Ovaj članak govori o ovoj temi « udaljenost od tačke do linije », definicije udaljenosti od tačke do prave razmatraju se na ilustrovanim primjerima metodom koordinata. Svaki blok teorije na kraju je pokazao primjere rješavanja sličnih problema.

Udaljenost od tačke do prave nalazi se određivanjem udaljenosti od tačke do tačke. Razmotrimo detaljnije.

Neka postoji prava a i tačka M 1 koja ne pripada datoj pravoj. Povucite liniju kroz nju koja je postavljena okomito na pravu a. Uzmite tačku preseka pravih kao H 1. Dobijamo da je M 1 H 1 okomica, koja je spuštena iz tačke M 1 na pravu a.

Definicija 1

Udaljenost od tačke M 1 do prave a naziva se rastojanje između tačaka M 1 i H 1 .

Postoje zapisi o definiciji sa figurom dužine okomice.

Definicija 2

Udaljenost od tačke do linije je dužina okomice povučene iz date tačke na datu pravu.

Definicije su ekvivalentne. Razmotrite sliku ispod.

Poznato je da je udaljenost od tačke do prave najmanja od svih mogućih. Pogledajmo ovo na primjeru.

Ako uzmemo tačku Q koja leži na pravoj a, a ne poklapa se sa tačkom M 1, onda dobijamo da se segment M 1 Q naziva kosim, spušten sa M 1 na pravu a. Potrebno je naznačiti da je okomica iz tačke M 1 manja od bilo koje druge kose povučene iz tačke na pravu liniju.

Da biste to dokazali, razmotrite trougao M 1 Q 1 H 1 , gdje je M 1 Q 1 hipotenuza. Poznato je da je njegova dužina uvijek veća od dužine bilo koje noge. Dakle, imamo da je M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Početni podaci za pronalaženje od tačke do prave omogućavaju korištenje nekoliko metoda rješenja: kroz Pitagorinu teoremu, definicije sinusa, kosinusa, tangenta ugla i dr. Većina zadataka ovog tipa rješava se u školi na časovima geometrije.

Kada pri pronalaženju udaljenosti od tačke do prave možete uneti pravougaoni koordinatni sistem, tada se koristi koordinatni metod. U ovom odlomku razmatramo dvije glavne metode za pronalaženje željene udaljenosti od date tačke.

Prva metoda uključuje pronalaženje udaljenosti kao okomice povučene iz M 1 na pravu a. Druga metoda koristi normalnu jednadžbu prave a za pronalaženje tražene udaljenosti.

Ako na ravni postoji tačka sa koordinatama M 1 (x 1, y 1) koja se nalazi u pravougaonom koordinatnom sistemu, pravoj liniji a, i treba da pronađete rastojanje M 1 H 1, možete izračunati na dva načina. Hajde da ih razmotrimo.

Prvi način

Ako postoje koordinate tačke H 1 jednake x 2, y 2, tada se udaljenost od tačke do prave izračunava iz koordinata iz formule M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Pređimo sada na pronalaženje koordinata tačke H 1.

Poznato je da prava linija u O x y odgovara jednačini prave linije u ravni. Hajdemo na način da definišemo pravu liniju a kroz pisanje opšte jednačine prave ili jednačine sa nagibom. Sastavljamo jednačinu prave linije koja prolazi kroz tačku M 1 okomito na datu pravu a. Označimo liniju sa bukva b . H 1 je tačka preseka pravih a i b, tako da za određivanje koordinata morate koristiti članak koji se bavi koordinatama tačaka preseka dve prave.

Vidi se da se algoritam za određivanje udaljenosti od date tačke M 1 (x 1, y 1) do prave a izvodi prema tačkama:

Definicija 3

• pronalaženje opće jednadžbe prave a , koja ima oblik A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0, ili jednadžbe s koeficijentom nagiba, koja ima oblik y = k 1 x + b 1;
• dobivanje opće jednadžbe prave b, koja ima oblik A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ili jednadžbe s nagibom y = k 2 x + b 2 ako pravac b siječe tačku M 1 i okomita je na datu pravu a;
• određivanje koordinata x 2, y 2 tačke H 1, koja je tačka preseka a i b, za to se rešava sistem linearnih jednačina A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ili y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
• izračunavanje potrebne udaljenosti od tačke do prave, koristeći formulu M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Drugi način

Teorema može pomoći u odgovoru na pitanje o pronalaženju udaljenosti od date tačke do date prave na ravni.

Teorema

Pravougaoni koordinatni sistem ima O x y ima tačku M 1 (x 1, y 1), iz koje je povučena prava linija a na ravan, datu normalnom jednačinom ravni, koja ima oblik cos α x + cos β y - p \u003d 0, jednako modulu vrijednosti dobivene na lijevoj strani jednadžbe normalne pravolinijske, izračunate po x = x 1, y = y 1, znači da je M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - str.

Dokaz

Prava a odgovara normalnoj jednačini ravni, koja ima oblik cos α x + cos β y - p = 0, tada se n → = (cos α , cos β) smatra normalnim vektorom prave a na a udaljenost od početka do prave a sa p jedinicama . Potrebno je prikazati sve podatke na slici, dodati tačku sa koordinatama M 1 (x 1, y 1) , gdje je radijus vektor tačke M 1 - O M 1 → = (x 1 , y 1) . Od tačke do prave je potrebno povući pravu liniju koju ćemo označiti sa M 1 H 1 . Potrebno je prikazati projekcije M 2 i H 2 tačaka M 1 i H 2 na pravu koja prolazi kroz tačku O sa usmjeravajućim vektorom oblika n → = (cos α , cos β) i numeričkom projekcijom vektora će biti označeno kao O M 1 → = (x 1 , y 1) u pravcu n → = (cos α , cos β) kao n p n → O M 1 → .

Varijacije zavise od lokacije same tačke M 1. Razmotrite sliku ispod.

Rezultate fiksiramo pomoću formule M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p . Zatim donosimo jednakost u ovaj oblik M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p da bismo dobili n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .

Skalarni proizvod vektora rezultira transformiranom formulom oblika n → , O M → 1 = n → n p n → O M 1 → = 1 n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , što je proizvod u koordinatnom obliku oblik n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Otuda dobijamo da je n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Iz toga slijedi da je M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p . Teorema je dokazana.

Dobijamo da se za pronalaženje udaljenosti od tačke M 1 (x 1, y 1) do prave a na ravni mora izvršiti nekoliko radnji:

Definicija 4

• dobijanje normalne jednačine prave a cos α · x + cos β · y - p = 0, pod uslovom da nije u zadatku;
• izračunavanje izraza cos α · x 1 + cos β · y 1 - p , pri čemu rezultirajuća vrijednost uzima M 1 H 1 .

Primijenimo ove metode za rješavanje problema s pronalaženjem udaljenosti od tačke do ravni.

Primjer 1

Pronađite udaljenost od tačke sa koordinatama M 1 (- 1 , 2) do prave 4 x - 3 y + 35 = 0 .

Rješenje

Koristimo prvi metod za rješavanje.

Da biste to učinili, morate pronaći opštu jednačinu prave b, koja prolazi kroz datu tačku M 1 (- 1 , 2) okomito na pravu 4 x - 3 y + 35 = 0 . Iz uslova se vidi da je prava b okomita na pravu a, tada njen vektor pravca ima koordinate jednake (4, - 3) . Tako imamo priliku da napišemo kanonsku jednačinu prave b na ravni, pošto postoje koordinate tačke M 1, koja pripada pravoj b. Odredimo koordinate usmjeravajućeg vektora prave b . Dobijamo da je x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3 . Rezultirajuća kanonska jednačina se mora pretvoriti u opštu. Onda to shvatamo

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 (x + 1) = 4 (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

Nađimo koordinate tačaka presjeka pravih koje ćemo uzeti kao oznaku H 1. Transformacije izgledaju ovako:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

Iz navedenog imamo da su koordinate tačke H 1 (- 5; 5) .

Potrebno je izračunati udaljenost od tačke M 1 do prave a. Imamo da su koordinate tačaka M 1 (- 1, 2) i H 1 (- 5, 5), zatim ubacimo u formulu za pronalaženje udaljenosti i dobijemo da

M 1 H 1 = (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 = 25 \u003d 5

Drugo rješenje.

Za rješavanje na drugi način potrebno je dobiti normalnu jednačinu prave. Izračunavamo vrijednost faktora normalizacije i množimo obje strane jednačine 4 x - 3 y + 35 = 0 . Odavde dobijamo da je faktor normalizacije - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5 , a normalna jednačina će biti oblika - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

Prema algoritmu proračuna potrebno je dobiti normalnu jednačinu prave i izračunati je sa vrijednostima x = - 1 , y = 2 . Onda to shvatamo

4 5 - 1 + 3 5 2 - 7 = - 5

Odavde dobijamo da rastojanje od tačke M 1 (- 1 , 2) do date prave 4 x - 3 y + 35 = 0 ima vrednost - 5 = 5 .

odgovor: 5 .

Vidi se da je u ovoj metodi važno koristiti normalnu jednačinu prave, jer je ova metoda najkraća. Ali prva metoda je zgodna po tome što je dosljedna i logična, iako ima više računskih bodova.

Primjer 2

Na ravni se nalazi pravougaoni koordinatni sistem O x y sa tačkom M 1 (8, 0) i pravom linijom y = 1 2 x + 1. Pronađite udaljenost od date tačke do prave linije.

Rješenje

Rješenje na prvi način podrazumijeva svođenje date jednačine sa koeficijentom nagiba na opštu jednačinu. Da pojednostavimo, možete to učiniti drugačije.

Ako je proizvod nagiba okomitih pravih - 1 , tada je nagib prave okomite na dato y = 1 2 x + 1 2 . Sada dobijamo jednačinu prave koja prolazi kroz tačku sa koordinatama M 1 (8, 0) . Imamo da je y - 0 = - 2 (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

Nastavljamo s pronalaženjem koordinata tačke H 1, odnosno tačaka presjeka y = - 2 x + 16 i y = 1 2 x + 1. Sastavljamo sistem jednačina i dobijamo:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 6 + 1 x = 6 \u003d y = 4 x = 6 ⇒ H 1 (6, 4)

Iz toga slijedi da je udaljenost od tačke sa koordinatama M 1 (8 , 0) do prave y = 1 2 x + 1 jednaka udaljenosti od početne i krajnje tačke sa koordinatama M 1 (8 , 0) i H 1 (6 , 4) . Izračunajmo i dobijemo da je M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5 .

Rješenje na drugi način je prijeći iz jednačine s koeficijentom u njen normalni oblik. To jest, dobijamo y = 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 = 0, tada će vrijednost faktora normalizacije biti - 1 1 2 2 + (- 1) 2 = - 2 5 . Iz toga slijedi da normalna jednačina prave linije ima oblik - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Izračunajmo od tačke M 1 8 , 0 do prave linije oblika - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Dobijamo:

M 1 H 1 = - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 = - 10 5 = 2 5

odgovor: 2 5 .

Primjer 3

Potrebno je izračunati udaljenost od tačke sa koordinatama M 1 (- 2 , 4) do pravih 2 x - 3 = 0 i y + 1 = 0 .

Rješenje

Dobijamo jednačinu normalnog oblika prave linije 2 x - 3 = 0:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

Zatim prelazimo na izračunavanje udaljenosti od tačke M 1 - 2, 4 do prave linije x - 3 2 = 0. Dobijamo:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

Jednačina prave linije y + 1 = 0 ima faktor normalizacije sa vrijednošću -1. To znači da će jednačina imati oblik - y - 1 = 0 . Nastavljamo računati udaljenost od tačke M 1 (- 2 , 4) do prave - y - 1 = 0 . Dobijamo da je jednako - 4 - 1 = 5.

odgovor: 3 1 2 i 5 .

Razmotrimo detaljno određivanje udaljenosti od date tačke ravni do koordinatnih osa O x i O y.

U pravokutnom koordinatnom sistemu, os O y ima jednadžbu prave linije, koja je nepotpuna i ima oblik x = 0, a O x - y = 0. Jednačine su normalne za koordinatne ose, tada je potrebno pronaći rastojanje od tačke sa koordinatama M 1 x 1 , y 1 do pravih linija. Ovo se radi na osnovu formula M 1 H 1 = x 1 i M 1 H 1 = y 1 . Razmotrite sliku ispod.

Primjer 4

Pronađite udaljenost od tačke M 1 (6, - 7) do koordinatnih linija koje se nalaze u ravni O x y.

Rješenje

Budući da se jednadžba y \u003d 0 odnosi na liniju O x, možete pronaći udaljenost od M 1 sa datim koordinatama do ove linije pomoću formule. Dobijamo da je 6 = 6.

Budući da se jednadžba x \u003d 0 odnosi na liniju O y, možete pronaći udaljenost od M 1 do ove linije pomoću formule. Tada dobijamo da je - 7 = 7.

odgovor: udaljenost od M 1 do O x ima vrijednost 6, a od M 1 do O y vrijednost 7.

Kada u trodimenzionalnom prostoru imamo tačku sa koordinatama M 1 (x 1, y 1, z 1), potrebno je pronaći rastojanje od tačke A do prave a.

Razmotrite dva načina koji vam omogućavaju da izračunate udaljenost od tačke do prave linije a koja se nalazi u prostoru. Prvi slučaj razmatra rastojanje od tačke M 1 do prave, gde se tačka na pravoj naziva H 1 i osnova je okomice povučene iz tačke M 1 na pravu a. Drugi slučaj sugeriše da se tačke ove ravni moraju tražiti kao visina paralelograma.

Prvi način

Iz definicije imamo da je udaljenost od tačke M 1 koja se nalazi na pravoj a dužina okomice M 1 H 1, onda to dobijemo sa pronađenim koordinatama tačke H 1, zatim nalazimo udaljenost između M 1 (x 1, y 1, z 1 ) i H 1 (x 1, y 1, z 1) na osnovu formule M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

Dobijamo da se cijelo rješenje svodi na pronalaženje koordinata osnove okomice povučene iz M 1 na pravu a. Ovo se radi na sledeći način: H 1 je tačka u kojoj se prava a seče sa ravni koja prolazi kroz datu tačku.

To znači da algoritam za određivanje udaljenosti od tačke M 1 (x 1, y 1, z 1) do prave linije a prostora podrazumeva nekoliko tačaka:

Definicija 5

• sastavljanje jednačine ravnine χ kao jednačine ravnine koja prolazi kroz datu tačku okomito na pravu;
• određivanje koordinata (x 2 , y 2 , z 2) koje pripadaju tački H 1 koja je tačka preseka prave a i ravni χ ;
• izračunavanje udaljenosti od tačke do prave pomoću formule M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

Drugi način

Iz uslova imamo pravu a, tada možemo odrediti vektor pravca a → = a x, a y, a z sa koordinatama x 3, y 3, z 3 i određenom tačkom M 3 koja pripada pravoj a. S obzirom na koordinate tačaka M 1 (x 1 , y 1) i M 3 x 3 , y 3 , z 3 , M 3 M 1 → može se izračunati:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

Potrebno je odgoditi vektore a → \u003d a x, a y, a z i M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 iz tačke M 3, povezati i dobiti figura paralelograma. M 1 H 1 je visina paralelograma.

Razmotrite sliku ispod.

Imamo da je visina M 1 H 1 željeno rastojanje, onda je morate pronaći pomoću formule. Odnosno, tražimo M 1 H 1 .

Označite površinu paralelograma slovom S, nalazi se po formuli pomoću vektora a → = (a x , a y , a z) i M 3 M 1 → = x 1 - x 3 . y 1 - y 3 , z 1 - z 3 . Formula površine ima oblik S = a → × M 3 M 1 → . Također, površina figure jednaka je proizvodu dužina njegovih stranica i visine, dobijamo da je S = a → M 1 H 1 sa a → \u003d a x 2 + a y 2 + a z 2, što je dužina vektora a → \u003d (a x, a y, a z), koja je jednaka strani paralelograma. Dakle, M 1 H 1 je rastojanje od tačke do prave. Nalazi se po formuli M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Da biste pronašli udaljenost od tačke sa koordinatama M 1 (x 1, y 1, z 1) do prave linije a u prostoru, potrebno je izvršiti nekoliko tačaka algoritma:

Definicija 6

• određivanje vektora pravca a - a → = (a x , a y , a z) ;
• izračunavanje dužine vektora pravca a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
• dobijanje koordinata x 3 , y 3 , z 3 koje pripadaju tački M 3 koja se nalazi na pravoj a;
• izračunavanje koordinata vektora M 3 M 1 → ;
• pronalaženje unakrsnog proizvoda vektora a → (a x, a y, a z) i M 3 M 1 → = x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 kao a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 da se dobije dužina prema formuli a → × M 3 M 1 → ;
• izračunavanje udaljenosti od tačke do prave M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Rješavanje zadataka o pronalaženju udaljenosti od date tačke do date prave u prostoru

Primjer 5

Pronađite udaljenost od tačke sa koordinatama M 1 2 , - 4 , - 1 do prave x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 .

Rješenje

Prva metoda počinje pisanjem jednačine ravni χ koja prolazi kroz M 1 i okomita je na datu tačku. Dobijamo izraz kao:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Potrebno je pronaći koordinate tačke H 1, koja je tačka preseka sa ravni χ na pravu zadatu uslovom. Neophodno je preći sa kanonskog oblika na onaj koji se ukršta. Tada dobijamo sistem jednadžbi oblika:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 (x + 1) = 2 y 5 (x + 1) = 2 (z + 5) 5 y = - 1 (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Potrebno je izračunati sistem x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 Cramerovom metodom, onda dobijamo:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z - ∆ 60 = 0

Dakle, imamo da je H 1 (1, - 1, 0) .

M 1 H 1 \u003d 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 \u003d 11

Drugi metod se mora započeti traženjem koordinata u kanonskoj jednadžbi. Da biste to učinili, obratite pažnju na nazivnike razlomka. Tada je a → = 2 , - 1 , 5 vektor pravca x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 . Potrebno je izračunati dužinu koristeći formulu a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30.

Jasno je da prava x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 siječe tačku M 3 (- 1 , 0 , - 5), pa imamo da je vektor sa ishodištem M 3 (- 1 , 0 , - 5) i njegov kraj u tački M 1 2 , - 4 , - 1 je M 3 M 1 → = 3 , - 4 , 4 . Naći vektorski proizvod a → = (2, - 1, 5) i M 3 M 1 → = (3, - 4, 4) .

Dobijamo izraz oblika a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 j → = 16 i → + 7 j → - 5 k →

dobijamo da je dužina unakrsnog proizvoda a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330 .

Imamo sve podatke da koristimo formulu za izračunavanje udaljenosti od tačke za pravu liniju, pa je primijenimo i dobijemo:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

odgovor: 11 .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Sposobnost pronalaženja udaljenosti između različitih geometrijskih objekata važna je prilikom izračunavanja površine figura i njihovih volumena. U ovom članku ćemo razmotriti pitanje kako pronaći udaljenost od tačke do ravne linije u prostoru i na ravni.

Matematički opis prave linije

Da biste razumjeli kako pronaći udaljenost od tačke do prave, trebali biste se pozabaviti pitanjem matematičke specifikacije ovih geometrijskih objekata.

Sve je jednostavno sa tačkom, opisuje se skupom koordinata, čiji broj odgovara dimenziji prostora. Na primjer, na ravni su to dvije koordinate, u trodimenzionalnom prostoru - tri.

Što se tiče jednodimenzionalnog objekta - prave linije, za njegovo opisivanje koristi se nekoliko vrsta jednadžbi. Razmotrimo samo dva od njih.

Prva vrsta se zove vektorska jednadžba. Ispod su izrazi za linije u trodimenzionalnom i dvodimenzionalnom prostoru:

(x; y; z) = (x 0; y 0; z 0) + α × (a; b; c);

(x; y) = (x 0 ; y 0) + α × (a; b)

U ovim izrazima koordinate sa nultim indeksima opisuju tačku kroz koju prolazi data prava, skup koordinata (a; b; c) i (a; b) su takozvani vektori pravca za odgovarajuću pravu, α je a parametar koji može uzeti bilo koju stvarnu vrijednost.

Vektorska jednadžba je zgodna u smislu da eksplicitno sadrži vektor smjera prave linije, čije se koordinate mogu koristiti u rješavanju problema paralelizma ili okomitosti različitih geometrijskih objekata, na primjer, dvije prave.

Druga vrsta jednačine koju ćemo razmotriti za pravu liniju naziva se opšta. U prostoru, ovaj oblik je dat općim jednačinama dvije ravni. U avionu ima sljedeći oblik:

A × x + B × y + C = 0

Kada se vrši crtanje, često se piše kao zavisnost od x/y, odnosno:

y = -A / B × x +(-C / B)

Ovdje slobodni pojam -C / B odgovara koordinati presjeka prave sa y-osom, a koeficijent -A / B je povezan sa uglom linije prema x-osi.

Koncept udaljenosti između prave i tačke

Nakon što smo se pozabavili jednadžbama, možete direktno prijeći na odgovor na pitanje kako pronaći udaljenost od točke do prave linije. U 7. razredu škole počinju da razmatraju ovo pitanje određujući odgovarajuću vrijednost.

Udaljenost između prave i tačke je dužina segmenta okomitog na ovu pravu, koji je izostavljen iz tačke koja se razmatra. Slika ispod prikazuje pravu r i tačku A. Plava linija pokazuje segment okomit na pravu r. Njegova dužina je potrebna udaljenost.

Ovdje je prikazan 2D slučaj, međutim, ova definicija udaljenosti vrijedi i za 3D problem.

Obavezne formule

U zavisnosti od oblika u kojem je napisana jednačina prave linije i u kom prostoru se rešava problem, mogu se dati dve osnovne formule koje daju odgovor na pitanje kako pronaći rastojanje između prave i tačke.

Označite poznatu tačku simbolom P 2 . Ako je jednadžba ravne linije data u vektorskom obliku, tada za udaljenost d između objekata koji se razmatraju, vrijedi formula:

d = || / |v¯|

To jest, da bi se odredilo d, treba izračunati modul vektorskog proizvoda direktnog vektora v¯ i vektora P 1 P 2 ¯, čiji početak leži u proizvoljnoj tački P 1 na pravoj, a kraj je u tački P 2 , tada ovaj modul podijelimo dužinom v ¯. Ova formula je univerzalna za ravan i trodimenzionalni prostor.

Ako se problem razmatra na ravni u xy koordinatnom sistemu i jednačina prave linije je data u opštem obliku, onda vam sljedeća formula omogućava da pronađete udaljenost od prave do tačke na sljedeći način:

Prava linija: A × x + B × y + C = 0;

Tačka: P 2 (x 2; y 2; z 2);

Udaljenost: d = |A × x 2 + B × y 2 + C| / √(A 2 + B 2)

Gornja formula je prilično jednostavna, ali je njena upotreba ograničena gore navedenim uslovima.

Koordinate projekcije tačke na pravu liniju i rastojanje

Na pitanje kako pronaći udaljenost od tačke do prave linije možete odgovoriti i na drugi način koji ne uključuje pamćenje gornjih formula. Ova metoda se sastoji u određivanju tačke na pravoj liniji, koja je projekcija izvorne tačke.

Pretpostavimo da postoji tačka M i prava r. Projekcija na r tačke M odgovara nekoj tački M 1 . Udaljenost od M do r jednaka je dužini vektora MM 1 ¯.

Kako pronaći koordinate M 1 ? Veoma jednostavno. Dovoljno je podsjetiti da će vektor prava v¯ biti okomit na MM 1 ¯, odnosno njihov skalarni proizvod mora biti jednak nuli. Dodajući ovom uslovu činjenicu da koordinate M 1 moraju zadovoljiti jednačinu prave r, dobijamo sistem jednostavnih linearnih jednačina. Kao rezultat njegovog rješenja dobiju se koordinate projekcije tačke M na r.

Metoda opisana u ovom paragrafu za pronalaženje udaljenosti od prave do tačke može se koristiti za ravan i za prostor, ali njena primjena zahtijeva poznavanje vektorske jednačine za pravu.

Zadatak u avionu

Sada je vrijeme da pokažemo kako koristiti predstavljeni matematički aparat za rješavanje stvarnih problema. Pretpostavimo da je na ravni data tačka M(-4; 5). Potrebno je pronaći udaljenost od tačke M do prave linije koja je opisana opštom jednačinom:

3 × (-4) + 6 = -6 ≠ 5

To jest, M ne leži na liniji.

Kako jednačina prave linije nije data u opštem obliku, svodimo je na takvu da bismo mogli koristiti odgovarajuću formulu, imamo:

y = 3 × x + 6

3 x x - y + 6 = 0

Sada možete zamijeniti poznate brojeve u formulu za d:

d = |A × x 2 + B × y 2 + C| / √(A 2 + B 2) =

= |3 × (-4) -1 × 5+6| / √(3 2 +(-1) 2) = 11 / √10 ≈ 3,48

Zadatak u svemiru

Sada razmotrite slučaj u svemiru. Neka je prava linija opisana sljedećom jednačinom:

(x; y; z) = (1; -1; 0) + α × (3; -2; 1)

Kolika je udaljenost od njega do tačke M(0; 2; -3)?

Kao iu prethodnom slučaju, provjeravamo da li M pripada datoj liniji. Da bismo to učinili, zamjenjujemo koordinate u jednadžbu i prepisujemo je eksplicitno:

x = 0 = 1 + 3 × α => α = -1/3;

y \u003d 2 = -1 -2 × α => α = -3/2;

Pošto se dobijaju različiti parametri α, onda M ne leži na ovoj liniji. Sada izračunavamo udaljenost od nje do prave linije.

Da biste koristili formulu za d, uzmite proizvoljnu tačku na pravoj, na primjer P(1; -1; 0), a zatim:

Izračunajmo unakrsni proizvod između PM¯ i prave v¯. Dobijamo:

= [(-1; 3; -3) * (3; -2; 1)] = (-3; -8; -7)

Sada zamjenjujemo module pronađenog vektora i vektora v¯ u formulu za d, dobivamo:

d = √(9 + 64 + 49) / √(9 + 4 + 1) ≈ 2,95

Ovaj odgovor bi se mogao dobiti pomoću gore opisane metode, koja uključuje rješavanje sistema linearnih jednačina. U ovom i prethodnim problemima, izračunate vrijednosti udaljenosti od prave do tačke prikazane su u jedinicama odgovarajućeg koordinatnog sistema.

U ovom članku, ti i ja ćemo započeti raspravu o jednom "čarobnom štapiću" koji će vam omogućiti da svedete mnoge probleme u geometriji na jednostavnu aritmetiku. Ovaj “štapić” može vam umnogome olakšati život, posebno kada se osjećate nesigurno u građenju prostornih figura, presjeka itd. Sve to zahtijeva određenu maštu i praktične vještine. Metoda, koju ćemo ovdje početi razmatrati, omogućit će vam da se gotovo u potpunosti apstrahujete od svih vrsta geometrijskih konstrukcija i zaključivanja. Metoda se zove "koordinatni metod". U ovom članku ćemo razmotriti sljedeća pitanja:

1. Koordinatna ravan
2. Tačke i vektori na ravni
3. Izgradnja vektora iz dvije tačke
4. Dužina vektora (udaljenost između dvije tačke).
5. Koordinate sredine
6. Tačkasti proizvod vektora
7. Ugao između dva vektora

Mislim da ste već pogodili zašto se koordinatni metod tako zove? Tačno je da je dobio takav naziv, jer ne operiše geometrijskim objektima, već njihovim numeričkim karakteristikama (koordinatama). A sama transformacija, koja omogućava prelazak sa geometrije na algebru, sastoji se u uvođenju koordinatnog sistema. Ako je originalna figura bila ravna, tada su koordinate dvodimenzionalne, a ako je figura trodimenzionalna, onda su koordinate trodimenzionalne. U ovom članku ćemo razmotriti samo dvodimenzionalni slučaj. A glavna svrha članka je naučiti vas kako koristiti neke osnovne tehnike koordinatnog metoda (ponekad se ispostavi da su korisne pri rješavanju problema iz planimetrije u dijelu B Jedinstvenog državnog ispita). Sljedeća dva odjeljka na ovu temu posvećena su raspravi o metodama rješavanja problema C2 (problem stereometrije).

Gdje bi bilo logično započeti raspravu o koordinatnoj metodi? Vjerovatno s konceptom koordinatnog sistema. Sjeti se kad si je prvi put sreo. Čini mi se da u 7. razredu, kada ste učili za postojanje linearne funkcije npr. Dozvolite mi da vas podsjetim da ste ga gradili tačku po tačku. Sjećaš li se? Izabrali ste proizvoljan broj, zamijenili ga u formulu i izračunali na ovaj način. Na primjer, ako, onda, ako, onda, itd. Šta ste dobili kao rezultat? I dobili ste bodove sa koordinatama: i. Zatim ste nacrtali "križ" (koordinatni sistem), na njemu odabrali skalu (koliko ćelija ćete imati kao jedan segment) i na njemu označili tačke koje ste dobili, koje ste zatim povezali pravom linijom, što je rezultiralo linija je graf funkcije.

Postoji nekoliko stvari koje vam treba malo detaljnije objasniti:

1. Odabirete jedan segment iz razloga pogodnosti, tako da sve lijepo i kompaktno stane na sliku

2. Pretpostavlja se da os ide s lijeva na desno, a os ide odozdo prema gore

3. Seku se pod pravim uglom, a tačka njihovog preseka naziva se ishodište. Označen je slovom.

4. U zapisu koordinate tačke, na primjer, lijevo u zagradama je koordinata tačke duž ose, a desno duž ose. Konkretno, jednostavno znači da je poenta

5. Da biste postavili bilo koju tačku na koordinatnu os, potrebno je navesti njene koordinate (2 broja)

6. Za bilo koju tačku koja leži na osi,

7. Za bilo koju tačku koja leži na osi,

8. Os se naziva x-osa

9. Osa se zove y-osa

Hajde sada da napravimo sledeći korak sa vama: označite dve tačke. Povežite ove dvije tačke linijom. I stavimo strelicu kao da crtamo segment od tačke do tačke: to jest, naš segment ćemo usmjeriti!

Zapamtite koji je drugi naziv za usmjereni segment? Tako je, to se zove vektor!

Dakle, ako povežemo tačku sa tačkom, i početak će biti tačka A, a kraj tačka B, tada dobijamo vektor. I ovu konstrukciju ste radili u 8. razredu, sjećate se?

Ispada da se vektori, kao i tačke, mogu označiti sa dva broja: ti brojevi se nazivaju koordinatama vektora. Pitanje: mislite li da je dovoljno da znamo koordinate početka i kraja vektora da bismo pronašli njegove koordinate? Ispostavilo se da da! I to je vrlo lako uraditi:

Dakle, pošto je u vektoru tačka početak, a kraj, vektor ima sledeće koordinate:

Na primjer, ako, onda koordinate vektora

Sada uradimo suprotno, pronađite koordinate vektora. Šta trebamo promijeniti za ovo? Da, morate zamijeniti početak i kraj: sada će početak vektora biti u tački, a kraj u tački. onda:

Pogledajte pažljivo, koja je razlika između vektora i? Njihova jedina razlika su znaci u koordinatama. Oni su suprotni. Ova činjenica je napisana ovako:

Ponekad, ako nije posebno navedeno koja tačka je početak vektora, a koja kraj, vektori se ne označavaju sa dva velika slova, već jednim malim slovima, na primjer: itd.

Sad malo praksa i pronađite koordinate sljedećih vektora:

pregled:

Sada riješite problem malo teže:

Vektorski torus sa on-cha-scrapom u tački ima ko-ili-di-na-ti. Pronađite-di-te abs-cis-su tačke.

Svejedno je prilično prozaično: Neka su koordinate tačke. Onda

Sistem sam sastavio tako što sam odredio koje su koordinate vektora. Tada tačka ima koordinate. Nas zanima apscisa. Onda

odgovor:

Šta još možete učiniti s vektorima? Da, skoro sve je isto kao i sa običnim brojevima (osim što ne možete dijeliti, ali možete množiti na dva načina, od kojih ćemo o jednom govoriti malo kasnije)

1. Vektori se mogu slagati jedan s drugim
2. Vektori se mogu oduzimati jedan od drugog
3. Vektori se mogu pomnožiti (ili podijeliti) sa proizvoljnim brojem koji nije nula
4. Vektori se mogu međusobno množiti

Sve ove operacije imaju prilično vizualni geometrijski prikaz. Na primjer, pravilo trokuta (ili paralelograma) za sabiranje i oduzimanje:

Vektor se rasteže ili smanjuje ili mijenja smjer kada se pomnoži ili podijeli brojem:

Međutim, ovdje će nas zanimati pitanje šta se događa s koordinatama.

1. Prilikom sabiranja (oduzimanja) dva vektora, sabiramo (oduzimamo) njihove koordinate element po element. To je:

2. Prilikom množenja (dijeljenja) vektora brojem, sve njegove koordinate se množe (dijele) ovim brojem:

Na primjer:

· Find-di-zbir ko-ili-di-nat stoljeća-to-ra.

Nađimo prvo koordinate svakog od vektora. Oba imaju isto porijeklo - početnu tačku. Njihovi krajevi su različiti. Zatim, . Sada izračunavamo koordinate vektora. Tada je zbir koordinata rezultirajućeg vektora jednak.

odgovor:

Sada sami riješite sljedeći problem:

· Nađi zbir koordinata vektora

Provjeravamo:

Razmotrimo sada sljedeći problem: imamo dvije tačke na koordinatnoj ravni. Kako pronaći udaljenost između njih? Neka bude prva tačka, a druga. Označimo udaljenost između njih kao . Napravimo sljedeći crtež radi jasnoće:

Šta sam učinio? Prvo sam povezao tačke i, a takođe sam iz tačke nacrtao liniju paralelnu sa osi i iz tačke nacrtao liniju paralelnu sa osom. Jesu li se ukrštali u jednoj tački, formirajući divnu figuru? Zašto je divna? Da, ti i ja znamo skoro sve o pravouglom trouglu. Pa, Pitagorina teorema, sigurno. Željeni segment je hipotenuza ovog trougla, a segmenti su katete. Koje su koordinate tačke? Da, lako ih je pronaći sa slike: Budući da su segmenti paralelni osi i, odnosno, njihove dužine je lako pronaći: ako dužine segmenata označimo kroz, tada

Sada upotrijebimo Pitagorinu teoremu. Znamo dužine kateta, naći ćemo hipotenuzu:

Dakle, udaljenost između dvije tačke je korijenski zbir kvadrata razlika od koordinata. Ili - udaljenost između dvije tačke je dužina segmenta koji ih povezuje. Lako je vidjeti da udaljenost između tačaka ne ovisi o smjeru. onda:

Iz ovoga izvlačimo tri zaključka:

Vježbajmo malo u izračunavanju udaljenosti između dvije tačke:

Na primjer, ako, onda udaljenost između i je

Ili idemo drugačije: pronađite koordinate vektora

I pronađite dužinu vektora:

Kao što vidite, isto je!

Sada malo vježbajte sami:

Zadatak: pronađite udaljenost između datih tačaka:

Provjeravamo:

Evo još nekoliko problema za istu formulu, iako zvuče malo drugačije:

1. Pronađite-di-te kvadrat dužine kapka-ra.

2. Nai-di-te kvadrat dužine kapka do-ra

Pretpostavljam da ih lako možete nositi? Provjeravamo:

1. I ovo je za pažnju) Već smo ranije pronašli koordinate vektora: . Tada vektor ima koordinate. Kvadrat njegove dužine bit će:

2. Pronađite koordinate vektora

Tada je kvadrat njegove dužine

Ništa komplikovano, zar ne? Jednostavna aritmetika, ništa više.

Sljedeće zagonetke se ne mogu jednoznačno klasificirati, one su prije za opću erudiciju i sposobnost crtanja jednostavnih slika.

1. Nađi-di-one sinuse ugla na-klo-na-od-reza, poveži-jednu-n-tu tačku, sa osom apscise.

i

Kako ćemo to uraditi ovdje? Morate pronaći sinus ugla između i ose. A gdje možemo tražiti sinus? Tako je, u pravouglu. Dakle, šta treba da radimo? Napravi ovaj trougao!

Pošto su koordinate tačke i, tada je segment jednak i segmentu. Moramo pronaći sinus ugla. Dozvolite mi da vas podsjetim da je sinus onda omjer suprotnog kraka i hipotenuze

Šta nam preostaje da radimo? Pronađite hipotenuzu. To možete učiniti na dva načina: pomoću Pitagorine teoreme (noge su poznate!) ili korištenjem formule za udaljenost između dvije točke (zapravo isto kao i prva metoda!). ići ću drugim putem:

odgovor:

Sljedeći zadatak će vam se činiti još lakšim. Ona - na koordinatama tačke.

Zadatak 2. Od tačke, per-pen-di-ku-lar se spušta na osu abs-ciss. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Napravimo crtež:

Osnova okomice je tačka u kojoj ona siječe x-osu (os) za mene je to tačka. Slika pokazuje da ima koordinate: . Nas zanima apscisa - odnosno "X" komponenta. Ona je jednaka.

odgovor: .

Zadatak 3. Pod uslovima prethodnog zadatka, naći zbir udaljenosti od tačke do koordinatnih osa.

Zadatak je općenito elementaran ako znate kolika je udaljenost od točke do osi. Ti znaš? Nadam se, ali vas ipak podsećam:

Dakle, na svom crtežu, koji se nalazi malo više, već sam prikazao jednu takvu okomitu? Koja je to osovina? do ose. I koja je onda njegova dužina? Ona je jednaka. Sada sami nacrtajte okomicu na osu i pronađite njenu dužinu. Biće ravnopravno, zar ne? Tada je njihov zbir jednak.

odgovor: .

Zadatak 4. U uslovima zadatka 2 pronaći ordinatu tačke simetrične tački oko x-ose.

Mislim da intuitivno razumete šta je simetrija? Ima ga jako mnogo objekata: mnoge zgrade, stolovi, avioni, mnogo geometrijskih oblika: lopta, cilindar, kvadrat, romb, itd. Grubo govoreći, simetrija se može shvatiti na sljedeći način: figura se sastoji od dva (ili više) identične polovine. Ova simetrija se naziva aksijalna. Šta je onda osovina? To je upravo linija duž koje se figura može, relativno govoreći, "prerezati" na identične polovine (na ovoj slici osa simetrije je ravna):

Vratimo se sada našem zadatku. Znamo da tražimo tačku koja je simetrična u odnosu na os. Tada je ova osa osa simetrije. Dakle, trebamo označiti tačku tako da os seče segment na dva jednaka dijela. Pokušajte sami označiti takvu tačku. Sada uporedi sa mojim rešenjem:

Jeste li i vi uradili isto? Dobro! U pronađenoj tački nas zanima ordinata. Ona je jednaka

odgovor:

Sada mi recite, nakon što malo razmislim, kolika će biti apscisa tačke simetrične tački A oko y-ose? Šta je vaš odgovor? Tačan odgovor: .

Općenito, pravilo se može napisati ovako:

Tačka simetrična tački oko x-ose ima koordinate:

Tačka simetrična tački oko y-ose ima koordinate:

Pa, sad je stvarno strašno. zadatak: Pronađite koordinate tačke koja je simetrična tački, u odnosu na ishodište. Prvo razmislite sami, a onda pogledajte moj crtež!

odgovor:

Sad problem paralelograma:

Zadatak 5: Bodovi su ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma. Find-dee-te or-dee-on-tu tačke.

Ovaj problem možete riješiti na dva načina: logikom i koordinatnom metodom. Prvo ću primijeniti koordinatni metod, a zatim ću vam reći kako možete odlučiti drugačije.

Sasvim je jasno da je apscisa tačke jednaka. (leži na okomici povučenoj od tačke do x-ose). Moramo pronaći ordinatu. Iskoristimo činjenicu da je naša figura paralelogram, što znači da. Odredite dužinu segmenta koristeći formulu za udaljenost između dvije tačke:

Spuštamo okomicu koja povezuje tačku sa osom. Tačka presjeka je označena slovom.

Dužina segmenta je jednaka. (pronađite sami problem, gdje smo raspravljali o ovom trenutku), tada ćemo pronaći dužinu segmenta koristeći Pitagorinu teoremu:

Dužina segmenta je potpuno ista kao i njegova ordinata.

odgovor: .

Drugo rješenje (samo ću dati sliku koja to ilustruje)

Napredak rješenja:

1. Potrošite

2. Pronađite koordinate i dužinu tačke

3. Dokažite to.

Drugi problem dužine rezanja:

Tačke su-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-angle-no-ka. Pronađite dužinu njegove srednje linije, par-ral-lel-noy.

Sjećate li se koja je srednja linija trougla? Onda je za vas ovaj zadatak elementaran. Ako se ne sjećate, podsjetit ću vas: srednja linija trokuta je linija koja spaja sredine suprotnih strana. Paralelan je osnovici i jednak njenoj polovini.

Baza je segment. Ranije smo morali tražiti njegovu dužinu, jednaka je. Tada je dužina srednje linije upola manja i jednaka.

odgovor: .

Komentar: Ovaj problem se može riješiti na drugi način, na koji ćemo se obratiti malo kasnije.

U međuvremenu, evo nekoliko zadataka za vas, vježbajte na njima, prilično su jednostavni, ali pomažu da “napunite ruku” koordinatnom metodom!

1. Tačke se pojavljuju-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. Pronađite dužinu njegove srednje linije.

2. Poeni i yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Find-dee-te or-dee-on-tu tačke.

3. Nađite dužinu iz reza, povežite drugu tačku i

4. Pronađite-di-te područje za-crveni-shen-noy fi-gu-ry na ko-or-di-nat-noy ravni.

5. Krug sa centrom u na-cha-le ko-or-di-nat prolazi kroz tačku. Nađi-de-te njene ra-di-brkove.

6. Nai-di-te ra-di-us krug-no-sti, opiši-san-noy blizu pravog ugla-no-ka, vrhovi-shi-ny nečega-ro-go imaju ko-ili - di-na-ti ko-od-odgovori-ali

rješenja:

1. Poznato je da je srednja linija trapeza jednaka polovini zbira njegovih osnova. Osnova je jednaka, ali baza. Onda

odgovor:

2. Najlakši način za rješavanje ovog problema je da to primijetite (pravilo paralelograma). Izračunajte koordinate vektora i nije teško: . Prilikom dodavanja vektora, dodaju se koordinate. Zatim ima koordinate. Tačka ima iste koordinate, pošto je početak vektora tačka sa koordinatama. Zanima nas ordinata. Ona je jednaka.

odgovor:

3. Odmah postupamo prema formuli za rastojanje između dvije tačke:

odgovor:

4. Pogledajte sliku i recite, između koje dvije figure je “stisnuto” osenčeno područje? U sendviču je između dva kvadrata. Tada je površina željene figure jednaka površini velikog kvadrata minus površina malog. Stranica malog kvadrata je segment koji povezuje tačke i njegova dužina je

Tada je površina malog kvadrata

Isto radimo i sa velikim kvadratom: njegova stranica je segment koji povezuje tačke i njegova dužina je jednaka

Tada je površina velikog kvadrata

Područje željene figure nalazi se po formuli:

odgovor:

5. Ako krug ima ishodište kao centar i prolazi kroz tačku, tada će njegov polumjer biti tačno jednak dužini segmenta (napravite crtež i shvatit ćete zašto je to očigledno). Pronađite dužinu ovog segmenta:

odgovor:

6. Poznato je da je poluprečnik kružnice opisane oko pravougaonika jednak polovini njegove dijagonale. Nađimo dužinu bilo koje od dvije dijagonale (na kraju krajeva, u pravokutniku su jednake!)

odgovor:

Pa, jeste li sve uspjeli? Nije bilo tako teško shvatiti, zar ne? Ovdje postoji samo jedno pravilo - da možete napraviti vizualnu sliku i jednostavno "pročitati" sve podatke iz nje.

Ostalo nam je jako malo. Postoje bukvalno još dvije stvari o kojima bih želio da prodiskutujem.

Pokušajmo riješiti ovaj jednostavan problem. Neka dva boda i daju. Pronađite koordinate sredine segmenta. Rješenje ovog problema je sljedeće: neka je tačka željena sredina, tada ima koordinate:

To je: koordinate sredine segmenta = aritmetička sredina odgovarajućih koordinata krajeva segmenta.

Ovo pravilo je vrlo jednostavno i obično ne izaziva poteškoće kod učenika. Pogledajmo u kojim problemima i kako se koristi:

1. Nađi-di-te ili-di-na-tu se-re-di-us iz-reza, poveži-nya-yu-th-th point i

2. Bodovi su yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka. Pronađi-di-te ili-di-na-tu tačke re-re-se-che-niya njegovog dia-go-on-lei.

3. Pronađite-di-te abs-cis-su centra kruga, opišite-san-noy u blizini pravokutnika-no-ka, vrhovi-shi-imamo nešto-ro-go ko-ili-di- na-vi ko-od-vet-stvenno-ali.

rješenja:

1. Prvi zadatak je samo klasičan. Odmah djelujemo određivanjem sredine segmenta. Ona ima koordinate. Ordinata je jednaka.

odgovor:

2. Lako je vidjeti da je dati četverougao paralelogram (čak i romb!). To možete sami dokazati tako što ćete izračunati dužine stranica i međusobno ih uporediti. Šta ja znam o paralelogramu? Njegove dijagonale su prepolovljene točkom presjeka! Aha! Dakle, šta je tačka preseka dijagonala? Ovo je sredina bilo koje od dijagonala! Odabrat ću, posebno, dijagonalu. Tada tačka ima koordinate.Ordinata tačke je jednaka.

odgovor:

3. Koliki je centar kružnice opisane oko pravougaonika? Poklapa se sa točkom preseka njegovih dijagonala. Šta znaš o dijagonalama pravougaonika? Oni su jednaki i tačka preseka je podeljena na pola. Zadatak je sveden na prethodni. Uzmimo, na primjer, dijagonalu. Tada ako je centar opisanog kruga, onda je sredina. Tražim koordinate: apscisa je jednaka.

odgovor:

Sada malo vježbajte sami, samo ću vam dati odgovore na svaki problem da se sami provjerite.

1. Nai-di-te ra-di-us krug-no-sti, opiši-san-noy u blizini trougla-no-ka, vrhovi nekoga-ro-go imaju ko-or-di -ne gospodina

2. Pronađite-di-te ili-di-na-tu centar kruga, opišite san-noy u blizini trokuta-no-ka, vrhove-shi-imamo nešto-ro-go koordinate

3. Kakav ra-di-y-sa treba da postoji kružnica sa centrom u tački tako da dodiruje osu aps-cisa?

4. Pronađite-di-te ili-di-na-tu tačku ponovnog ponovnog-se-če-inga ose i od-reza, spojite-nya-yu-th-tu tačku i

odgovori:

Je li sve uspjelo? Zaista se tome nadam! Sada - posljednji guranje. Sada budite posebno oprezni. Materijal koji ću sada objasniti nije relevantan samo za probleme jednostavne koordinatne metode u Dijelu B, već se nalazi iu cijelom problemu C2.

Koje od svojih obećanja još nisam ispunio? Sjećate se koje sam operacije nad vektorima obećao uvesti, a koje sam na kraju uveo? Jesam li siguran da nisam ništa zaboravio? Zaboravio sam! Zaboravio sam da objasnim šta znači množenje vektora.

Postoje dva načina da se vektor pomnoži sa vektorom. Ovisno o odabranoj metodi, dobit ćemo objekte različite prirode:

Vektorski proizvod je prilično težak. Kako to učiniti i zašto je to potrebno, razgovarat ćemo s vama u sljedećem članku. I ovdje ćemo se fokusirati na skalarni proizvod.

Već postoje dva načina koji nam omogućavaju da ga izračunamo:

Kao što ste pretpostavili, rezultat bi trebao biti isti! Dakle, hajde da prvo pogledamo prvi način:

Točkasti proizvod kroz koordinate

Pronađite: - uobičajenu notaciju za tačkasti proizvod

Formula za izračun je sljedeća:

To jest, tačkasti proizvod = zbir proizvoda koordinata vektora!

primjer:

Find-dee-te

Rješenje:

Pronađite koordinate svakog od vektora:

Izračunavamo skalarni proizvod po formuli:

odgovor:

Vidite, apsolutno ništa komplikovano!

Pa, sad probajte i sami:

Pronađi-di-te skalarno-noe pro-od-ve-de-nie stoljeća-do-rova i

Jeste li uspjeli? Možda je primetio mali trik? hajde da proverimo:

Vektorske koordinate, kao u prethodnom zadatku! Odgovor: .

Osim koordinate, postoji još jedan način izračunavanja skalarnog proizvoda, naime, kroz dužine vektora i kosinus ugla između njih:

Označava ugao između vektora i.

To jest, skalarni proizvod je jednak proizvodu dužina vektora i kosinusa ugla između njih.

Zašto nam treba ova druga formula, ako imamo prvu, koja je mnogo jednostavnija, barem u njoj nema kosinusa. A to nam je potrebno da iz prve i druge formule možemo zaključiti kako pronaći ugao između vektora!

Neka onda zapamti formulu za dužinu vektora!

Zatim, ako ubacim ove podatke u formulu točkastog proizvoda, dobijem:

Ali sa druge strane:

Pa šta imamo? Sada imamo formulu za izračunavanje ugla između dva vektora! Ponekad se, radi sažetosti, piše i ovako:

Odnosno, algoritam za izračunavanje ugla između vektora je sljedeći:

1. Izračunavamo skalarni proizvod kroz koordinate
2. Pronađite dužine vektora i pomnožite ih
3. Podijelite rezultat tačke 1 rezultatom tačke 2

Vježbajmo na primjerima:

1. Pronađite ugao između očnih kapaka do-ra-mi i. Odgovor dajte u stepenima.

2. Pod uslovima prethodnog zadatka, pronaći kosinus između vektora

Hajde da uradimo ovo: pomoći ću ti da rešiš prvi problem, a drugi pokušaj da uradiš sam! Slažem se? Onda počnimo!

1. Ovi vektori su naši stari prijatelji. Već smo razmotrili njihov skalarni proizvod i bio je jednak. Njihove koordinate su: , . Zatim nalazimo njihove dužine:

Zatim tražimo kosinus između vektora:

Koliki je kosinus ugla? Ovo je ugao.

odgovor:

Pa, sad sami riješite drugi problem, a onda uporedite! Daću samo kratko rešenje:

2. ima koordinate, ima koordinate.

Neka je ugao između vektora i, onda

odgovor:

Treba napomenuti da su zadaci direktno na vektorima i metodu koordinata u dijelu B ispitnog rada prilično rijetki. Međutim, velika većina C2 problema može se lako riješiti uvođenjem koordinatnog sistema. Dakle, ovaj članak možete smatrati temeljom, na osnovu kojeg ćemo napraviti prilično lukave konstrukcije koje će nam trebati za rješavanje složenih problema.

KOORDINATE I VEKTORI. SREDNJI NIVO

Ti i ja nastavljamo proučavati metodu koordinata. U zadnjem dijelu smo izveli niz važnih formula koje omogućavaju:

1. Pronađite vektorske koordinate
2. Pronađite dužinu vektora (alternativno: udaljenost između dvije tačke)
3. Dodajte, oduzmite vektore. Pomnožite ih realnim brojem
4. Pronađite sredinu segmenta
5. Izračunati dot proizvod vektora
6. Pronađite ugao između vektora

Naravno, cijela koordinatna metoda se ne uklapa u ovih 6 tačaka. Ona leži u osnovi takve nauke kao što je analitička geometrija, s kojom ćete se upoznati na univerzitetu. Samo želim da izgradim temelj koji će vam omogućiti da rješavate probleme u jednoj državi. ispit. Shvatili smo zadatke dijela B u Sada je vrijeme da pređemo na kvalitativno novi nivo! Ovaj članak će biti posvećen metodi za rješavanje onih C2 problema u kojima bi bilo razumno prijeći na koordinatnu metodu. Ova razumnost je određena onim što treba pronaći u problemu i koja je brojka data. Dakle, koristio bih koordinatnu metodu ako su pitanja:

1. Pronađite ugao između dvije ravni
2. Pronađite ugao između prave i ravni
3. Pronađite ugao između dvije prave
4. Pronađite udaljenost od tačke do ravni
5. Pronađite udaljenost od tačke do prave
6. Pronađite udaljenost od prave do ravni
7. Pronađite razmak između dvije linije

Ako je figura data u uslovu zadatka tijelo okretanja (kugla, cilindar, stožac...)

Pogodne brojke za koordinatnu metodu su:

1. kuboid
2. Piramida (trokutasta, četvorougaona, šestougaona)

Takodje po mom iskustvu neprikladno je koristiti metodu koordinata za:

1. Pronalaženje površina presjeka
2. Proračun volumena tijela

Međutim, odmah treba napomenuti da su tri „nepovoljno” situacije za koordinatni metod prilično rijetke u praksi. U većini zadataka može postati vaš spasilac, pogotovo ako niste jako jaki u trodimenzionalnim konstrukcijama (koje su ponekad prilično zamršene).

Koje su sve brojke koje sam naveo gore? Nisu više ravne, kao što su kvadrat, trokut, krug, već su voluminozne! Shodno tome, moramo uzeti u obzir ne dvodimenzionalni, već trodimenzionalni koordinatni sistem. Gradi se prilično lako: samo uz apscisu i ordinate, uvest ćemo još jednu os, aplikantnu osu. Slika šematski prikazuje njihov relativni položaj:

Svi su međusobno okomiti, sijeku se u jednoj tački, koju ćemo nazvati ishodištem. Osa apscise će, kao i do sada, biti označena, ordinatna osa - , a uvedena aplikatna osa - .

Ako je ranije svaka tačka na ravni bila okarakterisana sa dva broja - apscisa i ordinata, onda je svaka tačka u prostoru već opisana sa tri broja - apscisa, ordinata, aplikat. Na primjer:

Prema tome, apscisa točke je jednaka, ordinata je , a aplikacija je .

Ponekad se apscisa tačke naziva i projekcija tačke na apscisnu osu, ordinata je projekcija tačke na osu ordinate, a aplikacija je projekcija tačke na aplikantnu osu. Prema tome, ako je data tačka, onda je tačka sa koordinatama:

zove se projekcija tačke na ravan

zove se projekcija tačke na ravan

Postavlja se prirodno pitanje: da li su sve formule izvedene za dvodimenzionalni slučaj važeće u prostoru? Odgovor je da, samo su i imaju isti izgled. Za mali detalj. Mislim da ste već pogodili koji. U svim formulama morat ćemo dodati još jedan pojam odgovoran za aplikantnu osu. Naime.

1. Ako su date dvije točke: , tada:

• Vektorske koordinate:
• Udaljenost između dvije tačke (ili vektorska dužina)
• Sredina segmenta ima koordinate

2. Ako su data dva vektora: i, onda:

• Njihov tačkasti proizvod je:
• Kosinus ugla između vektora je:

Međutim, prostor nije tako jednostavan. Kao što razumijete, dodavanje još jedne koordinate uvodi značajnu raznolikost u spektar figura koje "žive" u ovom prostoru. A za dalju naraciju, moram da uvedem neku, grubo rečeno, "generalizaciju" prave linije. Ova "generalizacija" će biti avion. Šta znaš o avionu? Pokušajte odgovoriti na pitanje šta je avion? Veoma je teško reći. Međutim, svi mi intuitivno zamišljamo kako to izgleda:

Grubo govoreći, ovo je neka vrsta beskonačnog "lista" gurnutog u svemir. "Beskonačnost" treba shvatiti da se ravan proteže u svim smjerovima, odnosno da je njena površina jednaka beskonačnosti. Međutim, ovo objašnjenje "na prste" ne daje ni najmanju predstavu o strukturi aviona. I bićemo zainteresovani za to.

Prisjetimo se jednog od osnovnih aksioma geometrije:

• Prava linija prolazi kroz dvije različite tačke na ravni, štaviše, samo jednu:

Ili njegov analog u svemiru:

Naravno, sjećate se kako izvesti jednadžbu ravne linije iz dvije date tačke, to uopće nije teško: ako prva tačka ima koordinate: a druga, tada će jednadžba ravne linije biti sljedeća:

Prošao si kroz ovo u 7. razredu. U prostoru jednadžba prave linije izgleda ovako: imamo dvije točke s koordinatama: , tada jednadžba prave koja prolazi kroz njih ima oblik:

Na primjer, prava prolazi kroz tačke:

Kako ovo treba shvatiti? Ovo treba shvatiti na sljedeći način: tačka leži na pravoj ako njene koordinate zadovoljavaju sljedeći sistem:

Jednačina prave linije nas neće mnogo zanimati, ali moramo obratiti pažnju na veoma važan koncept usmeravajućeg vektora prave linije. - bilo koji vektor različit od nule koji leži na datoj pravoj ili paralelan s njom.

Na primjer, oba vektora su vektori smjera prave linije. Neka biti točka koja leži na pravoj liniji, i biti njen usmjeravajući vektor. Tada se jednačina prave linije može napisati u sljedećem obliku:

Još jednom, neću baš biti zainteresovan za jednadžbu prave linije, ali zaista treba da zapamtite šta je vektor pravca! opet: to je BILO KOJI ne-nulti vektor koji leži na pravoj ili paralelan s njom.

Povuci se jednadžba u tri tačke ravni više nije tako trivijalan i obično se ne obrađuje u srednjoškolskom kursu. Ali uzalud! Ova tehnika je od vitalnog značaja kada pribjegavamo koordinatnoj metodi za rješavanje složenih problema. Ipak, pretpostavljam da ste puni želje da naučite nešto novo? Štaviše, moći ćete da impresionirate svog nastavnika na fakultetu kada se pokaže da već znate kako da koristite tehniku ​​koja se obično izučava na kursu analitičke geometrije. Pa počnimo.

Jednačina ravnine se ne razlikuje previše od jednačine prave na ravni, naime, ima oblik:

neki brojevi (nisu svi jednaki nuli), ali varijable, na primjer: itd. Kao što vidite, jednadžba ravni se ne razlikuje mnogo od jednačine prave (linearne funkcije). Međutim, sećate se šta smo se svađali s vama? Rekli smo da ako imamo tri tačke koje ne leže na jednoj pravoj, onda se jednačina ravnine jedinstveno obnavlja iz njih. Ali kako? Pokušaću da ti objasnim.

Pošto je jednadžba ravni:

I tačke pripadaju ovoj ravni, onda kada zamenimo koordinate svake tačke u jednadžbu ravnine, treba da dobijemo tačan identitet:

Dakle, postoji potreba da se reše tri jednačine već sa nepoznanicama! Dilema! Međutim, uvijek možemo pretpostaviti da (za ovo moramo podijeliti sa). Tako dobijamo tri jednadžbe sa tri nepoznanice:

Međutim, nećemo rješavati takav sistem, već ćemo ispisati kriptični izraz koji iz njega slijedi:

Jednačina ravni koja prolazi kroz tri date tačke

\[\lijevo| (\begin(niz)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(niz)) \desno| = 0\]

Stani! Šta je još ovo? Neki vrlo neobičan modul! Međutim, objekat koji vidite ispred sebe nema nikakve veze sa modulom. Ovaj objekat se naziva determinanta trećeg reda. Od sada, kada se bavite metodom koordinata na ravni, često ćete naići na ove determinante. Šta je determinanta trećeg reda? Čudno, to je samo broj. Ostaje razumjeti koji ćemo konkretni broj uporediti s determinantom.

Zapišimo prvo determinantu trećeg reda u općenitijem obliku:

Gdje su neki brojevi. Štaviše, pod prvim indeksom podrazumijevamo broj reda, a pod indeksom - broj kolone. Na primjer, to znači da je dati broj na sjecištu drugog reda i treće kolone. Postavimo sljedeće pitanje: kako ćemo tačno izračunati takvu determinantu? Odnosno, s kojim konkretnim brojem ćemo ga uporediti? Za determinantu upravo trećeg reda postoji pravilo heurističkog (vizuelnog) trougla, koje izgleda ovako:

1. Umnožak elemenata glavne dijagonale (od gore lijevo do dolje desno) proizvod elemenata koji čine prvi trokut "okomito" na glavnu dijagonalu proizvod elemenata koji čine drugi trokut "okomit" na glavnu dijagonala
2. Umnožak elemenata sekundarne dijagonale (od gornjeg desnog ugla do donjeg lijevog) proizvod elemenata koji čine prvi trokut "okomito" sekundarne dijagonale proizvod elemenata koji čine drugi trokut "okomito" sekundarne dijagonale
3. Tada je determinanta jednaka razlici između vrijednosti dobijenih u koraku i

Ako sve ovo zapišemo brojevima, onda ćemo dobiti sljedeći izraz:

Međutim, ne morate pamtiti način izračuna u ovom obliku, dovoljno je samo zadržati trokute u glavi i samu ideju šta se čemu dodaje, a šta se onda oduzima od čega).

Ilustrirajmo metodu trokuta na primjeru:

1. Izračunajte determinantu:

Hajde da shvatimo šta dodajemo, a šta oduzimamo:

Uslovi koji dolaze sa "plus":

Ovo je glavna dijagonala: proizvod elemenata je

Prvi trokut, "okomit na glavnu dijagonalu: proizvod elemenata je

Drugi trokut, "okomit na glavnu dijagonalu: proizvod elemenata je

Dodajemo tri broja:

Termini koji dolaze sa "minusom"

Ovo je bočna dijagonala: proizvod elemenata je

Prvi trokut, "okomit na sekundarnu dijagonalu: proizvod elemenata je

Drugi trokut, "okomit na sekundarnu dijagonalu: proizvod elemenata je

Dodajemo tri broja:

Sve što ostaje da se uradi je da se od zbira plus članova oduzme zbir minus članova:

Na ovaj način,

Kao što vidite, nema ničeg kompliciranog i natprirodnog u izračunavanju determinanti trećeg reda. Jednostavno je važno zapamtiti trouglove i ne praviti aritmetičke greške. Sada pokušajte sami izračunati:

Provjeravamo:

1. Prvi trokut okomit na glavnu dijagonalu:
2. Drugi trokut okomit na glavnu dijagonalu:
3. Zbir plus uslova:
4. Prvi trokut okomit na bočnu dijagonalu:
5. Drugi trokut, okomit na bočnu dijagonalu:
6. Zbir članova sa minusom:
7. Zbir plus članova minus zbir minus članova:

Evo još par odrednica za vas, sami izračunajte njihove vrijednosti i uporedite s odgovorima:

odgovori:

Pa, da li se sve poklopilo? Odlično, onda možete dalje! Ako postoje poteškoće, onda je moj savjet sljedeći: na internetu postoji gomila programa za izračunavanje determinante na mreži. Sve što trebate je da smislite svoju determinantu, sami je izračunate, a zatim uporedite sa onim što program izračunava. I tako sve dok rezultati ne počnu da se poklapaju. Siguran sam da ovaj trenutak neće dugo trajati!

Vratimo se sada na odrednicu koju sam napisao kada sam govorio o jednačini ravni koja prolazi kroz tri date tačke:

Sve što treba da uradite je da direktno izračunate njegovu vrednost (pomoću metode trougla) i postavite rezultat na nulu. Naravno, pošto su varijable, dobićete izraz koji zavisi od njih. Taj izraz će biti jednačina ravnine koja prolazi kroz tri date tačke koje ne leže na jednoj pravoj!

Ilustrirajmo ovo jednostavnim primjerom:

1. Konstruirajte jednačinu ravnine koja prolazi kroz tačke

Sastavljamo odrednicu za ove tri tačke:

Pojednostavljenje:

Sada ga izračunavamo direktno prema pravilu trokuta:

\[(\left| (\begin(niz)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(niz)) \ desno| = \left((x + 3) \desno) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \desno) + \left((y - 2) \desno) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Dakle, jednačina ravnine koja prolazi kroz tačke je:

Sada pokušajte sami riješiti jedan problem, a onda ćemo o njemu razgovarati:

2. Naći jednačinu ravnine koja prolazi kroz tačke

Pa, hajde da sada razgovaramo o rješenju:

Pravimo odrednicu:

I izračunajte njegovu vrijednost:

Tada jednačina ravni ima oblik:

Ili, smanjivanjem za, dobijamo:

Sada dva zadatka za samokontrolu:

1. Konstruišite jednačinu ravni koja prolazi kroz tri tačke:

odgovori:

Je li se sve poklopilo? Opet, ako postoje određene poteškoće, onda je moj savjet sljedeći: uzmite tri tačke iz glave (sa velikim stepenom vjerovatnoće neće ležati na jednoj pravoj liniji), sagradite na njima ravan. A onda se provjeri na internetu. Na primjer, na web stranici:

Međutim, uz pomoć determinanti konstruisaćemo ne samo jednadžbu ravnine. Zapamtite, rekao sam vam da za vektore nije definiran samo tačkasti proizvod. Postoji i vektor, kao i mješoviti proizvod. A ako će skalarni proizvod dva vektora biti broj, tada će vektorski proizvod dva vektora biti vektor, a ovaj vektor će biti okomit na date:

Štaviše, njegov modul će biti jednak površini paralelograma izgrađenog na vektorima i. Ovaj vektor će nam trebati za izračunavanje udaljenosti od tačke do prave. Kako možemo izračunati unakrsni proizvod vektora i ako su date njihove koordinate? U pomoć nam opet dolazi odrednica trećeg reda. Međutim, prije nego što pređem na algoritam za izračunavanje unakrsnog proizvoda, moram napraviti malu lirsku digresiju.

Ova digresija se tiče baznih vektora.

Šematski su prikazani na slici:

Šta mislite zašto se nazivaju osnovnim? Činjenica je da:

Ili na slici:

Valjanost ove formule je očigledna, jer:

vektorski proizvod

Sada mogu početi predstavljati unakrsni proizvod:

Vektorski proizvod dva vektora je vektor koji se izračunava prema sljedećem pravilu:

Sada dajmo nekoliko primjera izračunavanja unakrsnog proizvoda:

Primjer 1: Pronađite unakrsni proizvod vektora:

Rješenje: pravim odrednicu:

I ja izračunam:

Sada, od pisanja kroz bazne vektore, vratit ću se na uobičajenu vektorsku notaciju:

Na ovaj način:

Sada probaj.

Spreman? Provjeravamo:

I tradicionalno dva zadaci za kontrolu:

1. Pronađite unakrsni proizvod sljedećih vektora:
2. Pronađite unakrsni proizvod sljedećih vektora:

odgovori:

Mješoviti proizvod tri vektora

Posljednja konstrukcija koja mi treba je mješoviti proizvod tri vektora. On je, kao skalar, broj. Postoje dva načina da se izračuna. - kroz determinantu, - kroz mješoviti proizvod.

Naime, recimo da imamo tri vektora:

Tada se mješoviti proizvod tri vektora, označen sa može izračunati kao:

1. - to jest, mješoviti proizvod je skalarni proizvod vektora i vektorski proizvod dva druga vektora

Na primjer, mješoviti proizvod tri vektora je:

Pokušajte sami izračunati koristeći vektorski proizvod i uvjerite se da se rezultati podudaraju!

I opet - dva primjera za samostalnu odluku:

odgovori:

Izbor koordinatnog sistema

Pa, sada imamo sav potreban temelj znanja za rješavanje složenih stereometrijskih problema u geometriji. Međutim, prije nego što pređemo direktno na primjere i algoritme za njihovo rješavanje, vjerujem da će biti korisno zadržati se na sljedećem pitanju: kako točno odabrati koordinatni sistem za određenu figuru. Na kraju krajeva, izbor relativnog položaja koordinatnog sistema i figure u prostoru će na kraju odrediti koliko će proračuni biti glomazni.

Podsjećam vas da u ovom dijelu razmatramo sljedeće brojke:

1. kuboid
2. Prava prizma (trouglasta, heksagonalna...)
3. Piramida (trokutasta, četvorougaona)
4. Tetraedar (isto kao trouglasta piramida)

Za kocku ili kocku preporučujem sljedeću konstrukciju:

Odnosno, postaviću figuru „u ugao“. Kocka i kutija su veoma dobre figure. Za njih uvijek možete lako pronaći koordinate njegovih vrhova. Na primjer, ako (kao što je prikazano na slici)

tada su koordinate vrha:

Naravno, ne morate ovo zapamtiti, ali zapamtite kako najbolje postaviti kocku ili pravokutnu kutiju je poželjno.

ravna prizma

Prizma je štetnija figura. Možete ga rasporediti u prostoru na različite načine. Ipak, mislim da je sledeća opcija najbolja:

Trokutasta prizma:

Odnosno, jednu od stranica trokuta stavljamo u potpunosti na osu, a jedan od vrhova se poklapa sa ishodištem.

Heksagonalna prizma:

To jest, jedan od vrhova se poklapa sa ishodištem, a jedna od stranica leži na osi.

Četvorougaona i šestougaona piramida:

Situacija slična kocki: kombiniramo dvije strane baze s koordinatnim osa, kombiniramo jedan od vrhova s ​​ishodištem. Jedina mala poteškoća bit će izračunavanje koordinata tačke.

Za heksagonalnu piramidu - isto kao i za heksagonalnu prizmu. Glavni zadatak će opet biti u pronalaženju koordinata vrha.

Tetraedar (trouglasta piramida)

Situacija je vrlo slična onoj koju sam dao za trouglastu prizmu: jedan vrh se poklapa sa ishodištem, jedna strana leži na koordinatnoj osi.

E, sad smo ti i ja konačno blizu početka rješavanja problema. Iz onoga što sam rekao na samom početku članka, možete izvući sljedeći zaključak: većina C2 problema spada u 2 kategorije: problemi za ugao i problemi za udaljenost. Prvo ćemo razmotriti probleme za pronalaženje ugla. Oni su, pak, podijeljeni u sljedeće kategorije (kako se složenost povećava):

Problemi sa pronalaženjem uglova

1. Pronalaženje ugla između dvije prave
2. Pronalaženje ugla između dvije ravni

Razmotrimo ove probleme redom: počnimo s pronalaženjem ugla između dvije prave. Hajde, zapamti, jesmo li ti i ja rješavali slične primjere ranije? Sjećate se, jer smo već imali nešto slično... Tražili smo ugao između dva vektora. Podsjećam vas, ako su data dva vektora: i, onda se ugao između njih nalazi iz relacije:

Sada imamo cilj - pronaći ugao između dvije prave. Okrenimo se "ravnoj slici":

Koliko uglova dobijemo kada se dve prave seku? Već stvari. Istina, samo dva od njih nisu jednaka, dok su drugi okomiti na njih (i stoga se poklapaju s njima). Dakle, koji bi ugao trebali uzeti u obzir ugao između dvije prave: ili? Ovdje je pravilo: ugao između dvije prave uvijek nije veći od stepeni. Odnosno, iz dva ugla, uvek ćemo birati ugao sa najmanjom stepenom mere. To jest, na ovoj slici je ugao između dve prave jednak. Kako se ne bi mučili svaki put s pronalaženjem najmanjeg od dva ugla, lukavi matematičari su predložili korištenje modula. Dakle, ugao između dve prave linije određuje se formulom:

Vi, kao pažljivi čitalac, trebalo je da imate pitanje: odakle, u stvari, dobijamo baš te brojeve koji su nam potrebni da izračunamo kosinus ugla? Odgovor: uzet ćemo ih iz vektora smjera linija! Dakle, algoritam za pronalaženje ugla između dve linije je sledeći:

1. Primjenjujemo formulu 1.

Ili detaljnije:

1. Tražimo koordinate vektora smjera prve prave linije
2. Tražimo koordinate vektora smjera druge linije
3. Izračunajte modul njihovog skalarnog proizvoda
4. Tražimo dužinu prvog vektora
5. Tražimo dužinu drugog vektora
6. Pomnožite rezultate iz tačke 4 sa rezultatom iz tačke 5
7. Podijelimo rezultat tačke 3 rezultatom tačke 6. Dobijamo kosinus ugla između pravih
8. Ako nam ovaj rezultat omogućava da tačno izračunamo ugao, tražimo ga
9. U suprotnom, pišemo kroz arkosinus

E, sad je vrijeme da pređemo na zadatke: detaljno ću demonstrirati rješenje prva dva, ukratko ću iznijeti rješenje drugog, a dat ću odgovore samo na zadnja dva zadatka, morate sami uradite sve proračune za njih.

Zadaci:

1. U desnom tet-ra-ed-re, pronađite-di-te ugao između vas-tako-ta tet-ra-ed-ra i me-di-a-noy bo-ko-how strane.

2. U desno-naprijed šest ugljen-pi-ra-mi-de, sto-ro-na-os-no-va-niya su nekako jednake, a bočna rebra su jednaka, pronađite ugao između ravnih linije i.

3. Dužine svih ivica desnog četiri-you-rech-coal-noy pi-ra-mi-dy jednake su jedna drugoj. Pronađite ugao između pravih i ako je od-re-zok - vi-tako-da dato pi-ra-mi-dy, tačka je se-re-di-na njenom bo-ko- th rebru

4. Na rubu kocke od-me-che-do tačke tako da nađete-di-te ugao između pravih i

5. Tačka - se-re-di-na ivicama kocke Nai-di-te ugao između pravih i.

Nije slučajno da sam zadatke rasporedio ovim redom. Dok još niste imali vremena da počnete navigirati koordinatnom metodom, ja ću analizirati najproblematičnije figure, a vas ću ostaviti da se bavite najjednostavnijom kockom! Postepeno morate naučiti kako raditi sa svim figurama, povećavaću složenost zadataka od teme do teme.

Počnimo rješavati probleme:

1. Nacrtajte tetraedar, postavite ga u koordinatni sistem kao što sam ranije predložio. Pošto je tetraedar pravilan, onda su sve njegove strane (uključujući bazu) pravilni trouglovi. Pošto nam nije data dužina stranice, mogu je uzeti jednakom. Mislim da razumete da ugao neće baš zavisiti od toga koliko će naš tetraedar biti "rastegnut"?. Također ću nacrtati visinu i medijan u tetraedru. Usput ću nacrtati njegovu osnovu (i nama će dobro doći).

Moram pronaći ugao između i. šta mi znamo? Znamo samo koordinate tačke. Dakle, moramo pronaći više koordinata tačaka. Sada mislimo: tačka je tačka preseka visina (ili simetrala ili medijana) trougla. Tačka je povišena tačka. Tačka je sredina segmenta. Zatim konačno trebamo pronaći: koordinate tačaka: .

Počnimo s najjednostavnijim: koordinatama tačaka. Pogledajte sliku: Jasno je da je primjena tačke jednaka nuli (tačka leži na ravni). Njegova ordinata je jednaka (jer je medijana). Teže je pronaći njegovu apscisu. Međutim, to se lako radi na osnovu Pitagorine teoreme: Razmotrimo trokut. Njegova hipotenuza je jednaka, a jedan od kateta je jednak Tada:

Konačno imamo:

Sada pronađimo koordinate tačke. Jasno je da je njegova primjena opet jednaka nuli, a ordinata jednaka onoj tačke, tj. Nađimo njegovu apscisu. Ovo je učinjeno prilično trivijalno ako se toga setite visine jednakostraničnog trougla podijeljene su točkom presjeka u proporciji računajući od vrha. Pošto je:, onda je željena apscisa tačke, jednaka dužini segmenta, jednaka:. Dakle, koordinate tačke su:

Nađimo koordinate tačke. Jasno je da se njena apscisa i ordinata poklapaju sa apscisom i ordinatom tačke. A aplikacija je jednaka dužini segmenta. - ovo je jedan od krakova trougla. Hipotenuza trougla je segment - krak. Traže se razlozi koje sam podebljao:

Tačka je sredina segmenta. Zatim moramo zapamtiti formulu za koordinate sredine segmenta:

To je to, sada možemo tražiti koordinate vektora smjera:

Pa, sve je spremno: sve podatke zamjenjujemo u formulu:

Na ovaj način,

odgovor:

Ne treba se plašiti takvih „užasnih“ odgovora: za probleme C2 ovo je uobičajena praksa. Radije bih bio iznenađen "lijepim" odgovorom u ovom dijelu. Također, kao što ste primijetili, praktično nisam pribjegao ničemu drugom osim Pitagorinoj teoremi i svojstvu visina jednakostraničnog trougla. Odnosno, da bih riješio stereometrijski problem, koristio sam minimum stereometrije. Dobitak u tome se djelimično "ugasi" prilično glomaznim proračunima. Ali oni su prilično algoritamski!

2. Nacrtajte pravilnu heksagonalnu piramidu zajedno sa koordinatnim sistemom, kao i njenu osnovu:

Moramo pronaći ugao između linija i. Dakle, naš zadatak se svodi na pronalaženje koordinata tačaka: . Naći ćemo koordinate posljednje tri iz malog crteža, a koordinatu temena pronaći ćemo kroz koordinatu tačke. Puno posla, ali moram početi!

a) Koordinata: jasno je da su njena aplikacija i ordinata nula. Nađimo apscisu. Da biste to učinili, razmislite o pravokutnom trokutu. Avaj, u njemu znamo samo hipotenuzu, koja je jednaka. Pokušaćemo da pronađemo nogu (jer je jasno da će nam dupla dužina kateta dati apscisu tačke). Kako to možemo tražiti? Prisjetimo se kakvu figuru imamo u podnožju piramide? Ovo je pravilan šestougao. Šta to znači? To znači da su sve strane i svi uglovi jednaki. Moramo pronaći jedan takav kutak. Ima li ideja? Ima mnogo ideja, ali postoji formula:

Zbir uglova pravilnog n-ugla je .

Dakle, zbir uglova pravilnog šestougla je stepeni. Tada je svaki od uglova jednak:

Pogledajmo ponovo sliku. Jasno je da je segment simetrala ugla. Tada je ugao stepeni. onda:

Onda gde.

Dakle, ima koordinate

b) Sada možemo lako pronaći koordinate tačke: .

c) Pronađite koordinate tačke. Pošto se njena apscisa poklapa sa dužinom segmenta, ona je jednaka. Pronalaženje ordinate također nije teško: ako povežemo tačke i i označimo tačku presjeka prave, recimo za. (uradite sami jednostavnu konstrukciju). Tada je ordinata tačke B jednaka zbiru dužina segmenata. Pogledajmo ponovo trougao. Onda

Tada od Tada tačka ima koordinate

d) Sada pronađite koordinate tačke. Razmotrimo pravougaonik i dokažimo da su koordinate tačke:

e) Ostaje pronaći koordinate vrha. Jasno je da se njena apscisa i ordinata poklapaju sa apscisom i ordinatom tačke. Hajde da pronađemo aplikaciju. Od tada. Razmotrimo pravougli trougao. Po uslovu problema, bočna ivica. Ovo je hipotenuza mog trougla. Tada je visina piramide noga.

Tada tačka ima koordinate:

To je to, imam koordinate svih tačaka koje me zanimaju. Tražim koordinate usmjeravajućih vektora pravih linija:

Tražimo ugao između ovih vektora:

odgovor:

Opet, prilikom rješavanja ovog problema nisam koristio nikakve sofisticirane trikove, osim formule za zbir uglova pravilnog n-ugla, kao i definicije kosinusa i sinusa pravokutnog trokuta.

3. Pošto nam opet nisu date dužine ivica u piramidi, smatrat ću ih jednakima jedan. Dakle, pošto su SVE ivice, a ne samo bočne, jednake jedna drugoj, onda u osnovi piramide i mene leži kvadrat, a bočne strane su pravilni trouglovi. Hajde da prikažemo takvu piramidu, kao i njenu osnovu na ravni, označavajući sve podatke date u tekstu problema:

Tražimo ugao između i. Napraviću vrlo kratke proračune kada tražim koordinate tačaka. Morat ćete ih "dešifrirati":

b) - sredina segmenta. Njene koordinate:

c) Naći ću dužinu segmenta koristeći Pitagorinu teoremu u trouglu. Naći ću po Pitagorinoj teoremi u trouglu.

koordinate:

d) - sredina segmenta. Njegove koordinate su

e) Vektorske koordinate

f) Vektorske koordinate

g) Traženje ugla:

Kocka je najjednostavnija figura. Siguran sam da to možete sami shvatiti. Odgovori na probleme 4 i 5 su sljedeći:

Pronalaženje ugla između prave i ravni

Pa, vrijeme jednostavnih zagonetki je prošlo! Sada će primjeri biti još teži. Da bismo pronašli ugao između prave i ravni, postupit ćemo na sljedeći način:

1. Koristeći tri tačke gradimo jednačinu ravnine
   ,
   koristeći determinantu trećeg reda.
2. Po dvije tačke tražimo koordinate vektora usmjeravanja prave:
3. Primjenjujemo formulu za izračunavanje ugla između prave i ravnine:

Kao što vidite, ova formula je vrlo slična onoj koju smo koristili za pronalaženje uglova između dvije prave. Struktura desne strane je ista, a na lijevoj sada tražimo sinus, a ne kosinus, kao prije. Pa, dodata je jedna gadna radnja - traženje jednačine ravnine.

Nemojmo odlagati rješavanje primjera:

1. Os-no-va-ni-em ravno-moja nagrada-mi smo-la-et-xia jednaki-ali-siromašni-ren-ny trougao-nick ti-sa-tom nagradom-mi smo jednaki. Pronađite ugao između prave i ravni

2. U pravougaonom pa-ral-le-le-pi-pe-de sa zapada Nai-di-te ugao između prave i ravni

3. U desnoj prizmi sa šest uglja, sve ivice su jednake. Pronađite ugao između prave i ravni.

4. U desnom trouglastom pi-ra-mi-de sa os-but-va-ni-em sa zapada rebra Nai-di-te ugla, ob-ra-zo-van -ny ravan os -no-va-nija i pravo-moja, prolazeći kroz se-re-di-na rebara i

5. Dužine svih ivica pravog četvorougaonog pi-ra-mi-dy sa vrhom jednake su jedna drugoj. Pronađite ugao između prave i ravni, ako je tačka se-re-di-na bo-ko-in-toj ivici pi-ra-mi-dy.

Opet ću prva dva problema riješiti detaljno, treći - ukratko, a zadnja dva ostavljam vama da sami riješite. Osim toga, već ste se morali baviti trouglastim i četverokutnim piramidama, ali još ne i prizmama.

rješenja:

1. Nacrtajte prizmu, kao i njenu osnovu. Kombinirajmo ga sa koordinatnim sistemom i označimo sve podatke koji su dati u iskazu problema:

Izvinjavam se zbog nepoštovanja proporcija, ali za rješavanje problema to, zapravo, nije toliko bitno. Avion je samo "zadnji zid" moje prizme. Dovoljno je samo pogoditi da jednačina takve ravni ima oblik:

Međutim, ovo se može prikazati i direktno:

Mi biramo proizvoljne tri tačke na ovoj ravni: na primjer, .

Napravimo jednačinu ravnine:

Vježba za vas: sami izračunajte ovu determinantu. Jeste li uspjeli? Tada jednačina ravni ima oblik:

Ili jednostavno

Na ovaj način,

Da bih riješio primjer, trebam pronaći koordinate usmjeravajućeg vektora prave linije. Pošto se tačka poklapala sa ishodištem, koordinate vektora će se jednostavno poklapati sa koordinatama tačke.Da bismo to uradili, prvo pronađemo koordinate tačke.

Da biste to učinili, razmotrite trokut. Nacrtajmo visinu (ona je i medijana i simetrala) od vrha. Pošto je tada ordinata tačke jednaka. Da bismo pronašli apscisu ove tačke, moramo izračunati dužinu segmenta. Po Pitagorinoj teoremi imamo:

Tada tačka ima koordinate:

Tačka je "podignuta" na tački:

Zatim koordinate vektora:

odgovor:

Kao što vidite, nema ništa suštinski teško u rješavanju takvih problema. Zapravo, "pravost" figure kao što je prizma malo više pojednostavljuje proces. Sada pređimo na sljedeći primjer:

2. Nacrtamo paralelepiped, nacrtamo ravan i pravu liniju u njemu, a također posebno nacrtamo njegovu donju osnovu:

Prvo, nalazimo jednadžbu ravnine: koordinate tri tačke koje leže u njoj:

(prve dvije koordinate se dobijaju na očigledan način, a zadnju koordinatu lako možete pronaći sa slike iz tačke). Zatim sastavljamo jednačinu ravnine:

Računamo:

Tražimo koordinate vektora pravca: Jasno je da se njegove koordinate poklapaju sa koordinatama tačke, zar ne? Kako pronaći koordinate? Ovo su koordinate tačke, podignute duž aplikativne ose za jedan! . Zatim tražimo željeni ugao:

odgovor:

3. Nacrtajte pravilnu heksagonalnu piramidu, a zatim u njoj nacrtajte ravan i pravu liniju.

Ovdje je čak problematično nacrtati ravan, da ne spominjemo rješenje ovog problema, ali koordinatni metod nije briga! Upravo u njegovoj svestranosti leži njegova glavna prednost!

Avion prolazi kroz tri tačke: . Tražimo njihove koordinate:

jedan) . Sami prikažite koordinate za posljednje dvije točke. Za ovo ćete morati riješiti problem sa heksagonalnom piramidom!

2) Gradimo jednačinu ravni:

Tražimo koordinate vektora: . (Pogledajte ponovo problem trokutaste piramide!)

3) Tražimo ugao:

odgovor:

Kao što vidite, u ovim zadacima nema ništa natprirodno teško. Samo treba da budete veoma oprezni sa korenima. Na poslednja dva problema daću samo odgovore:

Kao što vidite, tehnika rješavanja problema je svugdje ista: glavni zadatak je pronaći koordinate vrhova i zamijeniti ih u neke formule. Ostaje nam da razmotrimo još jednu klasu zadataka za izračunavanje uglova, i to:

Izračunavanje uglova između dve ravni

Algoritam rješenja će biti sljedeći:

1. Za tri tačke tražimo jednačinu prve ravni:
2. Za ostale tri tačke tražimo jednačinu druge ravni:
3. Primjenjujemo formulu:

Kao što vidite, formula je vrlo slična prethodnoj dvije, uz pomoć kojih smo tražili uglove između pravih i između prave i ravni. Tako da vam neće biti teško zapamtiti ovo. Pređimo odmah na problem:

1. Sto-ro-na osnovu desne trouglaste prizme je jednaka, a dijagonala bočne strane je jednaka. Pronađite ugao između ravnine i ravni osnove nagrade.

2. U desno-naprijed četiri-you-re-coal-noy pi-ra-mi-de, sve ivice nekoga su jednake, pronađite sinus ugla između ravnine i ravni Ko-Stu, koja prolazi kroz tačka per-pen-di-ku-lyar-ali pravo-moj.

3. U pravilnoj prizmi sa četiri uglja, stranice os-no-va-nije su jednake, a bočne ivice jednake. Na ivici od-me-če-do tačke tako da. Pronađite ugao između ravnina i

4. U pravoj četverougaonoj prizmi stranice osnova su jednake, a bočne ivice jednake. Na rubu od-me-che-do točke tako da Nađite ugao između ravnina i.

5. U kocki pronađite ko-sinus ugla između ravni i

Rješenja problema:

1. Nacrtam pravilnu (u osnovi - jednakostranični trokut) trouglastu prizmu i na njoj označim ravnine koje se pojavljuju u uslovu zadatka:

Moramo pronaći jednačine dvije ravni: Osnovna jednačina se dobija trivijalno: možete napraviti odgovarajuću determinantu za tri tačke, ali ja ću odmah napraviti jednadžbu:

Sada pronađimo jednačinu Tačka ima koordinate Tačka - Pošto - medijana i visina trougla, lako je pronaći po Pitagorinoj teoremi u trouglu. Tada tačka ima koordinate: Pronađite aplikaciju tačke Da biste to uradili, razmotrite pravougli trougao

Tada dobijamo sledeće koordinate: Sastavljamo jednačinu ravni.

Izračunavamo ugao između ravnina:

odgovor:

2. Izrada crteža:

Najteže je shvatiti kakva je to misteriozna ravan, koja prolazi kroz tačku okomito. Pa, glavno je šta je to? Glavna stvar je pažnja! Zaista, linija je okomita. Linija je također okomita. Tada će ravan koja prolazi kroz ove dvije prave biti okomita na pravu i, usput, proći će kroz tačku. Ova ravan takođe prolazi kroz vrh piramide. Onda željeni avion - I avion nam je već dat. Tražimo koordinate tačaka.

Pronalazimo koordinatu tačke kroz tačku. Lako je zaključiti iz malog crteža da će koordinate tačke biti sljedeće: Šta je sada preostalo za pronaći da bismo pronašli koordinate vrha piramide? Još treba izračunati njegovu visinu. Ovo se radi pomoću iste Pitagorine teoreme: prvo to dokažite (trivijalno od malih trokuta koji formiraju kvadrat na bazi). Pošto po uslovu imamo:

Sada je sve spremno: koordinate vrhova:

Sastavljamo jednačinu ravnine:

Već ste stručnjak za izračunavanje determinanti. Lako ćete dobiti:

Ili drugačije (ako oba dijela pomnožimo korijenom iz dva)

Sada pronađimo jednačinu ravnine:

(Nisi zaboravio kako dobijamo jednačinu ravnine, zar ne? Ako ne razumeš odakle je došao ovaj minus jedan, onda se vratimo na definiciju jednačine ravni! Jednostavno se uvek ispostavilo da je moj avion je pripadao poreklu!)

Izračunavamo determinantu:

(Možda ćete primijetiti da se jednačina ravni poklopila sa jednačinom prave koja prolazi kroz tačke i! Razmislite zašto!)

Sada izračunavamo ugao:

Moramo pronaći sinus:

odgovor:

3. Šaljivo pitanje: šta je pravougaona prizma, šta mislite? To vam je samo dobro poznati paralelepiped! Crtanje odmah! Ne možete čak ni zasebno prikazati bazu, od nje je malo koristi ovdje:

Ravan je, kao što smo ranije napomenuli, zapisana kao jednačina:

Sada pravimo avion

Odmah sastavljamo jednačinu ravnine:

Tražim ugao

Sada odgovori na zadnja dva problema:

Pa, sada je vrijeme za pauzu, jer ti i ja smo super i uradili smo odličan posao!

Koordinate i vektori. Napredni nivo

U ovom članku ćemo s vama razgovarati o drugoj klasi problema koji se mogu riješiti pomoću koordinatnog metoda: problemi udaljenosti. Naime, razmotrićemo sledeće slučajeve:

1. Izračunavanje udaljenosti između kosih linija.

Zadate zadatke sam naručivao kako se njihova složenost povećava. Najlakše je pronaći udaljenost od tačke do ravni a najteže je pronaći udaljenost između linija koje se seku. Iako, naravno, ništa nije nemoguće! Nemojmo odugovlačiti i odmah prijeđimo na razmatranje prve klase problema:

Izračunavanje udaljenosti od tačke do ravni

Šta nam je potrebno da riješimo ovaj problem?

1. Koordinate tačaka

Dakle, čim dobijemo sve potrebne podatke, primjenjujemo formulu:

Već biste trebali znati kako gradimo jednačinu ravnine iz prethodnih zadataka koje sam analizirao u prošlom dijelu. Hajdemo odmah na posao. Shema je sljedeća: 1, 2 - pomažem vam da odlučite, i u nekim detaljima, 3, 4 - samo odgovor, vi sami donosite odluku i uporedite. Počelo!

Zadaci:

1. Zadana kocka. Dužina ivice kocke je Find-di-te udaljenost od se-re-di-ny od reza do ravnog

2. S obzirom na pravo-vil-naya četiri-you-rekh-coal-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe ivica sto-ro-na os-no-va-nia je jednaka. Nađi-di-one udaljenosti od tačke do ravni gdje - se-re-di-na rubovima.

3. U desnom trouglastom pi-ra-mi-de sa os-but-va-ni-em, druga ivica je jednaka, a sto-ro-on os-no-vaniya je jednako. Pronađite-di-te udaljenosti od vrha do ravnine.

4. U desnoj prizmi sa šest uglja, sve ivice su jednake. Nađi-di-te udaljenosti od tačke do ravni.

rješenja:

1. Nacrtajte kocku sa pojedinačnim ivicama, napravite segment i ravan, označite sredinu segmenta slovom

.

Prvo, počnimo s jednostavnim: pronađite koordinate tačke. Od tada (zapamtite koordinate sredine segmenta!)

Sada sastavljamo jednačinu ravnine na tri tačke

\[\lijevo| (\begin(niz)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(niz)) \right| = 0\]

Sada mogu početi da tražim udaljenost:

2. Počinjemo ponovo sa crtežom, na kojem obeležavamo sve podatke!

Za piramidu bi bilo korisno posebno nacrtati njenu osnovu.

Čak i činjenica da crtam kao kokošja šapa neće nas spriječiti da lako riješimo ovaj problem!

Sada je lako pronaći koordinate tačke

Pošto su koordinate tačke

2. Pošto su koordinate tačke a sredina segmenta, onda

Lako možemo pronaći koordinate još dvije tačke na ravni.Sastavljamo jednačinu ravnine i pojednostavljujemo je:

\[\lijevo| (\levo| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(niz)) \right|) \right| = 0\]

Pošto tačka ima koordinate: , tada izračunavamo udaljenost:

Odgovor (veoma retko!):

Pa, jeste li razumjeli? Čini mi se da je ovdje sve jednako tehničko kao i u primjerima koje smo s vama razmatrali u prethodnom dijelu. Tako da sam siguran da ako ste savladali to gradivo, onda vam neće biti teško riješiti preostala dva problema. Samo ću vam dati odgovore:

Izračunavanje udaljenosti od prave do ravni

U stvari, tu nema ničeg novog. Kako se prava i ravan mogu locirati jedna u odnosu na drugu? Imaju sve mogućnosti: da se preseku, ili je prava paralelna sa ravninom. Šta mislite kolika je udaljenost od prave do ravni sa kojom se data prava seče? Čini mi se da je jasno da je takva udaljenost jednaka nuli. Nezanimljiv slučaj.

Drugi slučaj je složeniji: ovdje je udaljenost već različita od nule. Međutim, pošto je prava paralelna sa ravninom, tada je svaka tačka prave jednako udaljena od ove ravni:

Na ovaj način:

A to znači da je moj zadatak sveden na prethodni: tražimo koordinate bilo koje tačke na pravoj, tražimo jednadžbu ravnine, izračunavamo udaljenost od tačke do ravnine. Zapravo, takvi zadaci na ispitu su izuzetno rijetki. Uspio sam pronaći samo jedan problem, a podaci u njemu su bili takvi da koordinatni metod nije bio baš primjenjiv na njega!

Sada pređimo na drugu, mnogo važniju klasu problema:

Izračunavanje udaljenosti tačke do linije

Šta će nam trebati?

1. Koordinate tačke od koje tražimo udaljenost:

2. Koordinate bilo koje tačke koja leži na pravoj liniji

3. Vektorske koordinate pravca

Koju formulu koristimo?

Šta za vas znači imenilac ovog razlomka i zato bi trebalo da bude jasno: ovo je dužina usmeravajućeg vektora prave linije. Evo vrlo lukavog brojača! Izraz označava modul (dužinu) vektorskog proizvoda vektora i Kako izračunati vektorski proizvod, proučavali smo u prethodnom dijelu rada. Osvježite svoje znanje, sada će nam biti od velike koristi!

Dakle, algoritam za rješavanje problema bit će sljedeći:

1. Tražimo koordinate tačke od koje tražimo udaljenost:

2. Tražimo koordinate bilo koje tačke na pravoj do koje tražimo udaljenost:

3. Izgradnja vektora

4. Gradimo vektor pravca prave linije

5. Izračunajte unakrsni proizvod

6. Tražimo dužinu rezultirajućeg vektora:

7. Izračunajte udaljenost:

Imamo puno posla, a primjeri će biti prilično složeni! Sada usmjerite svu svoju pažnju!

1. Dana je desnoruki trouglasti pi-ra-mi-da sa vrhom. Sto-ro-na os-no-va-nija pi-ra-mi-dy je jednako, ti-so-ta je jednako. Pronađite-di-one udaljenosti od se-re-di-ny bo-ko-te ivice do prave linije, gdje su tačke i se-re-di-ny rebara i ko-od-vet -stven-ali.

2. Dužine rebara i pravog ugla-no-para-ral-le-le-pi-pe-da su jednake, respektivno, a Find-di-te udaljenost od top-shi-ny do ravno-my

3. U desnoj prizmi sa šest uglja, sve ivice roja su jednake find-di-one udaljenosti od tačke do prave linije

rješenja:

1. Napravimo uredan crtež na kojem označavamo sve podatke:

Imamo puno posla za vas! Prvo bih želio riječima opisati šta ćemo tražiti i kojim redoslijedom:

1. Koordinate tačaka i

2. Koordinate tačaka

3. Koordinate tačaka i

4. Koordinate vektora i

5. Njihov unakrsni proizvod

6. Dužina vektora

7. Dužina vektorskog proizvoda

8. Udaljenost od do

Pa, imamo puno posla! Zasucimo rukave!

1. Da bismo pronašli koordinate visine piramide, moramo znati koordinate tačke kojoj je aplikat nula, a ordinata jednaka njenoj apscisi. Konačno, dobili smo koordinate:

Koordinate tačaka

2. - sredina segmenta

3. - sredina segmenta

midpoint

4.Koordinate

Vektorske koordinate

5. Izračunajte vektorski proizvod:

6. Dužina vektora: najlakši način je zamijeniti da je segment srednja linija trougla, što znači da je jednak polovini osnovice. Tako da.

7. Razmatramo dužinu vektorskog proizvoda:

8. Konačno, pronađite udaljenost:

Fuj, to je sve! Iskreno, reći ću vam: rješavanje ovog problema tradicionalnim metodama (kroz konstrukcije) bilo bi mnogo brže. Ali ovdje sam sve sveo na gotov algoritam! Mislim da ti je algoritam rješenja jasan? Stoga ću vas zamoliti da sami riješite preostala dva problema. Uporedite odgovore?

Opet ponavljam: lakše je (brže) rješavati ove probleme kroz konstrukcije, umjesto pribjegavanja koordinatnoj metodi. Pokazao sam ovaj način rješavanja samo da bih vam pokazao univerzalnu metodu koja vam omogućava da „ništa ne završite“.

Konačno, razmotrite posljednju klasu problema:

Izračunavanje udaljenosti između kosih linija

Ovdje će algoritam za rješavanje problema biti sličan prethodnom. šta imamo:

3. Bilo koji vektor koji povezuje tačke prve i druge prave:

Kako pronalazimo udaljenost između linija?

Formula je:

Brojilac je modul mješovitog proizvoda (uveli smo ga u prethodnom dijelu), a nazivnik je isti kao u prethodnoj formuli (modul vektorskog proizvoda usmjeravajućih vektora pravih, udaljenost između kojih smo traže).

Podsjetit ću vas na to

onda formula udaljenosti može se prepisati kao:

Podijelite ovu determinantu sa determinantom! Mada, da budem iskren, ovde nisam raspoložen za šale! Ova formula je, zapravo, vrlo glomazna i dovodi do prilično komplikovanih proračuna. Da sam na tvom mjestu, koristio bih ga samo kao posljednje sredstvo!

Pokušajmo riješiti nekoliko problema koristeći gornju metodu:

1. U pravoj trokutastoj prizmi, sve ivice su nekako jednake, pronađite rastojanje između pravih i.

2. S obzirom na pravougaonu trouglastu prizmu, sve ivice os-no-va-niya nekoga jednake su Se-che-tionu, prolazeći kroz drugo rebro i se-re-di-nu rebra su yav-la-et-sya square-ra-tom. Find-di-te dis-sto-I-nie između ravno-mi-mi i

Ja odlučujem o prvom, a na osnovu njega vi odlučujete o drugom!

1. Nacrtam prizmu i označim linije i

Koordinate tačke C: tada

Koordinate tačaka

Vektorske koordinate

Koordinate tačaka

Vektorske koordinate

Vektorske koordinate

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(niz)(*(20)(l))(\begin(niz)(*(20)(c))0&1&0\end(niz))\\(\begin(niz)(*(20) (c))0&0&1\end(niz))\\(\begin(niz)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\kraj(niz))\kraj(niz)) \desno| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Razmatramo unakrsni proizvod između vektora i

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(niz)(l)\begin(niz)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(niz)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(niz)\\\begin(niz)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\kraj(niz)\kraj(niz) \desno| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Sada razmatramo njegovu dužinu:

odgovor:

Sada pokušajte pažljivo izvršiti drugi zadatak. Odgovor na to će biti:.

Koordinate i vektori. Kratak opis i osnovne formule

Vektor je usmjereni segment. - početak vektora, - kraj vektora.
Vektor je označen sa ili.

Apsolutna vrijednost vektor - dužina segmenta koji predstavlja vektor. Označeno kao.

Vektorske koordinate:

,
gdje su krajevi vektora \displaystyle a .

Zbir vektora: .

Proizvod vektora:

Tačkasti proizvod vektora:

Skalarni proizvod vektora jednak je proizvodu njihovih apsolutnih vrijednosti i kosinusa ugla između njih:

PREOSTALE 2/3 ČLANKA DOSTUPNE SAMO YOUCLEVER STUDENTIMA!

Postanite student YouClevera,

Pripremite se za OGE ili USE iz matematike po cijeni "šoljica kafe mjesečno",

I također dobijte neograničen pristup udžbeniku "YouClever", programu obuke "100gia" (knjiga rješenja), neograničenom probnom USE i OGE, 6000 zadataka s analizom rješenja i drugim YouClever i 100gia servisima.

Formula za izračunavanje udaljenosti od tačke do prave u ravni

Ako je data jednadžba prave Ax + By + C = 0, tada se udaljenost od tačke M(M x , M y) do prave može naći pomoću sljedeće formule

Primjeri zadataka za izračunavanje udaljenosti od tačke do prave u ravni

Primjer 1

Nađite rastojanje između prave 3x + 4y - 6 = 0 i tačke M(-1, 3).

Rješenje. Zamijenite u formulu koeficijente prave i koordinate tačke

odgovor: udaljenost od tačke do prave je 0,6.

jednadžba ravni koja prolazi kroz tačke okomite na vektor Opća jednadžba ravni

Poziva se vektor različit od nule okomit na datu ravan normalni vektor (ili, ukratko, normalno ) za ovaj avion.

Neka je u koordinatnom prostoru (u pravougaonom koordinatnom sistemu) dato:

a) tačka ;

b) vektor različit od nule (slika 4.8, a).

Potrebno je napisati jednačinu za ravan koja prolazi kroz tačku okomito na vektor Kraj dokaza.

Razmotrimo sada različite vrste jednačina prave linije u ravni.

1) Opšta jednačina ravniP .

Iz izvođenja jednačine proizlazi da je u isto vrijeme A, B i C nije jednako 0 (objasni zašto).

Tačka pripada ravni P samo ako njegove koordinate zadovoljavaju jednačinu ravni. U zavisnosti od koeficijenata A, B, C i D avion P zauzima jednu ili drugu poziciju.

- ravan prolazi kroz početak koordinatnog sistema, - ravan ne prolazi kroz početak koordinatnog sistema,

- ravan je paralelna sa osom X,

X,

- ravan je paralelna sa osom Y,

- ravan nije paralelna sa osom Y,

- ravan je paralelna sa osom Z,

- ravan nije paralelna sa osom Z.

Dokažite ove tvrdnje sami.

Jednačina (6) se lako izvodi iz jednačine (5). Zaista, neka tačka leži na ravni P. Tada njegove koordinate zadovoljavaju jednačinu. Oduzimanjem jednačine (7) od jednačine (5) i grupisanjem pojmova, dobijamo jednačinu (6). Razmotrimo sada dva vektora sa koordinatama, respektivno. Iz formule (6) slijedi da je njihov skalarni proizvod jednak nuli. Dakle, vektor je okomit na vektor Početak i kraj posljednjeg vektora su redom u tačkama koje pripadaju ravni P. Dakle, vektor je okomit na ravan P. Udaljenost od tačke do ravni P, čija je opšta jednačina određuje se formulom Dokaz ove formule je potpuno sličan dokazu formule za rastojanje između tačke i prave (vidi sliku 2).
Rice. 2. Na izvođenje formule za rastojanje između ravnine i prave.

Zaista, udaljenost d između prave i ravni je

gdje je tačka koja leži na ravni. Odavde se, kao u predavanju br. 11, dobija gornja formula. Dvije ravni su paralelne ako su njihovi normalni vektori paralelni. Odavde dobijamo uslov paralelnosti dve ravni - koeficijenti opštih jednačina ravnina. Dve ravni su okomite ako su im normalni vektori okomiti, pa se dobija uslov okomitosti dve ravni ako su poznate njihove opšte jednadžbe

Ugao f između dvije ravni je jednak kutu između njihovih normalnih vektora (vidi sliku 3) i stoga se može izračunati iz formule
Određivanje ugla između ravnina.

(11)

Udaljenost od tačke do ravni i kako je pronaći

Udaljenost od tačke do avion je dužina okomice spuštene iz tačke na ovu ravan. Postoje najmanje dva načina da se pronađe udaljenost od tačke do ravni: geometrijski i algebarski.

Geometrijskom metodom prvo morate razumjeti kako se okomica nalazi od tačke do ravni: možda leži u nekoj prikladnoj ravni, to je visina u nekom prikladnom (ili ne baš) trokutu, ili je možda ova okomica općenito visina u nekoj piramidi .

Nakon ove prve i najteže faze, problem se raspada na nekoliko specifičnih planimetrijskih problema (možda u različitim ravnima).

Na algebarski način da biste pronašli rastojanje od tačke do ravni, potrebno je uneti koordinatni sistem, pronaći koordinate tačke i jednačinu ravni, a zatim primeniti formulu za rastojanje od tačke do ravni.

Udaljenost od tačke do prave je dužina okomice od tačke do prave. U deskriptivnoj geometriji se grafički određuje prema donjem algoritmu.

Algoritam

1. Prava linija se prenosi u poziciju u kojoj će biti paralelna s bilo kojom ravninom projekcije. Da biste to učinili, primijenite metode transformacije ortogonalnih projekcija.
2. Nacrtajte okomicu iz tačke na pravu. Ova konstrukcija je zasnovana na teoremi projekcije pravog ugla.
3. Dužina okomice se određuje pretvaranjem njenih projekcija ili korištenjem metode pravokutnog trokuta.

Sljedeća slika prikazuje složeni crtež tačke M i prave b definisane segmentom linije CD. Morate pronaći udaljenost između njih.

Prema našem algoritmu, prva stvar koju treba učiniti je pomjeriti liniju u položaj paralelan s ravninom projekcije. Važno je shvatiti da se nakon transformacije stvarna udaljenost između tačke i prave ne bi trebala mijenjati. Zato je ovdje zgodno koristiti metodu zamjene ravnine, koja ne uključuje kretanje figura u prostoru.

U nastavku su prikazani rezultati prve faze izgradnje. Na slici je prikazano kako se paralelno sa b uvodi dodatna frontalna ravan P 4. U novom sistemu (P 1 , P 4) tačke C"" 1, D"" 1, M"" 1 su na istoj udaljenosti od ose X 1 kao C"", D"", M"" od osa x.

Izvodeći drugi dio algoritma, sa M"" 1 spuštamo okomicu M"" 1 N"" 1 na pravu b"" 1, pošto je pravi ugao MND između b i MN projektovan na ravan P 4 u punoj veličini. Određujemo položaj tačke N" duž komunikacijske linije i crtamo projekciju M"N" segmenta MN.

U završnoj fazi potrebno je odrediti vrijednost segmenta MN njegovim projekcijama M"N" i M"" 1 N"" 1 . Da bismo to uradili, gradimo pravougli trougao M"" 1 N"" 1 N 0, u kojem je krak N"" 1 N 0 jednak razlici (Y M 1 - Y N 1) uklanjanja tačaka M " i N" od ose X 1. Dužina hipotenuze M"" 1 N 0 trougla M"" 1 N"" 1 N 0 odgovara željenoj udaljenosti od M do b.

Drugi način rješavanja

• Paralelno sa CD uvodimo novu frontalnu ravan P 4 . Seče P 1 duž X 1 ose, a X 1 ∥C"D". U skladu sa metodom zamjene ravni, određujemo projekcije tačaka C "" 1, D"" 1 i M"" 1, kao što je prikazano na slici.
• Okomito na C "" 1 D "" 1 gradimo dodatnu horizontalnu ravninu P 5 na koju se projicira prava linija b na tačku C" 2 \u003d b" 2.
• Udaljenost između tačke M i prave linije b određena je dužinom segmenta M "2 C" 2 označenog crvenom bojom.

Povezani zadaci: