распределения: F n (x ) неубывающая функция, ее значения принадлежат отрезку ;

если x 1 – наименьшее значение параметра, а x k – наибольшее, то F n (x )= 0, когда x <x 1 , и F п (x k )= 1, когда x >=x k .

Функция F n (x ) определяется по ЭД, поэтому ее называют эмпирической функцией распределения . В отличие от эмпирической функции F n (x ) функцию распределения F (x ) генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения, она характеризует не частость, а вероятность события X <x . Из теоремы Бернулли вытекает, что частость F n (x ) стремится по вероятности к вероятности F (x ) при неограниченном увеличении n . Следовательно, при большом объеме наблюдений теоретическую функцию распределения F (x ) можно заменить эмпирической функцией F n (x ).

График эмпирической функции F n (x ) представляет собой ломаную линию. В промежутках между соседними членами вариационного ряда F n (x ) сохраняет постоянное значение. При переходе через точки оси x , равные членам выборки, F n (x ) претерпевает разрыв, скачком возрастая на величину 1/n , а при совпадении l наблюдений – на l /n .

Пример 2.1 . Построить вариационный ряд и график эмпирической функции распределения по результатам наблюдений, табл. 2.1.

Таблица 2.1

Искомая эмпирическая функция, рис. 2.1:

Рис. 2.1. Эмпирическая функция распределения

При большом объеме выборки (понятие «большой объем» зависит от целей и методов обработки, в данном случае будем считать п большим, если n >40) в целях удобства обработки и хранения сведений прибегают к группированию ЭД в интервалы. Количество интервалов следует выбрать так, чтобы в необходимой мере отразилось разнообразие значений параметра в совокупности и в то же время закономерность распределения не искажалась случайными колебаниями частот по отдельным разрядам. Существуют нестрогие рекомендации по выбору количества y и размера h таких интервалов, в частности:

в каждом интервале должно находиться не менее 5 – 7 элементов. В крайних разрядах допустимо всего два элемента;

количество интервалов не должно быть очень большим или очень маленьким. Минимальное значение y должно быть не менее 6 – 7. При объеме выборки, не превышающем несколько сотен элементов, величину y задают в пределах от 10 до 20. Для очень большого объема выборки (n >1000) количество интервалов может превышать указанные значения. Некоторые исследователи рекомендуют пользоваться соотношением y=1,441*ln(n )+1;

при относительно небольшой неравномерности длины интервалов удобно выбирать одинаковыми и равными величине

h= (x max – x min)/y,

где x max – максимальное и x min – минимальное значение параметра. При существенной неравномерности закона распределения длины интервалов можно задавать меньшего размера в области быстрого изменения плотности распределения;

при значительной неравномерности лучше в каждый разряд назначать примерно одинаковое количество элементов выборки. Тогда длина конкретного интервала будет определять крайними значениями элементов выборки, сгруппироваными в этот интервал, т.е. будет различна для разных интервалов (в этом случае при построении гистограммы нормировка по длине интервала обязательна - в противном случае высота каждого элемента гистограммы будет одинакова).

Группирование результатов наблюдений по интервалам предусматривает: определение размаха изменений параметра х ; выбор количества интервалов и их величины; подсчет для каждого i- го интервала [x i –x i +1 ] частоты n i или относительной частоты (частости n i ) попадания варианты в интервал. В результате формируется представление ЭД в виде интервального или статистического ряда .

Графически статистический ряд отображают в виде гистограммы, полигона и ступенчатой линии. Часто гистограмму представляют как фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат интервалы длиною h , а высоты равны соответствующей частости. Однако такой подход неточен. Высоту i- го прямоугольника z i следует выбрать равной n i / (nh ). Такую гистограмму можно интерпретировать как графическое представление эмпирической функции плотности распределения f n (x ), в ней суммарная площадь всех прямоугольников составит единицу. Гистограмма помогает подобрать вид теоретической функции распределения для аппроксимации ЭД.

Полигоном называют ломаную линию, отрезки которой соединяют точки с координатами по оси абсцисс, равными серединам интервалов, а по оси ординат – соответствующим частостям. Эмпирическая функция распределения отображается ступенчатой ломаной линией: над каждым интервалом проводится отрезок горизонтальной линии на высоте, пропорциональной накопленной частости в текущем интервале. Накопленная частость равна сумме всех частостей, начиная с первого и до данного интервала включительно.

Пример 2.2 . Имеются результаты регистрации значений затухания сигнала x i на частоте 1000 Гц коммутируемого канала телефонной сети. Эти значения, измеренные в дБ, в виде вариационного ряда представлены в табл. 2.3. Необходимо построить статистический ряд.

Таблица 2.3

Решение . Количество разрядов статистического ряда следует выбрать минимальным, чтобы обеспечить достаточное количество попаданий в каждый из них, возьмем y = 6. Определим размер разряда

h = (x max – x min)/y =(29,28 – 25,79)/6 = 0,58.

Сгруппируем наблюдения по разрядам, табл. 2.4.

Таблица 2.4

На основе статистического ряда построим гистограмму, рис. 2.2, и график эмпирической функции распределения, рис. 2.3.

График эмпирической функции распределения, рис. 2.3, отличается от графика, представленного на рис. 2.1 равенством шага изменения варианты и величиной шага приращения функции (при построении по вариационному ряду шаг приращения кратен

1/ n , а по статистическому ряду – зависит от частости в конкретном разряде).

Рассмотренные представления ЭД являются исходными для последующей обработки и вычисления различных параметров.

Указания к выполнению и оформлению лабораторных работ

Работы выполняются на листах формата А-4. На титульном листе записывается название работы, фамилия и имя исполнителя, группа, отделение, текущий год и семестр.

Чертежи, схемы, рисунки, таблицы выполняются с помощью чертежных инструментов. Все они должны сопровождаться названиями и необходимыми надписями. Текущий текст пишется ручкой. Важные места работы можно выделять цветом. Работы можно оформлять на компьютере.

При выполнении работы во всех случаях записываются применяемые формулы, промежуточные вычисления, даются необходимые письменные пояснения. Особо выделяются получаемые результаты при обработке данных.

В конце каждой работы приводится письменный анализ полученных результатов, выдвигаются гипотезы, делаются выводы и обобщения, стоятся прогнозы.

Отбор числового материала для выполнения работ

Работы 1-2 .

Ч исловые данные выбираются из таблицы "Статистические данные". Она находится в приложении к данному комплекту работ. Вариант сообщает преподаватель.

Работа 3.

Исходные числовые данные совпадают с числовыми данными, использованными при выполнении работы 1.

Работа 4.

Требуется две группы числовых данных: показатель Х и показатель У. Показатель Х совпадает с числовыми данными, использованными при выполнении первой работы. Показатель У берется из следующей строки таблицы "Статистические данные", по отношении к строке, использованной в первой работе.

Работа 5

Требуется две группы числовых данных: тест и ретест. Тест совпадает с числовыми данными, использованными при выполнении первой работы. Значения ретеста берутся из второй строки таблицы "Статистические данные", по отношении к строке, использованной в первой работе.

Работа 6

Требуется 5 групп данных (5 тестов). Работа выполняется для 7 спортсменов. Имена их выбираются самостоятельно, фамилии при этом не упоминаются

Для получения значений теста "масса тела", надо взять числовые данные строки таблицы "Статистические данные", использованной в работе 1 и увеличить каждое из них их на одно и тоже число, взятое из промежутка 50 – 100. Полученные числа округлить до целых значений. Обратить внимание на то, что значения массы были правдоподобными.

Для получения значений теста "рост", надо взять числовые данные строки таблицы "Статистические данные", использованной в работе 1 и увеличить каждое из них их на одно и тоже число, взятое из промежутка 100 - 150 Полученные числа округлить до целых значений. Обратите внимание на то, что бы значения роста были правдоподобными.

Откорректируйте полученную Массу и Рост до правдоподобных их значений.

Остальные пять тестов и их числовые значения выбираются самостоятельно.

Работа 7,

Требуется один тест и два критерия. Значения теста берется из строки 33 таблицы "Статистические данные". Для первого критерия берутся числовые данные из строки, которая использовалась при выполнении первой работы. Для второго критерия берется следующая строка таблицы "Статистические данные", по отношении к строке, использованной в первой работе.

