Pri učenju algebre v srednji šoli (9. razred) je ena od pomembnih tem študij številskih zaporedij, ki vključujejo progresije - geometrijske in aritmetične. V tem članku si bomo ogledali aritmetično progresijo in primere z rešitvami.

Kaj je aritmetična progresija?

Da bi to razumeli, je treba definirati zadevno napredovanje in podati osnovne formule, ki se bodo kasneje uporabljale pri reševanju problemov.

Aritmetika ali je niz urejenih racionalnih števil, od katerih se vsak člen razlikuje od prejšnjega za neko konstantno vrednost. Ta vrednost se imenuje razlika. To pomeni, da poznate katerega koli člana urejenega niza števil in razlike, lahko obnovite celotno aritmetično napredovanje.

Dajmo primer. Naslednje zaporedje števil bo aritmetična progresija: 4, 8, 12, 16, ..., saj je razlika v tem primeru 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Toda nabora števil 3, 5, 8, 12, 17 ni več mogoče pripisati obravnavani vrsti napredovanja, saj razlika zanj ni konstantna vrednost (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Pomembne formule

Predstavimo zdaj osnovne formule, ki bodo potrebne za reševanje problemov z uporabo aritmetičnega napredovanja. S simbolom a n označimo n-ti člen zaporedja, kjer je n celo število. Razliko označujemo z latinsko črko d. Potem veljajo naslednji izrazi:

1. Za določitev vrednosti n-tega člena je primerna naslednja formula: a n = (n-1)*d+a 1 .
2. Za določitev vsote prvih n členov: S n = (a n +a 1)*n/2.

Za razumevanje vseh primerov aritmetičnega napredovanja z rešitvami v 9. razredu je dovolj, da se spomnimo teh dveh formul, saj vse težave obravnavane vrste temeljijo na njihovi uporabi. Ne pozabite tudi, da je razlika napredovanja določena s formulo: d = a n - a n-1.

Primer #1: iskanje neznanega izraza

Dajmo preprost primer aritmetične progresije in formule, ki jih je treba uporabiti za njeno rešitev.

Naj je podano zaporedje 10, 8, 6, 4, ..., v njem morate najti pet členov.

Že iz pogojev naloge sledi, da so prvi 4 členi znani. Peto lahko definiramo na dva načina:

1. Najprej izračunajmo razliko. Imamo: d = 8 - 10 = -2. Podobno lahko vzamete katera koli druga člana, ki stojita drug poleg drugega. Na primer, d = 4 - 6 = -2. Ker je znano, da je d = a n - a n-1, potem je d = a 5 - a 4, iz česar dobimo: a 5 = a 4 + d. Nadomestimo znane vrednosti: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Druga metoda prav tako zahteva poznavanje razlike zadevnega napredovanja, zato jo morate najprej določiti, kot je prikazano zgoraj (d = -2). Ker vemo, da je prvi člen a 1 = 10, uporabimo formulo za število n zaporedja. Imamo: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Če nadomestimo n = 5 v zadnji izraz, dobimo: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Kot lahko vidite, sta obe rešitvi privedli do enakega rezultata. Upoštevajte, da je v tem primeru progresijska razlika d negativna vrednost. Takšna zaporedja se imenujejo padajoča, saj je vsak naslednji člen manjši od prejšnjega.

Primer #2: razlika v napredovanju

Zdaj pa malo zapletimo problem, dajmo primer, kako najti razliko aritmetičnega napredovanja.

Znano je, da je v neki algebrski progresiji 1. člen enak 6, 7. člen pa 18. Treba je najti razliko in to zaporedje obnoviti na 7. člen.

Za določitev neznanega člena uporabimo formulo: a n = (n - 1) * d + a 1 . Vanj nadomestimo znane podatke iz pogoja, torej števili a 1 in a 7, imamo: 18 = 6 + 6 * d. Iz tega izraza lahko preprosto izračunate razliko: d = (18 - 6) /6 = 2. Tako smo odgovorili na prvi del naloge.

Če želite obnoviti zaporedje na 7. člen, morate uporabiti definicijo algebraične progresije, to je a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d itd. Posledično obnovimo celotno zaporedje: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14. , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Primer št. 3: sestavljanje progresije

Zapletimo problem še bolj. Zdaj moramo odgovoriti na vprašanje, kako najti aritmetično progresijo. Navedemo lahko naslednji primer: podani sta dve števili, na primer - 4 in 5. Potrebno je ustvariti algebraično napredovanje, tako da so med njimi še trije členi.

Preden začnete reševati to težavo, morate razumeti, kakšno mesto bodo dane številke zasedle v prihodnjem napredovanju. Ker bodo med njimi še trije členi, potem je a 1 = -4 in a 5 = 5. Ko to ugotovimo, preidemo na problem, ki je podoben prejšnjemu. Spet za n-ti člen uporabimo formulo, dobimo: a 5 = a 1 + 4 * d. Iz: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. To, kar imamo tukaj, ni celoštevilska vrednost razlike, ampak je racionalno število, zato formule za algebraično napredovanje ostajajo enake.

Sedaj pa prištejmo najdeno razliko k 1 in obnovimo manjkajoče člene napredovanja. Dobimo: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, kar je sovpadalo s pogoji problema.

Primer št. 4: prvi člen napredovanja

Nadaljujmo s primeri aritmetičnega napredovanja z rešitvami. Pri vseh dosedanjih nalogah je bilo prvo število algebraične progresije znano. Zdaj pa razmislimo o problemu drugačne vrste: naj sta podani dve števili, kjer je 15 = 50 in 43 = 37. Ugotoviti je treba, s katero številko se to zaporedje začne.

Do sedaj uporabljene formule predpostavljajo poznavanje a 1 in d. V izjavi o problemu ni nič znanega o teh številkah. Kljub temu bomo za vsak člen, o katerem so na voljo podatki, zapisali izraze: a 15 = a 1 + 14 * d in a 43 = a 1 + 42 * d. Dobili smo dve enačbi, v katerih sta 2 neznani količini (a 1 in d). To pomeni, da se problem zmanjša na reševanje sistema linearnih enačb.

Najlažji način za rešitev tega sistema je, da izrazite 1 v vsaki enačbi in nato primerjate dobljene izraze. Prva enačba: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; druga enačba: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Z enačenjem teh izrazov dobimo: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, od koder razlika d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (navedena so samo 3 decimalna mesta).

Če poznate d, lahko uporabite katerega koli od zgornjih dveh izrazov za 1. Na primer, najprej: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Če dvomite o dobljenem rezultatu, ga lahko preverite, na primer določite 43. člen napredovanja, ki je določen v pogoju. Dobimo: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Majhna napaka je posledica dejstva, da je bilo pri izračunih uporabljeno zaokroževanje na tisočinke.

Primer št. 5: znesek

Zdaj pa si poglejmo več primerov z rešitvami za vsoto aritmetične progresije.

Naj bo podana številska progresija naslednje oblike: 1, 2, 3, 4, ...,. Kako izračunati vsoto 100 teh števil?

Zahvaljujoč razvoju računalniške tehnologije je mogoče rešiti to težavo, to je zaporedno seštevanje vseh številk, kar bo računalnik naredil takoj, ko oseba pritisne tipko Enter. Vendar pa je problem mogoče rešiti miselno, če ste pozorni, da je predstavljena serija števil algebraična progresija, njena razlika pa je enaka 1. Z uporabo formule za vsoto dobimo: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Zanimivo je, da se ta problem imenuje "Gaussov", ker ga je v začetku 18. stoletja slavni Nemec, star še komaj 10 let, v nekaj sekundah rešil v svoji glavi. Deček ni poznal formule za vsoto algebrske progresije, je pa opazil, da če števila na koncih zaporedja sešteješ v parih, dobiš vedno enak rezultat, to je 1 + 100 = 2 + 99. = 3 + 98 = ..., in ker bodo te vsote natanko 50 (100 / 2), je za pravilen odgovor dovolj, da pomnožite 50 s 101.

Primer št. 6: vsota členov od n do m

Drug tipičen primer vsote aritmetičnega napredovanja je naslednji: glede na niz števil: 3, 7, 11, 15, ... morate ugotoviti, čemu bo enaka vsota njegovih členov od 8 do 14. .

Problem se rešuje na dva načina. Prvi od njih vključuje iskanje neznanih izrazov od 8 do 14 in njihovo zaporedno seštevanje. Ker je izrazov malo, ta metoda ni precej delovno intenzivna. Kljub temu je predlagano, da se ta problem reši z drugo metodo, ki je bolj univerzalna.

Ideja je dobiti formulo za vsoto algebraične progresije med členoma m in n, kjer so n > m cela števila. Za oba primera zapišemo dva izraza za vsoto:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

Ker je n > m, je očitno, da 2. vsota vključuje prvo. Zadnji sklep pomeni, da če vzamemo razliko med temi vsotami in ji dodamo člen a m (v primeru jemanja razlike se ta odšteje od vsote S n), dobimo potreben odgovor na problem. Imamo: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). V ta izraz je treba nadomestiti formuli za n in a m. Nato dobimo: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Dobljena formula je nekoliko okorna, vendar je vsota S mn odvisna samo od n, m, a 1 in d. V našem primeru je a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Če te številke zamenjamo, dobimo: S mn = 301.

Kot je razvidno iz zgornjih rešitev, vse naloge temeljijo na poznavanju izraza za n-ti člen in formule za vsoto množice prvih členov. Preden začnete reševati katero od teh težav, je priporočljivo, da natančno preberete pogoj, jasno razumete, kaj morate najti, in šele nato nadaljujete z rešitvijo.

Še en nasvet je, da si prizadevate za preprostost, to je, če lahko odgovorite na vprašanje brez uporabe zapletenih matematičnih izračunov, potem morate storiti prav to, saj je v tem primeru verjetnost napake manjša. Na primer, v primeru aritmetične progresije z rešitvijo št. 6 bi se lahko ustavili pri formuli S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m in celotno težavo razdelite na ločene podnaloge (v tem primeru najprej poiščite izraza a n in a m).

Če dvomite o dobljenem rezultatu, je priporočljivo, da ga preverite, kot je bilo storjeno v nekaterih navedenih primerih. Ugotovili smo, kako najti aritmetično progresijo. Če to ugotovite, ni tako težko.

I. V. Jakovlev | Materiali za matematiko | MathUs.ru

Aritmetična progresija

Aritmetična progresija je posebna vrsta zaporedja. Zato moramo pred definiranjem aritmetične (in nato geometrijske) progresije na kratko obravnavati pomemben koncept številskega zaporedja.

Naknadno zaporedje

Predstavljajte si napravo, na zaslonu katere se ena za drugo izpisujejo določene številke. Recimo 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Ta niz številk je natanko primer zaporedja.

Opredelitev. Številsko zaporedje je niz števil, v katerem je vsakemu številu mogoče pripisati edinstveno število (to je, povezano z enim samim naravnim številom)1. Število n imenujemo n-ti člen zaporedja.

Torej, v zgornjem primeru je prvo število 2, to je prvi član zaporedja, ki ga lahko označimo z a1; število pet ima število 6 peti člen zaporedja, ki ga lahko označimo z a5. Na splošno je n-ti člen zaporedja označen z an (ali bn, cn itd.).

Zelo priročna situacija je, ko lahko n-ti člen zaporedja podamo z neko formulo. Na primer, formula an = 2n 3 določa zaporedje: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Formula an = (1)n podaja zaporedje: 1; 1; 1; 1; : : :

Vsak niz številk ni zaporedje. Tako segment ni zaporedje; vsebuje "preveč" številk, ki bi jih bilo treba preštevilčiti. Tudi množica R vseh realnih števil ni zaporedje. Ta dejstva so dokazana z matematično analizo.

Aritmetična progresija: osnovne definicije

Zdaj smo pripravljeni definirati aritmetično progresijo.

Opredelitev. Aritmetična progresija je zaporedje, v katerem je vsak člen (začenši od drugega) enak vsoti prejšnjega člena in nekega fiksnega števila (imenovanega razlika aritmetične progresije).

Na primer, zaporedje 2; 5; 8; enajst; : : : je aritmetična progresija s prvim členom 2 in razliko 3. Zaporedje 7; 2; 3; 8; : : : je aritmetična progresija s prvim členom 7 in razliko 5. Zaporedje 3; 3; 3; : : : je aritmetična progresija z razliko, ki je enaka nič.

Ekvivalentna definicija: zaporedje an imenujemo aritmetična progresija, če je razlika an+1 an konstantna vrednost (neodvisna od n).

Aritmetična progresija se imenuje naraščajoča, če je razlika pozitivna, in padajoča, če je razlika negativna.

1 Tukaj pa je bolj jedrnata definicija: zaporedje je funkcija, definirana na množici naravnih števil. Na primer, zaporedje realnih števil je funkcija f: N ! R.

Zaporedja se privzeto štejejo za neskončna, kar pomeni, da vsebujejo neskončno število števil. Toda nihče nas ne moti, da upoštevamo končna zaporedja; pravzaprav lahko vsako končno množico števil imenujemo končno zaporedje. Na primer, končno zaporedje je 1; 2; 3; 4; 5 je sestavljen iz petih številk.

Formula za n-ti člen aritmetične progresije

Zlahka je razumeti, da aritmetično napredovanje v celoti določata dve števili: prvi člen in razlika. Zato se postavlja vprašanje: kako, če poznamo prvi člen in razliko, najti poljuben člen aritmetičnega napredovanja?

Zahtevane formule za n-ti člen aritmetične progresije ni težko dobiti. Naj an

aritmetična progresija z razliko d. Imamo:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : : :):
Še posebej pišemo:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
in zdaj postane jasno, da je formula za a:
an = a1 + (n 1)d:

Problem 1. V aritmetični progresiji 2; 5; 8; enajst; : : : poišči formulo za n-ti člen in izračunaj stoti člen.

rešitev. Po formuli (1) imamo:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Lastnost in znak aritmetične progresije

Lastnost aritmetične progresije. V aritmetični progresiji za katero koli

Z drugimi besedami, vsak člen aritmetične progresije (začenši od drugega) je aritmetična sredina sosednjih članov.

	Dokaz. Imamo:
	a n 1+ a n+1		(an d) + (an + d)

kar je bilo zahtevano.

Na splošno aritmetična progresija an izpolnjuje enakost

a n = a n k+ a n+k

za vsak n > 2 in vsak naravni k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Izkazalo se je, da formula (2) služi ne le kot nujen, temveč tudi kot zadosten pogoj, da je zaporedje aritmetična progresija.

Znak za aritmetično progresijo. Če enakost (2) velja za vse n > 2, potem je zaporedje an aritmetična progresija.

Dokaz. Prepišimo formulo (2) na naslednji način:

a na n 1= a n+1a n:

Iz tega lahko vidimo, da razlika an+1 an ni odvisna od n, kar natanko pomeni, da je zaporedje an aritmetična progresija.

Lastnost in znak aritmetične progresije je mogoče oblikovati v obliki ene izjave; Za udobje bomo to storili za tri številke (to je situacija, ki se pogosto pojavi pri težavah).

Karakterizacija aritmetične progresije. Tri števila a, b, c tvorijo aritmetično progresijo, če in samo če je 2b = a + c.

Problem 2. (MSU, Ekonomska fakulteta, 2007) Tri števila 8x, 3 x2 in 4 v navedenem vrstnem redu tvorijo padajočo aritmetično progresijo. Poiščite x in označite razliko te progresije.

rešitev. Po lastnosti aritmetične progresije imamo:

2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x = 5:

Če je x = 1, potem dobimo padajočo progresijo 8, 2, 4 z razliko 6. Če je x = 5, potem dobimo naraščajočo progresijo 40, 22, 4; ta primer ni primeren.

Odgovor: x = 1, razlika je 6.

Vsota prvih n členov aritmetične progresije

Legenda pravi, da je nekega dne učitelj otrokom rekel, naj poiščejo vsoto števil od 1 do 100, in tiho sedel in bral časopis. Vendar je v nekaj minutah en fant rekel, da je rešil težavo. To je bil 9-letni Carl Friedrich Gauss, pozneje eden največjih matematikov v zgodovini.

Ideja malega Gaussa je bila naslednja. Pustiti

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Zapišimo ta znesek v obratnem vrstnem redu:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

in dodajte ti dve formuli:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Vsak izraz v oklepaju je enak 101, skupno pa je torej 100 izrazov

2S = 101 100 = 10100;

To idejo uporabimo za izpeljavo formule vsote

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Uporabno modifikacijo formule (3) dobimo, če vanjo nadomestimo formulo n-tega člena an = a1 + (n 1)d:

		2a1 + (n 1)d

Naloga 3. Poiščite vsoto vseh pozitivnih trimestnih števil, deljivih s 13.

rešitev. Trimestna števila, ki so večkratniki 13, tvorijo aritmetično napredovanje, pri čemer je prvi člen 104, razlika pa 13; N-ti člen tega napredovanja ima obliko:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Ugotovimo, koliko členov vsebuje naše napredovanje. Da bi to naredili, rešimo neenakost:

6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

Torej, v našem napredovanju je 69 članov. S formulo (4) najdemo zahtevano količino:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

Na primer zaporedje \(2\); \(5\); \(8\); \(enajst\); \(14\)... je aritmetična progresija, ker se vsak naslednji element razlikuje od prejšnjega za tri (lahko ga dobimo iz prejšnjega s seštevanjem treh):

V tej progresiji je razlika \(d\) pozitivna (enaka \(3\)), zato je vsak naslednji člen večji od prejšnjega. Takšna napredovanja se imenujejo povečevanje.

Vendar je \(d\) lahko tudi negativno število. Na primer, v aritmetični progresiji \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... progresijska razlika \(d\) je enaka minus šest.

In v tem primeru bo vsak naslednji element manjši od prejšnjega. Ta napredovanja se imenujejo zmanjševanje.

Zapis aritmetične progresije

Napredovanje je označeno z malo latinično črko.

Števila, ki tvorijo progresijo, imenujemo člani(ali elementi).

Označeni so z isto črko kot aritmetična progresija, vendar z numeričnim indeksom, ki je enak številki elementa v vrstnem redu.

Na primer, aritmetična progresija \(a_n = \levo\( 2; 5; 8; 11; 14…\desno\)\) je sestavljena iz elementov \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) in tako naprej.

Z drugimi besedami, za progresijo \(a_n = \levo\(2; 5; 8; 11; 14…\desno\)\)

Reševanje nalog aritmetične progresije

Načeloma so zgoraj predstavljene informacije že dovolj za rešitev skoraj vseh problemov aritmetičnega napredovanja (vključno s tistimi, ki jih ponuja OGE).

Primer (OGE). Aritmetična progresija je podana s pogoji \(b_1=7; d=4\). Poiščite \(b_5\).
rešitev:

odgovor: \(b_5=23\)

Primer (OGE). Podani so prvi trije členi aritmetične progresije: \(62; 49; 36…\) Poiščite vrednost prvega negativnega člena te progresije..
rešitev:

	Podani so nam prvi elementi zaporedja in vemo, da gre za aritmetično napredovanje. To pomeni, da se vsak element od soseda razlikuje za isto številko. Ugotovimo katerega, tako da od naslednjega elementa odštejemo prejšnjega: \(d=49-62=-13\).
	Zdaj lahko obnovimo naše napredovanje na (prvi negativni) element, ki ga potrebujemo.
	pripravljena Lahko napišete odgovor.

odgovor: \(-3\)

Primer (OGE). Podanih je več zaporednih elementov aritmetičnega napredovanja: \(…5; x; 10; 12,5...\) Poiščite vrednost elementa, označenega s črko \(x\).
rešitev:

	Da bi našli \(x\), moramo vedeti, koliko se naslednji element razlikuje od prejšnjega, z drugimi besedami, razlika napredovanja. Poiščimo ga iz dveh znanih sosednjih elementov: \(d=12,5-10=2,5\).
	In zdaj lahko zlahka najdemo, kar iščemo: \(x=5+2,5=7,5\).
	pripravljena Lahko napišete odgovor.

odgovor: \(7,5\).

Primer (OGE). Aritmetična progresija je definirana z naslednjimi pogoji: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Poiščite vsoto prvih šestih členov tega napredovanja.
rešitev:

	Najti moramo vsoto prvih šestih členov napredovanja. Vendar ne poznamo njihovih pomenov; dan nam je le prvi element. Zato najprej izračunamo vrednosti eno za drugo, pri čemer uporabimo tisto, kar nam je dano: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) In ko izračunamo šest elementov, ki jih potrebujemo, najdemo njihovo vsoto.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	Zahtevani znesek je bil najden.

odgovor: \(S_6=9\).

Primer (OGE). V aritmetični progresiji \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Poiščite razliko tega napredovanja.
rešitev:

odgovor: \(d=7\).

Pomembne formule za aritmetično napredovanje

Kot lahko vidite, je veliko težav pri aritmetičnem napredovanju mogoče rešiti preprosto z razumevanjem glavne stvari - da je aritmetično napredovanje veriga števil, vsak naslednji element v tej verigi pa dobimo z dodajanjem istega števila prejšnjemu ( razlika v napredovanju).

Vendar pa včasih pride do situacij, ko je odločitev "na glavo" zelo neprijetna. Na primer, predstavljajte si, da v prvem primeru ne moramo najti petega elementa \(b_5\), temveč tristo šestinosemdesetega \(b_(386)\). Ali naj dodamo štiri \(385\)-krat? Ali pa si predstavljajte, da morate v predzadnjem primeru najti vsoto prvih triinsedemdeset elementov. Utrujeni boste od štetja ...

Zato v takšnih primerih stvari ne rešujejo »na glavo«, temveč uporabljajo posebne formule, izpeljane za aritmetično progresijo. In glavni sta formula za n-ti člen napredovanja in formula za vsoto \(n\) prvih členov.

Formula \(n\)-tega člena: \(a_n=a_1+(n-1)d\), kjer je \(a_1\) prvi člen napredovanja;
\(n\) – številka zahtevanega elementa;
\(a_n\) – člen napredovanja s številko \(n\).

Ta formula nam omogoča, da hitro najdemo tudi tristoti ali milijonti element, pri čemer poznamo samo prvi in ​​razliko progresije.

Primer. Aritmetična progresija je podana s pogoji: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Poiščite \(b_(246)\).
rešitev:

odgovor: \(b_(246)=1850\).

Formula za vsoto prvih n členov: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), kjer

\(a_n\) – zadnji seštevani izraz;

Primer (OGE). Aritmetična progresija je podana s pogoji \(a_n=3,4n-0,6\). Poiščite vsoto prvih \(25\) členov tega napredovanja.
rešitev:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Za izračun vsote prvih petindvajsetih členov moramo poznati vrednost prvega in petindvajsetega člena. Naše napredovanje je podano s formulo n-tega člena glede na njegovo število (za več podrobnosti glej). Izračunajmo prvi element tako, da \(n\) nadomestimo enega.
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)		Zdaj pa poiščimo petindvajseti člen tako, da zamenjamo petindvajset namesto \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)		No, zdaj lahko preprosto izračunamo zahtevano količino.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Odgovor je pripravljen.

odgovor: \(S_(25)=1090\).

Za vsoto \(n\) prvih členov lahko dobite drugo formulo: samo \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) namesto \(a_n\) nadomestite s formulo \(a_n=a_1+(n-1)d\). Dobimo:

Formula za vsoto prvih n členov: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), kjer

\(S_n\) – zahtevana vsota \(n\) prvih elementov;
\(a_1\) – prvi seštevek;
\(d\) – razlika napredovanja;
\(n\) – število elementov v vsoti.

Primer. Poiščite vsoto prvih \(33\)-ex členov aritmetične progresije: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
rešitev:

odgovor: \(S_(33)=-231\).

Bolj zapleteni problemi aritmetične progresije

Zdaj imate vse informacije, ki jih potrebujete za rešitev skoraj vseh nalog aritmetičnega napredovanja. Zaključimo temo z obravnavo problemov, pri katerih ne potrebujete samo uporabe formul, ampak tudi malo razmišljati (pri matematiki je to lahko koristno ☺)

Primer (OGE). Poiščite vsoto vseh negativnih členov napredovanja: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
rešitev:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Naloga je zelo podobna prejšnji. Začnemo reševati isto stvar: najprej najdemo \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Zdaj bi rad zamenjal \(d\) v formulo za vsoto ... in tukaj se pojavi majhna niansa - ne poznamo \(n\). Z drugimi besedami, ne vemo, koliko izrazov bo treba dodati. Kako ugotoviti? Pomislimo. Elemente bomo prenehali dodajati, ko dosežemo prvi pozitivni element. To pomeni, da morate ugotoviti število tega elementa. kako Zapišimo formulo za izračun poljubnega elementa aritmetične progresije: \(a_n=a_1+(n-1)d\) za naš primer.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)		Potrebujemo, da \(a_n\) postane večji od nič. Ugotovimo, pri katerem \(n\) se bo to zgodilo.
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Obe strani neenakosti delimo z \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Prenesemo minus ena, ne da bi pozabili spremeniti znake
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Izračunajmo...
\(n>65.333…\)		...in izkaže se, da bo imel prvi pozitivni element število \(66\). V skladu s tem ima zadnji negativni \(n=65\). Za vsak slučaj, preverimo to.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)		Zato moramo dodati prvih \(65\) elementov.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Odgovor je pripravljen.

odgovor: \(S_(65)=-630,5\).

Primer (OGE). Aritmetična progresija je podana s pogoji: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Poiščite vsoto od \(26\) do vključno \(42\) elementa.
rešitev:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	V tej nalogi morate najti tudi vsoto elementov, vendar ne od prvega, ampak od \(26\)th. Za tak primer nimamo formule. Kako se odločiti? Preprosto je – če želite dobiti vsoto od \(26\)-te do \(42\)-te, morate najprej poiskati vsoto od \(1\)-te do \(42\)-te in nato odšteti od tega vsota od prvega do \(25\)-ega (glej sliko).
	Za naše napredovanje \(a_1=-33\) in razliko \(d=4\) (navsezadnje štiri dodamo prejšnjemu elementu, da najdemo naslednjega). Če to vemo, najdemo vsoto prvih \(42\)-y elementov.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Sedaj vsota prvih \(25\) elementov.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	In končno izračunamo odgovor.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

odgovor: \(S=1683\).

Za aritmetično progresijo obstaja več formul, ki jih v tem članku nismo upoštevali zaradi njihove majhne praktične uporabnosti. Vendar jih lahko zlahka najdete.

Spletni kalkulator.
Reševanje aritmetične progresije.
Podano: a n , d, n
Najdi: a 1

Ta matematični program najde \(a_1\) aritmetičnega napredovanja na podlagi uporabniško določenih števil \(a_n, d\) in \(n\).
Števili \(a_n\) in \(d\) lahko podate ne le kot cela števila, ampak tudi kot ulomke. Poleg tega lahko ulomek vnesete v obliki decimalnega ulomka (\(2,5\)) in v obliki navadnega ulomka (\(-5\frac(2)(7)\)).

Program ne daje samo odgovora na problem, ampak tudi prikaže proces iskanja rešitve.

Ta spletni kalkulator je lahko koristen za srednješolce v srednjih šolah, ko se pripravljajo na teste in izpite, pri preverjanju znanja pred enotnim državnim izpitom in za starše, da nadzorujejo rešitev številnih problemov iz matematike in algebre. Ali pa vam je morda predrago najeti mentorja ali kupiti nove učbenike? Ali pa želite kar se da hitro narediti domačo nalogo iz matematike ali algebre? V tem primeru lahko uporabite tudi naše programe s podrobnimi rešitvami.

Na ta način lahko izvajate svoje usposabljanje in/ali usposabljanje svojih mlajših bratov ali sester, hkrati pa se dvigne stopnja izobrazbe na področju reševanja problemov.

Če niste seznanjeni s pravili vnosa številk, priporočamo, da se z njimi seznanite.

Pravila za vnos številk

Števili \(a_n\) in \(d\) lahko podate ne le kot cela števila, ampak tudi kot ulomke.
Število \(n\) je lahko samo pozitivno celo število.

Pravila za vnos decimalnih ulomkov.
Celi in ulomki v decimalnih ulomkih so lahko ločeni s piko ali vejico.
Vnesete lahko na primer decimalne ulomke, kot je 2,5 ali 2,5

Pravila za vnos navadnih ulomkov.
Samo celo število lahko deluje kot števec, imenovalec in celo število ulomka.

Imenovalec ne more biti negativen.

Pri vnosu številskega ulomka je števec ločen od imenovalca z znakom za deljenje: /
Vnos:
Rezultat: \(-\frac(2)(3)\)

Celoten del je ločen od ulomka z znakom &: &
Vnos:
Rezultat: \(-1\frac(2)(3)\)

Vpiši številke a n , d, n

Poiščite 1

Ugotovljeno je bilo, da nekateri skripti, potrebni za rešitev te težave, niso bili naloženi in program morda ne bo deloval.
Morda imate omogočen AdBlock.
V tem primeru ga onemogočite in osvežite stran.

JavaScript je onemogočen v vašem brskalniku.
Da se rešitev prikaže, morate omogočiti JavaScript.
Tukaj so navodila, kako omogočiti JavaScript v brskalniku.

Ker Veliko ljudi je pripravljenih rešiti problem, vaša zahteva je v čakalni vrsti.
Čez nekaj sekund se spodaj prikaže rešitev.
Prosim počakaj sek...

Če ti opazil napako v rešitvi, potem lahko o tem pišete v obrazcu za povratne informacije.
Ne pozabi navedite, katero nalogo ti se odloči kaj vnesite v polja.

Naše igre, uganke, emulatorji:

Malo teorije.

Zaporedje številk

V vsakdanji praksi se oštevilčenje različnih predmetov pogosto uporablja za označevanje vrstnega reda, v katerem so razporejeni. Na primer, hiše na vsaki ulici so oštevilčene. V knjižnici so naročnine bralcev oštevilčene in nato razvrščene po vrstnem redu dodeljenih številk v posebne kartoteke.

V hranilnici lahko po številki osebnega računa vlagatelja enostavno poiščete ta račun in vidite, kakšen depozit je na njem. Naj račun št. 1 vsebuje depozit a1 rubljev, račun št. 2 vsebuje depozit a2 rubljev itd. Izkazalo se je številčno zaporedje
a 1, a 2, a 3, ..., a N
kjer je N število vseh računov. Tu je vsako naravno število n od 1 do N povezano s številom a n.

Študiral tudi matematiko neskončna številska zaporedja:
a 1, a 2, a 3, ..., a n, ....
Število a 1 se imenuje prvi člen zaporedja, številka a 2 - drugi člen zaporedja, številka a 3 - tretji člen zaporedja itd.
Število a n imenujemo n-ti (n-ti) člen zaporedja, naravno število n pa je njeno število.

Na primer, v zaporedju kvadratov naravnih števil 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... in 1 = 1 je prvi člen zaporedja; in n = n 2 je n-ti člen zaporedja; a n+1 = (n + 1) 2 je (n + 1)-ti (n plus prvi) člen zaporedja. Pogosto je zaporedje mogoče določiti s formulo njegovega n-tega člena. Na primer, formula \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) definira zaporedje \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac(1)(3) , \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)

Aritmetična progresija

Dolžina leta je približno 365 dni. Natančnejša vrednost je \(365\frac(1)(4)\) dni, tako da se vsaka štiri leta kopiči napaka za en dan.

Za upoštevanje te napake se vsakemu četrtemu letu doda dan, podaljšano leto pa imenujemo prestopno leto.

Na primer, v tretjem tisočletju so prestopna leta 2004, 2008, 2012, 2016, ....

V tem zaporedju je vsak člen, začenši z drugim, enak prejšnjemu, dodanemu istemu številu 4. Takšna zaporedja imenujemo aritmetične progresije.

Opredelitev.
Številsko zaporedje a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... se imenuje aritmetična progresija, če za vse naravne n velja enakost
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
kjer je d neko število.

Iz te formule sledi, da je a n+1 - a n = d. Število d imenujemo razlika aritmetična progresija.

Po definiciji aritmetične progresije imamo:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
kje
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), kjer \(n>1 \)

Tako je vsak člen aritmetične progresije, začenši z drugim, enak aritmetični sredini svojih dveh sosednjih členov. To pojasnjuje ime "aritmetična" progresija.

Upoštevajte, da če sta podana a 1 in d, je mogoče preostale člene aritmetične progresije izračunati z uporabo ponavljajoče se formule a n+1 = a n + d. Na ta način ni težko izračunati prvih nekaj členov napredovanja, vendar bo na primer 100 že zahtevalo veliko izračunov. Običajno se za to uporablja formula n-tega člena. Po definiciji aritmetične progresije
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
itd.
Nasploh,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
ker n-ti člen aritmetičnega napredovanja dobimo iz prvega člena s seštevanjem (n-1)-krat števila d.
Ta formula se imenuje formula za n-ti člen aritmetičnega napredovanja.

Vsota prvih n členov aritmetične progresije

Poišči vsoto vseh naravnih števil od 1 do 100.
Zapišimo ta znesek na dva načina:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Dodajmo te enakosti člen za členom:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Ta vsota ima 100 izrazov
Zato je 2S = 101 * 100, zato je S = 101 * 50 = 5050.

Oglejmo si zdaj poljubno aritmetično progresijo
a 1, a 2, a 3, ..., a n, ...
Naj bo S n vsota prvih n členov tega napredovanja:
S n = a 1, a 2, a 3, ..., a n
Potem vsota prvih n členov aritmetične progresije je enaka
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

Ker \(a_n=a_1+(n-1)d\), potem z zamenjavo n v tej formuli dobimo drugo formulo za iskanje vsota prvih n členov aritmetične progresije:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

Knjige (učbeniki) Povzetki enotnega državnega izpita in testi enotnega državnega izpita na spletu Igre, uganke Risanje grafov funkcij Črkovalni slovar ruskega jezika Slovar mladinskega slenga Katalog ruskih šol Katalog srednješolskih izobraževalnih ustanov Rusije Katalog ruskih univerz Seznam nalog

Težave z aritmetično progresijo so obstajale že v starih časih. Pojavili so se in zahtevali rešitev, ker so imeli praktično potrebo.

Tako eden od papirusov starega Egipta z matematično vsebino, Rhindov papirus (19. stoletje pr. n. št.), vsebuje naslednjo nalogo: razdeliti deset mer kruha med deset ljudi, pod pogojem, da je razlika med vsakim ena osmina ukrep."

In v matematičnih delih starih Grkov so elegantni izreki, povezani z aritmetičnim napredovanjem. Tako je Hypsicles iz Aleksandrije (2. stoletje, ki je sestavil veliko zanimivih problemov in Evklidovim Elementom dodal štirinajsto knjigo), oblikoval idejo: »V aritmetičnem napredovanju, ki ima sodo število členov, je vsota členov 2. polovice je večja od vsote členov 1. na kvadrat 1/2 števila članov."

Zaporedje je označeno z an. Številke zaporedja imenujemo njegovi členi in so običajno označene s črkami z indeksi, ki označujejo zaporedno številko tega člena (a1, a2, a3 ... beri: “a 1st”, “a 2nd”, “a 3rd”). in tako naprej ).

Zaporedje je lahko neskončno ali končno.

Kaj je aritmetična progresija? Z njim razumemo tistega, ki ga dobimo s seštevanjem prejšnjega člena (n) z istim številom d, ki je razlika progresije.

Če d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, potem se to napredovanje šteje za naraščajoče.

Aritmetična progresija se imenuje končna, če upoštevamo samo prvih nekaj členov. Z zelo velikim številom članov je to že neskončno napredovanje.

Vsako aritmetično napredovanje je definirano z naslednjo formulo:

an =kn+b, medtem ko sta b in k nekaj števil.

Nasprotna izjava je absolutno resnična: če je zaporedje podano s podobno formulo, potem ima ravno aritmetična progresija lastnosti:

1. Vsak člen napredovanja je aritmetična sredina prejšnjega in naslednjega člena.
2. Obratno: če je, začenši od 2., vsak člen aritmetična sredina prejšnjega in naslednjega člena, tj. če je pogoj izpolnjen, potem je to zaporedje aritmetična progresija. Ta enakost je tudi znak progresije, zato jo navadno imenujemo značilna lastnost progresije.
   Na enak način je resničen izrek, ki odraža to lastnost: zaporedje je aritmetična progresija le, če ta enakost velja za katerega koli člena zaporedja, začenši z 2.

Značilno lastnost poljubnih štirih števil aritmetične progresije lahko izrazimo s formulo an + am = ak + al, če je n + m = k + l (m, n, k so progresijska števila).

V aritmetični progresiji lahko vsak potreben (N-ti) člen najdemo z naslednjo formulo:

Na primer: prvi člen (a1) v aritmetični progresiji je podan in je enak tri, razlika (d) pa je enaka štiri. Najti morate petinštirideseti člen tega napredovanja. a45 = 1+4(45-1)=177

Formula an = ak + d(n - k) vam omogoča, da določite n-ti člen aritmetičnega napredovanja skozi katerega koli od njegovih k-tih členov, pod pogojem, da je znan.

Vsota členov aritmetične progresije (kar pomeni prvih n členov končne progresije) se izračuna na naslednji način:

Sn = (a1+an) n/2.

Če je znan tudi prvi člen, je za izračun primerna druga formula:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Vsota aritmetične progresije, ki vsebuje n členov, se izračuna na naslednji način:

Izbira formul za izračun je odvisna od pogojev problemov in začetnih podatkov.

Naravni niz poljubnih števil, kot so 1,2,3,...,n,..., je najpreprostejši primer aritmetičnega napredovanja.

Poleg aritmetične progresije obstaja tudi geometrijska progresija, ki ima svoje lastnosti in značilnosti.