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• 24.09.2014

  इस उपकरण को टैंकों में तरल स्तर को नियंत्रित करने के लिए डिज़ाइन किया गया है, जैसे ही तरल सेट स्तर तक बढ़ जाता है, डिवाइस निरंतर ध्वनि संकेत देना शुरू कर देगा, जब तरल स्तर एक महत्वपूर्ण स्तर तक पहुंच जाएगा, तो डिवाइस एक देना शुरू कर देगा आंतरायिक संकेत। संकेतक में 2 जनरेटर होते हैं, वे सेंसर तत्व ई द्वारा नियंत्रित होते हैं। इसे टैंक में एक स्तर तक रखा जाता है ...

• 22.09.2014

  KR1016VI1 एक डिजिटल मल्टी-प्रोग्राम टाइमर है जिसे ILTs3-5\7 संकेतक के साथ काम करने के लिए डिज़ाइन किया गया है। यह वर्तमान समय को घंटों और मिनटों, सप्ताह के दिन और नियंत्रण चैनल (9 अलार्म घड़ियों) की संख्या में गिनती और प्रदर्शित करता है। अलार्म घड़ी की योजना अंजीर में दिखाई गई है। माइक्रोक्रिकिट को क्लॉक किया जाता है। गुंजयमान यंत्र Q1 32768 हर्ट्ज पर। शक्ति नकारात्मक है, सामान्य प्लस जाता है ...

पिरामिड। काटे गए पिरामिड

पिरामिडएक बहुफलक कहलाता है, जिसका एक फलक बहुभुज होता है ( आधार ), और अन्य सभी फलक एक उभयनिष्ठ शीर्ष वाले त्रिभुज हैं ( साइड फेस ) (चित्र 15)। पिरामिड कहा जाता है सही , यदि इसका आधार एक नियमित बहुभुज है और पिरामिड का शीर्ष आधार के केंद्र में प्रक्षेपित है (चित्र 16)। एक त्रिभुजाकार पिरामिड जिसके सभी किनारे बराबर होते हैं, कहलाते हैं चतुर्पाश्वीय .

साइड रिबपिरामिड को पार्श्व फलक का वह भाग कहा जाता है जो आधार से संबंधित नहीं होता है ऊंचाई पिरामिड इसके शीर्ष से आधार के तल तक की दूरी है। एक नियमित पिरामिड के सभी किनारे एक दूसरे के बराबर होते हैं, सभी पार्श्व फलक समान समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं। शीर्ष से खींचे गए एक नियमित पिरामिड के पार्श्व फलक की ऊंचाई कहलाती है एपोथेमा . विकर्ण खंड पिरामिड के एक खंड को दो पार्श्व किनारों से गुजरने वाला समतल कहा जाता है जो एक ही फलक से संबंधित नहीं होते हैं।

पार्श्व सतह क्षेत्रपिरामिड को सभी भुजाओं के फलकों के क्षेत्रफलों का योग कहा जाता है। पूर्ण सतह क्षेत्र सभी भुजाओं के फलकों और आधार के क्षेत्रफलों का योग है।

प्रमेयों

1. यदि एक पिरामिड में सभी पार्श्व किनारे आधार के तल पर समान रूप से झुके हुए हैं, तो पिरामिड का शीर्ष आधार के निकट परिबद्ध वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

2. यदि पिरामिड में सभी पार्श्व किनारों की लंबाई समान है, तो पिरामिड के शीर्ष को आधार के पास परिबद्ध वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है।

3. यदि पिरामिड में सभी फलक आधार के तल की ओर समान रूप से झुके हुए हैं, तो पिरामिड का शीर्ष आधार में अंकित वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

एक मनमाना पिरामिड के आयतन की गणना करने के लिए, सूत्र सही है:

कहाँ पे वी- आयतन;

एस मुख्य- आधार क्षेत्र;

एचपिरामिड की ऊंचाई है।

एक नियमित पिरामिड के लिए, निम्नलिखित सूत्र सत्य हैं:

कहाँ पे पी- आधार की परिधि;

एच ए- एपोथेम;

एच- ऊंचाई;

एस पूर्ण

एस साइड

एस मुख्य- आधार क्षेत्र;

वीएक नियमित पिरामिड का आयतन है।

छोटा पिरामिडपिरामिड के आधार के समानांतर और काटने वाले विमान के बीच संलग्न पिरामिड के हिस्से को कहा जाता है (चित्र 17)। सही काटे गए पिरामिड एक नियमित पिरामिड का हिस्सा कहा जाता है, जो आधार और पिरामिड के आधार के समानांतर एक काटने वाले विमान के बीच संलग्न होता है।

नींवकाटे गए पिरामिड - समान बहुभुज। साइड फेस - समलम्बाकार। ऊंचाई काटे गए पिरामिड को इसके आधारों के बीच की दूरी कहा जाता है। विकर्ण एक छोटा पिरामिड अपने शीर्षों को जोड़ने वाला एक खंड है जो एक ही चेहरे पर नहीं होता है। विकर्ण खंड काटे गए पिरामिड के एक खंड को दो पार्श्व किनारों से गुजरने वाला समतल कहा जाता है जो एक ही फलक से संबंधित नहीं होते हैं।

काटे गए पिरामिड के लिए, सूत्र मान्य हैं:

(4)

कहाँ पे एस 1 , एस 2 - ऊपरी और निचले ठिकानों के क्षेत्र;

एस पूर्णकुल सतह क्षेत्र है;

एस साइडपार्श्व सतह क्षेत्र है;

एच- ऊंचाई;

वीकाटे गए पिरामिड का आयतन है।

नियमित रूप से काटे गए पिरामिड के लिए, निम्न सूत्र सत्य है:

कहाँ पे पी 1 , पी 2 - आधार परिधि;

एच ए- एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड का एपोथेम।

उदाहरण 1एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड में, आधार पर विकर्ण कोण 60º है। आधार के तल के किनारे के झुकाव के कोण के स्पर्शरेखा का पता लगाएं।

समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 18)।

पिरामिड नियमित है, जिसका अर्थ है कि आधार एक समबाहु त्रिभुज है और सभी भुजाएँ समान समद्विबाहु त्रिभुज हैं। आधार पर डायहेड्रल कोण पिरामिड के पार्श्व चेहरे के आधार के तल के झुकाव का कोण है। रैखिक कोण कोण होगा एदो लंबवत के बीच: यानी। पिरामिड के शीर्ष को त्रिभुज के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है (परिचालित वृत्त का केंद्र और त्रिभुज में खुदा हुआ वृत्त) एबीसी) पार्श्व पसली के झुकाव का कोण (उदाहरण के लिए एसबी) आधार तल पर किनारे और उसके प्रक्षेपण के बीच का कोण है। रिब के लिए एसबीयह कोण कोण होगा एसबीडी. स्पर्शरेखा को खोजने के लिए आपको पैरों को जानना होगा इसलिएऔर ओबी. माना खंड की लंबाई बीडी 3 . है लेकिन. दूरसंचार विभाग के बारे मेंअनुभाग बीडीभागों में विभाजित है: और से हम पाते हैं इसलिए: से हम पाते हैं:

उत्तर:

उदाहरण 2एक नियमित रूप से काटे गए चतुर्भुज पिरामिड का आयतन ज्ञात कीजिए यदि इसके आधारों के विकर्ण सेमी और सेमी हैं और ऊंचाई 4 सेमी है।

समाधान।काटे गए पिरामिड का आयतन ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र (4) का उपयोग करते हैं। आधारों के क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको उनके विकर्णों को जानकर, आधार वर्गों की भुजाएँ ज्ञात करनी होंगी। आधारों के किनारे क्रमशः 2 सेमी और 8 सेमी हैं। इसका मतलब है कि आधारों के क्षेत्र और सभी डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए, हम काटे गए पिरामिड की मात्रा की गणना करते हैं:

उत्तर: 112 सेमी3.

उदाहरण 3एक नियमित त्रिकोणीय काटे गए पिरामिड के पार्श्व फलक का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी आधार भुजाएँ 10 सेमी और 4 सेमी हैं, और पिरामिड की ऊँचाई 2 सेमी है।

समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 19)।

इस पिरामिड का पार्श्व भाग एक समद्विबाहु समलंब है। एक समलंब के क्षेत्र की गणना करने के लिए, आपको आधारों और ऊंचाई को जानना होगा। आधार शर्त द्वारा दिए गए हैं, केवल ऊंचाई अज्ञात रहती है। इसे कहां से खोजें लेकिन 1 इएक बिंदु से लंबवत लेकिन 1 निचले आधार के तल पर, ए 1 डी- लंबवत से लेकिन 1 पर एसी. लेकिन 1 इ\u003d 2 सेमी, क्योंकि यह पिरामिड की ऊंचाई है। खोजने के लिए डेहम एक अतिरिक्त चित्र बनाएंगे, जिसमें हम एक शीर्ष दृश्य (चित्र। 20) को चित्रित करेंगे। दूरसंचार विभाग के बारे में- ऊपरी और निचले आधारों के केंद्रों का प्रक्षेपण। चूंकि (चित्र 20 देखें) और दूसरी ओर ठीकखुदा हुआ वृत्त की त्रिज्या है और ओएमउत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या है:

एमके = डीई.

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार

पार्श्व चेहरा क्षेत्र:

उत्तर:

उदाहरण 4पिरामिड के आधार पर एक समद्विबाहु समलम्बाकार होता है, जिसके आधार होते हैं लेकिनऔर बी (ए> बी) प्रत्येक भुजा का फलक पिरामिड के आधार के तल के बराबर कोण बनाता है जे. पिरामिड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 21)। पिरामिड का कुल सतह क्षेत्रफल एसएबीसीडीसमलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल और क्षेत्रफल के योग के बराबर है ऐ बी सी डी.

आइए हम इस कथन का उपयोग करें कि यदि पिरामिड के सभी फलक आधार के तल पर समान रूप से झुके हुए हैं, तो शीर्ष को आधार में अंकित वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है। दूरसंचार विभाग के बारे में- शीर्ष प्रक्षेपण एसपिरामिड के आधार पर। त्रिकोण एसओडीत्रिभुज का लंबकोणीय प्रक्षेपण है क्रिस्टोफ़र स्ट्रीट डेबेस प्लेन को। एक सपाट आकृति के ओर्थोगोनल प्रक्षेपण के क्षेत्र पर प्रमेय के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं:

इसी प्रकार, इसका अर्थ है इस प्रकार, समलम्बाकार क्षेत्र का पता लगाने में समस्या कम हो गई ऐ बी सी डी. एक ट्रेपोजॉइड ड्रा करें ऐ बी सी डीअलग से (चित्र 22)। दूरसंचार विभाग के बारे मेंएक समलम्ब चतुर्भुज में उत्कीर्ण एक वृत्त का केंद्र है।

चूँकि एक वृत्त को एक समलम्ब में अंकित किया जा सकता है, तो या पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार हमारे पास है

- यह एक पॉलीहेड्रॉन है, जो पिरामिड के आधार और उसके समानांतर एक खंड से बनता है। हम कह सकते हैं कि एक काटे गए पिरामिड एक कटे हुए शीर्ष के साथ एक पिरामिड है। इस आकृति में कई अद्वितीय गुण हैं:

• पिरामिड के पार्श्व फलक समलम्बाकार हैं;
• एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड की पार्श्व पसलियाँ समान लंबाई की होती हैं और एक ही कोण पर आधार की ओर झुकी होती हैं;
• आधार समान बहुभुज हैं;
• एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड में, चेहरे समान समद्विबाहु समलम्बाकार होते हैं, जिसका क्षेत्रफल बराबर होता है। वे एक कोण पर आधार की ओर झुके हुए हैं।

एक काटे गए पिरामिड की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल का सूत्र इसके पक्षों के क्षेत्रों का योग है:

चूंकि काटे गए पिरामिड के किनारे समलम्बाकार हैं, इसलिए आपको मापदंडों की गणना करने के लिए सूत्र का उपयोग करना होगा समलम्बाकार क्षेत्र. एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड के लिए, क्षेत्र की गणना के लिए एक और सूत्र लागू किया जा सकता है। चूंकि आधार पर इसकी सभी भुजाएँ, फलक और कोण समान हैं, इसलिए आधार और एपोथेम की परिधि को लागू करना संभव है, और आधार पर कोण के माध्यम से क्षेत्र भी प्राप्त करना संभव है।

यदि, एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड में शर्तों के अनुसार, एपोथेम (पक्ष की ऊंचाई) और आधार के किनारों की लंबाई दी गई है, तो क्षेत्र की गणना परिधि के योग के आधे उत्पाद के माध्यम से की जा सकती है आधार और एपोथेम:

आइए एक काटे गए पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना के एक उदाहरण को देखें।
एक नियमित पंचकोणीय पिरामिड दिया गया है। एपोथेम मैं\u003d 5 सेमी, बड़े आधार में चेहरे की लंबाई है ए\u003d 6 सेमी, और चेहरा छोटे आधार पर है बी\u003d 4 सेमी। काटे गए पिरामिड के क्षेत्र की गणना करें।

पहले, आइए आधारों के परिमाप ज्ञात करें। चूँकि हमें एक पंचकोणीय पिरामिड दिया गया है, हम समझते हैं कि आधार पंचभुज हैं। इसका मतलब है कि आधार पांच समान पक्षों वाली एक आकृति है। बड़े आधार का परिमाप ज्ञात कीजिए:

इसी प्रकार, हम छोटे आधार का परिमाप ज्ञात करते हैं:

अब हम एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं। हम सूत्र में डेटा को प्रतिस्थापित करते हैं:

इस प्रकार, हमने परिधि और एपोथेम के माध्यम से एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड के क्षेत्र की गणना की।

एक नियमित पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना करने का दूसरा तरीका सूत्र है आधार पर कोनों के माध्यम से और इन बहुत ही ठिकानों के क्षेत्र.

आइए एक उदाहरण गणना देखें। याद रखें कि यह सूत्र केवल नियमित रूप से काटे गए पिरामिड पर लागू होता है।

मान लीजिए कि एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड दिया गया है। निचले आधार का फलक a = 6 सेमी, और ऊपरी b = 4 सेमी का फलक है। आधार पर विकर्ण कोण β = 60° है। एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

सबसे पहले, आइए आधारों के क्षेत्र की गणना करें। चूंकि पिरामिड नियमित है, आधारों के सभी फलक एक दूसरे के बराबर हैं। यह देखते हुए कि आधार एक चतुर्भुज है, हम समझते हैं कि गणना करना आवश्यक होगा वर्ग क्षेत्र. यह चौड़ाई और लंबाई का गुणनफल है, लेकिन चुकता, ये मान समान हैं। बड़े आधार का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:


अब हम पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना करने के लिए पाए गए मानों का उपयोग करते हैं।

कुछ सरल सूत्रों को जानकर, हमने आसानी से विभिन्न मूल्यों के माध्यम से एक काटे गए पिरामिड के पार्श्व समलम्बाकार क्षेत्र की गणना की।