\(\DeclareMathOperator(\tg)(tg)\)\(\DeclareMathOperator(\ctg)(ctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arctg)(arctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arcctg)(arcctg) \)

Sadržaj

Monotonost funkcije na intervalu Ako na intervalu \((a;b)\) za bilo koji par tačaka \((x_1) raste na ovom intervalu.

Ako na intervalu \((a;b)\) za bilo koji par tačaka \((x_1)(f(x_2))\), onda funkcija \(f(x)\) smanjuje se na ovom intervalu.

Funkcija čiji je graf prikazan na slici raste na intervalu \((a;b)\) i opada na intervalu \((b;c)\).

Dovoljni kriteriji za monotonost funkcije na intervalu Dovoljan kriterijum za povećanje funkcije
Ako je \(f"(x)>0\) u svim tačkama \(x\in(a;b)\), tada funkcija \(f(x)\) raste na intervalu \((a;b) \) .

Dovoljan kriterij za smanjenje funkcije
Ako \(f"(x)

Tačke lokalnih ekstrema Ako je u nekom intervalu \((a;b)\) koji sadrži tačku \(x_0\) za sve \(x\in(a;b)\) nejednakost \(f(x)\geqslant f(x_0)\ ), a u ovom intervalu postoji tačka \(x_1\) takva da je \(f(x_1)>f(x_0)\), zatim \(x_0\) - lokalna minimalna tačka funkcije \(f(x)\).

Ako je u nekom intervalu \((a;b)\) koji sadrži tačku \(x_0\) za sve \(x\in(a;b)\) nejednakost \(f(x)\leqslant f(x_0)\ ), a u ovom intervalu postoji tačka \(x_1\) takva da je \(f(x_1) tačka lokalnog maksimuma funkcije \(f(x)\).

Točke lokalnih minimuma i maksimuma se nazivaju tačke lokalnih ekstrema.

Slika ispod prikazuje graf funkcije \(f(x)\) i tačke njenih lokalnih ekstrema su označene: \(x_1,\; x_2,\; x_3,\; x_4\).

\(x_1\) i \(x_3\) su tačke lokalnih minimuma, \(x_2\) i \(x_4\) su tačke lokalnih maksimuma.
U tačkama \(x_1,\; x_3\) i \(x_4\) derivacija postoji i jednaka je nuli - tangente na graf (prikazan crvenim linijama) u ovim tačkama su paralelne sa x-osom.
U tački \(x_2\) derivacija nije definirana. U ovom trenutku, tangenta na graf se ne može nacrtati.

Znakovi visokog i niskog Ako je u tački \(x_0\) funkcija \(f\) kontinuirana, a njena derivacija \(f'\) mijenja svoj predznak sa plusa na minus u ovoj tački (tj. postoji takav interval \(( a;x_0)\ ) tako da je \(f'>0\) na \((a;x_0)\) i interval \((x_0;b)\) takav da je \(f'
Ako je u tački \(x_0\) funkcija \(f\) kontinuirana, a njena derivacija \(f'\) promijeni svoj predznak od minus do plus u ovoj tački (to jest, postoji takav interval \(( a;x_0)\ ) da je \(f' 0\) na \((x_0;b)\)), tada je \(x_0\) minimalna tačka funkcije \(f\).

Minimalne i maksimalne tačke funkcije su tačke domene definicije ove funkcije (odnosno vrednosti \(x\)). Vrijednosti funkcije u ovim tačkama (vrijednosti \(y\) koje odgovaraju ovim \(x\)) nazivaju se lows i highs funkcije respektivno.

Na primjer, za funkciju \(y=x^2+1\): \(\;x=0\) je minimalna tačka, a \(y(0)=1\) je minimum.

Pronalaženje minimalnih i maksimalnih bodova Da biste pronašli minimalnu i maksimalnu tačku kontinuirane funkcije \(f(x)\) trebate:

2) naći nule izvoda (rešiti jednačinu \(f"(x)=0\)) i tačke u kojima derivacija nije definisana;

3) naći predznake izvoda na svakom od rezultujućih intervala;

4) one tačke u kojima je funkcija \(f\) kontinuirana, a njen izvod mijenja predznak iz “+” u “-“ - tačke maksimuma ove funkcije,

one tačke u kojima je funkcija \(f\) neprekidna, a njen izvod mijenja predznak sa “-“ na “+” - minimalne tačke ove funkcije.

Najveća i najmanja vrijednost funkcije na segmentu Funkcija koja je kontinuirana na segmentu dostiže maksimalnu i minimalnu vrijednost na ovom segmentu.

Da biste pronašli najveću i najmanju vrijednost kontinuirane funkcije \(f(x)\) na segmentu, trebate:

1) naći izvod \ (f "(x) \) ove funkcije;

2) naći kritične tačke, odnosno nule izvoda (rešiti jednačinu \ (f "(x) = 0 \)) i tačke u kojima derivacija nije definisana;

3) naći vrednost funkcije u kritičnim tačkama, kao i na krajevima segmenta;

4) najveća od dobijenih vrijednosti će biti najveća vrijednost funkcije na ovom segmentu,

najmanja od dobijenih vrijednosti bit će najmanja vrijednost funkcije na ovom segmentu.

Maksimalna vrijednost funkcije \(f(x)\) na intervalu \(\) je označena sa \(\max\limits_()f(x)\)

Najmanja vrijednost funkcije \(f(x)\) na intervalu \(\) je označena sa \(\min\limits_()f(x)\)

Pronađite najveću vrijednost funkcije y=(7x^2-56x+56)e^x na segmentu [-3; 2].

Prikaži rješenje

Odluka

Pronađite izvod originalne funkcije po formuli za izvod proizvoda y"=(7x^2-56x+56)"e^x\,+ (7x^2-56x+56)\levo(e^x\desno)"= (14x-56)e^x+(7x^2-56x+56)e^x= (7x^2-42x)e^x= 7x(x-6)e^x. Izračunajmo nule izvoda: y"=0;

7x(x-6)e^x=0,

x_1=0, x_2=6.

Postavimo predznake derivacije i odredimo intervale monotonosti izvorne funkcije na datom intervalu.

Sa slike se vidi da je na segmentu [-3; 0] originalna funkcija raste, a opada u intervalu. Dakle, najveća vrijednost na intervalu [-3; 2] se postiže pri x=0 i jednako je y(0)= 7\cdot 0^2-56\cdot 0+56=56.

Odgovori

Stanje

Odrediti najveću vrijednost funkcije y=12x-12tg x-18 na segmentu \lijevo.

Prikaži rješenje

Odluka

y"= (12x)"-12(tgx)"-(18)"= 12-\frac(12)(\cos ^2x)= \frac(12\cos ^2x-12)(\cos ^2x)\leqslant0. To znači da originalna funkcija nije u porastu na intervalu koji se razmatra i da poprima najveću vrijednost na lijevom kraju segmenta, odnosno na x=0. Najveća vrijednost je y(0)= 12\cdot 0-12tg(0)-18= -18.

Odgovori

Izvor: „Matematika. Priprema za ispit-2017. nivo profila. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Stanje

Pronađite minimalnu tačku funkcije y=(x+8)^2e^(x+52).

Prikaži rješenje

Odluka

Minimalnu tačku funkcije ćemo pronaći koristeći derivaciju. Nađimo derivaciju date funkcije koristeći formule za izvod proizvoda, derivaciju x^\alpha i e^x:

y"(x)= \left((x+8)^2\desno)"e^(x+52)+(x+8)^2\left(e^(x+52)\desno)"= 2(x+8)e^(x+52)+(x+8)^2e^(x+52)= (x+8)e^(x+52)(2+x+8)= (x+8)(x+10)e^(x+52).

Složimo predznake derivacije i odredimo intervale monotonosti izvorne funkcije. e^(x+52)>0 za bilo koje x . y"=0 kada x=-8, x=-10.

Slika pokazuje da funkcija y=(x+8)^2e^(x+52) ima jednu minimalnu tačku x=-8.

Odgovori

Izvor: „Matematika. Priprema za ispit-2017. nivo profila. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Stanje

Pronađite maksimalnu tačku funkcije y=8x-\frac23x^\tfrac32-106.

Prikaži rješenje

Odluka

ODZ: x \geqslant 0. Pronađite izvod originalne funkcije:

y"=8-\frac23\cdot\frac32x^\tfrac12=8-\sqrt x.

Izračunajmo nule derivacije:

8-\sqrtx=0;

\sqrtx=8;

x=64.

Složimo predznake derivacije i odredimo intervale monotonosti izvorne funkcije.

Sa slike se vidi da je tačka x=64 jedina maksimalna tačka date funkcije.

Odgovori

Izvor: „Matematika. Priprema za ispit-2017. nivo profila. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Stanje

Pronađite najmanju vrijednost funkcije y=5x^2-12x+2\ln x+37 na segmentu \left[\frac35; \frac75\desno].

Prikaži rješenje

Odluka

ODZ: x>0.

Pronađite izvod originalne funkcije:

y"(x)= 10x-12+\frac(2)(x)= \frac(10x^2-12x+2)(x).

Definirajmo nule izvoda: y"(x)=0;

\frac(10x^2-12x+2)(x)=0,

5x^2-6x+1=0,

x_(1,2)= \frac(3\pm\sqrt(3^2-5\cdot1))(5)= \frac(3\pm2)(5),

x_1=\frac15\notin\left[\frac35; \frac75\right],

x_2=1\in\levo[\frac35; \frac75\desno].

Sređujemo predznake derivacije i određujemo intervale monotonosti izvorne funkcije na intervalu koji se razmatra.

To se vidi iz slike koja se nalazi na segmentu \left[\frac35; 1\desno] originalna funkcija je opadajuća, a na segmentu \lijevo povećava. Dakle, najmanja vrijednost na segmentu \left[\frac35; \frac75\right] je postignut na x=1 i jednak je y(1)= 5\cdot 1^2-12\cdot 1+2 \ln 1+37= 30.

Odgovori

Izvor: „Matematika. Priprema za ispit-2017. nivo profila. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Stanje

Pronađite najveću vrijednost funkcije y=(x+4)^2(x+1)+19 na segmentu [-5; -3].

Prikaži rješenje

Odluka

Pronađite izvod originalne funkcije koristeći formulu za izvod proizvoda.

Povećanje, smanjenje i ekstremi funkcije

Pronalaženje intervala povećanja, smanjenja i ekstrema funkcije je i samostalan zadatak i važan dio drugih zadataka, posebno, studija pune funkcije. Date su početne informacije o porastu, smanjenju i ekstremima funkcije teorijsko poglavlje o derivatu, što toplo preporučujem za preliminarnu studiju (ili ponavljanje)- također iz razloga što je sljedeći materijal zasnovan na samom suština derivatašto je skladan nastavak ovog članka. Mada, ako vrijeme ističe, onda je moguća i čisto formalna razrada primjera današnje lekcije.

I danas je u zraku duh rijetke jednodušnosti i direktno osjećam da svi prisutni gore od želje naučiti istraživati ​​funkciju koristeći derivat. Stoga se razumna dobra vječna terminologija odmah pojavljuje na ekranima vaših monitora.

Zašto? Jedan od najpraktičnijih razloga je: da vam bude jasno šta se generalno traži od vas u određenom zadatku!

