Didžiųjų skaičių dėsnis

Atsitiktinių reiškinių tyrimo praktika rodo, kad nors atskirų stebėjimų, net ir atliktų tomis pačiomis sąlygomis, rezultatai gali labai skirtis, tačiau tuo pačiu metu pakankamai didelio stebėjimų skaičiaus vidutiniai rezultatai yra stabilūs ir silpnai priklauso nuo individualių stebėjimų rezultatai. Šios nuostabios atsitiktinių reiškinių savybės teorinis pagrindas yra didelių skaičių dėsnis. Bendra didelių skaičių dėsnio prasmė yra ta, kad daugelio atsitiktinių veiksnių bendras veiksmas veda prie rezultato, kuris beveik nepriklauso nuo atsitiktinumo.

Centrinės ribos teorema

Liapunovo teorema paaiškina plačiai paplitusią normaliojo skirstinio dėsnio pasiskirstymą ir paaiškina jo susidarymo mechanizmą. Teorema leidžia teigti, kad kai atsitiktinis dydis susidaro sudėjus daug nepriklausomų atsitiktinių dydžių, kurių dispersijos yra mažos, palyginti su sumos sklaida, šio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis pasisuka. yra beveik normalus įstatymas. Ir kadangi atsitiktinius dydžius visada generuoja begalinis priežasčių skaičius ir dažniausiai nė vienas iš jų neturi sklaidos, panašios į paties atsitiktinio dydžio sklaidą, daugumai praktikoje pasitaikančių atsitiktinių dydžių galioja normalaus pasiskirstymo dėsnis.

Išsamiau panagrinėkime kiekvienos iš šių grupių teoremų turinį

Praktiniuose tyrimuose labai svarbu žinoti, kokiais atvejais galima garantuoti, kad įvykio tikimybė bus arba pakankamai maža, arba tokia artima kaip norima.

Pagal didelių skaičių dėsnis ir yra suprantamas kaip teiginių rinkinys, teigiantis, kad su tikimybe, artima vienetui (arba nuliui), įvykis įvyks priklausomai nuo labai didelio, neribotai didėjančio atsitiktinių įvykių skaičiaus, kurių kiekvienas turi tik nedidelę įtaką tai.

Tiksliau, didelių skaičių dėsnis suprantamas kaip aibė teiginių, teigiančių, kad esant tikimybei, kuri yra tokia artima vienybei, kiek norima, pakankamai didelio atsitiktinių dydžių skaičiaus aritmetinio vidurkio nuokrypis nuo pastovios reikšmės – aritmetinio vidurkio. jų matematinių lūkesčių – neviršys nurodyto savavališkai mažo skaičiaus.

Pavieniai, pavieniai reiškiniai, kuriuos stebime gamtoje ir visuomeniniame gyvenime, dažnai pasirodo kaip atsitiktiniai (pavyzdžiui, registruota mirtis, gimusio vaiko lytis, oro temperatūra ir kt.) dėl to, kad tokie reiškiniai yra įtakojami daugelio veiksnių. nesusijusių su reiškinio atsiradimo ar raidos esme. Neįmanoma numatyti viso jų poveikio stebimam reiškiniui, o atskiruose reiškiniuose jie pasireiškia skirtingai. Remiantis vieno reiškinio rezultatais, nieko negalima pasakyti apie daugeliui tokių reiškinių būdingus modelius.

Tačiau jau seniai pastebėta, kad kai kurių ženklų skaitinių charakteristikų (santykinių įvykio dažnių, matavimo rezultatų ir kt.) su dideliu eksperimento pakartojimų skaičiumi aritmetinis vidurkis svyruoja labai nežymiai. Viduryje joje pasireiškia reiškinių esmei būdingas modelis, atskirų veiksnių įtaka, dėl kurios pavienių stebėjimų rezultatai buvo atsitiktiniai. Teoriškai tokį vidurkio elgesį galima paaiškinti naudojant didelių skaičių dėsnį. Jei tenkinamos kai kurios labai bendros sąlygos, susijusios su atsitiktiniais dydžiais, tai aritmetinio vidurkio stabilumas bus beveik tikras įvykis. Šios sąlygos sudaro svarbiausią didelių skaičių dėsnio turinį.

Pirmasis šio principo veikimo pavyzdys gali būti atsitiktinio įvykio pasireiškimo dažnio konvergencija su jo tikimybe, didėjant bandymų skaičiui – faktas nustatytas Bernulio teoremoje (Šveicarijos matematikas Jokūbas Bernulis(1654-1705) Bernulio teorema yra viena iš paprasčiausių didelių skaičių dėsnio formų ir dažnai naudojama praktikoje. Pavyzdžiui, bet kurios respondento kokybės pasireiškimo imtyje dažnis laikomas atitinkamos tikimybės įvertinimu).

Nuostabus prancūzų matematikas Simeonas Denny Poissonas(1781-1840) šią teoremą apibendrino ir išplėtė į atvejį, kai įvykių tikimybė bandyme keičiasi nepriklausomai nuo ankstesnių bandymų rezultatų. Jis pirmasis pavartojo terminą „didelių skaičių dėsnis“.

Puikus rusų matematikas Pafnutijus Lvovičius Čebyševas(1821 - 1894) įrodė, kad didelių skaičių dėsnis veikia reiškiniuose su bet kokia variacija ir taip pat apima vidurkių dėsnį.

Tolimesnis didelių skaičių dėsnio teoremų apibendrinimas siejamas su pavadinimais A.A.Markovas, S.N.Bernšteinas, A.Ya.Chinchinas ir A.N.Kolmlgorovas.

Bendras šiuolaikinis problemos formulavimas, didelių skaičių dėsnio formulavimas, su šiuo dėsniu susijusių teoremų įrodinėjimo idėjų ir metodų kūrimas priklauso Rusijos mokslininkams. P. L. Čebyševas, A. A. Markovas ir A. M. Lyapunovas.

ČEBIŠEVO NELYGYBĖ

Pirmiausia panagrinėkime pagalbines teoremas: Čebyševo lemą ir nelygybę, kurių pagalba galima nesunkiai įrodyti Čebyševo formos didelių skaičių dėsnį.

Lemma (Čebyševas).

Jei tarp atsitiktinio dydžio X reikšmių nėra neigiamų, tada tikimybė, kad jis įgis kokią nors reikšmę, didesnę už teigiamą skaičių A, yra ne didesnė kaip trupmena, kurios skaitiklis yra matematinis atsitiktinio dydžio lūkestis. kintamasis, o vardiklis yra skaičius A:

Įrodymas.Tegu yra žinomas atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo dėsnis:

(i = 1, 2, ..., ), ir mes manome, kad atsitiktinio dydžio reikšmės yra didėjančia tvarka.

Atsižvelgiant į skaičių A, atsitiktinio dydžio reikšmės skirstomos į dvi grupes: vienos neviršija A, o kitos yra didesnės už A. Tarkime, kad pirmoji grupė apima pirmąsias atsitiktinio dydžio reikšmes. kintamasis ().

Nuo tada visos sumos sąlygos yra neneigiamos. Todėl, atmetę pirmuosius išraiškos terminus, gauname tokią nelygybę:

Kadangi

,

Tai

Q.E.D.

Atsitiktiniai kintamieji gali turėti skirtingą pasiskirstymą su tais pačiais matematiniais lūkesčiais. Tačiau jiems Čebyševo lema duos tą patį vieno ar kito testo rezultato tikimybės įvertinimą. Šis lemos trūkumas yra susijęs su jos bendrumu: neįmanoma pasiekti geresnio visų atsitiktinių dydžių įverčio iš karto.

Čebyševo nelygybė .

Tikimybė, kad atsitiktinio dydžio nuokrypis nuo jo matematinių lūkesčių viršys teigiamo skaičiaus absoliučią reikšmę, yra ne didesnė kaip trupmena, kurios skaitiklis yra atsitiktinio dydžio dispersija, o vardiklis yra kvadratas

Įrodymas.Kadangi tai yra atsitiktinis dydis, kuris nepriima neigiamų reikšmių, taikome nelygybę iš Čebyševo lemos atsitiktiniam dydžiui adresu:

Q.E.D.

Pasekmė. Kadangi

,

Tai

- kita Čebyševo nelygybės forma

Priimkime be įrodymų faktą, kad Čebyševo lema ir nelygybė galioja ir nuolatiniams atsitiktiniams dydžiams.

Čebyševo nelygybė remiasi kokybiniais ir kiekybiniais didelių skaičių dėsnio teiginiais. Ji nustato viršutinę tikimybės, kad atsitiktinio dydžio vertės nuokrypis nuo jo matematinio lūkesčio yra didesnis už tam tikrą nurodytą skaičių, ribą. Pastebėtina, kad Čebyševo nelygybė apskaičiuoja atsitiktinio dydžio, kurio pasiskirstymas nežinomas, tik jo matematinė prognozė ir dispersija, tikimybę.

Teorema. (Didžiųjų skaičių įstatymas Čebyševo forma)

Jei nepriklausomų atsitiktinių dydžių dispersijas riboja viena konstanta C, o jų skaičius yra pakankamai didelis, tada tikimybė, kad šių atsitiktinių dydžių aritmetinio vidurkio nuokrypis nuo jų matematinių lūkesčių aritmetinio vidurkio neviršys absoliučios reikšmės. duotas teigiamas skaičius, kad ir koks mažas jis būtų, yra kiek įmanoma artimesnis vienybei.

.

Priimame teoremą be įrodymų.

1 išvada. Jei nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai turi vienodus, vienodus matematinius lūkesčius, jų dispersiją riboja ta pati konstanta C, o jų skaičius yra pakankamai didelis, tada nesvarbu, koks mažas būtų duotas teigiamas skaičius, bet kokia artima vienybei, tikimybė, kad vidurkio nuokrypis šių atsitiktinių dydžių aritmetika absoliučia verte neviršys.

Tai, kad pakankamai didelio skaičiaus jo matavimų, atliktų tomis pačiomis sąlygomis, rezultatų aritmetinis vidurkis laikomas apytiksle nežinomo dydžio verte, gali būti pateisinama šia teorema. Iš tiesų matavimo rezultatai yra atsitiktiniai, nes juos įtakoja daugybė atsitiktinių veiksnių. Sisteminių klaidų nebuvimas reiškia, kad atskirų matavimo rezultatų matematiniai lūkesčiai yra vienodi ir vienodi. Vadinasi, pagal didelių skaičių dėsnį pakankamai didelio matavimų skaičiaus aritmetinis vidurkis skirsis praktiškai tiek mažai, kiek norima, nuo tikrosios norimo dydžio reikšmės.

(Prisiminkime, kad paklaidos vadinamos sisteminėmis, jeigu jos iškreipia matavimo rezultatą ta pačia kryptimi pagal daugiau ar mažiau aiškų dėsnį. Tai ir klaidos, atsirandančios dėl instrumentų netobulumo (instrumentinės klaidos), dėl asmeninių stebėtojo savybių (asmeninės klaidos). ) ir kt.)

2 išvada . (Bernulio teorema.)

Jei įvykio A atsiradimo tikimybė kiekviename iš nepriklausomų bandymų yra pastovi, o jų skaičius pakankamai didelis, tai tikimybė, kad įvykio pasireiškimo dažnis skiriasi tiek mažai, kiek norima, nuo jo atsiradimo tikimybės, yra savavališkai artima. į vienybę:

Bernoulli teorema teigia, kad jei įvykio tikimybė visuose bandymuose yra vienoda, tai didėjant bandymų skaičiui, įvykio dažnis linksta į įvykio tikimybę ir nustoja būti atsitiktinis.

Praktikoje palyginti retai tenka susidurti su eksperimentais, kuriuose įvykio atsiradimo tikimybė bet kuriame eksperimente yra pastovi, dažniau skirtinguose eksperimentuose ji skiriasi. Šio tipo bandymo schemai taikoma Puasono teorema:

3 išvada . (Puasono teorema.)

Jei įvykio tikimybė -tajame bandyme, kai paaiškėja ankstesnių bandymų rezultatai, nekinta, o jų skaičius yra pakankamai didelis, tada tikimybė, kad įvykio pasireiškimo dažnis savavališkai mažai skiriasi nuo aritmetinio tikimybių vidurkis yra savavališkai artimas vienetui:

Puasono teorema teigia, kad įvykio dažnis nepriklausomų bandymų serijoje yra linkęs į jo tikimybių aritmetinį vidurkį ir nustoja būti atsitiktinis.

Apibendrinant pažymime, kad nė viena iš nagrinėjamų teoremų nesuteikia nei tikslios, nei net apytikslės norimos tikimybės reikšmės, o nurodoma tik jos apatinė arba viršutinė riba. Todėl, jei reikia nustatyti tikslią ar bent apytikslę atitinkamų įvykių tikimybių reikšmę, šių teoremų galimybės yra labai ribotos.

Apytiksles didelių verčių tikimybes galima gauti tik naudojant ribines teoremas. Juose atsitiktiniams dydžiams taikomi papildomi apribojimai (kaip, pavyzdžiui, Lyapunov teoremoje), arba svarstomi tam tikro tipo atsitiktiniai dydžiai (pavyzdžiui, Moivre-Laplace integralų teorema).

Čebyševo teoremos, kuri yra labai bendra didelių skaičių dėsnio formuluotė, teorinė reikšmė yra didelė. Tačiau, jei taikysime jį klausimui, ar įmanoma didelių skaičių dėsnį pritaikyti nepriklausomų atsitiktinių dydžių sekai, tada, jei atsakymas yra teigiamas, teorema dažnai reikalauja, kad atsitiktinių dydžių būtų daug daugiau nei yra būtini, kad įsigaliotų didelių skaičių dėsnis. Šis Čebyševo teoremos trūkumas paaiškinamas jos bendru pobūdžiu. Todėl pageidautina turėti teoremas, kurios tiksliau nurodytų apatinę (arba viršutinę) norimos tikimybės ribą. Juos galima gauti nustatant tam tikrus papildomus atsitiktinių dydžių apribojimus, kurie paprastai tenkinami praktikoje pasitaikantiems atsitiktiniams dydžiams.

PASTABOS APIE DIDŽIŲJŲ SKAIČIŲ ĮSTATYMO TURINĮ

Jei atsitiktinių dydžių skaičius yra pakankamai didelis ir jie tenkina kai kurias labai bendras sąlygas, tai nesvarbu, kaip jie būtų pasiskirstę, beveik neabejotina, kad jų aritmetinis vidurkis nukrypsta nuo pastovios reikšmės – jų matematinių lūkesčių aritmetinio vidurkio. , t.y. yra beveik pastovi vertė. Toks yra teoremų, susijusių su didelių skaičių dėsniu, turinys. Vadinasi, didelių skaičių dėsnis yra viena iš dialektinio atsitiktinumo ir būtinybės ryšio išraiškų.

Galima pateikti daugybę naujų kokybinių būsenų, kaip didelių skaičių dėsnio apraiškų, atsiradimo pavyzdžių, pirmiausia tarp fizikinių reiškinių. Panagrinėkime vieną iš jų.

Pagal šiuolaikines koncepcijas, dujos susideda iš atskirų dalelių – molekulių, kurios juda chaotiškai, ir neįmanoma tiksliai pasakyti, kur konkrečiu momentu ji bus ir kokiu greičiu judės ta ar kita molekulė. Tačiau stebėjimai rodo, kad bendras molekulių, pavyzdžiui, dujų slėgio, poveikis

indo sienelė, pasireiškia nuostabia konsistencija. Jį lemia smūgių skaičius ir kiekvieno iš jų stiprumas. Nors pirmasis ir antrasis yra atsitiktinumo reikalas, įprastomis sąlygomis prietaisai neaptinka dujų slėgio svyravimų. Tai paaiškinama tuo, kad dėl didžiulio molekulių skaičiaus net ir mažiausiuose tūriuose

slėgio pokytis pastebimai praktiškai neįmanomas. Vadinasi, fizinis dėsnis, nurodantis dujų slėgio pastovumą, yra didelių skaičių dėsnio apraiška.

Slėgio pastovumas ir kai kurios kitos dujų charakteristikos vienu metu buvo įtikinamas argumentas prieš materijos struktūros molekulinę teoriją. Vėliau jie išmoko išskirti palyginti nedidelį skaičių molekulių, užtikrindami, kad atskirų molekulių įtaka vis tiek išliktų, todėl didelių skaičių dėsnis negalėtų pakankamai pasireikšti. Tada buvo galima stebėti dujų slėgio svyravimus, patvirtinančius hipotezę apie medžiagos molekulinę struktūrą.

Didelių skaičių dėsnis grindžiamas įvairiomis draudimo rūšimis (žmogaus gyvybės draudimu visais įmanomais laikotarpiais, turto, gyvulių, pasėlių ir kt.).

Planuojant plataus vartojimo prekių asortimentą, atsižvelgiama į gyventojų poreikį joms. Šis reikalavimas atskleidžia didelių skaičių dėsnio poveikį.

Atrankos metodas, plačiai naudojamas statistikoje, mokslinį pagrindą randa didelių skaičių dėsnyje. Pavyzdžiui, iš kolūkio į supirkimo punktą atvežtų kviečių kokybė vertinama pagal atsitiktinai nedideliu mastu pagautų grūdų kokybę. Grūdų, lyginant su visa partija, nėra daug, bet bet kuriuo atveju priemonė parenkama tokia, kad grūdų pakaktų

poreiki tenkinančiu tikslumu didelių skaičių dėsnio apraiškas. Mes turime teisę imti atitinkamus rodiklius kaip visos įvežamų grūdų partijos užterštumo, drėgmės ir vidutinės grūdų masės rodiklius.

Tolesnės mokslininkų pastangos gilinti didžiųjų skaičių dėsnio turinį buvo nukreiptos į bendriausias šio dėsnio pritaikymo atsitiktinių dydžių sekai sąlygas. Ilgą laiką esminės sėkmės šia kryptimi nebuvo. Po P. L. Čebyševo ir A. A. Markovo tik 1926 metais sovietų akademikui A. N. Kolmogorovui pavyko gauti sąlygas, būtinas ir pakankamas, kad didelių skaičių dėsnis būtų taikomas nepriklausomų atsitiktinių dydžių sekai. 1928 metais sovietų mokslininkas A. Ya Khinchinas parodė, kad pakankama sąlyga didelių skaičių dėsnio pritaikymui nepriklausomų identiškai paskirstytų atsitiktinių dydžių sekai yra jų matematinių lūkesčių egzistavimas.

Praktikai nepaprastai svarbu iki galo išsiaiškinti klausimą dėl didelių skaičių dėsnio pritaikymo priklausomiems atsitiktiniams dydžiams, nes reiškiniai gamtoje ir visuomenėje yra tarpusavyje priklausomi ir vienas kitą lemia. Daug darbo buvo skirta išaiškinant apribojimus, kuriuos reikia įvesti

priklausomiems atsitiktiniams dydžiams, kad jiems būtų galima pritaikyti didelių skaičių dėsnį, o svarbiausi priklauso iškiliam rusų mokslininkui A. A. Markovui ir žymiems sovietų mokslininkams S. N. Bernšteinui ir A. Khinchinui.

Pagrindinis šių darbų rezultatas yra tas, kad priklausomiems atsitiktiniams dydžiams didelių skaičių dėsnį galima taikyti tik tuo atveju, jei tarp atsitiktinių dydžių su artimais skaičiais yra stipri priklausomybė, o tarp atsitiktinių dydžių, kurių skaičiai yra tolimi, priklausomybė yra pakankamai silpna. Šio tipo atsitiktinių dydžių pavyzdžiai yra skaitinės klimato charakteristikos. Kiekvienos dienos orus pastebimai įtakoja ankstesnių dienų orai, o įtaka pastebimai susilpnėja dienoms tolstant vienai nuo kitos. Vadinasi, ilgalaikė vidutinė temperatūra, slėgis ir kitos tam tikros vietovės klimato charakteristikos, vadovaujantis didelių skaičių dėsniu, praktiškai turėtų būti artimos jų matematiniams lūkesčiams. Pastarosios yra objektyvios vietovės klimato ypatybės.

Norint eksperimentiškai patikrinti didelių skaičių dėsnį, skirtingu laiku buvo atlikti šie eksperimentai.

1. Patirtis Buffonas. Moneta išmesta 4040 kartų. Herbas pasirodė 2048 kartus. Jo atsiradimo dažnis pasirodė lygus 0,50694 =

2. Patirtis Pearsonas. Moneta išmesta 12 000 ir 24 000 kartų. Herbo praradimo dažnis pirmuoju atveju buvo lygus 0,5016, Antruoju - 0,5005.

H. Patirtis Vestergaardas. Iš urnos, kurioje buvo vienodas baltų ir juodų kamuoliukų skaičius, po 10 000 ištraukimų (kitą išimtą rutulį grąžinant į urną) buvo gauti 5011 balti ir 4989 juodi rutuliai. Baltų rutulių dažnis buvo 0,50110 = (), o juodų rutulių dažnis buvo 0,49890.

4. Patirtis V.I. Romanovskis. Keturios monetos metamos 21 160 kartų. Įvairių herbo ir maišos ženklų derinių dažniai ir dažniai pasiskirstė taip:

Galvų ir uodegų skaičiaus deriniai	Dažniai	Dažniai
		Empirinis	Teorinis
4 ir 0	1 181	0,05858	0,0625
3 ir 1	4909	0,24350	0,2500
2 ir 2	7583	0,37614	0,3750
1 ir 3	5085	0,25224	0,2500
1 ir 4		0,06954	0,0625
Iš viso	20160	1,0000	1,0000

Eksperimentinių didelių skaičių dėsnio bandymų rezultatai įtikina, kad eksperimentiniai dažniai yra labai artimi tikimybei.

CENTRINĖS RIBOS TEOREMA

Nesunku įrodyti, kad bet kurio baigtinio skaičiaus nepriklausomų normaliai paskirstytų atsitiktinių dydžių suma taip pat yra normaliai pasiskirstyta.

Jei nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai nėra normaliai pasiskirstę, tada jiems gali būti taikomi labai laisvi apribojimai, o jų suma vis tiek bus normaliai pasiskirstyta.

Šią problemą iškėlė ir sprendė daugiausia rusų mokslininkai P. L. Čebyševas ir jo mokiniai A. A. Markovas ir A. M. Lyapunovas.

Teorema (Lyapunovas).

Jei nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai turi baigtinius matematinius lūkesčius ir baigtines dispersijas , jų skaičius yra gana didelis ir neribotai didėja

,

kur yra trečios eilės absoliutūs centriniai momentai, tada jų suma pasiskirsto pakankamai tiksliai

(Tiesą sakant, pateikiame ne Liapunovo teoremą, o vieną iš jos išvadų, nes praktiniam pritaikymui šios išvados visiškai pakanka. Todėl sąlyga, kuri vadinama Liapunovo sąlyga, yra stipresnis reikalavimas, nei būtina pačiai Liapunovo teoremai įrodyti. )

Sąlygos reikšmė ta, kad kiekvieno termino (atsitiktinio kintamojo) poveikis yra mažas, palyginti su visu jų visu poveikiu. Daugelis atsitiktinių reiškinių gamtoje ir socialiniame gyvenime vyksta būtent pagal šį modelį. Šiuo atžvilgiu Liapunovo teorema yra ypač svarbi, o normalaus skirstinio dėsnis yra vienas iš pagrindinių tikimybių teorijos dėsnių.

Tegul, pavyzdžiui, gaminami matavimas tam tikro dydžio. Įvairūs stebimų verčių nukrypimai nuo tikrosios vertės (matematiniai lūkesčiai) gaunami dėl labai daug veiksnių, kurių kiekvienas sukuria mažą paklaidą, ir . Tada bendra matavimo paklaida yra atsitiktinis dydis, kuris, remiantis Lyapunov teorema, turėtų būti paskirstytas pagal normalųjį dėsnį.

At šaudo iš ginklo veikiant labai daugybei atsitiktinių priežasčių, sviediniai išsibarsto tam tikroje srityje. Atsitiktinis smūgis sviedinio trajektorijai gali būti laikomas nepriklausomu. Kiekviena priežastis sukelia tik nedidelį trajektorijos pokytį, palyginti su bendru visų priežasčių pokyčiu. Todėl turėtume tikėtis, kad sviedinio sprogimo vietos nuokrypis nuo taikinio bus atsitiktinis dydis, paskirstytas pagal įprastą dėsnį.

Pagal Lyapunov teoremą galime tikėtis, kad pvz. suaugusio vyro ūgis yra atsitiktinis dydis, paskirstytas pagal normalųjį dėsnį. Ši hipotezė, kaip ir ankstesniuose dviejuose pavyzdžiuose, puikiai sutampa su pastebėjimais. Norėdami tai patvirtinti, pateikiame 1000 suaugusių vyrų pasiskirstymą pagal ūgį, atitinkamus teorinius vyrų skaičius, t. turėti šių grupių ūgį, remiantis prielaida, kad vyrų ūgis skirstomas pagal įprastą dėsnį.

Aukštis, cm	vyrų skaičius
	eksperimentiniai duomenys	teorinis prognozės
143-146
146-149
149-152
152-155
155-158
158- 161
161- 164
164-167
167-170
170-173
173-176
176-179
179 -182
182-185
185-188

Sunku būtų tikėtis tikslesnio eksperimentinių duomenų ir teorinių duomenų sutapimo.

Kaip Lyapunov teoremos pasekmę galima nesunkiai įrodyti teiginį, kuris ateityje bus reikalingas atrankos metodui pagrįsti.

Pasiūlyti.

Pakankamai didelio skaičiaus vienodai paskirstytų atsitiktinių dydžių, turinčių trečios eilės absoliučius centrinius momentus, suma paskirstoma pagal normalųjį dėsnį.

Tikimybių teorijos ribinės teoremos, Moivre-Laplace teorema paaiškina įvykio pasireiškimo dažnio stabilumo prigimtį. Toks pobūdis slypi tame, kad ribojantis įvykio pasiskirstymas su neribotu bandymų skaičiaus padidėjimu (jei įvykio tikimybė visuose bandymuose yra vienoda) yra normalus pasiskirstymas.

Atsitiktinių dydžių sistema.

Aukščiau nagrinėti atsitiktiniai dydžiai buvo vienmačiai, t.y. buvo nulemti vienu skaičiumi, tačiau yra ir atsitiktinių dydžių, kurie nustatomi dviem, trimis ir kt. skaičių. Tokie atsitiktiniai dydžiai vadinami dvimačiais, trimačiais ir kt.

Priklausomai nuo į sistemą įtrauktų atsitiktinių dydžių tipo, sistemos gali būti diskrečios, ištisinės arba mišrios, jei sistemoje yra skirtingų tipų atsitiktinių dydžių.

Pažvelkime atidžiau į dviejų atsitiktinių dydžių sistemas.

Apibrėžimas. Paskirstymo dėsnis Atsitiktinių dydžių sistema yra ryšys, nustatantis ryšį tarp atsitiktinių dydžių sistemos galimų dydžių sričių ir sistemos atsiradimo šiose srityse tikimybių.

Pavyzdys. Iš urnos, kurioje yra 2 balti ir trys juodi rutuliukai, išimami du rutuliai. Tegul yra nubrėžtų baltų rutulių skaičius, o atsitiktinis dydis apibrėžiamas taip:

Sukurkime atsitiktinių dydžių sistemos paskirstymo lentelę:

Kadangi yra tikimybė, kad nebus nupiešti balti rutuliai (tai reiškia, kad nubrėžiami du juodi rutuliai), o , tada

.

Tikimybė

.

Tikimybė

Tikimybė - tikimybė, kad nebus nupiešti balti rutuliukai (taigi, du juodi rutuliai), o tada

Tikimybė - tikimybė, kad bus ištrauktas vienas baltas rutulys (taigi ir vienas juodas), tuo tarpu , tada

Tikimybė - tikimybė, kad bus nupiešti du balti rutuliai (taigi ir nėra juodų), o , tada

.

Taigi, dvimačio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo eilutė turi tokią formą:

Apibrėžimas. Paskirstymo funkcija dviejų atsitiktinių dydžių sistema vadinama dviejų argumentų funkcijaF( x, y) , lygi dviejų nelygybių bendro išsipildymo tikimybeiX< x, Y< y.

Atkreipkime dėmesį į šias dviejų atsitiktinių dydžių sistemos pasiskirstymo funkcijos savybes:

1) ;

2) Paskirstymo funkcija yra nemažėjanti kiekvieno argumento funkcija:

3) Tai tiesa:

4)

5) Tikimybė pataikyti į atsitiktinį tašką ( X, Y ) į savavališką stačiakampį, kurio kraštinės lygiagrečios koordinačių ašims, apskaičiuojamas pagal formulę:

Dviejų atsitiktinių dydžių sistemos pasiskirstymo tankis.

Apibrėžimas. Jungties pasiskirstymo tankis dvimačio atsitiktinio dydžio tikimybės ( X, Y ) vadinama antrąja mišria daline skirstinio funkcijos išvestine.

Jei žinomas pasiskirstymo tankis, pasiskirstymo funkciją galima rasti naudojant formulę:

Dvimačio pasiskirstymo tankis yra neneigiamas, o dvigubas integralas su begalinėmis dvimačio tankio ribomis yra lygus vienetui.

Iš žinomo jungtinio skirstinio tankio galima rasti kiekvieno dvimačio atsitiktinio dydžio komponento pasiskirstymo tankį.

; ;

Sąlyginiai skirstymo dėsniai.

Kaip parodyta aukščiau, žinodami bendrą paskirstymo dėsnį, galite lengvai rasti kiekvieno atsitiktinio kintamojo, įtraukto į sistemą, paskirstymo dėsnius.

Tačiau praktikoje dažnai susiduriama su atvirkštine problema – pasinaudojant žinomais atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsniais, rasti jų bendrą pasiskirstymo dėsnį.

Bendru atveju ši problema yra neišsprendžiama, nes atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis nieko nepasako apie šio kintamojo ryšį su kitais atsitiktiniais dydžiais.

Be to, jei atsitiktiniai dydžiai yra priklausomi vienas nuo kito, tada pasiskirstymo dėsnis negali būti išreikštas komponentų pasiskirstymo dėsniais, nes turi užmegzti ryšius tarp komponentų.

Visa tai lemia būtinybę apsvarstyti sąlyginio paskirstymo dėsnius.

Apibrėžimas. Vieno atsitiktinio dydžio, įtraukto į sistemą, skirstinys, rastas su sąlyga, kad kitas atsitiktinis kintamasis turi tam tikrą reikšmę, vadinamas sąlyginio paskirstymo įstatymas.

Sąlyginį pasiskirstymo dėsnį galima nurodyti tiek pasiskirstymo funkcija, tiek pasiskirstymo tankiu.

Sąlyginis pasiskirstymo tankis apskaičiuojamas naudojant formules:

Sąlyginis pasiskirstymo tankis turi visas vieno atsitiktinio dydžio pasiskirstymo tankio savybes.

Sąlyginis matematinis lūkestis.

Apibrėžimas. Sąlyginis matematinis lūkestis diskrečiųjų atsitiktinių dydžių Y ties X = x (x – tam tikra galima X reikšmė) yra visų galimų reikšmių sandauga Y dėl jų sąlyginių tikimybių.

Ištisiniams atsitiktiniams dydžiams:

,

Kur f( y/ x) – atsitiktinio dydžio sąlyginis tankis Y ties X = x.

Sąlyginis matematinis lūkestisM( Y/ x)= f( x) yra funkcija X ir yra vadinamas regresijos funkcija X įjungta Y.

Pavyzdys.Raskite sąlyginį matematinį komponento lūkestį Y at

X = x 1 =1 diskrečiam dvimačiui atsitiktiniam dydžiui, pateiktam lentelėje:

Y
	x 1 = 1	x 2 = 3	x 3 = 4	x 4 =8
y 1 =3	0,15	0,06	0,25	0,04
y 2 =6	0,30	0,10	0,03	0,07

Atsitiktinių dydžių sistemos sąlyginė dispersija ir sąlyginiai momentai nustatomi panašiai.

Priklausomi ir nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai.

Apibrėžimas. Atsitiktiniai kintamieji vadinami nepriklausomas, jei vieno iš jų pasiskirstymo dėsnis nepriklauso nuo kito atsitiktinio dydžio reikšmės.

Tikimybių teorijoje labai svarbi atsitiktinių dydžių priklausomybės samprata.

Nepriklausomų atsitiktinių dydžių sąlyginiai skirstiniai yra lygūs jų besąlyginiams skirstiniams.

Nustatykime būtinas ir pakankamas atsitiktinių dydžių nepriklausomumo sąlygas.

Teorema. Y buvo nepriklausomi, būtina ir pakanka, kad sistemos paskirstymo funkcija ( X, Y) buvo lygus komponentų pasiskirstymo funkcijų sandaugai.

Panašią teoremą galima suformuluoti ir pasiskirstymo tankiui:

Teorema. Kad atsitiktiniai dydžiai X ir Y buvo nepriklausomi, būtina ir pakanka, kad bendras sistemos pasiskirstymo tankis ( X, Y) buvo lygus komponentų pasiskirstymo tankių sandaugai.

Praktiškai naudojamos šios formulės:

Diskretiesiems atsitiktiniams dydžiams:

Ištisiniams atsitiktiniams dydžiams:

Koreliacijos momentas naudojamas apibūdinti ryšį tarp atsitiktinių dydžių. Jei atsitiktiniai dydžiai yra nepriklausomi, tai jų koreliacijos momentas lygus nuliui.

Koreliacijos momentas turi matmenį, lygų atsitiktinių dydžių X ir matmenų sandaugai Y . Šis faktas yra šios skaitinės charakteristikos trūkumas, nes Naudojant skirtingus matavimo vienetus, gaunami skirtingi koreliacijos momentai, todėl sunku palyginti skirtingų atsitiktinių dydžių koreliacijos momentus.

Siekiant pašalinti šį trūkumą, naudojama kita charakteristika - koreliacijos koeficientas.

Apibrėžimas. Koreliacijos koeficientas r xy atsitiktiniai dydžiai X ir Y vadinamas koreliacinio momento ir šių dydžių standartinių nuokrypių sandauga.

Koreliacijos koeficientas yra bematis dydis. Nepriklausomų atsitiktinių dydžių koreliacijos koeficientas lygus nuliui.

Nuosavybė: Dviejų atsitiktinių dydžių X ir Y koreliacijos momento absoliuti reikšmė neviršija jų dispersijų geometrinio vidurkio.

Nuosavybė: Absoliuti koreliacijos koeficiento reikšmė neviršija vieneto.

Atsitiktiniai kintamieji vadinami koreliuoja, jei jų koreliacijos momentas skiriasi nuo nulio, ir nekoreliuoja, jei jų koreliacijos momentas lygus nuliui.

Jeigu atsitiktiniai dydžiai yra nepriklausomi, tai jie nekoreliuoja, bet iš nekoreliacijos negalima daryti išvados, kad jie nepriklausomi.

Jei du dydžiai yra priklausomi, jie gali būti koreliuojami arba nekoreluojami.

Dažnai pagal duotą atsitiktinių dydžių sistemos pasiskirstymo tankį galima nustatyti šių kintamųjų priklausomybę arba nepriklausomumą.

Kartu su koreliacijos koeficientu atsitiktinių dydžių priklausomybės laipsnį galima apibūdinti kitu dydžiu, kuris vadinamas kovariacijos koeficientas. Kovariacijos koeficientas pateikiamas pagal formulę:

Pavyzdys. Atsitiktinių dydžių sistemos X pasiskirstymo tankis pateiktas irnepriklausomas. Žinoma, jie taip pat nebus koreliuojami.

Tiesinė regresija.

Apsvarstykite dvimatį atsitiktinį kintamąjį ( X, Y), kur X ir Y yra priklausomi atsitiktiniai dydžiai.

Apytiksliai pavaizduokime vieną atsitiktinį kintamąjį kaip kito funkciją. Tiksli atitiktis neįmanoma. Darysime prielaidą, kad ši funkcija yra tiesinė.

Norint nustatyti šią funkciją, belieka rasti pastovias reikšmes a Ir b.

Apibrėžimas. Funkcijag( X) paskambino geriausia aproksimacija atsitiktinis kintamasis Y mažiausių kvadratų metodo prasme, jei matematinis lūkestis

Pasiima mažiausią įmanomą vertę. Taip pat funkcijag( x) paskambino vidutinė kvadratinė regresija Y iki X.

Teorema. Tiesinė vidutinė kvadratinė regresija Y ant X apskaičiuojamas pagal formulę:

šioje formulėje m x= M( X atsitiktinis kintamasis Yatsitiktinio dydžio atžvilgiu X.Ši reikšmė apibūdina klaidos, sugeneruotos pakeičiant atsitiktinį kintamąjį, dydįYtiesinė funkcijag( X) = aX+b.

Aišku, jei r= ± 1, tada likutinė dispersija yra lygi nuliui, todėl klaida yra lygi nuliui ir atsitiktinis kintamasisYtiksliai pavaizduotas atsitiktinio dydžio tiesine funkcija X.

Vidutinės kvadratinės regresijos linija XįjungtaYtaip pat nustatoma pagal formulę: X ir Yturi tiesinės regresijos funkcijas vienas kito atžvilgiu, tada jie sako, kad kiekiai X IrYprijungtas tiesinės koreliacijos priklausomybė.

Teorema. Jei dvimatis atsitiktinis dydis ( X, Y) yra normaliai pasiskirstęs, tada X ir Y yra sujungti tiesine koreliacija.

E.G. Nikiforova

Didelių skaičių dėsnis tikimybių teorijoje teigia, kad pakankamai didelės baigtinės imties iš fiksuoto skirstinio empirinis vidurkis (aritmetinis vidurkis) yra artimas šio skirstinio teoriniam vidurkiui (matematiniam lūkesčiui). Priklausomai nuo konvergencijos tipo, skiriamas silpnasis didelių skaičių dėsnis, kai konvergencija įvyksta tikimybe, ir stiprus didelių skaičių dėsnis, kai konvergencija vyksta beveik visur.

Visada yra ribotas bandymų skaičius, kurių, esant bet kokiai išankstinei tikimybei, yra mažiau 1 santykinis kokio nors įvykio pasireiškimo dažnis kuo mažiau skirsis nuo jo tikimybės.

Bendra didelių skaičių dėsnio prasmė: daugelio vienodų ir nepriklausomų atsitiktinių veiksnių bendras veikimas lemia rezultatą, kuris riboje nepriklauso nuo atsitiktinumo.

Tikimybių įvertinimo metodai, pagrįsti baigtinių imčių analize, yra pagrįsti šia savybe. Ryškus pavyzdys – rinkimų rezultatų prognozė, pagrįsta rinkėjų imties apklausa.

Enciklopedinis „YouTube“.

1 / 5

✪ Didelių skaičių dėsnis

✪ 07 – tikimybių teorija. Didžiųjų skaičių dėsnis

✪ 42 Didžiųjų skaičių dėsnis

✪ 1 - Čebyševo didelių skaičių dėsnis

✪ 11 klasė, 25 pamoka, Gauso kreivė. Didžiųjų skaičių dėsnis

Subtitrai

Pažvelkime į didelių skaičių dėsnį, kuris yra bene intuityviausias matematikos ir tikimybių teorijos dėsnis. .. Pirmą kartą, kai darau testą, išmesiu monetą 100 kartų arba paimsiu dėžutę su šimtu monetų, pakratysiu, o tada suskaičiuosiu, kiek galvų gausiu, ir gausiu, tarkim. , skaičius 55. Tai būtų X1. Vien todėl, kad gausite neproporcingai daug galvų, dar nereiškia, kad kažkada jums pradės neproporcingai daug uodegų. Iki pasimatymo kitame vaizdo įraše!

Silpnas didelių skaičių dėsnis

Silpnas didelių skaičių dėsnis taip pat vadinamas Bernulio teorema Jokūbo-Bernulio vardu, kuris jį įrodė 1713 m.

Tegul būna begalinė identiškai pasiskirstytų ir nekoreliuojamų atsitiktinių dydžių seka (nuoseklus išvardijimas). Tai yra, jų kovariacija c o v (X i , X j) = 0, ∀ i ≠ j (\displaystyle \mathrm (cov) (X_(i),X_(j))=0,\;\visiems i\not =j). Tegul . Pažymėkime pirmosios imties vidurkiu n (\displaystyle n) nariai:

.

Tada X ¯ n → P μ (\displaystyle (\bar (X))_(n)\to ^(\!\!\!\!\!\!\mathbb (P) )\mu ).

Tai yra, už bet kokį teigiamą ε (\displaystyle \varepsilon)

lim n → ∞ Pr (| X ¯ n − μ |< ε) = 1. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Pr \!\left(\,|{\bar {X}}_{n}-\mu |<\varepsilon \,\right)=1.}

Sustiprintas didelių skaičių įstatymas

Tegul yra begalinė nepriklausomų identiškai paskirstytų atsitiktinių dydžių seka ( X i ) i = 1 ∞ (\displaystyle \(X_(i)\)_(i=1)^(\infty )), apibrėžtas vienoje tikimybių erdvėje (Ω , F , P) (\displaystyle (\Omega ,(\mathcal (F)),\mathbb (P))). Leiskite E X i = μ , ∀ i ∈ N (\displaystyle \mathbb (E) X_(i)=\mu ,\;\forall i\in \mathbb (N) ). Pažymėkime pagal X ¯ n (\displaystyle (\bar (X))_(n)) pirmo imties vidurkis n (\displaystyle n) nariai:

X ¯ n = 1 n ∑ i = 1 n X i , n ∈ N (\displaystyle (\bar (X))_(n)=(\frac (1)(n))\sum \limits _(i= 1)^(n)X_(i),\;n\in \mathbb (N) ).

Tada X ¯ n → μ (\displaystyle (\bar (X))_(n)\to \mu ) beveik visada.

Pr (lim n → ∞ X ¯ n = μ) = 1. (\displaystyle \Pr \!\left(\lim _(n\to \infty )(\bar (X))_(n)=\mu \ dešinėje) = 1.) .

Kaip ir bet kuris matematinis dėsnis, didelių skaičių dėsnis realiame pasaulyje gali būti taikomas tik laikantis tam tikrų prielaidų, kurias galima įvykdyti tik tam tikru tikslumu. Pavyzdžiui, vienas po kito einančių bandymų sąlygų dažnai negalima išlaikyti neribotą laiką ir absoliučiu tikslumu. Be to, didelių skaičių dėsnis kalba tik apie netikimybė reikšmingas vidutinės reikšmės nuokrypis nuo matematinio lūkesčio.

Kokia sėkmingų pardavėjų paslaptis? Jei pastebėsite geriausius pardavėjus bet kurioje įmonėje, pastebėsite, kad jie turi vieną bendrą bruožą. Kiekvienas iš jų susitinka su daugiau žmonių ir rengia daugiau pristatymų nei mažiau sėkmingi pardavėjai. Šie žmonės supranta, kad pardavimas yra skaičių žaidimas ir kuo daugiau žmonių jie papasakos apie savo produktus ar paslaugas, tuo daugiau sandorių sudarys – viskas. Jie supranta, kad jei bendraus ne tik su tais keliais, kurie tikrai jiems pasakys „taip“, bet ir su tais, kurių susidomėjimas jų pasiūlymu nėra toks didelis, tuomet jiems į naudą išeis vidurkių dėsnis.

Jūsų pajamos priklausys nuo pardavimų skaičiaus, tačiau tuo pat metu jos bus tiesiogiai proporcingos jūsų pateiktų pristatymų skaičiui. Kai suprasite ir taikysite vidurkių dėsnį, nerimas, susijęs su naujo verslo steigimu ar darbu naujoje srityje, pradės mažėti. Dėl to pradės augti kontrolės jausmas ir pasitikėjimas savo galimybėmis užsidirbti. Jei tik rengsite pristatymus ir tobulinsite savo įgūdžius, bus pasiūlyti sandoriai.

Užuot galvoję apie sandorių skaičių, geriau galvokite apie pristatymų skaičių. Nėra prasmės atsibusti ryte ar grįžti namo vakare ir galvoti, kas nupirks jūsų produktą. Vietoj to, geriausia planuoti, kiek skambučių reikia atlikti kiekvieną dieną. Ir tada, nesvarbu, ką – skambinkite! Toks požiūris palengvins jūsų darbą – nes tai paprastas ir konkretus tikslas. Jei žinosite, kad turite konkretų ir įgyvendinamą tikslą, jums bus lengviau atlikti suplanuotą skambučių skaičių. Jei šio proceso metu kelis kartus išgirsite „taip“, tuo geriau!

O jei „ne“, tai vakare pajusite, kad sąžiningai padarėte viską, ką galėjote, ir jūsų nekankins mintys apie tai, kiek uždirbote pinigų ar kiek kompanionų įsigijote per dieną.

Tarkime, jūsų įmonėje ar versle vidutinis pardavėjas sudaro vieną sandorį per keturis pristatymus. Dabar įsivaizduokite, kad traukiate kortas iš kaladės. Kiekviena trijų kostiumų korta – kastuvai, deimantai ir lazdos – tai pristatymas, kuriame profesionaliai pristatote produktą, paslaugą ar galimybę. Jūs tai darote taip gerai, kaip galite, bet vis tiek nesudarote sandorio. Ir kiekviena širdies korta yra sandoris, leidžiantis gauti pinigų arba įsigyti naują kompanioną.

Ar tokioje situacijoje nenorėtumėte iš kaladės ištraukti kuo daugiau kortų? Tarkime, jums pasiūloma ištraukti tiek kortelių, kiek norite, o jums mokant arba kiekvieną kartą, kai ištraukiate širdies kortelę, siūlomas naujas draugas. Pradėsite piešti kortas entuziastingai, vos nepastebėdami, kas tinka ką tik ištrauktai kortelei.

Jūs žinote, kad penkiasdešimt dviejų kortų kaladėje yra trylika širdžių. O dviejose kaladėse – dvidešimt šešios širdies kortos ir t.t. Ar nusivilsite piešdami kastuvus, deimantus ar pagalius? Žinoma, kad ne! Tik pagalvosite, kad kiekviena tokia „praleidimas“ jus priartina prie ko? Į širdies kortelę!

Bet žinai ką? Toks pasiūlymas jums jau buvo pateiktas. Esate unikalioje padėtyje uždirbti tiek, kiek norite, ir nupiešti tiek širdžių, kiek norite savo gyvenime. O jei tiesiog sąžiningai „trauksite kortas“, tobulinsite savo įgūdžius ir šiek tiek ištversite kastuvus, deimantus ir lazdas, tapsite puikiu pardavėju ir pasieksite sėkmės.

Vienas iš dalykų, dėl kurių pardavimas yra toks įdomus, yra tai, kad kiekvieną kartą, kai maišote kaladę, kortos maišomos skirtingai. Kartais visos širdelės atsiduria kaladės pradžioje, o po laimės serijos (kai mums atrodo, kad niekada nepralaimėsime!) mūsų laukia ilga eilė skirtingos spalvos kortų. O kitais kartais, norint patekti į pirmąją širdį, teks pereiti begalę kastuvų, pagalių ir deimantų. Ir kartais skirtingų kostiumų kortelės pasirodo griežtai iš eilės. Bet bet kuriuo atveju kiekvienoje penkiasdešimt dviejų kortų kaladėje tam tikra tvarka visada yra trylika širdžių. Tiesiog traukite korteles, kol jas rasite.

Iš: Leylya,  

DIDŽIŲJŲ SKAIČIŲ DĖSNIS

bendrasis principas, pagal kurį atsitiktinių veiksnių derinys tam tikromis labai bendromis sąlygomis veda prie rezultato, beveik nepriklausomo nuo atsitiktinumo. Atsitiktinio įvykio dažnio konvergencija su jo tikimybe didėjant bandymų skaičiui (pirmiausia pastebėta, matyt, lošiant) gali būti pirmasis šio principo veikimo pavyzdys.

XVII – XVIII amžių sandūroje. J. Bernoulli įrodė teoremą, teigiančią, kad nepriklausomų bandymų sekoje, kurių kiekviename tam tikro įvykio įvykis turi vienodą reikšmę, yra teisingas toks ryšys:

bet kuriam - įvykio atvejų skaičius pirmuosiuose bandymuose, - įvykių dažnis. Tai Bernulio teorema buvo S. Poisson pratęstas nepriklausomų bandymų sekos atvejui, kai įvykio A atsiradimo tikimybė gali priklausyti nuo bandymų skaičiaus. Tegul ši k-ojo bandymo tikimybė yra lygi ir tegul

Tada Puasono teorema teigia, kad

už bet kurį Pirmąjį griežtą požiūrį į šią teoremą pateikė P. L. Čebyševas (1846), kurio metodas visiškai skiriasi nuo Puasono metodo ir yra pagrįstas tam tikrais kraštutiniais samprotavimais; S. Puasonas išvedė (2) iš apytikslės nurodytos tikimybės formulės, remdamasis Gauso dėsniu ir tuo metu dar griežtai nepagrįstos. S. Poissonas pirmą kartą susidūrė su terminu "didžiųjų skaičių dėsnis", kurį pavadino savo Bernulio teoremos apibendrinimu.

Natūralus tolesnis Bernoulli ir Poisson teoremų apibendrinimas atsiranda, jei pastebime, kad atsitiktinius dydžius galima pavaizduoti kaip sumą

nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai, kur jei A rodomas Ath bandyme, ir - kitaip. Tuo pačiu ir matematinė lūkestis (sutampa su matematinių lūkesčių aritmetiniu vidurkiu) yra lygus p Bernulli atveju ir Puasono atveju. Kitaip tariant, abiem atvejais atsižvelgiama į aritmetinio vidurkio nuokrypį X k nuo jų matematinio aritmetinio vidurkio lūkesčius.

P. L. Čebyševo veikale „Vidutinės vertės“ (1867) nustatyta, kad nepriklausomiems atsitiktiniams dydžiams santykis

(bet kuriai ) yra teisinga pagal labai bendras prielaidas. P. L. Čebyševas manė, kad matematikas. visi lūkesčiai yra apriboti ta pačia konstanta, nors iš jo įrodymų aišku, kad pakanka ribotų dispersijų reikalavimo

ar net reikalavimų

Taigi P. L. Čebyševas parodė galimybę plačiai apibendrinti Bernulio teoremą. A. A. Markovas atkreipė dėmesį į tolesnių apibendrinimų galimybę ir pasiūlė naudoti pavadinimą B. h.z. į visą Bernulio teoremos apibendrinimų rinkinį [ir ypač į (3)]. Čebyševo metodas pagrįstas tiksliu bendrųjų matematikos savybių nustatymu. lūkesčius ir dėl vadinamojo naudojimo. Čebyševo nelygybės[tikimybei (3) pateikiamas formos įvertis

ši riba gali būti pakeista tikslesne, žinoma, esant reikšmingesniems apribojimams, žr Bernsteino nelygybė]. Vėlesni įrodymai dėl įvairių formų B. h.z. vienokiu ar kitokiu laipsniu yra Čebyševo metodo plėtra. Taikydamas tinkamą atsitiktinių dydžių „kirpimą“ (pakeitęs juos pagalbiniais dydžiais būtent: , jei kur yra tam tikros konstantos), A. A. Markovas išplėtė B. dalį. atvejams, kai terminų skirtumai neegzistuoja. Pavyzdžiui, jis parodė, kad (3) vyksta, jei tam tikroms konstantoms ir visi ir

Atsitiktinių reiškinių tyrimo praktika rodo, kad nors atskirų stebėjimų, net ir atliktų tomis pačiomis sąlygomis, rezultatai gali labai skirtis, tačiau tuo pačiu metu pakankamai didelio stebėjimų skaičiaus vidutiniai rezultatai yra stabilūs ir silpnai priklauso nuo individualių stebėjimų rezultatai.

Šios nuostabios atsitiktinių reiškinių savybės teorinis pagrindas yra didelių skaičių dėsnis. Pavadinimas „didelių skaičių dėsnis“ jungia grupę teoremų, kurios nustato daugelio atsitiktinių reiškinių vidutinių rezultatų stabilumą ir paaiškina šio stabilumo priežastį.

Paprasčiausia didelių skaičių dėsnio forma ir istoriškai pirmoji šio skyriaus teorema yra Bernulio teorema, kuriame teigiama, kad jei įvykio tikimybė visuose bandymuose yra vienoda, tai didėjant bandymų skaičiui, įvykio dažnis linksta į įvykio tikimybę ir nustoja būti atsitiktinis.

Puasono teorema teigia, kad įvykio dažnis nepriklausomų bandymų serijoje yra linkęs į jo tikimybių aritmetinį vidurkį ir nustoja būti atsitiktinis.

Tikimybių teorijos ribinės teoremos, teoremos Moivre-Laplace paaiškinti įvykio pasireiškimo dažnio stabilumo pobūdį. Toks pobūdis slypi tame, kad ribojantis įvykio pasiskirstymas su neribotu bandymų skaičiaus padidėjimu (jei įvykio tikimybė visuose bandymuose yra vienoda) yra normalusis pasiskirstymas.

Centrinės ribos teorema paaiškina plačiai paplitusią normalus įstatymas paskirstymus. Teorema teigia, kad kai atsitiktinis dydis susidaro dėl daugybės nepriklausomų atsitiktinių dydžių su baigtinėmis dispersijomis pridėjimo, šio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis pasirodo praktiškai normalus pagal įstatymus.

Žemiau pateikta teorema pavadinimu " Didžiųjų skaičių dėsnis“ teigia, kad tam tikromis, gana bendromis sąlygomis, didėjant atsitiktinių dydžių skaičiui, jų aritmetinis vidurkis linksta į matematinių lūkesčių aritmetinį vidurkį ir nustoja būti atsitiktinis.

Lyapunov teorema paaiškina plačiai paplitusią normalus įstatymas pasiskirstymą ir paaiškina jo susidarymo mechanizmą. Teorema leidžia teigti, kad kai atsitiktinis dydis susidaro sudėjus daug nepriklausomų atsitiktinių dydžių, kurių dispersijos yra mažos, palyginti su sumos dispersija, šio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis pasisuka. turi būti praktiškai normalus pagal įstatymus.

Ir kadangi atsitiktinius dydžius visada generuoja begalinis priežasčių skaičius ir dažniausiai nė vienas iš jų neturi sklaidos, panašios į paties atsitiktinio dydžio sklaidą, daugumai praktikoje pasitaikančių atsitiktinių dydžių galioja normalaus pasiskirstymo dėsnis. Didžiųjų skaičių dėsnio kokybiniai ir kiekybiniai teiginiai yra pagrįstiČebyševo nelygybė . Ji nustato viršutinę tikimybės, kad atsitiktinio dydžio vertės nuokrypis nuo jo matematinio lūkesčio yra didesnis už tam tikrą nurodytą skaičių, ribą.

Stebėtina, kad Čebyševo nelygybė leidžia įvertinti įvykio tikimybę atsitiktiniam dydžiui, kurio pasiskirstymas nežinomas, žinomi tik jo matematinės lūkesčiai ir dispersija. Čebyševo nelygybė. Jei atsitiktinis kintamasis x turi dispersiją, tada bet kuriai e > 0 galioja ši nelygybė:, Kur M x ir

D x – atsitiktinio dydžio x matematinė lūkestis ir dispersija. .

Bernulio teorema. Tegul m n yra sėkmingų n Bernulli bandymų skaičius ir p individualaus bandymo sėkmės tikimybė. Tada bet kuriai e > 0 tai tiesa