Тема 1. Обработка статистического материала методом средних величин

Теоретические сведения

Обработка статистических данных методом средних величин является наиболее популярным среди работников физической культуры и спорта. Он заключается в получении ряда средних показателей, которые позволяют анализировать статистические данные.

а). Первичная обработка поступающих данных

Устанавливается объем выборки, а именно определяется число обрабатываемых данных. Надо иметь в виду, что, чем больше объем выборки, тем точнее получаемые показатели и тем сложнее вести вычисления. В процессе соревнований или иных действий (используются протоколы соревнований) данные поступают в произвольном порядке. Для удобства рекомендуется ведение записей данных в виде таблицы по пять или десять чисел в каждой строчке, что облегчает установления их числа.

б). Построение вариационного ряда (вариационной таблицы ) и определение их параметров и численных характеристик для рассматриваемой совокупности.

Каждый вариационный ряд представляет собой математическую систему, т.е. группу чисел, связанных между собой. Такую систему характеризуется следующими показателями:

~ среднее арифметическое, обозначается: , X сред, , Х ср, х ср

~ дисперсия, обозначается: d или s 2

~ среднее квадратичное отклонение, обозначается: s

~ коэффициент вариации, обозначается: u

2. Последовательность обработки данных:

1. Ранжирование данных.

Данные, взятые из таблицы (см. приложение) запишите в удобном для Вас порядке

а). Строится таблица ранжирования по образцу таблицы 1-1.

В первом столбике записывается числовые значения показателей в порядке возрастания. Рекомендуется записать последовательно все значения от минимального показателя до максимального показателя. Соседние значения могут отличаться на значение точности измерений.

Во втором столбике делается отметка о наличии таковых показателей в выборке. Для этого ставится палочка (звездочка, точка или иной знак) против соответствующего показателя при последовательном просмотре выборки. Некоторые строчки в данном столбике могут оказаться пустыми.

В третьем столбике записывается число встречаемых одинаковых показателей.

б). На основе таблицы 1-1 строится обобщенная таблица 1-2, состоящая из двух столбиком.

Первый (левый) столбик состоит из собственных показателей – вариант. Он обозначается чрез x i и содержит значения очередного показателя.

Второй (правый) столбик содержит число показателей (вариант), называемых частотой Он показывает число соответствующих одинаковых показателей и обозначается через n i

Сумма частот определяет объемом совокупности.

Замечание. Собственный показатель и частота обозначаются латинскими буквами, индекс показывает на номер множества, которому принадлежит соответствующий показатель. Объем совокупности обозначается буквой без индекса. Например, n=40. При одновременном рассмотрении нескольких вариационных рядов, рекомендуется использовать различные буквы.

2. Вычисление среднего арифметического.

Эта характеристика является показателем, который вычисляется наиболее просто и поэтому часто используется исследователями.

, n – объем совокупности; x 1 , x 2 …x n – показатели, взятые из первоначальной таблицы 1-1.

Для вычисления среднего арифметического удобно составить таблицу 1-3 и тогда формула вычисления среднего арифметического имеет вид:

X сред = , где x i – частота; n – объем совокупности

В дальнейшем будут рассмотрены и другие характеристики вариационного ряда.

Замечания:

1. Таблица 3 является частью таблицы 4, поэтому их можно объединить.

2. Точность полученных при вычислениях результатов вычислений и точность измерений должны совпадать. (Иметь одинаковое число десятичных знаков после запятой). Промежуточные результаты должны иметь более высокую точность: одну - две запасные цифры. Окончательный результат округляется до необходимой точности. Если округление с необходимой точность приводит к нулевому результату, то округление проводится до первой значащей цифры, отличной от нуля, считая слева.

3. Вычисление дисперсии.

Дисперсия указывает на варьирование (рассеивание) исходных данных относительно среднего арифметического. Дисперсия обозначается буквами d или σ 2 ивычисляется по формуле:

d =

1. Вычерчивается макет таблицы 1-4, в который вносятся данные полученные ранее. Это, например, с первого по четвертый столбики. Остальные - заполняется по мере проведения вычислений. Обращаем внимание на то, что в этой таблице первые четыре столбика повторяют предыдущую таблицу 1-3. Поэтому, если исследователь заранее планирует вычисление дисперсии, то таблицу1-3 можно отдельно не приводить

2. Определяется X сред

3. Заполняется пятый столбик таблицы 1-4, для этого из каждого показателя второго столбика вычитаются средний показатель: х i - x сред

4. Найденные разности, это показатели пятого столби, возводятся в квадрат: (х i - x сред) 2 и вносятся в шестой столбик таблицы 1-4

5. Полученные квадраты (столбик 6) умножаются на соответствующие частоты (столбик 3), результаты вносятся в последний столбик таблицы 1-4: именно, (х i - x сред) 2 ·n i .

6. Находится сумма S полученных произведений – суммируется последний столбик этой таблицы.

7. Полученная сумма S делится на объем совокупности n=25. Полученный результат и есть дисперсия. Округляется до точности исходных (обрабатываемых) показателей.

4. Вычисление среднего квадратичного отклонения

Средне квадратичное значение вычисляется по формуле s = =

5.Вычисление коэффициента вариации.

Коэффициент вариации вычисляется по формуле: , если коэффициент представляется в виде процентов. Если надо представить его в виде десятичной дроби, то в формуле отсутствует множитель 100%

6. Анализ полученных показателей

Основными параметрами вариационного ряда являются среднее арифметическое, среднее квадратичное, коэффициент дисперсии.

Составляется неравенство

A < X сред < B, где А = X сред - s, В = X сред + s

или X сред - s < X сред < В = X сред + s

Из этих характеристик усматриваются типичные показатели, которые входят в промежуток (A; В) и нетипичные, которыми не входят в указанный промежуток. Можно рекомендовать к рассмотрению промежуток , т.е. включаются границы промежутка.

Теоретической базой для математической статистики служит теория вероятностей, которая изучает закономерности случайных явлений в абстрактном виде. На основе этих закономерностей разрабатываются модели или законы распределения случайных величии.

Закон распределения дискретной величины - это задание вероятностей ее возможных значений X = х i . Закон распределения непрерывной случайной величины представляют в виде функции распределения значений X < x i , т. е. в интегральной форме и в виде плотности распределения. Вероятность отдельного значения непрерывной случайной величины равна 0, а вероятность значений, входящих в заданную градацию, равна приращению функции распределения на участке, занимаемом данной градацией Δх.

Каждое теоретическое распределение имеет характеристики, аналогичные характеристикам статистических распределений (математическое ожидание М, дисперсию D, коэффициенты вариации, асимметрии и эксцесса). Эти или другие константы, связанные с ними, носят название параметров распределения.

Подыскание теоретического распределения, соответствующего эмпирическому, или «выравнивание» его является одной из важных задач климатологической обработки. Если найдено и найдено удачно теоретическое распределение, то климатолог получает не только удобную форму представления изучаемой величины, которую можно закладывать в машинные расчеты, но и возможность расчета характеристик, непосредственно не содержащихся в исходном ряду, а также выявления определенных закономерностей. Так, наблюдавшиеся в пункте экстремумы, безусловно, представляют интерес. Однако их появление в имеющейся выборке в значительной степени случайно, поэтому они плохо картируются и иногда существенно различаются на соседних станциях. Если же с помощью найденных распределений определять экстремальные характеристики определенной обеспеченности, то они в значительной мере свободны от указанных недостатков и поэтому являются более представительными. Именно на расчетных экстремумах основаны различные нормативные требования. Поэтому подысканию теоретического распределения и проверке его правильности должно быть уделено особое внимание.

Параметры распределения можно определить разными способами, наиболее точным, но и одновременно сложным является метод максимума правдоподобия. В климатологической практике используется метод моментов.

Статистические характеристики рассматриваются как оценки параметров распределений, характеризующих генеральную совокупность значений данной случайной величины.

Метод моментов определения оценок параметров состоит в следующем. Математическое ожидание, теоретические коэффициенты асимметрии и эксцесса просто заменяются эмпирическим средним и эмпирическими коэффициентами; теоретическая дисперсия равна эмпирической, умноженной на . Если параметрами служат функции моментов, то они вычисляются по эмпирическим моментам.

Рассмотрим некоторые вероятностные модели, часто используемые в климатологии.

Для дискретных случайных величин используются биномиальные распределения и распределения Пуассона (простое и сложное).

Биномиальное распределение (Бернулли) возникает в результате повторения при постоянных условиях одного и того же испытания, имеющего два исхода: появления или непоявления события (в климатологии, например, отсутствие или наличие явления в каждый день года или месяца).

Случайная дискретная величина понимается при этом как число случаев осуществления некоторого случайного события (явления) из n возможных случаев и может принимать значения 0, 1, 2, ..., n.

Аналитическое выражение биномиального закона распределения имеет вид (5.1)

Закон определяет вероятность того, что событие, вероятность которого р, будет наблюдаться х раз при n испытаниях. Например, в климатологии день может быть либо с явлением, либо без явления (с туманом, с определенным количеством осадков, температурой воздуха определенных градаций и т. д.). Во всех этих случаях возможны два исхода, и на вопрос, сколько раз будет наблюдаться событие (например, день с туманом), ответ можно получить с помощью биномиального закона (5.1). При этом р принимается равным р*, т. е. относительной частоте - отношению числа случаев с явлением к общему числу случаев (формула (2.3)).

Например, если рассматривается число дней с туманом в августе и по многолетнему ряду установлено, что в среднем в августе бывает 5 дней с туманом, то относительная частота (вероятность) дня с туманом в августе {31 день) равна

Параметрами биномиального распределения являются n и р, которые связаны с математическим ожиданием (средним значением), средним квадратическим отклонением, коэффициентами асимметрии и эксцесса этого распределения следующими выражениями:

На рис. 5.1 приведены графики биномиального распределения при разных параметрах n и р.

Рассчитаем, например, пользуясь биномиальным законом, вероятность того, что в августе на станции будет наблюдаться три дня с туманом, если вероятность образования тумана в любой день августа (т. е. отношение среднего числа дней с туманом в августе к общему числу дней за месяц) составляет 0,16.

Так как n= 31, а 1 - р = 0,84, по формуле (5.1) получим

p(3)=0.1334≈0.13

Пределом биномиального распределения при условии, что рассматриваются маловероятные события в длинной серии независимых испытаний (наблюдений), является распределение Пуассона.

Случайная величина, распределенная по закону Пуассона, может принимать ряд значений, образующих бесконечную последовательность целых чисел 0, 1, 2, ∞ с вероятностью

где λ. -параметр, являющийся математическим ожиданием распределения.

Закон определяет вероятность того, что случайная величина будет наблюдаться х раз, если среднее ее значение (математическое ожидание) равно λ.

Обратим внимание на то, что параметром биномиального закона служит вероятность события р, и поэтому надо указать, из какого общего количества случаев n определяется вероятность р(х). В законе Пуассона параметром является среднее число случаев λ за рассматриваемый период, поэтому продолжительность периода непосредственно не входит в формулу.

Дисперсия распределения Пуассона и третий центральный момент равны математическому ожиданию, т. е. тоже равны λ.

При больших различиях между средним и дисперсией законом Пуассона пользоваться нельзя. Распределение Пуассона затабулировано и приводится во всех сборниках статистических таблиц, справочниках и учебниках по статистике. На рис. 5.2 приведено распределение числа дней с грозой (редкое событие) по закону Пуассона. Для Архангельска за год λ,= 11 дней и за июль λ = 4 дня. Как видно из рис. 5.2, в Архангельске вероятность восьми дней с грозой в июле составляет примерно 0,03, а вероятность восьми дней в году -около 0,10. Обратим внимание на одно обстоятельство. Часто среднее число дней с явлением в году λ при λ≤1 трактуют как величину, обратную периоду повторения T (например, λ= 0,3 - один день в три года, λ = 1-практически ежегодно).

Такой «осредненный» подход чреват ошибками, тем большим, чем больше λ. Даже если дни с явлением не связаны между собой, вероятны годы не с одним, а с несколькими днями. В результат соотношение Т = 1/λ оказывается неправильным. Так, при λ= 1 явление, как легко убедиться из формулы закона Пуассона, наблюдается не ежегодно, а только в 6-7 годах из 10. Вероятность того, что в году явление наблюдаться не будет, равна вероятности, что будет один день с явлением (0,37) и почти такая же, как вероятность, что будет два и более дней. Только при λ≤ 0,2 указанным соотношением можно пользоваться с достаточным основанием; потому что вероятность двух и более дней в году в этом случае менее 0,02 (реже, чем один раз в 50 лет).

Применение закона Пуассона к редким метеорологическим явлениям не всегда оказывается полезным. Например, иногда редкие явления могут следовать одно за другим вследствие того, что условия, их вызывающие, сохраняются длительное время, и условия закона Пуассона не выполняются.

Больше соответствует природе редких метеорологических явлений сложное распределение Пуассона (отрицательное биномиальное распределение). Оно возникает, когда ряд явлений можно рассматривать как значения разных случайных величин (выборки из разных генеральных совокупностей). Все эти величины имеют распределение Пуассона, но с разными параметрами λ 1 , λ 2 ..., λ k .

Сложное распределение Пуассона зависит с одной стороны от распределения совокупности параметров, а с другой - от распределения каждой из величин. Выражение для вероятности в случае данного распределения имеет вид

(5.2)

или в более удобной для расчетов форме

Математическое ожидание М и дисперсия D этого распределения связаны с его параметрами γ и λ формулами

(5.3)

Заменяя величины М и D их оценками и , получим

(5.4)

Расчеты p(x) можно упростить, пользуясь тем, что существует равенство

, (5.5)

. (5.6)

Следовательно,

Пример расчета . Рассчитаем распределение числа дней с сильным ветром на ст. Чулым для июля, если =1 день, σ=1,7 дня. Определим α и γ:

α≈

γ≈

Вероятность того, что не будет ни одного дня с сильным ветром, составит

p(0)=

Вероятность того, что будет один день с сильным ветром, равна p(1)= . График сложного распределения Пуассона представлен на рис. 5.3.

Для непрерывных случайных величин в климатологии чаще всего используются нормальное, логнормальное распределения, распределение Шарлье, гамма-распределение, распределения Вейбулла и Гумбеля, а также композиционный закон нормальной и равномерной плотности.

Наибольшее теоретическое и практическое значение имеет нормальный, или гауссовский, закон распределения. Этот закон является предельным для многих других теоретических распределений и образуется тогда, когда каждое значение случайной величины можно рассматривать как сумму достаточно большого числа независимых случайных величин.

Нормальный закон задается выражениями для плотности и функции распределения вида

При рассмотрении основных положений теории вероятностей и математической статистики, определении параметров распределения мы исходили из предположения, что осуществляется достаточно большое, в пределе бесконечное число испытаний n®N (N®¥), что практически осуществить невозможно.

Однако имеются методы, которые позволяют оценить эти параметры по выборке (части) случайных событий.

Генеральной называется совокупность всех мыслимых значений наблюдений, которые мы могли бы сделать при данном комплексе условий. Другими словами все возможные реализации случайной величины, теоретически в пределе их может быть бесконечное число (N®¥). Часть этой совокупности nÎN, т.е. результаты ограниченного ряда наблюдений x 1 ,x 2 ,...,x n случайной величины, можно рассматривать как выборочное значение случайной величины (например, при определении химического состава сплавов, их механической прочности и т.п.). Если все слитки данной марки стали, чугуна, сплава разделать на образцы и исследовать их химический состав, механическую прочность и другие физические характеристики, то имели бы генеральную совокупность наблюдений. Фактически доступно, возможно (целесообразно), исследовать свойства весьма ограниченного числа образцов – это и есть выборка их генеральной совокупности.

По результатам такого ограниченного числа наблюдений можно определить точечные оценки законов распределения и их параметров. Оценкой (или выборочной статистикой) Q* какого-либо параметра Q называется произвольная функция Q*=Q*(x 1 , x 2 ,..., x n) наблюдаемых значений x 1 , x 2 ,..., x n , в той или иной степени отражающая действительное значение параметра Q.

Если говорить о характеристиках распределений вероятностей, то характеристики теоретических распределений (M x , s x 2 , M o , M e) можно рассматривать как характеристики, существующие в генеральной совокупности, а характеризующие эмпирическое распределение – как выборочные их характеристики (оценки). Числовые параметры для оценки M x , s x 2 и др. – называются иногда статистиками.

Для оценки математического ожидания используется среднеарифметическое (среднее значение) ряда измерений по выборке:

где х i – реализация либо дискретной, либо отдельная точка для непрерывной случайной величины; n – объем выборки.

Для характеристики разброса случайной величины используется оценка теоретической дисперсии – выборочные дисперсии (см.рис.2.4):

(3.2а)

(3.2б)

Неотрицательное значение квадратного корня из выборочной дисперсии – это выборочное стандартное отклонение (выборочное среднеквадратичное) отклонение

Следует отметить, что в любой задаче, связанной с выполнением измерений, возможны два способа получения оценки значения s x 2 .

При использовании первого способа снимается последовательность показаний прибора и путем сравнения полученных результатов с известным или калиброванным значением измеряемой величины находится последовательность отклонений. Затем полученная последовательность отклонений используется для вычисления среднего квадратичного отклонения по формуле (3.3а).

Второй способ получения оценки значения s x 2 состоит в определении среднего арифметического , т.к. в этом случае действительное (точное) значение измеряемой величины неизвестно. В этом случае целесообразно использовать другую, формулу для нахождения среднеквадратичного отклонения (3.2б, 3.3б). Деление на (n-1) производится по той причине, что наилучшая оценка, получаемая путем усреднения массива Х, будет отличаться от точного значения на некоторую величину, если рассматривается выборка, а не вся генеральная совокупность.

В этом случае сумма квадратов отклонений будет несколько меньше, чем при использовании истинного среднего . При делении на (n-1) вместо n эта погрешность будет частично скорректирована. В некоторых руководствах по математической статистике рекомендуется при вычислении выборочного среднеквадратичного отклонения всегда делить на , хотя иногда этого делать не следует. Нужно делить на лишь в тех случаях, когда истинное значение не было получено независимым способом.

Выборочное значение коэффициента вариации n, являющееся мерой относительной изменчивости случайной величины, вычисляют по формуле

или в процентах

(3.4б)

Та из выборок имеет большее рассеяние, у которой вариация больше.

К оценкам , S x 2 предъявляются требования состоятельности, несмещенности и эффективности.

Оценка параметра Q* называется состоятельной, если по мере роста числа наблюдений n (т.е. n®N в случае конечной генеральной совокупности объема N и при n®¥ в случае бесконечной генеральной совокупности) она стремится к оцениваемому теоретическому значению параметра

Например, для дисперсии

(3.5)

Оценка параметра Q* называется несмещенной, если ее математическое ожидание M(Q*) при любом n асимптотически стремится к истинному значению M(Q*)=Q. Удовлетворение требованию несмещенности устраняет систематическую погрешность оценки параметра, которая зависит от объема выборки n и в случае состоятельности стремится к нулю при n®¥. Выше было определены две оценки для дисперсии и . В случае неизвестного значения математического ожидания (истинного значения измеряемой величины) обе оценки состоятельны, но только вторая (3.2б), (3.3б), как было показано ранее, является несмещенной. Требование несмещенности особенно важно при малом числе наблюдений, так как при n®¥ ® .

Оценка параметра Q 1 * называется эффективной, если среди прочих оценок того же параметра Q 2 *, Q 3 * она обладает наименьшей дисперсией.

(3.6)

где Q i * – любая другая оценка.

Так, если имеется выборка х 1 , х 2 ,..., х n из генеральной совокупности, то среднее математическое ожидание можно оценить двумя способами:

(3.7)

где x max (n), x min (n) – соответственно максимальное и минимальное значения случайной величины из выборки n.

Обе оценки обладают свойствами состоятельности и несмещенности, однако можно показать, что дисперсия при первом способе оценки равна S x 2 /n, а во втором p 2 S x 2 /, т.е. существенно больше. Таким образом, первый способ оценки математического ожидания является состоятельным, несмещенным и эффективным, а второй – только состоятельным и несмещенным. Заметим, что из всех несмещенных и состоятельных оценок следует предпочесть такую, которая оказывается наиболее близкой к оцениваемому параметру.

Заметим, что все сказанное относится к равноточным измерениям, т.е. к измерениям, которые содержат только случайную погрешность, подчиняющуюся нормальному закону распределения.