Monotonost funkcije. Ekstremne tačke i ekstremi funkcije

Razmotrimo neku funkciju. Pojednostavljeno, pretpostavljamo da kontinuirano na cijeloj brojevnoj pravoj:

Za svaki slučaj, odmah ćemo se riješiti mogućih iluzija, posebno za one čitatelje koji su se nedavno upoznali sa intervali konstantnosti predznaka funkcije. Sada mi NEZAINTERESOVAN, kako se graf funkcije nalazi u odnosu na osu (iznad, ispod, gdje prelazi os). Radi uvjerljivosti, mentalno obrišite osi i ostavite jedan grafikon. Jer interes je u tome.

Funkcija povećava na intervalu ako je za bilo koje dvije točke ovog intervala povezane relacijom , nejednakost je istinita. Odnosno, veća vrijednost argumenta odgovara većoj vrijednosti funkcije, a njen graf ide „odozdo prema vrhu“. Demo funkcija raste u intervalu .

Isto tako, funkcija smanjuje se na intervalu ako za bilo koje dvije točke datog intervala, tako da je , nejednakost je istinita. To jest, veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije, a njen graf ide „od vrha do dna“. Naša funkcija se smanjuje tokom intervala .

Ako funkcija raste ili opada u intervalu, onda se ona poziva strogo monotono na ovom intervalu. Šta je monotonost? Shvatite to doslovno - monotonija.

Također je moguće definirati neopadajući funkcija (opušteno stanje u prvoj definiciji) i bez povećanja funkcija (ublaženi uslov u 2. definiciji). Neopadajuća ili nerastuća funkcija na intervalu naziva se monotonom funkcijom na datom intervalu (stroga monotonost je poseban slučaj "samo" monotonosti).

Teorija također razmatra i druge pristupe određivanju povećanja / smanjenja funkcije, uključujući polu-intervale, segmente, ali kako vam ne bismo sipali ulje-ulje-ulje na glavu, pristajemo da radimo s otvorenim intervalima sa kategoričkim definicijama - ovo je jasnije i za rješavanje mnogih praktičnih problema sasvim dovoljno.

dakle, u mojim člancima, formulacija "monotonost funkcije" će se gotovo uvijek sakriti intervalima stroga monotonija(strogo povećanje ili strogo smanjenje funkcije).

Point susjedstvo. Reči nakon kojih se učenici razbacuju gde god mogu, i užasnuto se kriju po ćoškovima. …Iako nakon objave Cauchy granice vjerovatno se više ne kriju, već se samo lagano zadrhte =) Ne brini, sada neće biti dokaza o teoremama matematičke analize - trebao mi je susjedstvo da rigoroznije formulišem definicije ekstremne tačke. pamtimo:

Neighbourhood point imenuje interval koji sadrži datu tačku, dok se radi pogodnosti često pretpostavlja da je interval simetričan. Na primjer, tačka i njeno standardno susjedstvo:

U osnovi definicije:

Tačka se zove stroga maksimalna tačka, ako postoje njen komšiluk, za sve vrijednosti od kojih je, osim same tačke, nejednakost ispunjena. U našem konkretnom primjeru, ovo je poenta.

Tačka se zove stroga minimalna tačka, ako postoje njen komšiluk, za sve vrijednosti od kojih je, osim same tačke, nejednakost ispunjena. Na crtežu - tačka "a".

Bilješka : zahtjev da susjedstvo bude simetrično uopće nije potrebno. Osim toga, važno je sama činjenica postojanja susjedstvo (iako sićušno, čak i mikroskopsko) koje zadovoljava navedene uslove

Tačke se zovu tačke strogog ekstremuma ili jednostavno ekstremne tačke funkcije. Odnosno, to je generalizovani termin za maksimalne i minimalne poene.

Kako razumjeti riječ "ekstremum"? Da, direktno kao i monotonija. Ekstremne tačke rolerkostera.

Kao iu slučaju monotonosti, u teoriji postoje i još češći nestrogi postulati (pod koje, naravno, spadaju smatrani strogi slučajevi!):

Tačka se zove maksimalni poen, ako postoje njegova okolina, takva da za sve
Tačka se zove minimalna tačka, ako postoje njegova okolina, takva da za sve vrijednosti ovog susjedstva, vrijedi nejednakost.

Imajte na umu da se prema posljednje dvije definicije, svaka tačka konstantne funkcije (ili „ravna površina“ neke funkcije) smatra i maksimalnom i minimalnom točkom! Funkcija je, inače, i nerastuća i neopadajuća, odnosno monotona. Međutim, te argumente prepuštamo teoretičarima, budući da u praksi gotovo uvijek razmišljamo o tradicionalnim „brdima“ i „udubinama“ (vidi crtež) s jedinstvenim „kraljem brda“ ili „močvarskom princezom“. Kao varijanta, javlja se tačka, usmjeren gore ili dolje, na primjer, minimum funkcije u točki .

Oh, i kad smo kod kraljevske porodice:
- značenje se zove maksimum funkcije;
- značenje se zove minimum funkcije.

Uobičajeno ime - ekstremi funkcije.

Molimo budite oprezni sa svojim riječima!

ekstremne tačke su "x" vrijednosti.
Ekstremi- vrijednosti "igre".

! Bilješka : ponekad se navedeni pojmovi odnose na tačke "x-y" koje leže direktno na GRAFIKU funkcije.

Koliko ekstrema može imati funkcija?

Ništa, 1, 2, 3, … itd. do beskonačnosti. Na primjer, sinus ima beskonačan broj minimuma i maksimuma.

BITAN! Izraz "maksimalna funkcija" nije identično izraz "maksimalna vrijednost funkcije". Lako je uočiti da je vrijednost maksimalna samo u ovdašnjoj četvrti, a u gornjem lijevom kutu su „naglo drugovi“. Isto tako, "minimalna funkcija" nije isto što i "minimalna vrijednost funkcije", a na crtežu možemo vidjeti da je vrijednost minimalna samo na određenom području. U tom smislu se nazivaju i ekstremne tačke lokalne ekstremne tačke, i ekstremi lokalni ekstremi. Šetaju i lutaju okolo i globalno braćo. Dakle, svaka parabola ima na svom vrhu globalni minimum ili globalni maksimum. Nadalje, neću praviti razliku između vrsta ekstrema, a objašnjenje je izraženo više u općeobrazovne svrhe - dodatni pridjevi "lokalni" / "globalni" ne bi trebali biti iznenađeni.

Sumirajmo našu kratku digresiju u teoriju uz kontrolni snimak: šta podrazumijeva zadatak „pronaći intervale monotonosti i ekstremne tačke funkcije“?

Formulacija traži da se pronađe:

- intervali povećanja / smanjenja funkcije (neopadajući, nerastući se pojavljuju mnogo rjeđe);

– maksimalne i/ili minimalne bodove (ako ih ima). Pa, bolje je sami pronaći minimume/maksimume iz neuspjeha ;-)

Kako sve ovo definisati? Uz pomoć derivirane funkcije!

Kako pronaći intervale povećanja, smanjenja,
ekstremne tačke i ekstremumi funkcije?

Mnoga pravila su, zapravo, već poznata i shvaćena lekcija o značenju izvedenice.

Tangentni derivat nosi dobre vijesti da se funkcija sve više povećava domene.

Sa kotangensom i njegovim derivatom situacija je upravo suprotna.

Arksinus raste na intervalu - derivacija je ovdje pozitivna: .
Za , funkcija je definirana, ali nije diferencibilna. Međutim, u kritičnoj tački nalaze se desna derivacija i desna tangenta, a na drugoj ivici njihovi lijevi parnjaci.

Mislim da vam neće biti teško izvesti slično razmišljanje za ark kosinus i njegovu derivaciju.

Svi ovi slučajevi, od kojih mnogi jesu tabelarne izvedenice, podsjećam, pratite direktno iz definicije derivata.

Zašto istraživati ​​funkciju s derivatom?

Da biste dobili bolju predstavu o tome kako izgleda graf ove funkcije: gdje ide "odozdo prema gore", gdje ide "od vrha prema dolje", gdje dostiže najniže razine (ako uopće). Nisu sve funkcije tako jednostavne - u većini slučajeva općenito nemamo ni najmanju ideju o grafu određene funkcije.

Vrijeme je da prijeđemo na značajnije primjere i razmotrimo algoritam za pronalaženje intervala monotonosti i ekstrema funkcije:

Primjer 1

Pronađite intervale povećanja/spadanja i ekstreme funkcije

Odluka:

1) Prvi korak je pronaći opseg funkcije, a također zabilježite tačke prekida (ako postoje). U ovom slučaju, funkcija je kontinuirana na cijeloj realnoj liniji, a ova radnja je donekle formalna. Ali u nekim slučajevima ovdje se razbuktaju ozbiljne strasti, pa hajde da se prema paragrafu odnosimo bez zanemarivanja.

2) Druga tačka algoritma je dospjela

neophodan uslov za ekstrem:

Ako u tački postoji ekstremum, tada vrijednost ili ne postoji.

Zbunjeni zbog kraja? Ekstremum funkcije "modulo x" .

uslov je neophodan, ali nije dovoljno, a obrnuto nije uvijek tačno. Dakle, iz jednakosti još ne slijedi da funkcija doseže maksimum ili minimum u točki . Klasičan primjer je već osvijetljen iznad - ovo je kubna parabola i njena kritična tačka.

Ali kako god bilo, neophodni uslov za ekstrem diktira potrebu za pronalaženjem sumnjivih tačaka. Da biste to učinili, pronađite izvod i riješite jednačinu:

Na početku prvog članka o grafovima funkcija Rekao sam vam kako brzo izgraditi parabolu koristeći primjer : "... uzimamo prvi izvod i izjednačavamo ga sa nulom: ... Dakle, rješenje naše jednadžbe: - u ovoj tački se nalazi vrh parabole ...". Sada, mislim, svi razumiju zašto je vrh parabole upravo u ovoj tački =) Uopšteno govoreći, trebali bismo početi sa sličnim primjerom ovdje, ali je previše jednostavan (čak i za čajnik). Osim toga, postoji analog na samom kraju lekcije o derivirajuća funkcija. Pa da podignemo nivo:

Primjer 2

Pronađite intervale monotonosti i ekstreme funkcije

Ovo je "uradi sam" primjer. Kompletno rješenje i približan završni uzorak problema na kraju lekcije.

Došao je dugo očekivani trenutak susreta sa frakcionim racionalnim funkcijama:

Primjer 3

Istražite funkciju koristeći prvi izvod

Obratite pažnju na to kako se varijantno može preformulisati jedan te isti zadatak.

Odluka:

1) Funkcija trpi beskonačne prekide u točkama .

2) Otkrivamo kritične tačke. Nađimo prvi izvod i izjednačimo ga sa nulom:

Hajde da riješimo jednačinu. Razlomak je nula kada mu je brojilac nula:

Tako dobijamo tri kritične tačke:

3) Odvojite SVE otkrivene tačke na brojevnoj pravoj i intervalna metoda definisati predznake DERIVATA:

Podsjećam vas da trebate uzeti neku tačku intervala, izračunati vrijednost derivacije u njoj i odredi njegov predznak. Isplativije je ni ne brojati, već verbalno „procijeniti“. Uzmite, na primjer, tačku koja pripada intervalu i izvršite zamjenu: .

Dva "plusa" i jedan "minus" daju "minus", dakle, što znači da je izvod negativan na cijelom intervalu.

Akcija, kao što razumijete, mora se izvesti za svaki od šest intervala. Usput, imajte na umu da su faktor brojila i nazivnik striktno pozitivni za bilo koju tačku bilo kojeg intervala, što uvelike pojednostavljuje zadatak.

Dakle, derivat nam je rekao da se SAMA FUNKCIJA povećava za i smanjuje se za . Pogodno je pričvrstiti intervale iste vrste pomoću ikone spoja.

U trenutku kada funkcija dostigne svoj maksimum:
U trenutku kada funkcija dostigne svoj minimum:

Razmislite zašto ne možete preračunati drugu vrijednost ;-)

Prilikom prolaska kroz tačku derivacija ne mijenja predznak, tako da funkcija tu NEMA EKSTREMA - i smanjila se i ostala u opadanju.

! Ponovimo jednu važnu tačku: tačke se ne smatraju kritičnim - one imaju funkciju neodređeno. Shodno tome, evo ekstremumi u principu ne mogu biti(čak i ako derivacija promijeni predznak).

Odgovori: funkcija se povećava za i opada na U tački kada je dostignut maksimum funkcije: , a na tački - minimum: .

Poznavanje intervala monotonosti i ekstrema, zajedno sa utvrđenim asimptote već daje vrlo dobru ideju o izgledu grafa funkcije. Prosječna osoba može verbalno utvrditi da graf funkcije ima dvije vertikalne asimptote i jednu kosu asimptotu. Evo naseg heroja:

Pokušajte ponovo povezati rezultate studije sa grafikonom ove funkcije.
Ne postoji ekstremum na kritičnoj tački, ali postoji krivulja(što se po pravilu dešava u sličnim slučajevima).

Primjer 4

Pronađite ekstreme funkcije

Primjer 5

Pronađite intervale monotonosti, maksimume i minimume funkcije

... samo neka vrsta praznika X-u-a-cube ispada danas ....
Jaooo, ko je tamo u galeriji ponudio piće za ovo? =)

Svaki zadatak ima svoje suštinske nijanse i tehničke suptilnosti, koje se komentarišu na kraju lekcije.

Ovo je prilično zanimljiv dio matematike s kojim se susreću apsolutno svi diplomirani studenti i studenti. Međutim, ne vole svi matan. Neki ne razumiju čak ni osnovne stvari kao što je naizgled standardna studija funkcija. Ovaj članak ima za cilj da ispravi ovaj previd. Želite li saznati više o analizi funkcija? Želite li znati šta su ekstremne tačke i kako ih pronaći? Onda je ovaj članak za vas.

Istraživanje grafa funkcije

Za početak, vrijedi razumjeti zašto je uopće potrebno analizirati grafikon. Postoje jednostavne funkcije koje je lako nacrtati. Upečatljiv primjer takve funkcije je parabola. Nije teško nacrtati njen grafikon. Sve što je potrebno je jednostavnom transformacijom pronaći brojeve kod kojih funkcija poprima vrijednost 0. U principu, ovo je sve što trebate znati da biste nacrtali graf parabole.

Ali što ako je funkcija koju trebamo grafički prikazati mnogo složenija? Kako su svojstva složenih funkcija prilično neočigledna, potrebno je izvršiti cjelovitu analizu. Tek tada se funkcija može grafički prikazati. Kako uraditi? Odgovor na ovo pitanje možete pronaći u ovom članku.

Plan analize funkcija

Prvo što treba učiniti je izvršiti površno proučavanje funkcije, tokom kojeg ćemo pronaći domen definicije. Dakle, počnimo redom. Domen definicije je skup onih vrijednosti kojima je funkcija definirana. Jednostavno rečeno, ovo su brojevi koji se mogu koristiti u funkciji umjesto x. Da biste odredili obim, samo trebate pogledati unos. Na primjer, očito je da funkcija y (x) \u003d x 3 + x 2 - x + 43 ima domenu definicije - skup realnih brojeva. Pa, sa funkcijom kao što je (x 2 - 2x) / x, sve je malo drugačije. Pošto broj u nazivniku ne bi trebao biti jednak 0, tada će domen ove funkcije biti svi realni brojevi, osim nule.

Zatim morate pronaći takozvane nule funkcije. Ovo su vrijednosti argumenta za koje cijela funkcija uzima vrijednost nulu. Da biste to učinili, potrebno je funkciju izjednačiti s nulom, detaljno je razmotriti i izvršiti neke transformacije. Uzmimo već poznatu funkciju y(x) = (x 2 - 2x)/x. Iz školskog predmeta znamo da je razlomak 0 kada je brojilac nula. Stoga odbacujemo imenilac i počinjemo raditi s brojnikom, izjednačavajući ga sa nulom. Dobijamo x 2 - 2x \u003d 0 i izvadimo x iz zagrada. Dakle, x (x - 2) = 0. Kao rezultat, nalazimo da je naša funkcija jednaka nuli kada je x jednako 0 ili 2.

Tokom proučavanja grafa funkcije, mnogi se suočavaju s problemom u obliku ekstremnih tačaka. I to je čudno. Uostalom, ekstremi su prilično jednostavna tema. Ne vjerujete? Uvjerite se i sami čitajući ovaj dio članka, u kojem ćemo govoriti o minimalnim i maksimalnim bodovima.

Za početak, vrijedi razumjeti šta je ekstremum. Ekstremum je granična vrijednost koju funkcija doseže na grafu. Iz ovoga se ispostavlja da postoje dvije ekstremne vrijednosti - maksimum i minimum. Radi jasnoće, možete pogledati gornju sliku. Na istraživanom području tačka -1 je maksimum funkcije y (x) = x 5 - 5x, a tačka 1 je minimum.

Takođe, nemojte miješati pojmove jedni s drugima. Ekstremne tačke funkcije su oni argumenti u kojima data funkcija dobija ekstremne vrednosti. Zauzvrat, ekstrem je vrijednost minimuma i maksimuma funkcije. Na primjer, ponovo razmotrite gornju sliku. -1 i 1 su tačke ekstrema funkcije, a 4 i -4 su sami ekstremi.

Pronalaženje ekstremnih tačaka

Ali kako pronaći ekstremne tačke funkcije? Sve je prilično jednostavno. Prvo što treba učiniti je pronaći derivaciju jednačine. Recimo da smo dobili zadatak: "Pronađi tačke ekstrema funkcije y (x), x je argument. Radi jasnoće, uzmimo funkciju y (x) = x 3 + 2x 2 + x + 54. Razlikujemo i dobijemo sljedeću jednačinu: 3x 2 + 4x + 1. Kao rezultat, dobili smo standardnu ​​kvadratnu jednačinu. Sve što treba uraditi je da je izjednačimo sa nulom i pronađemo korijene. Pošto je diskriminanta veća od nule (D \u003d 16 - 12 \u003d 4), ova jednadžba je određena sa dva korijena. Pronalazimo ih i dobivamo dvije vrijednosti: 1/3 i -1. Ovo će biti tačke ekstrema funkcije. Međutim, kako još uvijek možete odrediti ko je ko? Koja tačka je maksimum, a koja minimum? Da biste to uradili, morate uzeti susjednu tačku i saznati njenu vrijednost. Na primjer, uzmimo broj -2, koji je lijevo duž koordinate liniju od -1 Ovu vrijednost zamjenjujemo u našu jednačinu y (-2) = 12 - 8 + 1 = 5. Kao rezultat, dobili smo pozitivan broj.To znači da je na intervalu od 1/3 do -1 funkcija raste, što znači da u intervalima od min od beskonačnosti do 1/3 i od -1 do plus beskonačnosti, funkcija se smanjuje. Dakle, možemo zaključiti da je broj 1/3 minimalna tačka funkcije na ispitivanom intervalu, a -1 maksimalna tačka.

Također je vrijedno napomenuti da ispit zahtijeva ne samo pronalaženje ekstremnih bodova, već i izvođenje neke vrste operacije s njima (sabiranje, množenje, itd.). Iz tog razloga vrijedi obratiti posebnu pažnju na uslove problema. Uostalom, zbog nepažnje možete izgubiti bodove.

Važan koncept u matematici je funkcija. Uz njegovu pomoć, možete vizualizirati mnoge procese koji se događaju u prirodi, odražavati odnos između određenih veličina pomoću formula, tablica i slika na grafikonu. Primjer je ovisnost pritiska sloja tekućine na tijelo o dubini uranjanja, ubrzanja - o djelovanju određene sile na predmet, porasta temperature - o prenesenoj energiji i mnogim drugim procesima. Proučavanje funkcije uključuje crtanje grafa, pronalaženje njenih svojstava, domena definicije i vrijednosti, intervala povećanja i smanjenja. Važna tačka u ovom procesu je pronalaženje ekstremnih tačaka. O tome kako to učiniti kako treba, a razgovor će se nastaviti.

O samom konceptu na konkretnom primjeru

U medicini, izgradnja grafa funkcije može reći o toku razvoja bolesti u tijelu pacijenta, jasno odražavajući njegovo stanje. Pretpostavimo da je vrijeme u danima iscrtano duž ose OX, a temperatura ljudskog tijela duž ose OY. Slika jasno pokazuje kako ovaj indikator naglo raste, a zatim pada. Također je lako uočiti singularne točke koje odražavaju trenutke kada funkcija, nakon što se prethodno povećala, počinje opadati i obrnuto. To su ekstremne točke, odnosno kritične vrijednosti (maksimalne i minimalne) u ovom slučaju temperature pacijenta, nakon čega dolazi do promjena u njegovom stanju.

Ugao nagiba

Sa slike je lako odrediti kako se derivacija funkcije mijenja. Ako se ravne linije grafikona povećavaju tokom vremena, onda je pozitivan. I što su strmiji, to je veća vrijednost derivacije, kako se ugao nagiba povećava. U periodima opadanja, ova vrijednost poprima negativne vrijednosti, okrećući se na nulu u tačkama ekstrema, a grafik derivacije u posljednjem slučaju se crta paralelno sa OX osom.

Svaki drugi proces treba tretirati na isti način. Ali najbolji način da se kaže o ovom konceptu je kretanje različitih tijela, jasno prikazano na grafikonima.

Kretanje

Pretpostavimo da se neki objekt kreće pravolinijski, ravnomjerno dobijajući brzinu. U tom periodu promjena koordinata tijela grafički predstavlja određenu krivu, koju bi matematičar nazvao granom parabole. Istovremeno, funkcija se stalno povećava, jer se koordinatni indikatori mijenjaju sve brže i brže svake sekunde. Grafikon brzine pokazuje ponašanje derivata čija se vrijednost također povećava. To znači da pokret nema kritične tačke.

Ovo bi se nastavilo u nedogled. Ali šta ako tijelo iznenada odluči da uspori, stane i počne se kretati u drugom smjeru? U tom slučaju, koordinatni indikatori će se početi smanjivati. A funkcija će proći kritičnu vrijednost i pretvoriti se iz rastuće u opadajuću.

U ovom primjeru opet možete razumjeti da se tačke ekstrema na grafu funkcije pojavljuju u trenucima kada ona prestane biti monotona.

Fizičko značenje izvedenice

Ono što je ranije opisano jasno je pokazalo da je derivacija u suštini stopa promjene funkcije. Ova prefinjenost sadrži svoje fizičko značenje. Ekstremne tačke su kritične oblasti na grafikonu. Moguće ih je saznati i otkriti izračunavanjem vrijednosti derivacije za koju se ispostavi da je jednaka nuli.

Postoji još jedan znak, koji je dovoljan uslov za ekstrem. Derivat na takvim mjestima fleksije mijenja svoj znak: od "+" do "-" u području maksimuma i od "-" do "+" u području minimuma.

Kretanje pod uticajem gravitacije

Zamislimo drugu situaciju. Djeca su je, igrajući se loptom, bacila na takav način da je počela da se kreće pod uglom prema horizontu. U početnom trenutku brzina ovog objekta bila je najveća, ali je pod utjecajem gravitacije počela opadati, i to sa svakom sekundom za istu vrijednost, otprilike 9,8 m/s 2. Ovo je vrijednost ubrzanja koje nastaje pod utjecajem zemljine gravitacije pri slobodnom padu. Na Mesecu bi bio oko šest puta manji.

Grafikon koji opisuje kretanje tijela je parabola s granama usmjerenim prema dolje. Kako pronaći ekstremne tačke? U ovom slučaju, ovo je vrh funkcije, gdje brzina tijela (loptice) poprima nultu vrijednost. Izvod funkcije postaje nula. U tom slučaju se smjer, a time i vrijednost brzine, mijenja u suprotno. Tijelo sa svake sekunde leti sve brže i brže, a ubrzava za isto toliko - 9,8 m/s 2 .

Drugi derivat

U prethodnom slučaju, dijagram modula brzine je nacrtan kao prava linija. Ova linija je najpre usmerena naniže, jer se vrednost ove veličine stalno smanjuje. Kada dosegnu nulu u jednom od vremenskih trenutaka, indikatori ove vrijednosti počinju rasti, a smjer grafičkog prikaza modula brzine dramatično se mijenja. Sada je linija usmjerena prema gore.

Brzina, kao derivacija koordinate u odnosu na vrijeme, također ima kritičnu tačku. U ovoj regiji, funkcija, koja se u početku smanjuje, počinje rasti. Ovo je mjesto tačke ekstrema derivacije funkcije. U ovom slučaju, nagib tangente postaje nula. A ubrzanje, kao drugi izvod koordinate u odnosu na vrijeme, mijenja predznak iz “-” u “+”. A kretanje od ravnomjerno sporog postaje ravnomjerno ubrzano.

Grafikon ubrzanja

Sada razmotrite četiri brojke. Svaki od njih prikazuje graf promjene tijekom vremena takve fizičke veličine kao što je ubrzanje. U slučaju "A", njegova vrijednost ostaje pozitivna i konstantna. To znači da se brzina tijela, kao i njegova koordinata, stalno povećava. Ako zamislimo da će se objekt kretati na ovaj način beskonačno dugo, ispostavit će se da se funkcija koja odražava ovisnost koordinate o vremenu stalno povećava. Iz ovoga proizilazi da nema kritičnih područja. Na grafu derivacije takođe nema ekstremnih tačaka, odnosno linearno promenljive brzine.

Isto važi i za slučaj "B" sa pozitivnim i stalno rastućim ubrzanjem. Istina, grafovi za koordinate i brzinu ovdje će biti nešto složeniji.

Kada ubrzanje padne na nulu

Gledajući figuru "B", može se uočiti potpuno drugačija slika koja karakterizira kretanje tijela. Njegova brzina će biti grafički prikazana kao parabola sa granama okrenutim prema dolje. Ako nastavimo liniju koja opisuje promjenu ubrzanja sve dok se ne siječe s osom OX, i dalje, onda možemo zamisliti da će se do ove kritične vrijednosti, gdje se ispostavi da je ubrzanje jednako nuli, brzina objekta povećati sve sporije. Ekstremna tačka derivacije koordinatne funkcije bit će tik na vrhu parabole, nakon čega će tijelo radikalno promijeniti prirodu kretanja i početi se kretati u drugom smjeru.

U potonjem slučaju, "G", priroda kretanja se ne može precizno odrediti. Ovdje samo znamo da nema ubrzanja za neki period koji se razmatra. To znači da predmet može ostati na mjestu ili se kretanje odvija konstantnom brzinom.

Zadatak sabiranja koordinata

Pređimo na zadatke koji se često susreću prilikom učenja algebre u školi i koji se nude za pripremu za ispit. Slika ispod prikazuje graf funkcije. Potrebno je izračunati zbir bodova ekstrema.

To ćemo učiniti za y-osu određivanjem koordinata kritičnih područja u kojima se uočava promjena karakteristika funkcije. Jednostavno rečeno, nalazimo vrijednosti duž x-ose za točke pregiba, a zatim nastavljamo sa dodavanjem rezultirajućih pojmova. Prema grafikonu, vidljivo je da imaju sljedeće vrijednosti: -8; -7; -5; -3; -2; jedan; 3. Ovo daje -21, što je odgovor.

Optimalno rješenje

Nije potrebno objašnjavati koliko izbor optimalnog rješenja može biti važan u izvođenju praktičnih zadataka. Na kraju krajeva, postoji mnogo načina da se postigne cilj, a najbolji izlaz, u pravilu, je samo jedan. To je izuzetno potrebno, na primjer, pri projektovanju brodova, svemirskih letjelica i letjelica, arhitektonskih objekata kako bi se pronašao optimalan oblik ovih objekata koje je napravio čovjek.

Brzina vozila uvelike ovisi o kompetentnom minimiziranju otpora koji doživljavaju pri kretanju kroz vodu i zrak, o preopterećenjima koja nastaju pod utjecajem gravitacijskih sila i mnogim drugim pokazateljima. Brodu na moru su potrebne takve kvalitete kao što je stabilnost tokom oluje; za riječni brod je važan minimalni gaz. Prilikom izračunavanja optimalnog dizajna, tačke ekstrema na grafu mogu vizualno dati ideju o najboljem rješenju složenog problema. Zadaci takvog plana često se rješavaju u privredi, u privrednim oblastima, u mnogim drugim životnim situacijama.

Iz antičke istorije

Ekstremni zadaci zaokupljali su čak i drevne mudrace. Grčki naučnici uspješno su razotkrili misteriju površina i volumena kroz matematičke proračune. Oni su prvi shvatili da na ravni različitih figura sa istim perimetrom krug uvijek ima najveću površinu. Slično tome, lopta je obdarena maksimalnom zapreminom među ostalim objektima u prostoru sa istom površinom. Takve poznate ličnosti poput Arhimeda, Euklida, Aristotela, Apolonija posvetile su se rješavanju takvih problema. Heron je vrlo dobro uspio pronaći ekstremne tačke, koji je, pribjegavši ​​proračunima, napravio genijalne uređaje. To su uključivale automatske mašine koje se kreću pomoću pare, pumpe i turbine koje rade na istom principu.

Izgradnja Kartage

Postoji legenda, čija se radnja zasniva na rješavanju jednog od ekstremnih zadataka. Rezultat poslovnog pristupa koji je pokazala feničanska princeza, koja se obratila mudracima za pomoć, bila je izgradnja Kartage. Zemlju za ovaj drevni i slavni grad Didoni (tako se zvao vladar) poklonio je vođa jednog od afričkih plemena. Površina parcele mu se isprva nije činila jako velikom, jer je prema ugovoru morala biti prekrivena volovskom kožom. Ali princeza je naredila svojim vojnicima da ga iseku na tanke trake i od njih naprave pojas. Ispostavilo se da je bio toliko dugačak da je pokrivao područje na kojem je stao cijeli grad.

Poreklo računa

A sada pređimo iz antičkih vremena u kasniju eru. Zanimljivo je da je u 17. veku Kepler bio potaknut da razume osnove matematičke analize susretom sa prodavcem vina. Trgovac je bio toliko upućen u svoju profesiju da je lako mogao odrediti količinu pića u buretu jednostavnim spuštanjem željeznog podveza u nju. Razmišljajući o takvoj radoznalosti, slavni naučnik je uspeo da sam reši ovu dilemu. Pokazalo se da su se tadašnji vješti bačvari odvikli od izrade posuda na način da na određenoj visini i poluprečniku obima prstenova za pričvršćivanje imaju maksimalan kapacitet.

Ovo je za Keplera postalo povod za dalje razmišljanje. Do optimalnog rješenja Bochari su došli dugim traženjem, greškama i novim pokušajima, prenoseći svoje iskustvo s generacije na generaciju. Ali Kepler je želio ubrzati proces i naučiti kako to učiniti za kratko vrijeme kroz matematičke proračune. Sav njegov razvoj, koji su pokupili kolege, pretvorio se u sada poznate teoreme Fermata i Newtona - Leibniza.

Problem pronalaženja maksimalne površine

Zamislite da imamo žicu čija je dužina 50 cm.Kako od nje napraviti pravougaonik koji ima najveću površinu?

Polazeći od odluke treba poći od jednostavnih i dobro poznatih istina. Jasno je da će obim naše figure biti 50 cm. Također se sastoji od dvostrukih dužina obje strane. To znači da, nakon što je jedan od njih označen kao "X", drugi se može izraziti kao (25 - X).

Odavde dobijamo površinu jednaku X (25 - X). Ovaj izraz se može predstaviti kao funkcija koja poprima mnogo vrijednosti. Rješenje problema zahtijeva pronalaženje maksimuma od njih, što znači da treba pronaći tačke ekstrema.

Da bismo to učinili, pronađemo prvi izvod i izjednačimo ga sa nulom. Rezultat je jednostavna jednadžba: 25 - 2X = 0.

Iz njega saznajemo da je jedna od stranica X = 12,5.

Dakle, još jedno: 25 - 12,5 = 12,5.

Ispada da će rješenje problema biti kvadrat sa stranicom od 12,5 cm.

Kako pronaći maksimalnu brzinu

Razmotrimo još jedan primjer. Zamislite da postoji tijelo čije je pravolinijsko kretanje opisano jednačinom S = - t 3 + 9t 2 - 24t - 8, gdje je pređeni put izražen u metrima, a vrijeme u sekundama. Potrebno je pronaći maksimalnu brzinu. Kako uraditi? Preuzeto pronađite brzinu, odnosno prvu derivaciju.

Dobijamo jednačinu: V = - 3t 2 + 18t - 24. Sada, da bismo riješili problem, opet moramo pronaći tačke ekstrema. Ovo se mora uraditi na isti način kao u prethodnom zadatku. Pronalazimo prvi izvod brzine i izjednačavamo ga sa nulom.

Dobijamo: - 6t + 18 = 0. Otuda je t = 3 s. Ovo je vrijeme kada brzina tijela poprima kritičnu vrijednost. Dobijene podatke zamjenjujemo u jednačinu brzine i dobijamo: V = 3 m/s.

Ali kako shvatiti da je to upravo maksimalna brzina, jer kritične tačke funkcije mogu biti njene najveće ili najmanje vrijednosti? Da biste provjerili, morate pronaći drugi izvod brzine. Izražava se kao broj 6 sa znakom minus. To znači da je pronađena tačka maksimum. A u slučaju pozitivne vrijednosti druge derivacije postojao bi minimum. Dakle, pronađeno rješenje je bilo ispravno.

Zadaci dati kao primjer samo su dio onih koji se mogu riješiti pronalaženjem ekstremnih tačaka funkcije. U stvari, ima ih mnogo više. A takvo znanje otvara neograničene mogućnosti ljudskoj civilizaciji.