Mokantis algebros vidurinėje mokykloje (9 klasėje), viena iš svarbių temų yra skaitinių sekų, apimančių progresijas – geometrines ir aritmetines, studijavimas. Šiame straipsnyje apžvelgsime aritmetinę progresiją ir pavyzdžius su sprendimais.

Kas yra aritmetinė progresija?

Norint tai suprasti, būtina apibrėžti nagrinėjamą progresą, taip pat pateikti pagrindines formules, kurios vėliau bus naudojamos sprendžiant problemas.

Aritmetinis arba yra sutvarkytų racionaliųjų skaičių rinkinys, kurio kiekvienas narys skiriasi nuo ankstesnio tam tikra pastovia reikšme. Ši vertė vadinama skirtumu. Tai reiškia, kad žinodami bet kurį tvarkingos skaičių sekos narį ir skirtumą, galite atkurti visą aritmetinę progresiją.

Pateiksime pavyzdį. Ši skaičių seka bus aritmetinė progresija: 4, 8, 12, 16, ..., nes skirtumas šiuo atveju yra 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Tačiau skaičių aibės 3, 5, 8, 12, 17 nebegalima priskirti nagrinėjamam progresijos tipui, nes jos skirtumas nėra pastovi reikšmė (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17–12).

Svarbios formulės

Dabar pateiksime pagrindines formules, kurių prireiks sprendžiant uždavinius naudojant aritmetinę progresiją. Simboliu a n pažymėkime n-tąjį sekos narį, kur n yra sveikas skaičius. Skirtumą žymime lotyniška raide d. Tada galioja šios išraiškos:

1. N-ojo nario reikšmei nustatyti tinka tokia formulė: a n = (n-1)*d+a 1 .
2. Pirmųjų n narių sumai nustatyti: S n = (a n +a 1)*n/2.

Norint suprasti bet kokius aritmetinės progresijos su sprendimais pavyzdžius 9 klasėje, pakanka prisiminti šias dvi formules, nes bet kokios nagrinėjamo tipo problemos yra pagrįstos jų naudojimu. Taip pat turėtumėte atsiminti, kad progresijos skirtumas nustatomas pagal formulę: d = a n - a n-1.

1 pavyzdys: nežinomo termino radimas

Pateiksime paprastą aritmetinės progresijos pavyzdį ir formules, kurias reikia naudoti norint ją išspręsti.

Tegu duota seka 10, 8, 6, 4, ..., joje reikia rasti penkis terminus.

Iš uždavinio sąlygų jau išplaukia, kad žinomi pirmieji 4 terminai. Penktoji gali būti apibrėžta dviem būdais:

1. Pirmiausia apskaičiuokime skirtumą. Turime: d = 8 - 10 = -2. Panašiai galite paimti bet kuriuos kitus du narius, stovinčius vienas šalia kito. Pavyzdžiui, d = 4 - 6 = -2. Kadangi žinoma, kad d = a n - a n-1, tai d = a 5 - a 4, iš kurio gauname: a 5 = a 4 + d. Pakeičiame žinomas reikšmes: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Antrasis metodas taip pat reikalauja žinių apie nagrinėjamos progresijos skirtumą, todėl pirmiausia turite jį nustatyti, kaip parodyta aukščiau (d = -2). Žinodami, kad pirmasis narys a 1 = 10, naudojame sekos n skaičiaus formulę. Turime: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2 * n. Pakeitę n = 5 į paskutinę išraišką, gauname: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Kaip matote, abu sprendimai davė tą patį rezultatą. Atkreipkite dėmesį, kad šiame pavyzdyje progresijos skirtumas d yra neigiama reikšmė. Tokios sekos vadinamos mažėjančiomis, nes kiekvienas kitas narys yra mažesnis nei ankstesnis.

2 pavyzdys: progresijos skirtumas

Dabar šiek tiek apsunkinkime problemą, pateikime pavyzdį, kaip rasti aritmetinės progresijos skirtumą.

Yra žinoma, kad kai kuriose algebrinės progresijos 1 narys lygus 6, o 7 narys lygus 18. Reikia rasti skirtumą ir atkurti šią seką į 7 narį.

Nežinomam nariui nustatyti panaudokime formulę: a n = (n - 1) * d + a 1 . Pakeiskime į ją žinomus duomenis iš sąlygos, tai yra skaičius a 1 ir a 7, turime: 18 = 6 + 6 * d. Iš šios išraiškos galite nesunkiai apskaičiuoti skirtumą: d = (18 - 6) /6 = 2. Taigi, mes atsakėme į pirmąją uždavinio dalį.

Norėdami atkurti 7-ojo nario seką, turėtumėte naudoti algebrinės progresijos apibrėžimą, ty a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d ir pan. Dėl to atkuriame visą seką: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Pavyzdys Nr. 3: progresijos sudarymas

Dar labiau apsunkinkime problemą. Dabar turime atsakyti į klausimą, kaip rasti aritmetinę progresiją. Galima pateikti tokį pavyzdį: pateikiami du skaičiai, pavyzdžiui - 4 ir 5. Būtina sukurti algebrinę progresiją, kad tarp jų būtų dedami dar trys nariai.

Prieš pradėdami spręsti šią problemą, turite suprasti, kokią vietą pateikti skaičiai užims ateityje. Kadangi tarp jų bus dar trys nariai, tada a 1 = -4 ir a 5 = 5. Tai nustatę pereiname prie problemos, kuri yra panaši į ankstesnę. Vėlgi, n-tajam nariui naudojame formulę, gauname: a 5 = a 1 + 4 * d. Iš: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Tai, ką mes čia gavome, yra ne sveikoji skirtumo reikšmė, o racionalus skaičius, todėl algebrinės progresijos formulės išlieka tos pačios.

Dabar rastą skirtumą pridėkime prie 1 ir atkurkime trūkstamus progreso terminus. Gauname: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, kurie sutapo su problemos sąlygomis.

Pavyzdys Nr. 4: pirmasis progresavimo terminas

Toliau pateiksime aritmetinės progresijos su sprendiniais pavyzdžius. Visose ankstesnėse problemose buvo žinomas pirmasis algebrinės progresijos skaičius. Dabar panagrinėkime kitokio tipo uždavinį: tebūnie du skaičiai, kur a 15 = 50 ir 43 = 37. Reikia išsiaiškinti, kuriuo skaičiumi ši seka prasideda.

Iki šiol naudojamos formulės daro prielaidą, kad žinome apie 1 ir d. Problemos pareiškime apie šiuos skaičius nieko nežinoma. Nepaisant to, kiekvienam terminui, apie kurį turima informacija, užrašysime išraiškas: a 15 = a 1 + 14 * d ir a 43 = a 1 + 42 * d. Gavome dvi lygtis, kuriose yra 2 nežinomi dydžiai (a 1 ir d). Tai reiškia, kad problema redukuojama iki tiesinių lygčių sistemos sprendimo.

Lengviausias būdas išspręsti šią sistemą yra išreikšti 1 kiekvienoje lygtyje ir palyginti gautas išraiškas. Pirmoji lygtis: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; antroji lygtis: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Sulyginę šias išraiškas, gauname: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, iš kur skirtumas d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (duoti tik 3 skaitmenys po kablelio).

Žinodami d, 1 galite naudoti bet kurią iš 2 aukščiau pateiktų posakių. Pavyzdžiui, pirmiausia: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Jei kyla abejonių dėl gauto rezultato, galite jį patikrinti, pavyzdžiui, nustatyti sąlygoje nurodytą 43-ią progresijos terminą. Gauname: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Maža paklaida atsirado dėl to, kad skaičiavimuose buvo naudojamas apvalinimas iki tūkstantųjų dalių.

Pavyzdys Nr. 5: suma

Dabar pažvelkime į kelis pavyzdžius su aritmetinės progresijos sumos sprendiniais.

Tegu pateikiama tokios formos skaitinė progresija: 1, 2, 3, 4, ...,. Kaip apskaičiuoti 100 šių skaičių sumą?

Tobulėjant kompiuterinėms technologijoms, šią problemą galima išspręsti, tai yra sudėti visus skaičius paeiliui, ką kompiuteris padarys vos tik žmogui paspaudus Enter klavišą. Tačiau problemą galima išspręsti mintyse, jei atkreipsite dėmesį, kad pateikta skaičių serija yra algebrinė progresija, o jos skirtumas lygus 1. Taikydami sumos formulę, gauname: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Įdomu tai, kad ši problema vadinama „gausišku“, nes XVIII amžiaus pradžioje garsusis vokietis, kuriam dar tik 10 metų, sugebėjo ją mintyse išspręsti per kelias sekundes. Berniukas nežinojo algebrinės progresijos sumos formulės, tačiau pastebėjo, kad jei sudėsite skaičius sekos galuose poromis, visada gausite tą patį rezultatą, ty 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., o kadangi šios sumos bus lygiai 50 (100 / 2), tada norint gauti teisingą atsakymą, pakanka 50 padauginti iš 101.

Pavyzdys Nr. 6: terminų suma nuo n iki m

Kitas tipiškas aritmetinės progresijos sumos pavyzdys yra toks: pateikiant skaičių seriją: 3, 7, 11, 15, ..., reikia rasti, kokia bus jos narių suma nuo 8 iki 14. .

Problema sprendžiama dviem būdais. Pirmajame iš jų reikia surasti nežinomus terminus nuo 8 iki 14, o paskui juos susumuoti iš eilės. Kadangi terminų nedaug, šis metodas nėra gana daug darbo reikalaujantis. Nepaisant to, šią problemą siūloma išspręsti naudojant antrąjį metodą, kuris yra universalesnis.

Idėja yra gauti formulę algebrinės progresijos tarp terminų m ir n sumai, kur n > m yra sveikieji skaičiai. Abiem atvejais rašome dvi sumos išraiškas:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

Kadangi n > m, akivaizdu, kad 2-oji suma apima ir pirmąją. Paskutinė išvada reiškia, kad paėmę skirtumą tarp šių sumų ir prie jo pridėję terminą a m (skirtumo ėmimo atveju jis atimamas iš sumos S n), gausime reikiamą problemos atsakymą. Turime: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Šioje išraiškoje būtina pakeisti n ir m formules. Tada gauname: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Gauta formulė yra šiek tiek sudėtinga, tačiau suma S mn priklauso tik nuo n, m, a 1 ir d. Mūsų atveju a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Pakeitę šiuos skaičius, gauname: S mn = 301.

Kaip matyti iš aukščiau pateiktų sprendimų, visos problemos yra pagrįstos žiniomis apie n-ojo nario išraišką ir pirmųjų narių aibės sumos formulę. Prieš pradedant spręsti bet kurią iš šių problemų, rekomenduojama atidžiai perskaityti sąlygą, aiškiai suprasti, ką reikia rasti, ir tik tada tęsti sprendimą.

Kitas patarimas yra siekti paprastumo, tai yra, jei galite atsakyti į klausimą nenaudodami sudėtingų matematinių skaičiavimų, tuomet turite tai padaryti, nes tokiu atveju tikimybė suklysti yra mažesnė. Pavyzdžiui, aritmetinės progresijos su sprendiniu Nr. 6 pavyzdyje galima būtų sustoti ties formule S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, ir suskirstykite bendrą problemą į atskiras dalis (šiuo atveju pirmiausia suraskite terminus a n ir a m).

Jei kyla abejonių dėl gauto rezultato, rekomenduojama jį patikrinti, kaip buvo padaryta kai kuriuose pateiktuose pavyzdžiuose. Sužinojome, kaip rasti aritmetinę progresiją. Jei išsiaiškinsi, tai nėra taip sunku.

I. V. Jakovlevas | Matematinės medžiagos | MathUs.ru

Aritmetinė progresija

Aritmetinė progresija yra ypatinga sekos rūšis. Todėl prieš apibrėžiant aritmetinę (o vėliau ir geometrinę) progresiją, turime trumpai aptarti svarbią skaičių sekos sampratą.

Pasekmė

Įsivaizduokite įrenginį, kurio ekrane vienas po kito rodomi tam tikri skaičiai. Tarkime 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Šis skaičių rinkinys yra būtent sekos pavyzdys.

Apibrėžimas. Skaičių seka – tai skaičių rinkinys, kuriame kiekvienam skaičiui galima priskirti unikalų skaičių (tai yra susieti su vienu natūraliu skaičiumi)1. Skaičius n vadinamas n-tuoju sekos nariu.

Taigi aukščiau pateiktame pavyzdyje pirmasis skaičius yra 2, tai pirmasis sekos narys, kuris gali būti žymimas a1; skaičius penki turi skaičių 6 yra penktasis sekos narys, kuris gali būti žymimas a5. Apskritai n-tasis sekos narys žymimas an (arba bn, cn ir tt).

Labai patogi situacija, kai n-tą sekos narį galima nurodyti kokia nors formule. Pavyzdžiui, formulė an = 2n 3 nurodo seką: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Formulė an = (1)n nurodo seką: 1; 1; 1; 1; : : :

Ne kiekvienas skaičių rinkinys yra seka. Taigi segmentas nėra seka; jame yra „per daug“ skaičių, kad juos būtų galima pernumeruoti. Visų realiųjų skaičių aibė R taip pat nėra seka. Šie faktai yra įrodyti matematinės analizės metu.

Aritmetinė progresija: pagrindiniai apibrėžimai

Dabar esame pasirengę apibrėžti aritmetinę progresiją.

Apibrėžimas. Aritmetinė progresija yra seka, kurioje kiekvienas narys (pradedant nuo antrojo) yra lygus ankstesnio nario ir tam tikro fiksuoto skaičiaus (vadinamo aritmetinės progresijos skirtumu) sumai.

Pavyzdžiui, seka 2; 5; 8; vienuolika; : : : yra aritmetinė progresija su 2 pirmuoju nariu ir skirtumu 3. 7 seka; 2; 3; 8; : : : yra aritmetinė progresija, kurios pirmasis narys yra 7 ir skirtumas 5. 3 seka; 3; 3; : : : yra aritmetinė progresija, kurios skirtumas lygus nuliui.

Lygiavertis apibrėžimas: seka an vadinama aritmetine progresija, jei skirtumas an+1 an yra pastovi reikšmė (nepriklausoma nuo n).

Aritmetinė progresija vadinama didėjančia, jei jos skirtumas yra teigiamas, ir mažėjančia, jei skirtumas yra neigiamas.

1 Bet čia yra glaustesnis apibrėžimas: seka yra funkcija, apibrėžta natūraliųjų skaičių aibėje. Pavyzdžiui, realiųjų skaičių seka yra funkcija f: N ! R.

Pagal numatytuosius nustatymus sekos laikomos begalinėmis, ty turinčios begalinį skaičių skaičių. Tačiau niekas netrukdo mums svarstyti baigtinių sekų; iš tikrųjų bet kurią baigtinę skaičių aibę galima pavadinti baigtine seka. Pavyzdžiui, pabaigos seka yra 1; 2; 3; 4; 5 sudarytas iš penkių skaičių.

Aritmetinės progresijos n-ojo nario formulė

Nesunku suprasti, kad aritmetinę progresiją visiškai lemia du skaičiai: pirmasis narys ir skirtumas. Todėl kyla klausimas: kaip, žinant pirmąjį narį ir skirtumą, rasti savavališką aritmetinės progresijos narį?

Nesunku gauti reikiamą aritmetinės progresijos n-ojo nario formulę. Tegul an

aritmetinė progresija su skirtumu d. Mes turime:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : : :):
Visų pirma, mes rašome:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
ir dabar tampa aišku, kad formulė yra:
an = a1 + (n 1)d:

1 uždavinys. 2 aritmetinėje progresijoje; 5; 8; vienuolika; : : : raskite n-ojo nario formulę ir apskaičiuokite šimtąjį narį.

Sprendimas. Pagal (1) formulę turime:

an = 2 + 3 (n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Savybė ir aritmetinės progresijos ženklas

Aritmetinės progresijos savybė. Aritmetinėje progresijoje an už bet kurią

Kitaip tariant, kiekvienas aritmetinės progresijos narys (pradedant nuo antrosios) yra gretimų narių aritmetinis vidurkis.

	Įrodymas. Mes turime:
	a n 1+ a n+1		(an d) + (an + d)

ko ir reikėjo.

Apskritai aritmetinė progresija an tenkina lygybę

a n = a n k+ a n+k

bet kuriam n > 2 ir bet kuriam natūraliam k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Pasirodo, kad (2) formulė yra ne tik būtina, bet ir pakankama sąlyga, kad seka būtų aritmetinė progresija.

Aritmetinės progresijos ženklas. Jei lygybė (2) galioja visiems n > 2, tai seka an yra aritmetinė progresija.

Įrodymas. Perrašykime formulę (2) taip:

a na n 1= a n+1a n:

Iš to matome, kad skirtumas an+1 an nepriklauso nuo n, ir tai tiksliai reiškia, kad seka an yra aritmetinė progresija.

Aritmetinės progresijos savybė ir ženklas gali būti suformuluoti vieno teiginio forma; Patogumo dėlei tai padarysime su trimis skaičiais (ši situacija dažnai pasitaiko problemų atveju).

Aritmetinės progresijos apibūdinimas. Trys skaičiai a, b, c sudaro aritmetinę progresiją tada ir tik tada, kai 2b = a + c.

2 uždavinys. (MSU, Ekonomikos fakultetas, 2007) Trys skaičiai 8x, 3 x2 ir 4 nurodyta tvarka sudaro mažėjančią aritmetinę progresiją. Raskite x ir nurodykite šios progresijos skirtumą.

Sprendimas. Pagal aritmetinės progresijos savybę turime:

2 (3 x 2 ) = 8x 4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; x = 5:

Jei x = 1, tai gauname mažėjančią progresiją 8, 2, 4 su skirtumu 6. Jei x = 5, tai gauname didėjančią 40, 22, 4 progresiją; šis atvejis netinka.

Atsakymas: x = 1, skirtumas yra 6.

Pirmųjų n aritmetinės progresijos narių suma

Legenda pasakoja, kad vieną dieną mokytojas liepė vaikams surasti skaičių sumą nuo 1 iki 100 ir ramiai atsisėdo skaityti laikraščio. Tačiau nepraėjo nė kelios minutės, kol vienas berniukas pasakė, kad problemą išsprendė. Tai buvo 9 metų Carlas Friedrichas Gaussas, vėliau vienas didžiausių matematikų istorijoje.

Mažojo Gauso idėja buvo tokia. Leisti

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Parašykime šią sumą atvirkštine tvarka:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

ir pridėkite šias dvi formules:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Kiekvienas terminas skliausteliuose yra lygus 101, todėl iš viso yra 100 tokių terminų

2S = 101 100 = 10100;

Mes naudojame šią idėją sumos formulei išvesti

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Naudinga (3) formulės modifikacija gaunama, jei į ją pakeičiame n-ojo nario formulę an = a1 + (n 1)d:

		2a1 + (n 1)d

3 uždavinys. Raskite visų teigiamų triženklių skaičių, dalijamų iš 13, sumą.

Sprendimas. Triženkliai skaičiai, kurie yra 13 kartotiniai, sudaro aritmetinę progresiją, kai pirmasis narys yra 104, o skirtumas yra 13; Šios progresijos n-asis narys turi tokią formą:

an = 104 + 13 (n 1) = 91 + 13n:

Sužinokime, kiek terminų yra mūsų progresijoje. Norėdami tai padaryti, išspręskime nelygybę:

6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

Taigi, mūsų progrese yra 69 nariai. Naudodami (4) formulę randame reikiamą sumą:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

Pavyzdžiui, seka \(2\); \(5\); \(8\); \(vienuolika\); \(14\)... yra aritmetinė progresija, nes kiekvienas paskesnis elementas nuo ankstesnio skiriasi trimis (galima gauti iš ankstesnio pridedant tris):

Šioje progresijoje skirtumas \(d\) yra teigiamas (lygus \(3\)), todėl kiekvienas kitas narys yra didesnis nei ankstesnis. Tokios progresijos vadinamos didėja.

Tačiau \(d\) taip pat gali būti neigiamas skaičius. Pavyzdžiui, aritmetine progresija \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... progresijos skirtumas \(d\) yra lygus minus šeši.

Ir šiuo atveju kiekvienas kitas elementas bus mažesnis nei ankstesnis. Šios progresijos vadinamos mažėja.

Aritmetinės progresijos žymėjimas

Pažanga nurodoma maža lotyniška raide.

Skaičiai, kurie sudaro progresiją, vadinami nariai(arba elementai).

Jie žymimi ta pačia raide kaip aritmetinė progresija, bet su skaitine indeksu, lygiu elemento skaičiui.

Pavyzdžiui, aritmetinė progresija \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) susideda iš elementų \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) ir pan.

Kitaip tariant, progresijai \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Aritmetinės progresijos uždavinių sprendimas

Iš esmės aukščiau pateiktos informacijos jau pakanka beveik bet kokiai aritmetinės progresijos problemai išspręsti (įskaitant ir OGE siūlomas).

Pavyzdys (OGE). Aritmetinė progresija nurodoma sąlygomis \(b_1=7; d=4\). Raskite \(b_5\).
Sprendimas:

Atsakymas: \(b_5=23\)

Pavyzdys (OGE). Pateikiami pirmieji trys aritmetinės progresijos nariai: \(62; 49; 36…\) Raskite pirmojo neigiamo šios progresijos nario reikšmę.
Sprendimas:

	Mums pateikiami pirmieji sekos elementai ir žinome, kad tai aritmetinė progresija. Tai yra, kiekvienas elementas skiriasi nuo savo kaimyno tuo pačiu skaičiumi. Sužinokime, kuris iš kito elemento atimdamas ankstesnįjį: \(d=49-62=-13\).
	Dabar galime atkurti savo progresą iki (pirmojo neigiamo) elemento, kurio mums reikia.
	Paruošta. Galite parašyti atsakymą.

Atsakymas: \(-3\)

Pavyzdys (OGE). Duoti keli iš eilės aritmetinės progresijos elementai: \(…5; x; 10; 12.5...\) Raskite elemento, pažymėto raide \(x\), reikšmę.
Sprendimas:

	Norėdami rasti \(x\), turime žinoti, kiek kitas elementas skiriasi nuo ankstesnio, kitaip tariant, progresijos skirtumą. Raskime jį iš dviejų žinomų gretimų elementų: \(d=12.5-10=2.5\).
	Ir dabar galime nesunkiai rasti tai, ko ieškome: \(x=5+2.5=7.5\).
	Paruošta. Galite parašyti atsakymą.

Atsakymas: \(7,5\).

Pavyzdys (OGE). Aritmetinė progresija apibrėžiama šiomis sąlygomis: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Raskite pirmųjų šešių šios progresijos narių sumą.
Sprendimas:

	Turime rasti pirmųjų šešių progresijos narių sumą. Bet mes nežinome jų reikšmių, mums suteikiamas tik pirmasis elementas. Todėl pirmiausia apskaičiuojame reikšmes po vieną, naudodamiesi tuo, kas mums duota: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Ir apskaičiavę šešis mums reikalingus elementus, randame jų sumą.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	Reikalinga suma rasta.

Atsakymas: \(S_6=9\).

Pavyzdys (OGE). Aritmetine progresija \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Raskite šios progresijos skirtumą.
Sprendimas:

Atsakymas: \(d=7\).

Svarbios aritmetinės progresijos formulės

Kaip matote, daugelį aritmetinės progresijos problemų galima išspręsti tiesiog supratus pagrindinį dalyką - kad aritmetinė progresija yra skaičių grandinė, o kiekvienas paskesnis šios grandinės elementas gaunamas pridedant tą patį skaičių prie ankstesnio ( progresavimo skirtumas).

Tačiau kartais būna situacijų, kai apsispręsti „prieš akis“ yra labai nepatogu. Pavyzdžiui, įsivaizduokite, kad pačiame pirmame pavyzdyje turime rasti ne penktą elementą \(b_5\), o tris šimtus aštuoniasdešimt šeštąjį \(b_(386)\). Ar reikia pridėti keturis \(385\) kartus? Arba įsivaizduokite, kad priešpaskutiniame pavyzdyje reikia rasti pirmųjų septyniasdešimt trijų elementų sumą. Pavargsite skaičiuoti...

Todėl tokiais atvejais jie nesprendžia dalykų „priešais“, o naudoja specialias aritmetinei progresijai išvestas formules. O pagrindinės yra progresijos n-ojo nario formulė ir \(n\) pirmųjų narių sumos formulė.

\(n\)-ojo nario formulė: \(a_n=a_1+(n-1)d\), kur \(a_1\) yra pirmasis progresijos narys;
\(n\) – reikiamo elemento numeris;
\(a_n\) – progresijos su skaičiumi \(n\) terminas.

Ši formulė leidžia greitai rasti net trijų šimtųjų ar milijonų elementą, žinant tik pirmąjį ir progresijos skirtumą.

Pavyzdys. Aritmetinė progresija nurodoma sąlygomis: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Raskite \(b_(246)\).
Sprendimas:

Atsakymas: \(b_(246)=1850\).

Pirmųjų n terminų sumos formulė: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), kur

\(a_n\) – paskutinis sumuojamas terminas;

Pavyzdys (OGE). Aritmetinė progresija nurodoma sąlygomis \(a_n=3,4n-0,6\). Raskite šios progresijos pirmųjų \(25\) narių sumą.
Sprendimas:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Norėdami apskaičiuoti pirmųjų dvidešimt penkių dėmenų sumą, turime žinoti pirmojo ir dvidešimt penktojo narių vertę. Mūsų progresija pateikiama pagal n-ojo nario formulę, priklausomai nuo jo skaičiaus (daugiau informacijos žr.). Apskaičiuokime pirmąjį elementą \(n\) pakeisdami vienu.
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)		Dabar suraskime dvidešimt penktą terminą, vietoj \(n\) pakeisdami dvidešimt penkis.
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)		Na, o dabar galime nesunkiai paskaičiuoti reikiamą sumą.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Atsakymas paruoštas.

Atsakymas: \(S_(25)=1090\).

Pirmųjų terminų sumai \(n\) galite gauti kitą formulę: tereikia \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) vietoj \(a_n\) pakeiskite jo formulę \(a_n=a_1+(n-1)d\). Mes gauname:

Pirmųjų n terminų sumos formulė: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), kur

\(S_n\) – reikiama \(n\) pirmųjų elementų suma;
\(a_1\) – pirmasis sumuojamas terminas;
\(d\) – progresijos skirtumas;
\(n\) – bendras elementų skaičius.

Pavyzdys. Raskite aritmetinės progresijos pirmųjų \(33\)-ex narių sumą: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Sprendimas:

Atsakymas: \(S_(33)=-231\).

Sudėtingesnės aritmetinės progresijos problemos

Dabar jūs turite visą informaciją, kurios jums reikia norint išspręsti beveik bet kokią aritmetinės progresijos problemą. Užbaikime temą apsvarstydami uždavinius, kuriuose reikia ne tik taikyti formules, bet ir šiek tiek pagalvoti (matematikoje tai gali būti naudinga ☺)

Pavyzdys (OGE). Raskite visų neigiamų progresijos narių sumą: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Sprendimas:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Užduotis labai panaši į ankstesnę. Pradedame spręsti tą patį: pirmiausia randame \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Dabar sumos formulėje norėčiau pakeisti \(d\)... ir čia išryškėja nedidelis niuansas – mes nežinome \(n\). Kitaip tariant, mes nežinome, kiek terminų reikės pridėti. Kaip sužinoti? Pagalvokim. Mes nustosime pridėti elementų, kai pasieksime pirmąjį teigiamą elementą. Tai yra, jūs turite sužinoti šio elemento numerį. Kaip? Užsirašykime bet kurio aritmetinės progresijos elemento apskaičiavimo formulę: \(a_n=a_1+(n-1)d\) mūsų atveju.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)		Mums reikia, kad \(a_n\) būtų didesnis už nulį. Išsiaiškinkime, kas \(n\) tai atsitiks.
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Abi nelygybės puses padaliname iš \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		Perkeliame minus vieną, nepamirštant pakeisti ženklų
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		Paskaičiuokime...
\(n>65 333…\)		...ir paaiškėja, kad pirmasis teigiamas elementas turės skaičių \(66\). Atitinkamai, paskutinis neigiamas turi \(n=65\). Tik tuo atveju, patikrinkime tai.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)		Taigi turime pridėti pirmuosius \(65\) elementus.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Atsakymas paruoštas.

Atsakymas: \(S_(65)=-630,5\).

Pavyzdys (OGE). Aritmetinė progresija nurodoma sąlygomis: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Raskite sumą nuo \(26\)-ojo iki \(42\) elemento imtinai.
Sprendimas:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Šiame uždavinyje taip pat reikia rasti elementų sumą, bet pradedant ne nuo pirmojo, o nuo \(26\)-osios. Tokiam atvejui formulės neturime. Kaip apsispręsti? Tai paprasta – norėdami gauti sumą nuo \(26\)-osios iki \(42\)-osios, pirmiausia turite rasti sumą nuo \(1\)-osios iki \(42\)-osios, o tada atimkite iš jo suma nuo pirmos iki \(25\)-osios (žr. paveikslėlį).
	Mūsų progresijai \(a_1=-33\) ir skirtumui \(d=4\) (juk prie ankstesnio elemento pridedame keturis, kad rastume kitą). Žinodami tai, randame pirmųjų \(42\)-y elementų sumą.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Dabar pirmųjų \(25\) elementų suma.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Ir galiausiai apskaičiuojame atsakymą.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Atsakymas: \(S=1683\).

Aritmetinei progresijai yra dar kelios formulės, kurių šiame straipsnyje nesvarstėme dėl mažo jų praktinio naudingumo. Tačiau juos galite lengvai rasti.

Internetinis skaičiuotuvas.
Aritmetinės progresijos sprendimas.
Duota: a n , d, n
Rasti: 1

Ši matematinė programa randa aritmetinės progresijos \(a_1\), pagrįstą vartotojo nurodytais skaičiais \(a_n, d\) ir \(n\).
Skaičiai \(a_n\) ir \(d\) gali būti nurodyti ne tik kaip sveikieji skaičiai, bet ir kaip trupmenos. Be to, trupmeninį skaičių galima įvesti dešimtainės trupmenos (\(2,5\)) ir paprastosios trupmenos (\(-5\frac(2)(7)\)) pavidalu.

Programa ne tik pateikia atsakymą į problemą, bet ir parodo sprendimo paieškos procesą.

Ši internetinė skaičiuoklė gali praversti vidurinių mokyklų gimnazistams ruošiantis įskaitoms ir egzaminams, pasitikrinti žinias prieš Vieningą valstybinį egzaminą, o tėvams kontroliuoti daugelio matematikos ir algebros uždavinių sprendimą. O gal jums per brangu samdyti dėstytoją ar pirkti naujus vadovėlius? O gal tiesiog norite kuo greičiau atlikti matematikos ar algebros namų darbus? Tokiu atveju taip pat galite naudoti mūsų programas su išsamiais sprendimais.

Tokiu būdu galite vesti savo ir (arba) jaunesnių brolių ar seserų mokymus, o išsilavinimo lygis problemų sprendimo srityje pakyla.

Jei nesate susipažinę su skaičių įvedimo taisyklėmis, rekomenduojame su jomis susipažinti.

Skaičių įvedimo taisyklės

Skaičiai \(a_n\) ir \(d\) gali būti nurodyti ne tik kaip sveikieji skaičiai, bet ir kaip trupmenos.
Skaičius \(n\) gali būti tik teigiamas sveikasis skaičius.

Dešimtainių trupmenų įvedimo taisyklės.
Sveikasis skaičius ir trupmenos dalys dešimtainėse trupmenose gali būti atskirtos tašku arba kableliu.
Pavyzdžiui, galite įvesti dešimtaines trupmenas, pvz., 2,5 arba 2,5

Paprastųjų trupmenų įvedimo taisyklės.
Tik sveikas skaičius gali veikti kaip trupmenos skaitiklis, vardiklis ir sveikoji dalis.

Vardiklis negali būti neigiamas.

Įvedant skaitinę trupmeną, skaitiklis nuo vardiklio atskiriamas dalybos ženklu: /
Įvestis:
Rezultatas: \(-\frac(2)(3)\)

Visa dalis nuo trupmenos atskiriama ampersando ženklu: &
Įvestis:
Rezultatas: \(-1\frac(2)(3)\)

Įveskite skaičius a n, d, n

Raskite 1

Buvo nustatyta, kad kai kurie scenarijai, reikalingi šiai problemai išspręsti, nebuvo įkelti ir programa gali neveikti.
Galbūt esate įjungę „AdBlock“.
Tokiu atveju išjunkite jį ir atnaujinkite puslapį.

Jūsų naršyklėje išjungtas JavaScript.
Kad sprendimas būtų rodomas, turite įjungti „JavaScript“.
Čia pateikiamos instrukcijos, kaip įjungti „JavaScript“ naršyklėje.

Nes Yra daug žmonių, norinčių išspręsti problemą, jūsų prašymas buvo įrašytas į eilę.
Po kelių sekundžių apačioje pasirodys sprendimas.
Prašau palauk sek...

Jei tu sprendime pastebėjo klaidą, tuomet apie tai galite parašyti atsiliepimų formoje.
Nepamiršk nurodykite, kokia užduotis tu spręsk ką įveskite laukelius.

Mūsų žaidimai, galvosūkiai, emuliatoriai:

Šiek tiek teorijos.

Skaičių seka

Kasdienėje praktikoje dažnai naudojamas įvairių objektų numeravimas, nurodant jų išdėstymo tvarką. Pavyzdžiui, kiekvienoje gatvėje esantys namai yra sunumeruoti. Bibliotekoje skaitytojų abonementai yra sunumeruojami ir išdėliojami priskirtų numerių tvarka specialiose kortelių bylose.

Taupomajame banke, naudodami asmeninį indėlininko sąskaitos numerį, galite lengvai rasti šią sąskaitą ir pamatyti, koks indėlis joje yra. Tegul sąskaitoje Nr.1 ​​yra a1 rublis depozitas, 2 sąskaitoje - a2 rublis ir t.t.. Pasirodo skaičių seka
a 1, a 2, a 3, ..., a N
kur N yra visų sąskaitų skaičius. Čia kiekvienas natūralusis skaičius n nuo 1 iki N yra susietas su skaičiumi a n.

Taip pat mokėsi matematikos begalinės skaičių sekos:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Skaičius a 1 vadinamas pirmasis sekos terminas, numeris a 2 - antrasis sekos terminas, numeris a 3 - trečiasis sekos narys ir tt
Skaičius a n vadinamas n-asis (n-asis) sekos narys, o natūralusis skaičius n yra jo numerį.

Pavyzdžiui, natūraliųjų skaičių 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... ir 1 = 1 kvadratų sekoje yra pirmasis sekos narys; ir n = n 2 yra n-tasis sekos narys; a n+1 = (n + 1) 2 yra (n + 1)-asis (n plius pirmasis) sekos narys. Dažnai seka gali būti nurodyta jos n-ojo nario formule. Pavyzdžiui, formulė \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) apibrėžia seką \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac(1)(3) , \frac(1)(4), \taškai,\frac(1)(n), \taškai \;

Aritmetinė progresija

Metų ilgis yra maždaug 365 dienos. Tikslesnė reikšmė yra \(365\frac(1)(4)\) dienų, todėl kas ketverius metus kaupiasi vienos dienos paklaida.

Siekiant atsižvelgti į šią klaidą, prie kas ketvirtų metų pridedama diena, o pratęsti metai vadinami keliamaisiais metais.

Pavyzdžiui, trečiajame tūkstantmetyje keliamieji metai yra 2004, 2008, 2012, 2016, ....

Šioje sekoje kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniam, pridedamas prie to paties skaičiaus 4. Tokios sekos vadinamos aritmetinės progresijos.

Apibrėžimas.
Vadinama skaičių seka a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... aritmetinė progresija, jei visiems natūraliems n lygybė
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
kur d yra koks nors skaičius.

Iš šios formulės išplaukia, kad a n+1 – a n = d. Skaičius d vadinamas skirtumu aritmetinė progresija.

Pagal aritmetinės progresijos apibrėžimą turime:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
kur
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), kur \(n>1 \)

Taigi kiekvienas aritmetinės progresijos narys, pradedant nuo antrosios, yra lygus dviejų gretimų jos narių aritmetiniam vidurkiui. Tai paaiškina pavadinimą „aritmetinė“ progresija.

Atkreipkite dėmesį, kad jei pateikti a 1 ir d, tai likusius aritmetinės progresijos narius galima apskaičiuoti naudojant pasikartojančią formulę a n+1 = a n + d. Tokiu būdu nesunku suskaičiuoti keletą pirmųjų progresijos terminų, tačiau, pavyzdžiui, 100 jau reikės daug skaičiuoti. Paprastai tam naudojama n-oji termino formulė. Pagal aritmetinės progresijos apibrėžimą
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
ir tt
Iš viso,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
kadangi n-asis aritmetinės progresijos narys gaunamas iš pirmojo nario pridedant (n-1) skaičių d.
Ši formulė vadinama aritmetinės progresijos n-ojo nario formulė.

Pirmųjų n aritmetinės progresijos narių suma

Raskite visų natūraliųjų skaičių nuo 1 iki 100 sumą.
Parašykime šią sumą dviem būdais:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Pridėkime šias lygybes po termino:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Šią sumą sudaro 100 terminų
Todėl 2S = 101 * 100, taigi S = 101 * 50 = 5050.

Dabar panagrinėkime savavališką aritmetinę progresiją
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
Tegul S n yra pirmųjų n šios progresijos narių suma:
S n = a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n
Tada aritmetinės progresijos pirmųjų n narių suma lygi
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

Kadangi \(a_n=a_1+(n-1)d\), tai pakeitę n šioje formulėje gauname kitą formulę, kaip rasti aritmetinės progresijos pirmųjų n narių suma:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

Knygos (vadovėliai) Vieningo valstybinio egzamino ir vieningo valstybinio egzamino testų tezės internete Žaidimai, galvosūkiai Funkcijų grafikų braižymas Rusų kalbos rašybos žodynas Jaunimo slengo žodynas Rusijos mokyklų katalogas Rusijos vidurinių mokyklų katalogas Rusijos universitetų katalogas Rusijos universitetų sąrašas užduočių

Aritmetinės progresijos problemos egzistavo jau senovėje. Jie pasirodė ir reikalavo sprendimo, nes turėjo praktinį poreikį.

Taigi viename iš Senovės Egipto papirusų, turinčių matematinį turinį, Rhindo papirusas (XIX a. pr. Kr.), yra tokia užduotis: padalinti dešimt duonos matų dešimčiai žmonių, jei skirtumas tarp jų yra viena aštuntadalis matuoti“.

O senovės graikų matematiniuose darbuose yra elegantiškų teoremų, susijusių su aritmetine progresija. Taigi Hipsiklis iš Aleksandrijos (II a., sudėjęs daug įdomių uždavinių ir prie Euklido elementų pridėjęs keturioliktąją knygą) suformulavo idėją: „Aritmetinėje progresijoje, kurioje yra lyginis narių skaičius, II pusės narių suma. yra didesnė už 1-osios kvadrato 1/2 narių skaičių sumą.

Seka žymima an. Sekos skaičiai vadinami jos nariais ir paprastai žymimi raidėmis su indeksais, nurodančiais šio nario eilės numerį (a1, a2, a3 ... skaitykite: „a 1st“, „a 2nd“, „a 3rd“ ir taip toliau ).

Seka gali būti begalinė arba baigtinė.

Kas yra aritmetinė progresija? Turime omenyje tą, kuris gaunamas sudėjus ankstesnį terminą (n) su tuo pačiu skaičiumi d, kuris yra progresijos skirtumas.

Jei d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, tada tokia progresija laikoma didėjančia.

Aritmetinė progresija vadinama baigtine, jei atsižvelgiama tik į keletą pirmųjų jos narių. Esant labai dideliam narių skaičiui, tai jau yra begalinis progresas.

Bet kokia aritmetinė progresija apibrėžiama pagal šią formulę:

an =kn+b, o b ir k yra kai kurie skaičiai.

Priešingas teiginys yra visiškai teisingas: jei seka pateikiama panašia formule, tai būtent aritmetinė progresija turi savybių:

1. Kiekvienas progresijos narys yra ankstesnio ir paskesnio nario aritmetinis vidurkis.
2. Atvirkščiai: jei, pradedant nuo 2-osios, kiekvienas narys yra ankstesnio ir paskesnio nario aritmetinis vidurkis, t.y. jei sąlyga įvykdyta, tai ši seka yra aritmetinė progresija. Ši lygybė taip pat yra progresavimo požymis, todėl ji dažniausiai vadinama būdinga progresavimo savybe.
   Lygiai taip pat teisinga ir teorema, atspindinti šią savybę: seka yra aritmetinė progresija tik tuo atveju, jei ši lygybė yra teisinga bet kuriam sekos nariui, pradedant 2-uoju.

Bet kurių keturių aritmetinės progresijos skaičių būdingą savybę galima išreikšti formule an + am = ak + al, jei n + m = k + l (m, n, k yra progresijos skaičiai).

Aritmetinėje progresijoje bet kuris būtinas (N-asis) narys gali būti rastas naudojant šią formulę:

Pavyzdžiui: pirmasis aritmetinės progresijos narys (a1) yra lygus trims, o skirtumas (d) lygus keturiems. Turite rasti keturiasdešimt penktąjį šios progresijos terminą. a45 = 1+4(45-1)=177

Formulė an = ak + d(n - k) leidžia nustatyti aritmetinės progresijos n-ąjį narį per bet kurį k-tą narį, jei jis žinomas.

Aritmetinės progresijos narių suma (tai reiškia pirmuosius n baigtinės progresijos narių) apskaičiuojama taip:

Sn = (a1+an) n/2.

Jei žinomas ir 1-asis terminas, tada skaičiavimui patogu naudoti kitą formulę:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Aritmetinės progresijos, kurią sudaro n narių, suma apskaičiuojama taip:

Skaičiavimų formulių pasirinkimas priklauso nuo uždavinių sąlygų ir pradinių duomenų.

Natūralioji bet kokių skaičių serija, pvz., 1,2,3,...,n,..., yra paprasčiausias aritmetinės progresijos pavyzdys.

Be aritmetinės progresijos, yra ir geometrinė progresija, kuri turi savo savybes ir ypatybes.