Тригонометричні функції періодичні, тобто повторюються через певний період. Внаслідок цього досить вивчати функцію цьому інтервалі і поширити виявлені характеристики попри всі інші періоди.

Інструкція

1. Якщо вам дано примітивний вираз, в якому присутня лише одна тригонометрична функція (sin, cos, tg, ctg, sec, cosec), причому кут усередині функції не помножений на якесь число, а вона сама не зведена в якийсь ступінь – скористайтеся визначенням. Для виразів, що містять sin, cos, sec, cosec відважно ставте період 2П, а якщо в рівнянні є tg, ctg – то П. Скажімо, для функції у=2 sinх+5 період дорівнюватиме 2П.

2. Якщо кут х під знаком тригонометричної функції помножений на якесь число, то, щоб виявити період цієї функції, поділіть типовий період на це число. Скажімо, вам дана функція = sin 5х. Типовий період для синуса - 2П, поділивши його на 5, ви отримаєте 2П/5 - це і є бажаний період цього виразу.

3. Щоб виявити період тригонометричної функції, зведеної на ступінь, оцініть парність ступеня. Для парного ступеня зменшіть типовий період удвічі. Скажімо, якщо вам дана функція у = 3 cos ^ 2х, то типовий період 2П зменшиться в 2 рази, таким чином, період дорівнюватиме П. Зверніть увагу, функції tg, ctg принаймні періодичні П.

4. Якщо вам дано рівняння, що містить твір або приватне 2-х тригонометричних функцій, спочатку виявіть період для всієї їх окремо. Після цього виявіть мінімальне число, яке вміщало б у собі ціле число обох періодів. Скажімо, дана функція = tgx * cos5x. Для тангенсу період П, для косинуса 5х – період 2П/5. Мінімальне число, в яке можна вмістити обидва ці періоди, це 2П, таким чином, бажаний період - 2П.

5. Якщо ви не робите запропонованим чином або сумніваєтеся в результаті, спробуйте робити за визначенням. Візьміть як період функції Т, він більший за нуль. Підставте в рівняння замість х вираз (х + Т) і розв'яжіть отриману рівність, якби Т було параметром або числом. У результаті ви виявите значення тригонометричної функції і зможете підібрати мінімальний період. Скажімо, в результаті полегшення у вас вийшло тотожність sin (Т/2) = 0. Мінімальне значення Т, у якому воно виконується, дорівнює 2П, і буде результат завдання.

Періодичною функцією називається функція, що повторює свої значення через якийсь ненульовий період. Періодом функції називається число, при додаванні якого до аргументу функції значення функції не змінюється.

Вам знадобиться

• Знання з елементарної математики та початків огляду.

Інструкція

1. Позначимо період функції f(x) через число К. Наше завдання виявити це значення К. Для цього уявімо, що функція f(x), користуючись визначенням періодичної функції, дорівнює f(x+K)=f(x).

2. Вирішуємо отримане рівняння щодо невідомої K, так як ніби x - константа. Залежно від значення До вийде кілька варіантів.

3. Якщо K>0 – то це і є період вашої функції. Якщо K=0 – то функція f(x) не є періодичною. Якщо рішення рівняння f(x+K)=f(x) не існує ні при якому K не дорівнює нулю, така функція називається апериодической і в неї теж немає періоду.

Відео на тему

Зверніть увагу!
Усі тригонометричні функції є періодичними, проте поліноміальні зі ступенем більше 2 – апериодическими.

Корисна порада
Періодом функції, що складається з 2-х періодичних функцій, є найменше загальне кратне періодів цих функцій.

Тригонометричні рівняння – це рівняння, які містять у собі тригонометричні функції невідомого аргументу (наприклад: 5sinx-3cosx =7). Щоб навчитися вирішувати їх, необхідно знати деякі для цього способи.

Інструкція

1. Розв'язання таких рівняння складається з 2-х етапів. Перше – реформування рівняння для набуття його найпростішого вигляду. Найпростішими тригонометричними рівняннями називаються такі: Sinx = a; Cosx=a і т.д.

2. Друге – це рішення отриманого найпростішого тригонометричного рівняння. Існує основні способи розв'язання рівнянь такого виду: Рішення методом алгебри. Цей спосіб класно відомий зі школи, з курсу алгебри. Інакше називають способом заміни змінної та підстановки. Застосовуючи формули приведення, перетворюємо, робимо заміну, після чого знаходимо коріння.

3. Розкладання рівняння на множники. Спочатку переносимо всі члени ліворуч і розкладаємо на множники.

4. Приведення рівняння до однорідного. Однорідними рівняннями називають рівняння, якщо всі члени одного і того ж ступеня і синус, косинус одного і того ж кута. Щоб його вирішити, слід: спочатку перенести всі його члени з правої частини до лівої частини; перенести всі загальні множники за дужки; прирівняти множники та дужки; прирівняні дужки дають однорідне рівняння меншою мірою, що слід розділити на cos (або sin) старшого ступеня; вирішити отримане рівняння алгебри щодо tan.

5. Подальший спосіб – перехід до половинного кута. Скажімо, розв'язати рівняння: 3 sin x – 5 cos x = 7. Переходимо до половинного кута: 6 sin (x / 2) · cos (x / 2) – 5 cos ? (x/2) + 5 sin ? (x / 2) = 7 sin? (x / 2) + 7 cos? (x/ 2) , після чого всі члени зводимо в одну частину (відмінніше в праву) і вирішуємо рівняння.

6. Вступ допоміжного кута. Коли ми замінюємо ціле значення cos(а) чи sin(а). Знак "а" - допоміжний кут.

7. Спосіб реформування твору на суму. Тут слід застосовувати відповідні формули. Скажемо дано: 2 sin x · sin 3x = cos 4x. Розв'яжемо її, перетворивши ліву частину на суму, тобто: cos 4x – cos 8x = cos 4x ,cos 8x = 0 ,8x = p / 2 + pk ,x = p /16+pk/8.

8. Кінцевий спосіб, званий багатофункціональною підстановкою. Ми перетворюємо вираз і робимо заміну, скажімо Cos(x/2)=u, потім вирішуємо рівняння з параметром u. При придбанні результату переводимо значення зворотне.

Відео на тему

Якщо розглядати точки на колі, то точки x, x+2π, x+4π тощо. збігаються один з одним. Таким чином, тригонометричні функціїна прямий періодичноповторюють своє значення. Якщо знаменитий період функції, Можна звести функцію у цьому періоді і повторити в інших.

Інструкція

1. Період – це число T, що f(x) = f(x+T). Щоб виявити період, вирішують відповідне рівняння, підставляючи як аргумент x і x+T. При цьому користуються вже відомими періодами для функцій. Для функцій синуса та косинуса період становить 2π, а для тангенсу та котангенсу – π.

2. Нехай дана функція f(x) = sin^2(10x). Розгляньте вираз sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)). Скористайтеся формулою зниження ступеня: sin^2(x) = (1 – cos 2x)/2. Тоді отримаєте 1 – cos 20x = 1 – cos 20(x+T) чи cos 20x = cos (20x+20T). Знаючи, що період косинуса дорівнює 2?, 20T = 2?. Отже, T = π/10. Т - мінімальний правильний період, а функція повторюватиметься і через 2Т, і через 3Т, і в інший бік по осі: -T, -2T і т.д.

Корисна порада
Користуйтеся формулами зниження рівня функції. Якщо вам вже відомі періоди будь-яких функцій, спробуйте звести існуючу функцію до вестимим.

Пошук функції на парність і непарність допомагає будувати графік функції і осягати характер її поведінки. Для цього дослідження необхідно порівняти цю функцію, записану для аргументу "х" і для аргументу "-х".

Інструкція

1. Запишіть функцію, пошук над якою потрібно провести у вигляді y=y(x).

2. Замініть аргумент функції на “-х”. Підставте цей аргумент у функціональний вираз.

3. Спростіть вираз.

4. Таким чином, ви отримали ту саму функцію, записану для доказів "х" і "-х". Подивіться на ці два записи.Якщо y(-x)=y(x), то це парна функція.Якщо y(-x)=-y(x), то це непарна функція.Якщо ж про функцію неможливо сказати, що y (-x)=y(x) чи y(-x)=-y(x), то з якості парності це функція загального виду. Тобто вона не є ні парною, ні непарною.

5. Запишіть зроблені результати. Тепер ви можете їх використовувати в побудові графіка функції або в майбутньому аналітичному дослідженні якостей функції.

6. Говорити про парності і непарності функції можна також у тому випадку, коли вже заданий графік функції. Скажімо, графік послужив результатом фізичного експерименту. Якщо графік функції симетричний щодо осі ординат, то y(x) – парна функція. Якщо графік функції симетричний щодо осі абсцис, то x(y) – парна функція. x(y) – функція, зворотна функції y(x). Якщо графік функції симетричний щодо початку координат (0,0), то y(x) – непарна функція. Непарною буде також обернена функція x(y).

7. Істотно пам'ятати, що уявлення про парність і непарність функції має прямий зв'язок з областю визначення функції. Якщо, скажімо, парна або непарна функція не існує при х = 5, то вона не існує і при х = -5, чого неможливо сказати про функцію загального вигляду. Під час встановлення парності та непарності звертайте увагу на область визначення функції.

8. Пошук функції на парність і непарність корелює зі знаходженням безлічі значень функції. Для знаходження безлічі значень парної функції досить розглянути половину функції, правіше чи лівіше нуля. Якщо при x>0 парна функція y(x) набуває значень від А до В, то ті ж значення вона прийматиме і при x<0.Для нахождения множества значений, принимаемых нечетной функцией, тоже довольно разглядеть только одну часть функции. Если при x>0 непарна функція y(x) приймає діапазон значень від А до, то при x<0 она будет принимать симметричный диапазон значений от (-В) до (-А).

«Тригонометричними» колись стали називати функції, що визначаються залежністю гострих кутів у прямокутному трикутнику від довжин його сторін. До таких функцій відносять насамперед синус і косинус, у другу – зворотні цим функціям секанс і косеканс, похідні від них тангенс і котангенс, а також зворотні функції арксинус, арккосинус та ін. Позитивніше говорити не про «вирішення» таких функцій, а про їх "обчисленні", тобто про знаходження чисельного значення.

Інструкція

1. Якщо аргумент тригонометричної функції невідомий, то обчислити її значення можна непрямим способом виходячи з визначень цих функцій. Для цього потрібно знати довжини сторін трикутника, тригонометричну функцію одного з кутів якого потрібно обчислити. Скажімо, за визначенням синус гострого кута в прямокутному трикутнику – це відношення довжини катета, що протилежить цьому куту, до довжини гіпотенузи. На цьому випливає, що з перебування синуса кута досить знати довжини цих двох сторін. Подібне визначення говорить, що синусом гострого кута є відношення довжини катета, що прилягає до цього, до довжини гіпотенузи. Тангенс гострого кута можна визначити, поділивши довжину протилежного йому катета на довжину прилеглого, а котангенс вимагає поділу довжини прилеглого катета до довжини протилежного. Для обчислення секансу гострого кута потрібно виявити відношення довжини гіпотенузи до довжини катета, що прилягає до необхідного кута, а косеканс визначається ставленням довжини гіпотенузи до довжини протилежного катета.

2. Якщо ж аргумент тригонометричної функції вестим, то знати довжини сторін трикутника не потрібно - можна користуватися таблицями значень або калькуляторами тригонометричних функцій. Такий калькулятор є серед стандартних програм Windows. Для його запуску можна натиснути клавіші Win + R, ввести команду calc і клацнути кнопку «OK». В інтерфейсі програми слід розкрити розділ «Вид» та віддати перевагу пункту «Інженерний» або «Вчений». Після цього можна вводити аргумент тригонометричної функції. Для обчислення функцій синус, косинус і тангенс досить пізніше введення значення клацнути по відповідній кнопці інтерфейсу (sin, cos, tg), а знаходження зворотних їм арксинуса, арккосинуса і арктангенса слід заздалегідь поставити позначку в чекбоксе Inv.

3. Є й інші методи. Один з них – перейти на сайт пошукової системи Nigma або Google і ввести як пошуковий запит потрібну функцію та її аргумент (скажімо, sin 0.47). Ці пошукові системи мають вбудовані калькулятори, тому пізніше відправки такого запиту ви отримаєте значення введеної вами тригонометричної функції.

Відео на тему

Порада 7: Як виявити значення тригонометричних функцій

Тригонометричні функції спочатку з'явилися як інструменти абстрактних математичних обчислень залежностей величин гострих кутів прямокутному трикутнику від довжин його сторін. Тепер вони дуже широко використовуються як у наукових, так і в технічних галузях людської діяльності. Для утилітарних обчислень тригонометричних функцій від заданих аргументів можна використовувати різні інструменти – нижче описано кілька особливо доступних їх.

Інструкція

1. Скористайтеся, скажімо, за замовчуванням спільно з операційною системою програмою-калькулятором. Вона відкривається вибором пункту "Калькулятор" у папці "Службові" з підрозділу "Типові", розміщеного в розділі "Всі програми". Цей розділ можна знайти, відкривши клацанням по кнопці «Пуск» головне меню операційної системи. Якщо ви використовуєте версію Windows 7, то маєте можливість примітивно ввести слово «Калькулятор» у поле «Виявити програми та файли» основного меню, а потім клацнути за відповідним посиланням у результатах пошуку.

2. Введіть значення кута, для якого потрібно розрахувати тригонометричну функцію, а потім натисніть на відповідній цій функції кнопці – sin, cos або tan. Якщо вас турбують зворотні тригонометричні функції (арксинус, арккосинус або арктангенс), то спочатку натисніть кнопку з написом Inv – вона змінює присвоєні керівним кнопкам калькулятора функції на протилежні.

3. У ранніх версіях ОС (скажімо, Windows XP) для доступу до тригонометричних функцій потрібно розкрити в меню калькулятора розділ «Вид» і віддати перевагу рядку «Інженерний». Крім того, замість кнопки Inv в інтерфейсі старих версій програми присутній чекбокс з таким же написом.

4. Можна обійтися і без калькулятора, якщо у вас є доступ в інтернет. У мережі багато сервісів, які пропонують організовані обчислювачі тригонометричних функцій. Один із особливо комфортних варіантів вбудований у пошукову систему Nigma. Перейшовши на її основну сторінку, примітивно введіть у поле пошукового запиту значення, що хвилює вас – скажімо, «арктангенс 30 градусів». Після натискання кнопки «Виявити!» Пошуковик розрахує і покаже результат обчислення - 0,482347907101025.

Відео на тему

Тригонометрія – розділ математики для розуміння функцій, що виражають різні залежності сторін прямокутного трикутника від величин гострих кутів при гіпотенузі. Такі функції отримали назву тригонометричних, а для полегшення роботи з ними були виведені тригонометричні тотожності .

Подання тотожностів математиці позначає рівність, яке виконується при будь-яких значеннях доказів функцій, що входять до нього. Тригонометричні тотожності– це рівні тригонометричних функцій, підтверджені та прийняті для спрощення роботи з тригонометричними формулами. Тригонометрична функція – це елементарна функція залежності одного з катетів прямокутного трикутника від величини гострого кута при гіпотенузі. Найчастіше застосовуються шість основних тригонометричних функцій: sin (синус), cos (косинус), tg (тангенс), ctg (котангенс), sec (секанс) і cosec (косеканс). Ці функції називаються прямими, існують також зворотні функції, скажімо, синус - арксинус, косинус - арккосинус і т.д. Спочатку тригонометричні функції виявили відображення в геометрії, після чого поширилися в інші галузі науки: фізику, хімію, географію, оптику, теорію можливостей , а також акустику, теорію музики, фонетику, комп'ютерну графіку та багато інших. Сьогодні вже важко уявити собі математичні розрахунки без цих функцій, щоправда в далекому минулому вони використовувалися тільки в астрономії та архітектурі. тотожностівикористовуються для спрощення роботи з довгими тригонометричними формулами та приведення їх до зручного вигляду. Основних тригонометричних тотожностей шість, вони пов'язані з прямими тригонометричними функціями: tg? = sin?/cos?; sin^2? + cos^2? = 1; 1 + tg^2? = 1/cos^2?; 1 + 1/tg^2? = 1/sin^2?; sin (?/2 – ?) = cos?; cos (?/2 - ?) = sin?. тотожностілегко підтвердити із властивостей співвідношення сторін та кутів у прямокутному трикутнику: sin ? = BC/AC = b/c; cos? = AB/AC = a/c; tg? = b / a. Перше тотожність tg? = sin? / cos? випливає із співвідношення сторін у трикутнику та виключенням сторони c (гіпотенузи) при розподілі sin на cos. Так само визначається тотожність ctg ? = cos? / sin?, Від того що ctg? = 1/tg ?.По теоремі Піфагора a^2 + b^2 = c^2. Поділимо цю рівність на c^2, отримаємо другу тотожність: a^2/c^2 + b^2/c^2 = 1 => sin^2? + cos^2? = 1. Третє та четверте тотожностіотримує шляхом поділу, відповідно, на b^2 і a^2:a^2/b^2 + 1 = c^2/b^2 => tg^2? + 1 = 1/cos^2 ?;1 + b^2/a^2 = c^2/a^2 => 1 + 1/tg^2 ? = 1/sin^? або 1 + ctg^2? = 1/sin^2 ?.П'яте та шосте основні тотожностідоводяться через визначення суми гострих кутів прямокутного трикутника, яка дорівнює 90 ° або? / 2. Більш важкі тригонометричні тотожності: формули складання доводів, подвійного і потрійного кута, зниження ступеня, реформування суми чи виконання функцій, і навіть формули тригонометричної підстановки, саме висловлювання основних тригонометричних функцій через tg половинного кута:sin ?= (2*tg ?/2)/(1 + tg ^ 2? / 2); cos? = (1 - tg ^ 2 ? / 2) / (1 = tg ^ 2 ? / 2); tg ? = (2 * tg? / 2) / (1 - tg ^ 2? / 2).

Потрібно виявити мінімальне значенняматематичної функціїє фактичний інтерес у вирішенні прикладних завдань, скажімо, в економіці. Величезне значеннядля підприємницької діяльності має мінімізацію збитків.

Інструкція

1. Щоб виявити мінімальне значення функціїнеобхідно визначити, при якому значенні доводу x0 буде виконуватися нерівність y(x0) ? y(x), де x? x0. Як водиться, це завдання вирішується на певному проміжку або в кожній області значень функціїякщо такий не заданий. Одним із аспектів рішення є знаходження нерухомих точок.

2. Стаціонарною точкою називається значеннядоводу, при якому похідна функціїзвертається в нуль. Відповідно до теореми Ферма, якщо функція, що диференціюється, приймає екстремальне значенняу певній точці (у разі – локальний мінімум), то ця точка є стаціонарною.

3. Мінімальне значенняФункція часто приймає саме в цій точці, хоча її можна визначити не завжди. Більш того, не завжди можна з точністю сказати, чому дорівнює мінімум функціїабо він приймає безмежно мале значення. Тоді, як водиться, знаходять межу, до якої вона тяжіє при спаданні.

4. Для того щоб визначити мінімальне значення функції, Треба виконати послідовність дій, що складається з чотирьох етапів: знаходження області визначення функції, придбання нерухомих точок, огляд значень функціїу цих точках і кінцях проміжку, виявлення мінімуму.

5. Виходить, нехай задана деяка функція y(x) на проміжку з межами в точках А та В. Виявіть область її визначення та дізнаєтеся, чи є проміжок її підмножиною.

6. Обчисліть похідну функції. Прирівняйте отриманий вираз нулю та виявіть коріння рівняння. Перевірте, чи ці стаціонарні точки потрапляють у проміжок. Якщо ні, то на подальшому етапі вони не враховуються.

7. Розгляньте проміжок щодо типу кордонів: відкриті, закриті, складові чи безмірні. Від цього залежить, як ви шукатимете мінімальне значення. Скажімо, відрізок [А, є] закритим проміжком. Підставте їх у функцію та розрахуйте значення. Те саме проробіть зі стаціонарною точкою. Виберіть найменший результат.

8. З відкритими і безмірними проміжками справа трохи складніша. Тут доведеться шукати односторонні межі, які незмінно дають однозначний результат. Скажімо, для проміжку з однією закритою та однією виколотою межею [А, В) слід виявити функцію при х = А та одностороння межа lim y при х? В-0.

задовольняють системі нерівностей:

б) Розглянемо безліч чисел на числовій осі, що задовольняють системі нерівностей:

Знайдіть суму довжин відрізків, у тому числі складається це безліч.

§ 7. Найпростіші формули

У § 3 ми встановили для гострих кутів таку формулу:

			sin2α+cos2α=1.
				Ця сама формула			в разі,
				коли α – будь-яке			самому де-
				ле, нехай M - точка на тригонометрі-
				чеського кола, відповідне
				числу α (рис. 7.1). Тоді		M має ко-
				ординати x = cos α, y
				нако всяка точка (x; y), що лежить на
				кола одиничного радіусу з цін-
				трьом на початку координат, удовле-
				риє рівняння x2 + y2		1, звідки
				cos2 α + sin2 α = 1, що потрібно.

Отже, формула cos2 + sin2 = 1 випливає з рівняння кола. Може здатися, що цим для гострих кутів ми дали новий доказ цієї формули (порівняно з зазначеним у § 3, де користувалися теоремою Піфагора). Відмінність, проте, чисто зовнішнє: при виведенні рівняння кола x2 + y2 = 1 використовується та сама теорема Піфагора.

Для гострих кутів ми отримували й інші формули, наприклад

німу символу, права частина завжди неотрицательна, тоді як ліва частина цілком може бути негативною. Щоб формула була вірна за всіх α, треба її звести у квадрат. Вийде рівність: cos2 α = 1/(1 + tg2 α). Доведемо, що ця формула вірна за всіх α:1

1/(1 + tg2			sin2 α			cos2 α	Cos2 α.
			cos2 α			sin2 α + cos2 α

Завдання 7.1. Виведіть усі формули, наведені нижче, з визначень та формули sin2 α + cos2 α = 1 (деякі з них ми вже довели):

sin2 α + cos2 α = 1;

tg2 α =

tg2 α

sin2 α =

tg α · ctg α = 1;

cos2 α

1 + tg2 α

ctg2 α

Ctg2

cos2 α =

1 + ctg2 α

sin2

Ці формули дозволяють, знаючи значення однієї з тригонометричних функцій даного числа, майже знайти всі залишки.

ні. Нехай, наприклад, знаємо, що sin x = 1/2. Тоді cos2 x =

1−sin2 x = 3/4, тому cos x дорівнює або 3/2, або − 3/2. Щоб дізнатися, якому з цих двох чисел дорівнює cos x, потрібна додаткова інформація.

Завдання 7.2. Покажіть на прикладах, що обидва вищезазначені випадки можливі.

Завдання 7.3. а) Нехай tg x = −1. Знайдіть sin x. Скільки відповідей у ​​цього завдання?

б) Нехай на додаток до умов пункту а) нам відомо, що sin x< 0. Сколько теперь ответов у задачи?

1 Для яких tg α визначено, тобто cos α 6 = 0.

Завдання 7.4. Нехай sin x = 3/5, x [π/2; 3π/2]. Знайдіть tg x.

Завдання 7.5. Нехай tg x = 3, cos x > sin x. Знайдіть cos x, sin x.

Завдання 7.6. Нехай tg x = 3/5. Знайдіть sin x + 2 cos x. cos x − 3 sin x

Завдання 7.7. Доведіть тотожність:

tg α − sin α

в) sin α + cos α ctg α + sin α tg α + cos α =

Завдання 7.8. Спростіть вирази:

а) (sin α + cos α)2 + (sin α - cos α)2; б) (tgα + ctgα)2 + (tgα - ctgα)2;

в) sin α(2 + ctg α)(2 ctg α + 1) − 5 cos α.

§ 8. Періоди тригонометричних функцій

Числам x, x+2π, x−2π відповідає та сама точка на тригонометричному колі (якщо пройти по тригонометричному колу зайве коло, то прийдеш туди, де був). Звідси випливають такі тотожності, про які вже йшлося у § 5:

sin(x + 2π) = sin(x − 2π) = sin x; cos(x + 2π) = cos(x − 2π) = cos x.

У зв'язку з цими тотожностями ми вживали термін «період». Дамо тепер точні визначення.

Визначення. Число T 6 = 0 називають періодом функції f, якщо для всіх x вірні рівності f(x − T) = f(x + T) = f(x) (мається на увазі, що x + T та x − T входять у область визначення функції якщо в неї входить x). Функцію називають періодичною, якщо вона має період (хоча б один).

Періодичні функції природно виникають при описі коливальних процесів. Про один з таких процесів уже йшлося в § 5. Ось ще приклади:

1) Нехай ϕ = ϕ(t) - кут відхилення маятника, що коливається, годин від вертикалі в момент t. Тоді - періодична функція від t.

2) Напруга («різниця потенціалів», як сказав би фізик) між двома гніздами розетки в мережі змінного струму, ес-

Чи його розглядати як функцію від часу, є періодичною функцією1.

3) Нехай ми чуємо музичний звук. Тоді тиск повітря у цій точці – періодична функція від часу.

Якщо функція має період T, то періодами цієї функції будуть і числа −T, 2T, −2T. . . - одним словом, усі числа nT , де n - ціле число, що не дорівнює нулю. Справді, перевіримо, наприклад, що f(x + 2T) = f(x):

f(x + 2T) = f((x + T) + T) = f(x + T) = f(x).

Визначення. Найменшим позитивним періодом функції f називається - відповідно до буквального сенсу слів - таке позитивне число T, що T - період f і жодне позитивне число, менше T, періодом f вже не є.

Періодична функція не повинна мати найменший позитивний період (наприклад, функція, що є постійною, має періодом взагалі будь-яке число і, отже, найменшого позитивного періоду у неї немає). Можна навести приклади та непостійних періодичних функцій, що не мають найменшого позитивного періоду. Тим не менш у більшості цікавих випадків найменший позитивний період у періодичних функцій існує.

1 Коли кажуть «напруга в мережі 220 вольт», мають на увазі його «середньоквадратичне значення», про яке ми говоритимемо в § 21. Саме напруга постійно змінюється.

Рис. 8.1. Період тангенсу та котангенсу.

Зокрема, найменший позитивний період як синуса, і косинуса дорівнює 2π. Доведемо, наприклад, для функції y = sin x. Нехай усупереч тому, що ми стверджуємо, синус має такий період T , що 0< T < 2π. При x = π/2 имеем sin x = = 1. Будем теперь увеличивать x. В точке x + T значение синуса должно быть также равно 1. Но в следующий раз синус будет равен 1 только при x = (π/2) + 2π. Поэтому период синуса быть меньше 2π не может. Доказательство для косинуса аналогично.

Найменший позитивний період функції, що описує коливання (як у прикладах 1–3), називається просто періодом цих коливань.

Оскільки число 2π є періодом синуса та косинуса, воно буде також періодом тангенсу та котангенсу. Однак для цих функцій 2π – не найменший період: найменшим позитивним періодом тангенсу та котангенсу буде π. Справді, точки, що відповідають числам x і x + π на тригонометричному колі, діаметрально протилежні: від точки x до точки x + 2π треба пройти відстань π, яка точно дорівнює половині кола. Тепер, якщо скористатися визначенням тангенсу та котангенсу за допомогою осей тангенсів та котангенсів, рівності tg(x + π) = tg x та ctg(x + π) = ctg x стануть очевидними (рис. 8.1). Легко перевірити (ми запропонуємо це зробити в завданнях), що π – справді найменший позитивний період тангенсу та котангенсу.

Одне зауваження щодо термінології. Часто слова «період функції» використовують у значенні «найменший позитивний період». Так що якщо на іспиті ви запитаєте: «Чи є 100π періодом функції синус?», не поспішайте з відповіддю, а уточніть, мається на увазі найменший позитивний період або просто один з періодів.

Тригонометричні функції - типовий приклад періодичних функцій: будь-яку «не дуже погану» періодичну функцію можна у певному сенсі висловити через тригонометричні.

Завдання 8.1. Знайдіть найменші позитивні періоди функцій:

				в) y = cos πx;

г) y = cos x + cos (1,01 x).

Завдання 8.2. Залежність напруги в мережі змінного струму іноді визначається формулою U = U0 sin ωt (тут t - час, U - напруга, U0 і ω - постійні величини). Частота змінного струму – 50 Герц (це означає, що напруга здійснює 50 коливань в секунду).

а) Знайдіть ω, вважаючи, що t вимірюється у секундах;

б) Знайдіть (найменший позитивний) період U як функції від t.

Завдання 8.3. а) Доведіть, що найменший позитивний період косинуса дорівнює 2π;

б) Доведіть, що найменший позитивний період тангенсу дорівнює π.

Завдання 8.4. Нехай найменший позитивний період функції f дорівнює T. Доведіть, що решта її періодів мають вигляд nT для деяких цілих чисел n.

Завдання 8.5. Доведіть, що такі функції не є періодичними.

>> Періодичність функцій у = sin х, у = cos х

§ 11. Періодичність функцій у = sin х, у = cos х

У попередніх параграфах ми використали сім властивостей функцій: область визначення, парність або непарність, монотонність, обмеженість, найбільше та найменше значення, безперервність, область значень функції. Використовували ми ці властивості або для того, щоб побудувати графік функції (так було, наприклад, § 9), або для того, щоб прочитати побудований графік (так було, наприклад, § 10). Тепер настав сприятливий момент для введення ще однієї (восьмої) властивості функцій, яка чудово проглядається на побудованих вище графікахфункцій у = sin х(див. рис. 37), у=соs х(див. рис. 41).

Визначення.Функцію називають періодичною, якщо існує таке відмінне від нуля число T, що для будь-якого х з множин виконується подвійне рівність:

Число Т, що відповідає зазначеній умові, називають періодом функції у = f(х).
Звідси випливає, що для будь-якого х справедливі рівності:

то функції у = sin х, у = соs х є періодичними та число 2 пслужить періодом і тій, й іншій функції.
Періодичність функції - і є обіцяне восьме властивість функцій.

А тепер подивіться графік функції у = sin х (рис. 37). Щоб побудувати синусоїду, достатньо побудувати одну її хвилю (на відрізку, а потім зрушити цю хвилю по осі х на У результаті за допомогою однієї хвилі ми побудуємо весь графік.

Подивимося з цієї точки зору на графік функції у = соs х (рис. 41). Бачимо, що і тут для побудови графіка достатньо спочатку збудувати одну хвилю (наприклад, на відрізку

А потім зрушити її по осі х на
Узагальнюючи, робимо наступний висновок.

Якщо функція у = f(х) має період Т, то для побудови графіка функції потрібно спочатку побудувати гілка (хвилю, частина) графіка на будь-якому проміжку довжини Т (найчастіше беруть проміжок з кінцями в точках, а потім зрушити цю гілку по осі х вправо і ліворуч на Т, 2Т, ЗТ тощо.
У періодичної функції безліч періодів: якщо Т - період, то і 2Т - період, і ЗТ - період, і -Т - період; взагалі періодом є будь-яке число виду KТ, де = ±1, ±2, ± 3... Зазвичай намагаються, якщо це можливо, виділити найменший позитивний період, його називають основним періодом.
Отже, будь-яке число виду 2пк, де = ±1, ± 2, ± 3, є періодом функцій у = sinп х, у = соs х; 2п-основний період і тієї, і іншої функції.

приклад.Знайти основний період функції:

а)Нехай Т – основний період функції у = sin х. Покладемо

Щоб число Т було періодом функції, має виконуватися тотожність Але, оскільки йдеться про відшукання основного періоду, отримуємо
б)Нехай Т - основний період функції у = 0,5х. Покладемо f(х) = 0,5х. Тоді f(х + Т) = соs 0,5 (х + Т) = соs (0,5 х + 0,5 Т).

Щоб число Т було періодом функції, має виконуватися тотожність соs (0,5х + 0,5Т)=соs 0,5х.

Значить, 0,5 т = 2пп. Але, оскільки йдеться про відшукання основного періоду, отримуємо 0.5Т = 2 л, Т = 4л.

Узагальненням результатів, отриманих у прикладі, є таке твердження: основний період функції

А.Г. Мордкович Алгебра 10 клас

Зміст уроку конспект урокуопорний каркас презентація уроку акселеративні методи інтерактивні технології Практика завдання та вправи самоперевірка практикуми, тренінги, кейси, квести домашні завдання дискусійні питання риторичні питання від учнів Ілюстрації аудіо-, відеокліпи та мультимедіафотографії, картинки графіки, таблиці, схеми гумор, анекдоти, приколи, комікси притчі, приказки, кросворди, цитати Доповнення рефератистатті фішки для допитливих шпаргалки підручники основні та додаткові словник термінів інші Вдосконалення підручників та уроківвиправлення помилок у підручникуоновлення фрагмента у підручнику елементи новаторства на уроці заміна застарілих знань новими Тільки для вчителів ідеальні урокикалендарний план на рік методичні рекомендації програми обговорення Інтегровані уроки

Аргументу x, вона називається періодичної, якщо є число T, що з будь-якого x F(x + T) = F(x). Це число T називається періодом функції.

Періодів може бути кілька. Наприклад, функція F = const для будь-яких значень аргументу приймає одне й те саме значення, тому будь-яке число може вважатися її періодом.

Зазвичай цікавить найменший не рівний нулю період функції. Його для стислості і називають просто періодом.

Класичний приклад періодичних функцій – тригонометричні: синус, косинус та тангенс. Їх період однаковий і дорівнює 2π, тобто sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) тощо. Проте, зрозуміло, тригонометричні функції – не єдині періодичні.

Щодо простих, базових функцій єдиний спосіб встановити їх періодичність чи неперіодичність – обчислення. Але для складних функцій є кілька простих правил.

Якщо F(x) - з періодом T, і для неї визначена похідна, то ця похідна f(x) = F′(x) - теж періодична функція з періодом T. у цій точці до осі абсцис, а оскільки первісна періодично повторюється, то має повторюватися і похідна. Наприклад, похідна від функції sin(x) дорівнює cos(x) і вона періодична. Беручи похідну cos(x), ви отримаєте –sin(x). Періодичність зберігається постійно.

Однак зворотне не завжди вірне. Так, функція f(x) = const періодична, та її первісна F(x) = const*x + C - немає.

Якщо F(x) - періодична функція з періодом T, то G(x) = a*F(kx + b), де a, b, і k - константи і k не дорівнює нулю - теж періодична функція, і її період дорівнює T/k. Наприклад sin(2x) - періодична функція, та її період дорівнює π. Наочно це можна так: помножуючи x на якесь число, ви стискаєте графік функції по горизонталі саме в стільки разів

Якщо F1(x) і F2(x) - періодичні функції, та його періоди рівні T1 і T2 відповідно, то сума цих функцій також може бути періодичною. Однак її період не буде простою сумою періодів T1 та T2. Якщо результат розподілу T1/T2 - раціональне число, то сума функцій періодична, та її період дорівнює найменшому загальному кратному (НОК) періодів T1 та T2. Наприклад, якщо період першої функції дорівнює 12, а період другої - 15, то період їх суми дорівнюватиме НОК (12, 15) = 60.

Наочно це можна уявити так: функції йдуть з різною «шириною кроку», але якщо відношення їх ширин раціонально, то рано чи пізно (а точніше саме через НОК кроків), вони знову зрівняються, і їх сума почне новий період.

Однак якщо співвідношення періодів ірраціональне, то сумарна функція не буде періодичною. Наприклад, нехай F1(x) = x mod 2 (залишок від розподілу x на 2), а F2(x) = sin(x). T1 тут дорівнюватиме 2, а T2 дорівнює 2π. Співвідношення періодів дорівнює π - ірраціональному числу. Отже, функція sin(x) + x mod 2 не є періодичною.

Мета: узагальнити та систематизувати знання учнів на тему “Періодичність функцій”; формувати навички застосування властивостей періодичної функції, знаходження найменшого позитивного періоду функції, побудови графіків періодичних функцій; сприяти підвищенню інтересу до вивчення математики; виховувати спостережливість, акуратність.

Обладнання: комп'ютер, мультимедійний проектор, картки із завданнями, слайди, годинники, таблиці орнаментів, елементи народного промислу

"Математика - це те, за допомогою чого люди керують природою і собою"
О.М. Колмогорів

Хід уроку

I. Організаційний етап.

Перевірка готовності учнів до уроку. Повідомлення теми та завдань уроку.

ІІ. Перевірка домашнього завдання.

Домашнє завдання перевіряємо на зразки, найскладніші моменти обговорюємо.

ІІІ. Узагальнення та систематизація знань.

1. Усна фронтальна робота.

Питання теорії.

1) Сформуйте визначення періоду функції
2) Назвіть найменший позитивний період функцій y=sin(x), y=cos(x)
3). Назвіть найменший позитивний період функцій y=tg(x), y=ctg(x)
4) Доведіть за допомогою кола вірність співвідношень:

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18) 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n € Z
ctg(x+π n)=ctgx, n € Z

sin(x+2π n)=sinx, n € Z
cos(x+2π n)=cosx, n € Z

5) Як побудувати графік періодичної функції?

Усні вправи.

1) Довести такі співвідношення

a) sin(740º ) = sin(20º )
b) cos(54º) = cos(-1026º)
c) sin(-1000º) = sin(80º )

2. Довести, що кут 540º є одним з періодів функції y=cos(2x)

3. Довести, що кут 360º є одним з періодів функції y=tg(x)

4. Дані вирази перетворити так, щоб кути, що входять до них, по абсолютній величині не перевищували 90º .

a) tg375º
b) ctg530º
c) sin1268º
d) cos(-7363º)

5. Де ви зустрічалися зі словами ПЕРІОД, ПЕРІОДІЧНІСТЬ?

Відповіді учнів: Період музики – побудова, у якому викладено більш-менш завершена музична думка. Геологічний період – частина епохи і поділяється на епохи з періодом від 35 до 90 млн. років.

Період напіврозпаду радіоактивної речовини. Періодичний дріб. Періодична друк - друковані видання, що з'являються в певні терміни. Періодична система Менделєєва.

6. На рисунках зображено частини графіків періодичних функцій. Визначте період функції. Визначити період функції.

Відповідь: Т = 2; Т=2; Т=4; Т = 8.

7. Де в житті ви зустрічалися з побудовою елементів, що повторюються?

Відповідь учнів: Елементи орнаментів, народна творчість.

IV. Колективне розв'язання задач.

(Рішення завдань на слайдах.)

Розглянемо один із способів дослідження функції на періодичність.

При цьому способі обходяться труднощі, пов'язані з доказом того, що той чи інший період є найменшим, а також відпадає необхідність стосуватися питань про арифметичні дії над періодичними функціями та про періодичність складної функції. Міркування спирається лише визначення періодичної функції і такий факт: якщо Т – період функції, те й nT(n?0) – її період.

Завдання 1. Знайдіть найменший позитивний період функції f(x)=1+3(x+q>5)

Рішення: Припустимо, що Т-період цієї функції. Тоді f(x+T)=f(x) всім x € D(f), тобто.

1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0.25)

Покладемо x=-0,25 отримаємо

(T) = 0<=>T = n, n € Z

Ми отримали, що всі періоди цієї функції (якщо вони існують) знаходяться серед цілих чисел. Виберемо серед цих чисел найменше додатне число. Це 1 . Перевіримо, чи не буде воно і справді періодом 1 .

f(x+1) =3(x+1+0,25)+1

Оскільки (T+1)=(T) за будь-якого Т, то f(x+1)=3((x+0.25)+1)+1=3(x+0,25)+1=f(x ), тобто. 1 – період f. Оскільки 1 – найменше з усіх позитивних чисел, то T=1.

Завдання 2. Показати, що функція f(x)=cos 2 (x) періодична і визначити її основний період.

Завдання 3. Знайдіть основний період функції

f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Допустимо Т-період функції, тоді для будь-якого хсправедливе співвідношення

sin1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Якщо х = 0, то

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=sin0+5cos0

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Якщо х=-Т, то

sin0+5cos0=sin(-1,5Т)+5cos0,75(-Т)

5= – sin(1,5Т)+5cos(0,75Т)

sin(1,5Т)+5cos(0,75Т)=5 – sin(1,5Т)+5cos(0,75Т)=5

Склавши, отримаємо:

10cos (0,75 Т) = 10

2π n, n € Z

Виберемо з усіх “підозрілих” на період чисел найменше позитивне та перевіримо, чи є воно періодом для f. Це число

f(x+)=sin(1,5x+4π )+5cos(0,75x+2π )= sin(1,5x)+5cos(0,75x)=f(x)

Отже – основний період функції f.

Завдання 4. Перевіримо, чи є періодичною функція f(x)=sin(x)

Нехай Т - період функції f. Тоді для будь-кого

sin|x+Т|=sin|x|

Якщо х=0, то sin|Т|=sin0, sin|Т|=0 Т=π n, n € Z.

Припустимо. Що за деякого n число π n є періодом

розглянутої функції π n>0. Тоді sin|π n+x|=sin|x|

Звідси випливає, що n має бути одночасно і парним і непарним числом, але це неможливо. Тому ця функція не є періодичною.

Завдання 5. Перевірити, чи є періодичною функція

f(x)=

Нехай Т - період f, тоді

, Звідси sinT = 0, Т = π n, n € Z. Припустимо, що при деякому n число π n дійсно є періодом цієї функції. Тоді і число 2π n буде періодом

Оскільки чисельники рівні, то рівні та його знаменники, тому

Отже, функція f не періодична.

Робота у групах.

Завдання групи 1.

Завдання групи 2.

Перевірте, чи є функція f періодичною і знайдіть її основний період (якщо існує).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Завдання групи 3.

Після закінчення роботи гурту презентують свої рішення.

VI. Підбиття підсумків уроку.

Рефлексія.

Вчитель видає учням картки з малюнками і пропонує зафарбувати частина першого малюнка відповідно до того, у якому обсязі, як їм здається, вони оволоділи методами дослідження функції на періодичність, а частини другого малюнка – відповідно до свого внеску в роботу на уроці.

VII. Домашнє завдання

1). Перевірте, чи є функція f періодичною і знайдіть її основний період (якщо вона існує)

b). f(x)=x 2 -2x+4

c). f(x)=2tg(3x+5)

2). Функція y=f(x) має період Т=2 та f(x)=x 2 +2x при х € [-2; 0]. Знайдіть значення виразу -2f(-3)-4f(3,5)

Література/

1. Мордкович О.Г.Алгебра та початку аналізу з поглибленим вивченням.
2. Математика. Підготовка до ЄДІ. За ред. Лисенка Ф.Ф., Кулабухова С.Ю.
3. Шереметьєва Т.Г. , Тарасова О.О.Алгебра та початку аналізу для 10-11 класів.