa pokúste starostlivo dokončiť druhú úlohu. Odpoveď na to bude:.

Súradnice a vektory. Stručný popis a základné vzorce

Vektor je riadený segment. - začiatok vektora, - koniec vektora.
Vektor je označený alebo.

Absolútna hodnota vektor - dĺžka segmentu reprezentujúceho vektor. Označený ako.

Vektorové súradnice:

,
kde sú konce vektora \displaystyle a .

Súčet vektorov: .

Súčin vektorov:

Bodový súčin vektorov:

Skalárny súčin vektorov sa rovná súčinu ich absolútnych hodnôt a kosínusu uhla medzi nimi:

OSTATNÉ 2/3 ČLÁNKOV SÚ K DISPOZÍCII LEN PRE MLADŠÍCH ŠTUDENTOV!

Staňte sa študentom YouClever,

Pripravte sa na OGE alebo USE v matematike za cenu „šálky kávy za mesiac“,

A tiež získate neobmedzený prístup k učebnici „YouClever“, školiacemu programu „100gia“ (kniha riešení), neobmedzené skúšobné USE a OGE, 6000 úloh s analýzou riešení a ďalšie služby YouClever a 100gia.

Vzorec na výpočet vzdialenosti od bodu k priamke v rovine

Ak je daná rovnica priamky Ax + By + C = 0, potom vzdialenosť od bodu M(M x , M y) k priamke možno nájsť pomocou nasledujúceho vzorca

Príklady úloh na výpočet vzdialenosti od bodu k priamke v rovine

Príklad 1

Nájdite vzdialenosť medzi priamkou 3x + 4y - 6 = 0 a bodom M(-1, 3).

Riešenie. Dosaďte do vzorca koeficienty priamky a súradnice bodu

odpoveď: vzdialenosť od bodu k čiare je 0,6.

rovnica roviny prechádzajúcej bodmi kolmými na vektorVšeobecná rovnica roviny

Volá sa nenulový vektor kolmý na danú rovinu normálny vektor (alebo v skratke normálne ) pre toto lietadlo.

Nech je v súradnicovom priestore (v pravouhlom súradnicovom systéme) daný:

a) bodka ;

b) nenulový vektor (obr. 4.8, a).

Je potrebné napísať rovnicu pre rovinu prechádzajúcu bodom kolmo na vektor Koniec dokazovania.

Uvažujme teraz o rôznych typoch rovníc priamky v rovine.

1) Všeobecná rovnica rovinyP .

Z odvodenia rovnice vyplýva, že zároveň A, B a C nerovná sa 0 (vysvetlite prečo).

Bod patrí rovine P iba ak jeho súradnice spĺňajú rovnicu roviny. V závislosti od koeficientov A, B, C a D lietadlo P zaujíma jednu alebo druhú pozíciu.

- rovina prechádza počiatkom súradnicového systému, - rovina neprechádza počiatkom súradnicového systému,

- rovina je rovnobežná s osou X,

X,

- rovina je rovnobežná s osou Y,

- rovina nie je rovnobežná s osou Y,

- rovina je rovnobežná s osou Z,

- rovina nie je rovnobežná s osou Z.

Dokážte tieto tvrdenia sami.

Rovnica (6) sa dá ľahko odvodiť z rovnice (5). Skutočne, nechajte bod ležať na rovine P. Potom jej súradnice vyhovujú rovnici Odčítaním rovnice (7) od rovnice (5) a zoskupením členov dostaneme rovnicu (6). Zvážte teraz dva vektory so súradnicami, resp. Zo vzorca (6) vyplýva, že ich skalárny súčin sa rovná nule. Preto je vektor kolmý na vektor Začiatok a koniec posledného vektora sú v bodoch, ktoré patria do roviny P. Preto je vektor kolmý na rovinu P. Vzdialenosť od bodu k rovine P, ktorého všeobecná rovnica je sa určuje podľa vzorca Dôkaz tohto vzorca je úplne podobný dôkazu vzorca pre vzdialenosť medzi bodom a priamkou (pozri obr. 2).
Ryža. 2. K odvodeniu vzorca pre vzdialenosť medzi rovinou a priamkou.

Naozaj, vzdialenosť d medzi priamkou a rovinou je

kde je bod ležiaci na rovine. Odtiaľto, ako v prednáške č. 11, sa získa vyššie uvedený vzorec. Dve roviny sú rovnobežné, ak sú ich normálové vektory rovnobežné. Odtiaľ dostaneme podmienku rovnobežnosti dvoch rovín - koeficienty všeobecných rovníc rovín. Dve roviny sú kolmé, ak sú ich normálové vektory kolmé, preto získame podmienku kolmosti dvoch rovín, ak sú známe ich všeobecné rovnice

Rohový f medzi dvoma rovinami sa rovná uhlu medzi ich normálovými vektormi (pozri obr. 3) a možno ho teda vypočítať zo vzorca
Určenie uhla medzi rovinami.

(11)

Vzdialenosť od bodu k rovine a ako ju nájsť

Vzdialenosť od bodu k lietadlo je dĺžka kolmice spadnutej z bodu do tejto roviny. Existujú najmenej dva spôsoby, ako nájsť vzdialenosť od bodu k rovine: geometrický a algebraické.

S geometrickou metódou najprv musíte pochopiť, ako je kolmica umiestnená z bodu do roviny: možno leží v nejakej vhodnej rovine, je to výška v nejakom vhodnom (alebo nie takom) trojuholníku, alebo možno táto kolmica je vo všeobecnosti výškou nejakej pyramídy .

Po tejto prvej a najťažšej etape sa problém rozpadne na niekoľko špecifických planimetrických úloh (možno v rôznych rovinách).

S algebraickým spôsobom aby ste našli vzdialenosť od bodu k rovine, musíte zadať súradnicový systém, nájsť súradnice bodu a rovnicu roviny a potom použiť vzorec pre vzdialenosť od bodu k rovine.

Vzdialenosť od bodu k priamke je dĺžka kolmice od bodu k priamke. V deskriptívnej geometrii sa určuje graficky podľa nižšie uvedeného algoritmu.

Algoritmus

1. Priamka sa prenesie do polohy, v ktorej bude rovnobežná s akoukoľvek rovinou premietania. Na tento účel použite metódy transformácie ortogonálnych projekcií.
2. Nakreslite kolmicu z bodu na priamku. Táto konštrukcia je založená na vete o projekcii pravého uhla.
3. Dĺžka kolmice sa určí prevodom jej priemetov alebo metódou pravouhlého trojuholníka.

Nasledujúci obrázok znázorňuje komplexný výkres bodu M a priamky b definovanej úsečkou CD. Musíte nájsť vzdialenosť medzi nimi.

Podľa nášho algoritmu prvá vec, ktorú musíte urobiť, je presunúť čiaru do polohy rovnobežnej s rovinou projekcie. Je dôležité pochopiť, že po transformáciách by sa skutočná vzdialenosť medzi bodom a čiarou nemala meniť. Preto je tu vhodné použiť metódu výmeny roviny, ktorá nezahŕňa pohyb figúr v priestore.

Výsledky prvej etapy výstavby sú uvedené nižšie. Obrázok ukazuje, ako sa zavedie ďalšia čelná rovina P 4 rovnobežne s b. V novom systéme (P 1 , P 4) sú body C"" 1, D"" 1, M"" 1 v rovnakej vzdialenosti od osi X 1 ako C"", D"", M"" od os x.

Pri vykonávaní druhej časti algoritmu z M"" 1 spustíme kolmicu M"" 1 N"" 1 na priamku b"" 1, pretože pravý uhol MND medzi b a MN sa premieta do roviny P 4 v plnej veľkosti. Určíme polohu bodu N" pozdĺž komunikačnej čiary a nakreslíme priemet M"N" segmentu MN.

V záverečnej fáze je potrebné určiť hodnotu segmentu MN jeho projekciami M"N" a M"" 1 N"" 1 . Za týmto účelom postavíme pravouhlý trojuholník M "" 1 N "" 1 N 0 , v ktorom sa rameno N "" 1 N 0 rovná rozdielu (Y M 1 - Y N 1) odstránenia bodov M. "a N" od osi X1. Dĺžka prepony M"" 1 N 0 trojuholníka M"" 1 N"" 1 N 0 zodpovedá požadovanej vzdialenosti od M po b.

Druhý spôsob riešenia

• Paralelne s CD predstavujeme novú čelnú rovinu П 4 . Pretína P1 pozdĺž osi X1 a X1∥C"D". V súlade so spôsobom výmeny rovín určíme priemety bodov C"" 1, D"" 1 a M"" 1, ako je znázornené na obrázku.
• Kolmo na C "" 1 D "" 1 postavíme ďalšiu horizontálnu rovinu P 5, na ktorú sa priamka b premieta do bodu C" 2 \u003d b" 2.
• Vzdialenosť medzi bodom M a priamkou b je určená dĺžkou úsečky M „2 C“ 2 vyznačenej červenou farbou.

Súvisiace úlohy: