Mnogi brojevi su svoju veličinu i praznovjerno značenje stekli u antici. Danas im se dodaju novi mitovi. Postoje mnoge legende o broju pi, poznati Fibonačijevi brojevi su malo manje poznati. Ali možda najviše iznenađuje broj e, bez koje se ne može savremena matematika, fizike, pa čak i ekonomije.

Aritmetička vrijednost e je približno 2,718. Zašto ne tačno, već otprilike? Budući da je ovaj broj iracionalan i transcendentalan, ne može se izraziti kao razlomak s prirodnim cijelim brojevima ili kao polinom s racionalnim koeficijentima. Za većinu proračuna navedene tačnosti dovoljna je vrijednost od 2,718, iako vam trenutni nivo kompjuterske tehnologije omogućava da odredite njegovu vrijednost s tačnošću većom od triliona decimalnih mjesta.

Glavna karakteristika broja e je da je izvod njegove eksponencijalne funkcije f (x) \u003d e x jednak vrijednosti same funkcije e x. Nijedan drugi matematički odnos nema tako neobično svojstvo. Razgovarajmo o ovome malo detaljnije.

Šta je granica

Prvo, hajde da se pozabavimo konceptom granice. Razmotrimo neki matematički izraz, na primjer, i = 1/n. Možete vidjeti, da sa povećanjem "n“, vrijednost “i” će se smanjiti, a kako “n” teži beskonačnosti (što je označeno znakom ∞), “i” će težiti graničnoj vrijednosti (češće zvanoj jednostavno granica) jednakoj nuli. Granični izraz (označen kao lim) za slučaj koji se razmatra može se napisati kao lim n →∞ (1/ n) = 0 .

Postoje različita ograničenja za različite izraze. Jedna od takvih granica, uključena u sovjetske i ruske udžbenike kao druga izuzetna granica, je izraz lim n →∞ (1+1/ n) n . Već u srednjem vijeku ustanovljeno je da je granica ovog izraza broj e.

Prva izuzetna granica uključuje izraz lim n →∞ (Sin n / n) = 1.

Kako pronaći izvod e x - u ovom videu.

Šta je derivacija funkcije

Da bismo otkrili pojam derivacije, treba se prisjetiti što je funkcija u matematici. Kako ne bismo zatrpavali tekst složenim definicijama, zadržimo se na intuitivnom matematičkom konceptu funkcije, koji se sastoji u činjenici da jedna ili više veličina u njoj u potpunosti određuju vrijednost druge veličine, ako su međusobno povezane. Na primjer, u formuli S = π ∙ r 2 površine kruga, vrijednost polumjera r potpuno i jedinstveno određuje površinu kružnice S.

U zavisnosti od tipa, funkcije mogu biti algebarske, trigonometrijske, logaritamske itd. U njima mogu biti međusobno povezana dva, tri ili više argumenata. Na primjer, pređeni put S, koji je objekt savladao ravnomjerno ubrzanom brzinom, opisuje se funkcijom S = 0,5 ∙ a ∙ t 2 + V ∙ t, gdje je “t” vrijeme kretanja, argument “a ” je ubrzanje (može biti pozitivna ili negativna vrijednost), a "V" je početna brzina kretanja. Dakle, količina prijeđene udaljenosti ovisi o vrijednostima tri argumenta, od kojih su dva ("a" i "V") konstantna.

Upotrijebimo ovaj primjer da pokažemo elementarni koncept derivacije funkcije. Karakterizira brzinu promjene funkcije u datoj tački. U našem primjeru, to će biti brzina objekta u određenom trenutku. Sa konstantama "a" i "V" zavisi samo od vremena "t", odnosno, u naučnom smislu, potrebno je uzeti derivaciju funkcije S u odnosu na vrijeme "t".

Ovaj proces se zove diferencijacija, a izvodi se izračunavanjem granice omjera rasta funkcije i rasta njenog argumenta za zanemarljiv iznos. Rješavanje takvih problema za pojedinačne funkcije često nije lak zadatak i ovdje se ne razmatra. Također je vrijedno napomenuti da neke funkcije u određenim točkama uopće nemaju takva ograničenja.

U našem primjeru, derivat S u vremenu "t" će poprimiti oblik S" = ds / dt = a ∙ t + V, iz čega se može vidjeti da se brzina S" mijenja linearno ovisno o "t".

Derivat eksponenta

Eksponencijalna funkcija naziva se eksponencijalna funkcija, čija je osnova broj e. Obično se prikazuje kao F (x) \u003d e x, gdje je eksponent x varijabla. Ova funkcija ima potpunu diferencijabilnost u cijelom rasponu realnih brojeva. Kako se x povećava, on se stalno povećava i uvijek je veći od nule. Njegova inverzna funkcija je logaritam.

Čuveni matematičar Tejlor uspeo je da proširi ovu funkciju u niz nazvan po njemu e x = 1 + x/1! + x2/2! + x 3 /3! + … u rasponu x od - ∞ do + ∞.

Zakon zasnovan na ovoj funkciji, naziva se eksponencijalna. On opisuje:

• povećanje složene bankarske kamate;
• povećanje populacije životinja i populacije planete;
• rigor mortis time i još mnogo toga.

Ponovimo još jednom izvanredno svojstvo ove zavisnosti - vrijednost njenog izvoda u bilo kojoj tački uvijek je jednaka vrijednosti funkcije u ovoj tački, odnosno (e x)" = e x .

Evo izvedenica za najopćenitije slučajeve eksponenta:

• (e ax)" = a ∙ e ax;
• (e f (x))" = f "(x) ∙ e f (x) .

Koristeći ove zavisnosti, lako je pronaći derivate za druge određene tipove ove funkcije.

Nekoliko zanimljivih činjenica o broju e

Imena naučnika kao što su Napier, Otred, Huygens, Bernoulli, Leibniz, Newton, Euler i drugi povezani su sa ovim brojem. Potonji je zapravo uveo oznaku e za ovaj broj, a također je pronašao prvih 18 znakova, koristeći seriju e = 1 + 1/1 koju je otkrio za izračunavanje! +2/2! + 3/3! …

Broj e se javlja na najneočekivanijim mjestima. Na primjer, uključen je u jednadžbu kontaktne mreže, koja opisuje progib užeta pod vlastitom težinom kada su njegovi krajevi pričvršćeni na nosače.

Video

Tema video lekcije je izvod eksponencijalne funkcije.

Dokaz i izvođenje formula za izvod eksponencijala (e na stepen x) i eksponencijalne funkcije (a na stepen x). Primjeri izračunavanja derivata e^2x, e^3x i e^nx. Formule za derivate višeg reda.

Sadržaj

Vidi također: Eksponencijalna funkcija - svojstva, formule, graf
Eksponent, e na stepen x - svojstva, formule, graf

Osnovne formule

Izvod eksponenta je jednak samom eksponentu (izvod e na stepen x je jednak e na stepen x):
(1) (e x )′ = e x.

Izvod eksponencijalne funkcije sa bazom stepena a jednak je samoj funkciji, pomnoženoj prirodnim logaritmom a:
(2) .

Eksponent je eksponencijalna funkcija čija je baza eksponenta jednaka broju e, što je sljedeća granica:
.
Ovdje to može biti prirodan ili realan broj. Zatim, izvodimo formulu (1) za izvod eksponenta.

Derivacija formule za izvod eksponenta

Razmotrimo eksponent, e na stepen x:
y = e x .
Ova funkcija je definirana za sve. Nađimo njegovu derivaciju u odnosu na x. Po definiciji, derivat je sljedeća granica:
(3) .

Hajde da transformišemo ovaj izraz da ga svedemo na poznata matematička svojstva i pravila. Za ovo su nam potrebne sljedeće činjenice:
ALI) Svojstvo eksponenta:
(4) ;
B) Svojstvo logaritma:
(5) ;
AT) Kontinuitet logaritma i svojstvo granica za kontinuiranu funkciju:
(6) .
Ovdje je neka funkcija koja ima granicu i ova granica je pozitivna.
G) Značenje druge divne granice:
(7) .

Ove činjenice primjenjujemo do naše granice (3). Koristimo imovinu (4):
;
.

Hajde da napravimo zamenu. Onda ; .
Zbog kontinuiteta eksponenta,
.
Stoga, na , . Kao rezultat, dobijamo:
.

Hajde da napravimo zamenu. Onda . U , . i imamo:
.

Primjenjujemo svojstvo logaritma (5):
. Onda
.

Primijenimo svojstvo (6). Pošto postoji pozitivna granica i logaritam je kontinuiran, onda:
.
Ovdje smo također koristili drugu izuzetnu granicu (7). Onda
.

Tako smo dobili formulu (1) za izvod eksponenta.

Derivacija formule za izvod eksponencijalne funkcije

Sada izvodimo formulu (2) za izvod eksponencijalne funkcije sa bazom stepena a. Vjerujemo da i . Zatim eksponencijalna funkcija
(8)
Definisano za svakoga.

Transformirajmo formulu (8). Da bismo to učinili, koristimo svojstva eksponencijalne funkcije i logaritma.
;
.
Dakle, formulu (8) smo transformisali u sledeći oblik:
.

Derivati ​​višeg reda od e na stepen x

Sada pronađimo derivate viših redova. Pogledajmo prvo eksponent:
(14) .
(1) .

Vidimo da je derivacija funkcije (14) jednaka samoj funkciji (14). Diferencirajući (1) dobijamo derivate drugog i trećeg reda:
;
.

Ovo pokazuje da je izvod n-tog reda također jednak originalnoj funkciji:
.

Izvodi višeg reda eksponencijalne funkcije

Sada razmotrite eksponencijalnu funkciju sa osnovom stepena a:
.
Pronašli smo njen derivat prvog reda:
(15) .

Diferencirajući (15) dobijamo derivate drugog i trećeg reda:
;
.

Vidimo da svaka diferencijacija vodi do množenja originalne funkcije sa . Dakle, n-ti izvod ima sljedeći oblik:
.

Vidi također:

Evo tabele sažetka za praktičnost i jasnoću prilikom proučavanja teme.

Konstantnoy=C Funkcija snage y = x p (x p)" = p x p - 1	Eksponencijalna funkcijay = x (a x)" = a x ln a Konkretno, kadaa = eimamo y = e x (e x)" = e x
logaritamska funkcija (log a x) " = 1 x ln a Konkretno, kadaa = eimamo y = log x (ln x)" = 1 x	Trigonometrijske funkcije (sin x) "= cos x (cos x)" = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x)" = - 1 sin 2 x
Inverzne trigonometrijske funkcije (a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2	Hiperboličke funkcije (s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

Hajde da analiziramo kako su dobijene formule navedene tabele, odnosno dokazaćemo izvođenje formula za izvode za svaku vrstu funkcije.

Derivat konstante

Dokaz 1

Da bismo izveli ovu formulu, uzimamo kao osnovu definiciju derivacije funkcije u tački. Koristimo x 0 = x, gdje x poprima vrijednost bilo kojeg realnog broja, ili, drugim riječima, x je bilo koji broj iz domene funkcije f (x) = C . Zapišimo granicu omjera prirasta funkcije i priraštaja argumenta kao ∆ x → 0:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Imajte na umu da izraz 0 ∆ x spada pod granični znak. To nije nesigurnost “nule podijeljene sa nulom”, jer brojnik ne sadrži beskonačno malu vrijednost, već nulu. Drugim riječima, prirast konstantne funkcije je uvijek nula.

Dakle, derivacija konstantne funkcije f (x) = C jednaka je nuli u cijelom domenu definicije.

Primjer 1

Zadate konstantne funkcije:

f 1 (x) = 3 , f 2 (x) = a , a ∈ R , f 3 (x) = 4 . 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

Rješenje

Hajde da opišemo date uslove. U prvoj funkciji vidimo izvod prirodnog broja 3. U sljedećem primjeru, trebate uzeti derivat od a, gdje a- bilo koji pravi broj. Treći primjer nam daje derivaciju iracionalnog broja 4. 13 7 22 , četvrti - derivacija nule (nula je cijeli broj). Konačno, u petom slučaju imamo izvod racionalnog razlomka - 8 7 .

odgovor: derivacije datih funkcija su nula za bilo koju realnu x(preko cijelog domena definicije)

f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

Derivat funkcije moći

Okrećemo se funkciji stepena i formuli za njen izvod, koja ima oblik: (x p) " = p x p - 1, gdje je eksponent str je bilo koji realan broj.

Dokaz 2

Evo dokaza formule kada je eksponent prirodan broj: p = 1 , 2 , 3 , …

Ponovo se oslanjamo na definiciju derivata. Napišimo granicu omjera prirasta funkcije snage i prirasta argumenta:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

Da bismo pojednostavili izraz u brojiocu, koristimo Newtonovu binomnu formulu:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

Na ovaj način:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 x p - 1 + 0 + 0 + . . . + 0 = p! 1! (p - 1)! x p - 1 = p x p - 1

Dakle, dokazali smo formulu za izvod funkcije stepena kada je eksponent prirodan broj.

Dokaz 3

Da dam dokaz za slučaj kada p- bilo koji realan broj osim nule, koristimo logaritamski izvod (ovdje treba razumjeti razliku od izvoda logaritamske funkcije). Za potpunije razumijevanje poželjno je proučiti izvod logaritamske funkcije i dodatno se pozabaviti izvodom implicitno zadane funkcije i izvodom kompleksne funkcije.

Razmotrimo dva slučaja: kada x pozitivno i kada x su negativni.

Dakle, x > 0 . Tada je: x p > 0 . Uzimamo logaritam jednakosti y \u003d x p na bazu e i primjenjujemo svojstvo logaritma:

y = x p ln y = ln x p ln y = p ln x

U ovoj fazi je dobijena implicitno definirana funkcija. Definirajmo njegovu derivaciju:

(ln y) " = (p ln x) 1 y y " = p 1 x ⇒ y " = p y x = p x p x = p x p - 1

Sada razmatramo slučaj kada x- negativan broj.

Ako indikator str je paran broj, tada je funkcija stepena također definirana za x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Zatim xp< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Ako a str je neparan broj, tada je funkcija stepena definirana za x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y "(x) \u003d (- (- x) p) " \u003d - ((- x) p) " \u003d - p (- x) p - 1 (- x) " = \u003d p (- x ) p - 1 = p x p - 1

Posljednji prijelaz je moguć jer ako str je onda neparan broj p - 1 bilo paran broj ili nula (za p = 1), dakle, za negativan x jednakost (- x) p - 1 = x p - 1 je tačna.

Dakle, dokazali smo formulu za izvod funkcije stepena za bilo koje realno p.

Primjer 2

Zadate funkcije:

f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12

Odredite njihove derivate.

Rješenje

Dio datih funkcija transformiramo u tabelarni oblik y = x p , na osnovu svojstava stepena, a zatim koristimo formulu:

f 1 (x) \u003d 1 x 2 3 \u003d x - 2 3 ⇒ f 1 "(x) \u003d - 2 3 x - 2 3 - 1 \u003d - 2 3 x - 5 3 f 2 "(x) \u003d x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3 " ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

Derivat eksponencijalne funkcije

Dokaz 4

Izvodimo formulu za izvod, na osnovu definicije:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Imamo neizvjesnost. Da bismo ga proširili, pišemo novu varijablu z = a ∆ x - 1 (z → 0 kao ∆ x → 0). U ovom slučaju a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Za posljednji prijelaz koristi se formula za prijelaz na novu bazu logaritma.

Izvršimo zamjenu u originalnom limitu:

(a x) " = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x ln a lim ∆ x → 0 1 1 z ln (z + 1) = = a x ln a lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Prisjetite se druge divne granice i tada ćemo dobiti formulu za izvod eksponencijalne funkcije:

(a x) " = a x ln a 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln e = a x ln a

Primjer 3

Date su eksponencijalne funkcije:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

Moramo pronaći njihove derivate.

Rješenje

Koristimo formulu za izvod eksponencijalne funkcije i svojstva logaritma:

f 1 "(x) = 2 3 x" = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 "(x) = 5 3 x" = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 "(x) = 1 (e) x" = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Derivat logaritamske funkcije

Dokaz 5

Predstavljamo dokaz formule za izvod logaritamske funkcije za bilo koje x u domenu definicije i bilo koje važeće vrijednosti osnove a logaritma. Na osnovu definicije derivacije dobijamo:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x x x = lim ∆ x → 0 1 x log a 1 + ∆ x x x ∆ = = 1 x log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x log a e = 1 x ln e ln a = 1 x ln a

Iz navedenog lanca jednakosti može se vidjeti da su transformacije izgrađene na osnovu svojstva logaritma. Jednakost lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e je tačna u skladu sa drugom značajnom granicom.

Primjer 4

Logaritamske funkcije su date:

f 1 (x) = log log 3 x , f 2 (x) = log x

Potrebno je izračunati njihove derivate.

Rješenje

Primijenimo izvedenu formulu:

f 1 "(x) = (log ln 3 x)" = 1 x ln (ln 3) ; f 2 "(x) \u003d (ln x)" = 1 x ln e = 1 x

Dakle, izvod prirodnog logaritma je jedan podijeljen sa x.

Derivati ​​trigonometrijskih funkcija

Dokaz 6

Koristimo neke trigonometrijske formule i prvu divnu granicu da izvedemo formulu za izvod trigonometrijske funkcije.

Prema definiciji derivacije sinusne funkcije, dobijamo:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

Formula za razliku sinusa omogućit će nam da izvršimo sljedeće radnje:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

Konačno, koristimo prvu divnu granicu:

sin "x = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Dakle, derivacija funkcije sin x bice cos x.

Na isti način ćemo dokazati i formulu za kosinusni derivat:

cos "x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

One. derivacija funkcije cos x će biti – sin x.

Izvodimo formule za izvode tangente i kotangensa na osnovu pravila diferencijacije:

t g "x = sin x cos x" = sin "x cos x - sin x cos "x cos 2 x = = cos x cos x - sin x (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g "x = cos x sin x" = cos "x sin x - cos x sin "x sin 2 x = = - sin x sin x - cos x cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x

Derivati ​​inverznih trigonometrijskih funkcija

Odjeljak o izvodu inverznih funkcija pruža opsežne informacije o dokazu formula za izvode arksinusa, arkosinusa, arktangensa i arkkotangensa, tako da ovdje nećemo duplicirati materijal.

Derivati ​​hiperboličkih funkcija

Dokaz 7

Možemo izvesti formule za izvode hiperboličkog sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa koristeći pravilo diferencijacije i formulu za izvod eksponencijalne funkcije:

s h "x = e x - e - x 2" = 1 2 e x "- e - x" == 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h "x = e x + e - x 2" = 1 2 e x "+ e - x" == 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h "x = s h x c h x" = s h "x c h x - s h x c h "x c h 2 x = c h 2 x - 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h "x = c h x s h x" = c h "x s h x - c h x s h "x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Osnovni koncepti

Prije razmatranja izvoda eksponenta na stepen $x$, podsjetimo se definicija

1. funkcije;
2. granica sekvence;
3. derivat;
4. izlagači.

Ovo je neophodno za jasno razumevanje izvoda eksponenta na stepen od $x$.

Definicija 1

Funkcija je odnos između dvije varijable.

Uzmimo $y=f(x)$, gdje su $x$ i $y$ varijable. Ovdje se $x$ naziva argumentom, a $y$ funkcijom. Argument može poprimiti proizvoljne vrijednosti. Zauzvrat, varijabla $y$ mijenja se prema određenom zakonu ovisno o argumentu. To jest, argument $x$ je nezavisna varijabla, a funkcija $y$ je zavisna varijabla. Bilo koja vrijednost od $x$ odgovara jednoj vrijednosti od $y$.

Ako je svakom prirodnom broju $n=1, 2, 3, ...$ dodeljen broj $x_n$ na osnovu nekog zakona, onda kažemo da je niz brojeva $x_1,x_2,...,x_n$ definisano. Inače, takav niz se piše kao $\(x_n\)$. Svi brojevi $x_n$ nazivaju se članovima ili elementima niza.

Definicija 2

Granica niza je krajnja tačka ili beskonačna tačka na realnoj liniji. Granica se piše ovako: $\lim x_n = \lim\limits_(n\to\infty)x_n = a$. Ovaj unos znači da varijabla $x_n$ teži ka $a$ $x_n\a$.

Derivat funkcije $f$ u tački $x_0$ naziva se sljedeća granica:

$\lim\limits_(x\to x_0)\frac(f(x) - f(x_o))(x-x_o)$. Označava se sa $f"(x_0)$.

Broj $e$ jednak je sljedećem limitu:

$e=\lim\limits_(x\to\infty) (1+\frac(1)(n))\approx2.718281828459045...$

U datom ograničenju, $n$ je prirodan ili realan broj.

Poznavajući koncepte granice, derivacije i eksponenta, možemo preći na dokaz formule $(e^x)"=e^x$.

Derivacija izvoda eksponenta na stepen od $x$

Imamo $e^x$, gdje je $x: -\infty

$y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^(x+\Delta x)-e^x)(\Delta x)$.

Svojstvom eksponenta $e^(a+bx)=e^a*e^b$ možemo transformisati brojilac granice:

$e^(x+\Delta x)-e^x = e^x*e^(\Delta x)-e^x = e^x(e^(\Delta x)-1)$.

To jest, $y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^(x+\Delta x)-e^x)(\Delta x)=\lim\limits_(\Delta x\ do 0) \frac(e^x(e^(\Delta x)-1))(\Delta x)$.

Označimo $t=e^(\Delta x)-1$. Dobijamo $e^(\Delta x)=t+1$, a prema svojstvu logaritma ispada da je $\Delta x = ln(t+1)$.

Pošto je eksponent kontinuiran, imamo $\lim\limits_(\Delta x\to 0) e^(\Delta x)=e^0=1.$ Dakle, ako je $\Delta x\to 0$, onda je $ t \ do $0.

Kao rezultat, prikazujemo transformaciju:

$y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^(\Delta x)-1)(\Delta x)=e^x\lim\limits_(t\do 0)\frac (t)(ln(t+1))$.

Označimo $n=\frac (1)(t)$, zatim $t=\frac(1)(n)$. Ispada da ako je $t\to 0$, onda $n\to\infty$.

Transformirajmo naše ograničenje:

$y"=e^x\lim\limits_(t\do 0)\frac(t)(ln(t+1))=e^x\lim\limits_(n\to\infty)\frac(1) (n\cdot ln(\frac(1)(n)+1)^n)$.

Po svojstvu logaritma $b\cdot ln c=ln c^b$ imamo

$n\cdot ln (\frac(1)(n)+1)=ln(\frac(1)(n)+1)^n=ln(1+\frac(1)(n))^n$ .

Ograničenje se pretvara na sljedeći način:

$y"=e^x\lim\limits_(n\to\infty)\frac(1)(n\cdot ln(\frac(1)(n)+1)) = e^x\lim\limits_( n\to\infty)\frac(1)(ln(\frac(1)(n)+1)^n)= e^x\frac(1)(\lim\limits_(n\to\infty) ln (\frac(1)(n)+1)^n)$.

Prema svojstvu kontinuiteta logaritma i svojstvu granica za kontinuiranu funkciju: $\lim\limits_(x\to x_0)ln(f(x))=ln(\lim\limits_f(x))$, gdje je $f(x)$ ima pozitivnu granicu $\lim\limits_(x\to x_0)f(x)$. Dakle, zbog činjenice da je logaritam kontinuiran i da postoji pozitivna granica $\lim\limits_(n\to\infty)(\frac(1)(n)+1)^n$, možemo zaključiti:

$\lim\limits_(n\to\infty)ln(1+\frac(1)(n))^n=ln\lim\limits_(n\to\infty)ln(1+\frac(1)( n))^n=ln e=1$.

Koristimo vrijednost druge divne granice $\lim\limits_(n\to\infty)(1+\frac(1)(n))^n=e$. Dobijamo:

$y"= e^x\frac(1)(\lim\limits_(n\to\infty) ln(\frac(1)(n)+1)^n) = e^x\cdot\frac(1 )(ln e) = e^x\cdot\frac(1)(1)=e^x$.

Dakle, izveli smo formulu za izvod eksponenta i možemo tvrditi da je izvod eksponenta na stepen od $x$ ekvivalentan eksponentu na stepen od $x$:

Postoje i drugi načini da se ova formula izvede koristeći druge formule i pravila.

Primjer 1

Razmotrimo primjer pronalaženja derivacije funkcije.

Stanje: Pronađite izvod funkcije $y=2^x + 3^x + 10^x + e^x$.

Rješenje: Primijenite formulu $(a^x)"=a^x\cdot ln a$ na pojmove $2^x, 3^x$ i $10^x$. Prema izvedenoj formuli $(e^x)"= e^x$ četvrti pojam $e^x$ se ne mijenja.

Odgovori: $y" = 2^x\cdot ln 2 + 3^x\cdot ln 3 + 10^x\cdot ln 10 + e^x$.

Tako smo izveli formulu $(e^x)"=e^x$, dok smo davali definicije osnovnih pojmova, analizirali smo primjer pronalaženja izvoda funkcije sa eksponentom kao jednim od pojmova.

Prilikom izvođenja prve formule tablice, polazit ćemo od definicije derivacije funkcije u tački. Hajde da uzmemo gde x- bilo koji realan broj, tj. x– bilo koji broj iz područja definicije funkcije. Zapišimo granicu omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta na:

Treba napomenuti da se pod znakom granice dobija izraz, koji nije nesigurnost nule podijeljene sa nulom, jer brojnik ne sadrži beskonačno malu vrijednost, već upravo nulu. Drugim riječima, prirast konstantne funkcije je uvijek nula.

Na ovaj način, derivacija konstantne funkcijejednaka je nuli na cijelom domenu definicije.

Derivat funkcije stepena.

Formula za izvod funkcije stepena ima oblik , gdje je eksponent str je bilo koji realan broj.

Hajde da prvo dokažemo formulu za prirodni eksponent, odnosno za p = 1, 2, 3, ...

Koristićemo definiciju derivata. Zapišimo granicu omjera prirasta funkcije snage i prirasta argumenta:

Da bismo pojednostavili izraz u brojiocu, okrećemo se Newtonovoj binomnoj formuli:

shodno tome,

Ovo dokazuje formulu za izvod funkcije stepena za prirodni eksponent.

Derivat eksponencijalne funkcije.

Izvodimo formulu derivata na osnovu definicije:

Došao u neizvjesnost. Da bismo ga proširili, uvodimo novu varijablu , i za . Onda . U posljednjem prijelazu koristili smo formulu za prijelaz na novu bazu logaritma.

Izvršimo zamjenu u originalnom limitu:

Ako se prisjetimo druge izvanredne granice, dolazimo do formule za izvod eksponencijalne funkcije:

Derivat logaritamske funkcije.

Dokažimo formulu za izvod logaritamske funkcije za sve x iz opsega i svih važećih osnovnih vrijednosti a logaritam. Po definiciji derivacije, imamo:

Kao što ste primijetili, u dokazu su transformacije provedene korištenjem svojstava logaritma. Jednakost vrijedi zbog drugog značajnog ograničenja.

Derivati ​​trigonometrijskih funkcija.

Da bismo izveli formule za izvode trigonometrijskih funkcija, morat ćemo se prisjetiti nekih trigonometrijskih formula, kao i prve izvanredne granice.

Po definiciji derivacije za sinusnu funkciju, imamo .

Koristimo formulu za razliku sinusa:

Ostaje da se okrenemo prvoj izuzetnoj granici:

Dakle, derivacija funkcije sin x tu je cos x.

Formula za kosinusni derivat je dokazana na potpuno isti način.

Dakle, derivacija funkcije cos x tu je –sin x.

Izvođenje formula za tablicu izvoda za tangentu i kotangens vršit će se korištenjem dokazanih pravila diferencijacije (derivacija razlomka).

Derivati ​​hiperboličkih funkcija.

Pravila diferencijacije i formula za izvod eksponencijalne funkcije iz tablice derivacija nam omogućavaju da izvedemo formule za izvode hiperboličkog sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa.

Derivat inverzne funkcije.

Da ne bi bilo zabune u prezentaciji, označimo u donjem indeksu argument funkcije pomoću koje se vrši diferencijacija, odnosno derivacija funkcije f(x) on x.

Sada formulišemo pravilo za pronalaženje derivacije inverzne funkcije.

Neka funkcije y = f(x) i x = g(y) međusobno inverzni, definisani na intervalima i respektivno. Ako u nekoj tački postoji konačan izvod funkcije koji nije nula f(x), tada u točki postoji konačan izvod inverzne funkcije g(y), i . U drugom unosu .

Ovo pravilo se može preformulisati za bilo koje x iz intervala , onda dobijamo .

Provjerimo valjanost ovih formula.

Nađimo inverznu funkciju za prirodni logaritam (ovdje y je funkcija, i x- argument). Rješavanje ove jednadžbe za x, dobijamo (ovde x je funkcija, i y njen argument). To je, i međusobno inverzne funkcije.

Iz tabele derivata to vidimo i .

Uvjerimo se da nas formule za pronalaženje izvoda inverzne funkcije dovedu do istih rezultata: