III nivo

3.1. Hiperbola dodiruje redove 5 x – 6y – 16 = 0, 13x – 10y– – 48 = 0. Zapišite jednačinu hiperbole, pod uslovom da se njene ose poklapaju sa koordinatnim osa.

3.2. Napišite jednačine tangenti na hiperbolu

1) prolaz kroz tačku A(4, 1), B(5, 2) i C(5, 6);

2) paralelno sa pravom 10 x – 3y + 9 = 0;

3) okomito na pravu 10 x – 3y + 9 = 0.

parabola je mjesto tačaka u ravni čije koordinate zadovoljavaju jednačinu

Parabole parabole:

Dot F(str/2, 0) se zove fokus parabole, magnituda str – parametar , tačka O(0, 0) – samit . Istovremeno, direktno OF, oko koje je parabola simetrična, definira os ove krive.

Vrijednost gdje M(x, y) je proizvoljna tačka parabole, naziva se fokusni radijus , ravno D: x = –str/2 – ravnateljica (ne siječe unutrašnjost parabole). Vrijednost naziva se ekscentricitet parabole.

Glavno karakteristično svojstvo parabole: sve tačke parabole su jednako udaljene od direktrise i fokusa (slika 24).

Postoje i drugi oblici jednadžbe kanonske parabole koji određuju druge smjerove njenih grana u koordinatnom sistemu (slika 25):

Za parametrijska definicija parabole kao parametar t vrijednost ordinate tačke parabole može se uzeti:

gdje t je proizvoljan realan broj.

Primjer 1 Odredite parametre i oblik parabole iz njene kanonske jednadžbe:

Rješenje. 1. Jednačina y 2 = –8x definira parabolu sa vrhom u tački O Ox. Njegove grane su usmjerene lijevo. Poređenje ove jednačine sa jednačinom y 2 = –2px, nalazimo: 2 str = 8, str = 4, str/2 = 2. Dakle, fokus je u tački F(–2; 0), jednadžba direktrise D: x= 2 (slika 26).

2. Jednačina x 2 = –4y definira parabolu sa vrhom u tački O(0; 0), simetrično oko ose Oy. Njegove grane su usmjerene prema dolje. Poređenje ove jednačine sa jednačinom x 2 = –2py, nalazimo: 2 str = 4, str = 2, str/2 = 1. Dakle, fokus je u tački F(0; –1), jednadžba direktrisa D: y= 1 (slika 27).

Primjer 2 Definirajte parametre i tip krive x 2 + 8x – 16y– 32 = 0. Napravite crtež.

Rješenje. Transformiramo lijevu stranu jednadžbe koristeći metodu punog kvadrata:

x 2 + 8x– 16y – 32 =0;

(x + 4) 2 – 16 – 16y – 32 =0;

(x + 4) 2 – 16y – 48 =0;

(x + 4) 2 – 16(y + 3).

Kao rezultat, dobijamo

(x + 4) 2 = 16(y + 3).

Ovo je kanonska jednadžba parabole s vrhom u tački (–4; –3), parametar str= 8, grane usmjerene prema gore (), os x= -4. Fokus je na tački F(–4; –3 + str/2), tj. F(–4; 1) Direktorica D je dato jednačinom y = –3 – str/2 ili y= -7 (Sl. 28).

Primjer 4 Sastavite jednadžbu parabole sa vrhom u tački V(3; –2) i fokus na tačku F(1; –2).

Rješenje. Tem i fokus ove parabole leže na pravoj liniji paralelnoj sa osi Ox(iste ordinate), grane parabole su usmjerene ulijevo (apscisa fokusa je manja od apscise vrha), udaljenost od fokusa do vrha je str/2 = 3 – 1 = 2, str= 4. Dakle, željena jednačina

(y+ 2) 2 = –2 4( x– 3) ili ( y + 2) 2 = = –8(x – 3).

Zadaci za samostalno rješavanje

I nivo

1.1. Odredite parametre parabole i konstruirajte je:

1) y 2 = 2x; 2) y 2 = –3x;

3) x 2 = 6y; 4) x 2 = –y.

1.2. Napišite jednačinu parabole sa vrhom u početnoj točki ako znate da:

1) parabola se nalazi u lijevoj poluravni simetrično oko ose Ox i str = 4;

2) parabola se nalazi simetrično oko ose Oy i prolazi kroz tačku M(4; –2).

3) direktrisa je data jednačinom 3 y + 4 = 0.

1.3. Napišite jednačinu za krivu, čije su sve tačke jednako udaljene od tačke (2; 0) i prave linije x = –2.

II nivo

2.1. Definirajte tip i parametre krive.

Za ostale čitatelje predlažem da značajno dopune svoje školsko znanje o paraboli i hiperboli. Hiperbola i parabola - je li jednostavno? … Ne čekajte =)

Hiperbola i njena kanonska jednadžba

Opšta struktura prezentacije materijala će ličiti na prethodni paragraf. Počnimo s općim konceptom hiperbole i problemom njene konstrukcije.

Kanonska jednadžba hiperbole ima oblik , gdje su pozitivni realni brojevi. Imajte na umu da, za razliku od elipsa, uvjet ovdje nije nametnut, odnosno vrijednost "a" može biti manja od vrijednosti "be".

Moram reći, sasvim neočekivano... jednačina "školske" hiperbole ni približno ne liči na kanonski zapis. Ali ova zagonetka će nas i dalje morati čekati, ali za sada hajde da se počešemo po potiljku i prisjetimo se koje karakteristične karakteristike ima krivulja koja se razmatra? Raširimo to na ekran naše mašte graf funkcije ….

Hiperbola ima dvije simetrične grane.

Dobar napredak! Svaka hiperbola ima ova svojstva, a sada ćemo sa iskrenim divljenjem gledati na izrez ove linije:

Primjer 4

Konstruirajte hiperbolu zadanu jednadžbom

Rješenje: u prvom koraku ovu jednačinu dovodimo u kanonski oblik. Molimo zapamtite tipičnu proceduru. Na desnoj strani trebate dobiti "jedan", tako da oba dijela originalne jednadžbe dijelimo sa 20:

Ovdje možete smanjiti obje frakcije, ali je optimalnije napraviti svaki od njih trospratni:

I tek nakon toga izvršiti redukciju:

Odabiremo kvadrate u nazivnicima:

Zašto je bolje izvršiti transformaciju na ovaj način? Uostalom, razlomci lijeve strane mogu se odmah smanjiti i dobiti. Činjenica je da smo u primjeru koji razmatramo imali malo sreće: broj 20 je djeljiv i sa 4 i sa 5. U opštem slučaju, takav broj ne radi. Razmotrimo, na primjer, jednadžbu . Ovdje je sa djeljivošću sve tužnije i bez trospratni razlomci više nije potrebno:

Dakle, iskoristimo plod našeg rada - kanonsku jednačinu:

Kako izgraditi hiperbolu?

Postoje dva pristupa konstruisanju hiperbole - geometrijski i algebarski.
Sa praktične tačke gledišta, crtanje šestarom... rekao bih čak i utopijski, pa je mnogo isplativije opet pribaviti jednostavne proračune u pomoć.

Preporučljivo je da se pridržavate sljedećeg algoritma, prvo gotov crtež, a zatim komentare:

U praksi se često susreće kombinacija rotacije kroz proizvoljan ugao i paralelnog prevođenja hiperbole. O ovoj situaciji se govori u lekciji. Redukcija linija 2. reda na kanonski oblik.

Parabola i njena kanonska jednadžba

Gotovo je! Ona je najviše. Spremni otkriti mnoge tajne. Kanonska jednadžba parabole ima oblik , gdje je realan broj. Lako je uočiti da u svom standardnom položaju parabola "leži na svojoj strani", a njen vrh je u početku. U ovom slučaju, funkcija postavlja gornju granu ove linije, a funkcija postavlja donju granu. Očigledno, parabola je simetrična oko ose. Zapravo, šta se kupati:

Primjer 6

Napravi parabolu

Rješenje: vrh je poznat, hajde da nađemo dodatne tačke. Jednačina određuje gornji luk parabole, jednačina određuje donji luk.

Kako bismo skratili rekord, izvršićemo proračune "pod istim kistom":

Za kompaktnu notaciju, rezultati se mogu sažeti u tabeli.

Prije izvođenja elementarnog crtanja tačku po tačku, formuliramo strogi

definicija parabole:

Parabola je skup svih tačaka u ravni koje su jednako udaljene od date tačke i date prave koja ne prolazi kroz tačku.

Tačka se zove fokus parabole, ravna linija ravnateljica (napisano sa jednim "es") parabole. Konstanta "pe" kanonske jednadžbe se zove fokalni parametar, što je jednako udaljenosti od fokusa do direktrise. U ovom slučaju . U ovom slučaju fokus ima koordinate, a direktrisa je data jednadžbom.
U našem primjeru:

Definiciju parabole je čak lakše razumjeti od definicija elipse i hiperbole. Za bilo koju tačku parabole, dužina segmenta (udaljenost od fokusa do tačke) jednaka je dužini okomice (udaljenost od tačke do direktrise):

Čestitamo! Mnogi od vas danas su došli do pravog otkrića. Ispada da hiperbola i parabola uopće nisu grafovi "običnih" funkcija, već imaju izraženo geometrijsko porijeklo.

Očigledno, sa povećanjem fokalnog parametra, grane grafa će se „širiti“ gore-dole, približavajući se osi beskonačno blizu. Sa smanjenjem vrijednosti "pe", oni će se početi skupljati i rastezati duž ose

Ekscentricitet bilo koje parabole jednak je jedan:

Rotacija i translacija parabole

Parabola je jedna od najčešćih linija u matematici i moraćete da je gradite veoma često. Stoga, obratite posebnu pažnju na završni paragraf lekcije, gdje ću analizirati tipične opcije za lokaciju ove krivulje.

! Bilješka : kao iu slučajevima s prethodnim krivuljama, ispravnije je govoriti o rotaciji i paralelnom translaciji koordinatnih osa, ali će se autor ograničiti na pojednostavljenu verziju prikaza kako bi čitatelj imao elementarnu ideju o ove transformacije.

Funkcija oblika , gdje se zove kvadratna funkcija.

Graf kvadratne funkcije − parabola.

Razmotrite slučajeve:

SLUČAJ I, KLASIČNA PARABOLA

To je , ,

Da biste izgradili, popunite tabelu zamjenom x vrijednosti u formulu:

Označite bodove (0;0); (1;1); (-1;1) itd. na koordinatnoj ravni (što manji korak uzmemo x vrijednosti (u ovom slučaju, korak 1), a što više x vrijednosti uzmemo, to je kriva glatkija), dobijamo parabolu:

Lako je vidjeti da ako uzmemo slučaj , , , odnosno, onda ćemo dobiti parabolu simetričnu oko ose (ox). To je lako provjeriti popunjavanjem slične tabele:

II SLUČAJ, "a" RAZLIČIT OD JEDNE

Šta će se dogoditi ako uzmemo , , ? Kako će se promijeniti ponašanje parabole? Sa title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

Prva slika (vidi gore) jasno pokazuje da su tačke iz tabele za parabolu (1;1), (-1;1) transformisane u tačke (1;4), (1;-4), tj. sa istim vrednostima, ordinata svake tačke se množi sa 4. Ovo će se desiti sa svim ključnim tačkama originalne tabele. Slično raspravljamo u slučajevima slika 2 i 3.

A kada parabola "postane šira" parabola:

da rezimiramo:

1)Predznak koeficijenta je odgovoran za smjer grana. Sa title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Apsolutna vrijednost koeficijent (modulus) je odgovoran za “širenje”, “kompresiju” parabole. Što je veća, što je parabola uža, što je |a| manja, to je parabola šira.

SLUČAJ III, "C" SE POJAVA

Sada idemo u igru ​​(to jest, razmatramo slučaj kada ), razmotrit ćemo parabole oblika . Lako je pogoditi (uvijek možete pogledati tabelu) da će se parabola kretati gore ili dolje duž ose, ovisno o predznaku:

IV POJAVA SE SLUČAJ, "b".

Kada će se parabola „otrgnuti“ od ose i konačno će „prošetati“ duž cele koordinatne ravni? Kada prestane da bude jednak.

Ovdje nam je potrebno da bismo konstruirali parabolu formula za izračunavanje vrha: , .

Dakle, u ovoj tački (kao u tački (0; 0) novog koordinatnog sistema) izgradićemo parabolu, koja je već u našoj moći. Ako imamo posla sa slučajem, onda od vrha odvajamo jedan jedinični segment desno, jedan gore, - rezultirajuća tačka je naša (slično, korak ulijevo, korak gore je naša tačka); ako imamo posla, na primjer, onda odozgo odvajamo jedan segment desno, dva - gore itd.

Na primjer, vrh parabole:

Sada je glavna stvar koju treba razumjeti je da ćemo na ovom vrhu izgraditi parabolu prema šablonu parabole, jer u našem slučaju.

Prilikom konstruisanja parabole nakon pronalaženja koordinata vrha je vrloPogodno je razmotriti sljedeće točke:

1) parabola mora proći kroz tačku . Zaista, zamjenom x=0 u formulu, dobijamo da . To jest, ordinata tačke preseka parabole sa osom (oy), to je. U našem primjeru (iznad), parabola siječe y-osu na , budući da .

2) osa simetrije parabole je prava linija, tako da će sve tačke parabole biti simetrične oko nje. U našem primjeru odmah uzimamo tačku (0; -2) i gradimo parabolu simetričnu oko ose simetrije, dobijamo tačku (4; -2) kroz koju će parabola proći.

3) Izjednačujući sa , nalazimo točke presjeka parabole s osom (ox). Da bismo to učinili, rješavamo jednačinu. U zavisnosti od diskriminanta, dobićemo jedan (, ), dva ( title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . U prethodnom primjeru imamo korijen diskriminanta - ne cijeli broj, kada ga gradimo, nema smisla da pronađemo korijene, ali jasno možemo vidjeti da ćemo imati dvije točke presjeka sa (oh) osa (od naslova = "(!LANG: Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Pa hajde da vežbamo

Algoritam za konstruisanje parabole ako je data u obliku

1) odrediti smjer grana (a>0 - gore, a<0 – вниз)

2) pronađite koordinate vrha parabole po formuli , .

3) nalazimo tačku preseka parabole sa osom (oy) slobodnim članom, gradimo tačku simetričnu datoj u odnosu na osu simetrije parabole (treba napomenuti da se dešava da je neisplativo označiti ovu tačku, na primjer, jer je vrijednost velika... preskačemo ovu tačku...)

4) U pronađenoj tački - vrhu parabole (kao u tački (0; 0) novog koordinatnog sistema), gradimo parabolu. If title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Pronalazimo točke presjeka parabole sa osom (oy) (ako one same još nisu „isplivale“) rješavajući jednačinu

Primjer 1

Primjer 2

Napomena 1. Ako nam je parabola u početku data u obliku , gdje su neki brojevi (na primjer, ), tada će biti još lakše izgraditi je, jer smo već dobili koordinate vrha . Zašto?

Uzmimo kvadratni trinom i odaberimo puni kvadrat u njemu: Gledajte, ovdje smo dobili to , . Ranije smo zvali vrh parabole, odnosno sada,.

Na primjer, . Označavamo vrh parabole na ravnini, razumijemo da su grane usmjerene prema dolje, parabola je proširena (relativno). To jest, izvodimo korake 1; 3; 4; 5 iz algoritma za konstruisanje parabole (vidi gore).

Napomena 2. Ako je parabola data u obliku sličnom ovome (tj. predstavljena kao proizvod dva linearna faktora), tada odmah vidimo tačke presjeka parabole sa (x) osom. U ovom slučaju - (0;0) i (4;0). U ostalom postupamo prema algoritmu, otvarajući zagrade.

6. Teorema o dekompoziciji determinante na zbir determinanti i njene posljedice.

7. Teorema o dekompoziciji determinante u smislu elemenata reda (kolone) i posljedice iz nje.

8. Operacije nad matricama i njihovim svojstvima. Dokaži jednu od njih.

9. Operacija transpozicije matrice i njena svojstva.

10. Definicija inverzne matrice. Dokažite da svaka invertibilna matrica ima samo jednu inverziju.

13. Blok matrice. Zbrajanje i množenje blok matrica. Teorema o determinanti kvazitrouglaste matrice.

14. Teorema o determinanti proizvoda matrica.

15. Teorema o postojanju inverzne matrice.

16. Određivanje ranga matrice. Osnovna mala teorema i njena posljedica.

17. Koncept linearne zavisnosti redova i stupaca matrice. Teorema o rangu matrice.

18. Metode za izračunavanje ranga matrice: metoda graničnih minora, metoda elementarnih transformacija.

19. Primjena elementarnih transformacija samo redova (samo kolona) za pronalaženje inverzne matrice.

20. Sistemi linearnih jednačina. Kriterijum kompatibilnosti i kriterijum sigurnosti.

21. Rješenje zajedničkog sistema linearnih jednačina.

22. Homogeni sistemi linearnih jednadžbi. Teorema o postojanju fundamentalnog sistema rješenja.

23. Linearne operacije nad vektorima i njihova svojstva. Dokaži jednu od njih.

24. Određivanje razlike dva vektora. Dokazati da za bilo koji vektor i razlika postoji i da je jedinstvena.

25. Definicija baze, koordinate vektora u bazi. Teorema o ekspanziji vektora u smislu baze.

26. Linearna zavisnost vektora. Svojstva koncepta linearne zavisnosti dokazuju jedno od njih.

28. Dekartov koordinatni sistem u prostoru, na ravni i na pravoj liniji. Teorema o linearnoj kombinaciji vektora i posljedice iz nje.

29. Izvođenje formula koje izražavaju koordinate tačke u jednom dsk kroz koordinate iste tačke u drugom dsk.

30. Skalarni proizvod vektora. Definicija i osnovna svojstva.

31. Vektorski proizvod vektora. Definicija i osnovna svojstva.

32. Mješoviti proizvod vektora. Definicija i osnovna svojstva.

33. Dvostruki unakrsni proizvod vektora. Definicija i formula za proračun (bez dokaza).

34. Algebarske linije i površine. Teoreme o invarijantnosti (invarijantnosti) reda.

35. Opšte jednačine ravni i prave.

36. Parametarske jednačine prave i ravni.

37. Prijelaz sa općih jednačina ravnine i prave na ravni na njihove parametarske jednačine. Geometrijsko značenje koeficijenata a, b, c (a, c) u opštoj jednačini ravni (prava na ravni).

38. Isključivanje parametra iz parametarskih jednačina na ravni (u prostoru), kanonske jednačine prave.

39. Vektorske jednadžbe prave i ravni.

40. Opšte jednačine prave u prostoru, svođenje na kanonski oblik.

41. Udaljenost od tačke do ravni. Udaljenost od tačke do prave. Ostali problemi u vezi sa linijama i ravnima.

42. Definicija elipse. Kanonska jednadžba elipse. Parametarske jednadžbe elipse. Ekscentricitet elipse.

44. Definicija parabole. Izvođenje jednadžbe kanonske parabole.

45. Krive drugog reda i njihova klasifikacija. Glavna teorema o kvp.

45. Površine drugog reda i njihova klasifikacija. Glavna teorema o pvp-u. Površine revolucije.

47. Definicija linearnog prostora. Primjeri.

49. Definicija euklidskog prostora. Dužina vektora. Ugao između vektora. Nejednakost Cauchy-Bunyakovsky. Primjer.

50. Definicija euklidskog prostora. Pitagorina teorema. Primjer nejednakosti trokuta.

44. Definicija parabole. Izvođenje jednadžbe kanonske parabole.

definicija: Parabola je mjesto tačaka u ravni za koje je udaljenost do neke fiksne tačke F ove ravni jednaka udaljenosti do neke fiksne prave linije. Tačka F naziva se fokus parabole, a fiksna linija direktrisa parabole.

Da bismo izveli jednačinu, konstruišemo:

WITH po definiciji:

Kako je 2 >=0, onda parabola leži u desnoj poluravni. Kako se x povećava od 0 do beskonačnosti
. Parabola je simetrična u odnosu na Ox. Tačka presjeka parabole sa njenom osom simetrije naziva se vrh parabole.

45. Krive drugog reda i njihova klasifikacija. Glavna teorema o kvp.

Postoji 8 vrsta KVP-a:

1.elipse

2.hiperbole

3.parabole

Krive 1,2,3 su kanonski presjeci. Ako konus presiječemo ravninom koja je paralelna osi konusa, dobićemo hiperbolu. Ako je ravan paralelna sa generatrisom, onda je parabola. Sve ravnine ne prolaze kroz vrh konusa. Ako bilo koja druga ravan onda elipsa.

4. par paralelnih pravih y 2 + a 2 =0, a0

5. par linija koje se sijeku y 2 -k 2 x 2 \u003d 0

6.jedna linija y 2 =0

7.jedan bod x 2 + y 2 =0

8. prazan skup - prazna kriva (kr. bez tačaka) x 2 + y 2 +1=0 ili x 2 + 1=0

Teorema (glavna teorema o KVP): Tipska jednadžba

a 11 x 2 + 2a 12 x y + a 22 y 2 + 2a 1 x + 2a 2 y+a 0 = 0

može predstavljati samo krivu jednog od navedenih osam tipova.

Ideja za dokaz je prelazak na koordinatni sistem u kojem KVP jednačina poprima svoj najjednostavniji oblik kada vrsta krive koju predstavlja postane očigledna. Teorema se dokazuje rotacijom koordinatnog sistema za takav ugao pod kojim član sa proizvodom koordinata nestaje. I uz pomoć paralelnog prevođenja koordinatnog sistema, u kojem nestaje ili član sa promenljivom x ili član sa promenljivom y.

Prelazak na novi koordinatni sistem: 1. Paralelni prijenos

2. Okrenite se

45. Površine drugog reda i njihova klasifikacija. Glavna teorema o pvp-u. Površine revolucije.

P VP - skup tačaka čije pravougaone koordinate zadovoljavaju jednačinu 2. stepena: (1)

Pretpostavlja se da je barem jedan od koeficijenata na kvadratima ili na produktima različit od 0. Jednačina je invarijantna u odnosu na izbor koordinatnog sistema.

Teorema Bilo koja ravan siječe PVP duž PVP-a, osim u posebnom slučaju kada sekcija sadrži cijelu ravan (PVP može biti ravan ili par ravnina).

Postoji 15 vrsta PVP-a. Navodimo ih navođenjem jednačina po kojima su date u odgovarajućim koordinatnim sistemima. Ove jednačine se nazivaju kanonskim (jednostavnim). Izgradite geometrijske slike koje odgovaraju kanonskim jednadžbama metodom paralelnih presjeka: Prekrižite površinu s koordinatnim ravnima i ravnima paralelnim njima. Rezultat su presjeci i krivulje koje daju ideju o obliku površine.

1. Elipsoid.

Ako je a=b=c onda dobijamo sferu.

2. Hiperboloidi.

jedan). Hiperboloid sa jednim listom:

Presjek jednolisnog hiperboloida po koordinatnim ravninama: XOZ:
- hiperbola.

YOZ:
- hiperbola.

Avion XOY:
- elipsa.

2). Hiperboloid sa dva lista.

Porijeklo koordinata je tačka simetrije.

Koordinatne ravni su ravni simetrije.

Avion z = h siječe hiperboloid u elipsi
, tj. avion z = h počinje presijecati hiperboloid na | h |  c. Poprečni presjek hiperboloida ravninama x = 0 i y = 0 su hiperbola.

Brojevi a,b,c u jednadžbama (2),(3),(4) nazivaju se poluosi elipsoida i hiperboloida.

3. Paraboloidi.

jedan). Eliptični paraboloid:

Ravan presjek z = h tu je
, gdje
. Iz jednačine se može vidjeti da je z  0 beskonačna posuda.

Raskrsnica ravnine y = h i x= h
je parabola i

2). Hiperbolički paraboloid:

Očigledno je da su ravni XOZ i YOZ ravni simetrije, a osa z je osa paraboloida. Presjek paraboloida s ravninom z = h- hiperbola:
,
. Avion z=0 siječe hiperbolički paraboloid duž dvije ose
koje su asimptote.

4. Konus i cilindri drugog reda.

jedan). Konus je površina
. Konus je uokviren pravim linijama koje prolaze kroz ishodište 0 (0, 0, 0). Presjek konusa je elipsa sa poluosama
.

2). Cilindri drugog reda.

To je eliptični cilindar
.

Koju god pravu da uzmemo koja siječe elipse i paralelna je sa Oz osom, onda ona zadovoljava ovu jednačinu. Pomicanjem ove linije oko elipse dobijamo površinu.

G hiperbolički cilindar:

Na ravni KAKO, ovo je hiperbola. Pravu koja siječe hiperbolu pomičemo paralelno sa Oz duž hiperbole.

Parabolički cilindar:

H a ravan KAKO je parabola.

Cilindrične površine formiraju se ravnom linijom (generatorom) koja se kreće paralelno sa sobom duž određene prave linije (vodiče).

10. Par ravnina koje se seku

11. Par paralelnih ravni

12.
- ravno

13. Prava linija - "cilindar" izgrađen na jednoj tački

14.Jedan bod

15. Prazan set

Glavna teorema o PVP-u: Svaki PVP pripada jednom od 15 tipova o kojima smo gore govorili. Nema drugih PVP-ova.

Površine revolucije. Neka je zadan PDCS Oxyz, a u ravni Oyz prava e definisana jednačinom F(y,z)=0 (1). Sastavimo jednadžbu površine dobijenu rotacijom ove linije oko ose Oz. Uzmite tačku M(y, z) na pravoj e. Kada se ravan Oyz rotira oko Oza, tačka M će opisati kružnicu. Neka je N(X,Y,Z) proizvoljna tačka ovog kruga. Jasno je da je z=Z.

.

Zamjenom pronađenih vrijednosti z i y u jednačinu (1) dobijamo tačnu jednakost:
one. koordinate tačke N zadovoljavaju jednačinu
. Dakle, bilo koja tačka površine okretanja zadovoljava jednačinu (2). Nije teško dokazati da ako tačka N(x 1 ,y 1 ,z 1) zadovoljava jednačinu (2) onda pripada razmatranoj površini. Sada možemo reći da je jednačina (2) željena jednačina za površinu okretanja.

"

Parabola je mjesto tačaka u ravni jednako udaljenoj od date tačke F

i data prava dd koja ne prolazi kroz datu tačku. Ova geometrijska definicija izražava parabola svojstvo imenika.

Svojstvo imenika parabola

Tačka F naziva se fokus parabole, prava d se naziva direktrisa parabole, središte O okomice spuštene iz fokusa na direktrisu je vrh parabole, udaljenost p od fokusa do direktrise je parametar parabole, a udaljenost p2 od vrha parabole do njenog fokusa je žižna daljina. Prava linija okomita na direktrisu i koja prolazi kroz fokus naziva se osa parabole (fokalna osa parabole). Segment FM koji povezuje proizvoljnu tačku M parabole sa svojim fokusom naziva se žarišni radijus tačke

M. Segment koji spaja dvije tačke parabole naziva se tetiva parabole.

Za proizvoljnu tačku parabole, omjer udaljenosti do fokusa i udaljenosti do direktrise jednak je jedan. Uspoređujući svojstva imenika elipse, hiperbole i parabole, zaključujemo da ekscentricitet parabole je po definiciji jednako jedan

Geometrijska definicija parabole, izražavajući svojstvo imenika, ekvivalentno je njegovoj analitičkoj definiciji - liniji datoj kanonskom jednadžbom parabole:

Svojstva

• Ima os simetrije tzv parabola osa. Os prolazi kroz fokus i vrh okomito na direktrisu.
• optička svojstva. Snop zraka paralelan s osom parabole, reflektiran u paraboli, skuplja se u svom fokusu. Obrnuto, svjetlost iz izvora koji je u fokusu reflektira se parabolom u snop zraka paralelnih njegovoj osi.
• Ako se fokus parabole reflektuje u odnosu na tangentu, tada će njena slika ležati na direktrisi.
• Segment koji povezuje polovinu proizvoljne tetive parabole i točku presjeka tangenti na nju na krajevima te tetive okomit je na direktrisu, a njegova sredina leži na paraboli.
• Parabola je antipodera linije.
• Sve parabole su slične. Udaljenost između fokusa i direktrise određuje skalu.

Funkcija jedne realne varijable: osnovni pojmovi, primjeri.

Definicija: Ako svaka vrijednost x numeričkog skupa X prema pravilu f odgovara jednom broju skupa Y, onda kažu da je funkcija y \u003d f (x) data na numeričkom skupu X, vrijednosti ​​od x su određene skupom vrijednosti uključenih u domenu definicije funkcije (X).
U ovom slučaju, x se naziva argument, a y vrijednost funkcije. Skup X se naziva domenom definicije funkcije, Y se naziva skup vrijednosti funkcije.
Često se ovo pravilo daje formulom; na primjer, y \u003d 2x + 5. Navedena metoda specificiranja funkcije pomoću formule naziva se analitička.
Funkcija se može postaviti i grafom - Graf funkcije y - f (x) je skup tačaka u ravnini, koordinate x, koje zadovoljavaju odnos y = f (x).