Sujet de la leçon :

Logarithmes et leurs propriétés.

Esmaganbetov K.S. Professeur de mathématiques.

Le but de la leçon :

1.Développer la capacité de systématiser et de généraliser les propriétés des logarithmes ; appliquez-les lors de la simplification d’expressions.

2. Développement de la perception consciente du matériel pédagogique, de la mémoire visuelle, du discours mathématique des étudiants, pour former des compétences d'auto-apprentissage, d'auto-organisation et d'estime de soi, pour favoriser le développement de l'activité créative des étudiants.

3. Favoriser l'activité cognitive, inculquer aux élèves l'amour et le respect du sujet, leur apprendre à y voir non seulement la rigueur et la complexité, mais aussi la logique, la simplicité et la beauté.

I. Remue-méninges :

1) Qu'est-ce qu'une primitive ?

2) Quels types d’intégrales connaissez-vous ?

3) En quoi une intégrale définie diffère-t-elle d'une intégrale indéfinie ?

4) Quelles équations sont dites irrationnelles ?

5) Combien de règles existe-t-il pour trouver des primitives ?

Des questions:

Travail de groupe

• Déterminez le sujet de la leçon à l'aide d'une anagramme :
• YMFIRAOL ET KHI AVTSYOVS
• Critères d'évaluation de la devinette d'anagrammes (1 point pour une réponse correcte, 0 point pour une réponse incorrecte)

Logarithmes et leurs propriétés

• Logarithme d'un nombre positif b en base a, où a>0, a≠1, est l'exposant auquel le nombre a doit être élevé pour obtenir b.
• Identité logarithmique de base :
alogab=b, où b>0, a>0
• Si la base d'un logarithme est 10, alors un tel logarithme est appelé décimal.
• Si la base d'un logarithme est égale au nombre e, alors un tel logarithme est appelé naturel

Propriétés des logarithmes

• Le logarithme de la base elle-même est 1 :
loga=1
• Le logarithme de un vers n'importe quelle base est égal à zéro :
log1=0
• Le logarithme du produit de deux ou plusieurs nombres positifs est égal à la somme des logarithmes des facteurs :
loga(bc)= logab + logac
• Le logarithme du quotient des nombres positifs est égal à la différence entre les logarithmes du dividende et du diviseur :
loga(b/c)= logab - logac
• Le logarithme d'une puissance est égal au produit de l'exposant et du logarithme de sa base :
logan = n logab
• Formule pour passer de la base b à la base a :
Logax = logbx/logba

Critères d'évaluation de la carte technologique :

• Fournir des informations mathématiques de manière claire et logique - 1 point ;
• L'élève démontre une connaissance des symboles mathématiques - 1 point ;

Calculer oralement :

Critères d'évaluation du calcul oral

• pour un calcul oral correct - 1 point
• pour calcul oral incorrect - 0 point

Fizminoutka

• Deux moitiés

loga(x/y) loga x -loga y

Travail de groupe:

Affectation au groupe 1

Travail de groupe : devoir pour le groupe 2 Dans l'organigramme de la leçon, utilisez les flèches pour relier les formules

• logax + logay

Travail de groupe : Devoir pour le groupe 3 Complétez les formules de l'organigramme de la leçon Évaluation par les pairs Critères d'évaluation par les pairs

• pour avoir trouvé correctement des formules - 1 point pour le groupe ;
• Pour avoir mal trouvé des formules - 0 point.

Travail écrit individuel sur des tâches différenciées

	journal 26 - journal 2 (6/32)
	journal 3 5 - journal 3 135
	2 journal 27 - journal 2 49
	journal 93+ journal 9243

Solution de travail individuel sur des tâches différenciées

		journal(8∙125) = journal 1000 = 3
	journal 26 - journal 2 (6/32)	journal 2 (6 : (6/32)) = journal 232 = 5
	journal 3 5 - journal 3 135	journal 3 (5 : 135)= journal 3 (1:27)= -3
	2 journal 27 - journal 2 49	journal 272 - journal 249 = journal 2 (49:49) = journal 2 1 = 0
	journal 93+ journal 9243	log 9(3∙243) = log 9729=3

Critères d'évaluation des travaux écrits individuels

• pour résoudre correctement des exemples dans leur intégralité - 5 points ;
• Pour l'orthographe correcte des symboles mathématiques - 1 point ;

Élaboration de critères d’évaluation des performances :

• Critères de notation : pour 20 points et plus – note « 5 »
• pour 16-19 points et plus – score « 4 »
• pour 9 à 15 points et plus – score « 3 »

Création des clusters et leur protection Critères d'évaluation des clusters :

• Pour la création correcte d'un cluster - 1 point ;
• Pour l'élégance du design du cluster - 0,5 point ;
• Pour une bonne protection du cluster - 1 point

Réflexion

• 1. Qu'est-ce que je sais sur____
• 2. Qu'est-ce que je veux savoir_____
• 3. Ce que j'ai appris ____
• 4. Évaluez votre travail en classe_____

Devoirs

1. Composez un syncwine « Logarithmes »

2. Devoir de manuel : n° 241, n° 242

Définition du dérivé. Ligne médiane. Etude d'une fonction de monotonie. Travail : Consolidation du matériel étudié. Calculez approximativement en utilisant le différentiel. Valeurs minimales des fonctions. Dérivée et son application en algèbre et géométrie. La fonction en question. Tâche. Inégalité. Signes de fonction croissante et décroissante. Point. Définition. Trouver le différentiel. Preuve des inégalités.

""Intégral" 11e année" - À quel point vous avez été vaincu dans le numéro habituel sur la page. Intégral dans la littérature. Intégrale définitive, j'ai commencé à rêver de toi la nuit. Inventez une phrase. Quel bonheur j'ai éprouvé en choisissant le prototype. Zamiatine Evgueni Ivanovitch (1884-1937). Trouvez des primitives pour les fonctions. Épigraphe. Roman « Nous » (1920). Une série de substitutions et de substitutions ont conduit à la solution du problème. Illustration pour le roman « Nous ». Intégral. Groupe Intégral. Cours d'algèbre et début de l'analyse.

"Application des logarithmes" - Depuis l'époque de l'astronome grec Hipparque (IIe siècle avant JC), le concept de "magnitude stellaire" est utilisé. Comme nous le voyons, les logarithmes envahissent le domaine de la psychologie. Dans le tableau, nous trouvons la magnitude de Capella (m1 = +0,2t) et Deneb (m2 = +1,3t). Unité de volume. Étoiles, bruit et logarithmes. Les effets nocifs du bruit industriel sur la santé des travailleurs et sur la production. Sujet : « LOGARITHMES EN ASTRONOMIE ». Napier (1550 - 1617) et le Suisse I. Burgi (1552 - 1632).

« Algèbre « Fonctions » » - Calculer. Faisons un tableau. Etude des fonctions et construction de leurs graphiques. Le concept d'intégrale. La fonction F est appelée primitive de la fonction f. Aire d'un trapèze courbe. Une fonction est une primitive d'une fonction. Calculons l'aire S d'un trapèze curviligne. « Intégrale de a à b ef de x de x. » Méthode d'intervalle. Trouvons les points d'intersection du graphique avec Ox (y = 0). Règles de différenciation. Trouvons les valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction sur le segment.

« Exemples d'inégalités logarithmiques » - Préparez-vous à l'examen d'État unifié ! Quelles fonctions augmentent et lesquelles diminuent ? Résumé de la leçon. Trouvez la bonne solution. En augmentant. Algèbre 11e année. Devoir : résoudre les inégalités logarithmiques proposées dans les tâches de l'examen d'État unifié 2010. Bonne chance pour l'examen d'État unifié ! Cluster à remplir pendant la leçon : Objectifs de la leçon : Trouver le domaine de définition de la fonction. Entre les nombres m et n mettez un signe > ou<.(m, n >0). Graphiques de fonctions logarithmiques.

"La signification géométrique de la dérivée d'une fonction" - La signification de la dérivée d'une fonction. Algorithme de composition de l'équation tangente. Signification géométrique de la dérivée. Équation d'une droite avec un coefficient angulaire. Équations tangentes. Faites une paire. Sécante. Vocabulaire de la leçon. J'ai réussi. Idée mathématique correcte. Résultats des calculs. Position limite de la sécante. Définition. Trouvez la pente. Écrivez une équation pour la tangente au graphique de la fonction.

JEAN NAPER (1550-1617)

mathématicien écossais

inventeur des logarithmes.

Dans les années 1590, il eut l'idée

calculs logarithmiques

et compilé les premiers tableaux

des logarithmes, mais c'est fameux

L'ouvrage «Description des étonnantes tables de logarithmes» n'a été publié qu'en 1614.

Il est responsable de la définition des logarithmes, d'une explication de leurs propriétés, des tableaux de logarithmes, des sinus, des cosinus, des tangentes et des applications des logarithmes en trigonométrie sphérique.

De l'histoire des logarithmes

• Les logarithmes sont apparus il y a 350 ans en lien avec les besoins de la pratique informatique.

• À cette époque, il fallait effectuer des calculs très fastidieux pour résoudre des problèmes d’astronomie et de navigation.

• Le célèbre astronome Johannes Kepler fut le premier à introduire le signe du logarithme – log en 1624. Il a utilisé des logarithmes pour trouver l'orbite de Mars.

• Le mot « logarithme » est d’origine grecque et signifie rapport de nombres.

0, a ≠1 est l'exposant auquel le nombre a doit être élevé pour obtenir b. "largeur="640"

Définition

Le logarithme d'un nombre positif b en base a, où a0, a ≠1 est l'exposant auquel le nombre a doit être élevé pour obtenir b.

Calculer:

journal 2 16 ; log2 64 ; journal 2 2 ;

journal 2 1 ; journal 2 (1/2); journal 2 (1/8);

journal 3 27 ; journal 3 81 ; journal 3 3;

journal 3 1 ; journal 3 (1/9); journal 3 (1/3);

journal 1/2 1/32 ; journal 1/2 4 ; journal 0,5 0,125 ;

Journal 0,5 (1/2); journal 0,5 1 ; journal 1/2 2.

Identité logarithmique de base

Par définition du logarithme

Calculer:

3 journal 3 18 ; 3 5log 3 2 ;

5 journal 5 16 ; 0,3 2log 0,3 6 ;

10 journal 10 2 ; (1/4) bûche (1/4) 6 ;

8 journal 2 5 ; 9 journal 3 12 .

3 X X X R N'existe pour aucun x " width="640"

A quelles valeurs X il y a un logarithme

N'existe pas du tout

lequel X

1. Le logarithme du produit des nombres positifs est égal à la somme des logarithmes des facteurs.

enregistrer un (avant JC) = journal un b + journal un c

( b

c )

un enregistrer un (avant JC) =

un enregistrer un b

=un enregistrer un b + enregistrer un c

un enregistrer un c

un enregistrer un b

un enregistrer un c

1. Le logarithme du produit des nombres positifs est égal à la somme des logarithmes des facteurs. log a (bc) = log a b + log a c

Exemple:

enregistrer un

=journal un Blog un c

= un enregistrer un b - enregistrer un c

un enregistrer un b

un enregistrer un

un enregistrer un c

b = une enregistrer un b

c = une enregistrer un c

0 ; une ≠ 1 ; b 0 ; c 0. Exemple : 1 " largeur="640"

2. Le logarithme du quotient de deux nombres positifs est égal à la différence entre les logarithmes du dividende et du diviseur.

enregistrer un

=journal un Blog un c,

un 0 ; un ≠ 1 ; b 0 ; c 0.

