\(\DeclareMathOperator(\tg)(tg)\)\(\DeclareMathOperator(\ctg)(ctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arctg)(arctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arcctg)(arcctg) \)

Contenu

Monotonie d'une fonction sur un intervalle Si sur l'intervalle \((a;b)\) pour n'importe quelle paire de points \((x_1)augmente sur cet intervalle.

Si sur l'intervalle \((a;b)\) pour n'importe quelle paire de points \((x_1)(f(x_2))\), alors la fonction \(f(x)\) diminue sur cet intervalle.

La fonction dont le graphique est représenté sur la figure augmente sur l'intervalle \((a;b)\) et diminue sur l'intervalle \((b;c)\).

Signes suffisants de monotonie d'une fonction sur un intervalle Un signe suffisant d’augmentation de la fonction
Si \(f"(x)>0\) en tout point \(x\in(a;b)\), alors la fonction \(f(x)\) augmente sur l'intervalle \((a;b) \) .

Un signe suffisant de diminution de la fonction
Si \(f"(x)

Points d'extrema locaux Si dans un intervalle \((a;b)\) contenant le point \(x_0\) pour tout \(x\in(a;b)\) l'inégalité \(f(x)\geqslant f(x_0)\ ), et dans cet intervalle il y a un point \(x_1\) tel que \(f(x_1)>f(x_0)\), alors \(x_0\) - point minimum local fonctions \(f(x)\).

Si dans un intervalle \((a;b)\) contenant le point \(x_0\) pour tout \(x\in(a;b)\) l'inégalité \(f(x)\leqslant f(x_0)\ ), et dans cet intervalle il y a un point \(x_1\) tel que \(f(x_1) est le point maximum local de la fonction \(f(x)\).

Les points de minima et maxima locaux sont appelés points d'extrema locaux.

La figure ci-dessous montre le graphique de la fonction \(f(x)\) et les points de ses extrema locaux sont marqués : \(x_1,\; x_2,\; x_3,\; x_4\).

\(x_1\) et \(x_3\) sont des points de minima locaux, \(x_2\) et \(x_4\) sont des points de maxima locaux.
Aux points \(x_1,\; x_3\) et \(x_4\), la dérivée existe et est égale à zéro - les tangentes au graphique (représentées par des lignes rouges) en ces points sont parallèles à l'axe des abscisses.
Au point \(x_2\) la dérivée n'est pas définie. À ce stade, il n’est pas possible de tracer une tangente au graphique.

Signes de maximum et de minimum Si au point \(x_0\) la fonction \(f\) est continue et que sa dérivée \(f'\) change de signe de plus à moins à ce stade (c'est-à-dire qu'il existe un tel intervalle \(( a;x_0)\ ), tel que \(f'>0\) sur \((a;x_0)\) et un intervalle \((x_0;b)\) tel que \(f'
Si au point \(x_0\) la fonction \(f\) est continue et que sa dérivée \(f'\) change de signe de moins à plus à ce point (c'est-à-dire qu'il existe un tel intervalle \(( a;x_0)\ ) que \(f' 0\) sur \((x_0;b)\)), alors \(x_0\) est le point minimum de la fonction \(f\).

Les points minimum et maximum d'une fonction sont les points dans le domaine de définition de cette fonction (c'est-à-dire les valeurs de \(x\)). Les valeurs de la fonction en ces points (les valeurs de \(y\) correspondant à ces \(x\)) sont appelées minimums Et des hauts fonctionne en conséquence.

Par exemple, pour la fonction \(y=x^2+1\) : \(\;x=0\) est le point minimum et \(y(0)=1\) est le minimum.

Trouver les points minimum et maximum Pour trouver les points minimum et maximum de la fonction continue \(f(x)\) il vous faut :

2) trouver les zéros de la dérivée (résoudre l'équation \(f"(x)=0\)) et les points auxquels la dérivée n'est pas définie ;

3) trouver les signes de la dérivée sur chacun des intervalles résultants ;

4) les points auxquels la fonction \(f\) est continue et sa dérivée change de signe de "+" à "-" - les points maximaux de cette fonction,

les points auxquels la fonction \(f\) est continue et sa dérivée change de signe de « - » à « + » sont les points minimaux de cette fonction.

La plus grande et la plus petite valeur d'une fonction sur un segment Une fonction continue sur un intervalle atteint ses valeurs maximale et minimale sur cet intervalle.

Pour trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction continue \(f(x)\) sur un segment il vous faut :

1) trouver la dérivée \(f"(x)\) de cette fonction ;

2) trouver points critiques, c'est-à-dire les zéros de la dérivée (résoudre l'équation \(f"(x)=0\)) et les points auxquels la dérivée n'est pas définie ;

3) trouver la valeur de la fonction aux points critiques, ainsi qu'aux extrémités du segment ;

4) la plus grande des valeurs obtenues sera la plus grande valeur de la fonction sur ce segment,

la plus petite valeur obtenue sera la plus petite valeur de la fonction sur ce segment.

La plus grande valeur de la fonction \(f(x)\) sur le segment \(\) est notée \(\max\limits_()f(x)\)

La plus petite valeur de la fonction \(f(x)\) sur le segment \(\) est notée \(\min\limits_()f(x)\)

Trouver la plus grande valeur de la fonction y=(7x^2-56x+56)e^x sur l'intervalle [-3; 2].

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Solution

Trouvons la dérivée de la fonction d'origine en utilisant la formule de dérivée du produit y"=(7x^2-56x+56)"e^x\,+ (7x^2-56x+56)\gauche(e^x\droite)"= (14x-56)e^x+(7x^2-56x+56)e^x= (7x^2-42x)e^x= 7x(x-6)e^x. Calculons les zéros de la dérivée : y"=0;

7x(x-6)e^x=0,

x_1=0, x_2=6.

Disposons les signes de la dérivée et déterminons les intervalles de monotonie de la fonction originale sur un segment donné.

D'après la figure, il ressort clairement que sur le segment [-3 ; 0] la fonction d'origine augmente, et sur le segment elle diminue. Ainsi, la plus grande valeur sur le segment [-3 ; 2] est atteint à x=0 et est égal à y(0)= 7\cdot 0^2-56\cdot 0+56=56.

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Condition

Trouver la plus grande valeur de la fonction y=12x-12tg x-18 sur le segment \gauche.

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Solution

y"= (12x)"-12(tg x)"-(18)"= 12-\frac(12)(\cos ^2x)= \frac(12\cos ^2x-12)(\cos ^2x)\leqslant0. Cela signifie que la fonction d'origine est non croissante sur l'intervalle considéré et prend la plus grande valeur à l'extrémité gauche de l'intervalle, c'est-à-dire à x=0. La plus grande valeur est y(0)= 12\cdot 0-12 tg(0)-18= -18.

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Source : « Mathématiques. Préparation à l'examen d'État unifié 2017. Niveau profil." Éd. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condition

Trouvez le point minimum de la fonction y=(x+8)^2e^(x+52).

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Solution

Nous trouverons le point minimum de la fonction en utilisant la dérivée. Trouvons la dérivée d'une fonction donnée en utilisant les formules de la dérivée du produit, la dérivée de x^\alpha et e^x :

y"(x)= \left((x+8)^2\right)"e^(x+52)+(x+8)^2\left(e^(x+52)\right)"= 2(x+8)e^(x+52)+(x+8)^2e^(x+52)= (x+8)e^(x+52)(2+x+8)= (x+8)(x+10)e^(x+52).

Organisons les signes de la dérivée et déterminons les intervalles de monotonie de la fonction originale. e^(x+52)>0 pour tout x. y"=0 à x=-8, x=-10.

La figure montre que la fonction y=(x+8)^2e^(x+52) a un seul point minimum x=-8.

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Source : « Mathématiques. Préparation à l'examen d'État unifié 2017. Niveau profil." Éd. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condition

Trouver le point maximum de la fonction y=8x-\frac23x^\tfrac32-106.

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Solution

ODZ : x \geqslant 0. Trouvons la dérivée de la fonction originale :

y"=8-\frac23\cdot\frac32x^\tfrac12=8-\sqrt x.

Calculons les zéros de la dérivée :

8-\sqrt x=0;

\sqrtx=8 ;

x=64.

Organisons les signes de la dérivée et déterminons les intervalles de monotonie de la fonction originale.

La figure montre que le point x=64 est le seul point maximum de la fonction donnée.

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Source : « Mathématiques. Préparation à l'examen d'État unifié 2017. Niveau profil." Éd. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condition

Trouver la plus petite valeur de la fonction y=5x^2-12x+2\ln x+37 sur le segment \gauche[\frac35; \frac75\right].

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Solution

ODZ : x>0.

Trouvons la dérivée de la fonction d'origine :

y"(x)= 10x-12+\frac(2)(x)= \frac(10x^2-12x+2)(x).

Définissons les zéros de la dérivée : y"(x)=0;

\frac(10x^2-12x+2)(x)=0,

5x^2-6x+1=0,

x_(1,2)= \frac(3\pm\sqrt(3^2-5\cdot1))(5)= \frac(3\pm2)(5),

x_1=\frac15\notin\left[\frac35; \frac75\right],

x_2=1\in\left[\frac35; \frac75\right].

Disposons les signes de la dérivée et déterminons les intervalles de monotonie de la fonction originale sur l'intervalle considéré.

D'après la figure, il est clair que sur le segment \gauche[\frac35; 1\droite] la fonction d'origine diminue, et sur le segment \gauche augmente. Ainsi, la plus petite valeur du segment \gauche[\frac35; \frac75\droite] est atteint à x=1 et est égal à y(1)= 5\cdot 1^2-12\cdot 1+2 \ln 1+37= 30.

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Source : « Mathématiques. Préparation à l'examen d'État unifié 2017. Niveau profil." Éd. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condition

Trouver la plus grande valeur de la fonction y=(x+4)^2(x+1)+19 sur le segment [-5; -3].

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Solution

Trouvons la dérivée de la fonction d'origine en utilisant la formule de dérivée du produit.

Augmentation, diminution et extrema d'une fonction

Trouver les intervalles d'augmentation, de diminution et d'extrema d'une fonction est à la fois une tâche indépendante et une partie essentielle d'autres tâches, en particulier, étude de fonction complète. Les premières informations sur l'augmentation, la diminution et les extrema de la fonction sont données dans chapitre théorique sur la dérivée, que je recommande vivement pour une étude préliminaire (ou répétition)– aussi parce que le matériel suivant est basé sur le même essentiellement dérivé,étant une continuation harmonieuse de cet article. Cependant, si le temps manque, une pratique purement formelle des exemples de la leçon d’aujourd’hui est également possible.

Et aujourd'hui, il y a un esprit d'une rare unanimité dans l'air, et je sens directement que toutes les personnes présentes brûlent de désir. apprendre à explorer une fonction à l'aide de sa dérivée. Par conséquent, une terminologie raisonnable, bonne et éternelle apparaît immédiatement sur vos écrans.

Pour quoi? L’une des raisons est la plus pratique : afin qu'il soit clair ce qui est généralement exigé de vous dans une tâche particulière!

Monotonie de la fonction. Points extremum et extremum d'une fonction

Considérons une fonction. Pour faire simple, nous supposons qu'elle continu sur toute la droite numérique :

Au cas où, débarrassons-nous immédiatement des illusions possibles, surtout pour les lecteurs qui ont récemment pris connaissance de intervalles de signe constant de la fonction. Maintenant nous PAS INTÉRESSÉ, comment se situe le graphique de la fonction par rapport à l'axe (en haut, en bas, à l'intersection de l'axe). Pour être convaincant, effacez mentalement les axes et laissez un graphique. Car c’est là que réside l’intérêt.

Fonction augmente sur un intervalle si pour deux points quelconques de cet intervalle reliés par la relation , l'inégalité est vraie. C'est-à-dire qu'une valeur plus grande de l'argument correspond à une valeur plus grande de la fonction, et son graphique va « de bas en haut ». La fonction de démonstration croît au fil de l'intervalle.

De même, la fonction diminue sur un intervalle si pour deux points quelconques d'un intervalle donné tel que , l'inégalité est vraie. C'est-à-dire qu'une valeur plus grande de l'argument correspond à une valeur plus petite de la fonction, et son graphique va « de haut en bas ». Notre fonction diminue à intervalles réguliers .

Si une fonction augmente ou diminue sur un intervalle, alors elle est appelée strictement monotoneà cet intervalle. Qu'est-ce que la monotonie ? Prenez-le au pied de la lettre : la monotonie.

Vous pouvez également définir non décroissant fonction (condition détendue dans la première définition) et non croissant fonction (condition adoucie dans la 2ème définition). Une fonction non décroissante ou non croissante sur un intervalle est appelée fonction monotone sur un intervalle donné. (la monotonie stricte est un cas particulier de monotonie « simplement »).

La théorie envisage également d'autres approches pour déterminer l'augmentation/diminution d'une fonction, y compris sur des demi-intervalles, des segments, mais afin de ne pas vous verser d'huile-huile-huile sur la tête, nous accepterons d'opérer avec des intervalles ouverts avec des définitions catégoriques - c'est plus clair et cela suffit amplement pour résoudre de nombreux problèmes pratiques.

Ainsi, dans mes articles la formulation « monotonie d'une fonction » sera presque toujours cachée intervalles monotonie stricte(fonction strictement croissante ou strictement décroissante).

Quartier d'un point. Des mots après lesquels les étudiants s'enfuient partout où ils peuvent et se cachent avec horreur dans les coins. ...Bien qu'après le post Limites de Cauchy Ils ne se cachent probablement plus, mais frémissent seulement légèrement =) Ne vous inquiétez pas, il n'y aura plus de preuves des théorèmes de l'analyse mathématique - j'avais besoin de l'environnement pour formuler les définitions plus strictement points extrêmes. Souvenons-nous:

Quartier d'un point un intervalle qui contient un point donné est appelé et, pour plus de commodité, l'intervalle est souvent supposé symétrique. Par exemple, un point et son voisinage standard :

En fait, les définitions :

Le point s'appelle point maximum strict, Si existe son quartier, pour tous valeurs dont, à l'exception du point lui-même, l'inégalité . Dans notre exemple spécifique, il s'agit d'un point.

Le point s'appelle point minimum strict, Si existe son quartier, pour tous valeurs dont, à l'exception du point lui-même, l'inégalité . Sur le dessin, il y a le point « a ».

Note : l'exigence de symétrie du voisinage n'est pas du tout nécessaire. De plus, il est important le fait même de l'existence quartier (qu'il soit minuscule ou microscopique) qui satisfait aux conditions spécifiées

Les points sont appelés points strictement extrêmes ou simplement points extrêmes les fonctions. Autrement dit, il s’agit d’un terme généralisé désignant le maximum de points et le minimum de points.

Comment comprenons-nous le mot « extrême » ? Oui, aussi directement que la monotonie. Points extrêmes des montagnes russes.

Comme dans le cas de la monotonie, des postulats vagues existent et sont encore plus courants en théorie (dont relèvent bien entendu les cas stricts considérés !):

Le point s'appelle point maximum, Si existe ses environs sont tels que pour tous
Le point s'appelle point minimum, Si existe ses environs sont tels que pour tous valeurs de ce quartier, l'inégalité tient.

Notez que selon les deux dernières définitions, tout point d’une fonction constante (ou une « section plate » d’une fonction) est considéré à la fois comme un point maximum et un point minimum ! Soit dit en passant, la fonction est à la fois non croissante et non décroissante, c'est-à-dire monotone. Cependant, nous laisserons ces considérations aux théoriciens, car dans la pratique, nous contemplons presque toujours des « collines » et des « creux » traditionnels (voir dessin) avec un unique « roi de la colline » ou « princesse du marais ». En tant que variété, on le trouve conseil, dirigé vers le haut ou vers le bas, par exemple le minimum de la fonction en ce point.

Oh, et en parlant de royauté :
– le sens s'appelle maximum les fonctions;
– le sens s'appelle le minimum les fonctions.

Nom commun - extrêmes les fonctions.

S'il vous plaît, soyez prudent avec vos mots !

Points extrêmes– ce sont des valeurs « X ».
Extrêmes– les significations « jeu ».

! Note : parfois les termes listés font référence aux points « X-Y » qui se trouvent directement sur le GRAPHIQUE DE la fonction ELLE-MÊME.

Combien d’extrema une fonction peut-elle avoir ?

Aucun, 1, 2, 3, ... etc. à l'infini. Par exemple, le sinus a une infinité de minima et de maxima.

IMPORTANT! Le terme « maximum de fonction » pas identique le terme « valeur maximale d’une fonction ». Il est facile de remarquer que la valeur n'est maximale que dans un quartier local, et en haut à gauche se trouvent des « camarades plus cool ». De même, « minimum d'une fonction » n'est pas la même chose que « valeur minimale d'une fonction », et sur le dessin, nous voyons que la valeur n'est minimale que dans une certaine zone. À cet égard, les points extrêmes sont également appelés points extrêmes locaux, et les extrema – extrêmes locaux. Ils marchent et errent à proximité et mondial frères. Ainsi, toute parabole a à son sommet minimum global ou maximum global. De plus, je ne ferai pas de distinction entre les types d'extrêmes, et l'explication est davantage formulée à des fins pédagogiques générales - les adjectifs supplémentaires « local »/« global » ne devraient pas vous surprendre.

Résumons notre courte excursion dans la théorie par un tir test : que signifie la tâche « trouver les intervalles de monotonie et les points extremum de la fonction » ?

La formulation vous encourage à trouver :

– intervalles de fonction croissante/décroissante (non décroissant, non croissant apparaît beaucoup moins souvent) ;

– points maximum et/ou minimum (le cas échéant). Bon, pour éviter l'échec, mieux vaut trouver soi-même les minimums/maximums ;-)

Comment déterminer tout cela ? Utilisation de la fonction dérivée !

Comment trouver des intervalles croissants, décroissants,
points extremum et extremum de la fonction ?

De nombreuses règles, en fait, sont déjà connues et comprises depuis leçon sur la signification d'un dérivé.

Dérivée tangente apporte la bonne nouvelle que la fonction augmente partout domaine de définition.

Avec cotangente et sa dérivée la situation est exactement le contraire.

L'arc sinus augmente au cours de l'intervalle - la dérivée ici est positive : .
Lorsque la fonction est définie, mais non différentiable. Cependant, au point critique, il y a une dérivée à droite et une tangente à droite, et à l’autre bord se trouvent leurs homologues à gauche.

Je pense qu’il ne vous sera pas trop difficile de faire un raisonnement similaire pour l’arc cosinus et sa dérivée.

Tous les cas ci-dessus, dont beaucoup sont dérivés tabulaires, je vous le rappelle, suivez directement de définitions dérivées.

Pourquoi explorer une fonction à l’aide de sa dérivée ?

Pour mieux comprendre à quoi ressemble le graphique de cette fonction: où il va « de bas en haut », où « de haut en bas », où il atteint les minimums et les maximums (si tant est qu'il les atteigne). Toutes les fonctions ne sont pas aussi simples : dans la plupart des cas, nous n’avons aucune idée du graphique d’une fonction particulière.

Il est temps de passer à des exemples plus significatifs et de considérer algorithme pour trouver des intervalles de monotonie et des extrema d'une fonction:

Exemple 1

Trouver les intervalles d'augmentation/diminution et les extrema de la fonction

Solution:

1) La première étape consiste à trouver domaine d'une fonction, et prenez également note des points d'arrêt (s'ils existent). Dans ce cas, la fonction est continue sur toute la droite numérique, et cette action est dans une certaine mesure formelle. Mais dans un certain nombre de cas, des passions sérieuses éclatent ici, alors traitons le paragraphe sans dédain.

2) Le deuxième point de l’algorithme est dû à

une condition nécessaire pour un extremum :

S'il y a un extremum en un point, alors soit la valeur n'existe pas.

Vous êtes confus par la fin ? Extremum de la fonction « module x » .

La condition est nécessaire, mais pas assez, et l’inverse n’est pas toujours vrai. Ainsi, il ne résulte pas encore de l'égalité que la fonction atteint un maximum ou un minimum au point . Un exemple classique a déjà été souligné ci-dessus : il s'agit d'une parabole cubique et de son point critique.

Quoi qu'il en soit, la condition nécessaire à un extremum dicte la nécessité de trouver les points suspects. Pour ce faire, trouvez la dérivée et résolvez l'équation :

Au début du premier article à propos des graphiques de fonctions Je vous ai expliqué comment construire rapidement une parabole à l'aide d'un exemple : "...on prend la dérivée première et on l'égale à zéro : ...Donc, la solution de notre équation : - c'est en ce point que se situe le sommet de la parabole...". Maintenant, je pense que tout le monde comprend pourquoi le sommet de la parabole se situe exactement à cet endroit =) En général, on devrait commencer par un exemple similaire ici, mais c'est trop simple (même pour une théière). De plus, il y a un analogue à la toute fin de la leçon sur dérivée d'une fonction. Par conséquent, augmentons le degré :

Exemple 2

Trouver les intervalles de monotonie et les extrema de la fonction

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Une solution complète et un échantillon final approximatif du problème à la fin de la leçon.

Le moment tant attendu de rencontre avec les fonctions fractionnaires-rationnelles est arrivé :

Exemple 3

Explorer une fonction en utilisant la dérivée première

Faites attention à la manière dont une même tâche peut être reformulée de manière variable.

Solution:

1) La fonction subit des discontinuités infinies en certains points.

2) Nous détectons les points critiques. Trouvons la dérivée première et égalons-la à zéro :

Résolvons l'équation. Une fraction est nulle lorsque son numérateur est nul :

Ainsi, nous obtenons trois points critiques :

3) Nous traçons TOUS les points détectés sur la droite numérique et méthode d'intervalle on définit les signes du DÉRIVÉ :

Je vous rappelle que vous devez prendre un point dans l'intervalle et y calculer la valeur de la dérivée et déterminer son signe. Il est plus rentable de ne même pas compter, mais d'« estimer » verbalement. Prenons, par exemple, un point appartenant à l'intervalle et effectuons la substitution : .

Deux « plus » et un « moins » donnent donc un « moins », ce qui signifie que la dérivée est négative sur tout l'intervalle.

L'action, comme vous le comprenez, doit être effectuée pour chacun des six intervalles. À propos, notez que le facteur numérateur et le dénominateur sont strictement positifs pour tout point de n'importe quel intervalle, ce qui simplifie grandement la tâche.

Ainsi, la dérivée nous a dit que la FONCTION ELLE-MÊME augmente de et diminue de . Il est pratique de connecter des intervalles du même type avec l'icône de jointure.

Au moment où la fonction atteint son maximum :
Au moment où la fonction atteint un minimum :

Réfléchissez à la raison pour laquelle vous n'avez pas besoin de recalculer la deuxième valeur ;-)

En passant par un point, la dérivée ne change pas de signe, donc la fonction n'y a AUCUN EXTREMUM - elle a à la fois diminué et est restée décroissante.

! Répétons un point important: les points ne sont pas considérés comme critiques - ils contiennent une fonction non déterminé. En conséquence, ici En principe, il ne peut y avoir d'extrêmes(même si la dérivée change de signe).

Répondre: la fonction augmente de et diminue de Au moment où le maximum de la fonction est atteint : , et au point – le minimum : .

Connaissance des intervalles de monotonie et des extrema, associée à des connaissances établies asymptote donne déjà une très bonne idée de l'apparence du graphe de fonction. Une personne de formation moyenne est capable de déterminer verbalement que le graphique d'une fonction comporte deux asymptotes verticales et une asymptote oblique. Voici notre héros :

Essayez à nouveau de corréler les résultats de l'étude avec le graphique de cette fonction.
Il n’y a pas d’extremum au point critique, mais il y a inflexion du graphique(ce qui arrive généralement dans des cas similaires).

Exemple 4

Trouver les extrema de la fonction

Exemple 5

Trouver les intervalles de monotonie, les maxima et les minima de la fonction

…c’est presque comme une sorte de vacances « X dans un cube » aujourd’hui….
Alors, qui dans la galerie a proposé de boire pour ça ? =)

Chaque tâche a ses propres nuances de fond et subtilités techniques, qui sont commentées à la fin de la leçon.

Il s'agit d'une section plutôt intéressante des mathématiques, à laquelle absolument tous les diplômés et étudiants sont confrontés. Cependant, tout le monde n’aime pas Matan. Certains ne peuvent même pas comprendre des choses de base comme une étude fonctionnelle apparemment standard. Cet article a pour but de corriger un tel oubli. Vous souhaitez en savoir plus sur l’analyse des fonctions ? Souhaitez-vous savoir ce que sont les points extremum et comment les trouver ? Alors cet article est fait pour vous.

Étudier le graphique d'une fonction

Tout d’abord, il convient de comprendre pourquoi vous devez analyser le graphique. Il existe des fonctions simples qui ne sont pas difficiles à dessiner. Un exemple frappant d’une telle fonction est une parabole. Il ne sera pas difficile de dessiner un graphique. Il suffit, par une simple transformation, de trouver les nombres pour lesquels la fonction prend la valeur 0. Et en principe, c'est tout ce qu'il faut savoir pour tracer le graphique d'une parabole.

Mais que se passe-t-il si la fonction que nous devons représenter graphiquement est beaucoup plus complexe ? Les propriétés des fonctions complexes n’étant pas tout à fait évidentes, il est nécessaire de procéder à une analyse complète. Ce n'est qu'après cela que la fonction peut être représentée graphiquement. Comment faire cela ? Vous pouvez trouver la réponse à cette question dans cet article.

Plan d'analyse fonctionnelle

La première chose à faire est de mener une étude superficielle de la fonction, au cours de laquelle nous trouvons le domaine de définition. Alors commençons dans l'ordre. Le domaine de définition est l'ensemble des valeurs par lesquelles la fonction est définie. En termes simples, ce sont les nombres qui peuvent être utilisés dans une fonction au lieu de x. Pour déterminer la portée, il suffit de consulter le dossier. Par exemple, il est évident que la fonction y (x) = x 3 + x 2 - x + 43 a un domaine de définition qui est l'ensemble des nombres réels. Eh bien, avec une fonction comme (x 2 - 2x)/x, tout est un peu différent. Puisque le nombre au dénominateur ne doit pas être égal à 0, le domaine de définition de cette fonction sera tous les nombres réels autres que zéro.

Ensuite, vous devez trouver les soi-disant zéros de la fonction. Ce sont les valeurs d'argument auxquelles la fonction entière prend la valeur zéro. Pour ce faire, il est nécessaire d'assimiler la fonction à zéro, de la considérer en détail et d'effectuer quelques transformations. Prenons la fonction déjà familière y(x) = (x 2 - 2x)/x. Depuis le cours scolaire, nous savons qu'une fraction est égale à 0 lorsque le numérateur est égal à zéro. Par conséquent, nous rejetons le dénominateur et commençons à travailler avec le numérateur, en l'assimilant à zéro. Nous obtenons x 2 - 2x = 0 et mettons x entre parenthèses. D'où x (x - 2) = 0. En conséquence, nous constatons que notre fonction est égale à zéro lorsque x est égal à 0 ou 2.

Lors de l'examen du graphique d'une fonction, de nombreuses personnes rencontrent des problèmes sous la forme de points extrêmes. Et c'est étrange. Après tout, les extrêmes sont un sujet assez simple. Vous ne me croyez pas ? Voyez par vous-même en lisant cette partie de l’article, dans laquelle nous parlerons des points minimum et maximum.

Tout d’abord, il convient de comprendre ce qu’est un extremum. Un extremum est la valeur limite qu'atteint une fonction sur un graphique. Il s'avère qu'il existe deux valeurs extrêmes : maximale et minimale. Pour plus de clarté, vous pouvez regarder l'image ci-dessus. Dans la zone étudiée, le point -1 est le maximum de la fonction y (x) = x 5 - 5x, et le point 1 est donc le minimum.

Ne confondez pas non plus les concepts. Les points extrêmes d'une fonction sont les arguments auxquels une fonction donnée acquiert des valeurs extrêmes. À son tour, l’extremum est la valeur des minimums et des maximums d’une fonction. Par exemple, considérons à nouveau la figure ci-dessus. -1 et 1 sont les points extrema de la fonction, et 4 et -4 sont les extrema eux-mêmes.

Trouver des points extrêmes

Mais comment trouver les points extrêmes d’une fonction ? Tout est assez simple. La première chose à faire est de trouver la dérivée de l’équation. Disons que nous avons reçu la tâche : "Trouver les points extremum de la fonction y (x), x est l'argument. Pour plus de clarté, prenons la fonction y (x) = x 3 + 2x 2 + x + 54. Différencions et obtenez l’équation suivante : 3x 2 + 4x + 1. En conséquence, nous avons une équation quadratique standard. Tout ce que nous devons faire ensuite est de l’assimiler à zéro et de trouver les racines. Puisque le discriminant est supérieur à zéro (D = 16 - 12 = 4), cette équation est déterminée par deux racines. Trouvez-les et obtenez deux valeurs : 1/3 et -1. Ce seront les points extrêmes de la fonction. Cependant, comment pouvez-vous encore déterminer qui est qui ? Quel point est le maximum et quel est le minimum ? Pour ce faire, vous devez prendre le point voisin et connaître sa valeur. Par exemple, prenez le nombre -2, qui est situé à gauche le long de la ligne de coordonnées de -1 . Remplacez cette valeur dans notre équation y(-2) = 12 - 8 + 1 = 5. En conséquence, nous obtenons un nombre positif. Cela signifie que dans l'intervalle de La fonction augmente de 1/3 à -1. Ceci , à son tour, signifie que sur les intervalles allant de moins l'infini à 1/3 et de -1 à plus l'infini, la fonction diminue. Ainsi, on peut conclure que le nombre 1/3 est le point minimum de la fonction sur l'intervalle étudié, et -1 est le point maximum.

Il convient également de noter que l'examen d'État unifié nécessite non seulement de trouver des points extrêmes, mais également d'effectuer une sorte d'opération avec eux (addition, multiplication, etc.). C'est pour cette raison qu'il convient d'accorder une attention particulière aux conditions du problème. Après tout, à cause de l'inattention, vous pouvez perdre des points.

Un concept important en mathématiques est la fonction. Avec son aide, vous pouvez représenter visuellement de nombreux processus se produisant dans la nature et refléter la relation entre certaines quantités à l'aide de formules, de tableaux et d'images sur un graphique. Un exemple est la dépendance de la pression d'une couche de liquide sur un corps à la profondeur d'immersion, l'accélération à l'action d'une certaine force sur un objet, une augmentation de la température à l'énergie transférée et bien d'autres processus. Étudier une fonction implique de construire un graphique, de connaître ses propriétés, son domaine de définition et ses valeurs, ses intervalles d'augmentation et de diminution. Un point important dans ce processus est la recherche des points extrêmes. Nous parlerons plus loin de la façon de procéder correctement.

À propos du concept lui-même à l'aide d'un exemple précis

En médecine, tracer un graphique fonctionnel peut nous renseigner sur l’évolution d’une maladie dans le corps d’un patient, reflétant clairement son état. Supposons que l'axe OX représente le temps en jours et que l'axe OU représente la température du corps humain. La figure montre clairement comment cet indicateur augmente fortement puis diminue. Il est également facile de remarquer des points particuliers reflétant les moments où une fonction, auparavant croissante, commence à diminuer, et vice versa. Ce sont des points extrêmes, c’est-à-dire des valeurs critiques (maximales et minimales) dans ce cas de la température du patient, après quoi des changements dans son état se produisent.

Angle d'inclinaison

Vous pouvez facilement déterminer à partir de la figure comment la dérivée de la fonction change. Si les droites du graphique augmentent avec le temps, alors c’est positif. Et plus ils sont raides, plus la valeur de la dérivée est grande, à mesure que l'angle d'inclinaison augmente. Pendant les périodes de diminution, cette valeur prend des valeurs négatives, se tournant vers zéro aux points extrêmes, et le graphique de la dérivée dans ce dernier cas est tracé parallèlement à l'axe OX.

Tout autre processus doit être traité de la même manière. Mais la meilleure façon de comprendre ce concept est le mouvement des différents corps, clairement indiqué dans les graphiques.

Mouvement

Supposons qu’un objet se déplace en ligne droite, prenant uniformément de la vitesse. Pendant cette période, le changement des coordonnées du corps est représenté graphiquement par une certaine courbe, qu'un mathématicien appellerait une branche de parabole. Dans le même temps, la fonction augmente constamment, car les indicateurs de coordonnées changent de plus en plus vite chaque seconde. Le graphique de vitesse montre le comportement de la dérivée dont la valeur augmente également. Cela signifie que le mouvement ne présente aucun point critique.

Cela continuerait indéfiniment. Mais que se passe-t-il si le corps décide soudainement de ralentir, de s’arrêter et de commencer à bouger dans une direction différente ? Dans ce cas, les indicateurs de coordonnées commenceront à diminuer. Et la fonction dépassera une valeur critique et passera de l'augmentation à la diminution.

A l'aide de cet exemple, on peut encore comprendre que des points extrêmes sur le graphique d'une fonction apparaissent aux moments où elle cesse d'être monotone.

Signification physique du dérivé

Ce qui a été décrit précédemment a clairement montré que la dérivée est essentiellement le taux de changement de la fonction. Cette clarification contient sa signification physique. Les points extrêmes sont des zones critiques sur le graphique. Ils peuvent être identifiés et détectés en calculant la valeur de la dérivée, qui s'avère égale à zéro.

Il existe un autre signe qui constitue une condition suffisante pour un extremum. La dérivée à de tels points d'inflexion change de signe : de « + » à « - » dans la zone maximale et de « - » à « + » dans la zone minimale.

Mouvement sous l'influence de la gravité

Imaginons une autre situation. Les enfants, jouant avec un ballon, le lançaient de telle manière qu'il commençait à se déplacer en biais par rapport à l'horizon. Au moment initial, la vitesse de cet objet était la plus élevée, mais sous l'influence de la gravité, elle a commencé à diminuer, et à chaque seconde d'une valeur égale à environ 9,8 m/s 2 . C'est la valeur de l'accélération qui se produit sous l'influence de la gravité terrestre lors d'une chute libre. Sur la Lune, elle serait environ six fois plus petite.

Le graphique décrivant le mouvement d’un corps est une parabole dont les branches pointent vers le bas. Comment trouver les points extrêmes ? Dans ce cas, il s'agit du sommet de la fonction, où la vitesse du corps (balle) prend la valeur nulle. La dérivée de la fonction devient nulle. Dans ce cas, la direction, et donc la valeur de la vitesse, change dans le sens inverse. Le corps descend plus vite chaque seconde et accélère de la même manière - 9,8 m/s 2 .

Dérivée seconde

Dans le cas précédent, le graphique du module de vitesse est tracé sous forme de ligne droite. Cette ligne est initialement dirigée vers le bas, puisque la valeur de cette valeur diminue constamment. Ayant atteint zéro à un moment donné, les indicateurs de cette valeur commencent à augmenter et la direction de la représentation graphique du module de vitesse change radicalement. La ligne pointe désormais vers le haut.

La vitesse, étant une dérivée de la coordonnée par rapport au temps, présente également un point critique. Dans cette région, la fonction, initialement décroissante, commence à augmenter. C'est l'emplacement du point extremum de la dérivée de la fonction. Dans ce cas, l'angle d'inclinaison de la tangente devient nul. Et l'accélération, étant la dérivée seconde de la coordonnée par rapport au temps, change de signe de « - » à « + ». Et le mouvement d’uniformément lent devient uniformément accéléré.

Graphique d'accélération

Regardons maintenant quatre images. Chacun d'eux affiche un graphique des changements dans le temps d'une quantité physique telle que l'accélération. Dans le cas de « A », sa valeur reste positive et constante. Cela signifie que la vitesse du corps, tout comme ses coordonnées, augmente constamment. Si l'on imagine que l'objet se déplacera ainsi pendant un temps infiniment long, la fonction reflétant la dépendance de la coordonnée au temps s'avérera constamment croissante. Il s'ensuit qu'il ne comporte pas de zones critiques. Il n'y a pas non plus de points extrêmes sur le graphique de la dérivée, c'est-à-dire une vitesse variant linéairement.

Il en va de même pour le cas « B » avec une accélération positive et en constante augmentation. Certes, les graphiques des coordonnées et de la vitesse seront ici un peu plus compliqués.

Quand l'accélération devient nulle

En regardant la figure « B », on peut observer une image complètement différente caractérisant le mouvement du corps. Sa vitesse sera représentée graphiquement par une parabole aux branches dirigées vers le bas. Si l'on continue la ligne décrivant le changement d'accélération jusqu'à son intersection avec l'axe OX et plus loin, on peut imaginer que jusqu'à cette valeur critique, où l'accélération s'avère nulle, la vitesse de l'objet augmentera de plus en plus lentement . Le point extrême de la dérivée de la fonction de coordonnées sera exactement au sommet de la parabole, après quoi le corps changera radicalement la nature de son mouvement et commencera à se déplacer dans une direction différente.

Dans le dernier cas, « G », la nature du mouvement ne peut être déterminée avec précision. Ici, nous savons seulement qu'il n'y a pas d'accélération pendant une certaine période considérée. Cela signifie que l’objet peut rester en place ou se déplacer à une vitesse constante.

Problème d'addition de coordonnées

Passons aux tâches souvent rencontrées lors de l'étude de l'algèbre à l'école et proposées pour la préparation à l'examen d'État unifié. La figure ci-dessous montre le graphique de la fonction. Il est nécessaire de calculer la somme des points extremum.

Faisons cela pour l'axe des ordonnées en déterminant les coordonnées des zones critiques où un changement dans les caractéristiques de la fonction est observé. En termes simples, nous trouverons les valeurs le long de l'axe OX pour les points d'inflexion, puis procéderons à l'addition des termes résultants. D'après le graphique, il est évident qu'ils prennent les valeurs suivantes : -8 ; -7 ; -5 ; -3 ; -2 ; 1; 3. Cela donne -21, ce qui est la réponse.

Solution optimale

Il n'est pas nécessaire d'expliquer à quel point le choix de la solution optimale peut être important dans l'exécution de tâches pratiques. Après tout, il existe de nombreuses façons d'atteindre un objectif, mais la meilleure solution, en règle générale, n'en est qu'une. Cela est extrêmement nécessaire, par exemple, lors de la conception de navires, de vaisseaux spatiaux et d'avions, ainsi que de structures architecturales, pour trouver la forme optimale de ces objets fabriqués par l'homme.

La vitesse des véhicules dépend en grande partie de la minimisation appropriée de la résistance qu'ils subissent lorsqu'ils se déplacent dans l'eau et l'air, des surcharges qui surviennent sous l'influence des forces gravitationnelles et de nombreux autres indicateurs. Un navire en mer requiert des qualités telles que la stabilité lors d'une tempête ; pour un navire fluvial, un tirant d'eau minimum est important. Lors du calcul de la conception optimale, les points extrêmes sur le graphique peuvent donner visuellement une idée de​​la meilleure solution à un problème complexe. Les problèmes de ce type sont souvent résolus en économie, dans les domaines commerciaux et dans de nombreuses autres situations de la vie.

De l'histoire ancienne

Même les anciens sages étaient préoccupés par des problèmes extrêmes. Les scientifiques grecs ont réussi à percer le mystère des zones et des volumes grâce à des calculs mathématiques. Ils furent les premiers à comprendre que sur un plan composé de différentes figures ayant le même périmètre, le cercle a toujours la plus grande surface. De même, la balle est dotée du volume maximum parmi les autres objets de l'espace ayant la même surface. Des personnalités aussi célèbres qu'Archimède, Euclide, Aristote et Apollonius se sont consacrées à résoudre ces problèmes. Heron était excellent pour trouver les points extrêmes et, à l'aide de calculs, il construisait des dispositifs ingénieux. Il s'agissait notamment de machines se déplaçant à vapeur, de pompes et de turbines fonctionnant sur le même principe.

Construction de Carthage

Il existe une légende dont l'intrigue est basée sur la résolution de l'un des problèmes extrêmes. Le résultat de l'approche commerciale démontrée par la princesse phénicienne, qui s'est tournée vers les sages pour obtenir de l'aide, fut la construction de Carthage. Le terrain de cette ville ancienne et célèbre a été donné à Didon (c'était le nom du souverain) par le chef d'une des tribus africaines. La superficie du lotissement ne lui paraissait pas très grande au début, puisque selon le contrat elle était censée être recouverte de peau de bœuf. Mais la princesse ordonna à ses soldats de le couper en fines lanières et d'en faire une ceinture. Il s’est avéré si long qu’il couvrait une zone pouvant accueillir une ville entière.

Origines de l'analyse mathématique

Passons maintenant des temps anciens à une époque ultérieure. Il est intéressant de noter que Kepler a été incité à comprendre les fondements de l’analyse mathématique au XVIIe siècle lors d’une rencontre avec un vendeur de vin. Le marchand était si compétent dans son métier qu'il pouvait facilement déterminer le volume de la boisson dans le tonneau simplement en y abaissant une corde de fer. En réfléchissant à une telle curiosité, le célèbre scientifique a réussi à résoudre lui-même ce dilemme. Il s'avère que d'habiles tonneliers de l'époque avaient l'habitude de fabriquer des récipients de telle manière qu'à une certaine hauteur et un certain rayon de circonférence des anneaux de fixation, ils avaient une capacité maximale.

Cela est devenu une raison pour Kepler de réfléchir plus avant. Les tonneliers sont parvenus à la solution optimale grâce à de longues recherches, des erreurs et de nouvelles tentatives, transmettant leur expérience de génération en génération. Mais Kepler voulait accélérer le processus et apprendre à faire la même chose en peu de temps grâce à des calculs mathématiques. Tous ses développements, repris par ses collègues, se sont transformés en les désormais célèbres théorèmes de Fermat et de Newton-Leibniz.

Problème de surface maximale

Imaginons que nous ayons un fil dont la longueur est de 50 cm, comment pouvons-nous en faire un rectangle ayant la plus grande surface ?

Lorsque vous prenez une décision, vous devez partir de vérités simples connues de tous. Il est clair que le périmètre de notre figure sera de 50 cm et qu'il est composé du double de la longueur des deux côtés. Cela signifie qu'après avoir désigné l'un d'eux par « X », l'autre peut être exprimé par (25 - X).

De là, nous obtenons une aire égale à X(25 - X). Cette expression peut être considérée comme une fonction qui prend plusieurs valeurs. Pour résoudre le problème, il faut en trouver le maximum, ce qui signifie que vous devez connaître les points extrêmes.

Pour ce faire, nous trouvons la dérivée première et l'assimilons à zéro. Le résultat est une équation simple : 25 - 2X = 0.

Nous en apprenons que l'un des côtés est X = 12,5.

Donc l'autre : 25 - 12,5 = 12,5.

Il s'avère que la solution au problème sera un carré de 12,5 cm de côté.

Comment trouver la vitesse maximale

Regardons un autre exemple. Imaginons qu'il existe un corps dont le mouvement linéaire est décrit par l'équation S = - t 3 + 9t 2 - 24t - 8, où la distance parcourue est exprimée en mètres et le temps en secondes. Nous devons trouver la vitesse maximale. Comment faire? Téléchargé, on retrouve la vitesse, c'est-à-dire la dérivée première.

Nous obtenons l'équation : V = - 3t 2 + 18t - 24. Maintenant, pour résoudre le problème, nous devons à nouveau trouver les points extremum. Cela doit être fait de la même manière que dans la tâche précédente. Nous trouvons la dérivée première de la vitesse et l'assimilons à zéro.

On obtient : - 6t + 18 = 0. Donc t = 3 s. C’est le moment où la vitesse du corps prend une valeur critique. Nous substituons les données résultantes dans l'équation de vitesse et obtenons : V = 3 m/s.

Mais comment comprendre qu’il s’agit de la vitesse maximale, puisque les points critiques d’une fonction peuvent être ses plus grandes ou ses plus petites valeurs ? Pour vérifier, vous devez trouver la dérivée seconde de la vitesse. Il est exprimé par le chiffre 6 avec un signe moins. Cela signifie que le point trouvé est un maximum. Et dans le cas d’une valeur positive, la dérivée seconde aurait un minimum. Cela signifie que la solution trouvée s'est avérée correcte.

Les problèmes donnés en exemple ne sont qu'une partie de ceux qui peuvent être résolus si l'on sait trouver les points extremum d'une fonction. En fait, il y en a beaucoup plus. Et une telle connaissance ouvre des possibilités illimitées à la civilisation humaine.