• एपोथेम- नियमित पिरामिड के साइड फेस की ऊंचाई, जो इसके ऊपर से खींची जाती है (इसके अलावा, एपोथेम लंबवत की लंबाई है, जो नियमित बहुभुज के बीच से उसके 1 तरफ कम हो जाती है);
• साइड फेस (एएसबी, बीएससी, सीएसडी, डीएसए) - त्रिभुज जो शीर्ष पर अभिसरण करते हैं;
• पार्श्व पसलियां ( जैसा , बी एस , सी , डी एस ) - पक्ष के आम पक्ष चेहरे;
• पिरामिड के ऊपर (टी. एस) - एक बिंदु जो किनारे के किनारों को जोड़ता है और जो आधार के तल में नहीं होता है;
• कद ( इसलिए ) - लंबवत का एक खंड, जो पिरामिड के शीर्ष से उसके आधार के तल तक खींचा जाता है (इस तरह के खंड के सिरे पिरामिड के शीर्ष और लंबवत के आधार होंगे);
• पिरामिड का विकर्ण खंड- पिरामिड का खंड, जो आधार के शीर्ष और विकर्ण से होकर गुजरता है;
• आधार (ए बी सी डी) - एक बहुभुज जो पिरामिड के शीर्ष से संबंधित नहीं है।

पिरामिड गुण।

1. जब सभी पार्श्व पसलियां समान आकार की हों, तब:

• पिरामिड के आधार के निकट एक वृत्त का वर्णन करना आसान है, जबकि पिरामिड के शीर्ष को इस वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाएगा;
• पार्श्व पसलियां आधार तल के साथ समान कोण बनाती हैं;
• इसके अलावा, विलोम भी सत्य है, अर्थात। जब पार्श्व किनारे आधार तल के साथ समान कोण बनाते हैं, या जब पिरामिड के आधार के पास एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है और पिरामिड के शीर्ष को इस वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है, तो पिरामिड के सभी किनारों पर समान आकार।

2. जब पार्श्व फलकों में समान परिमाण के आधार के तल की ओर झुकाव कोण होता है, तो:

• पिरामिड के आधार के निकट एक वृत्त का वर्णन करना आसान है, जबकि पिरामिड के शीर्ष को इस वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाएगा;
• पार्श्व फलकों की ऊँचाई समान लंबाई की होती है;
• पार्श्व सतह क्षेत्र पार्श्व चेहरे की ऊंचाई से आधार परिधि के उत्पाद का आधा है।

3. एक पिरामिड के पास एक गोले का वर्णन किया जा सकता है यदि एक बहुभुज पिरामिड के आधार पर स्थित है जिसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है (एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति)। गोले का केंद्र उन समतलों का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा जो उनके लंबवत पिरामिड के किनारों के मध्य बिंदुओं से होकर गुजरते हैं। इस प्रमेय से, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि किसी भी त्रिभुज के चारों ओर और किसी भी नियमित पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन किया जा सकता है।

4. एक गोले को पिरामिड में अंकित किया जा सकता है यदि पिरामिड के आंतरिक डायहेड्रल कोणों के द्विभाजक तल 1 बिंदु (एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति) पर प्रतिच्छेद करते हैं। यह बिंदु गोले का केंद्र बन जाएगा।

सबसे सरल पिरामिड।

कोणों की संख्या से, पिरामिड का आधार त्रिभुजाकार, चतुष्कोणीय आदि में विभाजित होता है।

पिरामिड होगा त्रिकोणीय, चौकोर, और इसी तरह, जब पिरामिड का आधार एक त्रिभुज, एक चतुर्भुज, और इसी तरह होता है। एक त्रिकोणीय पिरामिड एक चतुष्फलक है - एक चतुष्फलक। चतुर्भुज - पेंटाहेड्रोन और इसी तरह।

ज्यामिति के अध्ययन से बहुत पहले छात्रों को पिरामिड की अवधारणा का सामना करना पड़ता है। यह दुनिया के प्रसिद्ध महान मिस्र के अजूबों के कारण है। इसलिए, इस अद्भुत पॉलीहेड्रॉन का अध्ययन शुरू करते समय, अधिकांश छात्र पहले से ही इसकी स्पष्ट रूप से कल्पना करते हैं। उपरोक्त सभी स्थलों का आकार सही है। क्या हुआ है सही पिरामिड, और इसके क्या गुण हैं और इस पर आगे चर्चा की जाएगी।

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परिभाषा

पिरामिड की कई परिभाषाएँ हैं। प्राचीन काल से, इसने बहुत लोकप्रियता हासिल की है।

उदाहरण के लिए, यूक्लिड ने इसे एक शारीरिक आकृति के रूप में परिभाषित किया, जिसमें ऐसे विमान होते हैं, जो एक से शुरू होकर एक निश्चित बिंदु पर अभिसरण करते हैं।

बगुला ने अधिक सटीक सूत्रीकरण प्रदान किया। उन्होंने जोर देकर कहा कि यह एक ऐसा आंकड़ा है जो त्रिभुज के रूप में एक आधार और तल है,एक बिंदु पर अभिसरण।

आधुनिक व्याख्या के आधार पर, पिरामिड को एक स्थानिक पॉलीहेड्रॉन के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, जिसमें एक निश्चित के-गॉन और त्रिकोणीय आकार के के फ्लैट आंकड़े होते हैं, जिसमें एक सामान्य बिंदु होता है।

आइए इसे और अधिक विस्तार से समझते हैं, इसमें कौन से तत्व शामिल हैं:

• के-गॉन को आकृति का आधार माना जाता है;
• 3-पक्षीय आंकड़े पार्श्व भाग के पक्ष हैं;
• ऊपरी भाग, जिससे पार्श्व तत्व उत्पन्न होते हैं, शीर्ष कहलाता है;
• एक शीर्ष को जोड़ने वाले सभी खंडों को किनारे कहा जाता है;
• यदि एक सीधी रेखा को ऊपर से आकृति के तल तक 90 डिग्री के कोण पर उतारा जाता है, तो इसका भाग, आंतरिक स्थान में संलग्न, पिरामिड की ऊंचाई है;
• किसी भी पार्श्व तत्व में, हमारे पॉलीहेड्रॉन के किनारे पर एक लंबवत खींचा जा सकता है, जिसे एपोथेम कहा जाता है।

किनारों की संख्या की गणना सूत्र 2 * k द्वारा की जाती है, जहाँ k k-गॉन की भुजाओं की संख्या है। एक पिरामिड जैसे बहुफलक के कितने फलक k+1 व्यंजक द्वारा निर्धारित किए जा सकते हैं।

जरूरी!एक नियमित आकार का पिरामिड एक स्टीरियोमेट्रिक आकृति है, जिसका आधार तल समान भुजाओं वाला k-gon है।

मूल गुण

सही पिरामिड कई गुण हैं,जो उसके लिए अद्वितीय हैं। आइए उन्हें सूचीबद्ध करें:

1. आधार नियमित आकार की एक आकृति है।
2. पिरामिड के किनारों, जो पार्श्व तत्वों को बांधते हैं, में समान संख्यात्मक मान होते हैं।
3. पार्श्व तत्व समद्विबाहु त्रिभुज हैं।
4. आकृति की ऊंचाई का आधार बहुभुज के केंद्र में पड़ता है, साथ ही यह खुदा हुआ और वर्णित का केंद्र बिंदु है।
5. सभी पार्श्व पसलियां एक ही कोण पर आधार के तल की ओर झुकी होती हैं।
6. आधार के संबंध में सभी पार्श्व सतहों का झुकाव कोण समान होता है।

ये सभी गुण सदस्य गणना करना बहुत आसान बनाते हैं। उपरोक्त गुणों के आधार पर, हम ध्यान आकर्षित करते हैं दो संकेत:

1. उस स्थिति में जब बहुभुज एक वृत्त में फिट हो जाता है, पार्श्व फलकों के आधार के साथ समान कोण होंगे।
2. बहुभुज के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करते समय, शीर्ष से बाहर जाने वाले पिरामिड के सभी किनारों की लंबाई और आधार के साथ समान कोण होंगे।

यह एक वर्ग पर आधारित है

नियमित चतुर्भुज पिरामिड - एक वर्ग पर आधारित एक बहुफलक।

इसके चार पार्श्व फलक हैं, जो दिखने में समद्विबाहु हैं।

एक समतल पर, एक वर्ग को दर्शाया गया है, लेकिन वे एक नियमित चतुर्भुज के सभी गुणों पर आधारित हैं।

उदाहरण के लिए, यदि आपको किसी वर्ग की भुजा को उसके विकर्ण से जोड़ने की आवश्यकता है, तो निम्न सूत्र का उपयोग करें: विकर्ण वर्ग की भुजा के गुणनफल के बराबर होता है और दो का वर्गमूल।

यह एक नियमित त्रिभुज पर आधारित है

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड एक पॉलीहेड्रॉन होता है जिसके आधार पर नियमित 3-गॉन होता है।

यदि आधार एक नियमित त्रिभुज है, और भुजाएँ आधार के किनारों के बराबर हैं, तो ऐसी आकृति चतुष्फलक कहलाता है।

एक चतुष्फलक के सभी फलक समबाहु 3-गॉन होते हैं। इस मामले में, आपको कुछ बिंदुओं को जानने की जरूरत है और गणना करते समय उन पर समय बर्बाद नहीं करना चाहिए:

• किसी भी आधार पर पसलियों के झुकाव का कोण 60 डिग्री है;
• सभी भीतरी किनारों का आकार भी 60 डिग्री है;
• कोई भी पहलू आधार के रूप में कार्य कर सकता है;
• आकृति के अंदर खींचे गए समान तत्व हैं।

एक बहुफलक के खंड

किसी भी बहुफलक में होते हैं कई प्रकार के खंडविमान। अक्सर स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम में दो काम करते हैं:

• अक्षीय;
• समानांतर आधार।

एक अक्षीय खंड प्राप्त होता है जब एक पॉलीहेड्रॉन विमान एक शीर्ष, पार्श्व किनारों और एक अक्ष को काटता है। इस मामले में, अक्ष ऊपर से खींची गई ऊंचाई है। काटने वाला विमान सभी चेहरों के साथ चौराहे की रेखाओं से सीमित होता है, जिसके परिणामस्वरूप एक त्रिभुज होता है।

ध्यान!एक नियमित पिरामिड में, अक्षीय खंड एक समद्विबाहु त्रिभुज होता है।

यदि कटिंग प्लेन आधार के समानांतर चलता है, तो परिणाम दूसरा विकल्प है। इस मामले में, हमारे पास आधार के समान एक क्रॉस-अनुभागीय आकृति है।

उदाहरण के लिए, यदि आधार पर एक वर्ग है, तो आधार के समानांतर अनुभाग भी एक वर्ग होगा, केवल छोटे आकार का।

इस स्थिति के तहत समस्याओं को हल करते समय, आंकड़ों की समानता के संकेतों और गुणों का उपयोग किया जाता है, थेल्स के प्रमेय पर आधारित... सबसे पहले, समानता के गुणांक को निर्धारित करना आवश्यक है।

यदि विमान आधार के समानांतर है, और यह पॉलीहेड्रॉन के ऊपरी हिस्से को काट देता है, तो निचले हिस्से में एक नियमित रूप से छोटा पिरामिड प्राप्त होता है। तब काटे गए बहुफलक के तनों को समान बहुभुज कहा जाता है। इस मामले में, पार्श्व फलक समद्विबाहु समलम्बाकार होते हैं। अक्षीय खंड भी समद्विबाहु है।

काटे गए पॉलीहेड्रॉन की ऊंचाई निर्धारित करने के लिए, अक्षीय खंड में, यानी ट्रेपोजॉइड में ऊंचाई खींचना आवश्यक है।

सतह क्षेत्र

स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम में हल की जाने वाली मुख्य ज्यामितीय समस्याएं हैं: पिरामिड का क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात करना।

सतह क्षेत्र मान दो प्रकार के होते हैं:

• पक्ष तत्वों का क्षेत्र;
• पूरी सतह का क्षेत्रफल।

नाम से ही यह स्पष्ट है कि यह किस बारे में है। पार्श्व सतह में केवल पार्श्व तत्व शामिल हैं। यह इस प्रकार है कि इसे खोजने के लिए, आपको केवल पार्श्व विमानों के क्षेत्रों, यानी समद्विबाहु 3-गॉन के क्षेत्रों को जोड़ना होगा। आइए पार्श्व तत्वों के क्षेत्र के लिए सूत्र प्राप्त करने का प्रयास करें:

1. एक समद्विबाहु 3-गॉन का क्षेत्रफल Str = 1/2 (aL) है, जहाँ a आधार की भुजा है, L एपोथेम है।
2. पार्श्व तलों की संख्या आधार पर k-th gon के प्रकार पर निर्भर करती है। उदाहरण के लिए, एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड में चार पार्श्व तल होते हैं। इसलिए, चार अंकों के क्षेत्रों को जोड़ना आवश्यक है एस पक्ष = 1/2 (एएल) +1/2 (एएल) +1/2 (एएल) +1/2 (एएल) = 1/2 * 4 ए * एल व्यंजक को इस प्रकार सरल किया जाता है क्योंकि मान 4a = रोसन, जहाँ रोसन आधार का परिमाप है। और व्यंजक 1/2 * रोसन इसका अर्धपरिमाप है।
3. इसलिए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि एक नियमित पिरामिड के पार्श्व तत्वों का क्षेत्रफल एपोथेम द्वारा आधार अर्ध-परिधि के उत्पाद के बराबर है: Sbok = Rosn * L।

पिरामिड के कुल सतह क्षेत्र में पार्श्व विमानों और आधार के क्षेत्रों का योग होता है: Sp.p. = Sside + Sbase।

जहाँ तक आधार के क्षेत्रफल की बात है, यहाँ सूत्र का प्रयोग बहुभुज के प्रकार के अनुसार किया जाता है।

एक नियमित पिरामिड का आयतनऊंचाई से आधार तल के क्षेत्रफल के गुणनफल के बराबर है, जिसे तीन से विभाजित किया जाता है: V = 1/3 * Sbase * H, जहां H पॉलीहेड्रॉन की ऊंचाई है।

ज्यामिति में सही पिरामिड क्या है

एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के गुण

चतुर्भुज पिरामिडएक पॉलीहेड्रॉन कहा जाता है, जिसके आधार पर एक वर्ग होता है, और सभी पार्श्व फलक समान समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं।

इस पॉलीहेड्रॉन में कई अलग-अलग गुण हैं:

• इसकी पार्श्व पसली और आसन्न द्वितल कोण एक दूसरे के बराबर हैं;
• पार्श्व चेहरों के क्षेत्र समान हैं;
• एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के आधार पर एक वर्ग है;
• पिरामिड के शीर्ष से गिराई गई ऊँचाई आधार विकर्णों के प्रतिच्छेदन के साथ प्रतिच्छेद करती है।

ये सभी गुण इसे खोजना आसान बनाते हैं। हालांकि, अक्सर, इसके अलावा, पॉलीहेड्रॉन की मात्रा की गणना करना आवश्यक होता है। इसके लिए, एक चतुर्भुज पिरामिड के आयतन का सूत्र लागू किया जाता है:

यानी पिरामिड का आयतन आधार के क्षेत्रफल के हिसाब से पिरामिड की ऊंचाई के गुणनफल के एक तिहाई के बराबर होता है। चूँकि यह इसकी समान भुजाओं के गुणनफल के बराबर है, इसलिए हम आयतन के व्यंजक में वर्ग के क्षेत्रफल का सूत्र तुरंत लिख देते हैं।
आइए एक चतुर्भुज पिरामिड के आयतन की गणना के एक उदाहरण पर विचार करें।

मान लीजिए कि एक चतुर्भुज पिरामिड दिया गया है, जिसके आधार पर एक वर्ग है जिसकी भुजा a = 6 सेमी है। पिरामिड का पार्श्व फलक b = 8 सेमी के बराबर है। पिरामिड का आयतन ज्ञात कीजिए।

किसी दिए गए बहुफलक का आयतन ज्ञात करने के लिए हमें उसकी ऊँचाई की लंबाई की आवश्यकता होती है। इसलिए, हम इसे पाइथागोरस प्रमेय को लागू करके पाएंगे। सबसे पहले, आइए विकर्ण की लंबाई की गणना करें। नीले त्रिभुज में, यह कर्ण होगा। यह भी याद रखने योग्य है कि वर्ग के विकर्ण एक दूसरे के बराबर होते हैं और चौराहे के बिंदु पर आधे होते हैं:


अब, लाल त्रिभुज से, हम वह ऊँचाई ज्ञात करते हैं जिसकी हमें आवश्यकता है। इसके बराबर होगा:

आवश्यक मानों को प्रतिस्थापित करें और पिरामिड की ऊंचाई पाएं:

अब, ऊँचाई जानने के बाद, हम सूत्र में सभी मानों को पिरामिड के आयतन के लिए स्थानापन्न कर सकते हैं और आवश्यक मान की गणना कर सकते हैं:

इस प्रकार, कुछ सरल सूत्रों को जानकर, हम एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के आयतन की गणना करने में सक्षम थे। याद रखें कि यह मान घन इकाइयों में मापा जाता है।

एक पिरामिड के आयतन, पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्र

पिरामिड

एक मनमाना विमान α पर विचार करें, एक मनमाना उत्तल n-gon ए 1 ए 2 ... एक इस तल में स्थित है, और एक बिंदु S जो समतल α में नहीं है।

परिभाषा 1. पिरामिड ( n - कोयला पिरामिड)बिंदु S को बहुभुज के सभी बिंदुओं से जोड़ने वाले खंडों द्वारा बनाई गई आकृति कहलाती है ए 1 ए 2 ... एक (चित्र .1)।

टिप्पणी 1. स्मरण कीजिए कि बहुभुज ए 1 ए 2 ... एक एक बंद पॉलीलाइन से मिलकर बनता है ए 1 ए 2 ... एक और विमान का हिस्सा इससे घिरा हुआ है।

परिभाषा 2.

चतुष्फलक। नियमित चतुष्फलक

परिभाषा 5. एक मनमाना त्रिकोणीय पिरामिड को चतुष्फलक कहा जाता है।

कथन। किसी भी नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड के विपरीत किनारे जोड़े में लंबवत होते हैं।

सबूत। एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड SABC और इसके विपरीत किनारों की एक जोड़ी पर विचार करें, उदाहरण के लिए, AC और BS। मान लीजिए D, AC के किनारे के मध्य बिंदु को दर्शाता है। चूँकि खण्ड BD और SD समद्विबाहु त्रिभुज ABC और ASC में माध्यिकाएँ हैं, तो BD और SD किनारे AC पर लंबवत हैं (चित्र 4)।

जहाँ D अक्षर AC के किनारे के मध्य बिंदु को दर्शाता है (चित्र 6)।

पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, त्रिभुज BSO से हम पाते हैं

उत्तर।

पिरामिड के आयतन, भुजा का क्षेत्रफल और पूरी सतह के सूत्र

हम निम्नलिखित संकेतन का परिचय देते हैं:

तब निम्नलिखित सत्य हैं। पिरामिड के आयतन, भुजा के क्षेत्रफल और पूरी सतह की गणना के लिए सूत्र:

मनमाना