Exemple:

0 ; b 0 ; r R log a b r = r log a b Exemple a log a b = b 1,5 (a log a b) r = b r a rlog a b = b r " width="640"

3. Le logarithme d'une puissance de base positive est égal à l'exposant multiplié par le logarithme de la base

enregistrer un b r = r journal un b

Exemple

un enregistrer un b =b

(un enregistrer un b ) r =b r

un rlog un b =b r

Formule pour passer d'une base

logarithme à un autre, exemples.

A. Diesterweg

LE DÉVELOPPEMENT ET L’ÉDUCATION NE PEUVENT ÊTRE DONNÉS NI COMMUNIQUER À QUELQUE PERSONNE. TOUTE PERSONNE QUI SOUHAITE LES REJOINDRE DOIT Y PARVENIR PAR SA PROPRE ACTIVITÉ, SA PROPRE FORCE, SA PROPRE TENSION .

Déterminer le sujet de la leçon en résolvant des équations

• 2x = ; 3x = ; 5x = 1/125 ; 2 x = 1/4 ; 2 x = 4 ; 3x = 81 ; 7x = 1/7 ; 3x = 1/81

Logarithme et ses propriétés

John Napier, inventeur des logarithmes

En 1590, il eut l'idée des calculs logarithmiques et compila les premiers tableaux de logarithmes en publiant l'ouvrage «Description des étonnantes tables de logarithmes». Cet ouvrage contenait une définition des logarithmes et une explication de leurs propriétés. Invention de la règle à calcul, un outil de calcul utilisant les tables Napier pour simplifier les calculs.

Règle logarithmique

De nos jours, avec l'avènement des calculatrices et des ordinateurs compacts, la nécessité d'utiliser des tableaux

Les logarithmes et les règles à calcul ne sont plus nécessaires.

• Le logarithme du nombre a 0 à la base a 0 et a 1 est l'exposant auquel il faut élever le nombre a pour obtenir le nombre b.
• - logarithme avec une base arbitraire.
• Par exemple: a) log 3 81 = 4, puisque 3 4 = 81 ; b) log 5 125 = 3, puisque 5 3 = 125 ; c) log 0,5 16 = -4, puisque (0,5) -4 = 16 ;

Application du logarithme : Calculs bancaires, géographie, calculs de production, biologie, chimie, physique, astronomie, psychologie, sociologie, musique.

Spirale logarithmique dans la nature

coquillage

Disposition des graines sur un tournesol

Propriétés des logarithmes

• log a 1 = 0.
• log a a = 1.
• log a xy = log a x + log a y.
• log a x ∕ y = log a x - log a y.
• log a x p = p log a x
• log a р x = 1 ∕ р log a x

• Si la base du logarithme est 10, alors le logarithme est dit décimal :

• Si la base du logarithme est e 2,7, alors le logarithme est dit naturel :

• 1. Trouvez le logarithme en base 4 de 64.

Solution: log 4 64 = 3, puisque 4 3 = 64.

Répondre: 3

• 2. Trouvez le numéro X, si journal 5 X = 2

Solution: journal 5 X = 2, X= 5 2 (par définition du logarithme), X = 25.

Répondre : 25.

• 3. Calculez : log 3 1/ 81 = X ,

Solution: journal 3 1/ 81 = X , 3 X = 1/ 81, X = – 4.

Répondre: – 4.

• 1. Calculez : log 6 12 + log 6 3

Solution:

log 6 12 +log 6 3 = log 6 (12*3) = log 6 36 = log 6 6 2 = 2

Répondre : 2.

• 2. Calculez : log 5 250 – log 5 2.

Solution:

log 5 250 – log 5 2 = log 5 (250/2) = log 5 125 = 3

Répondre : 3.

• 3. Calculez :

Solution :

Répondre: 8.

Le logarithme est un sujet assez étendu dans un cours d'algèbre pour les lycéens, il ne suffit donc pas de connaître uniquement sa définition, sa formule mathématique et d'être capable de dessiner un graphique. Tout au long de l'histoire de la formule logarithmique, les mathématiciens du monde entier ont dérivé un grand nombre de dépendances et de théorèmes, dont la connaissance aidera les étudiants à poursuivre leurs travaux sur cette fonction.

La présentation « Propriétés des logarithmes » donne une large compréhension de cette définition et permet également de se familiariser avec toutes les conséquences les plus importantes de cette fonction.

La première partie de la présentation introduit brièvement le concept de logarithme et montre également comment construire un graphique basé sur celui-ci. Vient ensuite la définition qu’il faut apprendre, comme en témoigne l’icône en forme de point d’exclamation dans le coin du cadre rouge.

Après avoir restauré les connaissances sur un sujet préalablement étudié, les écoliers sont invités à se familiariser avec trois équations identiques, qui peuvent être facilement prouvées par tout élève ayant la capacité d'opérer avec des notions telles que puissance d'un nombre et base d'une puissance.

La troisième partie du cours est théorique. Ici, les élèves voient trois théorèmes basés sur diverses opérations mathématiques avec des logarithmes, y compris lorsqu'ils travaillent avec des fractions. Chaque théorème est mis en évidence par un cadre bleu, en dessous duquel se trouve la preuve mathématique.

Après la partie théorique de la présentation, les étudiants ont la possibilité de mettre en pratique leurs nouvelles connaissances en considérant la solution d'un exemple.

La présentation se termine par un théorème supplémentaire, ainsi que par trois exemples de résolution de problèmes basés sur les propriétés des logarithmes. Le dernier théorème proposé dans la leçon ne nécessite pas la capacité de le prouver dans un cours d'algèbre scolaire ordinaire - l'étudiant a juste besoin de le mémoriser, de le comprendre et d'être capable de l'appliquer lors de la résolution d'exemples thématiques.

Contrairement à un cours d'algèbre ordinaire proposé dans un manuel scolaire, la présentation « Propriétés des logarithmes » a une structure complètement différente, plus pratique et efficace, qui vous permet de transmettre les connaissances requises à l'étudiant aussi rapidement et facilement que possible. La présentation dilue la partie théorique avec des exemples pratiques qui détournent l'attention de l'étudiant vers une autre activité, ne surchargeant ainsi pas son cerveau et lui donnant la possibilité de faire une pause dans les changements d'activité mentale.

Une compréhension rapide des solutions aux exemples proposés est facilitée par un concept intéressant de présentation d'informations, très difficile à trouver dans un manuel d'algèbre ordinaire de 11e année. Dans les tâches proposées à l'examen dans la présentation, les données les plus importantes sont surlignées en rouge ou entourées d'un cadre. Cette technique permet non seulement d'assimiler rapidement les informations les plus importantes, mais apprend également à l'étudiant à rechercher de manière indépendante le matériel nécessaire dans l'ensemble du contexte.

La section d'algèbre moderne « propriétés des logarithmes » est l'une des plus importantes de tout le cours, car elle constitue la base d'une étude plus approfondie et approfondie des mathématiques, nécessaire à des centaines de professions modernes liées à diverses sphères de la vie humaine. C'est pour cette raison qu'il ne faut pas ignorer ce sujet, et si un élève, pour une raison quelconque, a manqué de l'étudier à l'école, alors la présentation des « propriétés des logarithmes » l'aidera à rattraper pleinement le temps perdu, grâce à une présentation facile et accessible de la matière de la leçon .

La présentation des « propriétés des logarithmes » est conçue de manière à ce qu'il soit confortable pour les étudiants et les enseignants de travailler avec : toutes les informations ont une forme complète sur une page séparée, de sorte que la leçon peut non seulement être montrée à l'aide de divers appareils modernes, mais aussi simplement imprimés si l'école n'a pas d'autres options.