Teoreme sabiranja i množenja vjerovatnoća.
Zavisni i nezavisni događaji

Naslov izgleda zastrašujuće, ali je zapravo vrlo jednostavan. U ovoj lekciji ćemo se upoznati sa teoremama sabiranja i množenja verovatnoća događaja, kao i analizirati tipične zadatke koji, uz zadatak za klasičnu definiciju vjerovatnoće sigurno ćete se sresti ili, što je vjerovatnije, već sreli na svom putu. Da biste efikasno proučavali materijale ovog članka, morate znati i razumjeti osnovne pojmove teorija vjerovatnoće i biti u stanju da izvodi jednostavne aritmetičke operacije. Kao što vidite, potrebno je vrlo malo, pa je stoga masni plus u aktivi gotovo zagarantovan. Ali, s druge strane, opet upozoravam na površan odnos prema praktičnim primjerima - ima i dovoljno suptilnosti. Sretno:

Teorema sabiranja za vjerovatnoće nekompatibilnih događaja: vjerovatnoća pojave jednog od dva nekompatibilno događaji ili (bez obzira na sve), jednak je zbiru vjerovatnoća ovih događaja:

Slična činjenica vrijedi i za veći broj nekompatibilnih događaja, na primjer za tri nekompatibilna događaja i :

Teorema snova =) Međutim, takav san podliježe dokazu, što se može naći, na primjer, u udžbeniku V.E. Gmurman.

Upoznajmo se sa novim, do sada neviđenim konceptima:

Zavisni i nezavisni događaji

Počnimo sa nezavisnim događajima. Događaji su nezavisni ako je vjerovatnoća pojave bilo koji od njih ne zavisi od pojave/nepojavljivanja drugih događaja razmatranog skupa (u svim mogućim kombinacijama). ... Ali šta ima da se melje uobičajene fraze:

Teorema množenja vjerovatnoća nezavisnih događaja: vjerovatnoća zajedničkog nastupa nezavisnih događaja i jednaka je proizvodu vjerovatnoća ovih događaja:

Vratimo se na najjednostavniji primjer prve lekcije, u kojoj se bacaju dva novčića i slijedeći događaji:

- glave će pasti na 1. novčić;
- Glave na 2. novčiću.

Nađimo vjerovatnoću događaja (glave će se pojaviti na 1. novčiću I Orao će se pojaviti na 2. novčiću - zapamtite kako da čitate proizvod događaja!) . Vjerojatnost da dobijete jedan novčić ne ovisi o rezultatu bacanja drugog novčića, stoga su događaji i nezavisni.

Slično:
je vjerovatnoća da će 1. novčić sletjeti glavom I na 2. repu;
je vjerovatnoća da se glave pojave na 1. novčiću I na 2. repu;
je vjerovatnoća da će prvi novčić pasti na rep I na 2. orlu.

Imajte na umu da se događaji formiraju puna grupa a zbir njihovih vjerovatnoća jednak je jedan: .

Teorema množenja očito se proteže na veći broj nezavisnih događaja, pa, na primjer, ako su događaji nezavisni, onda je vjerovatnoća njihovog zajedničkog nastupa: . Vježbajmo na konkretnim primjerima:

Zadatak 3

Svaka od tri kutije sadrži 10 dijelova. U prvoj kutiji se nalazi 8 standardnih dijelova, u drugoj - 7, u trećoj - 9. Iz svake kutije se nasumično uklanja jedan dio. Pronađite vjerovatnoću da su svi dijelovi standardni.

Rješenje: vjerovatnoća izdvajanja standardnog ili nestandardnog dijela iz bilo koje kutije ne ovisi o tome koji dijelovi će biti izvučeni iz drugih kutija, tako da je problem u nezavisnim događajima. Razmotrite sljedeće nezavisne događaje:

– standardni dio se uklanja iz 1. kutije;
– standardni dio se uklanja iz 2. kutije;
– Standardni dio je uklonjen iz 3. ladice.

Prema klasičnoj definiciji:
su odgovarajuće vjerovatnoće.

Događaj koji nas zanima (Standardni dio će biti uzet iz 1. ladice I iz 2. standarda I iz 3. standarda) se izražava proizvodom.

Prema teoremi množenja vjerovatnoća nezavisnih događaja:

je vjerovatnoća da će jedan standardni dio biti izvučen iz tri kutije.

Odgovori: 0,504

Nakon okrepljujućih vježbi s kutijama, očekuju nas ništa manje zanimljive urne:

Zadatak 4

Tri urne sadrže 6 bijelih i 4 crne kuglice. Iz svake urne nasumično se izvlači jedna loptica. Odrediti vjerovatnoću da: a) sve tri lopte budu bijele; b) sve tri lopte će biti iste boje.

Na osnovu dobijenih informacija, pogodite kako da se nosite sa stavkom „biti“ ;-) Okvirno rešenje za primer je dizajnirano u akademskom stilu sa detaljnim opisom svih događaja.

Zavisni događaji. Događaj se zove zavisan ako je njegova vjerovatnoća zavisi od jednog ili više događaja koji su se već desili. Za primjere ne morate ići daleko - samo idite do najbliže trgovine:

- Sutra u 19.00 svež hleb će biti u prodaji.

Vjerovatnoća ovog događaja ovisi o mnogim drugim događajima: da li će svježi kruh biti isporučen sutra, da li će biti rasprodat prije 19 sati ili ne, itd. Ovisno o različitim okolnostima, ovaj događaj može biti pouzdan i nemoguć. Dakle, događaj je zavisan.

Hleb ... i, kako su Rimljani zahtevali, cirkusi:

- na ispitu student dobija običnu kartu.

Ako ne idete prvi, onda će događaj biti ovisan, jer će njegova vjerovatnoća ovisiti o tome koje karte su drugovi iz razreda već izvukli.

Kako odrediti zavisnost/nezavisnost događaja?

Ponekad je to direktno navedeno u stanju problema, ali najčešće morate provesti nezavisnu analizu. Ovdje ne postoji jednoznačna smjernica, a činjenica ovisnosti ili nezavisnosti događaja proizlazi iz prirodno-logičkog zaključivanja.

Da ne bacim sve u jednu gomilu, zadaci za zavisne događaje Istaknut ću sljedeću lekciju, ali za sada ćemo razmotriti najčešći niz teorema u praksi:

Problemi o teoremama sabiranja za nekonzistentne vjerovatnoće
i množenje vjerovatnoće nezavisnih događaja

Ovaj tandem, prema mojoj subjektivnoj procjeni, radi u oko 80% zadataka na temu koja se razmatra. Hit hitova i pravi klasik teorije vjerovatnoće:

Zadatak 5

Dva strijelca su ispalila po jedan hitac u metu. Verovatnoća pogodaka za prvog strelca je 0,8, za drugog - 0,6. Pronađite vjerovatnoću da:

a) samo jedan strijelac će pogoditi metu;
b) najmanje jedan od strijelaca će pogoditi metu.

Rješenje: Verovatnoća pogodaka/promašaja jednog strelca je očigledno nezavisna od učinka drugog strelca.

Razmotrite događaje:
– 1. strijelac će pogoditi metu;
– Drugi strijelac će pogoditi metu.

Po uslovu: .

Nađimo vjerovatnoće suprotnih događaja - da će odgovarajuće strelice promašiti:

a) Razmotrite događaj: - samo jedan strijelac pogađa metu. Ovaj događaj se sastoji od dva nespojiva ishoda:

Prvi strijelac će pogoditi I 2nd promašaji
ili
1. će propustiti I 2. će pogoditi.

Na jeziku algebre događaja ova činjenica se može napisati kao:

Prvo koristimo teoremu sabiranja vjerovatnoća nekompatibilnih događaja, zatim - teoremu množenja vjerovatnoća nezavisnih događaja:

je vjerovatnoća da će biti samo jedan pogodak.

b) Razmotrite događaj: - najmanje jedan od strijelaca će pogoditi metu.

Prije svega, RAZMISLIMO - šta znači uslov "BAR JEDAN"? U ovom slučaju, to znači da će ili prvi strijelac pogoditi (drugi će promašiti) ili 2. (1. promašaji) ili obje strelice odjednom - ukupno 3 nekompatibilna ishoda.

Prvi metod: s obzirom na pripremljenu vjerovatnoću prethodne stavke, prikladno je događaj predstaviti kao zbir sljedećih disjunktnih događaja:

jedan će dobiti (događaj koji se sastoji naizmjence od 2 nespojiva ishoda) ili
Ako obje strelice pogode, ovaj događaj označavamo slovom .

Na ovaj način:

Prema teoremi množenja vjerovatnoća nezavisnih događaja:
je vjerovatnoća da će prvi strijelac pogoditi I 2. strijelac će pogoditi.

Prema teoremi sabiranja vjerovatnoća nespojivih događaja:
je vjerovatnoća najmanje jednog pogotka u metu.

Metod dva: razmotrite suprotan događaj: – oba strijelca će promašiti.

Prema teoremi množenja vjerovatnoća nezavisnih događaja:

Kao rezultat:

Obratite posebnu pažnju na drugu metodu - općenito je racionalnija.

Osim toga, postoji i alternativni, treći način rješavanja, zasnovan na teoremi o sabiranju zajedničkih događaja, o kojoj je gore šutjelo.

! Ako prvi put čitate materijal, onda je bolje da preskočite sljedeći pasus kako biste izbjegli zabunu.

Treći metod : događaji su zajednički, što znači da njihov zbir izražava događaj „barem jedan strijelac pogodi metu“ (vidi sl. algebra događaja). By teorema sabiranja vjerovatnoća zajedničkih događaja i teorema množenja vjerovatnoća nezavisnih događaja:

Provjerimo: događaji i (0, 1 i 2 pogotka respektivno) formiraju kompletnu grupu, pa zbir njihovih vjerovatnoća mora biti jednak jedan:
, što je trebalo provjeriti.

Odgovori:

Uz temeljno proučavanje teorije vjerovatnoće, naići ćete na desetine zadataka militarističkog sadržaja i, što je tipično, nakon toga nećete htjeti nikoga upucati - zadaci su gotovo poklon. Zašto ne učiniti šablon još jednostavnijim? Skratimo unos:

Rješenje: prema uslovu: , je vjerovatnoća pogađanja odgovarajućih strijelaca. Tada su njihove vjerovatnoće promašaja:

a) Prema teoremama sabiranja vjerovatnoća nespojivosti i množenja vjerovatnoća nezavisnih događaja:
je vjerovatnoća da će samo jedan strijelac pogoditi metu.

b) Prema teoremi množenja vjerovatnoća nezavisnih događaja:
je vjerovatnoća da će oba strijelca promašiti.

Zatim: je vjerovatnoća da će barem jedan od strijelaca pogoditi metu.

Odgovori:

U praksi možete koristiti bilo koju opciju dizajna. Naravno, mnogo češće idu kratkim putem, ali ne treba zaboraviti 1. metod - iako je duži, smisleniji je - u njemu je jasniji, šta, zašto i zašto sabira i množi. U nekim slučajevima je prikladan hibridni stil, kada je zgodno naznačiti samo neke događaje velikim slovima.

Slični zadaci za samostalno rješavanje:

Zadatak 6

Za dojavu požara su instalirana dva nezavisno radna senzora. Vjerovatnoće da će senzor raditi tokom požara su 0,5 odnosno 0,7 za prvi i drugi senzor. Pronađite vjerovatnoću da će u požaru:

a) oba senzora će otkazati;
b) oba senzora će raditi.
c) Korišćenje teorema sabiranja za vjerovatnoće događaja koji formiraju kompletnu grupu, pronaći vjerovatnoću da će samo jedan senzor raditi tokom požara. Provjerite rezultat direktnim izračunavanjem ove vjerovatnoće (koristeći teoreme sabiranja i množenja).

Ovdje je neovisnost rada uređaja direktno navedena u stanju, što je, inače, važno pojašnjenje. Primjer rješenja je dizajniran u akademskom stilu.

Šta ako se u sličnom zadatku daju iste vjerovatnoće, na primjer, 0,9 i 0,9? Morate odlučiti potpuno isto! (što je, zapravo, već pokazano u primjeru sa dva novčića)

Zadatak 7

Vjerovatnoća da prvi strijelac pogodi metu jednim hicem je 0,8. Vjerovatnoća da meta nije pogođena nakon što prvi i drugi strijelac ispucaju jedan hitac je 0,08. Kolika je vjerovatnoća da drugi strijelac pogodi metu jednim udarcem?

A ovo je mala slagalica, koja je uokvirena na kratak način. Uslov se može konciznije preformulisati, ali neću prepravljati original - u praksi moram da se udubim u kitnjaste izmišljotine.

Upoznajte ga - on je taj koji vam je izrezao neizmjerenu količinu detalja =):

Zadatak 8

Radnik upravlja sa tri mašine. Vjerovatnoća da će tokom smjene prva mašina zahtijevati podešavanje je 0,3, druga - 0,75, treća - 0,4. Pronađite vjerovatnoću da će tokom smjene:

a) sve mašine će zahtevati podešavanje;
b) samo jedna mašina će zahtevati podešavanje;
c) najmanje jedna mašina će zahtijevati podešavanje.

Rješenje: budući da uslov ne govori ništa o jednom tehnološkom procesu, onda rad svake mašine treba smatrati nezavisnim od rada drugih mašina.

Po analogiji sa zadatkom br. 5, ovdje možete ući u razmatranje događaja koji se sastoje u tome da će odgovarajuće mašine zahtijevati podešavanje tokom smjene, zapisati vjerovatnoće, pronaći vjerovatnoće suprotnih događaja itd. Ali s tri objekta, ne želim baš tako sastaviti zadatak - ispast će dugo i zamorno. Stoga je primjetno isplativije koristiti "brzi" stil ovdje:

Po uslovu: - vjerovatnoća da će tokom smjene odgovarajuće mašine zahtijevati podešavanje. Tada su vjerovatnoće da neće zahtijevati pažnju:

Jedan od čitalaca je ovde pronašao kul grešku u kucanju, neću je ni ispravljati =)

a) Prema teoremi množenja vjerovatnoća nezavisnih događaja:
je vjerovatnoća da će tokom smjene sve tri mašine zahtijevati podešavanje.

b) Događaj "Tokom smjene samo jedna mašina će zahtijevati podešavanje" sastoji se od tri nekompatibilna ishoda:

1) 1. mašina će zahtijevati pažnju I 2nd machine neće zahtijevati I 3rd machine neće zahtijevati
ili:
2) 1. mašina neće zahtijevati pažnju I 2nd machine će zahtijevati I 3rd machine neće zahtijevati
ili:
3) 1. mašina neće zahtijevati pažnju I 2nd machine neće zahtijevati I 3rd machine će zahtijevati.

Prema teoremama sabiranja vjerovatnoća nespojivosti i množenja vjerovatnoća nezavisnih događaja:

- vjerovatnoća da će tokom smjene samo jedna mašina zahtijevati podešavanje.

Mislim da bi vam do sada trebalo biti jasno odakle dolazi taj izraz

c) Izračunajte vjerovatnoću da mašine neće zahtijevati podešavanje, a zatim vjerovatnoću suprotnog događaja:
– činjenica da će barem jedna mašina zahtijevati podešavanje.

Odgovori:

Stavka "ve" se takođe može rešiti kroz zbir, gde je verovatnoća da će u toku smene samo dve mašine zahtevati podešavanje. Ovaj događaj, zauzvrat, uključuje 3 nekompatibilna ishoda, koji su potpisani po analogiji sa stavkom "biti". Pokušajte sami pronaći vjerovatnoću da provjerite cijeli problem uz pomoć jednakosti.

Zadatak 9

Tri topa su ispalila rafal na metu. Vjerovatnoća pogađanja jednim udarcem samo iz prve puške je 0,7, iz druge - 0,6, iz treće - 0,8. Odrediti vjerovatnoću da: 1) najmanje jedan projektil pogodi metu; 2) samo dva projektila će pogoditi metu; 3) cilj će biti pogođen najmanje dva puta.

Rješenje i odgovor na kraju lekcije.

I opet o slučajnostima: u slučaju da se, prema uvjetu, poklapaju dvije ili čak sve vrijednosti početnih vjerojatnosti (na primjer, 0,7; 0,7 i 0,7), tada treba slijediti potpuno isti algoritam rješenja.

U zaključku članka analizirat ćemo još jednu uobičajenu zagonetku:

Zadatak 10

Strijelac sa svakim udarcem pogađa metu sa istom vjerovatnoćom. Kolika je ovo vjerovatnoća ako je vjerovatnoća najmanje jednog pogotka u tri hica 0,973.

Rješenje: označiti sa - vjerovatnoća da ćete pogoditi metu svakim udarcem.
i kroz - vjerovatnoća promašaja sa svakim udarcem.

Zapišimo događaje:
- sa 3 hica, strijelac će pogoditi metu najmanje jednom;
- strijelac će promašiti 3 puta.

Prema uslovu, onda je vjerovatnoća suprotnog događaja:

S druge strane, prema teoremi množenja vjerovatnoća nezavisnih događaja:

Na ovaj način:

- vjerovatnoća promašaja sa svakim udarcem.

Kao rezultat:
je vjerovatnoća da ćete pogoditi svaki hitac.

Odgovori: 0,7

Jednostavno i elegantno.

U razmatranom problemu mogu se postaviti dodatna pitanja o vjerovatnoći samo jednog pogotka, samo dva pogotka i vjerovatnoći tri pogotka u metu. Shema rješenja bit će potpuno ista kao u prethodna dva primjera:

Međutim, fundamentalna suštinska razlika je u tome što postoje ponovljeni nezavisni testovi, koji se izvode uzastopno, nezavisno jedan od drugog i sa istom verovatnoćom ishoda.

Zavisnost događaja se shvata u vjerovatnoća smislu, ne funkcionalno. To znači da pojava jednog od zavisnih događaja ne može nedvosmisleno suditi o pojavi drugog. Vjerovatna ovisnost znači da pojava jednog od zavisnih događaja samo mijenja vjerovatnoću pojave drugog. Ako se vjerovatnoća ne promijeni, onda se događaji smatraju nezavisnim.

Definicija: Neka - proizvoljan prostor vjerovatnoće, - neki slučajni događaji. Kažu to događaj ALI ne zavisi od događaja IN , ako je njegova uslovna vjerovatnoća ista kao i bezuslovna vjerovatnoća:

.

Ako , onda kažemo da je događaj ALI zavisno od događaja IN.

Koncept nezavisnosti je simetričan, odnosno ako je događaj ALI ne zavisi od događaja IN, zatim događaj IN ne zavisi od događaja ALI. Zaista, neka . Onda . Stoga jednostavno kažu da su događaji ALI I IN nezavisni.

Sljedeća simetrična definicija nezavisnosti događaja slijedi iz pravila množenja vjerovatnoća.

Definicija: Developments ALI I IN, definisani na istom prostoru vjerovatnoće se nazivaju nezavisni, ako

Ako , zatim događaji ALI I IN pozvao zavisan.

Imajte na umu da ova definicija vrijedi i kada ili .

Svojstva nezavisnih događaja.

1. Ako događaji ALI I IN su nezavisni, tada su i sljedeći parovi događaja nezavisni: .

▲ Hajde da dokažemo, na primjer, nezavisnost događaja. Zamislite događaj ALI kao: . Pošto su događaji nekompatibilni, onda , i zbog nezavisnosti događaja ALI I IN mi to shvatamo. Dakle, što znači nezavisnost. ■

2. Ako je događaj ALI ne zavisi od događaja U 1 I U 2, koji su nekompatibilni () , taj događaj ALI ne zavisi od iznosa.

▲ Zaista, koristeći aksiom aditivnosti vjerovatnoće i nezavisnosti događaja ALI od događaja U 1 I U 2, imamo:

Odnos između pojmova nezavisnosti i nekompatibilnosti.

Neka bude ALI I IN- bilo koji događaj koji ima vjerovatnoću različitu od nule: , dakle . Ako događaji ALI I IN su nedosljedni (), i stoga se jednakost nikada ne može dogoditi. Na ovaj način, nekompatibilni događaji su zavisni.

Kada se istovremeno razmatra više od dva događaja, njihova parna nezavisnost ne karakteriše u dovoljnoj meri vezu između događaja cele grupe. U ovom slučaju se uvodi koncept nezavisnosti u zbiru.

Definicija: Pozivaju se događaji definisani na istom prostoru vjerovatnoće kolektivno nezavisni, ako postoji 2 £m £n i bilo koja kombinacija indeksa drži jednakost:

At m = 2 nezavisnost u zbiru implicira poparnu nezavisnost događaja. Obrnuto nije tačno.

Primjer. (Bernstein S.N.)

Nasumični eksperiment se sastoji u bacanju pravilnog tetraedra (tetraedra). Postoji lice koje je ispalo od vrha do dna. Lica tetraedra su obojena na sljedeći način: 1. lice - bijelo, 2. lice - crno,
3 lice - crveno, 4 lice - sadrži sve boje.

Razmotrite događaje:

ALI= (Opadanje bijele boje); B= (Crno ispadanje);

C= (crveno ispadanje).

Onda ;

Dakle, događaji ALI, IN I OD su nezavisni u parovima.

ali, .

Dakle, događaji ALI, IN I OD kolektivno nisu nezavisni.

U praksi se, po pravilu, nezavisnost događaja ne utvrđuje provjeravanjem po definiciji, već obrnuto: događaji se smatraju neovisnim od nekih vanjskih razmatranja ili uzimajući u obzir okolnosti slučajnog eksperimenta, a neovisnost se koristi za pronalaženje vjerovatnoće nastanka događaja.

Teorema (množenja vjerovatnoća za nezavisne događaje).

Ako su događaji definisani na istom prostoru vjerovatnoće nezavisni u agregatu, tada je vjerovatnoća njihovog proizvoda jednaka proizvodu vjerovatnoća:

▲ Dokaz teoreme slijedi iz definicije nezavisnosti događaja u agregatu ili iz opšte teoreme množenja vjerovatnoće, uzimajući u obzir činjenicu da je u ovom slučaju

Primjer 1 (tipičan primjer za pronalaženje uslovnih vjerovatnoća, koncept nezavisnosti, teorema o dodavanju vjerovatnoće).

Električni krug se sastoji od tri nezavisna radna elementa. Vjerojatnosti kvara svakog od elemenata su respektivno jednake .

1) Pronađite vjerovatnoću kvara kola.

2) Poznato je da je kolo pokvarilo.

Kolika je vjerovatnoća da ne uspije:

a) 1. element; b) 3. element?

Rješenje. Uzmite u obzir događaje = (Neuspjelo k th element), i događaj ALI= (Šema nije uspjela). Onda događaj ALI je predstavljen u obliku:

.

1) Pošto događaji i nisu nekompatibilni, onda aksiom aditivnosti verovatnoće P3) nije primenljiv i za pronalaženje verovatnoće treba koristiti opštu teoremu sabiranja verovatnoće, prema kojoj

Zavisni i nezavisni slučajni događaji.
Osnovne formule za sabiranje i množenje vjerovatnoća

Koncepti zavisnosti i nezavisnosti slučajnih događaja. Uslovna verovatnoća. Formule za sabiranje i množenje vjerovatnoća za zavisne i nezavisne slučajne događaje. Formula ukupne vjerovatnoće i Bayesova formula.

Teoreme sabiranja

Nađimo vjerovatnoću zbira događaja i (pod pretpostavkom njihove kompatibilnosti ili nedosljednosti).

Teorema 2.1. Vjerovatnoća zbira konačnog broja nekompatibilnih događaja jednaka je zbiru njihovih vjerovatnoća:

Primjer 1 Vjerovatnoća da će se par muških cipela veličine 44 prodati u trgovini je 0,12; 45. - 0,04; 46. ​​i više - 0,01. Pronađite vjerovatnoću da će par muških cipela najmanje veličine 44 biti prodat.

Rješenje.Željeni događaj će se dogoditi ako se proda par cipela veličine 44 ( event ) ili veličine 45 ( event ), ili najmanje veličine 46 ( event ), tj. događaj je zbir događaja. Događaji i su nekompatibilni. Dakle, prema teoremi o zbiru vjerovatnoća, dobijamo

Primjer 2 Pod uslovima iz Primera 1, naći verovatnoću da će sledeći par cipela manje od veličine 44 biti prodat.

Rješenje. Događaji "prodat će se još jedan par cipela manje od veličine 44" i "prodat će se par cipela veličine ne manje od 44". Dakle, prema formuli (1.2), vjerovatnoća nastanka željenog događaja

jer, kao što je pronađeno u primjeru 1.

Teorema 2.1 sabiranja vjerovatnoća vrijedi samo za nekompatibilne događaje. Njegovo korištenje za pronalaženje vjerovatnoće zajedničkih događaja može dovesti do netačnih i ponekad apsurdnih zaključaka, što se jasno vidi u sljedećem primjeru. Neka Electra doo ispuni nalog na vrijeme sa vjerovatnoćom od 0,7. Kolika je vjerovatnoća da će firma izvršiti barem jednu od tri narudžbe na vrijeme? Događaji koji se sastoje u tome da će kompanija na vreme ispuniti prvu, drugu, treću narudžbu biće označeni, respektivno. Ako primijenimo teoremu 2.1 o sabiranju vjerovatnoća da pronađemo željenu vjerovatnoću, onda ćemo dobiti . Ispostavilo se da je vjerovatnoća događaja veća od jedan, što je nemoguće. To je zato što su događaji zajednički. Zaista, ispunjenje prvog naloga na vrijeme ne isključuje ispunjenje druga dva naloga na vrijeme.

Formulirajmo teoremu o dodavanju vjerovatnoće u slučaju dva zajednička događaja (vjerovatnoća njihovog zajedničkog nastupa će se uzeti u obzir).

Teorema 2.2. Verovatnoća zbira dva zajednička događaja jednaka je zbiru verovatnoća ova dva događaja bez verovatnoće njihovog zajedničkog nastupa:

Zavisni i nezavisni događaji. Uslovna verovatnoća

Razlikujte zavisne i nezavisne događaje. Kaže se da su dva događaja nezavisna ako pojava jednog od njih ne mijenja vjerovatnoću pojave drugog. Na primjer, ako u radionici rade dvije automatske linije, koje nisu međusobno povezane prema uvjetima proizvodnje, tada su zaustavljanja ovih linija nezavisni događaji.

Primjer 3 Novčić se baca dvaput. Vjerovatnoća pojave "grba" u prvom testu (događaj ) ne zavisi od izgleda ili nepojavljivanja "grba" u drugom testu (događaj ). Zauzvrat, vjerojatnost pojave "grba" u drugom testu ne ovisi o rezultatu prvog testa. Dakle, događaji i nezavisni.

Poziva se nekoliko događaja kolektivno nezavisni, ako bilo koji od njih ne ovisi o bilo kojem drugom događaju i bilo kojoj kombinaciji ostalih.

Događaji se zovu zavisan, ako jedan od njih utiče na vjerovatnoću pojave drugog. Na primjer, dva proizvodna pogona su povezana jednim tehnološkim ciklusom. Tada vjerovatnoća kvara jednog od njih zavisi od stanja drugog. Vjerovatnoća jednog događaja, izračunata pod pretpostavkom da se dogodi neki drugi događaj, naziva se uslovna verovatnoća događaje i označava se sa .

Uslov nezavisnosti događaja od događaja ispisuje se u obliku , a uslov njegove zavisnosti - u obliku . Razmotrimo primjer izračunavanja uslovne vjerovatnoće događaja.

Primjer 4 U kutiji se nalazi 5 sjekutića: dva nošena i tri nova. Izvode se dvije uzastopne ekstrakcije sjekutića. Odrediti uslovnu vjerovatnoću pojave istrošenog rezača tokom drugog vađenja, pod uslovom da se rezač koji je prvi put uklonjen ne vrati u kutiju.

Rješenje. Označimo u prvom slučaju vađenje istrošenog rezača, a - vađenje novog. Onda . Budući da se uklonjeni rezač ne vraća u kutiju, mijenja se omjer između broja istrošenih i novih rezača. Stoga, vjerojatnost uklanjanja istrošenog rezača u drugom slučaju ovisi o tome koji se događaj dogodio prije.

Označimo događaj koji znači izvlačenje istrošenog rezača u drugom slučaju. Vjerovatnoće za ovaj događaj su:

Stoga, vjerovatnoća događaja zavisi od toga da li se događaj dogodio ili ne.

Formule množenja vjerovatnoće

Neka su događaji i nezavisni, a vjerovatnoće ovih događaja su poznate. Pronađite vjerojatnost kombiniranja događaja i .

Teorema 2.3. Vjerovatnoća zajedničkog nastupa dva nezavisna događaja jednaka je proizvodu vjerovatnoća ovih događaja:

Posljedica 2.1. Vjerovatnoća zajedničkog nastupa nekoliko događaja koji su u zbiru neovisni jednaka je proizvodu vjerovatnoća ovih događaja:

Primjer 5 Tri kutije sadrže po 10 komada. U prvoj kutiji - 8 standardnih dijelova, u drugoj - 7, u trećoj - 9. Iz svake kutije se nasumično vadi jedan dio. Pronađite vjerovatnoću da su sva tri izvađena dijela standardna.

Rješenje. Vjerovatnoća da je standardni dio (događaj) uzet iz prvog okvira, . Vjerovatnoća da je standardni dio (događaj) uzet iz drugog okvira, . Vjerovatnoća da je standardni dio (događaj) uzet iz trećeg polja, . Budući da su događaji , i nezavisni u agregatu, onda je željena vjerovatnoća (prema teoremi množenja)

Neka događaji i budu zavisni, a vjerovatnoće i budu poznate. Nađimo vjerovatnoću proizvoda ovih događaja, odnosno vjerovatnoću da će se i događaj i događaj pojaviti.

Teorema 2.4. Vjerovatnoća zajedničkog nastupa dva zavisna događaja jednaka je proizvodu vjerovatnoće jednog od njih sa uslovnom vjerovatnoćom drugog, izračunatom pod pretpostavkom da se prvi događaj već dogodio:

Posljedica 2.2. Vjerovatnoća zajedničkog nastupa više zavisnih događaja jednaka je umnošku vjerovatnoće jednog od njih s uslovnim vjerovatnoćama svih ostalih, a vjerovatnoća svakog sljedećeg događaja izračunava se pod pretpostavkom da su se svi prethodni događaji već pojavili. .

Primjer 6 Urna sadrži 5 bijelih kuglica, 4 crne i 3 plave. Svaki pokušaj sastoji se od nasumično izvlačenja jedne lopte bez vraćanja u urnu. Nađite vjerovatnoću da će se u prvom testu pojaviti bijela kugla (događaj ), u drugom - crna (događaj), a u trećem - plava (događaj).

Rješenje. Vjerovatnoća pojavljivanja bijele lopte u prvom pokušaju. Vjerovatnoća pojavljivanja crne lopte u drugom pokušaju, izračunata pod pretpostavkom da se bela kugla pojavi u prvom pokušaju, odnosno uslovna vjerovatnoća . Vjerovatnoća pojavljivanja plave lopte u trećem pokušaju, izračunata pod pretpostavkom da se bela kugla pojavila u prvom pokušaju, a crna u drugom pokušaju, . Željena vjerovatnoća

Formula ukupne vjerovatnoće

Teorema 2.5. Ako se događaj dogodi samo ako se dogodi jedan od događaja, formirajući potpunu grupu nekompatibilnih događaja, tada je vjerovatnoća događaja jednaka zbroju proizvoda vjerovatnoća svakog od događaja s odgovarajućom uslovnom vjerovatnoćom događaja :

U ovom slučaju, događaji se nazivaju hipotezama, a vjerovatnoće a priori. Ova formula se naziva formula ukupne vjerovatnoće.

Primjer 7 Linija za montažu prima dijelove od tri mašine. Performanse mašine nisu iste. Na prvoj mašini se proizvodi 50% svih delova, na drugoj - 30%, na trećoj - 20%. Vjerovatnoća kvalitetne montaže kada se koristi dio izrađen na prvoj, drugoj i trećoj mašini je 0,98, 0,95 i 0,8 Odrediti vjerovatnoću da je sklop koji silazi sa transportera visokog kvaliteta.

Rješenje. Označimo događaj koji znači prikladnost sastavljenog čvora; , i - događaji koji znače da se dijelovi izrađuju na prvoj, drugoj i trećoj mašini. Onda

Željena vjerovatnoća

Bayesova formula

Ova formula se koristi u rješavanju praktičnih problema kada se dogodio događaj koji se pojavljuje zajedno sa bilo kojim od događaja koji čine potpunu grupu događaja i potrebna je kvantitativna ponovna procjena vjerovatnoća hipoteza. A priori (prije iskustva) vjerovatnoće su poznate. Potrebno je izračunati aposteriori (nakon iskustva) vjerovatnoće, odnosno, u suštini, potrebno je pronaći uslovne vjerovatnoće. Za hipotezu, Bayesova formula izgleda ovako.

Opšta izjava problema: vjerovatnoće nekih događaja su poznate, ali je potrebno izračunati vjerovatnoće drugih događaja koji su povezani s tim događajima. U ovim problemima postoji potreba za takvim operacijama nad vjerovatnoćama kao što su sabiranje i množenje vjerovatnoća.

Na primjer, dva hica su ispaljena tokom lova. Događaj A- pogoditi patku iz prvog udarca, događaj B- pogodio iz drugog udarca. Zatim zbir događaja A I B- pogodak iz prvog ili drugog hica ili iz dva hica.

Zadaci drugačijeg tipa. Dato je nekoliko događaja, na primjer, novčić se baca tri puta. Potrebno je pronaći vjerovatnoću da će ili sva tri puta ispasti grb, ili da će grb ispasti barem jednom. Ovo je problem množenja.

Sabiranje vjerovatnoća nespojivih događaja

Sabiranje vjerovatnoće se koristi kada je potrebno izračunati vjerovatnoću kombinacije ili logički zbir slučajnih događaja.

Zbir događaja A I B odrediti A + B ili A ∪ B. Zbir dva događaja je događaj koji se događa ako i samo ako se dogodi barem jedan od događaja. To znači da A + B- događaj koji se dešava ako i samo ako se događaj dogodi tokom posmatranja A ili događaj B, ili istovremeno A I B.

Ako događaji A I B su međusobno nedosljedne i njihove vjerovatnoće su date, vjerovatnoća da će se jedan od ovih događaja dogoditi kao rezultat jednog ispitivanja izračunava se sabiranjem vjerovatnoća.

Teorema sabiranja vjerovatnoća. Vjerovatnoća da će se dogoditi jedan od dva međusobno nekompatibilna događaja jednaka je zbroju vjerovatnoća ovih događaja:

Na primjer, dva hica su ispaljena tokom lova. Događaj ALI– pogađanje patke iz prvog hica, događaj IN– pogodak iz drugog udarca, događaj ( ALI+ IN) - pogodak iz prvog ili drugog hica ili iz dva hica. Dakle, ako dva događaja ALI I IN su onda nekompatibilni događaji ALI+ IN- pojava najmanje jednog od ovih događaja ili dva događaja.

Primjer 1 Kutija sadrži 30 loptica iste veličine: 10 crvenih, 5 plavih i 15 bijelih. Izračunajte vjerovatnoću da se obojena (ne bijela) lopta uzme bez gledanja.

Rješenje. Pretpostavimo da je događaj ALI– „crvena lopta je uzeta“, i događaj IN- "Plava lopta je uzeta." Tada je događaj „uzeta je obojena (ne bijela) lopta“. Pronađite vjerovatnoću događaja ALI:

i događaje IN:

Razvoj ALI I IN- međusobno nekompatibilne, jer ako se uzme jedna lopta, ne mogu se uzeti loptice različitih boja. Stoga koristimo sabiranje vjerovatnoća:

Teorema sabiranja vjerovatnoća za nekoliko nekompatibilnih događaja. Ako događaji čine kompletan skup događaja, tada je zbir njihovih vjerovatnoća jednak 1:

Zbir vjerovatnoća suprotnih događaja je također jednak 1:

Suprotni događaji čine kompletan skup događaja, a vjerovatnoća kompletnog skupa događaja je 1.

Vjerovatnoće suprotnih događaja obično se označavaju malim slovima. str I q. posebno,

iz čega slijede sljedeće formule za vjerovatnoću suprotnih događaja:

Primjer 2 Meta na ploči je podijeljena u 3 zone. Verovatnoća da će određeni strelac gađati metu u prvoj zoni je 0,15, u drugoj zoni - 0,23, u trećoj zoni - 0,17. Pronađite vjerovatnoću da strijelac pogodi metu i vjerovatnoću da strijelac promaši metu.

Rješenje: Pronađite vjerovatnoću da strijelac pogodi metu:

Pronađite vjerovatnoću da strijelac promaši metu:

Teži zadaci u kojima treba primijeniti i sabiranje i množenje vjerovatnoća - na stranici "Razni zadaci za sabiranje i množenje vjerovatnoća" .

Sabiranje vjerovatnoća zajedničkih događaja

Za dva slučajna događaja se kaže da su zajednička ako pojava jednog događaja ne isključuje pojavu drugog događaja u istom opažanju. Na primjer, kada se baca kocka, događaj ALI se smatra pojavljivanjem broja 4 i događajem IN- ispuštanje paran broj. Pošto je broj 4 paran broj, ova dva događaja su kompatibilna. U praksi postoje zadaci za izračunavanje vjerovatnoće nastanka jednog od zajedničkih događaja.

Teorema sabiranja vjerovatnoća za zajedničke događaje. Vjerovatnoća da će se dogoditi jedan od zajedničkih događaja jednaka je zbiru vjerovatnoća ovih događaja, od čega se oduzima vjerovatnoća zajedničkog nastupa oba događaja, odnosno proizvod vjerovatnoća. Formula za vjerovatnoću zajedničkih događaja je sljedeća:

Jer događaji ALI I IN kompatibilan, događaj ALI+ IN se dešava ako se dogodi jedan od tri moguća događaja: ili AB. Prema teoremi sabiranja nespojivih događaja računamo na sljedeći način:

Događaj ALI se dešava ako se dogodi jedan od dva nekompatibilna događaja: ili AB. Međutim, vjerovatnoća pojave jednog događaja od nekoliko nekompatibilnih događaja jednaka je zbroju vjerovatnoća svih ovih događaja:

Slično:

Zamjenom izraza (6) i (7) u izraz (5) dobijamo formulu vjerovatnoće za zajedničke događaje:

Pri korištenju formule (8) treba uzeti u obzir da događaji ALI I IN može biti:

• međusobno nezavisni;
• međusobno zavisne.

Formula vjerovatnoće za međusobno nezavisne događaje:

Formula vjerovatnoće za međusobno zavisne događaje:

Ako događaji ALI I IN su nedosljedni, onda je njihova podudarnost nemoguć slučaj i, stoga, P(AB) = 0. Četvrta formula vjerovatnoće za nekompatibilne događaje je sljedeća:

Primjer 3 U auto trkama, kada vozite u prvom autu, vjerovatnoća pobjede, kada vozite u drugom autu. Naći:

• vjerovatnoća da će oba automobila pobijediti;
• vjerovatnoća da će barem jedan automobil pobijediti;

1) Vjerovatnoća da će prvi automobil pobijediti ne zavisi od rezultata drugog automobila, dakle događaja ALI(prvi auto pobjeđuje) i IN(pobjeda drugog auta) - nezavisni događaji. Pronađite vjerovatnoću da oba auta pobijede:

2) Pronađite vjerovatnoću da će jedan od dva automobila pobijediti:

Teži zadaci u kojima treba primijeniti i sabiranje i množenje vjerovatnoća - na stranici "Razni zadaci za sabiranje i množenje vjerovatnoća" .

Sami riješite problem sabiranja vjerovatnoća, a zatim pogledajte rješenje

Primjer 4 Bacaju se dva novčića. Događaj A- gubitak grba na prvom novcu. Događaj B- gubitak grba na drugom novcu. Pronađite vjerovatnoću događaja C = A + B .

Množenje vjerovatnoće

Množenje vjerovatnoća se koristi kada treba izračunati vjerovatnoću logičkog proizvoda događaja.

U ovom slučaju, slučajni događaji moraju biti nezavisni. Za dva događaja se kaže da su međusobno nezavisna ako pojava jednog događaja ne utiče na vjerovatnoću pojave drugog događaja.

Teorema množenja vjerovatnoće za nezavisne događaje. Vjerovatnoća istovremene pojave dva nezavisna događaja ALI I IN jednak je proizvodu vjerovatnoća ovih događaja i izračunava se po formuli:

Primjer 5 Novčić se baca tri puta za redom. Nađite vjerovatnoću da će grb sva tri puta ispasti.

Rješenje. Vjerovatnoća da će grb pasti pri prvom bacanju novčića, drugi put i treći put. Nađite vjerovatnoću da će grb ispasti sva tri puta:

Sami riješite probleme za množenje vjerovatnoća, a zatim pogledajte rješenje

Primjer 6 Tu je kutija sa devet novih teniskih loptica. Za igru ​​se uzimaju tri lopte, koje se nakon igre vraćaju nazad. Prilikom odabira lopti ne prave razliku između odigranih i neizigranih lopti. Kolika je vjerovatnoća da nakon tri gema u petercu neće biti neodigranih lopti?

Primjer 7 32 slova ruske abecede ispisana su na isečenim karticama abecede. Pet karata se nasumično izvlače, jedna za drugom, i stavljaju na sto onim redom kojim se pojavljuju. Pronađite vjerovatnoću da će slova formirati riječ "kraj".

Primjer 8 Iz punog špila karata (52 lista) odjednom se vade četiri karte. Pronađite vjerovatnoću da su sve četiri ove karte iste boje.

Primjer 9 Isti problem kao u primjeru 8, ali svaka karta se vraća u špil nakon što je izvučena.

Složeniji zadaci, u kojima je potrebno primijeniti i sabiranje i množenje vjerovatnoća, kao i izračunati proizvod više događaja - na stranici "Razni zadaci za sabiranje i množenje vjerovatnoća" .

Vjerovatnoća da će se desiti barem jedan od međusobno nezavisnih događaja može se izračunati oduzimanjem proizvoda vjerovatnoća suprotnih događaja od 1, odnosno po formuli.

Nezavisni događaji

U praktičnoj primeni probabilističko-statističkih metoda odlučivanja, koncept nezavisnosti se stalno koristi. Na primjer, kada se primjenjuju statističke metode upravljanja kvalitetom proizvoda, govori se o neovisnim mjerenjima vrijednosti kontroliranih parametara za jedinice proizvodnje uključene u uzorak, o neovisnosti pojave nedostataka jedne vrste od pojave nedostataka. kvarovi druge vrste itd. Nezavisnost slučajnih događaja se u probabilističkim modelima shvata u sledećem smislu.

Definicija 2. Razvoj ALI I IN nazivaju se nezavisnim ako P(AB) = P(A) P(B). Više događaja ALI, IN, OD,... nazivaju se nezavisnim ako je vjerovatnoća njihove zajedničke implementacije jednaka umnošku vjerovatnoća svakog od njih posebno: R(ABC…) = R(ALI)R(IN)R(OD)…

Ova definicija odgovara intuitivnom pojmu nezavisnosti: pojava ili nepostojanje jednog događaja ne bi trebalo da utiče na pojavu ili nepostojanje drugog. Ponekad omjer R(AB) = R(ALI) R(IN|A) = P(B)P(A|B), važi za P(A)P(B) > 0, naziva se i teorema množenja vjerovatnoće.

Izjava 1. Neka događaji ALI I IN nezavisni. Tada su događaji i nezavisni, događaji i IN nezavisni, događaji ALI i nezavisni (ovdje je suprotan događaj ALI, i - suprotan događaj IN).

Zaista, iz svojstva c) u (3) slijedi da za događaje OD I D, čiji je proizvod prazan, P(C+ D) = P(C) + P(D). Od raskrsnice AB I IN je prazan, ali postoji sindikat IN, onda P(AB) + P(B) = P(B). Pošto su A i B nezavisni, onda P(B) = P(B) - P(AB) = P(B) - P(A)P(B) = P(B)(1 - P(A)). Zapazite sada da relacije (1) i (2) to impliciraju P() = 1 - P(A). znači, P(B) = P()P(B).

Izvođenje jednakosti P(A) = P(A)P() razlikuje se od prethodnog samo po zamjeni svuda ALI na IN, ali IN na ALI.

Da dokaže nezavisnost I Iskoristimo činjenicu da događaji AB, B, A, nemaju parno zajedničke elemente, ali ukupno čine čitav prostor elementarnih događaja. shodno tome, R(AB) + P(B) + P(A) + P() = 1. Koristeći gornje relacije, dobijamo to P(B)= 1 -R(AB) - P(B)( 1 - P(A)) - P(A)( 1 - P(B))=( 1 – P(A))( 1 – P(B)) = P()P(),što je trebalo dokazati.

Primjer 3 Razmotrite iskustvo bacanja kocke sa brojevima 1, 2, 3, 4, 5, 6 ispisanim na stranama. Pretpostavljamo da sva lica imaju iste šanse da budu na vrhu. Konstruirajmo odgovarajući prostor vjerovatnoće. Pokažimo da su događaji “iznad je lice s parnim brojem” i “iznad je lice s brojem djeljivim sa 3” nezavisni.

Analiza primjera. Prostor elementarnih ishoda sastoji se od 6 elemenata: „iznad – lice sa 1”, „iznad – lice sa 2”,…, „iznad – lice sa 6”. Događaj "na vrhu - lice sa parnim brojem" sastoji se od tri elementarna događaja - kada je na vrhu 2, 4 ili 6. Događaj "na vrhu - lice sa brojem deljivim sa 3" sastoji se od dva elementarna događaja - kada je 3 ili je na vrhu 6. sva lica imaju iste šanse da budu na vrhu, tada svi elementarni događaji moraju imati istu vjerovatnoću. Pošto postoji ukupno 6 elementarnih događaja, svaki od njih ima vjerovatnoću 1/6. Prema definiciji 1, događaj „na vrhu je lice sa parnim brojem“ ima vjerovatnoću 1/2, a događaj „na vrhu je lice sa brojem djeljivim sa 3“ ima vjerovatnoću 1/3. Proizvod ovih događaja sastoji se od jednog elementarnog događaja “iznad - ivice sa 6”, i stoga ima vjerovatnoću 1/6. Pošto je 1/6 = ½ x 1/3, događaji u pitanju su nezavisni prema definiciji nezavisnosti.