Šiame straipsnyje kalbama apie temą « atstumas nuo taško iki linijos », atstumo nuo taško iki tiesės apibrėžimai nagrinėjami iliustruotais pavyzdžiais koordinačių metodu. Kiekvienas teorijos blokas pabaigoje parodė panašių problemų sprendimo pavyzdžius.

Atstumas nuo taško iki linijos randamas nustatant atstumą nuo taško iki taško. Panagrinėkime išsamiau.

Tegu yra tiesė a ir taškas M 1, nepriklausantys duotai tiesei. Per ją nubrėžkite liniją, statmeną tiesei a. Paimkite tiesių susikirtimo tašką kaip H 1. Gauname, kad M 1 H 1 yra statmenas, nuleistas nuo taško M 1 iki tiesės a.

1 apibrėžimas

Atstumas nuo taško M 1 iki tiesės a vadinamas atstumu tarp taškų M 1 ir H 1 .

Yra apibrėžimo įrašai su statmens ilgio figūra.

2 apibrėžimas

Atstumas nuo taško iki linijos yra statmens, nubrėžto nuo nurodyto taško iki nurodytos tiesės, ilgis.

Apibrėžimai yra lygiaverčiai. Apsvarstykite žemiau esantį paveikslą.

Yra žinoma, kad atstumas nuo taško iki tiesės yra mažiausias iš visų galimų. Pažvelkime į tai su pavyzdžiu.

Jei imsime tašką Q, esantį ant tiesės a, nesutampantį su tašku M 1, tai gausime, kad atkarpa M 1 Q vadinama įstrižaine, nuleista nuo M 1 iki tiesės a. Būtina nurodyti, kad statmuo nuo taško M 1 yra mažesnis nei bet kuris kitas įstrižas, nubrėžtas nuo taško iki tiesės.

Norėdami tai įrodyti, apsvarstykite trikampį M 1 Q 1 H 1 , kur M 1 Q 1 yra hipotenuzė. Yra žinoma, kad jo ilgis visada yra didesnis nei bet kurios kojos ilgis. Taigi mes turime tą M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Pradiniai duomenys ieškant nuo taško iki tiesės leidžia naudoti kelis sprendimo būdus: per Pitagoro teoremą, sinuso, kosinuso, kampo liestinės ir kt. Dauguma tokio tipo užduočių sprendžiamos mokykloje per geometrijos pamokas.

Kai ieškant atstumo nuo taško iki linijos galima įvesti stačiakampę koordinačių sistemą, tuomet naudojamas koordinačių metodas. Šioje pastraipoje aptariame du pagrindinius būdus, kaip rasti norimą atstumą nuo tam tikro taško.

Pirmasis metodas apima atstumą kaip statmeną, nubrėžtą nuo M 1 iki tiesės a. Antrasis metodas naudoja normalią tiesės a lygtį, kad surastų reikiamą atstumą.

Jei plokštumoje yra taškas su koordinatėmis M 1 (x 1, y 1), esantis stačiakampėje koordinačių sistemoje, tiesė a, ir jums reikia rasti atstumą M 1 H 1, galite skaičiuoti dviem būdais. Apsvarstykime juos.

Pirmas būdas

Jei yra taško H 1 koordinatės, lygios x 2, y 2, tai atstumas nuo taško iki tiesės apskaičiuojamas iš koordinačių pagal formulę M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 – y 1) 2.

Dabar pereikime prie taško H 1 koordinačių paieškos.

Yra žinoma, kad tiesė O x y atitinka tiesės lygtį plokštumoje. Paimkime būdą, kaip apibrėžti tiesę a, parašydami bendrąją tiesės lygtį arba lygtį su nuolydžiu. Sudarome tiesės, einančios per tašką M 1, statmeną duotai tiesei a, lygtį. Liniją pažymėkime buku b . H 1 yra tiesių a ir b susikirtimo taškas, todėl norėdami nustatyti koordinates, turite naudoti straipsnį, kuriame kalbama apie dviejų linijų susikirtimo taškų koordinates.

Matyti, kad atstumo nuo tam tikro taško M 1 (x 1, y 1) iki tiesės a nustatymo algoritmas atliekamas pagal taškus:

3 apibrėžimas

• rasti bendrąją tiesės a lygtį, kurios forma yra A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0, arba lygtį su nuolydžio koeficientu, kurios forma yra y \u003d k 1 x + b 1;
• gauti bendrąją tiesės b lygtį, kurios forma yra A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0, arba lygtį su nuolydžiu y \u003d k 2 x + b 2, jei tiesė b kerta tašką M 1 ir yra statmena duotai tiesei a;
• taško H 1, kuris yra a ir b susikirtimo taškas, koordinačių x 2, y 2 nustatymas, tam sprendžiama tiesinių lygčių sistema A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 arba y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
• reikiamo atstumo nuo taško iki tiesės apskaičiavimas, naudojant formulę M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Antras būdas

Teorema gali padėti atsakyti į klausimą, kaip rasti atstumą nuo tam tikro taško iki nurodytos plokštumos linijos.

Teorema

Stačiakampė koordinačių sistema turi O x y tašką M 1 (x 1, y 1), iš kurio į plokštumą nubrėžta tiesė a, gauta pagal normaliąją plokštumos lygtį, kurios forma cos α x + cos β y - p \u003d 0, lygi dydžiui, gautai kairėje normalios tiesės lygties pusėje, apskaičiuotai x = x 1, y = y 1, reiškia, kad M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p.

Įrodymas

Tiesė a atitinka normaliąją plokštumos lygtį, kurios forma yra cos α x + cos β y - p = 0, tada n → = (cos α , cos β) laikoma normaliu tiesės a vektoriumi ties a. atstumas nuo pradžios iki tiesės a su p vienetais . Reikia visus duomenis pavaizduoti paveiksle, pridėti tašką su koordinatėmis M 1 (x 1, y 1) , kur taško spindulio vektorius M 1 - O M 1 → = (x 1 , y 1) . Nuo taško iki tiesės reikia nubrėžti tiesę, kurią pažymėsime M 1 H 1 . Reikia parodyti taškų M 1 ir H 2 projekcijas M 2 ir H 2 į tiesę, einančią per tašką O su krypties vektoriumi formos n → = (cos α , cos β) , ir pažymime vektoriaus skaitinė projekcija kaip O M 1 → = (x 1 , y 1) kryptimi n → = (cos α , cos β) kaip n p n → O M 1 → .

Variacijos priklauso nuo paties taško M 1 vietos. Apsvarstykite žemiau esantį paveikslą.

Rezultatus fiksuojame naudodami formulę M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p . Tada lygybę pateikiame į šią formą M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p, kad gautume n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .

Iš vektorių skaliarinės sandaugos gaunama transformuota formulė, kurios forma yra n → , O M → 1 = n → n p n → O M 1 → = 1 n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , kuri yra sandauga koordinačių pavidalu. forma n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Taigi gauname, kad n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Iš to seka, kad M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p . Teorema įrodyta.

Gauname, kad norint rasti atstumą nuo taško M 1 (x 1, y 1) iki tiesės a plokštumoje, reikia atlikti kelis veiksmus:

4 apibrėžimas

• tiesės a cos α · x + cos β · y - p = 0 normaliosios lygties gavimas, jei jos nėra užduotyje;
• išraiškos cos α · x 1 + cos β · y 1 - p apskaičiavimas , kur gaunama reikšmė yra M 1 H 1 .

Taikykime šiuos metodus, kad išspręstume atstumo nuo taško iki plokštumos nustatymo problemas.

1 pavyzdys

Raskite atstumą nuo taško koordinatėmis M 1 (- 1 , 2) iki tiesės 4 x - 3 y + 35 = 0 .

Sprendimas

Naudokime pirmąjį sprendimo būdą.

Norėdami tai padaryti, turite rasti bendrąją tiesės b lygtį, kuri eina per duotą tašką M 1 (- 1 , 2), statmeną tiesei 4 x - 3 y + 35 = 0 . Iš sąlygos matyti, kad tiesė b yra statmena tiesei a, tada jos krypties vektorius turi koordinates, lygias (4, - 3) . Taigi, turime galimybę plokštumoje užrašyti kanoninę tiesės b lygtį, kadangi yra taško M 1, priklauso tiesei b, koordinatės. Nustatykime tiesės b krypties vektoriaus koordinates. Gauname, kad x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3 . Gautą kanoninę lygtį reikia konvertuoti į bendrąją. Tada mes tai gauname

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 (x + 1) = 4 (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

Raskime tiesių susikirtimo taškų koordinates, kurias laikysime žymėjimu H 1. Transformacijos atrodo taip:

4 x - 3 m + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 m - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 m - 35 4 3 3 4 m - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

Iš to, kas išdėstyta aukščiau, gauname, kad taško H 1 koordinatės yra (- 5; 5) .

Būtina apskaičiuoti atstumą nuo taško M 1 iki tiesės a. Turime taškų M 1 (- 1, 2) ir H 1 (- 5, 5) koordinates, tada pakeičiame į atstumo nustatymo formulę ir gauname, kad

M 1 H 1 \u003d (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 \u003d 25 \u003d 5

Antrasis sprendimas.

Norint išspręsti kitu būdu, reikia gauti normaliąją tiesės lygtį. Apskaičiuojame normalizuojančio koeficiento reikšmę ir padauginame abi lygties puses 4 x - 3 y + 35 = 0 . Iš čia gauname, kad normalizavimo koeficientas yra - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5 , o normalioji lygtis bus tokios formos - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

Pagal skaičiavimo algoritmą reikia gauti normaliąją tiesės lygtį ir apskaičiuoti ją reikšmėmis x = - 1 , y = 2 . Tada mes tai gauname

4 5 - 1 + 3 5 2 - 7 = - 5

Iš čia gauname, kad atstumas nuo taško M 1 (- 1 , 2) iki nurodytos tiesės 4 x - 3 y + 35 = 0 turi reikšmę - 5 = 5 .

Atsakymas: 5 .

Matyti, kad taikant šį metodą svarbu naudoti normaliąją tiesės lygtį, nes šis metodas yra trumpiausias. Tačiau pirmasis metodas patogus tuo, kad yra nuoseklus ir logiškas, nors turi daugiau skaičiavimo taškų.

2 pavyzdys

Plokštumoje yra stačiakampė koordinačių sistema O x y su tašku M 1 (8, 0) ir tiese y = 1 2 x + 1. Raskite atstumą nuo nurodyto taško iki tiesės.

Sprendimas

Sprendimas pirmuoju būdu reiškia tam tikros lygties su nuolydžio koeficientu redukavimą į bendrąją lygtį. Norėdami supaprastinti, galite tai padaryti kitaip.

Jei statmenų tiesių nuolydžių sandauga yra - 1 , tai tiesės, statmenos duotajam y = 1 2 x + 1, nuolydis yra 2 . Dabar gauname tiesės, einančios per tašką, kurio koordinatės M 1 (8, 0) , lygtį. Turime, kad y - 0 = - 2 (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

Toliau ieškome taško H 1 koordinačių, tai yra, susikirtimo taškų y \u003d - 2 x + 16 ir y \u003d 1 2 x + 1. Sudarome lygčių sistemą ir gauname:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 6 + 1 x \u003d 6 \u003d y \u003d 4 x \u003d 6 ⇒ H 1 (6, 4)

Iš to išplaukia, kad atstumas nuo taško su koordinatėmis M 1 (8 , 0) iki tiesės y = 1 2 x + 1 yra lygus atstumui nuo pradžios taško ir pabaigos taško, kurių koordinatės M 1 (8 , 0) ir H. 1 (6, 4) . Apskaičiuokime ir gaukime, kad M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5 .

Antrasis sprendimas yra pereiti nuo lygties su koeficientu į normaliąją formą. Tai yra, mes gauname y \u003d 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 \u003d 0, tada normalizavimo koeficiento reikšmė bus - 1 1 2 2 + (- 1) 2 \u003d - 2 5 . Iš to seka, kad normalioji tiesės lygtis įgauna formą - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Apskaičiuokime nuo taško M 1 8 , 0 iki formos tiesės - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Mes gauname:

M 1 H 1 \u003d - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 \u003d - 10 5 \u003d 2 5

Atsakymas: 2 5 .

3 pavyzdys

Reikia apskaičiuoti atstumą nuo taško, kurio koordinatės M 1 (- 2 , 4), iki tiesių 2 x - 3 = 0 ir y + 1 = 0 .

Sprendimas

Gauname tiesės 2 x - 3 = 0 normaliosios formos lygtį:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

Tada mes pradedame skaičiuoti atstumą nuo taško M 1 - 2, 4 iki tiesės x - 3 2 = 0. Mes gauname:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

Tiesios linijos lygtis y + 1 = 0 turi normalizavimo koeficientą, kurio reikšmė yra -1. Tai reiškia, kad lygtis bus tokia: y-1 = 0. Toliau skaičiuojame atstumą nuo taško M 1 (- 2 , 4) iki tiesės - y - 1 = 0 . Gauname, kad jis lygus - 4 - 1 = 5.

Atsakymas: 3 1 2 ir 5 .

Išsamiai panagrinėkime atstumo nuo nurodyto plokštumos taško iki koordinačių ašių O x ir O y nustatymą.

Stačiakampėje koordinačių sistemoje ašis O y turi tiesės lygtį, kuri yra neišsami ir turi formą x \u003d 0, o O x - y \u003d 0. Koordinačių ašims lygtys yra normalios, tuomet reikia rasti atstumą nuo taško su koordinatėmis M 1 x 1 , y 1 iki tiesių. Tai daroma remiantis formulėmis M 1 H 1 = x 1 ir M 1 H 1 = y 1 . Apsvarstykite žemiau esantį paveikslą.

4 pavyzdys

Raskite atstumą nuo taško M 1 (6, - 7) iki koordinačių linijų, esančių O x y plokštumoje.

Sprendimas

Kadangi lygtis y \u003d 0 nurodo tiesę O x, atstumą nuo M 1 su nurodytomis koordinatėmis iki šios linijos galite rasti naudodami formulę. Gauname, kad 6 = 6.

Kadangi lygtis x \u003d 0 nurodo tiesę O y, atstumą nuo M 1 iki šios linijos galite rasti naudodami formulę. Tada gauname, kad - 7 = 7 .

Atsakymas: atstumas nuo M 1 iki O x yra 6, o nuo M 1 iki O y yra 7.

Kai trimatėje erdvėje turime tašką, kurio koordinatės M 1 (x 1, y 1, z 1), reikia rasti atstumą nuo taško A iki tiesės a.

Apsvarstykite du būdus, leidžiančius apskaičiuoti atstumą nuo taško iki tiesės, esančios erdvėje. Pirmuoju atveju atsižvelgiama į atstumą nuo taško M 1 iki tiesės, kur tiesės taškas vadinamas H 1 ir yra statmens, nubrėžto iš taško M 1 į tiesę a, pagrindas. Antrasis atvejis rodo, kad šios plokštumos taškų reikia ieškoti kaip lygiagretainio aukščio.

Pirmas būdas

Iš apibrėžimo gauname, kad atstumas nuo taško M 1, esančio tiesėje a, yra statmenos M 1 H 1 ilgis, tada gauname tai su rastomis taško H 1 koordinatėmis, tada randame atstumą tarp M 1 (x 1, y 1, z 1 ) ir H 1 (x 1, y 1, z 1), remiantis formule M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

Gauname, kad visas sprendimas yra skirtas rasti statmens, nubrėžto nuo M 1 iki tiesės a, pagrindo koordinates. Tai daroma taip: H 1 yra taškas, kuriame tiesė a susikerta su plokštuma, kuri eina per nurodytą tašką.

Tai reiškia, kad atstumo nuo taško M 1 (x 1, y 1, z 1) iki erdvės tiesės a nustatymo algoritmas apima kelis taškus:

5 apibrėžimas

• plokštumos χ lygties sudarymas kaip plokštumos, einančios per duotąjį tašką, statmeną tiesei, lygtį;
• koordinačių (x 2 , y 2 , z 2 ), priklausančių taškui H 1, kuris yra tiesės a ir plokštumos χ susikirtimo taškas, nustatymas;
• atstumo nuo taško iki tiesės apskaičiavimas naudojant formulę M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

Antras būdas

Iš sąlygos turime tiesę a, tada galime nustatyti krypties vektorių a → = a x, a y, a z su koordinatėmis x 3, y 3, z 3 ir tam tikru tiesei a priklausančiu tašku M 3. Atsižvelgiant į taškų M 1 (x 1 , y 1) ir M 3 x 3 koordinates, y 3 , z 3 , M 3 M 1 → galima apskaičiuoti:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

Būtina atidėti vektorius a → \u003d a x, a y, a z ir M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 iš taško M 3, sujungti ir gauti lygiagretainio figūra. M 1 H 1 yra lygiagretainio aukštis.

Apsvarstykite žemiau esantį paveikslą.

Turime, kad aukštis M 1 H 1 yra norimas atstumas, tada jį reikia rasti pagal formulę. Tai yra, mes ieškome M 1 H 1 .

Lygiagretainio plotas pažymimas raide S, randamas pagal formulę naudojant vektorių a → = (a x , a y , a z) ir M 3 M 1 → = x 1 - x 3 . y 1 - y 3 , z 1 - z 3 . Ploto formulė turi formą S = a → × M 3 M 1 → . Be to, figūros plotas lygus jos kraštinių ilgių ir aukščio sandaugai, gauname, kad S \u003d a → M 1 H 1 su a → \u003d a x 2 + a y 2 + a z 2, kuris yra vektoriaus a → \u003d (a x, a y, a z) ilgis, kuris lygus lygiagretainio kraštinei. Taigi M 1 H 1 yra atstumas nuo taško iki tiesės. Jis randamas pagal formulę M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Norėdami rasti atstumą nuo taško, kurio koordinatės M 1 (x 1, y 1, z 1) iki tiesės a erdvėje, turite atlikti kelis algoritmo taškus:

6 apibrėžimas

• tiesės krypties vektoriaus nustatymas a - a → = (a x , a y , a z) ;
• krypties vektoriaus ilgio apskaičiavimas a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
• gavus taškui M 3, esančiam tiesėje a, priklausančias koordinates x 3 , y 3 , z 3;
• vektoriaus M 3 M 1 → koordinačių skaičiavimas;
• vektorių a → (a x, a y, a z) ir M 3 M 1 → = x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 kryžminės sandaugos radimas kaip a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 ilgiui gauti pagal formulę a → × M 3 M 1 → ;
• atstumo nuo taško iki tiesės apskaičiavimas M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Atstumo nuo tam tikro taško iki nurodytos tiesės erdvėje nustatymo uždavinių sprendimas

5 pavyzdys

Raskite atstumą nuo taško, kurio koordinatės M 1 2 , - 4 , - 1 , iki tiesės x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 .

Sprendimas

Pirmasis metodas pradedamas rašant plokštumos χ, einančios per M 1 ir statmenos tam tikram taškui, lygtį. Gauname tokią išraišką:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Reikia rasti taško H 1, kuris yra susikirtimo su plokštuma χ su sąlyga duota tiese, koordinates. Nuo kanoninės formos reikia pereiti prie susikertančios. Tada gauname tokios formos lygčių sistemą:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 (x + 1) = 2 y 5 (x + 1) = 2 (z + 5) 5 y = - 1 (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Būtina apskaičiuoti sistemą x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 Cramerio metodu, tada gauname, kad:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ = 0 -∆ 60 = 0

Taigi turime tą H 1 (1, - 1, 0) .

M 1 H 1 \u003d 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 \u003d 11

Antrasis metodas turi būti pradėtas ieškant koordinačių kanoninėje lygtyje. Norėdami tai padaryti, atkreipkite dėmesį į trupmenos vardiklius. Tada a → = 2, - 1, 5 yra tiesės x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 krypties vektorius. Ilgį reikia apskaičiuoti pagal formulę a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30.

Akivaizdu, kad tiesė x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 kerta tašką M 3 (- 1 , 0 , - 5), taigi turime, kad vektorius, kurio pradžia M 3 (- 1 , 0 , - 5) ir jo galas taške M 1 2 , - 4 , - 1 yra M 3 M 1 → = 3 , - 4 , 4 . Raskite vektorinę sandaugą a → = (2, - 1, 5) ir M 3 M 1 → = (3, - 4, 4) .

Gauname išraišką formos a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 j → = 16 i → + 7 j → - 5 k →

gauname, kad kryžminės sandaugos ilgis yra a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330 .

Turime visus duomenis, kad galėtume naudoti formulę, skirtą apskaičiuoti atstumą nuo taško tiesei, todėl ją pritaikome ir gauname:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

Atsakymas: 11 .

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Galimybė rasti atstumą tarp skirtingų geometrinių objektų yra svarbi apskaičiuojant figūrų paviršiaus plotą ir jų tūrį. Šiame straipsnyje mes apsvarstysime klausimą, kaip rasti atstumą nuo taško iki tiesės erdvėje ir plokštumoje.

Matematinis tiesės aprašymas

Norėdami suprasti, kaip rasti atstumą nuo taško iki linijos, turėtumėte išspręsti šių geometrinių objektų matematinių specifikacijų klausimą.

Su tašku viskas paprasta, tai apibūdinama koordinačių aibe, kurios skaičius atitinka erdvės matmenis. Pavyzdžiui, plokštumoje tai yra dvi koordinatės, trimatėje erdvėje - trys.

Kalbant apie vienmatį objektą – tiesę, jam apibūdinti naudojamos kelių tipų lygtys. Panagrinėkime tik du iš jų.

Pirmoji rūšis vadinama vektorine lygtimi. Žemiau pateikiamos linijų trimatėje ir dvimatėje erdvėje išraiškos:

(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + α × (a; b; c);

(x; y) = (x 0 ; y 0) + α × (a; b)

Šiose išraiškose koordinatės su nuliniais indeksais apibūdina tašką, per kurį eina duota linija, koordinačių rinkinys (a; b; c) ir (a; b) yra vadinamieji atitinkamos linijos krypties vektoriai, α yra a parametras, kuris gali turėti bet kokią faktinę vertę.

Vektorių lygtis patogi tuo, kad joje yra aiškiai nurodytas tiesės krypties vektorius, kurio koordinates galima naudoti sprendžiant skirtingų geometrinių objektų, pavyzdžiui, dviejų tiesių, lygiagretumo ar statmenumo uždavinius.

Antrasis lygties tipas, kurį nagrinėsime tiesei linijai, vadinamas bendruoju. Erdvėje šią formą suteikia bendrosios dviejų plokštumų lygtys. Lėktuve jis turi tokią formą:

A × x + B × y + C = 0

Kai atliekamas braižymas, jis dažnai rašomas kaip priklausomybė nuo x / y, tai yra:

y = -A / B × x + (-C / B)

Čia laisvasis terminas -C / B atitinka tiesės susikirtimo su y ašimi koordinatę, o koeficientas -A / B yra susijęs su tiesės kampu x ašimi.

Atstumo tarp tiesės ir taško samprata

Išnagrinėję lygtis, galite tiesiogiai pereiti prie atsakymo į klausimą, kaip rasti atstumą nuo taško iki tiesės. 7 klasėje mokyklos pradeda svarstyti šį klausimą, nustatydamos atitinkamą vertę.

Atstumas tarp tiesės ir taško – tai atkarpos, statmenos šiai tiesei, ilgis, kuris nagrinėjamame taške yra praleistas. Žemiau esančiame paveikslėlyje pavaizduota tiesė r ir taškas A. Mėlyna linija rodo atkarpą, statmeną tiesei r. Jo ilgis yra reikiamas atstumas.

Čia pavaizduotas 2D atvejis, tačiau šis atstumo apibrėžimas galioja ir 3D problemai.

Reikalingos formulės

Priklausomai nuo to, kokia forma parašyta tiesės lygtis ir kokioje erdvėje sprendžiamas uždavinys, galima pateikti dvi pagrindines formules, kurios atsako į klausimą, kaip rasti atstumą tarp tiesės ir taško.

Pažymėkite žinomą tašką simboliu P 2 . Jei tiesės lygtis pateikiama vektorine forma, tada atstumui d tarp nagrinėjamų objektų galioja formulė:

d = || / |v¯|

Tai yra, norint nustatyti d, reikia apskaičiuoti tiesioginio vektoriaus v¯ ir vektoriaus P 1 P 2 ¯ vektorinės sandaugos modulį, kurio pradžia yra savavališkame tiesės taške P 1, o pabaiga yra taške P 2 , tada padalinkite šį modulį iš ilgio v ¯. Ši formulė yra universali plokščiai ir trimatei erdvei.

Jei problema nagrinėjama plokštumoje xy koordinačių sistemoje, o tiesės lygtis pateikiama bendra forma, tada ši formulė leidžia rasti atstumą nuo tiesės iki taško taip:

Tiesi linija: A × x + B × y + C = 0;

Taškas: P 2 (x 2; y 2; z 2);

Atstumas: d = |A × x 2 + B × y 2 + C| / √ (A 2 + B 2)

Aukščiau pateikta formulė yra gana paprasta, tačiau jos naudojimą riboja aukščiau nurodytos sąlygos.

Taško projekcijos tiesėje ir atstumo koordinatės

Taip pat galite atsakyti į klausimą, kaip rasti atstumą nuo taško iki tiesės kitu būdu, neįsigijus aukščiau pateiktų formulių. Šiuo metodu nustatomas taškas tiesėje, kuris yra pradinio taško projekcija.

Tarkime, kad yra taškas M ir tiesė r. Taško M projekcija į r atitinka tam tikrą tašką M 1 . Atstumas nuo M iki r yra lygus vektoriaus MM 1 ¯ ilgiui.

Kaip rasti M 1 koordinates? Labai paprasta. Pakanka prisiminti, kad tiesės vektorius v¯ bus statmenas MM 1 ¯, tai yra, jų skaliarinė sandauga turi būti lygi nuliui. Prie šios sąlygos pridėjus faktą, kad koordinatės M 1 turi tenkinti tiesės r lygtį, gauname paprastų tiesinių lygčių sistemą. Ją išsprendus gaunamos taško M projekcijos į r koordinatės.

Šioje pastraipoje aprašytas atstumo nuo tiesės iki taško nustatymo metodas gali būti naudojamas plokštumai ir erdvei, tačiau norint jį taikyti, reikia žinoti tiesės vektorinę lygtį.

Užduotis lėktuve

Dabar atėjo laikas parodyti, kaip panaudoti pateiktą matematinį aparatą sprendžiant tikras problemas. Tarkime, kad plokštumoje yra duotas taškas M(-4; 5). Reikia rasti atstumą nuo taško M iki tiesės, kuri apibūdinama bendra lygtimi:

3 × (-4) + 6 = -6 ≠ 5

Tai yra, M nemeluoja ant linijos.

Kadangi tiesės lygtis nėra pateikta bendra forma, mes ją sumažiname iki tokios, kad galėtume naudoti atitinkamą formulę, turime:

y = 3 × x + 6

3 x x - y + 6 = 0

Dabar d formulėje galite pakeisti žinomus skaičius:

d = |A × x 2 + B × y 2 + C| / √(A 2 + B 2) =

= |3 × (-4) -1 × 5+6| / √(3 2 + (-1) 2) = 11 / √10 ≈ 3,48

Užduotis erdvėje

Dabar apsvarstykite atvejį erdvėje. Tegul tiesė apibūdinama tokia lygtimi:

(x; y; z) = (1; -1; 0) + α × (3; -2; 1)

Koks atstumas nuo jo iki taško M(0; 2; -3)?

Kaip ir ankstesniu atveju, patikriname, ar M priklauso nurodytai eilutei. Norėdami tai padaryti, pakeičiame koordinates į lygtį ir aiškiai perrašome:

x = 0 = 1 + 3 × α => α = -1/3;

y \u003d 2 \u003d -1 -2 × α => α \u003d -3/2;

Kadangi gaunami skirtingi parametrai α, tai M šioje tiesėje nėra. Dabar apskaičiuojame atstumą nuo jo iki tiesės.

Norėdami naudoti d formulę, paimkite savavališką linijos tašką, pavyzdžiui, P(1; -1; 0), tada:

Apskaičiuokime kryžminę sandaugą tarp PM¯ ir tiesės v¯. Mes gauname:

= [(-1; 3; -3) * (3; -2; 1)] = (-3; -8; -7)

Dabar d formulėje pakeičiame rasto vektoriaus ir vektoriaus v modulius, gauname:

d = √(9 + 64 + 49) / √(9 + 4 + 1) ≈ 2,95

Šį atsakymą galima gauti naudojant aukščiau aprašytą metodą, kuris apima tiesinių lygčių sistemos sprendimą. Šioje ir ankstesnėse problemose apskaičiuotos atstumo nuo linijos iki taško reikšmės pateikiamos atitinkamos koordinačių sistemos vienetais.

Šiame straipsnyje jūs ir aš pradėsime diskusiją apie vieną „stebuklingą lazdelę“, kuri leis jums sumažinti daugybę geometrijos problemų iki paprastos aritmetikos. Ši „lazdelė“ gali labai palengvinti jūsų gyvenimą, ypač kai jaučiatės nesaugiai statydami erdvines figūras, pjūvius ir pan.. Visa tai reikalauja tam tikros vaizduotės ir praktinių įgūdžių. Metodas, kurį mes čia pradėsime nagrinėti, leis beveik visiškai abstrahuotis nuo visų rūšių geometrinių konstrukcijų ir samprotavimų. Metodas vadinamas "koordinačių metodas". Šiame straipsnyje mes apsvarstysime šiuos klausimus:

1. Koordinačių plokštuma
2. Taškai ir vektoriai plokštumoje
3. Vektoriaus sudarymas iš dviejų taškų
4. Vektoriaus ilgis (atstumas tarp dviejų taškų).
5. Vidurio taško koordinatės
6. Taškinė vektorių sandauga
7. Kampas tarp dviejų vektorių

Manau, jau atspėjote, kodėl koordinačių metodas taip vadinamas? Tiesa, tokį pavadinimą jis gavo, nes veikia ne su geometriniais objektais, o su jų skaitinėmis charakteristikomis (koordinatėmis). O pati transformacija, leidžianti pereiti nuo geometrijos prie algebros, susideda iš koordinačių sistemos įvedimo. Jei pradinė figūra buvo plokščia, tai koordinatės yra dvimatės, o jei figūra yra trimatė, tada koordinatės yra trimatės. Šiame straipsnyje mes apsvarstysime tik dvimatį atvejį. O pagrindinis straipsnio tikslas – išmokyti naudotis kai kuriais pagrindiniais koordinačių metodo metodais (jie kartais būna naudingi sprendžiant planimetrijos uždavinius Vieningo valstybinio egzamino B dalyje). Kiti du skyriai šia tema yra skirti C2 uždavinių (stereometrijos problemos) sprendimo metodų aptarimui.

Kur būtų logiška pradėti diskutuoti apie koordinačių metodą? Tikriausiai su koordinačių sistemos sąvoka. Prisiminkite, kai pirmą kartą ją sutikote. Man atrodo, kad 7 klasėje, kai sužinojote apie tiesinės funkcijos egzistavimą, pavyzdžiui. Leiskite jums priminti, kad jūs tai sukūrėte taškas po taško. Ar prisimeni? Jūs pasirinkote savavališką skaičių, įtraukėte jį į formulę ir apskaičiavote tokiu būdu. Pavyzdžiui, jei, tada, jei, tada ir tt Ką gavote dėl to? Ir gavote taškus su koordinatėmis: ir. Tada nubraižėte „kryželį“ (koordinačių sistemą), pasirinkote jame skalę (kiek langelių turėsite kaip vieną atkarpą) ir pažymėjote jame gautus taškus, kuriuos vėliau sujungėte tiesia linija, gauta linija. yra funkcijos grafikas.

Yra keletas dalykų, kuriuos jums reikia paaiškinti šiek tiek išsamiau:

1. Patogumo sumetimais pasirenkate vieną segmentą, kad viskas gražiai ir kompaktiškai tilptų paveikslėlyje

2. Daroma prielaida, kad ašis eina iš kairės į dešinę, o ašis – iš apačios į viršų

3. Jie susikerta stačiu kampu, o jų susikirtimo taškas vadinamas pradžia. Jis pažymėtas raide.

4. Taško koordinatės įraše, pavyzdžiui, kairėje skliausteliuose yra taško koordinatė išilgai ašies, o dešinėje - išilgai ašies. Visų pirma, tiesiog reiškia, kad taškas

5. Norint nustatyti bet kurį koordinačių ašies tašką, reikia nurodyti jo koordinates (2 skaičiai)

6. Bet kuriam taškui, esančiam ant ašies,

7. Bet kuriam taškui, esančiam ant ašies,

8. Ašis vadinama x ašimi

9. Ašis vadinama y ašimi

Dabar imkime kitą žingsnį su jumis: pažymėkite du taškus. Sujunkite šiuos du taškus linija. Ir pastatykime rodyklę taip, lyg brėžtume atkarpą iš taško į tašką: tai yra, mes padarysime savo atkarpą nukreiptą!

Prisiminkite, koks yra kitas nukreipto segmento pavadinimas? Teisingai, tai vadinama vektoriumi!

Taigi, jei sujungsime tašką su tašku, ir pradžia bus taškas A, o pabaiga bus taškas B, tada gauname vektorių. Jūs taip pat darėte šią statybą 8 klasėje, pamenate?

Pasirodo, vektoriai, kaip ir taškai, gali būti žymimi dviem skaičiais: šie skaičiai vadinami vektoriaus koordinatėmis. Klausimas: ar manote, kad mums užtenka žinoti vektoriaus pradžios ir pabaigos koordinates, kad rastume jo koordinates? Pasirodo, kad taip! Ir tai padaryti labai paprasta:

Taigi, kadangi vektoriaus taškas yra pradžia ir pabaiga, vektorius turi šias koordinates:

Pavyzdžiui, jei, tada vektoriaus koordinatės

Dabar padarykime priešingai, suraskime vektoriaus koordinates. Ką mes turime pakeisti dėl to? Taip, reikia sukeisti pradžią ir pabaigą: dabar vektoriaus pradžia bus taške, o pabaiga – taške. Tada:

Atidžiai pažiūrėkite, kuo skiriasi vektoriai ir? Vienintelis jų skirtumas yra ženklai koordinatėse. Jie yra priešingi. Šis faktas parašytas taip:

Kartais, jei konkrečiai nenurodyta, kuris taškas yra vektoriaus pradžia, o kuris pabaiga, tai vektoriai žymimi ne dviem didžiosiomis raidėmis, o viena mažąja raide, pvz.: ir t.t.

Dabar šiek tiek praktika ir raskite šių vektorių koordinates:

Egzaminas:

Dabar išspręskite problemą šiek tiek sudėtingiau:

Vektorinis toras su on-cha laužu taške turi co-or-di-on-you. Rasti-di-te abs-cis-su taškus.

Visa tai yra gana proziška: tegul yra taško koordinatės. Tada

Sudariau sistemą nustatydamas, kokios yra vektoriaus koordinatės. Tada taškas turi koordinates. Mus domina abscisė. Tada

Atsakymas:

Ką dar galite padaryti su vektoriais? Taip, beveik viskas yra taip pat, kaip ir su paprastais skaičiais (išskyrus tai, kad jūs negalite padalyti, bet galite dauginti dviem būdais, iš kurių vieną aptarsime čia šiek tiek vėliau)

1. Vektorius galima sukrauti vienas su kitu
2. Vektorius galima atimti vienas iš kito
3. Vektorius galima padauginti (arba padalyti) iš savavališko skaičiaus, kuris nėra nulis
4. Vektorius galima padauginti vienas su kitu

Visos šios operacijos turi gana vizualų geometrinį vaizdą. Pavyzdžiui, trikampio (arba lygiagretainio) sudėties ir atimties taisyklė:

Vektorius išsitempia, susitraukia arba keičia kryptį, kai padauginamas arba padalytas iš skaičiaus:

Tačiau čia mus domina klausimas, kas atsitiks su koordinatėmis.

1. Sudėjus (atimant) du vektorius, jų koordinates sudedame (atimame) elementas po elemento. T.y:

2. Dauginant (dalinant) vektorių iš skaičiaus, visos jo koordinatės dauginamos (dalinamos) iš šio skaičiaus:

Pavyzdžiui:

· Raskite-di-ko-or-di-nat amžiaus iki ra sumą.

Pirmiausia suraskime kiekvieno vektoriaus koordinates. Abu jie turi tą pačią kilmę – pradinį tašką. Jų galai skiriasi. Tada,. Dabar apskaičiuojame vektoriaus koordinates Tada gauto vektoriaus koordinačių suma lygi.

Atsakymas:

Dabar išspręskite šią problemą patys:

· Raskite vektoriaus koordinačių sumą

Mes tikriname:

Dabar panagrinėkime šią problemą: turime du taškus koordinačių plokštumoje. Kaip rasti atstumą tarp jų? Tegul pirmasis taškas būna, o antrasis. Atstumą tarp jų pažymėkime kaip . Aiškumo dėlei padarykite tokį piešinį:

Ką aš padariau? Pirmiausia aš sujungiau taškus ir taip pat nubrėžiau liniją, lygiagrečią ašiai nuo taško, ir nubrėžiau liniją, lygiagrečią ašiai nuo taško. Ar jie susikirto taške, sudarydami nuostabią figūrą? Kodėl ji nuostabi? Taip, jūs ir aš beveik viską žinome apie statųjį trikampį. Na, Pitagoro teorema, tikrai. Norimas segmentas yra šio trikampio hipotenuzė, o segmentai yra kojos. Kokios taško koordinatės? Taip, juos lengva rasti iš paveikslėlio: Kadangi atkarpos yra lygiagrečios ašims ir, atitinkamai, jų ilgius nesunku rasti: jei žymėsime atkarpų ilgius atitinkamai per, tai

Dabar pasinaudokime Pitagoro teorema. Žinome kojų ilgius, rasime hipotenuzą:

Taigi atstumas tarp dviejų taškų yra šakninė kvadratinių skirtumų nuo koordinačių suma. Arba – atstumas tarp dviejų taškų yra juos jungiančios atkarpos ilgis. Nesunku pastebėti, kad atstumas tarp taškų nepriklauso nuo krypties. Tada:

Iš to darome tris išvadas:

Šiek tiek pasitreniruokime apskaičiuodami atstumą tarp dviejų taškų:

Pavyzdžiui, jei, tada atstumas tarp ir yra

Arba eikime kitaip: raskite vektoriaus koordinates

Ir raskite vektoriaus ilgį:

Kaip matote, tai tas pats!

Dabar šiek tiek pasitreniruokite savarankiškai:

Užduotis: raskite atstumą tarp nurodytų taškų:

Mes tikriname:

Čia yra dar keletas problemų, susijusių su ta pačia formule, nors jos skamba šiek tiek kitaip:

1. Raskite-di-te akies voko ilgio kvadratu-to-ra.

2. Nai-di-te akies voko ilgio iki ra kvadratas

Spėju, kad lengvai su jais susitvarkysi? Mes tikriname:

1. Ir tai dėmesingumui) Mes jau anksčiau radome vektorių koordinates: . Tada vektorius turi koordinates. Jo ilgio kvadratas bus:

2. Raskite vektoriaus koordinates

Tada jo ilgio kvadratas yra

Nieko sudėtingo, tiesa? Paprasta aritmetika, nieko daugiau.

Šios užduotys negali būti vienareikšmiškai klasifikuojamos, jos labiau tinka bendrai erudicijai ir gebėjimui piešti paprastus paveikslus.

1. Raskite tuos kampo sinusus klo-on-nuo pjūvio, sujunkite vieną n-ąjį tašką su abscisių ašimi.

ir

Kaip mes čia tai padarysime? Turite rasti kampo tarp ir ašies sinusą. O kur galime ieškoti sinuso? Teisingai, stačiakampiame trikampyje. Taigi ką mes turime daryti? Sukurkite šį trikampį!

Kadangi taško ir koordinatės, tada atkarpa yra lygi, o atkarpa. Turime rasti kampo sinusą. Leiskite jums priminti, kad sinusas yra priešingos kojos ir hipotenuzės santykis

Ką mums belieka daryti? Raskite hipotenuzę. Tai galite padaryti dviem būdais: pagal Pitagoro teoremą (kojos žinomos!) arba pagal atstumo tarp dviejų taškų formulę (iš tikrųjų tokia pati kaip ir pirmasis metodas!). Eisiu antru keliu:

Atsakymas:

Kita užduotis jums atrodys dar lengvesnė. Ji – taško koordinates.

2 užduotis. Nuo taško per-pen-di-ku-lar nuleidžiamas ant abs-ciss ašies. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Padarykime piešinį:

Statmens pagrindas yra taškas, kuriame jis kerta x ašį (ašį), man tai yra taškas. Paveikslėlyje parodyta, kad jis turi koordinates: . Mus domina abscisė - tai yra "X" komponentas. Ji lygi.

Atsakymas: .

3 užduotis. Pagal ankstesnio uždavinio sąlygas raskite atstumų nuo taško iki koordinačių ašių sumą.

Užduotis paprastai yra elementari, jei žinote, koks yra atstumas nuo taško iki ašių. Tu žinai? Tikiuosi, bet vis tiek primenu:

Vadinasi, savo piešinyje, esančiame kiek aukščiau, vieną tokį statmeną jau pavaizdavau? Kokia tai ašis? prie ašies. Ir koks tada jo ilgis? Ji lygi. Dabar patys nubrėžkite statmeną ašiai ir suraskite jo ilgį. Bus lygus, tiesa? Tada jų suma yra lygi.

Atsakymas: .

4 užduotis. 2 uždavinio sąlygomis raskite taško ordinates, simetriškas taškui apie x ašį.

Manau, kad jūs intuityviai suprantate, kas yra simetrija? Ją turi labai daug objektų: daug pastatų, lentelių, plokštumų, daug geometrinių formų: rutulys, cilindras, kvadratas, rombas ir t.t.. Grubiai tariant, simetriją galima suprasti taip: figūra susideda iš dviejų (ar daugiau) vienodos pusės. Ši simetrija vadinama ašine. Kas tada yra ašis? Tai yra būtent ta linija, išilgai kurios, santykinai tariant, figūrą galima „perpjauti“ į identiškas puses (šiame paveikslėlyje simetrijos ašis yra tiesi):

Dabar grįžkime prie savo užduoties. Žinome, kad ieškome taško, kuris būtų simetriškas ašies atžvilgiu. Tada ši ašis yra simetrijos ašis. Taigi, turime pažymėti tašką, kad ašis supjaustytų segmentą į dvi lygias dalis. Pabandykite patys pažymėti tokį tašką. Dabar palyginkite su mano sprendimu:

Ar tu padarei tą patį? Na! Rastame taške mus domina ordinatės. Ji lygi

Atsakymas:

Dabar pasakykite man, sekundę pagalvojus, kokia bus taško abscisė, simetriška taškui A apie y ašį? Koks tavo atsakymas? Teisingas atsakymas: .

Apskritai taisyklę galima parašyti taip:

Taškas, simetriškas taškui aplink x ašį, turi koordinates:

Taškas, simetriškas taškui aplink y ašį, turi koordinates:

Na, dabar tikrai baisu. užduotis: Raskite taško, kuris yra simetriškas taškui, koordinates, atsižvelgiant į pradžią. Pirmiausia pagalvok pats, o tada pažiūrėk į mano piešinį!

Atsakymas:

Dabar lygiagretainio problema:

5 užduotis: taškai yra ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma. Rasti-dee-te arba-dee-on-tu taškus.

Šią problemą galite išspręsti dviem būdais: logika ir koordinačių metodu. Pirmiausia taikysiu koordinačių metodą, o tada pasakysiu, kaip galite nuspręsti kitaip.

Visiškai aišku, kad taško abscisė yra lygi. (jis guli ant statmens, nubrėžto nuo taško iki x ašies). Turime rasti ordinates. Pasinaudokime tuo, kad mūsų figūra yra lygiagretainis, o tai reiškia. Raskite atkarpos ilgį naudodami atstumo tarp dviejų taškų formulę:

Nuleidžiame statmeną, jungiantį tašką su ašimi. Susikirtimo taškas žymimas raide.

Segmento ilgis lygus. (raskite problemą patys, kur aptarėme šį momentą), tada atkarpos ilgį rasime naudodami Pitagoro teoremą:

Atkarpos ilgis lygiai toks pat kaip ir jo ordinatės.

Atsakymas: .

Kitas sprendimas (pateiksiu tik jį iliustruojančią nuotrauką)

Sprendimo eiga:

1. Išleisti

2. Raskite taško koordinates ir ilgį

3. Įrodykite tai.

Kitas pjovimo ilgio problema:

Taškai yra-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-angle-no-ka. Raskite jo vidurio linijos ilgį, par-ral-lel-noy.

Ar prisimeni, kas yra trikampio vidurio linija? Tada jums ši užduotis yra elementari. Jei neprisimenate, priminsiu: trikampio vidurio linija yra linija, jungianti priešingų kraštinių vidurio taškus. Jis lygiagretus pagrindui ir lygus jo pusei.

Pagrindas yra segmentas. Jo ilgio teko ieškoti anksčiau, jis lygus. Tada vidurio linijos ilgis yra perpus ilgesnis ir lygus.

Atsakymas: .

Komentaras: Šią problemą galima išspręsti ir kitu būdu, į kurį kreipsimės kiek vėliau.

Tuo tarpu štai jums kelios užduotys, pasipraktikuokite ties jas, jos gana paprastos, bet padeda „pasikišti“ koordinačių metodu!

1. Rodomi taškai-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. Raskite jo vidurio linijos ilgį.

2. Taškai ir yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Rasti-dee-te arba-dee-on-tu taškus.

3. Raskite ilgį nuo pjūvio, prijunkite antrą tašką ir

4. Ko-or-di-nat-noy plokštumoje raskite-di-te-the-red-shen-noy fi-gu-ry sritį.

5. Apskritimas, kurio centras yra na-cha-le ko-or-di-nat, eina per tašką. Surask-de-te jos ūsus.

6. Nai-di-te ra-di-us circle-no-sti, aprašykite-san-noy šalia stačiojo kampo-no-ka, viršūnės-shi-ny kažkas-ro-go turi co-or - di-na-you co-from-atsakyti-bet

Sprendimai:

1. Žinoma, kad trapecijos vidurio linija lygi pusei jos bazių sumos. Pagrindas lygus, bet pagrindas. Tada

Atsakymas:

2. Lengviausias būdas išspręsti šią problemą yra tai pastebėti (lygiagretainės taisyklės). Apskaičiuokite vektorių koordinates ir nėra sunku: . Sudedant vektorius, koordinatės pridedamos. Tada turi koordinates. Taškas turi tas pačias koordinates, nes vektoriaus pradžia yra taškas su koordinatėmis. Mus domina ordinatės. Ji lygi.

Atsakymas:

3. Nedelsdami veikiame pagal atstumo tarp dviejų taškų formulę:

Atsakymas:

4. Pažvelkite į paveikslėlį ir pasakykite, tarp kurių dviejų figūrų yra „suspaustas“ tamsintas plotas? Jis yra tarp dviejų kvadratų. Tada norimos figūros plotas lygus didelio kvadrato plotui atėmus mažojo plotą. Mažo kvadrato kraštinė yra linijos atkarpa, jungianti taškus, o jos ilgis yra

Tada mažo kvadrato plotas yra

Tą patį darome su dideliu kvadratu: jo kraštinė yra atkarpa, jungianti taškus, o ilgis lygus

Tada didelės aikštės plotas yra

Norimos figūros plotas randamas pagal formulę:

Atsakymas:

5. Jei apskritimo centras yra pradžios taškas ir eina per tašką, tada jo spindulys bus tiksliai lygus atkarpos ilgiui (padarykite brėžinį ir suprasite, kodėl tai akivaizdu). Raskite šio segmento ilgį:

Atsakymas:

6. Žinoma, kad apie stačiakampį apibrėžto apskritimo spindulys lygus pusei jo įstrižainės. Raskime bet kurios iš dviejų įstrižainių ilgį (juk stačiakampyje jos yra lygios!)

Atsakymas:

Na, ar tau pavyko viską? Nebuvo taip sunku tai suprasti, ar ne? Čia galioja tik viena taisyklė - turėti galimybę sukurti vaizdinį vaizdą ir tiesiog „perskaityti“ iš jo visus duomenis.

Mums liko labai nedaug. Yra dar du dalykai, kuriuos norėčiau aptarti.

Pabandykime išspręsti šią paprastą problemą. Tegu du taškai ir duota. Raskite atkarpos vidurio koordinates. Šios problemos sprendimas yra toks: tegul taškas yra norimas vidurys, tada jis turi koordinates:

T.y: atkarpos vidurio koordinatės = atitinkamų atkarpos galų koordinačių aritmetinis vidurkis.

Ši taisyklė labai paprasta ir dažniausiai nesukelia mokiniams sunkumų. Pažiūrėkime, kokiose problemose ir kaip jis naudojamas:

1. Surask-di-te arba-di-na-tu se-re-di-us from-cut, Connect-nya-yu-th-tas taškas ir

2. Taškai yra yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka. Surask-di-te arba-di-na-tu taškus iš naujo re-se-che-niya jo dia-go-on-lei.

3. Surask-di-te abs-cis-su apskritimo centre, apibūdink-san-noy šalia stačiakampio-no-ka, viršų-shi-mes turime kažką-ro-go co-or-di- na-jūs bendrai iš-vet-stvenno-but.

Sprendimai:

1. Pirmoji užduotis – tik klasika. Mes veikiame nedelsiant, nustatydami atkarpos vidurio tašką. Ji turi koordinates. Ordinata lygi.

Atsakymas:

2. Nesunku pastebėti, kad duotasis keturkampis yra lygiagretainis (netgi rombas!). Tai galite įrodyti patys, apskaičiavę kraštinių ilgius ir palyginę juos tarpusavyje. Ką aš žinau apie lygiagretainį? Jo įstrižainės yra padalintos per susikirtimo tašką! Aha! Taigi koks yra įstrižainių susikirtimo taškas? Tai bet kurios įstrižainės vidurys! Visų pirma pasirinksiu įstrižainę. Tada taškas turi koordinates.Taško ordinatė lygi.

Atsakymas:

3. Koks yra apie stačiakampį apibrėžto apskritimo centras? Jis sutampa su jo įstrižainių susikirtimo tašku. Ką žinote apie stačiakampio įstrižaines? Jie yra lygūs, o susikirtimo taškas padalintas per pusę. Užduotis buvo sumažinta iki ankstesnės. Paimkite, pavyzdžiui, įstrižainę. Tada, jei yra apibrėžto apskritimo centras, tai yra vidurys. Ieškau koordinačių: abscisė lygi.

Atsakymas:

Dabar šiek tiek pasipraktikuokite patys, pateiksiu tik atsakymus į kiekvieną problemą, kad galėtumėte pasitikrinti.

1. Nai-di-te ra-di-us circle-no-sti, aprašykite-san-noy šalia trikampio-no-ka, kažkas-ro-go viršūnėse yra ko-or-di -no ponai

2. Raskite-di-te arba-di-na-tu apskritimo centrą, apibūdinkite san-noy šalia trikampio-no-ka, viršūnes-shi-mes turime kažką-ro-go koordinates

3. Koks ra-di-y-sa turi būti apskritimas, kurio centras taške liestų abs-ciss ašį?

4. Suraskite-di-te arba-di-ant tą tašką, kuriame ašies ir iškirpimo iš naujo patikrinkite, sujunkite-nya-yu-tąjį tašką ir

Atsakymai:

Ar viskas pavyko? Labai to tikiuosi! Dabar – paskutinis postūmis. Dabar būkite ypač atsargūs. Medžiaga, kurią dabar paaiškinsiu, yra svarbi ne tik paprastoms koordinačių metodo problemoms B dalyje, bet ir visur C2 užduotyje.

Kurio iš savo pažadų dar neištesėjau? Prisimeni, kokias vektorių operacijas žadėjau įvesti ir kurias galiausiai įvedžiau? Ar aš tikras, kad nieko nepamiršau? Pamiršau! Pamiršau paaiškinti, ką reiškia vektorių daugyba.

Yra du būdai, kaip vektorių padauginti iš vektoriaus. Priklausomai nuo pasirinkto metodo, gausime skirtingo pobūdžio objektus:

Vektorinis produktas yra gana sudėtingas. Kaip tai padaryti ir kodėl to reikia, aptarsime su jumis kitame straipsnyje. Ir čia mes sutelksime dėmesį į skaliarinį sandaugą.

Jau yra du būdai jį apskaičiuoti:

Kaip atspėjote, rezultatas turėtų būti toks pat! Taigi pirmiausia pažvelkime į pirmąjį būdą:

Taškinis produktas per koordinates

Raskite: - bendrą taškinio produkto žymėjimą

Skaičiavimo formulė yra tokia:

Tai yra, taškinė sandauga = vektorių koordinačių sandaugų suma!

Pavyzdys:

Rasti-dee-te

Sprendimas:

Raskite kiekvieno vektoriaus koordinates:

Skaliarinį sandaugą apskaičiuojame pagal formulę:

Atsakymas:

Matote, visiškai nieko sudėtingo!

Na, o dabar pabandykite patys:

Rasti-di-te skaliar-noe pro-nuo-ve-de-nie amžiaus iki griovio ir

Ar susitvarkei? Gal jis pastebėjo nedidelę gudrybę? Patikrinkime:

Vektorinės koordinatės, kaip ir ankstesnėje užduotyje! Atsakymas:.

Be koordinatės, yra dar vienas būdas apskaičiuoti skaliarinę sandaugą, būtent pagal vektorių ilgius ir kampo tarp jų kosinusą:

Žymi kampą tarp vektorių ir.

Tai yra, skaliarinė sandauga yra lygi vektorių ilgių ir kampo tarp jų kosinuso sandaugai.

Kam reikalinga ši antroji formulė, jei turime pirmąją, kuri yra daug paprastesnė, joje bent jau nėra kosinusų. Ir mums to reikia, kad iš pirmos ir antros formulių galėtume nuspręsti, kaip rasti kampą tarp vektorių!

Leiskite Tada prisiminti vektoriaus ilgio formulę!

Tada, jei įjungiu šiuos duomenis į taško produkto formulę, gaunu:

Bet iš kitos pusės:

Taigi ką mes turime? Dabar turime formulę kampui tarp dviejų vektorių apskaičiuoti! Kartais dėl trumpumo taip pat rašoma taip:

Tai yra, kampo tarp vektorių skaičiavimo algoritmas yra toks:

1. Skaliarinę sandaugą apskaičiuojame per koordinates
2. Raskite vektorių ilgius ir padauginkite juos
3. 1 taško rezultatą padalinkite iš 2 punkto rezultato

Praktikuokime su pavyzdžiais:

1. Raskite kampą tarp vokų-to-ra-mi ir. Atsakymą pateikite laipsniais.

2. Pagal ankstesnio uždavinio sąlygas raskite kosinusą tarp vektorių

Padarykime taip: aš padėsiu jums išspręsti pirmąją problemą, o antrą pabandykite padaryti patys! Aš sutinku? Tada pradėkime!

1. Šie vektoriai yra mūsų seni draugai. Mes jau svarstėme jų skaliarinį sandaugą ir jis buvo lygus. Jų koordinatės yra: , . Tada randame jų ilgius:

Tada mes ieškome kosinuso tarp vektorių:

Kas yra kampo kosinusas? Tai yra kampas.

Atsakymas:

Na, dabar išspręskite antrąją problemą patys, o tada palyginkite! Pateiksiu labai trumpą sprendimą:

2. turi koordinates, turi koordinates.

Leisti būti kampas tarp vektorių ir, tada

Atsakymas:

Pažymėtina, kad užduotys tiesiai ant vektorių ir koordinačių metodas egzamino darbo B dalyje yra gana reti. Tačiau daugumą C2 problemų galima nesunkiai išspręsti įdiegus koordinačių sistemą. Taigi šį straipsnį galite laikyti pagrindu, kurio pagrindu pagaminsime gana keblias konstrukcijas, kurių prireiks sprendžiant sudėtingas problemas.

KOORDINATES IR VEKTORIAI. VIDUTINIO LYGIO

Jūs ir aš toliau studijuojame koordinačių metodą. Paskutinėje dalyje išvedėme keletą svarbių formulių, kurios leidžia:

1. Raskite vektorių koordinates
2. Raskite vektoriaus ilgį (arba atstumą tarp dviejų taškų)
3. Sudėkite, atimkite vektorius. Padauginkite juos iš tikrojo skaičiaus
4. Raskite atkarpos vidurio tašką
5. Apskaičiuokite vektorių taškinę sandaugą
6. Raskite kampą tarp vektorių

Žinoma, visas koordinačių metodas netelpa į šiuos 6 taškus. Juo grindžiamas toks mokslas kaip analitinė geometrija, su kuriuo susipažinsite universitete. Aš tiesiog noriu sukurti pagrindą, kuris leistų jums išspręsti problemas vienoje valstybėje. egzaminas. Išsiaiškinome B dalies užduotis Dabar atėjo laikas pereiti į kokybiškai naują lygį! Šis straipsnis bus skirtas tų C2 uždavinių, kuriuose būtų tikslinga pereiti prie koordinačių metodo, sprendimo būdui. Šį pagrįstumą lemia tai, ką reikia rasti užduotyje ir koks skaičius pateikiamas. Taigi, aš naudočiau koordinačių metodą, jei klausimai yra tokie:

1. Raskite kampą tarp dviejų plokštumų
2. Raskite kampą tarp linijos ir plokštumos
3. Raskite kampą tarp dviejų linijų
4. Raskite atstumą nuo taško iki plokštumos
5. Raskite atstumą nuo taško iki linijos
6. Raskite atstumą nuo tiesės iki plokštumos
7. Raskite atstumą tarp dviejų eilučių

Jei problemos sąlygoje pateikta figūra yra sukimosi kūnas (rutulys, cilindras, kūgis ...)

Tinkami skaičiai koordinačių metodui yra:

1. stačiakampis
2. Piramidė (trikampė, keturkampė, šešiakampė)

Taip pat iš mano patirties netikslinga naudoti koordinačių metodą:

1. Atkarpų plotų radimas
2. Kūnų tūrių skaičiavimai

Tačiau iš karto reikia pažymėti, kad trys „nepalankios“ situacijos koordinačių metodui praktikoje yra gana retos. Daugumoje užduočių jis gali tapti jūsų gelbėtoju, ypač jei nesate labai stiprus trimatėse konstrukcijose (kurios kartais būna gana įmantrios).

Kokie yra visi skaičiai, kuriuos išvardijau aukščiau? Jie nebėra plokšti, tokie kaip kvadratas, trikampis, apskritimas, o tūriniai! Atitinkamai, turime atsižvelgti į ne dvimatę, o trimatę koordinačių sistemą. Jis sukonstruotas gana lengvai: tik be abscisių ir ordinačių, pristatysime dar vieną ašį – taikymo ašį. Paveiksle schematiškai parodyta jų santykinė padėtis:

Visos jos yra viena kitai statmenos, susikerta viename taške, kurį vadinsime pradžia. Abscisių ašis, kaip ir anksčiau, bus pažymėta, ordinačių ašis - , o įvesta taikomoji ašis - .

Jei anksčiau kiekvienas plokštumos taškas buvo apibūdinamas dviem skaičiais – abscisėmis ir ordinatėmis, tai kiekvienas erdvės taškas jau apibūdinamas trimis skaičiais – abscise, ordinate, aplikacija. Pavyzdžiui:

Atitinkamai, taško abscisė yra lygi, ordinatės yra Ir taikyti yra .

Kartais taško abscisė dar vadinama taško projekcija ant abscisės ašies, ordinatė – taško projekcija ant ordinačių ašies, o aplikacija – taško projekcija ant aplikacijos ašies. Atitinkamai, jei duotas taškas, tada taškas su koordinatėmis:

vadinama taško projekcija į plokštumą

vadinama taško projekcija į plokštumą

Kyla natūralus klausimas: ar visos dvimačio atvejo formulės galioja erdvėje? Atsakymas yra taip, jie yra tiesiog ir turi tą pačią išvaizdą. Dėl smulkmenų. Manau, jūs jau atspėjote, kuris iš jų. Visose formulėse turėsime pridėti dar vieną terminą, atsakingą už taikomąją ašį. Būtent.

1. Jei duoti du taškai: , tada:

• Vektorinės koordinatės:
• Atstumas tarp dviejų taškų (arba vektoriaus ilgis)
• Atkarpos vidurys turi koordinates

2. Jei pateikti du vektoriai: ir, tada:

• Jų taškinis produktas yra:
• Kampo tarp vektorių kosinusas yra:

Tačiau erdvė nėra tokia paprasta. Kaip suprantate, pridėjus dar vieną koordinatę, šioje erdvėje „gyvenančių“ figūrų spektras labai skiriasi. O tolimesniam pasakojimui reikia įvesti šiek tiek, grubiai tariant, tiesios linijos „apibendrinimą“. Šis „apibendrinimas“ bus lėktuvas. Ką tu žinai apie lėktuvą? Pabandykite atsakyti į klausimą, kas yra lėktuvas? Labai sunku pasakyti. Tačiau mes visi intuityviai įsivaizduojame, kaip tai atrodo:

Grubiai tariant, tai yra savotiškas begalinis „lapas“, įstrigęs į erdvę. „Begalybė“ turėtų būti suprantama taip, kad plokštuma tęsiasi visomis kryptimis, tai yra, jos plotas lygus begalybei. Tačiau šis paaiškinimas „ant pirštų“ neduoda nė menkiausio supratimo apie lėktuvo sandarą. Ir mums tai bus įdomu.

Prisiminkime vieną iš pagrindinių geometrijos aksiomų:

• Tiesi linija eina per du skirtingus plokštumos taškus, be to, tik vienas:

Arba jo analogas erdvėje:

Žinoma, atsimenate, kaip iš dviejų nurodytų taškų gauti tiesės lygtį, tai visai nėra sunku: jei pirmasis taškas turi koordinates: o antrasis, tada tiesės lygtis bus tokia:

Jūs tai išgyvenote 7 klasėje. Erdvėje tiesės lygtis atrodo taip: turėkime du taškus su koordinatėmis: , tada per juos einančios tiesės lygtis turi tokią formą:

Pavyzdžiui, linija eina per taškus:

Kaip tai reikėtų suprasti? Tai turėtų būti suprantama taip: taškas yra tiesėje, jei jo koordinatės atitinka šią sistemą:

Tiesės lygtis mums nelabai bus įdomi, tačiau reikia atkreipti dėmesį į labai svarbią tiesės krypties vektoriaus sampratą. - bet koks nulinis vektorius, esantis tam tikroje tiesėje arba lygiagrečiai jai.

Pavyzdžiui, abu vektoriai yra tiesės krypties vektoriai. Leisti būti tašku, esančiu tiesioje linijoje, ir būti jo nukreipiamuoju vektoriumi. Tada tiesės lygtį galima parašyti tokia forma:

Dar kartą aš nelabai domiuosi tiesės lygtimi, bet man tikrai reikia, kad atsimintumėte, kas yra krypties vektorius! Dar kartą: tai BET koks nulinis vektorius, esantis tiesėje arba jai lygiagretus.

Atsitraukti plokštumos trijų taškų lygtis nebėra toks nereikšmingas ir dažniausiai nėra įtrauktas į vidurinės mokyklos kursą. Bet veltui! Ši technika yra gyvybiškai svarbi, kai pasitelkiame koordinačių metodą sudėtingoms problemoms spręsti. Tačiau manau, kad esate kupinas noro išmokti ko nors naujo? Be to, universitete galėsite sužavėti savo dėstytoją, kai paaiškės, kad jau mokate naudoti techniką, kurios paprastai mokomasi analitinės geometrijos kursuose. Taigi pradėkime.

Plokštumos lygtis per daug nesiskiria nuo tiesės plokštumoje lygties, būtent ji turi tokią formą:

kai kurie skaičiai (ne visi lygūs nuliui), bet kintamieji, pvz.: etc. Kaip matote, plokštumos lygtis nelabai skiriasi nuo tiesės (tiesinės funkcijos) lygties. Tačiau pamenate, dėl ko mes su jumis ginčėmės? Sakėme, kad jei turime tris taškus, kurie nėra vienoje tiesėje, tai iš jų vienareikšmiškai atkuriama plokštumos lygtis. Bet kaip? Pabandysiu tau paaiškinti.

Kadangi plokštumos lygtis yra tokia:

Ir taškai priklauso šiai plokštumai, tada pakeisdami kiekvieno taško koordinates į plokštumos lygtį, turėtume gauti teisingą tapatybę:

Taigi, reikia išspręsti tris lygtis jau su nežinomaisiais! Dilema! Tačiau visada galime manyti, kad (tam reikia padalyti iš). Taigi gauname tris lygtis su trimis nežinomaisiais:

Tačiau mes neišspręsime tokios sistemos, o išrašysime paslaptingą išraišką, kuri išplaukia iš jos:

Plokštumos, einančios per tris duotus taškus, lygtis

\[\left| (\begin(masyvas)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(masyvas)) \right| = 0\]

Sustabdyti! Kas tai dar? Kažkoks labai neįprastas modulis! Tačiau objektas, kurį matote priešais save, neturi nieko bendra su moduliu. Šis objektas vadinamas trečios eilės determinantu. Nuo šiol, kai sprendžiate koordinačių metodą plokštumoje, dažnai susidursite su šiais veiksniais. Kas yra trečiosios eilės determinantas? Kaip bebūtų keista, tai tik skaičius. Belieka suprasti, kokį konkretų skaičių lyginsime su determinantu.

Pirmiausia parašykime trečios eilės determinantą bendresne forma:

Kur yra keletas skaičių. Be to, pirmuoju indeksu turime omenyje eilutės numerį, o indeksu - stulpelio numerį. Pavyzdžiui, tai reiškia, kad nurodytas skaičius yra antrosios eilutės ir trečiojo stulpelio sankirtoje. Užduokime tokį klausimą: kaip tiksliai apskaičiuosime tokį determinantą? Tai su kokiu konkrečiu skaičiumi lyginsime? Tiksliai trečios eilės determinantui yra euristinė (vaizdinė) trikampio taisyklė, ji atrodo taip:

1. Pagrindinės įstrižainės elementų sandauga (iš viršutinės kairės į apatinę dešinę) sandauga elementų, sudarančių pirmąjį trikampį „statmenai“ pagrindinei įstrižai, sandauga elementų, sudarančių antrąjį trikampį „statmenai“ pagrindiniam įstrižainės
2. Antrinės įstrižainės elementų sandauga (iš viršutinės dešinės į apatinę kairę) sandauga elementų, sudarančių pirmąjį trikampį „statmenai“ antrinei įstrižai, sandauga elementų, sudarančių antrąjį trikampį „statmenai“ antrinė įstrižainė
3. Tada determinantas yra lygus skirtumui tarp verčių, gautų žingsnyje ir

Jei visa tai parašysime skaičiais, gausime tokią išraišką:

Tačiau nereikia įsiminti skaičiavimo metodo šioje formoje, užtenka tik laikyti galvoje trikampius ir pačią idėją, kas prie ko pridedama ir kas tada iš ko atimama).

Iliustruojame trikampio metodą pavyzdžiu:

1. Apskaičiuokite determinantą:

Išsiaiškinkime, ką pridedame ir ką atimame:

Sąlygos su „pliusu“:

Tai yra pagrindinė įstrižainė: elementų sandauga yra

Pirmasis trikampis, statmenas pagrindinei įstrižai: elementų sandauga yra

Antrasis trikampis, statmenas pagrindinei įstrižai: elementų sandauga yra

Pridedame tris skaičius:

Sąlygos su „minusu“

Tai šoninė įstrižainė: elementų sandauga yra

Pirmasis trikampis, statmenas antrinei įstrižai: elementų sandauga yra

Antrasis trikampis, statmenas antrinei įstrižai: elementų sandauga yra

Pridedame tris skaičius:

Viskas, ką reikia padaryti, tai iš pliuso terminų sumos atimti minuso terminų sumą:

Taigi,

Kaip matote, apskaičiuojant trečiosios eilės determinantus nėra nieko sudėtingo ir antgamtiško. Tiesiog svarbu atsiminti apie trikampius ir nedaryti aritmetinių klaidų. Dabar pabandykite patys apskaičiuoti:

Mes tikriname:

1. Pirmasis trikampis, statmenas pagrindinei įstrižai:
2. Antrasis trikampis, statmenas pagrindinei įstrižai:
3. Pliuso terminų suma:
4. Pirmasis trikampis, statmenas šoninei įstrižai:
5. Antrasis trikampis, statmenas šoninei įstrižai:
6. Terminų suma su minusu:
7. Pliuso terminų suma atėmus minuso terminų sumą:

Štai jums dar keli lemiami veiksniai, patys apskaičiuokite jų vertes ir palyginkite su atsakymais:

Atsakymai:

Na, ar viskas sutapo? Puiku, tada galite judėti toliau! Jei kyla sunkumų, mano patarimas yra toks: internete yra daugybė programų, skirtų determinantui apskaičiuoti internete. Tereikia sugalvoti savo determinantą, pačiam jį apskaičiuoti ir tada palyginti su tuo, ką apskaičiuoja programa. Ir taip, kol rezultatai pradės sutapti. Esu tikras, kad ši akimirka netruks!

Dabar grįžkime prie determinanto, kurį parašiau kalbėdamas apie plokštumos, kertančios tris duotus taškus, lygtį:

Tereikia tiesiogiai apskaičiuoti jo reikšmę (naudojant trikampio metodą) ir nustatyti rezultatą lygų nuliui. Natūralu, kad tai yra kintamieji, todėl jūs gausite tam tikrą išraišką, kuri priklauso nuo jų. Būtent ši išraiška bus lygtis plokštumos, einančios per tris nurodytus taškus, kurie nėra vienoje tiesėje!

Iliustruojame tai paprastu pavyzdžiu:

1. Sudarykite plokštumos, einančios per taškus, lygtį

Mes sudarome šių trijų taškų determinantą:

Supaprastinimas:

Dabar apskaičiuojame tiesiogiai pagal trikampių taisyklę:

\[(\left| (\begin(masyvas)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(masyvas)) \ dešinė| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Taigi plokštumos, einančios per taškus, lygtis:

Dabar pabandykite patys išspręsti vieną problemą, tada mes ją aptarsime:

2. Raskite plokštumos, einančios per taškus, lygtį

Na, dabar aptarkime sprendimą:

Mes darome determinantą:

Ir apskaičiuokite jo vertę:

Tada plokštumos lygtis turi tokią formą:

Arba sumažinus, gauname:

Dabar dvi savikontrolės užduotys:

1. Sudarykite plokštumos, einančios per tris taškus, lygtį:

Atsakymai:

Ar viskas sutapo? Vėlgi, jei kyla tam tikrų sunkumų, mano patarimas yra toks: paimkite tris taškus iš galvos (su didele tikimybe, kad jie nebus ant vienos tiesios linijos), pastatykite ant jų plokštumą. Ir tada patikrinkite save internete. Pavyzdžiui, svetainėje:

Tačiau determinantų pagalba sukonstruosime ne tik plokštumos lygtį. Atminkite, sakiau, kad vektoriams apibrėžiamas ne tik taškinis produktas. Taip pat yra vektorius, taip pat mišrus produktas. Ir jei dviejų vektorių skaliarinė sandauga bus skaičius, tai dviejų vektorių vektorinė sandauga bus vektorius, o šis vektorius bus statmenas duotiesiems:

Be to, jo modulis bus lygus lygiagretainio, pastatyto ant vektorių ir, plotui. Mums reikės šio vektoriaus, kad galėtume apskaičiuoti atstumą nuo taško iki linijos. Kaip galime apskaičiuoti vektorių kryžminę sandaugą ir ar pateiktos jų koordinatės? Trečios eilės determinantas vėl ateina mums į pagalbą. Tačiau prieš pereidamas prie kryžminės sandaugos skaičiavimo algoritmo, turiu padaryti nedidelį lyrinį nukrypimą.

Šis nukrypimas susijęs su baziniais vektoriais.

Schematiškai jie pavaizduoti paveikslėlyje:

Kodėl manote, kad jie vadinami pagrindiniais? Faktas yra tas, kad:

Arba nuotraukoje:

Šios formulės pagrįstumas yra akivaizdus, ​​nes:

vektorinis produktas

Dabar galiu pradėti pristatyti kryžminį produktą:

Dviejų vektorių vektorinė sandauga yra vektorius, kuris apskaičiuojamas pagal šią taisyklę:

Dabar pateiksime keletą kryžminio sandaugų skaičiavimo pavyzdžių:

1 pavyzdys: Raskite vektorių kryžminę sandaugą:

Sprendimas: darau determinantą:

Ir aš paskaičiuoju:

Dabar, rašydamas bazinius vektorius, grįšiu prie įprasto vektorinio žymėjimo:

Taigi:

Dabar pabandyk.

Pasiruošę? Mes tikriname:

Ir tradiciškai du užduotys, kurias reikia kontroliuoti:

1. Raskite šių vektorių kryžminę sandaugą:
2. Raskite šių vektorių kryžminę sandaugą:

Atsakymai:

Mišrus trijų vektorių sandauga

Paskutinė man reikalinga konstrukcija yra mišrus trijų vektorių sandauga. Tai, kaip ir skaliaras, yra skaičius. Yra du būdai jį apskaičiuoti. - per determinantą, - per mišrų produktą.

Tarkime, kad turime tris vektorius:

Tada trijų vektorių mišrus sandauga, žymima kaip, gali būti apskaičiuojama taip:

1. – tai yra, mišrus sandauga yra vektoriaus skaliarinė sandauga ir dviejų kitų vektorių vektorinė sandauga

Pavyzdžiui, trijų vektorių mišrus sandauga yra:

Pabandykite patys apskaičiuoti naudodami vektorinę sandaugą ir įsitikinkite, kad rezultatai sutampa!

Ir vėl – du savarankiško sprendimo pavyzdžiai:

Atsakymai:

Koordinačių sistemos pasirinkimas

Na, o dabar turime visus reikalingus žinių pagrindus, kad išspręstume sudėtingas stereometrines geometrijos problemas. Tačiau prieš pereinant tiesiai prie pavyzdžių ir jų sprendimo algoritmų, manau, bus naudinga pasilikti prie šio klausimo: kaip tiksliai pasirinkti konkrečios figūros koordinačių sistemą. Juk būtent nuo koordinačių sistemos ir figūros erdvėje santykinės padėties pasirinkimas galiausiai lems, kiek sudėtingi bus skaičiavimai.

Primenu, kad šiame skyriuje mes atsižvelgiame į šiuos skaičius:

1. stačiakampis
2. Tiesi prizmė (trikampė, šešiakampė...)
3. Piramidė (trikampė, keturkampė)
4. Tetraedras (tas pats kaip trikampė piramidė)

Stačiakampiui ar kubui rekomenduoju tokią konstrukciją:

Tai yra, aš pastatysiu figūrą „kampe“. Kubas ir dėžutė yra labai geros figūros. Jiems visada nesunkiai galite rasti jo viršūnių koordinates. Pavyzdžiui, jei (kaip parodyta paveikslėlyje)

tada viršūnių koordinatės yra:

Žinoma, jums to nereikia atsiminti, tačiau pageidautina prisiminti, kaip geriausiai išdėstyti kubą ar stačiakampę dėžę.

tiesi prizmė

Prizmė yra žalingesnė figūra. Galite jį išdėstyti erdvėje įvairiais būdais. Tačiau manau, kad geriausias variantas yra toks:

Trikampė prizmė:

Tai yra, vieną iš trikampio kraštinių visiškai pastatome ant ašies, o viena iš viršūnių sutampa su pradžia.

Šešiakampė prizmė:

Tai yra, viena iš viršūnių sutampa su pradžia, o viena iš kraštinių yra ant ašies.

Keturkampė ir šešiakampė piramidė:

Situacija panaši į kubą: dvi pagrindo kraštines sujungiame su koordinačių ašimis, vieną iš viršūnių sujungiame su pradžia. Vienintelis nedidelis sunkumas bus apskaičiuoti taško koordinates.

Šešiakampei piramidei – tas pats, kas šešiakampei prizmei. Pagrindinė užduotis vėl bus rasti viršūnės koordinates.

Tetraedras (trikampė piramidė)

Situacija labai panaši į tą, kurią pateikiau trikampei prizmei: viena viršūnė sutampa su pradžia, viena pusė guli koordinačių ašyje.

Na, dabar jūs ir aš pagaliau esame netoli nuo problemų sprendimo. Iš to, ką sakiau pačioje straipsnio pradžioje, galite padaryti tokią išvadą: dauguma C2 problemų skirstomos į 2 kategorijas: kampo ir atstumo problemos. Pirmiausia apsvarstysime kampo paieškos problemas. Jie savo ruožtu skirstomi į šias kategorijas (didėjant sudėtingumui):

Problemos ieškant kampų

1. Kampo tarp dviejų linijų radimas
2. Kampo tarp dviejų plokštumų nustatymas

Panagrinėkime šias problemas nuosekliai: pradėkime nuo kampo tarp dviejų tiesių. Nagi, prisimink, ar mes su jumis anksčiau sprendėme panašius pavyzdžius? Prisimenate, nes mes jau turėjome kažką panašaus... Ieškojome kampo tarp dviejų vektorių. Primenu, jei pateikti du vektoriai: ir, tada kampas tarp jų randamas iš santykio:

Dabar turime tikslą – rasti kampą tarp dviejų tiesių. Pereikime prie „plokščio paveikslo“:

Kiek kampų gauname, kai susikerta dvi tiesės? Jau daiktai. Tiesa, tik du iš jų nėra lygūs, o kiti yra joms vertikalūs (taigi ir sutampa). Taigi kokį kampą turėtume laikyti kampu tarp dviejų tiesių: ar? Čia yra taisyklė: kampas tarp dviejų tiesių visada yra ne didesnis kaip laipsniai. Tai yra, iš dviejų kampų visada rinksimės kampą su mažiausiu laipsnio matu. Tai reiškia, kad šiame paveikslėlyje kampas tarp dviejų linijų yra lygus. Kad nereikėtų vargti kaskart ieškant mažiausio iš dviejų kampų, gudrūs matematikai pasiūlė pasinaudoti moduliu. Taigi kampas tarp dviejų tiesių nustatomas pagal formulę:

Jums, kaip dėmesingam skaitytojui, turėjo kilti klausimas: iš kur mes gauname tuos skaičius, kurių reikia kampo kosinusui apskaičiuoti? Atsakymas: mes juos paimsime iš linijų krypties vektorių! Taigi kampo tarp dviejų linijų nustatymo algoritmas yra toks:

1. Taikome 1 formulę.

Arba išsamiau:

1. Ieškome pirmosios tiesės krypties vektoriaus koordinačių
2. Ieškome antrosios eilutės krypties vektoriaus koordinačių
3. Apskaičiuokite jų skaliarinės sandaugos modulį
4. Mes ieškome pirmojo vektoriaus ilgio
5. Mes ieškome antrojo vektoriaus ilgio
6. 4 punkto rezultatus padauginkite iš 5 punkto rezultatų
7. 3 taško rezultatą padaliname iš 6 taško rezultato. Gauname kampo tarp tiesių kosinusą
8. Jei šis rezultatas leidžia tiksliai apskaičiuoti kampą, mes jo ieškome
9. Kitu atveju rašome per arkosinusą

Na, o dabar pats metas pereiti prie užduočių: pirmųjų dviejų sprendimą pademonstruosiu smulkiai, kitos – trumpai, o atsakymus pateiksiu tik į paskutines dvi užduotis, privalai visus skaičiavimus už juos atlikite patys.

Užduotys:

1. Dešiniajame tet-ra-ed-re suraskite kampą tarp you-so, kad tet-ra-ed-ra ir me-di-a-noy bo-ko-how pusės.

2. Dešinėje priekyje šešių anglių-pi-ra-mi-de šimtas-ro-na-os-no-va-niya yra kažkaip lygūs, o šoniniai šonkauliai yra vienodi, suraskite kampą tarp tiesių linijos ir.

3. Visų dešiniarankių keturių tu-rech-coal-noy pi-ra-mi-dy kraštų ilgiai yra lygūs vienas kitam. Raskite kampą tarp tiesių ir jei nuo-re-zok - tu-tai-tai, kad duota pi-ra-mi-dy, taškas yra se-re-di-ant jos bo-ko- th šonkaulio.

4. Ant kubo krašto nuo-me-che-iki taško taip, kad Raskite-di-te kampą tarp tiesių ir

5. Taškas - se-re-di-ant kubo kraštų Nai-di-te kampas tarp tiesių ir.

Neatsitiktinai užduotis išdėliojau tokia tvarka. Kol dar nespėjote pradėti naršyti koordinačių metodu, aš pats analizuosiu „problemiškiausias“ figūras ir paliksiu jums spręsti paprasčiausią kubą! Palaipsniui reikia išmokti dirbti su visomis figūromis, padidinsiu užduočių sudėtingumą nuo temos iki temos.

Pradėkime spręsti problemas:

1. Nubraižykite tetraedrą, įdėkite jį į koordinačių sistemą, kaip siūliau anksčiau. Kadangi tetraedras yra taisyklingas, tai visi jo paviršiai (įskaitant pagrindą) yra taisyklingi trikampiai. Kadangi mums nenurodytas kraštinės ilgis, galiu jį priimti lygų. Manau, jūs suprantate, kad kampas tikrai nepriklausys nuo to, kiek mūsų tetraedras bus „ištemptas“?. Taip pat nubrėžiu aukštį ir medianą tetraedre. Pakeliui nupiešiu jo pagrindą (mums irgi pravers).

Turiu rasti kampą tarp ir. Ką mes žinome? Žinome tik taško koordinates. Taigi, turime rasti daugiau taškų koordinačių. Dabar galvojame: taškas yra trikampio aukščių (arba pusiausvyrų arba medianų) susikirtimo taškas. Taškas yra pakilęs taškas. Taškas yra atkarpos vidurio taškas. Tada galiausiai reikia rasti: taškų koordinates: .

Pradėkime nuo paprasčiausio: taško koordinačių. Pažvelkite į paveikslą: Aišku, kad taško aplikacija lygi nuliui (taškas yra plokštumoje). Jo ordinatė yra lygi (nes ji yra mediana). Sunkiau rasti jo abscisę. Tačiau tai nesunku padaryti remiantis Pitagoro teorema: Apsvarstykite trikampį. Jo hipotenuzė lygi, o viena iš kojų lygi Tada:

Pagaliau turime:

Dabar suraskime taško koordinates. Akivaizdu, kad jo taikymas vėl yra lygus nuliui, o jo ordinatė yra tokia pati kaip taško, tai yra. Raskime jo abscisę. Tai daroma gana trivialiai, jei kas tai prisimena lygiakraščio trikampio aukščiai dalijami iš sankirtos taško proporcijoje skaičiuojant nuo viršaus. Kadangi:, tada norima taško abscisė, lygi atkarpos ilgiui, yra lygi:. Taigi taško koordinatės yra šios:

Raskime taško koordinates. Akivaizdu, kad jo abscisė ir ordinatė sutampa su taško abscisėmis ir ordinatėmis. Ir aplikacija lygi segmento ilgiui. - tai viena iš trikampio kojų. Trikampio hipotenuzė yra atkarpa – koja. Joje ieškoma dėl priežasčių, kurias paryškinau paryškintu šriftu:

Taškas yra atkarpos vidurio taškas. Tada turime prisiminti atkarpos vidurio koordinačių formulę:

Tai viskas, dabar galime ieškoti krypties vektorių koordinačių:

Na, viskas paruošta: visus duomenis pakeičiame į formulę:

Taigi,

Atsakymas:

Jūs neturėtumėte bijoti tokių „siaubingų“ atsakymų: problemų C2 atveju tai yra įprasta praktika. Mane labiau nustebins „gražus“ atsakymas šioje dalyje. Be to, kaip pastebėjote, aš praktiškai nesinaudojau niekuo kitu, išskyrus Pitagoro teoremą ir lygiakraščio trikampio aukščių savybę. Tai yra, norėdamas išspręsti stereometrinę problemą, aš panaudojau minimalų stereometrijos kiekį. Šio pelno padidėjimas iš dalies „užgesinamas“ gana sudėtingais skaičiavimais. Bet jie yra gana algoritmiški!

2. Nubraižykite taisyklingą šešiakampę piramidę kartu su koordinačių sistema ir jos pagrindu:

Turime rasti kampą tarp linijų ir. Taigi mūsų užduotis sumažinama iki taškų koordinačių radimo: . Paskutiniųjų trijų koordinates rasime iš mažo brėžinio, o viršūnės – per taško koordinatę. Darbo daug, bet reikia pradėti!

a) Koordinatė: aišku, kad jos aplikacija ir ordinatė yra nulis. Raskime abscisę. Norėdami tai padaryti, apsvarstykite stačiakampį trikampį. Deja, joje mes žinome tik hipotenuzą, kuri yra lygi. Bandysime surasti koją (nes aišku, kad dvigubai ilgesnis kojos ilgis duos taško abscisę). Kaip mes galime jo ieškoti? Prisiminkime, kokią figūrą turime piramidės pagrinde? Tai įprastas šešiakampis. Ką tai reiškia? Tai reiškia, kad visos kraštinės ir visi kampai yra lygūs. Turime rasti vieną tokį kampelį. Kokiu nors ideju? Idėjų yra daug, bet yra formulė:

Taisyklingo n kampo kampų suma yra .

Taigi taisyklingo šešiakampio kampų suma yra laipsniai. Tada kiekvienas kampas yra lygus:

Dar kartą pažiūrėkime į paveikslėlį. Akivaizdu, kad atkarpa yra kampo pusiausvyra. Tada kampas yra laipsniai. Tada:

Tada kur.

Taigi jis turi koordinates

b) Dabar galime lengvai rasti taško koordinatę: .

c) Raskite taško koordinates. Kadangi jo abscisė sutampa su atkarpos ilgiu, ji yra lygi. Ordinates rasti taip pat nėra labai sunku: jei sujungsime taškus ir ir pažymime tiesės susikirtimo tašką, tarkime už. (pasidaryk pats paprasta konstrukcija). Tada Taigi taško B ordinatė yra lygi atkarpų ilgių sumai. Dar kartą pažiūrėkime į trikampį. Tada

Tada nuo Tada taškas turi koordinates

d) Dabar raskite taško koordinates. Apsvarstykite stačiakampį ir įrodykite, kad Taigi taško koordinatės yra:

e) Belieka rasti viršūnės koordinates. Akivaizdu, kad jo abscisė ir ordinatė sutampa su taško abscisėmis ir ordinatėmis. Raskime programėlę. Nuo tada. Apsvarstykite statųjį trikampį. Pagal problemos būklę šoninis kraštas. Tai mano trikampio hipotenuzė. Tada piramidės aukštis yra koja.

Tada taškas turi koordinates:

Tai viskas, turiu visų mane dominančių taškų koordinates. Ieškau tiesių nukreipiamųjų vektorių koordinačių:

Mes ieškome kampo tarp šių vektorių:

Atsakymas:

Vėlgi, spręsdamas šią problemą, nenaudojau jokių sudėtingų gudrybių, išskyrus taisyklingo n kampo kampų sumos formulę, taip pat stačiojo trikampio kosinuso ir sinuso apibrėžimą.

3. Kadangi mums vėlgi neduoti piramidės briaunų ilgiai, tai juos laikysiu lygiais vienetui. Taigi, kadangi VISOS briaunos, o ne tik šoninės, yra lygios viena kitai, tai piramidės pagrindu ir aš yra kvadratas, o šoniniai paviršiai yra taisyklingi trikampiai. Pavaizduokime tokią piramidę, taip pat jos pagrindą plokštumoje, pažymėdami visus uždavinio tekste pateiktus duomenis:

Mes ieškome kampo tarp ir. Labai trumpai paskaičiuosiu, kai ieškosiu taškų koordinačių. Jums reikės juos „iššifruoti“:

b) - atkarpos vidurys. Jos koordinatės:

c) Atkarpos ilgį surasiu pagal Pitagoro teoremą trikampyje. Rasiu pagal Pitagoro teoremą trikampyje.

Koordinatės:

d) – atkarpos vidurys. Jo koordinatės yra

e) Vektorių koordinatės

f) Vektorių koordinatės

g) Ieškau kampo:

Kubas yra pati paprasčiausia figūra. Esu tikras, kad galite tai išsiaiškinti patys. Atsakymai į 4 ir 5 uždavinius yra tokie:

Kampo tarp tiesės ir plokštumos nustatymas

Na, paprastų galvosūkių laikas baigėsi! Dabar pavyzdžiai bus dar sunkesni. Norėdami rasti kampą tarp linijos ir plokštumos, atliksime šiuos veiksmus:

1. Naudodami tris taškus sudarome plokštumos lygtį
   ,
   naudojant trečiosios eilės determinantą.
2. Pagal du taškus ieškome tiesės krypties vektoriaus koordinačių:
3. Kampui tarp tiesės ir plokštumos apskaičiuoti taikome formulę:

Kaip matote, ši formulė yra labai panaši į tą, kurią naudojome norėdami rasti kampus tarp dviejų linijų. Dešinės pusės struktūra yra tokia pati, o kairėje dabar ieškome sinuso, o ne kosinuso, kaip anksčiau. Na, buvo pridėtas vienas bjaurus veiksmas – plokštumos lygties paieška.

Nestatykime lentynose sprendimo pavyzdžiai:

1. Os-no-va-ni-em tiesiai-mano prizas-mes esame-la-et-xia lygūs-bet-vargšai-ren-ny trikampis-pažymėkite tave su tuo prizu-mes esame lygūs. Raskite kampą tarp tiesės ir plokštumos

2. Stačiakampėje pa-ral-le-le-pi-pe-de iš Vakarų Nai-di-te kampas tarp tiesės ir plokštumos

3. Dešiniojoje šešių anglių prizmėje visos briaunos lygios. Raskite kampą tarp tiesės ir plokštumos.

4. Dešiniajame trikampyje pi-ra-mi-de su os-but-va-ni-em iš šonkaulio vakarų Nai-di-te kampas, ob-ra-zo-van -ny os plokštuma -no-va-niya ir tiesiai-my, einantis per šonkaulių se-re-di-na ir

5. Dešiniosios keturkampės pi-ra-mi-dy visų kraštinių ilgiai su viršūne yra lygūs vienas kitam. Raskite kampą tarp tiesės ir plokštumos, jei taškas yra se-re-di-ant pi-ra-mi-dy bo-ko-in-tosios briaunos.

Pirmąsias dvi problemas vėlgi išspręsiu detaliai, trečiąją – trumpai, o paskutines dvi paliksiu spręsti patiems. Be to, jau teko susidurti su trikampėmis ir keturkampėmis piramidėmis, bet dar ne su prizmėmis.

Sprendimai:

1. Nubraižykite prizmę ir jos pagrindą. Sujungkime ją su koordinačių sistema ir pažymime visus uždavinio teiginyje pateiktus duomenis:

Atsiprašau už proporcijų nesilaikymą, bet problemos sprendimui tai iš tikrųjų nėra taip svarbu. Lėktuvas yra tik mano prizmės „užpakalinė siena“. Pakanka tiesiog atspėti, kad tokios plokštumos lygtis turi tokią formą:

Tačiau tai taip pat gali būti rodoma tiesiogiai:

Šioje plokštumoje pasirenkame savavališkus tris taškus: pavyzdžiui, .

Padarykime plokštumos lygtį:

Pratimas jums: apskaičiuokite šį determinantą patys. Ar pavyko? Tada plokštumos lygtis turi tokią formą:

Arba tiesiog

Taigi,

Norėdami išspręsti pavyzdį, turiu rasti tiesės krypties vektoriaus koordinates. Kadangi taškas sutapo su pradžios tašku, vektoriaus koordinatės tiesiog sutaps su taško koordinatėmis Tam, kad tai padarytume, pirmiausia randame taško koordinates.

Norėdami tai padaryti, apsvarstykite trikampį. Nubrėžkime aukštį (tai taip pat yra mediana ir pusiausvyra) iš viršaus. Kadangi tada taško ordinatė yra lygi. Norėdami rasti šio taško abscisę, turime apskaičiuoti atkarpos ilgį. Pagal Pitagoro teoremą turime:

Tada taškas turi koordinates:

Taškas yra „pakeltas“ ant taško:

Tada vektoriaus koordinatės:

Atsakymas:

Kaip matote, sprendžiant tokias problemas nėra nieko sudėtingo. Tiesą sakant, tokios figūros, kaip prizmė, "tiesumas" šiek tiek supaprastina procesą. Dabar pereikime prie kito pavyzdžio:

2. Nubraižome gretasienį, jame nubrėžiame plokštumą ir tiesią liniją, taip pat atskirai nubrėžiame jos apatinį pagrindą:

Pirmiausia randame plokštumos lygtį: Trijų joje esančių taškų koordinatės:

(pirmosios dvi koordinatės gaunamos akivaizdžiai, o paskutinę koordinatę galite lengvai rasti paveikslėlyje iš taško). Tada sudarome plokštumos lygtį:

Skaičiuojame:

Mes ieškome krypties vektoriaus koordinačių: Aišku, kad jo koordinatės sutampa su taško koordinatėmis, ar ne? Kaip rasti koordinates? Tai yra taško koordinatės, pakeltos išilgai taikymo ašies vienu! . Tada mes ieškome norimo kampo:

Atsakymas:

3. Nubrėžkite taisyklingą šešiakampę piramidę, tada nubrėžkite plokštumą ir tiesią liniją.

Čia net problematiška nubrėžti plokštumą, jau nekalbant apie šios problemos sprendimą, bet koordinačių metodas nerūpi! Pagrindinis privalumas yra jo universalumas!

Lėktuvas kerta tris taškus: . Ieškome jų koordinačių:

vienas). Pats parodykite paskutinių dviejų taškų koordinates. Norėdami tai padaryti, turėsite išspręsti problemą naudodami šešiakampę piramidę!

2) Sudarome plokštumos lygtį:

Ieškome vektoriaus koordinačių: . (Dar kartą žiūrėkite trikampės piramidės problemą!)

3) Ieškome kampo:

Atsakymas:

Kaip matote, šiose užduotyse nėra nieko antgamtiškai sudėtingo. Tik reikia labai atsargiai elgtis su šaknimis. Į paskutines dvi problemas pateiksiu tik atsakymus:

Kaip matote, uždavinių sprendimo technika visur vienoda: pagrindinė užduotis yra surasti viršūnių koordinates ir jas pakeisti kai kuriomis formulėmis. Mums belieka apsvarstyti dar vieną kampų skaičiavimo problemų klasę, būtent:

Kampų tarp dviejų plokštumų skaičiavimas

Sprendimo algoritmas bus toks:

1. Trims taškams ieškome pirmosios plokštumos lygties:
2. Kitiems trims taškams ieškome antrosios plokštumos lygties:
3. Taikome formulę:

Kaip matote, formulė labai panaši į ankstesnes dvi, kurių pagalba ieškojome kampų tarp tiesių ir tarp tiesės ir plokštumos. Taigi prisiminti tai jums nebus sunku. Pereikime tiesiai į problemą:

1. Šimtas-ro tiesiosios trikampės prizmės pagrindu yra lygus, o šoninio paviršiaus įstrižainė yra lygi. Raskite kampą tarp plokštumos ir prizo pagrindo plokštumos.

2. Dešiniajame į priekį keturių tu-re-coal-noy pi-ra-mi-de visi kažkieno kraštai yra lygūs, raskite kampo tarp plokštumos ir plokštumos Ko-Stu sinusą, einantį per taškas per-pen-di-ku-lyar-bet tiesus-my.

3. Taisyklingoje keturių anglių prizmėje os-no-va-nia kraštinės lygios, o šoninės briaunos lygios. Ant krašto nuo-me-che-iki taško, kad. Raskite kampą tarp plokštumų ir

4. Dešiniojoje keturkampėje prizmėje pagrindų kraštinės lygios, o šoninės briaunos lygios. Ant krašto nuo-me-che-iki taško, kad Raskite kampą tarp plokštumų ir.

5. Kube raskite kampo tarp plokštumų ir ko-siusą

Problemos sprendimai:

1. Nupiešiu taisyklingą (pagrinde - lygiakraštį trikampį) trikampę prizmę ir pažymiu joje plokštumas, kurios atsiranda uždavinio sąlygoje:

Turime rasti dviejų plokštumų lygtis: Bazinė lygtis gaunama trivialiai: galite sudaryti atitinkamą determinantą trims taškams, bet aš iš karto sudarysiu lygtį:

Dabar suraskime lygtį Taškas turi koordinates Taškas - Kadangi - trikampio mediana ir aukštis, ją lengva rasti pagal Pitagoro teoremą trikampyje. Tada taškas turi koordinates: Raskite taško pritaikymą Norėdami tai padaryti, apsvarstykite stačią trikampį

Tada gauname tokias koordinates: Sudarome plokštumos lygtį.

Apskaičiuojame kampą tarp plokštumų:

Atsakymas:

2. Piešinio sudarymas:

Sunkiausia suprasti, kokia tai paslaptinga plokštuma, einanti per tašką statmenai. Na, svarbiausia, kas tai yra? Svarbiausia - dėmesingumas! Tiesą sakant, linija yra statmena. Linija taip pat statmena. Tada plokštuma, einanti per šias dvi tieses, bus statmena tiesei ir, beje, eis per tašką. Ši plokštuma taip pat eina per piramidės viršūnę. Tada norimas lėktuvas – Ir lėktuvas jau mums duotas. Ieškome taškų koordinačių.

Per tašką randame taško koordinatę. Iš nedidelio brėžinio nesunku nuspręsti, kad taško koordinatės bus tokios: Ką dabar belieka rasti, norint rasti piramidės viršūnės koordinates? Dar reikia apskaičiuoti jo aukštį. Tai daroma naudojant tą pačią Pitagoro teoremą: pirma, įrodykite tai (trivialiai iš mažų trikampių, sudarančių kvadratą prie pagrindo). Kadangi pagal sąlygas turime:

Dabar viskas paruošta: viršūnių koordinatės:

Sudarome plokštumos lygtį:

Jūs jau esate determinantų skaičiavimo ekspertas. Lengvai gausite:

Arba kitaip (jei abi dalis padauginsime iš dviejų šaknies)

Dabar raskime plokštumos lygtį:

(Jūs nepamiršote, kaip gauname plokštumos lygtį, ar ne? Jei nesuprantate, iš kur atsirado šis minusas, grįžkite prie plokštumos lygties apibrėžimo! Tiesiog visada paaiškėjo prieš tai kad mano lėktuvas priklausė kilmei!)

Apskaičiuojame determinantą:

(Galite pastebėti, kad plokštumos lygtis sutapo su tiesės, einančios per taškus, lygtimi ir! Pagalvokite, kodėl!)

Dabar apskaičiuojame kampą:

Turime rasti sinusą:

Atsakymas:

3. Sudėtingas klausimas: kas yra stačiakampė prizmė, ką manote? Tai tik jums gerai žinomas gretasienis! Piešimas iš karto! Jūs netgi negalite atskirai pavaizduoti pagrindo, čia mažai naudos:

Plokštuma, kaip minėjome anksčiau, parašyta kaip lygtis:

Dabar gaminame lėktuvą

Iš karto sudarome plokštumos lygtį:

Ieškau kampo

Dabar atsakymai į paskutines dvi problemas:

Na, dabar pats metas pailsėti, nes tu ir aš esame puikūs ir padarėme puikų darbą!

Koordinatės ir vektoriai. Pažengęs lygis

Šiame straipsnyje aptarsime su jumis dar vieną problemų, kurias galima išspręsti koordinačių metodu, klasę: atstumo problemas. Būtent, mes nagrinėsime šiuos atvejus:

1. Atstumo tarp pasvirusių linijų apskaičiavimas.

Užsakiau pateiktas užduotis, nes jų sudėtingumas didėja. Lengviausia rasti taško ir plokštumos atstumas o sunkiausia yra rasti atstumas tarp susikertančių linijų. Nors, žinoma, nieko nėra neįmanomo! Neatidėliokime ir nedelsdami pereikime prie pirmos klasės problemų svarstymo:

Atstumo nuo taško iki plokštumos apskaičiavimas

Ko mums reikia norint išspręsti šią problemą?

1. Taško koordinatės

Taigi, kai tik gauname visus reikiamus duomenis, taikome formulę:

Jau turėtumėte žinoti, kaip sudarome plokštumos lygtį iš ankstesnių problemų, kurias analizavau paskutinėje dalyje. Nedelsdami imkimės reikalo. Schema tokia: 1, 2 - padedu apsispręsti, o kiek detaliau, 3, 4 - tik atsakymas, sprendimą priimkite patys ir palyginkite. Prasidėjo!

Užduotys:

1. Duotas kubas. Kubo krašto ilgis yra Find-di-te atstumas nuo se-re-di-ny nuo pjūvio iki plokščio

2. Atsižvelgiant į dešinę-vil-naya four-you-rekh-coal-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe kraštas šimtas-ro-ant os-no-va-nia yra lygus. Raskite-di-tuos atstumus nuo taško iki plokštumos, kur - se-re-di-ant briaunų.

3. Dešiniajame trikampyje pi-ra-mi-de su os-but-va-ni-em kita briauna lygi, o vienas šimtas-ro-on os-no-va-niya lygus. Raskite tuos atstumus nuo viršaus iki plokštumos.

4. Dešiniojoje šešių anglių prizmėje visos briaunos lygios. Raskite tuos atstumus nuo taško iki plokštumos.

Sprendimai:

1. Nubraižykite kubą su viena briauna, sukurkite atkarpą ir plokštumą, segmento vidurį pažymėkite raide

.

Pirmiausia pradėkime nuo paprasto: raskite taško koordinates. Nuo tada (atminkite atkarpos vidurio koordinates!)

Dabar sudarome plokštumos lygtį iš trijų taškų

\[\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(masyvas)) \right| = 0\]

Dabar galiu pradėti ieškoti atstumo:

2. Vėl pradedame nuo piešinio, ant kurio pažymime visus duomenis!

Piramidei būtų naudinga atskirai nubraižyti jos pagrindą.

Netgi tai, kad piešiu kaip vištos letena, nesutrukdys mums lengvai išspręsti šios problemos!

Dabar lengva rasti taško koordinates

Kadangi taško koordinatės

2. Kadangi taško a koordinatės yra atkarpos vidurys, tai

Nesunkiai randame dar dviejų plokštumos taškų koordinates Sudarome plokštumos lygtį ir ją supaprastiname:

\[\left| (\left| (\begin(masyvas)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(masyvas)) \right|) \right| = 0\]

Kadangi taškas turi koordinates: , tada apskaičiuojame atstumą:

Atsakymas (labai retai!):

Na, ar supratai? Man atrodo, kad čia viskas taip pat techniška, kaip ir pavyzdžiuose, kuriuos su jumis svarstėme ankstesnėje dalyje. Taigi esu tikras, kad jei tą medžiagą įvaldysite, tuomet jums nebus sunku išspręsti likusias dvi problemas. Aš tik pateiksiu jums atsakymus:

Atstumo nuo tiesės iki plokštumos apskaičiavimas

Tiesą sakant, čia nieko naujo. Kaip linija ir plokštuma gali būti išdėstytos viena kitos atžvilgiu? Jie turi visas galimybes: susikirsti, arba tiesė lygiagreti plokštumai. Koks, jūsų manymu, yra atstumas nuo tiesės iki plokštumos, su kuria ši linija kertasi? Man atrodo, aišku, kad toks atstumas lygus nuliui. Neįdomus atvejis.

Antrasis atvejis yra keblus: čia atstumas jau nėra nulis. Tačiau kadangi linija yra lygiagreti plokštumai, kiekvienas linijos taškas yra vienodu atstumu nuo šios plokštumos:

Taigi:

O tai reiškia, kad mano užduotis sumažinta iki ankstesnės: mes ieškome bet kurio tiesės taško koordinačių, ieškome plokštumos lygties, apskaičiuojame atstumą nuo taško iki plokštumos. Tiesą sakant, tokios užduotys egzamine yra labai retos. Man pavyko rasti tik vieną problemą, o joje esantys duomenys buvo tokie, kad koordinačių metodas jai nelabai tinka!

Dabar pereikime prie kitos, daug svarbesnės problemų klasės:

Taško atstumo iki tiesės apskaičiavimas

Ko mums prireiks?

1. Taško, nuo kurio ieškome atstumo, koordinatės:

2. Bet kurio taško, esančio tiesioje linijoje, koordinatės

3. Tiesės krypties vektoriaus koordinatės

Kokią formulę naudojame?

Ką jums reiškia šios trupmenos vardiklis, todėl turėtų būti aišku: tai yra tiesės krypties vektoriaus ilgis. Čia yra labai sudėtingas skaitiklis! Išraiška reiškia vektorių vektorinės sandaugos modulį (ilgį) ir Kaip apskaičiuoti vektorinę sandaugą, nagrinėjome ankstesnėje darbo dalyje. Atnaujinkite savo žinias, dabar tai mums labai pravers!

Taigi problemų sprendimo algoritmas bus toks:

1. Ieškome taško, nuo kurio ieškome atstumo, koordinačių:

2. Ieškome bet kurio tiesės taško, iki kurio ieškome atstumo, koordinačių:

3. Vektoriaus kūrimas

4. Sukuriame tiesės krypties vektorių

5. Apskaičiuokite kryžminį sandaugą

6. Ieškome gauto vektoriaus ilgio:

7. Apskaičiuokite atstumą:

Turime daug darbo, o pavyzdžiai bus gana sudėtingi! Taigi dabar sutelkite visą savo dėmesį!

1. Dana yra dešiniarankė trikampė pi-ra-mi-da su viršūne. Vienas šimtas-ro-on os-no-va-niya pi-ra-mi-dy yra lygus, tu-so-ta yra lygus. Raskite tuos atstumus nuo bo-ko krašto se-re-di-ny iki tiesės, kur taškai ir yra šonkaulių se-re-di-ny ir ko- vet -stven-bet.

2. Šonkaulių ilgiai ir stačiakampis-no-para-ral-le-le-pi-pe-da yra atitinkamai lygūs, o Find-di-te atstumas nuo top-shi-ny iki tiesiojo-my

3. Dešiniojoje šešių anglių prizmėje visos spiečiaus briaunos yra vienodos – raskite atstumą nuo taško iki tiesės

Sprendimai:

1. Padarome tvarkingą piešinį, kuriame pažymime visus duomenis:

Turime jums daug darbo! Pirmiausia norėčiau žodžiais apibūdinti, ko ieškosime ir kokia tvarka:

1. Taškų koordinatės ir

2. Taško koordinatės

3. Taškų koordinatės ir

4. Vektorių koordinatės ir

5. Jų kryžminis produktas

6. Vektoriaus ilgis

7. Vektorinės sandaugos ilgis

8. Atstumas nuo iki

Na, mes turime daug darbo! Pasiraitokime rankoves!

1. Norėdami rasti piramidės aukščio koordinates, turime žinoti taško koordinates Jo aplikacija lygi nuliui, o ordinatė lygi jo abscisei. Galiausiai gavome koordinates:

Taško koordinatės

2. - segmento vidurys

3. - segmento vidurys

vidurio taškas

4.Koordinatės

Vektorinės koordinatės

5. Apskaičiuokite vektorinę sandaugą:

6. Vektoriaus ilgis: lengviausias būdas yra pakeisti atkarpą vidurine trikampio linija, o tai reiškia, kad ji yra lygi pusei pagrindo. Taigi, kad.

7. Atsižvelgiame į vektorinės sandaugos ilgį:

8. Galiausiai raskite atstumą:

Fu, tai viskas! Sąžiningai pasakysiu: šią problemą išspręsti tradiciniais metodais (konstrukcijomis) būtų daug greičiau. Bet čia aš viską sumažinau iki paruošto algoritmo! Manau, kad sprendimo algoritmas jums aiškus? Todėl paprašysiu likusias dvi problemas išspręsti savarankiškai. Palyginti atsakymus?

Dar kartą kartoju: šias problemas lengviau (greičiau) išspręsti per konstrukcijas, o ne griebtis koordinačių metodo. Šį sprendimo būdą pademonstravau tik tam, kad parodyčiau universalų metodą, leidžiantį „nieko nebaigti“.

Galiausiai apsvarstykite paskutinę problemų klasę:

Atstumo tarp pasvirusių linijų apskaičiavimas

Čia problemų sprendimo algoritmas bus panašus į ankstesnį. Ką mes turime:

3. Bet koks vektorius, jungiantis pirmosios ir antrosios eilučių taškus:

Kaip rasti atstumą tarp eilučių?

Formulė yra tokia:

Skaitiklis yra mišrios sandaugos modulis (jį pristatėme ankstesnėje dalyje), o vardiklis - kaip ir ankstesnėje formulėje (linijų nukreipiančių vektorių vektorinės sandaugos modulis, atstumas tarp kurių mes žiūrime dėl).

Aš jums tai priminsiu

tada atstumo formulę galima perrašyti kaip:

Padalinkite šį determinantą iš determinanto! Nors, tiesą pasakius, aš čia nenusiteikęs juokauti! Tiesą sakant, ši formulė yra labai sudėtinga ir leidžia atlikti gana sudėtingus skaičiavimus. Jei būčiau jūsų vietoje, tai naudočiau tik kaip paskutinę priemonę!

Pabandykime išspręsti keletą problemų naudodami aukščiau pateiktą metodą:

1. Dešiniojoje trikampėje prizmėje visos briaunos kažkaip lygios, raskite atstumą tarp tiesių ir.

2. Atsižvelgiant į dešinės priekinės formos trikampę prizmę, visos kažkieno os-no-va-niya briaunos yra lygios Se-che-tion, einančios per kitą briauną ir se-re-di-nu šonkauliai yra yav-la-et-sya square-ra-tom. Find-di-te dis-sto-I-nie tarp tiesių-we-mi ir

Aš sprendžiu pirmąjį, o pagal jį - antrą!

1. Nupiešiu prizmę ir pažymiu linijas ir

Taško C koordinatės: tada

Taško koordinatės

Vektorinės koordinatės

Taško koordinatės

Vektorinės koordinatės

Vektorinės koordinatės

\[\left((B,\rodyklė ant dešinės (A(A_1)) \overright rodyklė (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(masyvas)(*(20)(c))0&1&0\end(masyvas))\\(\begin(masyvas)(*(20) (c))0&0&1\end(masyvas))\\(\begin(masyvas)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(masyvas))\end(masyvas)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Mes laikome kryžminį sandaugą tarp vektorių ir

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(masyvas)(l)\begin(masyvas)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(masyvas)\\\begin(masyvas) )(*(20)(c))0&0&1\end(masyvas)\\\begin(masyvas)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(masyvas)\end(masyvas) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Dabar atsižvelgsime į jo ilgį:

Atsakymas:

Dabar pabandykite kruopščiai atlikti antrąją užduotį. Atsakymas į jį bus toks:.

Koordinatės ir vektoriai. Trumpas aprašymas ir pagrindinės formulės

Vektorius yra nukreipta atkarpa. - vektoriaus pradžia, - vektoriaus pabaiga.
Vektorius žymimas arba.

Absoliučioji vertė vektorius – vektorių reprezentuojančios atkarpos ilgis. Paskirtas kaip.

Vektorinės koordinatės:

,
kur yra vektoriaus \displaystyle a galai.

Vektorių suma: .

Vektorių sandauga:

Taškinė vektorių sandauga:

Vektorių skaliarinė sandauga yra lygi jų absoliučių verčių sandaugai ir kampo tarp jų kosinusui:

LIKUSIEJI 2/3 STRAIPSNIŲ PRIEINAMI TIK YOUCLEVER STUDENTIAMS!

Tapk YouClever studentu,

Pasiruoškite OGE arba NAUDOKITE matematiką už „puodelį kavos per mėnesį“,

Taip pat gausite neribotą prieigą prie „YouClever“ vadovėlio, „100gia“ mokymo programos (sprendimų knygos), neriboto bandomojo USE ir OGE, 6000 užduočių su sprendimų analize ir kitų YouClever ir 100gia paslaugų.

Atstumo nuo taško iki tiesės plokštumoje apskaičiavimo formulė

Jei duota tiesės Ax + By + C = 0 lygtis, tai atstumą nuo taško M(M x , M y) iki tiesės galima rasti naudojant šią formulę

Atstumo nuo taško iki tiesės plokštumoje skaičiavimo užduočių pavyzdžiai

1 pavyzdys

Raskite atstumą tarp tiesės 3x + 4y - 6 = 0 ir taško M(-1, 3).

Sprendimas. Pakeiskite formulėje tiesės koeficientus ir taško koordinates

Atsakymas: atstumas nuo taško iki tiesės yra 0,6.

plokštumos, einančios per vektoriui statmenus taškus, lygtisBendroji plokštumos lygtis

Nenulinis vektorius, statmenas duotai plokštumai, vadinamas normalus vektorius (arba trumpai tariant, normalus ) šiam lėktuvui.

Įveskite koordinačių erdvę (stačiakampėje koordinačių sistemoje):

a) taškas ;

b) nulinis vektorius (4.8 pav., a).

Būtina parašyti plokštumos, einančios per tašką, lygtį statmenai vektoriui Įrodinėjimo pabaiga.

Dabar panagrinėkime įvairių tipų tiesės lygtis plokštumoje.

1) Bendroji plokštumos lygtisP .

Iš lygties išvedimo išplaukia, kad tuo pačiu A, B ir C nelygu 0 (paaiškinkite kodėl).

Taškas priklauso plokštumai P tik jei jo koordinatės tenkina plokštumos lygtį. Priklausomai nuo koeficientų A, B, C ir D lėktuvas P užima vieną ar kitą poziciją.

- plokštuma kerta koordinačių sistemos pradinį tašką, - plokštuma nekerta koordinačių sistemos pradžios taško,

- plokštuma lygiagreti ašiai X,

X,

- plokštuma lygiagreti ašiai Y,

- plokštuma nėra lygiagreti ašiai Y,

- plokštuma lygiagreti ašiai Z,

- plokštuma nėra lygiagreti ašiai Z.

Įrodykite šiuos teiginius patys.

(6) lygtis lengvai išvedama iš (5) lygties. Iš tiesų, tegul esmė slypi lėktuve P. Tada jo koordinatės tenkina lygtį. Iš (5) lygties atėmus (7) lygtį ir sugrupavus terminus gauname (6) lygtį. Dabar apsvarstykite atitinkamai du vektorius su koordinatėmis. Iš (6) formulės išplaukia, kad jų skaliarinė sandauga yra lygi nuliui. Todėl vektorius yra statmenas vektoriui Paskutinio vektoriaus pradžia ir pabaiga yra atitinkamai taškuose, kurie priklauso plokštumai P. Todėl vektorius yra statmenas plokštumai P. Atstumas nuo taško iki plokštumos P, kurios bendroji lygtis yra nustatoma pagal formulę Šios formulės įrodymas visiškai panašus į atstumo tarp taško ir tiesės formulės įrodymą (žr. 2 pav.).
Ryžiai. 2. Prie atstumo tarp plokštumos ir tiesės formulės išvedimo.

Tiesa, atstumas d tarp linijos ir plokštumos yra

kur yra taškas, esantis plokštumoje. Iš čia, kaip ir paskaitoje Nr.11, gaunama aukščiau pateikta formulė. Dvi plokštumos yra lygiagrečios, jei jų normaliosios vektoriai yra lygiagrečios. Iš čia gauname dviejų plokštumų lygiagretumo sąlygą - plokštumų bendrųjų lygčių koeficientai. Dvi plokštumos yra statmenos, jei jų normaliosios vektoriai yra statmenos, todėl gauname dviejų plokštumų statmenumo sąlygą, jei žinomos jų bendrosios lygtys

Injekcija f tarp dviejų plokštumų yra lygus kampui tarp jų normaliųjų vektorių (žr. 3 pav.), todėl gali būti apskaičiuojamas pagal formulę
Kampo tarp plokštumų nustatymas.

(11)

Atstumas nuo taško iki plokštumos ir kaip jį rasti

Atstumas nuo taško iki lėktuvas yra statmens, nukritusio iš taško į šią plokštumą, ilgis. Yra bent du būdai, kaip rasti atstumą nuo taško iki plokštumos: geometrinis ir algebrinė.

Geometriniu metodu pirmiausia reikia suprasti, kaip statmenas yra nuo taško iki plokštumos: gal jis yra kokioje patogioje plokštumoje, tai yra aukštis kokiame patogiame (arba ne tokiame) trikampyje, o gal šis statmuo apskritai yra aukštis kokioje nors piramidėje .

Po šio pirmojo ir sunkiausio etapo problema suskaidoma į keletą specifinių planimetrinių problemų (galbūt skirtingose ​​plokštumose).

Su algebriniu būdu norint rasti atstumą nuo taško iki plokštumos, reikia įvesti koordinačių sistemą, rasti taško koordinates ir plokštumos lygtį, tada pritaikyti atstumo nuo taško iki plokštumos formulę.

Atstumas nuo taško iki linijos yra statmens nuo taško iki tiesės ilgis. Aprašomojoje geometrijoje jis nustatomas grafiškai pagal toliau pateiktą algoritmą.

Algoritmas

1. Tiesi linija perkeliama į padėtį, kurioje ji bus lygiagreti bet kuriai projekcijos plokštumai. Tam taikykite stačiakampių projekcijų transformacijos metodus.
2. Nubrėžkite statmeną nuo taško iki tiesės. Ši konstrukcija paremta stačiojo kampo projekcijos teorema.
3. Statmens ilgis nustatomas konvertuojant jo projekcijas arba naudojant stačiojo trikampio metodą.

Toliau pateiktame paveikslėlyje parodytas kompleksinis taško M ir linijos b, apibrėžtos linijos atkarpa CD, brėžinys. Turite rasti atstumą tarp jų.

Pagal mūsų algoritmą pirmas dalykas, kurį reikia padaryti, yra perkelti tiesę į padėtį, lygiagrečią projekcijos plokštumai. Svarbu suprasti, kad po transformacijų tikrasis atstumas tarp taško ir tiesės neturėtų keistis. Štai kodėl čia patogu naudoti plokštumos pakeitimo metodą, kuris neapima figūrų judėjimo erdvėje.

Žemiau pateikiami pirmojo etapo statybų rezultatai. Paveikslėlyje parodyta, kaip papildoma priekinė plokštuma P 4 įvedama lygiagrečiai su b. Naujojoje sistemoje (P 1 , P 4) taškai C"" 1 , D"" 1 , M"" 1 yra tokiu pat atstumu nuo X 1 ašies kaip C", D", M"" nuo ašis x.

Atlikdami antrąją algoritmo dalį, iš M"" 1 nuleidžiame statmeną M"" 1 N"" 1 į tiesę b"" 1, nes tiesus kampas MND tarp b ir MN projektuojamas į plokštumą P 4 in pilno dydžio. Nustatome taško N" padėtį išilgai ryšio linijos ir nubrėžiame atkarpos MN projekciją M"N".

Paskutiniame etape reikia nustatyti atkarpos MN vertę pagal jos projekcijas M"N" ir M"" 1 N"" 1 . Norėdami tai padaryti, pastatome stačiakampį trikampį M "" 1 N "" 1 N 0 , kuriame kojelė N "" 1 N 0 yra lygi taškų M pašalinimo skirtumui (Y M 1 - Y N 1). „ir N“ nuo X 1 ašies. Trikampio M"" 1 N"" 1 N 0 hipotenuzės ilgis M"" 1 N 0 atitinka norimą atstumą nuo M iki b.

Antras būdas išspręsti

• Lygiagrečiai su CD pristatome naują frontalinę plokštumą П 4 . Jis kerta P 1 išilgai X 1 ašies ir X 1 ∥C"D". Pagal plokštumų pakeitimo metodą nustatome taškų C"" 1, D"" 1 ir M"" 1 projekcijas, kaip parodyta paveikslėlyje.
• Statmenai C "" 1 D "" 1 pastatome papildomą horizontalią plokštumą P 5, ant kurios tiesė b projektuojama į tašką C" 2 \u003d b" 2.
• Atstumas tarp taško M ir tiesės b nustatomas pagal atkarpos M "2 C" 2 ilgį, pažymėtą raudona spalva.

Susijusios užduotys: