Ako nájsť najmenší spoločný násobok dvoch čísel. Hľadanie najmenšieho spoločného násobku: metódy, príklady hľadania LCM

21.10.2019

Spoločné násobky

Jednoducho povedané, každé celé číslo, ktoré je deliteľné každým z daných čísel, je spoločný násobok celočíselné údaje.

Môžete nájsť spoločný násobok dvoch alebo viacerých celých čísel.

Príklad 1

Vypočítajte spoločný násobok dvoch čísel: $ 2 $ a $ 5 $.

Riešenie.

Podľa definície sú spoločné násobky 2 $ a 5 $ 10 dolárov, pretože je to násobok 2 $ a 5 $:

Spoločné násobky čísel $ 2 $ a $ 5 $ budú tiež čísla $ –10, 20, –20, 30, –30 $ atď. všetky sú deliteľné číslami $ 2 $ a $ 5 $.

Poznámka 1

Nula je spoločný násobok ľubovoľného počtu nenulových celých čísel.

Podľa vlastností deliteľnosti, ak je určité číslo spoločným násobkom niekoľkých čísel, potom opak v znamienku bude tiež spoločným násobkom daných čísel. To je možné vidieť z uvažovaného príkladu.

Pre dané celé čísla môžete vždy nájsť ich spoločný násobok.

Príklad 2

Vypočítajte spoločný násobok 111 $ a 55 $.

Riešenie.

Vynásobte uvedené čísla: 111 dolárov \ div 55 = 6105 dolárov. Je ľahké sa uistiť, že číslo 6105 $ je deliteľné číslom 111 $ a číslom 55 $:

6105 $ \ div 111 = 55 $;

6105 $ \ div 55 = 111 $.

6105 $ je teda spoločný násobok 111 $ a 55 $.

Odpoveď: spoločný násobok 111 USD a 55 USD je 6105 USD.

Ale ako sme videli v predchádzajúcom príklade, tento spoločný násobok nie je jedna. Ďalšie spoločné násobky sú $ –6105, 12210, –12210, 61050, –61050 atď. Dospeli sme teda k nasledovnému záveru:

Poznámka 2

Každá množina celých čísel má nekonečne veľa spoločných násobkov.

V praxi sa obmedzujú na hľadanie spoločných násobkov iba kladných celých (prirodzených) čísel, od r množiny násobkov daného čísla a jeho opaku sa zhodujú.

Najmenej spoločné viacnásobné určenie

Najmenší spoločný násobok (LCM) sa používa najčastejšie zo všetkých násobkov daných čísel.

Definícia 2

Najmenší kladný spoločný násobok daných celých čísel je najmenší spoločný násobok tieto čísla.

Príklad 3

Vypočítajte LCM čísel $ 4 $ a $ 7 $.

Riešenie.

Pretože tieto čísla nemajú spoločných deliteľov, potom $ LCM (4,7) = 28 $.

Odpoveď: $ LCM (4,7) = 28 $.

Nájdenie LCM prostredníctvom GCD

Pretože existuje vzťah medzi LCM a GCD, s jeho pomocou môžete vypočítať LCM dvoch kladných celých čísel:

Poznámka 3

Príklad 4

Vypočítajte LCM čísel 232 USD a 84 USD.

Riešenie.

Použime vzorec na nájdenie LCM cez GCD:

$ LCM (a, b) = \ frac (a \ cdot b) (GCD (a, b)) $

Nájdite GCD čísel 232 $ a 84 $ pomocou Euklidovho algoritmu:

232 $ = 84 \ cdot 2 + 64 $,

84 $ = 64 \ cdot 1 + 20 $,

64 $ = 20 \ cdot 3 + 4 $,

Tie. $ Gcd (232, 84) = 4 $.

Nájsť $ LCM (232, 84) $:

$ LCM (232,84) = \ frac (232 \ cdot 84) (4) = 58 \ cdot 84 = 4 872 $

Odpoveď: $ NOK (232,84) = 4872 dolárov.

Príklad 5

Vypočítajte $ LCM (23, 46) $.

Riešenie.

Pretože 46 $ je deliteľné 23 $, potom $ gcd (23, 46) = 23 $. Nájdite LCM:

$ LCM (23,46) = \ frac (23 \ cdot 46) (23) = 46 $

Odpoveď: $ LCM (23,46) = 46 $.

Môžeme teda formulovať pravidlo:

Poznámka 4

Najväčší spoločný deliteľ

Definícia 2

Ak je prirodzené číslo a deliteľné prirodzeným číslom $ b $, potom $ b $ sa nazýva deliteľ $ a $ a $ a $ sa nazýva násobok $ b $.

Nech $ a $ a $ b $ sú prirodzené čísla. Číslo $ c $ sa nazýva spoločný deliteľ pre $ a $ a $ b $.

Množina spoločných deliteľov pre $ a $ a $ b $ je konečná, pretože žiadny z týchto deliteľov nemôže byť väčší ako $ a $. To znamená, že medzi týmito deliteľmi je najväčší, ktorý sa nazýva najväčší spoločný deliteľ čísel $ a $ a $ b $, a na jeho označenie sa používa tento zápis:

$ Gcd \ (a; b) \ alebo \ D \ (a; b) $

Ak chcete nájsť najväčšieho spoločného deliteľa dvoch čísel, musíte:

Nájdite súčin čísel nájdených v kroku 2. Výsledné číslo bude požadovaný najväčší spoločný deliteľ.

Príklad 1

Nájdite gcd čísel $ 121 $ a $ 132. $

242 dolárov = 2 \ cdot 11 \ cdot 11 $

132 $ = 2 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 11 $

Vyberte čísla, ktoré sú zahrnuté v rozklade týchto čísel

242 dolárov = 2 \ cdot 11 \ cdot 11 $

132 $ = 2 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 11 $

Nájdite súčin čísel nájdených v kroku 2. Výsledné číslo bude požadovaným najväčším spoločným faktorom.

$ Gcd = 2 \ cdot 11 = 22 $

Príklad 2

Nájdite GCD monomiálov 63 USD a 81 USD.

Nájdeme podľa prezentovaného algoritmu. Pre to:

Rozložte čísla na prvočísla

63 $ = 3 \ cdot 3 \ cdot 7 $

81 dolárov = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 $

Vyberáme čísla, ktoré sú zahrnuté v rozklade týchto čísel

63 $ = 3 \ cdot 3 \ cdot 7 $

81 dolárov = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 $

Nájdite súčin čísel nájdených v kroku 2. Výsledné číslo bude požadovaný najväčší spoločný deliteľ.

$ Gcd = 3 \ cdot 3 = 9 $

GCD dvoch čísel môžete nájsť iným spôsobom, pomocou množiny deliteľov čísel.

Príklad 3

Nájdite GCD čísel 48 $ a 60 $.

Riešenie:

Nájdite množinu deliteľov čísla $ 48 $: $ \ vľavo \ ((\ rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48) \ vpravo \) $

Teraz nájdeme množinu deliteľov čísla $ 60 $: $ \ \ vľavo \ ((\ rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60) \ vpravo \ ) $

Nájdite priesečník týchto množín: $ \ vľavo \ ((\ rm 1,2,3,4,6,12) \ vpravo \) $ - táto množina určí množinu spoločných deliteľov čísel $ 48 $ a $ 60 $. Najväčším prvkom v danej sade bude číslo 12 $. Takže najväčší spoločný deliteľ čísel 48 USD a 60 USD bude 12 USD.

Definícia LCM

Definícia 3

Spoločný násobok prirodzených čísel$ a $ a $ b $ je prirodzené číslo, ktoré je násobkom oboch $ a $ a $ b $.

Spoločné násobky čísel sú čísla, ktoré sú bezo zvyšku deliteľné originálom. Napríklad pre čísla 25 $ a 50 $ budú spoločné násobky čísla 50 100 150 200 $ atď.

Najmenší spoločný násobok sa bude nazývať najmenší spoločný násobok a označí sa LCM $ (a; b) $ alebo K $ (a; b). $

Na nájdenie LCM dvoch čísel potrebujete:

Faktorové čísla
Zapíšte si faktory, ktoré sú súčasťou prvého čísla a pridajte k nim faktory, ktoré sú súčasťou druhého čísla a nevstupujte do prvého

Príklad 4

Nájdite LCM čísel 99 $ a 77 $.

Nájdeme podľa prezentovaného algoritmu. Pre to

Faktorové čísla

99 $ = 3 \ cdot 3 \ cdot 11 $

Napíšte faktory zahrnuté v prvom

pridajte k nim faktory, ktoré sú súčasťou druhého a nevstupujú do prvého

Nájdite súčin čísel nájdených v kroku 2. Výsledné číslo bude požadovaný najmenší spoločný násobok

$ LCM = 3 \ cdot 3 \ cdot 11 \ cdot 7 = 693 $

Zostavovanie zoznamov deliteľov čísel je často veľmi časovo náročné. Existuje spôsob, ako nájsť GCD, nazývaný Euklidov algoritmus.

Výroky, na ktorých je založený Euklidov algoritmus:

Ak $ a $ a $ b $ sú prirodzené čísla a $ a \ vdots b $, potom $ D (a; b) = b $

Ak $ a $ a $ b $ sú prirodzené čísla také, že $ b

Pomocou $ D (a; b) = D (a-b; b) $ môžeme postupne zmenšovať uvažované čísla, až kým nedosiahneme takú dvojicu čísel, že jedno z nich je deliteľné druhým. Potom menšie z týchto čísel bude požadovaným najväčším spoločným deliteľom pre čísla $ a $ a $ b $.

Vlastnosti GCD a LCM

Každý spoločný násobok $ a $ a $ b $ je deliteľný K $ (a; b) $
Ak $ a \ vdots b $, tak K $ (a; b) = a $

Ak K $ (a; b) = k $ a $ m $ je prirodzené číslo, potom K $ (am; bm) = km $

Ak je $ d $ spoločným deliteľom pre $ a $ a $ b $, potom K ($ \ frac (a) (d); \ frac (b) (d) $) = $ \ \ frac (k) (d ) $

Ak $ a \ vdots c $ a $ b \ vdots c $, potom $ \ frac (ab) (c) $ je spoločný násobok $ a $ a $ b $

Pre akékoľvek prirodzené čísla $ a $ a $ b $ je rovnosť

$ D (a; b) \ cdot К (a; b) = ab $

Akýkoľvek spoločný deliteľ čísel $ a $ a $ b $ je deliteľom čísla $ D (a; b) $

Násobok je číslo, ktoré je rovnomerne deliteľné daným číslom. Najmenší spoločný násobok (LCM) skupiny čísel je najmenšie číslo, ktoré je rovnomerne deliteľné každým číslom v skupine. Ak chcete nájsť najmenší spoločný násobok, musíte nájsť hlavné faktory daných čísel. LCM sa môže vypočítať aj pomocou niekoľkých ďalších metód, ktoré sú použiteľné pre skupiny dvoch alebo viacerých čísel.

Kroky

Séria násobkov

Pozrite sa na uvedené čísla. Tu opísanú metódu je najlepšie použiť, keď sú zadané dve čísla, z ktorých každé je menšie ako 10. Ak sú čísla veľké, použite inú metódu.

Nájdite napríklad najmenší spoločný násobok 5 a 8. Sú to malé čísla, takže môžete použiť túto metódu.

Násobok je číslo, ktoré je rovnomerne deliteľné daným číslom. Viacnásobné čísla nájdete v tabuľke násobenia.
- Napríklad čísla, ktoré sú násobkami 5, sú: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.
Napíšte sériu čísel, ktoré sú násobkami prvého čísla. Urobte to pod násobkami prvého čísla, aby ste porovnali dva riadky čísel.
- Napríklad čísla, ktoré sú násobkami 8, sú: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 a 64.
Nájdite najmenšie číslo, ktoré sa zobrazuje v oboch riadkoch násobkov. Na nájdenie súčtu možno budete musieť napísať dlhé série násobkov. Najmenšie číslo, ktoré sa nachádza v oboch radoch násobkov, je najmenší spoločný násobok.
- Napríklad najmenšie číslo, ktoré sa vyskytuje v rade násobkov 5 a 8, je 40. Preto je 40 najmenší spoločný násobok 5 a 8.
Prvotná faktorizácia
1. Pozrite sa na uvedené čísla. Tu opísanú metódu je najlepšie použiť, keď sú dané dve čísla, z ktorých každé je väčšie ako 10. Ak sú dané čísla menšie, použite inú metódu.
  - Nájdite napríklad najnižší spoločný násobok 20 a 84. Každé z čísel je väčšie ako 10, takže môžete použiť túto metódu.
2. Rozdeľte prvé číslo na prvočísla. To znamená, že musíte nájsť také prvočísla, pri ktorých vynásobení získate dané číslo. Keď nájdete hlavné faktory, zapíšte si ich ako rovnosti.
  - Napríklad, 2 × 10 = 20 (\ Displaystyle (\ mathbf (2)) \ times 10 = 20) a 2 × 5 = 10 (\ štýl zobrazenia (\ mathbf (2)) \ krát (\ mathbf (5)) = 10)... Prvočísla čísla 20 sú teda 2, 2 a 5. Napíšte ich ako výraz:.
3. Zohľadnite druhé číslo. Urobte to rovnakým spôsobom, ako ste rozkladali prvé číslo, teda nájdite prvočísla, ktoré po vynásobení dajú dané číslo.
  - Napríklad, 2 × 42 = 84 (\ štýl zobrazenia (\ mathbf (2)) \ krát 42 = 84), 7 × 6 = 42 (\ Displaystyle (\ mathbf (7)) \ times 6 = 42) a 3 × 2 = 6 (\ Displaystyle (\ mathbf (3)) \ times (\ mathbf (2)) = 6)... Prvotnými faktormi 84 sú 2, 7, 3 a 2. Napíšte ich ako výraz :.
4. Napíšte spoločné faktory pre obe čísla. Napíšte tieto faktory ako násobenie. Pri zapisovaní každého faktora ho prečiarknite v oboch výrazoch (výrazoch, ktoré opisujú hlavné faktorizácie).
  - Napríklad spoločný činiteľ pre obe čísla je 2, tak napíšte 2 × (\ štýl zobrazenia 2 \ krát) a prečiarknite 2 v oboch výrazoch.
  - Spoločné pre obe čísla je ďalší faktor 2, tak napíšte 2 × 2 (\ štýl zobrazenia 2 \ krát 2) a prečiarknite druhú 2 v oboch výrazoch.
5. Pridajte zostávajúce faktory do operácie násobenia. Ide o faktory, ktoré nie sú prečiarknuté v oboch výrazoch, teda faktory, ktoré nie sú spoločné pre obe čísla.
  - Napríklad vo výraze 20 = 2 × 2 × 5 (\ štýl zobrazenia 20 = 2 \ krát 2 \ krát 5) obe 2 (2) sú prečiarknuté, pretože ide o spoločné faktory. Faktor 5 nie je prečiarknutý, takže operáciu násobenia napíšte takto: 2 × 2 × 5 (\ štýl zobrazenia 2 \ krát 2 \ krát 5)
  - Vo výraze 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\ Displaystyle 84 = 2 \ krát 7 \ krát 3 \ krát 2) preškrtol aj obe dvojky (2). Faktory 7 a 3 nie sú prečiarknuté, takže operáciu násobenia napíšte takto: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\ štýl zobrazenia 2 \ krát 2 \ krát 5 \ krát 7 \ krát 3).
6. Vypočítajte najmenší spoločný násobok. Ak to chcete urobiť, vynásobte čísla v zaznamenanej operácii násobenia.
  - Napríklad, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\ Displaystyle 2 \ krát 2 \ krát 5 \ krát 7 \ krát 3 = 420)... Takže najmenší spoločný násobok 20 a 84 je 420.
Hľadanie spoločných deliteľov
1. Nakreslite mriežku ako pri hre piškvorky. Takáto mriežka pozostáva z dvoch rovnobežných čiar, ktoré sa pretínajú (v pravom uhle) s ďalšími dvoma rovnobežnými čiarami. Vzniknú tak tri riadky a tri stĺpce (mriežka je veľmi podobná znaku #). Napíšte prvé číslo do prvého riadku a druhého stĺpca. Napíšte druhé číslo do prvého riadka a tretieho stĺpca.
  - Nájdite napríklad najnižší spoločný násobok 18 a 30. Napíšte 18 do prvého riadka a druhého stĺpca a napíšte 30 do prvého riadka a tretieho stĺpca.
2. Nájdite deliteľa spoločného pre obe čísla. Napíšte to na prvý riadok a prvý stĺpec. Je lepšie hľadať hlavné faktory, ale nie je to podmienkou.
  - Napríklad 18 a 30 sú párne čísla, takže ich spoločný deliteľ je 2. Napíš teda 2 do prvého riadku a prvého stĺpca.
3. Rozdeľte každé číslo prvým deliteľom. Napíšte každý podiel pod príslušné číslo. Kvocient je výsledkom delenia dvoch čísel.
  - Napríklad, 18 ÷ 2 = 9 (\ štýl zobrazenia 18 \ div 2 = 9) tak napíš 9 do 18.
  - 30 ÷ 2 = 15 (\ štýl zobrazenia 30 \ div 2 = 15) tak napíš 15 do 30.
4. Nájdite deliteľa spoločného pre oba kvocienty. Ak takýto deliteľ neexistuje, preskočte nasledujúce dva kroky. V opačnom prípade napíšte deliteľa do druhého riadku a prvého stĺpca.
  - Napríklad 9 a 15 sú deliteľné 3, preto napíšte 3 do druhého riadku a prvého stĺpca.
5. Rozdeľte každý kvocient druhým faktorom. Každý výsledok delenia zapíšte pod príslušný podiel.
  - Napríklad, 9 ÷ 3 = 3 (\ štýl zobrazenia 9 \ div 3 = 3) tak napíš 3 pod 9.
  - 15 ÷ 3 = 5 (\ štýl zobrazenia 15 \ div 3 = 5) tak napíš 5 pod 15.
6. V prípade potreby doplňte mriežku o ďalšie bunky. Opakujte opísané kroky, kým podiely nebudú mať spoločného deliteľa.
7. Zakrúžkujte čísla v prvom stĺpci a poslednom riadku mriežky. Potom napíšte vybrané čísla ako multiplikačnú operáciu.
  - Napríklad čísla 2 a 3 sú v prvom stĺpci a čísla 3 a 5 sú v poslednom riadku, takže operáciu násobenia napíšte takto: 2 × 3 × 3 × 5 (\ štýl zobrazenia 2 \ krát 3 \ krát 3 \ krát 5).
8. Nájdite výsledok násobenia čísel. Tým sa vypočíta najmenší spoločný násobok dvoch daných čísel.
  - Napríklad, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\ štýl zobrazenia 2 \ krát 3 \ krát 3 \ krát 5 = 90)... Takže najmenší spoločný násobok 18 a 30 je 90.
Euklidov algoritmus
1. Pamätajte na terminológiu spojenú s operáciou delenia. Dividenda je číslo, ktoré sa delí. Deliteľ je číslo delené. Kvocient je výsledkom delenia dvoch čísel. Zostávajúce číslo je zostávajúce číslo po delení dvoch čísel.
  - Napríklad vo výraze 15 ÷ 6 = 2 (\ štýl zobrazenia 15 \ div 6 = 2) ost. 3:
    15 je dividenda
    6 je deliteľ
    2 je kvocient
    3 je zvyšok.

Mnoho prirodzených čísel je však rovnomerne delených inými prirodzenými číslami.

Napríklad:

Číslo 12 je deliteľné 1, 2, 3, 4, 6, 12;

Číslo 36 je deliteľné 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36.

Čísla, pomocou ktorých je číslo rovnomerne deliteľné (pre 12 sú to 1, 2, 3, 4, 6 a 12), sa nazývajú deliteľmi... Prirodzený deliteľ čísel a je prirodzené číslo, ktoré delí dané číslo a bezo zvyšku. Prirodzené číslo, ktoré má viac ako dvoch deliteľov, sa nazýva zložený .

Všimnite si, že čísla 12 a 36 majú spoločné faktory. Sú to čísla: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Najväčší deliteľ týchto čísel je 12. Spoločný deliteľ dvoch daných čísel a a b- je to číslo, ktorým sú obe dané čísla bezo zvyšku deliteľné a a b.

Spoločný násobok viac čísel je číslo, ktoré je deliteľné každým z týchto čísel. Napríklad, čísla 9, 18 a 45 majú spoločný násobok 180. Ale aj 90 a 360 sú ich spoločné násobky. Spomedzi všetkých j celkových násobkov je vždy ten najmenší, v tomto prípade je to 90. Toto číslo je tzv. najmenšíspoločný násobok (LCM).

LCM je vždy prirodzené číslo, ktoré musí byť väčšie ako najväčšie z čísel, pre ktoré je určené.

Najmenší spoločný násobok (LCM). Vlastnosti.

Komutovateľnosť:

Asociativita:

Najmä, ak sú a sú prvočísla, potom:

Najmenší spoločný násobok dvoch celých čísel m a n je deliteľom všetkých ostatných spoločných násobkov m a n... Okrem toho súbor spoločných násobkov m, n sa zhoduje so súborom násobkov pre LCM ( m, n).

Asymptotiku for možno vyjadriť pomocou niektorých číselných teoretických funkcií.

takže, Čebyševova funkcia... a:

Vyplýva to z definície a vlastností Landauovej funkcie g (n).

Čo vyplýva zo zákona o rozdelení prvočísel.

Nájdenie najmenej spoločného násobku (LCM).

LCM ( a, b) možno vypočítať niekoľkými spôsobmi:

1. Ak je známy najväčší spoločný deliteľ, môžete použiť jeho vzťah s LCM:

2. Nech je známy kanonický rozklad oboch čísel na prvočiniteľa:

kde p 1, ..., p k- rôzne prvočísla, a d 1, ..., d k a e 1, ..., ek- nezáporné celé čísla (môžu to byť nuly, ak pri rozklade chýba zodpovedajúce prvočíslo).

Potom LCM ( a,b) sa vypočíta podľa vzorca:

Inými slovami, rozklad LCM obsahuje všetky prvočísla zahrnuté aspoň v jednom z rozšírenia čísel a, b, a je vzatý najväčší z dvoch exponentov tohto faktora.

Príklad:

Výpočet najmenšieho spoločného násobku niekoľkých čísel možno zredukovať na niekoľko po sebe idúcich výpočtov LCM dvoch čísel:

Pravidlo. Ak chcete nájsť LCM série čísel, potrebujete:

- rozložiť čísla na prvočísla;

- najväčšie rozšírenie preniesť do činiteľov požadovaného súčinu (súčin činiteľov najväčšieho počtu z daných) a potom pridať súčiniteľa z rozšírenia iných čísel, ktoré sa nevyskytujú v prvom čísle alebo sa vyskytujú v to menej krát;

- výsledným súčinom prvočiniteľov bude LCM daných čísel.

Akékoľvek dve alebo viac prirodzených čísel má svoj LCM. Ak čísla nie sú navzájom násobkami alebo nemajú rovnaké faktory v expanzii, potom sa ich LCM rovná súčinu týchto čísel.

Prvočísla čísla 28 (2, 2, 7) boli doplnené koeficientom 3 (číslo 21), výsledný súčin (84) bude najmenšie číslo, ktoré je deliteľné 21 a 28.

Prvotné faktory najväčšieho čísla 30 boli doplnené faktorom 5 z čísla 25, výsledný produkt 150 je väčší ako najväčší počet 30 a je delený všetkými uvedenými číslami bezo zvyšku. Ide o najmenší možný súčin (150, 250, 300 ...), ktorý je násobkom všetkých zadaných čísel.

Čísla 2,3,11,37 sú jednoduché, takže ich LCM sa rovná súčinu daných čísel.

Pravidlo... Ak chcete vypočítať LCM prvočísel, musíte vynásobiť všetky tieto čísla medzi sebou.

Dalsia moznost:

Ak chcete nájsť najmenší spoločný násobok (LCM) niekoľkých čísel, potrebujete:

1) predstavujú každé číslo ako súčin jeho prvočísel, napríklad:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) napíšte mocniny všetkých prvočiniteľov:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) zapíšte si všetkých prvočíselníkov (činiteľov) každého z týchto čísel;

4) vyberte najvyšší stupeň každého z nich, ktorý sa nachádza vo všetkých rozšíreniach týchto čísel;

5) vynásobte tieto stupne.

Príklad... Nájdite LCM čísel: 168, 180 a 3024.

Riešenie... 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Zapíšeme najväčšie sily všetkých hlavných faktorov a vynásobíme ich:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15 120.

Mnoho prirodzených čísel je však rovnomerne delených inými prirodzenými číslami.

Napríklad:

Číslo 12 je deliteľné 1, 2, 3, 4, 6, 12;

Číslo 36 je deliteľné 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36.

LCM je vždy prirodzené číslo, ktoré musí byť väčšie ako najväčšie z čísel, pre ktoré je určené.

Najmenší spoločný násobok (LCM). Vlastnosti.

Komutovateľnosť:

Asociativita:

Najmä, ak sú a sú prvočísla, potom:

Asymptotiku for možno vyjadriť pomocou niektorých číselných teoretických funkcií.

takže, Čebyševova funkcia... a:

Vyplýva to z definície a vlastností Landauovej funkcie g (n).

Čo vyplýva zo zákona o rozdelení prvočísel.

Nájdenie najmenej spoločného násobku (LCM).

LCM ( a, b) možno vypočítať niekoľkými spôsobmi:

1. Ak je známy najväčší spoločný deliteľ, môžete použiť jeho vzťah s LCM:

2. Nech je známy kanonický rozklad oboch čísel na prvočiniteľa:

kde p 1, ..., p k- rôzne prvočísla, a d 1, ..., d k a e 1, ..., ek- nezáporné celé čísla (môžu to byť nuly, ak pri rozklade chýba zodpovedajúce prvočíslo).

Potom LCM ( a,b) sa vypočíta podľa vzorca:

Inými slovami, rozklad LCM obsahuje všetky prvočísla zahrnuté aspoň v jednom z rozšírenia čísel a, b, a je vzatý najväčší z dvoch exponentov tohto faktora.

Príklad:

Výpočet najmenšieho spoločného násobku niekoľkých čísel možno zredukovať na niekoľko po sebe idúcich výpočtov LCM dvoch čísel:

Pravidlo. Ak chcete nájsť LCM série čísel, potrebujete:

- rozložiť čísla na prvočísla;

- výsledným súčinom prvočiniteľov bude LCM daných čísel.

Akékoľvek dve alebo viac prirodzených čísel má svoj LCM. Ak čísla nie sú navzájom násobkami alebo nemajú rovnaké faktory v expanzii, potom sa ich LCM rovná súčinu týchto čísel.

Prvočísla čísla 28 (2, 2, 7) boli doplnené koeficientom 3 (číslo 21), výsledný súčin (84) bude najmenšie číslo, ktoré je deliteľné 21 a 28.

Čísla 2,3,11,37 sú jednoduché, takže ich LCM sa rovná súčinu daných čísel.

Pravidlo... Ak chcete vypočítať LCM prvočísel, musíte vynásobiť všetky tieto čísla medzi sebou.

Dalsia moznost:

Ak chcete nájsť najmenší spoločný násobok (LCM) niekoľkých čísel, potrebujete:

1) predstavujú každé číslo ako súčin jeho prvočísel, napríklad:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) napíšte mocniny všetkých prvočiniteľov:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) zapíšte si všetkých prvočíselníkov (činiteľov) každého z týchto čísel;

4) vyberte najvyšší stupeň každého z nich, ktorý sa nachádza vo všetkých rozšíreniach týchto čísel;

5) vynásobte tieto stupne.