Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete zahtjev na stranici, mi možemo prikupiti razne informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu Email itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, pravnim postupkom, odnosno na osnovu javnog zahtjeva ili zahtjeva vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

Među čitavom raznolikošću logaritamskih nejednakosti posebno se proučavaju nejednakosti sa promjenjivom bazom. Oni se rješavaju pomoću posebne formule, koja se iz nekog razloga rijetko uči u školi:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

Umjesto polja za potvrdu “∨” možete staviti bilo koji znak nejednakosti: više ili manje. Glavna stvar je da su u obje nejednakosti predznaci isti.

Na ovaj način se oslobađamo logaritama i problem svodimo na racionalnu nejednakost. Potonje je mnogo lakše riješiti, ali pri odbacivanju logaritma mogu se pojaviti dodatni korijeni. Da biste ih odsjekli, dovoljno je pronaći raspon prihvatljivih vrijednosti. Ako ste zaboravili ODZ logaritma, toplo preporučujem da ga ponovite - pogledajte “Šta je logaritam”.

Sve što se odnosi na raspon prihvatljivih vrijednosti mora se posebno napisati i riješiti:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Ove četiri nejednakosti čine sistem i moraju biti zadovoljene istovremeno. Kada je raspon prihvatljivih vrijednosti pronađen, ostaje samo da ga presječemo rješenjem racionalne nejednakosti - i odgovor je spreman.

Zadatak. Riješite nejednačinu:

Prvo, napišimo ODZ logaritma:

Prve dvije nejednakosti su zadovoljene automatski, ali će posljednja morati biti ispisana. Pošto je kvadrat broja nula ako i samo ako je sam broj nula, imamo:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Ispada da su ODZ logaritma svi brojevi osim nule: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Sada rješavamo glavnu nejednačinu:

Vršimo prijelaz sa logaritamske nejednakosti na racionalnu. Originalna nejednakost ima predznak “manje od”, što znači da rezultirajuća nejednakost također mora imati predznak “manje od”. Imamo:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x) · (3 + x) · x 2< 0.

Nule ovog izraza su: x = 3; x = −3; x = 0. Štaviše, x = 0 je korijen drugog višestrukosti, što znači da se pri prolasku kroz njega predznak funkcije ne mijenja. Imamo:

Dobijamo x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Ovaj skup je u potpunosti sadržan u ODZ-u logaritma, što znači da je ovo odgovor.

Pretvaranje logaritamskih nejednakosti

Često je originalna nejednakost drugačija od gornje. Ovo se lako može ispraviti korištenjem standardnih pravila za rad s logaritmima - pogledajte “Osnovna svojstva logaritma”. naime:

1. Bilo koji broj se može predstaviti kao logaritam sa datom bazom;
2. Zbir i razlika logaritama sa istim bazama mogu se zamijeniti jednim logaritmom.

Zasebno, želio bih vas podsjetiti na raspon prihvatljivih vrijednosti. Budući da u izvornoj nejednakosti može biti nekoliko logaritama, potrebno je pronaći VA svakog od njih. Dakle, opšta shema za rješavanje logaritamskih nejednačina je sljedeća:

1. Pronađite VA svakog logaritma uključenog u nejednakost;
2. Nejednakost svesti na standardnu ​​koristeći formule za sabiranje i oduzimanje logaritama;
3. Riješi rezultirajuću nejednačinu koristeći gornju shemu.

Zadatak. Riješite nejednačinu:

Nađimo domen definicije (DO) prvog logaritma:

Rješavamo metodom intervala. Pronalaženje nula brojilaca:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Zatim - nule imenioca:

x − 1 = 0;
x = 1.

Na koordinatnoj strelici označavamo nule i znakove:

Dobijamo x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Drugi logaritam će imati isti VA. Ako ne vjerujete, možete provjeriti. Sada transformiramo drugi logaritam tako da je baza dva:

Kao što vidite, trojke u osnovi i ispred logaritma su smanjene. Dobili smo dva logaritma sa istom bazom. Hajde da ih zbrojimo:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Dobili smo standardnu ​​logaritamsku nejednakost. Riješimo se logaritama pomoću formule. Budući da izvorna nejednakost sadrži znak “manje od”, rezultirajući racionalni izraz također mora biti manji od nule. Imamo:

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2) (2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Imamo dva seta:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Odgovor kandidata: x ∈ (−1; 3).

Ostaje presijecati ove skupove - dobijamo pravi odgovor:

Zanima nas presjek skupova, pa biramo intervale koji su zasjenjeni na obje strelice. Dobijamo x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - sve tačke su izbušene.

Mislite li da ima još vremena do Jedinstvenog državnog ispita i da ćete imati vremena da se pripremite? Možda je to tako. Ali u svakom slučaju, što ranije student počne sa pripremama, to će uspješnije polagati ispite. Danas smo odlučili posvetiti članak logaritamskim nejednačinama. Ovo je jedan od zadataka, što znači mogućnost da dobijete dodatni kredit.

Da li već znate šta je logaritam? Zaista se nadamo. Ali čak i ako nemate odgovor na ovo pitanje, to nije problem. Razumijevanje šta je logaritam je vrlo jednostavno.

Zašto 4? Morate podići broj 3 na ovaj stepen da dobijete 81. Kada shvatite princip, možete nastaviti sa složenijim proračunima.

Prošli ste kroz nejednakosti prije nekoliko godina. I od tada se stalno susrećete sa njima u matematici. Ako imate problema s rješavanjem nejednakosti, pogledajte odgovarajući odjeljak.
Sada kada smo se upoznali s konceptima pojedinačno, pređimo na njihovo razmatranje općenito.

Najjednostavnija logaritamska nejednakost.

Najjednostavnije logaritamske nejednakosti nisu ograničene na ovaj primjer, postoje još tri, samo s različitim predznacima. Zašto je to potrebno? Da bolje razumijemo kako riješiti nejednačine logaritmima. Hajde sada da damo jedan primenljiviji primer, još uvek prilično jednostavan, ostavićemo složene logaritamske nejednakosti za kasnije.

Kako to riješiti? Sve počinje od ODZ-a. Vrijedi znati više o tome ako želite uvijek lako riješiti bilo koju nejednakost.

Šta je ODZ? ODZ za logaritamske nejednakosti

Skraćenica označava raspon prihvatljivih vrijednosti. Ova formulacija se često pojavljuje u zadacima za Jedinstveni državni ispit. ODZ će vam biti od koristi ne samo u slučaju logaritamskih nejednakosti.

Pogledajte ponovo gornji primjer. Na osnovu njega ćemo razmotriti ODZ, kako biste razumjeli princip, a rješavanje logaritamskih nejednačina ne postavlja pitanja. Iz definicije logaritma slijedi da 2x+4 mora biti Iznad nule. U našem slučaju to znači sljedeće.

Ovaj broj, po definiciji, mora biti pozitivan. Riješite gore prikazanu nejednakost. Ovo se čak može učiniti i usmeno, ovdje je jasno da X ne može biti manji od 2. Rješenje nejednakosti će biti definicija raspona prihvatljivih vrijednosti.
Sada pređimo na rješavanje najjednostavnije logaritamske nejednakosti.

Odbacujemo same logaritme sa obe strane nejednakosti. Šta nam ostaje kao rezultat? Jednostavna nejednakost.

To nije teško riješiti. X mora biti veći od -0,5. Sada kombinujemo dve dobijene vrednosti u sistem. dakle,

Ovo će biti raspon prihvatljivih vrijednosti za logaritamsku nejednakost koja se razmatra.

Zašto nam je uopšte potreban ODZ? Ovo je prilika da se iskorijene netačni i nemogući odgovori. Ako odgovor nije u rasponu prihvatljivih vrijednosti, onda odgovor jednostavno nema smisla. Ovo je vrijedno pamćenja dugo vremena, jer u Jedinstvenom državnom ispitu često postoji potreba za traženjem ODZ-a, a ne tiče se samo logaritamskih nejednakosti.

Algoritam za rješavanje logaritamske nejednakosti

Rješenje se sastoji od nekoliko faza. Prvo, morate pronaći raspon prihvatljivih vrijednosti. U ODZ-u će biti dva značenja, o tome smo raspravljali gore. Zatim morate riješiti samu nejednakost. Metode rješenja su sljedeće:

• metoda zamjene množitelja;
• raspadanje;
• metoda racionalizacije.

Ovisno o situaciji, vrijedi koristiti jednu od gore navedenih metoda. Pređimo direktno na rješenje. Otkrijmo najpopularniju metodu koja je pogodna za rješavanje zadataka Jedinstvenog državnog ispita u gotovo svim slučajevima. Zatim ćemo pogledati metodu dekompozicije. Može pomoći ako naiđete na posebno nezgodnu nejednakost. Dakle, algoritam za rješavanje logaritamske nejednakosti.

Primjeri rješenja :

Nije uzalud uzeli upravo ovu nejednakost! Obratite pažnju na bazu. Zapamtite: ako je veći od jedan, predznak ostaje isti kada se pronađe raspon prihvatljivih vrijednosti; u suprotnom, morate promijeniti predznak nejednakosti.

Kao rezultat, dobijamo nejednakost:

Sada lijevu stranu svedemo na oblik jednačine jednak nuli. Umjesto znaka “manje od” stavljamo “jednako” i rješavamo jednačinu. Tako ćemo pronaći ODZ. Nadamo se da ćemo sa rješenjem za ovo jednostavna jednačina nećete imati nikakvih problema. Odgovori su -4 i -2. To nije sve. Ove tačke morate prikazati na grafikonu, stavljajući “+” i “-”. Šta treba učiniti za ovo? Zamijenite brojeve iz intervala u izraz. Tamo gdje su vrijednosti pozitivne, stavljamo "+".

Odgovori: x ne može biti veći od -4 i manji od -2.

Pronašli smo raspon prihvatljivih vrijednosti samo za lijevu stranu; sada moramo pronaći raspon prihvatljivih vrijednosti za desnu stranu. Ovo je mnogo lakše. Odgovor: -2. Presijecamo oba rezultirajuća područja.

I tek sada počinjemo da se bavimo samom nejednakošću.

Pojednostavimo ga što je više moguće kako bismo ga lakše riješili.

Ponovo koristimo metodu intervala u rješenju. Preskočimo kalkulacije s tim je već sve jasno iz prethodnog primjera. Odgovori.

Ali ova metoda je prikladna ako logaritamska nejednakost ima iste baze.

Rješavanje logaritamskih jednačina i nejednačina sa različitim bazama zahtijeva početnu redukciju na istu bazu. Zatim koristite metodu opisanu gore. Ali ima još toga težak slučaj. Razmotrimo jednu od najbrojnijih složene vrste logaritamske nejednakosti.

Logaritamske nejednakosti sa promenljivom bazom

Kako riješiti nejednakosti sa takvim karakteristikama? Da, i takvi se ljudi mogu naći na Jedinstvenom državnom ispitu. Rješavanje nejednačina na sljedeći način također će vam koristiti obrazovni proces. Hajde da pogledamo problem detaljno. Odbacimo teoriju i pređimo odmah na praksu. Za rješavanje logaritamskih nejednakosti dovoljno je jednom se upoznati s primjerom.

Za rješavanje logaritamske nejednakosti prikazanog oblika potrebno je desnu stranu svesti na logaritam s istom osnovom. Princip liči na ekvivalentne prelaze. Kao rezultat, nejednakost će izgledati ovako.

Zapravo, ostaje samo da se napravi sistem nejednakosti bez logaritama. Koristeći metodu racionalizacije, prelazimo na ekvivalentan sistem nejednakosti. Shvatit ćete samo pravilo kada zamijenite odgovarajuće vrijednosti i pratite njihove promjene. Sistem će imati sljedeće nejednakosti.

Kada koristite metodu racionalizacije pri rješavanju nejednačina, morate zapamtiti sljedeće: jedan se mora oduzeti od baze, x, po definiciji logaritma, oduzima se od obje strane nejednakosti (desno slijeva), dva izraza se množe i postavljen pod originalnim predznakom u odnosu na nulu.

Dalje rješenje se provodi metodom intervala, ovdje je sve jednostavno. Važno je da shvatite razlike u metodama rješenja, tada će sve početi lako funkcionirati.

IN logaritamske nejednakosti mnoge nijanse. Najjednostavnije od njih je prilično lako riješiti. Kako možete riješiti svaki od njih bez problema? Već ste dobili sve odgovore u ovom članku. Sada je pred vama duga praksa. Konstantno vježbajte rješavanje raznih zadataka na ispitu i moći ćete dobiti najviši rezultat. Sretno u Vašem teškom zadatku!

Logaritamske nejednakosti

U prethodnim lekcijama smo se upoznali sa logaritamskim jednadžbama i sada znamo šta su i kako ih riješiti. Današnja lekcija će biti posvećena proučavanju logaritamskih nejednakosti. Koje su to nejednakosti i koja je razlika između rješavanja logaritamske jednadžbe i nejednakosti?

Logaritamske nejednakosti su nejednakosti koje imaju varijablu koja se pojavljuje ispod znaka logaritma ili u njegovoj osnovi.

Ili, također možemo reći da je logaritamska nejednačina nejednakost u kojoj će se njena nepoznata vrijednost, kao u logaritamskoj jednadžbi, pojaviti pod znakom logaritma.

Najjednostavnije logaritamske nejednakosti imaju sljedeći oblik:

gdje su f(x) i g(x) neki izrazi koji zavise od x.

Pogledajmo ovo koristeći ovaj primjer: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

Rješavanje logaritamskih nejednačina

Prije rješavanja logaritamskih nejednačina, vrijedi napomenuti da su kada su riješene slične eksponencijalne nejednakosti, naime:

Prvo, kada prelazimo sa logaritma na izraze pod znakom logaritma, takođe treba da uporedimo bazu logaritma sa jedinicom;

Drugo, kada rješavamo logaritamsku nejednakost korištenjem promjene varijabli, moramo rješavati nejednakosti s obzirom na promjenu dok ne dobijemo najjednostavniju nejednakost.

Ali vi i ja smo razmatrali slične aspekte rješavanja logaritamskih nejednačina. Sada obratimo pažnju na prilično značajnu razliku. Svi znamo da logaritamska funkcija ima ograničenu domenu definicije, pa kada prelazimo s logaritama na izraze pod predznakom logaritma, moramo uzeti u obzir raspon dopuštenih vrijednosti (ADV).

Odnosno, to treba uzeti u obzir prilikom odlučivanja logaritamska jednačina Ti i ja možemo prvo pronaći korijene jednadžbe, a zatim provjeriti ovo rješenje. Ali rješavanje logaritamske nejednakosti neće funkcionirati na ovaj način, budući da će prijeći s logaritama na izraze pod predznakom logaritma, biti potrebno zapisati ODZ nejednakosti.

Osim toga, vrijedi zapamtiti da se teorija nejednakosti sastoji od realnih brojeva, koji su pozitivni i negativni brojevi, kao i broj 0.

Na primjer, kada je broj “a” pozitivan, tada trebate koristiti sljedeću notaciju: a >0. U ovom slučaju, i zbir i proizvod ovih brojeva također će biti pozitivni.

Glavni princip rješavanja nejednakosti je zamijeniti je jednostavnijom nejednakošću, ali glavno je da je ona ekvivalentna datoj. Nadalje, također smo dobili nejednakost i ponovo je zamijenili onom koja ima jednostavniji oblik, itd.

Prilikom rješavanja nejednakosti s promjenljivom, potrebno je pronaći sva njena rješenja. Ako dvije nejednačine imaju istu varijablu x, onda su takve nejednakosti ekvivalentne, pod uslovom da se njihova rješenja poklapaju.

Prilikom izvođenja zadataka na rješavanju logaritamskih nejednačina, morate imati na umu da kada je a > 1, tada se logaritamska funkcija povećava, a kada je 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Metode rješavanja logaritamskih nejednačina

Pogledajmo sada neke od metoda koje se primjenjuju pri rješavanju logaritamskih nejednačina. Radi boljeg razumijevanja i asimilacije, pokušat ćemo ih razumjeti na konkretnim primjerima.

Svi znamo da najjednostavnija logaritamska nejednakost ima sljedeći oblik:

U ovoj nejednakosti, V – je jedan od sljedećih znakova nejednakosti:<,>, ≤ ili ≥.

Kada je baza datog logaritma veća od jedan (a>1), čineći prijelaz sa logaritama na izraze pod predznakom logaritma, tada je u ovoj verziji znak nejednakosti sačuvan, a nejednakost će imati sljedeći oblik:

što je ekvivalentno ovom sistemu:

U slučaju kada je osnova logaritma veća od nule i manja od jedan (0

Ovo je ekvivalentno ovom sistemu:

Pogledajmo još primjera rješavanja najjednostavnijih logaritamskih nejednačina prikazanih na slici ispod:

Primjeri rješavanja

Vježbajte. Pokušajmo riješiti ovu nejednakost:

Rješavanje raspona prihvatljivih vrijednosti.

Pokušajmo sada pomnožiti njegovu desnu stranu sa:

Hajde da vidimo šta možemo da smislimo:

Pređimo sada na pretvaranje podlogaritamskih izraza. Zbog činjenice da je osnova logaritma 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
x > 8.

A iz ovoga proizilazi da interval koji smo dobili u potpunosti pripada ODZ-u i da je rješenje takve nejednakosti.

Evo odgovora koji smo dobili:

Šta je potrebno za rješavanje logaritamskih nejednakosti?

Pokušajmo sada analizirati šta nam je potrebno za uspješno rješavanje logaritamskih nejednakosti?

Prvo, koncentrišite svu svoju pažnju i pokušajte da ne pogrešite kada izvodite transformacije koje su date u ovoj nejednakosti. Također, treba imati na umu da je prilikom rješavanja ovakvih nejednačina potrebno izbjegavati proširenja i kontrakcije nejednačina, što može dovesti do gubitka ili sticanja stranih rješenja.

Drugo, kada rješavate logaritamske nejednakosti, morate naučiti logično razmišljati i razumjeti razliku između pojmova kao što su sistem nejednakosti i skup nejednakosti, tako da možete lako odabrati rješenja nejednakosti, a pritom se voditi njenim DL.

Treće, da biste uspješno riješili takve nejednakosti, svako od vas mora savršeno poznavati sva svojstva elementarnih funkcija i jasno razumjeti njihovo značenje. Takve funkcije uključuju ne samo logaritamske, već i racionalne, stepene, trigonometrijske, itd., jednom riječju, sve one koje ste proučavali tijekom školovanje algebra.

Kao što vidite, nakon što ste proučili temu logaritamskih nejednakosti, nema ništa teško u rješavanju ovih nejednakosti, pod uvjetom da ste pažljivi i uporni u postizanju svojih ciljeva. Da biste izbjegli bilo kakve probleme u rješavanju nejednakosti, potrebno je što više vježbati, rješavajući različite zadatke i pritom zapamtiti osnovne metode rješavanja takvih nejednačina i njihovih sistema. Ako ne uspete da rešite logaritamske nejednakosti, trebalo bi da pažljivo analizirate svoje greške kako se ne biste više vraćali na njih u budućnosti.

Zadaća

Da biste bolje razumjeli temu i konsolidirali obrađeni materijal, riješite sljedeće nejednakosti: