U ovoj lekciji ćemo pogledati još dvije operacije s vektorima: unakrsni proizvod vektora i mješoviti proizvod vektora (odmah link za one kojima treba). U redu je, ponekad se desi da i za potpunu sreću, pored toga tačkasti proizvod vektora, potrebno je sve više i više. Takva je vektorska ovisnost. Može se steći utisak da ulazimo u džunglu analitičke geometrije. Ovo nije istina. U ovom dijelu više matematike općenito ima malo drva za ogrjev, osim možda dovoljno za Pinokija. Zapravo, materijal je vrlo uobičajen i jednostavan - jedva teži od istog skalarni proizvod, čak će biti manje tipičnih zadataka. Glavna stvar u analitičkoj geometriji, kao što će mnogi vidjeti ili su već vidjeli, je NE POGREŠITI PRORAČUN. Ponovite kao čaroliju i bićete sretni =)

Ako vektori svjetlucaju negdje daleko, kao munja na horizontu, nije važno, počnite s lekcijom Vektori za lutke obnoviti ili ponovo steći osnovno znanje o vektorima. Spremniji čitatelji mogu se selektivno upoznati s informacijama, pokušao sam prikupiti najpotpuniju zbirku primjera koji se često nalaze u praktičnom radu

Šta će vas usrećiti? Kada sam bila mala, znala sam da žongliram sa dve, pa čak i sa tri lopte. Dobro je ispalo. Sada nema potrebe za žongliranjem, jer ćemo razmotriti samo svemirski vektori, a ravni vektori sa dvije koordinate će biti izostavljeni. Zašto? Tako su se ove radnje rodile - vektor i mješoviti proizvod vektora su definirani i rade u trodimenzionalnom prostoru. Već lakše!

U ovoj operaciji, na isti način kao u skalarnom proizvodu, dva vektora. Neka to budu neprolazna slova.

Sama akcija označeno na sledeći način: . Postoje i druge opcije, ali ja sam navikao da označavam unakrsni proizvod vektora na ovaj način, u uglastim zagradama sa krstom.

I to odmah pitanje: ako je unutra tačkasti proizvod vektora dva vektora su uključena, a ovdje se dva vektora također množe koja je razlika? Jasna razlika, prije svega, u REZULTATU:

Rezultat skalarnog proizvoda vektora je BROJ:

Rezultat unakrsnog proizvoda vektora je VEKTOR: , odnosno množimo vektore i ponovo dobijamo vektor. Zatvoren klub. Zapravo, otuda i naziv operacije. U različitoj obrazovnoj literaturi oznake se također mogu razlikovati, koristit ću slovo .

Definicija unakrsnog proizvoda

Prvo će biti definicija sa slikom, zatim komentari.

Definicija: unakrsni proizvod nekolinearno vektori, uzeti ovim redoslijedom, zove se VEKTOR, dužinašto je brojčano jednaka površini paralelograma, izgrađen na ovim vektorima; vektor ortogonalno na vektore, i usmjeren je tako da osnova ima pravu orijentaciju:

Definiciju analiziramo po kostima, ima dosta zanimljivih stvari!

Dakle, možemo istaći sljedeće značajne tačke:

1) Izvorni vektori, označeni crvenim strelicama, po definiciji nije kolinearno. Bilo bi prikladno razmotriti slučaj kolinearnih vektora malo kasnije.

2) Vektori uzeti po strogom redu: – "a" se množi sa "biti", a ne "biti" do "a". Rezultat množenja vektora je VEKTOR , koji je označen plavom bojom. Ako se vektori pomnože obrnutim redoslijedom, onda ćemo dobiti vektor jednake dužine i suprotnog smjera (grimizna boja). Odnosno, jednakost .

3) Hajde da se sada upoznamo sa geometrijskim značenjem vektorskog proizvoda. Ovo je veoma važna tačka! DUŽINA plavog vektora (a samim tim i grimiznoga vektora) je numerički jednaka POVRŠINI paralelograma izgrađenog na vektorima. Na slici je ovaj paralelogram obojen crnom bojom.

Bilješka : crtež je shematski, i, naravno, nazivna dužina poprečnog proizvoda nije jednaka površini paralelograma.

Podsjećamo na jednu od geometrijskih formula: površina paralelograma jednaka je umnošku susjednih stranica i sinusa ugla između njih. Stoga, na osnovu prethodno navedenog, vrijedi formula za izračunavanje DUŽINE vektorskog proizvoda:

Naglašavam da se u formuli govori o DUŽINI vektora, a ne o samom vektoru. Šta je praktično značenje? A značenje je takvo da se u problemima analitičke geometrije površina paralelograma često nalazi kroz koncept vektorskog proizvoda:

Dobijamo drugu važnu formulu. Dijagonala paralelograma (crvena tačkasta linija) dijeli ga na dva jednaka trougla. Stoga se površina trokuta izgrađenog na vektorima (crveno sjenčanje) može pronaći po formuli:

4) Jednako važna činjenica je da je vektor ortogonan na vektore , tj . Naravno, suprotno usmjereni vektor (grimizna strelica) je također ortogonalan originalnim vektorima.

5) Vektor je usmjeren tako da osnovu Ima u pravu orijentacija. U lekciji o prelazak na novu osnovu O tome sam govorio detaljno orijentacija u ravnini, a sada ćemo shvatiti kakva je orijentacija prostora. Na prste ću ti objasniti desna ruka. Mentalno kombinujte kažiprst sa vektorom i srednji prst sa vektorom. Domaći prst i mali prst pritisnite u svoj dlan. Kao rezultat thumb- vektorski proizvod će tražiti gore. Ovo je desno orijentisana osnova (na slici). Sada zamijenite vektore ( kažiprst i srednji prst) na nekim mjestima, kao rezultat toga, palac će se okrenuti, a vektorski proizvod će već gledati prema dolje. Ovo je takođe pravo orijentisana osnova. Možda imate pitanje: na kojoj osnovi je lijeva orijentacija? "Dodijelite" iste prste lijeva ruka vektori i dobiju lijevu bazu i orijentaciju lijevog prostora (u ovom slučaju, palac će biti lociran u smjeru donjeg vektora). Slikovito rečeno, ove baze „uvijaju“ ili usmjeravaju prostor u različitim smjerovima. I ovaj koncept ne treba smatrati nečim nategnutim ili apstraktnim - na primjer, najobičnije ogledalo mijenja orijentaciju prostora, a ako "izvučete reflektirani predmet iz ogledala", onda općenito neće biti moguće kombinujte ga sa "originalom". Usput, prinesi tri prsta ogledalu i analiziraj odraz ;-)

... kako je dobro što sada znaš desno i lijevo orijentisan baze, jer su izjave nekih predavača o promeni orijentacije strašne =)

Vektorski proizvod kolinearnih vektora

Definicija je detaljno razrađena, ostaje da se otkrije šta se dešava kada su vektori kolinearni. Ako su vektori kolinearni, onda se mogu postaviti na jednu ravnu liniju i naš paralelogram se također "preklapa" u jednu pravu liniju. Područje takvog, kako kažu matematičari, degenerisati paralelogram je nula. Isto proizlazi iz formule - sinus od nule ili 180 stepeni jednak je nuli, što znači da je površina nula

Dakle, ako , onda i . Imajte na umu da je sam unakrsni proizvod jednak nultom vektoru, ali u praksi se to često zanemaruje i piše da je i on jednak nuli.

Poseban slučaj je vektorski proizvod vektora i samog sebe:

Koristeći unakrsni proizvod, možete provjeriti kolinearnost trodimenzionalnih vektora, a mi ćemo, između ostalog, analizirati i ovaj problem.

Za rješavanje praktičnih primjera može biti potrebno trigonometrijska tabela da se iz njega pronađu vrijednosti sinusa.

Pa, zapalimo vatru:

Primjer 1

a) Nađite dužinu vektorskog proizvoda vektora if

b) Nađite površinu paralelograma izgrađenog na vektorima ako

Rješenje: Ne, ovo nije greška u kucanju, namjerno sam napravio iste početne podatke u stavkama uslova. Jer će dizajn rješenja biti drugačiji!

a) Prema uslovu, potrebno je pronaći dužina vektor (vektorski proizvod). Prema odgovarajućoj formuli:

Odgovori:

Pošto je postavljeno pitanje o dužini, onda u odgovoru navodimo dimenziju - jedinice.

b) Prema uslovu, potrebno je pronaći kvadrat paralelogram izgrađen na vektorima. Površina ovog paralelograma je numerički jednaka dužini poprečnog proizvoda:

Odgovori:

Napominjemo da u odgovoru o vektorskom proizvodu uopće nema govora, o čemu su nas pitali područje figure, odnosno, dimenzija je kvadratna jedinica.

Uvek gledamo ŠTA je potrebno da se nađe uslovom, i na osnovu toga formulišemo jasno odgovori. Možda se čini kao bukvalnost, ali među nastavnicima ima dovoljno literalista, a zadatak sa dobrim izgledima biće vraćen na doradu. Iako ovo nije posebno nategnuto prigovaranje - ako je odgovor netačan, onda se stiče utisak da osoba ne razumije jednostavne stvari i/ili da nije razumjela suštinu zadatka. Taj trenutak treba uvijek držati pod kontrolom, rješavajući bilo koji problem iz više matematike, ali i iz drugih predmeta.

Gdje je nestalo veliko slovo "en"? U principu bi se moglo dodatno zaglaviti u rješenju, ali da bih skratio zapis, nisam. Nadam se da svi to razumiju i da je oznaka iste stvari.

Popularan primjer rješenja uradi sam:

Primjer 2

Pronađite površinu trokuta izgrađenog na vektorima if

Formula za pronalaženje površine trokuta kroz vektorski proizvod data je u komentarima na definiciju. Rješenje i odgovor na kraju lekcije.

U praksi je zadatak zaista vrlo čest, trokuti se generalno mogu mučiti.

Za rješavanje ostalih problema potrebno nam je:

Svojstva unakrsnog proizvoda vektora

Već smo razmotrili neka svojstva vektorskog proizvoda, međutim, uključit ću ih u ovu listu.

Za proizvoljne vektore i proizvoljan broj, sljedeća svojstva su tačna:

1) U drugim izvorima informacija ova stavka se obično ne razlikuje u svojstvima, ali je u praktičnom smislu veoma važna. Neka bude.

2) - o imovini se također govori gore, ponekad se naziva antikomutativnost. Drugim riječima, redoslijed vektora je bitan.

3) - kombinacija ili asocijativni zakoni o vektorskim proizvodima. Konstante se lako izvlače iz granica vektorskog proizvoda. Stvarno, šta oni tamo rade?

4) - distribucija ili distribucija zakoni o vektorskim proizvodima. Nema problema ni sa otvaranjem zagrada.

Kao demonstraciju, razmotrite kratak primjer:

Primjer 3

Pronađite ako

Rješenje: Po uslovu, opet je potrebno pronaći dužinu vektorskog proizvoda. Oslikajmo našu minijaturu:

(1) Prema asocijativnim zakonima izvlačimo konstante izvan granica vektorskog proizvoda.

(2) Konstantu vadimo iz modula, dok modul „jede“ znak minus. Dužina ne može biti negativna.

(3) Ono što slijedi je jasno.

Odgovori:

Vrijeme je da se baci drva na vatru:

Primjer 4

Izračunajte površinu trokuta izgrađenog na vektorima if

Rješenje: Pronađite površinu trokuta koristeći formulu . Problem je u tome što su vektori "ce" i "te" sami predstavljeni kao sume vektora. Algoritam ovdje je standardan i pomalo podsjeća na primjere br. 3 i 4 iz lekcije. Tačkasti proizvod vektora. Podijelimo to u tri koraka radi jasnoće:

1) U prvom koraku izražavamo vektorski proizvod kroz vektorski proizvod, zapravo, izraziti vektor u terminima vektora. Još nema riječi o dužini!

(1) Zamjenjujemo izraze vektora .

(2) Koristeći distributivne zakone, otvorite zagrade prema pravilu množenja polinoma.

(3) Koristeći asocijativne zakone, izvlačimo sve konstante izvan vektorskih proizvoda. Uz malo iskustva, radnje 2 i 3 mogu se izvoditi istovremeno.

(4) Prvi i posljednji član su jednaki nuli (nulti vektor) zbog ugodnog svojstva . U drugom terminu koristimo svojstvo antikomutativnosti vektorskog proizvoda:

(5) Predstavljamo slične pojmove.

Kao rezultat toga, pokazalo se da je vektor izražen kroz vektor, što je i bilo potrebno da se postigne:

2) U drugom koraku nalazimo dužinu vektorskog proizvoda koji nam je potreban. Ova radnja je slična primjeru 3:

3) Pronađite površinu traženog trokuta:

Koraci 2-3 rješenja mogu se poredati u jedan red.

Odgovori:

Razmatrani problem je prilično čest u testovima, evo primjera za nezavisno rješenje:

Primjer 5

Pronađite ako

Kratko rješenje i odgovor na kraju lekcije. Da vidimo koliko ste bili pažljivi kada ste proučavali prethodne primjere ;-)

Unakrsni proizvod vektora u koordinatama

, dato u ortonormalnoj bazi , izražava se formulom:

Formula je zaista jednostavna: koordinatne vektore upišemo u gornji red determinante, koordinate vektora "pakujemo" u drugi i treći red i stavimo u strogom redu- prvo koordinate vektora "ve", zatim koordinate vektora "double-ve". Ako se vektori trebaju pomnožiti drugim redoslijedom, tada treba zamijeniti i linije:

Primjer 10

Provjerite jesu li sljedeći prostorni vektori kolinearni:
a)
b)

Rješenje: Test se zasniva na jednoj od izjava u ovoj lekciji: ako su vektori kolinearni, onda je njihov unakrsni proizvod nula (nulti vektor): .

a) Pronađite vektorski proizvod:

Dakle, vektori nisu kolinearni.

b) Pronađite vektorski proizvod:

Odgovori: a) nije kolinearan, b)

Ovdje su, možda, sve osnovne informacije o vektorskom proizvodu vektora.

Ovaj odjeljak neće biti jako velik, jer postoji nekoliko problema gdje se koristi mješoviti proizvod vektora. Zapravo, sve će počivati ​​na definiciji, geometrijskom značenju i nekoliko radnih formula.

Mješoviti proizvod vektora je proizvod tri vektora:

Ovako su se poređali kao voz i čekaju, jedva čekaju dok se ne obračunaju.

Prvo opet definicija i slika:

Definicija: Mješoviti proizvod nekoplanarni vektori, uzeti ovim redoslijedom, zove se zapremine paralelepipeda, izgrađen na ovim vektorima, opremljen znakom "+" ako je osnova desna i znakom "-" ako je osnova lijeva.

Hajde da crtamo. Linije koje su nama nevidljive iscrtane su isprekidanom linijom:

Uronimo u definiciju:

2) Vektori uzeti određenim redosledom, odnosno permutacija vektora u proizvodu, kao što možete pretpostaviti, ne prolazi bez posljedica.

3) Prije nego što komentiram geometrijsko značenje, primijetit ću očiglednu činjenicu: mješoviti proizvod vektora je BROJ: . U obrazovnoj literaturi dizajn može biti nešto drugačiji, ja sam označavao mješoviti proizvod kroz, a rezultat proračuna slovom "pe".

Po definiciji mješoviti proizvod je zapremina paralelepipeda, izgrađen na vektorima (figura je nacrtana crvenim vektorima i crnim linijama). Odnosno, broj je jednak zapremini datog paralelepipeda.

Bilješka : Crtež je šematski.

4) Nemojmo se opet zamarati konceptom orijentacije osnove i prostora. Značenje završnog dijela je da se volumenu može dodati znak minus. Jednostavno rečeno, mješoviti proizvod može biti negativan: .

Formula za izračunavanje volumena paralelepipeda izgrađenog na vektorima slijedi direktno iz definicije.

7.1. Definicija unakrsnog proizvoda

Tri nekoplanarna vektora a, b i c, uzeta navedenim redoslijedom, formiraju desnu trojku ako se od kraja trećeg vektora c vidi da je najkraći zaokret od prvog vektora a do drugog vektora b u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, i lijevo ako je u smjeru kazaljke na satu (vidi sliku 16).

Vektorski proizvod vektora a i vektora b naziva se vektor c, koji:

1. Okomito na vektore a i b, tj. c ^ a i c ^ b;

2. Ima dužinu brojčano jednaku površini paralelograma izgrađenog na vektorima a ib kao na bočnim stranama (vidi sl. 17), tj.

3. Vektori a, b i c formiraju desnu trojku.

Vektorski proizvod se označava a x b ili [a,b]. Iz definicije vektorskog proizvoda, sljedeće relacije između ortova koje slijedim direktno, j i k(vidi sliku 18):

i x j = k, j x k = i, k x i = j.
Dokažimo, na primjer, to i xj \u003d k.

1) k ^ i , k ^ j;

2) |k |=1, ali | i x j| = |i | |J| sin(90°)=1;

3) vektori i, j i k formiraju desnu trojku (vidi sliku 16).

7.2. Unakrsna svojstva proizvoda

1. Kada se faktori preurede, vektorski proizvod mijenja predznak, tj. i xb \u003d (b xa) (vidi sliku 19).

Vektori a xb i b xa su kolinearni, imaju iste module (površina paralelograma ostaje nepromijenjena), ali su suprotno usmjereni (trojke a, b, a xb i a, b, b x a suprotne orijentacije). To je axb = -(bxa).

2. Vektorski proizvod ima svojstvo kombinacije u odnosu na skalarni faktor, tj. l (a xb) = (l a) x b = a x (l b).

Neka je l >0. Vektor l (a xb) je okomit na vektore a i b. Vektor ( l sjekira b je također okomita na vektore a i b(vektori a, l ali leže u istoj ravni). Dakle, vektori l(a xb) i ( l sjekira b kolinearno. Očigledno je da im se pravci poklapaju. Imaju istu dužinu:

Dakle l(a xb)= l a xb. Slično se dokazuje za l<0.

3. Dva različita od nule vektora a i b su kolinearni ako i samo ako je njihov vektorski proizvod jednak nultom vektoru, tj. i ||b<=>i xb \u003d 0.

Konkretno, i *i =j *j =k *k =0.

4. Vektorski proizvod ima svojstvo distribucije:

(a+b) xs = a xs + b xs .

Prihvatite bez dokaza.

7.3. Unakrsni izraz proizvoda u smislu koordinata

Koristićemo tablicu vektorskih unakrsnih proizvoda i , j i k :

ako se smjer najkraće staze od prvog do drugog vektora poklapa sa smjerom strelice, tada je proizvod jednak trećem vektoru, ako se ne poklapa, treći vektor se uzima sa predznakom minus.

Neka dva vektora a =a x i +a y j+az k i b=bx i+by j+bz k. Nađimo vektorski proizvod ovih vektora množeći ih kao polinome (prema svojstvima vektorskog proizvoda):

Rezultirajuća formula se može napisati još kraće:

jer desna strana jednakosti (7.1) odgovara proširenju determinante trećeg reda u smislu elemenata prvog reda Jednakost (7.2) je lako zapamtiti.

7.4. Neke primjene unakrsnog proizvoda

Uspostavljanje kolinearnosti vektora

Pronalaženje površine paralelograma i trougla

Prema definiciji unakrsnog proizvoda vektora a i b |a xb | = a | * |b |sin g , tj. S par = |a x b |. I, stoga, D S \u003d 1/2 | a x b |.

Određivanje momenta sile oko tačke

Neka u tački A deluje sila F =AB pusti to O- neka tačka u prostoru (vidi sliku 20).

Iz fizike je poznato da obrtni moment F u odnosu na tačku O zove vektor M , koji prolazi kroz tačku O i:

1) okomito na ravan koja prolazi kroz tačke O, A, B;

2) brojčano jednak proizvodu sile i ramena

3) formira desnu trojku sa vektorima OA i A B .

Dakle, M = OA x F.

Pronalaženje linearne brzine rotacije

Brzina v tačka M krutog tijela koje rotira ugaonom brzinom w oko fiksne ose, određuje se Eulerovom formulom v = w x r, gdje je r = OM, gdje je O neka fiksna točka ose (vidi sliku 21).

Prije nego damo koncept vektorskog proizvoda, osvrnimo se na pitanje orijentacije uređene trojke vektora a → , b → , c → u trodimenzionalnom prostoru.

Za početak, odvojimo vektore a → , b → , c → iz jedne tačke. Orijentacija trojke a → , b → , c → je desna ili lijeva, ovisno o smjeru vektora c → . Iz smjera u kojem se pravi najkraći okret od vektora a → do b → od kraja vektora c → , odredit će se oblik trojke a → , b → , c →.

Ako je najkraća rotacija u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, tada se trojka vektora a → , b → , c → naziva u pravu ako u smjeru kazaljke na satu - lijevo.

Zatim uzmite dva nekolinearna vektora a → i b → . Odložimo tada vektore A B → = a → i A C → = b → iz tačke A. Konstruirajmo vektor A D → = c → , koji je istovremeno okomit i na A B → i na A C → . Dakle, kada konstruišemo vektor A D → = c →, možemo uraditi dve stvari, dajući mu ili jedan ili suprotan smer (vidi ilustraciju).

Uređeni trio vektora a → , b → , c → može biti, kako smo saznali, desni ili levi u zavisnosti od smera vektora.

Iz gore navedenog možemo uvesti definiciju vektorskog proizvoda. Ova definicija je data za dva vektora definisana u pravougaonom koordinatnom sistemu trodimenzionalnog prostora.

Definicija 1

Vektorski proizvod dva vektora a → i b → nazvaćemo takav vektor dat u pravougaonom koordinatnom sistemu trodimenzionalnog prostora tako da:

• ako su vektori a → i b → kolinearni, biće nula;
• bit će okomit na vektor a →​​ i vektor b → tj. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• njegova dužina je određena formulom: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
• triplet vektora a → , b → , c → ima istu orijentaciju kao dati koordinatni sistem.

Unakrsni proizvod vektora a → i b → ima sljedeću notaciju: a → × b → .

Unakrsne koordinate proizvoda

Pošto svaki vektor ima određene koordinate u koordinatnom sistemu, moguće je uvesti drugu definiciju vektorskog proizvoda, koja će vam omogućiti da pronađete njegove koordinate iz datih koordinata vektora.

Definicija 2

U pravougaonom koordinatnom sistemu trodimenzionalnog prostora vektorski proizvod dva vektora a → = (a x ; a y ; a z) i b → = (b x ; b y ; b z) nazovimo vektor c → = a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k → , gdje je i → , j → , k → su koordinatni vektori.

Vektorski proizvod se može predstaviti kao determinanta kvadratne matrice trećeg reda, gdje su prvi red orta vektori i → , j → , k → , drugi red sadrži koordinate vektora a → , a treći je koordinate vektora b → u datom pravokutnom koordinatnom sistemu, ova matrična determinanta izgleda ovako: c → = a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz

Proširujući ovu determinantu preko elemenata prvog reda, dobijamo jednakost: c → = a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = ayazbybz i → - axazbxbz j → + axaybxby k → = = a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k →

Unakrsna svojstva proizvoda

Poznato je da je vektorski proizvod u koordinatama predstavljen kao determinanta matrice c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , zatim na bazi svojstva determinante matrice sljedeće svojstva vektorskog proizvoda:

1. antikomutativnost a → × b → = - b → × a → ;
2. distributivnost a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → ili a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. asocijativnost λ a → × b → = λ a → × b → ili a → × (λ b →) = λ a → × b → , gdje je λ proizvoljan realan broj.

Ova svojstva nemaju komplikovane dokaze.

Na primjer, možemo dokazati svojstvo antikomutativnosti vektorskog proizvoda.

Dokaz antikomutativnosti

Po definiciji, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z i b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . A ako se dva reda matrice zamijene, tada bi se vrijednost determinante matrice trebala promijeniti u suprotno, dakle, a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = - i → j → k → bxbybzaxayaz = - b → × a → , što i dokazuje antikomutativnost vektorskog proizvoda.

Vektorski proizvod - primjeri i rješenja

U većini slučajeva postoje tri vrste zadataka.

U problemima prvog tipa obično su date dužine dva vektora i ugao između njih, ali morate pronaći dužinu unakrsnog proizvoda. U ovom slučaju koristite sljedeću formulu c → = a → b → sin ∠ a → , b → .

Primjer 1

Odrediti dužinu unakrsnog proizvoda vektora a → i b → ako je poznato a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4.

Rješenje

Koristeći definiciju dužine vektorskog proizvoda vektora a → i b →, rješavamo ovaj problem: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .

odgovor: 15 2 2 .

Zadaci drugog tipa imaju vezu sa koordinatama vektora, sadrže vektorski proizvod, njegovu dužinu itd. se pretražuju kroz poznate koordinate datih vektora a → = (a x ; a y ; a z) i b → = (b x ; b y ; b z) .

Za ovu vrstu zadataka možete riješiti mnogo opcija za zadatke. Na primjer, ne koordinate vektora a → i b → , već njihove ekspanzije u koordinatnim vektorima oblika b → = b x i → + b y j → + b z k → i c → = a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k → , ili vektori a → i b → mogu biti date koordinatama njihove početne i krajnje tačke.

Razmotrite sljedeće primjere.

Primjer 2

Dva vektora postavljena su u pravougaoni koordinatni sistem a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) . Pronađite njihov vektorski proizvod.

Rješenje

Prema drugoj definiciji, nalazimo vektorski proizvod dva vektora u datim koordinatama: a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Ako vektorski proizvod zapišemo kroz determinantu matrice, rješenje ovog primjera je sljedeće: a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

odgovor: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Primjer 3

Odrediti dužinu unakrsnog proizvoda vektora i → - j → i i → + j → + k → , gdje je i → , j → , k → - orti pravokutnog Dekartovog koordinatnog sistema.

Rješenje

Prvo, pronađimo koordinate datog vektorskog proizvoda i → - j → × i → + j → + k → u datom pravougaonom koordinatnom sistemu.

Poznato je da vektori i → - j → i i → + j → + k → imaju koordinate (1 ; - 1 ; 0) i (1 ; 1 ; 1) respektivno. Odredite dužinu vektorskog proizvoda koristeći determinantu matrice, tada imamo i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Dakle, vektorski proizvod i → - j → × i → + j → + k → ima koordinate (- 1 ; - 1 ; 2) u datom koordinatnom sistemu.

Dužinu vektorskog proizvoda nalazimo po formuli (pogledajte dio o pronalaženju dužine vektora): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .

odgovor: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

Primjer 4

Koordinate tri tačke A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) date su u pravougaonom Dekartovom koordinatnom sistemu. Nađite vektor okomit na A B → i A C → u isto vrijeme.

Rješenje

Vektori A B → i A C → imaju sljedeće koordinate (- 1 ; 2 ; 2) i (0 ; 4 ; 1) redom. Nakon što smo pronašli vektorski proizvod vektora A B → i A C → , očigledno je da je to okomit vektor po definiciji i na A B → i na A C → , odnosno da je rješenje našeg problema. Pronađite A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

odgovor: - 6 i → + j → - 4 k → . je jedan od okomitih vektora.

Problemi trećeg tipa su usmjereni na korištenje svojstava vektorskog proizvoda vektora. Nakon primjene koje, dobićemo rješenje zadatog problema.

Primjer 5

Vektori a → i b → su okomiti i njihove dužine su 3 odnosno 4. Pronađite dužinu unakrsnog proizvoda 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → .

Rješenje

Po svojstvu distributivnosti vektorskog proizvoda možemo napisati 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Svojstvom asocijativnosti uzimamo numeričke koeficijente izvan predznaka vektorskih proizvoda u posljednjem izrazu: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Vektorski proizvodi a → × a → i b → × b → jednaki su 0, budući da su a → × a → = a → a → sin 0 = 0 i b → × b → = b → b → sin 0 = 0 , onda 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a → . .

Iz antikomutativnosti vektorskog proizvoda slijedi - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

Koristeći svojstva vektorskog proizvoda, dobijamo jednakost 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Pod uslovom, vektori a → i b → su okomiti, odnosno ugao između njih je jednak π 2 . Sada ostaje samo zamijeniti pronađene vrijednosti u odgovarajuće formule: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → sin (a →, b →) = 5 3 4 sin π 2 = 60.

odgovor: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60 .

Dužina unakrsnog proizvoda vektora po definiciji je a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Pošto je već poznato (iz školskog predmeta) da je površina trokuta jednaka polovini umnoška dužina njegovih dviju stranica pomnoženog sa sinusom ugla između ovih stranica. Dakle, dužina vektorskog proizvoda jednaka je površini paralelograma - udvojenog trokuta, odnosno proizvodu stranica u obliku vektora a → i b → , odloženih iz jedne tačke, sinusom ugla između njih sin ∠ a → , b → .

Ovo je geometrijsko značenje vektorskog proizvoda.

Fizičko značenje vektorskog proizvoda

U mehanici, jednoj od grana fizike, zahvaljujući vektorskom proizvodu, možete odrediti moment sile u odnosu na tačku u prostoru.

Definicija 3

Pod momentom sile F → , primijenjenom na tačku B , u odnosu na tačku A razumjet ćemo sljedeći vektorski proizvod A B → × F → .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

MJEŠOVITI PROIZVOD TRI VEKTORA I NJEGOVA SVOJSTVA

mješoviti proizvod tri vektora naziva se broj jednak . Označeno . Ovdje se prva dva vektora množe vektorski, a zatim se rezultirajući vektor množi skalarno trećim vektorom. Očigledno, takav proizvod je neki broj.

Razmotrite svojstva miješanog proizvoda.

1. geometrijskog smisla mješoviti proizvod. Mješoviti proizvod 3 vektora, do predznaka, jednak je zapremini paralelepipeda izgrađenog na ovim vektorima, kao na ivicama, tj. .

   Dakle, i .

   

   Dokaz. Odložimo vektore iz zajedničkog porijekla i na njima izgradimo paralelepiped. Označimo i primijetimo da . Po definiciji skalarnog proizvoda

   Pretpostavljajući to i označavajući kroz h visina paralelepipeda, nalazimo .

   Dakle, kod

   Ako , onda i . Dakle, .

   Kombinirajući oba ova slučaja, dobivamo ili .

   Iz dokaza ovog svojstva, posebno, slijedi da ako je trojka vektora desno, onda mješoviti proizvod , a ako je lijevo, onda .

2. Za bilo koje vektore , , jednakost

   Dokaz ovog svojstva slijedi iz svojstva 1. Doista, lako je pokazati da i . Štaviše, znakovi "+" i "-" uzimaju se istovremeno, jer uglovi između vektora i i i su oštri ili tupi.

3. Kada se bilo koja dva faktora zamijene, mješoviti proizvod mijenja predznak.

   Doista, ako uzmemo u obzir mješoviti proizvod, onda, na primjer, ili

4. Mješoviti proizvod ako i samo ako je jedan od faktora jednak nuli ili su vektori komplanarni.

   Dokaz.

   Dakle, neophodan i dovoljan uslov za komplanarnost 3 vektora je jednakost nule njihovog mješovitog proizvoda. Osim toga, iz ovoga slijedi da tri vektora čine osnovu u prostoru ako .

   Ako su vektori dati u koordinatnom obliku, onda se može pokazati da se njihov mješoviti proizvod nalazi po formuli:

   .

   Dakle, mješoviti proizvod je jednak determinanti trećeg reda čiji prvi red sadrži koordinate prvog vektora, drugi red sadrži koordinate drugog vektora, a treći red sadrži koordinate trećeg vektora.

   Primjeri.

ANALITIČKA GEOMETRIJA U PROSTORU

Jednačina F(x, y, z)= 0 definira u prostoru Oxyz neke površine, tj. lokus tačaka čije koordinate x, y, z zadovoljiti ovu jednačinu. Ova jednačina se naziva površinska jednačina, i x, y, z– trenutne koordinate.

Međutim, često se površina ne definira jednadžbom, već kao skup točaka u prostoru koje imaju jedno ili drugo svojstvo. U ovom slučaju potrebno je pronaći jednadžbu površine na osnovu njenih geometrijskih svojstava.

AVION.

NORMALNI RAVNI VEKTOR.

JEDNAČINA RAVNINE KOJA PROLAZI KROZ ZADANU TAČKU

Razmotrimo proizvoljnu ravan σ u prostoru. Njegov položaj se određuje postavljanjem vektora okomitog na ovu ravan i neke fiksne tačke M0(x0, y 0, z0) koji leži u ravni σ.

Vektor okomit na ravan σ naziva se normalno vektor ove ravni. Neka vektor ima koordinate .

Izvodimo jednačinu za ravan σ koja prolazi kroz datu tačku M0 i imaju normalan vektor . Da biste to učinili, uzmite proizvoljnu tačku na ravni σ M(x, y, z) i razmotrimo vektor .

Za bilo koju tačku MÎ σ vektor Dakle, njihov skalarni proizvod je jednak nuli. Ova jednakost je uslov da tačka M O σ. Važi za sve tačke ove ravni i narušava se čim tačka M biće izvan ravni σ.

Ako označimo radijus vektorom tačke M, je radijus vektor tačke M0, tada se jednačina može napisati kao

Ova jednačina se zove vektor ravan jednadžba. Zapišimo to u koordinatnom obliku. Od tada

Dakle, dobili smo jednačinu ravni koja prolazi kroz datu tačku. Dakle, da biste sastavili jednadžbu ravnine, morate znati koordinate vektora normale i koordinate neke tačke koja leži na ravni.

Imajte na umu da je jednadžba ravni jednačina 1. stepena u odnosu na trenutne koordinate x, y i z.

Primjeri.

OPŠTA JEDNAČINA RAVNI

Može se pokazati da bilo koja jednačina prvog stepena u odnosu na kartezijanske koordinate x, y, z je jednadžba neke ravni. Ova jednačina se piše kao:

Ax+By+Cz+D=0

i pozvao opšta jednačina ravni i koordinate A, B, C ovdje su koordinate vektora normale ravni.

Razmotrimo posebne slučajeve opšte jednačine. Hajde da saznamo kako se ravan nalazi u odnosu na koordinatni sistem ako jedan ili više koeficijenata jednačine nestane.

A je dužina segmenta odsečenog ravninom na osi Ox. Slično, to se može pokazati b i c su dužine segmenata odsječenih razmatranom ravninom na osi Oy i Oz.

Pogodno je koristiti jednadžbu ravnine u segmentima za konstruisanje ravnina.

U ovom članku ćemo se zadržati na konceptu unakrsnog proizvoda dva vektora. Dat ćemo potrebne definicije, zapisati formulu za pronalaženje koordinata vektorskog proizvoda, navesti i obrazložiti njegova svojstva. Nakon toga ćemo se zadržati na geometrijskom značenju unakrsnog proizvoda dva vektora i razmotriti rješenja različitih tipičnih primjera.

Navigacija po stranici.

Definicija vektorskog proizvoda.

Prije nego što damo definiciju unakrsnog proizvoda, pozabavimo se orijentacijom uređene trojke vektora u trodimenzionalnom prostoru.

Odložimo vektore iz jedne tačke. U zavisnosti od smera vektora, trojka može biti desna ili leva. Pogledajmo s kraja vektora kako je najkraći okret od vektora do . Ako je najkraća rotacija u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, tada se naziva trojka vektora u pravu, inače - lijevo.

Sada uzmimo dva nekolinearna vektora i . Odvojite vektore i iz tačke A. Konstruirajmo neki vektor koji je okomit na i i istovremeno. Očigledno, kada konstruišemo vektor, možemo učiniti dvije stvari, dajući mu ili jedan ili suprotan smjer (vidi ilustraciju).

U zavisnosti od smera vektora, uređena trojka vektora može biti desna ili leva.

Tako smo se približili definiciji vektorskog proizvoda. Dat je za dva vektora data u pravougaonom koordinatnom sistemu trodimenzionalnog prostora.

Definicija.

Vektorski proizvod dva vektora i , dat u pravokutnom koordinatnom sistemu trodimenzionalnog prostora, naziva se vektor takav da

Unakrsni proizvod vektora i označava se kao .

Vektorske koordinate proizvoda.

Sada dajemo drugu definiciju vektorskog proizvoda, koja nam omogućava da pronađemo njegove koordinate iz koordinata datih vektora i.

Definicija.

U pravougaonom koordinatnom sistemu trodimenzionalnog prostora unakrsni proizvod dva vektora i je vektor , gdje su koordinatni vektori.

Ova definicija nam daje unakrsni proizvod u koordinatnom obliku.

Vektorski proizvod je prikladno predstavljen kao determinanta kvadratne matrice trećeg reda, čiji su prvi red ortovi, drugi red sadrži koordinate vektora, a treći red sadrži koordinate vektora u datom pravougaoni koordinatni sistem:

Ako ovu determinantu proširimo elementima prvog reda, onda dobijamo jednakost iz definicije vektorskog proizvoda u koordinatama (ako je potrebno, pogledajte članak):

Treba napomenuti da je koordinatni oblik unakrsnog proizvoda u potpunosti u skladu sa definicijom datom u prvom stavu ovog člana. Štaviše, ove dvije definicije unakrsnog proizvoda su ekvivalentne. Dokaz za ovu činjenicu nalazi se u knjizi naznačenoj na kraju članka.

Vektorska svojstva proizvoda.

Budući da se vektorski proizvod u koordinatama može predstaviti kao determinanta matrice, sljedeće se može lako potkrijepiti na osnovu svojstva vektorskog proizvoda:

Kao primjer, dokažemo svojstvo antikomutativnosti vektorskog proizvoda.

Po definiciji i . Znamo da je vrijednost determinante matrice obrnuta kada se dva reda zamijene, pa, , što dokazuje svojstvo antikomutativnosti vektorskog proizvoda.

Vektorski proizvod - primjeri i rješenja.

U osnovi postoje tri vrste zadataka.

U zadacima prvog tipa date su dužine dva vektora i ugao između njih, a potrebno je pronaći dužinu unakrsnog proizvoda. U ovom slučaju se koristi formula .

Primjer.

Pronađite dužinu unakrsnog proizvoda vektora i ako je poznata .

Rješenje.

Iz definicije znamo da je dužina poprečnog proizvoda vektora i jednaka proizvodu dužina vektora i sinusa ugla između njih, dakle, .

odgovor:

.

Zadaci drugog tipa povezani su sa koordinatama vektora, u kojima se preko koordinata datih vektora traži vektorski proizvod, njegova dužina ili nešto drugo. i .

Ovdje je dostupno mnogo različitih opcija. Na primjer, ne koordinate vektora i , već njihova proširenja u koordinatnim vektorima oblika i , ili vektori i mogu biti specificirani koordinatama njihove početne i krajnje tačke.

Razmotrimo tipične primjere.

Primjer.

Dva vektora su data u pravougaonom koordinatnom sistemu . Pronađite njihov vektorski proizvod.

Rješenje.

Prema drugoj definiciji, unakrsni proizvod dva vektora u koordinatama zapisuje se kao:

Do istog rezultata bismo došli da smo vektorski proizvod zapisali kroz determinantu

odgovor:

.

Primjer.

Nađite dužinu unakrsnog proizvoda vektora i , gdje su orti pravokutnog Dekartovog koordinatnog sistema.

Rješenje.

Prvo pronađite koordinate vektorskog proizvoda u datom pravougaonom koordinatnom sistemu.

Pošto vektori i imaju koordinate i (ako je potrebno, pogledajte koordinate vektora u pravougaonom koordinatnom sistemu), onda prema drugoj definiciji unakrsnog proizvoda imamo

To jest, vektorski proizvod ima koordinate u datom koordinatnom sistemu.

Dužinu vektorskog proizvoda nalazimo kao kvadratni korijen zbira kvadrata njegovih koordinata (ovu formulu za dužinu vektora smo dobili u dijelu o pronalaženju dužine vektora):

odgovor:

.

Primjer.

Koordinate tri tačke su date u pravougaonom Dekartovom koordinatnom sistemu. Pronađite vektor koji je okomit na i istovremeno.

Rješenje.

Vektori i imaju koordinate i, respektivno (pogledajte članak pronalaženje koordinata vektora kroz koordinate tačaka). Ako nađemo unakrsni proizvod vektora i , onda je po definiciji to vektor okomit na i na i na, to jest, to je rješenje našeg problema. Hajde da ga nađemo

odgovor:

je jedan od okomitih vektora.

U zadacima trećeg tipa provjerava se vještina korištenja svojstava vektorskog proizvoda vektora. Nakon što se svojstva primjene, primjenjuju se odgovarajuće formule.

Primjer.

Vektori i su okomiti i njihove dužine su 3 odnosno 4. Pronađite dužinu vektorskog proizvoda .

Rješenje.

Po svojstvu distributivnosti vektorskog proizvoda možemo pisati

Na osnovu svojstva asocijativnosti, izvlačimo numeričke koeficijente za predznak vektorskih proizvoda u zadnjem izrazu:

Vektorski proizvodi i jednaki su nuli, budući da i , zatim .

Budući da je vektorski proizvod antikomutativan, onda .

Dakle, koristeći svojstva vektorskog proizvoda, došli smo do jednakosti .

Po uslovu, vektori i su okomiti, odnosno ugao između njih je jednak . Odnosno, imamo sve podatke da pronađemo potrebnu dužinu

odgovor:

.

Geometrijsko značenje vektorskog proizvoda.

Po definiciji, dužina unakrsnog proizvoda vektora je . A iz srednjoškolskog kursa geometrije znamo da je površina trokuta jednaka polovini umnoška dužina dviju stranica trokuta i sinusa ugla između njih. Dakle, dužina poprečnog proizvoda jednaka je dvostrukoj površini trokuta sa stranicama vektora i , ako su odloženi iz jedne tačke. Drugim riječima, dužina unakrsnog proizvoda vektora i jednaka je površini paralelograma sa stranicama i kutom između njih jednakim . Ovo je geometrijsko značenje vektorskog proizvoda.