Paskutiniai vaizdo įrašai ilgoje pamokų serijoje apie logaritminių lygčių sprendimą. Šį kartą visų pirma dirbsime su logaritmo ODZ – būtent dėl ​​neteisingo apibrėžimo srities įvertinimo (ar net ignoravimo) sprendžiant tokias problemas kyla daugiausia klaidų.

Šioje trumpoje vaizdo pamokoje apžvelgsime logaritmų pridėjimo ir atėmimo formulių naudojimą, taip pat nagrinėsime trupmenines racionaliąsias lygtis, su kuriomis daugelis mokinių taip pat turi problemų.

Apie ką kalbėsime? Pagrindinė formulė, kurią norėčiau suprasti, atrodo taip:

log a (f g ) = log a f + log a g

Tai standartinis perėjimas nuo sandaugos prie logaritmų sumos ir atgal. Tikriausiai šią formulę žinote nuo pat logaritmų studijų pradžios. Tačiau yra viena kliūtis.

Kol kintamieji a, f ir g yra įprasti skaičiai, problemų nekyla. Ši formulė puikiai veikia.

Tačiau kai tik vietoj f ir g atsiranda funkcijos, iškyla apibrėžimo srities išplėtimo ar susiaurinimo problema, priklausomai nuo to, kuria kryptimi transformuoti. Spręskite patys: kairėje parašytame logaritme apibrėžimo sritis yra tokia:

fg > 0

Tačiau dešinėje parašyta suma apibrėžimo sritis jau šiek tiek skiriasi:

f > 0

g > 0

Šis reikalavimų rinkinys yra griežtesnis nei pradinis. Pirmuoju atveju mus tenkins f variantas< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0 yra vykdomas).

Taigi, pereinant nuo kairiosios konstrukcijos prie dešinės, susiaurėja apibrėžimo sritis. Jei iš pradžių turėtume sumą ir ją perrašytume sandaugos pavidalu, tada apibrėžimo sritis išsiplečia.

Kitaip tariant, pirmuoju atveju galime prarasti šaknis, o antruoju – gauti papildomų. Į tai reikia atsižvelgti sprendžiant realias logaritmines lygtis.

Taigi, pirmoji užduotis:

[Paveikslo antraštė]

Kairėje matome logaritmų sumą naudojant tą pačią bazę. Todėl šiuos logaritmus galima pridėti:

[Paveikslo antraštė]

Kaip matote, dešinėje mes pakeitėme nulį naudodami formulę:

a = log b b a

Dar šiek tiek pertvarkykime savo lygtį:

log 4 (x – 5) 2 = log 4 1

Prieš mus yra logaritminės lygties kanoninė forma, mes galime nubraukti log ženklą ir sulyginti argumentus:

(x − 5) 2 = 1

|x − 5| = 1

Atkreipkite dėmesį: iš kur atsirado modulis? Leiskite jums priminti, kad tikslaus kvadrato šaknis yra lygi moduliui:

[Paveikslo antraštė]

Tada išsprendžiame klasikinę lygtį su moduliu:

|f | = g (g > 0) ⇒f = ±g

x − 5 = ±1 ⇒x 1 = 5 − 1 = 4; x 2 = 5 + 1 = 6

Štai du kandidatų atsakymai. Ar jie yra pradinės logaritminės lygties sprendimas? Ne, jokiomis aplinkybėmis!

Mes neturime teisės palikti visko taip ir užrašyti atsakymą. Pažvelkite į žingsnį, kai logaritmų sumą pakeičiame vienu argumentų sandaugos logaritmu. Problema ta, kad originaliose išraiškose turime funkcijas. Todėl turėtumėte reikalauti:

x(x − 5) > 0; (x – 5)/x > 0.

Kai transformavome gaminį, gaudami tikslų kvadratą, pasikeitė reikalavimai:

(x – 5) 2 > 0

Kada šis reikalavimas įvykdytas? Taip, beveik visada! Išskyrus atvejį, kai x − 5 = 0. Tai yra nelygybė bus sumažinta iki vieno taško:

x − 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ 5

Kaip matote, apibrėžimo apimtis išsiplėtė, apie ką mes kalbėjome pačioje pamokos pradžioje. Dėl to gali atsirasti papildomų šaknų.

Kaip galite užkirsti kelią šių papildomų šaknų atsiradimui? Tai labai paprasta: žiūrime į gautas šaknis ir lyginame jas su pradinės lygties apibrėžimo sritimi. Suskaičiuokime:

x (x − 5) > 0

Išspręsime intervalo metodu:

x (x − 5) = 0 ⇒ x = 0; x = 5

Gautus skaičius pažymime eilutėje. Trūksta visų punktų, nes nelygybė griežta. Paimkite bet kurį skaičių, didesnį nei 5, ir pakeiskite:

[Paveikslo antraštė]

Mus domina intervalai (−∞; 0) ∪ (5; ∞). Jei atkarpoje pažymėsime savo šaknis, pamatysime, kad x = 4 mums netinka, nes ši šaknis yra už pradinės logaritminės lygties apibrėžimo srities.

Grįžtame prie visumos, išbraukiame šaknį x = 4 ir užrašome atsakymą: x = 6. Tai galutinis atsakymas į pradinę logaritminę lygtį. Štai ir viskas, problema išspręsta.

Pereikime prie antrosios logaritminės lygties:

[Paveikslo antraštė]

Išspręskime. Atkreipkite dėmesį, kad pirmasis narys yra trupmena, o antrasis yra ta pati trupmena, bet apversta. Neišsigąskite posakio lgx – tai tik dešimtainis logaritmas, galime jį parašyti:

lgx = log 10 x

Kadangi turime dvi apverstas trupmenas, siūlau įvesti naują kintamąjį:

[Paveikslo antraštė]

Todėl mūsų lygtį galima perrašyti taip:

t + 1/t = 2;

t + 1/t - 2 = 0;

(t 2 – 2t + 1)/t = 0;

(t − 1) 2 /t = 0.

Kaip matote, trupmenos skaitiklis yra tikslus kvadratas. Trupmena lygi nuliui, kai jos skaitiklis lygus nuliui, o vardiklis – ne nulis:

(t – 1) 2 = 0; t ≠ 0

Išspręskime pirmąją lygtį:

t − 1 = 0;

t = 1.

Ši vertė atitinka antrąjį reikalavimą. Todėl galime sakyti, kad visiškai išsprendėme savo lygtį, bet tik kintamojo t atžvilgiu. Dabar prisiminkime, kas yra t:

[Paveikslo antraštė]

Gavome proporciją:

logx = 2 logx + 1

2 logx − logx = −1

logx = −1

Pateikiame šią lygtį į kanoninę formą:

logx = log 10 −1

x = 10 −1 = 0,1

Dėl to gavome vieną šaknį, kuri teoriškai yra pradinės lygties sprendimas. Tačiau vis tiek žaiskime saugiai ir išrašykime pradinės lygties apibrėžimo sritį:

[Paveikslo antraštė]

Todėl mūsų šaknis atitinka visus reikalavimus. Mes radome pradinės logaritminės lygties sprendimą. Atsakymas: x = 0,1. Problema išspręsta.

Šiandienos pamokoje yra tik vienas esminis dalykas: naudodami formulę, skirtą pereiti nuo produkto prie sumos ir atgal, būtinai atsižvelkite į tai, kad apibrėžimo sritis gali susiaurėti arba išplėsti, priklausomai nuo to, kuria kryptimi pereinama.

Kaip suprasti, kas vyksta: susitraukimas ar išsiplėtimas? Labai paprasta. Jei anksčiau funkcijos buvo kartu, o dabar – atskiros, tai apibrėžimo apimtis susiaurėjo (nes atsirado daugiau reikalavimų). Jei iš pradžių funkcijos stovėjo atskirai, o dabar yra kartu, tada apibrėžimo sritis plečiasi (produktui keliama mažiau reikalavimų nei atskiriems veiksniams).

Atsižvelgdamas į šią pastabą, noriu pastebėti, kad antroji logaritminė lygtis šių transformacijų visiškai nereikalauja, tai yra, argumentų niekur nesudedame ir nedauginame. Tačiau čia norėčiau atkreipti jūsų dėmesį į dar vieną nuostabią techniką, kuri gali gerokai supaprastinti sprendimą. Kalbama apie kintamojo pakeitimą.

Tačiau atminkite, kad jokie pakaitalai neišlaisvina mūsų iš apibrėžimo apimties. Štai kodėl radę visas šaknis nepatingėjome ir grįžome prie pradinės lygties, kad surastume jos ODZ.

Dažnai keičiant kintamąjį atsiranda erzinanti klaida, kai mokiniai randa t reikšmę ir mano, kad sprendimas baigtas. Ne, jokiomis aplinkybėmis!

Suradę t reikšmę, turite grįžti prie pradinės lygties ir pamatyti, ką tiksliai turėjome omenyje šia raide. Dėl to turime išspręsti dar vieną lygtį, kuri vis dėlto bus daug paprastesnė nei pradinė.

Būtent tai yra naujo kintamojo įvedimo esmė. Pradinę lygtį padalijome į dvi tarpines, kurių kiekviena turi daug paprastesnį sprendimą.

Kaip išspręsti „įdėtas“ logaritmines lygtis

Šiandien toliau tiriame logaritmines lygtis ir analizuosime konstrukcijas, kai vienas logaritmas yra po kito logaritmo ženklu. Abi lygtis išspręsime naudodami kanoninę formą.

Šiandien toliau tiriame logaritmines lygtis ir analizuosime konstrukcijas, kai vienas logaritmas yra po kito ženklu. Abi lygtis išspręsime naudodami kanoninę formą. Leiskite jums priminti, kad jei turime paprasčiausią logaritminę lygtį log a f (x) = b formos, tada, norėdami išspręsti tokią lygtį, atliekame šiuos veiksmus. Pirmiausia turime pakeisti skaičių b :

b = log a a b

Pastaba: a b yra argumentas. Panašiai ir pradinėje lygtyje argumentas yra funkcija f(x). Tada perrašome lygtį ir gauname tokią konstrukciją:

log a f (x) = log a a b

Tada galime atlikti trečią veiksmą – atsikratyti logaritmo ženklo ir tiesiog parašyti:

f (x) = a b

Dėl to gauname naują lygtį. Šiuo atveju funkcijai f (x) netaikomi jokie apribojimai. Pavyzdžiui, jos vietą gali užimti ir logaritminė funkcija. Ir tada vėl gausime logaritminę lygtį, kurią vėl sumažinsime iki paprasčiausios formos ir išspręsime per kanoninę formą.

Tačiau dainų užteks. Išspręskime tikrąją problemą. Taigi, užduotis numeris 1:

2 log (1 + 3 log 2 x ) = 2

Kaip matote, prieš mus yra paprasčiausia logaritminė lygtis. F (x) vaidmuo yra konstrukcija 1 + 3 log 2 x, o skaičiaus b vaidmuo yra skaičius 2 (a vaidmenį taip pat atlieka du). Perrašykime šiuos du taip:

Svarbu suprasti, kad pirmieji du du atėjo pas mus iš logaritmo pagrindo, t.y. jei pradinėje lygtyje būtų 5, tai gautume, kad 2 = log 5 5 2. Apskritai bazė priklauso tik nuo logaritmo, kuris iš pradžių buvo pateiktas uždavinyje. Ir mūsų atveju tai yra skaičius 2.

Taigi, mes perrašome savo logaritminę lygtį, atsižvelgdami į tai, kad dvi dešinėje iš tikrųjų taip pat yra logaritmas. Mes gauname:

log 2 (1 + 3 log 2 x ) = log 2 4

Pereikime prie paskutinio mūsų schemos žingsnio – kanoninės formos atsikratymo. Galima sakyti, mes tiesiog nubraukiame rąsto ženklus. Tačiau matematiniu požiūriu neįmanoma „perbraukti žurnalo“ – teisingiau būtų sakyti, kad argumentus tiesiog sulyginame:

1 + 3 log 2 x = 4

Iš čia galime lengvai rasti 3 log 2 x:

3 log 2 x = 3

log 2 x = 1

Vėl gavome paprasčiausią logaritminę lygtį, grąžinkime ją į kanoninę formą. Norėdami tai padaryti, turime atlikti šiuos pakeitimus:

1 = log 2 2 1 = log 2 2

Kodėl bazėje yra du? Kadangi mūsų kanoninėje lygtyje kairėje yra logaritmas tiksliai 2 pagrindu. Perrašome uždavinį atsižvelgdami į šį faktą:

log 2 x = log 2 2

Vėlgi atsikratome logaritmo ženklo, t.y. argumentus tiesiog sulyginame. Turime teisę tai padaryti, nes pagrindai yra vienodi ir daugiau jokių papildomų veiksmų nebuvo atlikta nei dešinėje, nei kairėje:

tai viskas! Problema išspręsta. Mes radome logaritminės lygties sprendimą.

Atkreipkite dėmesį! Nors argumente yra kintamasis x (t. y. iškyla reikalavimai apibrėžimo sričiai), jokių papildomų reikalavimų nekelsime.

Kaip minėjau aukščiau, šis patikrinimas yra nereikalingas, jei kintamasis yra tik viename tik vieno logaritmo argumente. Mūsų atveju x tikrai pasirodo tik argumente ir tik po vienu žurnalo ženklu. Todėl papildomų patikrinimų nereikia.

Tačiau jei nepasitikite šiuo metodu, galite lengvai patikrinti, ar x = 2 tikrai yra šaknis. Pakanka pakeisti šį skaičių į pradinę lygtį.

Pereikime prie antrosios lygties, ji šiek tiek įdomiau:

log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = 1

Jei išraišką didžiojo logaritmo viduje pažymėsime funkcija f (x), gautume paprasčiausią logaritminę lygtį, su kuria pradėjome šiandienos video pamoką. Todėl galite taikyti kanoninę formą, kuriai vienetą turėsite pavaizduoti formoje log 2 2 1 = log 2 2.

Perrašykime savo didžiąją lygtį:

log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = log 2 2

Atsitraukime nuo logaritmo ženklo, sulygindami argumentus. Turime teisę tai daryti, nes ir kairėje, ir dešinėje pagrindai yra vienodi. Be to, atkreipkite dėmesį, kad log 2 4 = 2:

log 1/2 (2x − 1) + 2 = 2

log 1/2 (2x − 1) = 0

Prieš mus vėl yra paprasčiausia logaritminė lygtis log a f (x) = b. Pereikime prie kanoninės formos, tai yra, nulį pavaizduojame formoje log 1/2 (1/2)0 = log 1/2 1.

Perrašome savo lygtį ir atsikratome žurnalo ženklo, sulygindami argumentus:

log 1/2 (2x − 1) = log 1/2 1

2x − 1 = 1

Vėlgi, iškart gavome atsakymą. Jokių papildomų patikrinimų nereikia, nes pradinėje lygtyje funkcija kaip argumentas yra tik viename logaritme.

Todėl papildomų patikrinimų nereikia. Galime drąsiai teigti, kad x = 1 yra vienintelė šios lygties šaknis.

Bet jei antrajame logaritme vietoj keturių būtų kokia nors x funkcija (arba 2x buvo ne argumente, o bazėje), tai reikėtų patikrinti apibrėžimo sritį. Priešingu atveju yra didelė tikimybė patekti į papildomas šaknis.

Iš kur atsiranda šios papildomos šaknys? Šį dalyką reikia suprasti labai aiškiai. Pažvelkite į pradines lygtis: visur funkcija x yra po logaritmo ženklu. Vadinasi, kadangi užsirašėme log 2 x, automatiškai nustatome reikalavimą x > 0. Priešingu atveju šis įrašas tiesiog neturi prasmės.

Tačiau, sprendžiant logaritminę lygtį, atsikratome visų rąsto ženklų ir gauname paprastas konstrukcijas. Čia nėra jokių apribojimų, nes tiesinė funkcija yra apibrėžta bet kuriai x reikšmei.

Būtent dėl ​​šios problemos, kai galutinė funkcija apibrėžiama visur ir visada, o pradinė – ne visur ir ne visada, todėl sprendžiant logaritmines lygtis labai dažnai atsiranda papildomos šaknys.

Bet dar kartą kartoju: taip atsitinka tik tada, kai funkcija yra arba keliuose logaritmuose, arba vieno iš jų pagrindu. Problemose, kurias šiandien svarstome, iš esmės nėra problemų išplėsti apibrėžimo sritį.

Skirtingo pagrindo atvejai

Ši pamoka skirta sudėtingesnėms struktūroms. Logaritmai šiandieninėse lygtyse nebebus išspręsti iš karto – pirmiausia reikės atlikti kai kurias transformacijas.

Pradedame spręsti logaritmines lygtis su visiškai skirtingomis bazėmis, kurios nėra tikslios viena kitos galios. Neleiskite tokioms problemoms jūsų gąsdinti - jas išspręsti nėra sunkiau nei paprasčiausius dizainus, kuriuos aptarėme aukščiau.

Tačiau prieš pereinant tiesiai prie uždavinių, leiskite man priminti paprasčiausių logaritminių lygčių sprendimo formulę naudojant kanoninę formą. Apsvarstykite tokią problemą:

log a f (x) = b

Svarbu, kad funkcija f (x) būtų tik funkcija, o skaičių a ir b vaidmuo turėtų būti skaičiai (be jokių kintamųjų x). Žinoma, pažodžiui po minutės pažvelgsime į tokius atvejus, kai vietoj kintamųjų a ir b yra funkcijos, bet dabar ne apie tai.

Kaip prisimename, skaičius b turi būti pakeistas logaritmu toje pačioje bazėje a, kuri yra kairėje. Tai daroma labai paprastai:

b = log a a b

Žinoma, žodžiai „bet koks skaičius b“ ir „bet koks skaičius a“ reiškia reikšmes, kurios atitinka apibrėžimo sritį. Konkrečiai, šioje lygtyje kalbame tik apie bazę a > 0 ir a ≠ 1.

Tačiau šis reikalavimas tenkinamas automatiškai, nes pradiniame uždavinyje jau yra logaritmas bazei a – jis tikrai bus didesnis nei 0 ir nelygus 1. Todėl toliau sprendžiame logaritminę lygtį:

log a f (x) = log a a b

Toks žymėjimas vadinamas kanonine forma. Jo patogumas slypi tuo, kad mes galime iš karto atsikratyti rąsto ženklo, sulyginę argumentus:

f (x) = a b

Būtent šią techniką dabar naudosime sprendžiant logaritmines lygtis su kintamu pagrindu. Taigi, eime!

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 0,5 0,125

Kas toliau? Kažkas dabar pasakys, kad reikia apskaičiuoti teisingą logaritmą arba sumažinti juos iki tos pačios bazės, ar dar ką nors. Ir iš tiesų, dabar turime suvesti abi bazes į tą pačią formą - arba 2, arba 0,5. Bet kartą ir visiems laikams išmokime šią taisyklę:

Jei logaritminėje lygtyje yra dešimtainių skaičių, būtinai konvertuokite šias trupmenas iš dešimtainės į bendrą žymėjimą. Ši transformacija gali labai supaprastinti sprendimą.

Toks perėjimas turi būti atliktas nedelsiant, net prieš atliekant bet kokius veiksmus ar transformacijas. Pažiūrėkime:

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 1 / 2 1/8

Ką mums duoda toks rekordas? 1/2 ir 1/8 galime pavaizduoti kaip laipsnius su neigiamu rodikliu:

[Paveikslo antraštė]

Prieš mus yra kanoninė forma. Sulyginame argumentus ir gauname klasikinę kvadratinę lygtį:

x 2 + 4x + 11 = 8

x 2 + 4x + 3 = 0

Prieš mus yra tokia kvadratinė lygtis, kurią galima lengvai išspręsti naudojant Vietos formules. Vidurinėje mokykloje turėtumėte matyti panašius ekranus pažodžiui žodžiu:

(x + 3) (x + 1) = 0

x 1 = −3

x 2 = −1

tai viskas! Pradinė logaritminė lygtis buvo išspręsta. Turime dvi šaknis.

Priminsiu, kad šiuo atveju nebūtina nustatyti apibrėžimo srities, nes funkcija su kintamuoju x yra tik viename argumente. Todėl apibrėžimo apimtis atliekama automatiškai.

Taigi, pirmoji lygtis išspręsta. Pereikime prie antrojo:

log 0,5 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 1/9

log 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 9 −1

Dabar atkreipkite dėmesį, kad pirmojo logaritmo argumentas taip pat gali būti parašytas kaip laipsnis su neigiamu eksponentu: 1/2 = 2 −1. Tada galite paimti abiejų lygties pusių galias ir padalyti viską iš −1:

[Paveikslo antraštė]

Ir dabar mes baigėme labai svarbų logaritminės lygties sprendimo žingsnį. Galbūt kažkas kažko nepastebėjo, todėl paaiškinsiu.

Pažvelkite į mūsų lygtį: ir kairėje, ir dešinėje yra logaritmas, bet kairėje yra logaritmas iki 2 bazės, o dešinėje yra logaritmas iki 3 bazės. Trys nėra sveikasis skaičius du ir, atvirkščiai, negalite rašyti, kad 2 yra 3 sveikuoju laipsnių skaičiumi.

Vadinasi, tai logaritmai su skirtingais pagrindais, kurių negalima redukuoti vieni į kitus tiesiog pridedant galias. Vienintelis būdas išspręsti tokias problemas yra atsikratyti vieno iš šių logaritmų. Šiuo atveju, kadangi vis dar svarstome gana paprastas problemas, dešinėje esantis logaritmas buvo tiesiog apskaičiuotas ir gavome paprasčiausią lygtį – būtent tą, apie kurią kalbėjome pačioje šios dienos pamokos pradžioje.

Pavaizduokime skaičių 2, kuris yra dešinėje, kaip log 2 2 2 = log 2 4. Ir tada atsikratome logaritmo ženklo, po kurio mums tiesiog paliekama kvadratinė lygtis:

2 žurnalas (5x 2 + 9x + 2) = log 2 4

5x 2 + 9x + 2 = 4

5x 2 + 9x − 2 = 0

Prieš mus yra įprasta kvadratinė lygtis, bet ji nėra sumažinta, nes koeficientas x 2 skiriasi nuo vienybės. Todėl mes ją išspręsime naudodami diskriminantą:

D = 81 − 4 5 (−2) = 81 + 40 = 121

x 1 = (−9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5

x 2 = (−9 − 11)/10 = −2

tai viskas! Mes radome abi šaknis, o tai reiškia, kad gavome pradinės logaritminės lygties sprendimą. Iš tiesų, pradinėje užduotyje funkcija su kintamuoju x yra tik viename argumente. Vadinasi, nereikia jokių papildomų patikrų apibrėžimo srityje – abi šaknys, kurias radome, tikrai atitinka visus galimus apribojimus.

Tai galėtų būti šios dienos vaizdo pamokos pabaiga, tačiau pabaigai norėčiau dar kartą pasakyti: spręsdami logaritmines lygtis būtinai konvertuokite visas dešimtaines trupmenas į paprastąsias trupmenas. Daugeliu atvejų tai labai supaprastina jų sprendimą.

Retai, labai retai susiduri su problemomis, kai kablelio atsikratymas tik apsunkina skaičiavimus. Tačiau tokiose lygtyse, kaip taisyklė, iš pradžių aišku, kad nereikia atsikratyti dešimtainių trupmenų.

Daugeliu kitų atvejų (ypač jei tik pradedate praktikuoti logaritminių lygčių sprendimą), nedvejodami atsisakykite dešimtainių skaičių ir konvertuokite juos į paprastus. Kadangi praktika rodo, kad tokiu būdu jūs žymiai supaprastinsite tolesnį sprendimą ir skaičiavimus.

Sprendimo subtilybės ir gudrybės

Šiandien pereiname prie sudėtingesnių problemų ir išspręsime logaritminę lygtį, kuri remiasi ne skaičiumi, o funkcija.

Ir net jei ši funkcija yra tiesinė, sprendinio schemoje reikės atlikti nedidelius pakeitimus, kurių prasmė susiveda į papildomus logaritmo apibrėžimo srities reikalavimus.

Sudėtingos užduotys

Ši pamoka bus gana ilga. Jame analizuosime dvi gana rimtas logaritmines lygtis, kurias spręsdami daugelis mokinių daro klaidų. Praktikuodamas matematikos mokytoją, nuolat susidurdavau su dviejų tipų klaidomis:

1. Papildomų šaknų atsiradimas dėl logaritmų apibrėžimo srities išplėtimo. Norėdami išvengti tokių įžeidžiančių klaidų, tiesiog atidžiai stebėkite kiekvieną transformaciją;
2. Šaknų praradimas dėl to, kad studentas pamiršo apsvarstyti kai kuriuos „subtilius“ atvejus - tai yra situacijos, į kurias šiandien sutelksime dėmesį.

Tai paskutinė logaritminių lygčių pamoka. Tai bus ilga, analizuosime sudėtingas logaritmines lygtis. Įsitaisykite patogiai, išsivirkite arbatos ir pradėkime.

Pirmoji lygtis atrodo gana standartinė:

log x + 1 (x - 0,5) = log x - 0,5 (x + 1)

Iš karto atkreipkime dėmesį, kad abu logaritmai yra atvirkštinės vienas kito kopijos. Prisiminkime nuostabią formulę:

log a b = 1/log b a

Tačiau ši formulė turi keletą apribojimų, atsirandančių, jei vietoj skaičių a ir b yra kintamojo x funkcijos:

b > 0

1 ≠ a > 0

Šie reikalavimai taikomi logaritmo pagrindui. Kita vertus, trupmenoje privalome turėti 1 ≠ a > 0, nes ne tik kintamasis a yra logaritmo argumente (taigi a > 0), bet ir pats logaritmas yra trupmenos vardiklyje. . Bet log b 1 = 0, o vardiklis turi būti ne nulis, taigi a ≠ 1.

Taigi, kintamojo a apribojimai išlieka. Bet kas atsitiks su kintamuoju b? Viena vertus, bazė reiškia b > 0, kita vertus, kintamasis b ≠ 1, nes logaritmo bazė turi skirtis nuo 1. Iš viso iš dešinės formulės pusės matyti, kad 1 ≠ b > 0.

Tačiau čia yra problema: antrojo reikalavimo (b ≠ 1) trūksta pirmojoje nelygybėje, kuri susijusi su kairiuoju logaritmu. Kitaip tariant, atlikdami šią transformaciją turime patikrinti atskirai, kad argumentas b skiriasi nuo vieno!

Taigi patikrinkime. Taikykime savo formulę:

[Paveikslo antraštė]

1 ≠ x - 0,5 > 0; 1 ≠ x + 1 > 0

Taigi jau iš pradinės logaritminės lygties gavome, kad ir a, ir b turi būti didesni už 0, o ne lygūs 1. Tai reiškia, kad logaritminę lygtį galime lengvai apversti:

Siūlau įvesti naują kintamąjį:

log x + 1 (x − 0,5) = t

Tokiu atveju mūsų konstrukcija bus perrašyta taip:

(t 2 − 1)/t = 0

Atkreipkite dėmesį, kad skaitiklyje turime kvadratų skirtumą. Kvadratų skirtumą atskleidžiame naudodami sutrumpintą daugybos formulę:

(t – 1)(t + 1)/t = 0

Trupmena lygi nuliui, kai jos skaitiklis lygus nuliui, o vardiklis – ne nulis. Tačiau skaitiklyje yra sandauga, todėl kiekvieną veiksnį prilyginame nuliui:

t1 = 1;

t2 = -1;

t ≠ 0.

Kaip matome, abi kintamojo t reikšmės mums tinka. Tačiau sprendimas tuo nesibaigia, nes reikia rasti ne t, o x reikšmę. Grįžtame prie logaritmo ir gauname:

log x + 1 (x - 0,5) = 1;

log x + 1 (x - 0,5) = -1.

Padėkime kiekvieną iš šių lygčių kanonine forma:

log x + 1 (x - 0,5) = log x + 1 (x + 1) 1

log x + 1 (x - 0,5) = log x + 1 (x + 1) -1

Pirmuoju atveju atsikratome logaritmo ženklo ir sulyginame argumentus:

x − 0,5 = x + 1;

x − x = 1 + 0,5;

Tokia lygtis neturi šaknų, todėl pirmoji logaritminė lygtis taip pat neturi šaknų. Bet su antrąja lygtimi viskas yra daug įdomiau:

(x – 0,5)/1 = 1/(x + 1)

Išspręsdami proporciją, gauname:

(x – 0,5) (x + 1) = 1

Priminsiu, kad sprendžiant logaritmines lygtis daug patogiau visas dešimtaines trupmenas naudoti kaip paprastas, todėl savo lygtį perrašykime taip:

(x – 1/2) (x + 1) = 1;

x 2 + x - 1/2x - 1/2 - 1 = 0;

x 2 + 1/2x − 3/2 = 0.

Prieš mus yra žemiau pateikta kvadratinė lygtis, ją galima lengvai išspręsti naudojant Vietos formules:

(x + 3/2) (x - 1) = 0;

x 1 = -1,5;

x 2 = 1.

Gavome dvi šaknis – jos yra kandidatės į pradinę logaritminę lygtį. Kad suprastume, kokios šaknys iš tikrųjų glūdi atsakymui, grįžkime prie pradinės problemos. Dabar patikrinsime kiekvieną savo šaknį, kad pamatytume, ar jos atitinka apibrėžimo sritį:

1,5 ≠ x > 0,5; 0 ≠ x > –1.

Šie reikalavimai prilygsta dvigubai nelygybei:

1 ≠ x > 0,5

Iš čia iš karto matome, kad šaknis x = −1,5 mums netinka, bet x = 1 mums tinka visai neblogai. Todėl x = 1 yra galutinis logaritminės lygties sprendimas.

Pereikime prie antrosios užduoties:

log x 25 + log 125 x 5 = log 25 x 625

Iš pirmo žvilgsnio gali atrodyti, kad visi logaritmai turi skirtingus pagrindus ir skirtingus argumentus. Ką daryti su tokiomis struktūromis? Visų pirma, atkreipkite dėmesį, kad skaičiai 25, 5 ir 625 yra 5 laipsniai:

25 = 5 2 ; 625 = 5 4

Dabar pasinaudokime nuostabia logaritmo savybe. Esmė ta, kad iš argumento galite išskirti galias faktorių forma:

log a b n = n ∙ log a b

Šiai transformacijai taip pat taikomi apribojimai, kai b pakeičiama funkcija. Bet mums b tėra skaičius ir jokių papildomų apribojimų nekyla. Perrašykime savo lygtį:

2 ∙ rąstas x 5 + rąstas 125 x 5 = 4 ∙ rąstas 25 x 5

Gavome lygtį su trimis terminais, kuriuose yra log ženklas. Be to, visų trijų logaritmų argumentai yra lygūs.

Atėjo laikas apversti logaritmus, kad jie būtų vienodi – 5. Kadangi kintamasis b yra konstanta, apibrėžimo srities pokyčių nevyksta. Mes tiesiog perrašome:

[Paveikslo antraštė]

Kaip ir tikėtasi, vardiklyje atsirado tie patys logaritmai. Siūlau pakeisti kintamąjį:

log 5 x = t

Tokiu atveju mūsų lygtis bus perrašyta taip:

Išrašykime skaitiklį ir atidarykime skliaustus:

2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) – 4 t (t + 3) = 2 (t 2 + 5 t + 6) + t 2 + 2 t - 4 t 2 - 12 t = 2 t 2 + 10 t + 12 + t 2 + 2 t - 4 t 2 - 12 t = -t 2 + 12

Grįžkime prie savo trupmenos. Skaitiklis turi būti lygus nuliui:

[Paveikslo antraštė]

Ir vardiklis skiriasi nuo nulio:

t ≠ 0; t ≠ –3; t ≠ –2

Paskutiniai reikalavimai įvykdomi automatiškai, nes jie visi yra „susieti“ su sveikaisiais skaičiais, o visi atsakymai yra neracionalūs.

Taigi, trupmeninė racionali lygtis buvo išspręsta, rastos kintamojo t reikšmės. Grįžkime prie logaritminės lygties sprendimo ir prisiminkime, kas yra t:

[Paveikslo antraštė]

Šią lygtį sumažiname iki kanoninės formos ir gauname skaičių su neracionaliu laipsniu. Neleiskite, kad tai jūsų suklaidintų – netgi tokie argumentai gali būti sutapatinti:

[Paveikslo antraštė]

Turime dvi šaknis. Tiksliau, du kandidatai atsako – patikrinkime, ar jie atitinka apibrėžimo sritį. Kadangi logaritmo pagrindas yra kintamasis x, mums reikia:

1 ≠ x > 0;

Su ta pačia sėkme tvirtiname, kad x ≠ 1/125, kitaip antrojo logaritmo bazė pasisuks į vienybę. Galiausiai x ≠ 1/25 trečiajam logaritmui.

Iš viso gavome keturis apribojimus:

1 ≠ x > 0; x ≠ 1/125; x ≠ 1/25

Dabar kyla klausimas: ar mūsų šaknys tenkina šiuos reikalavimus? Žinoma, jie tenkina! Nes 5 bet kuriai galiai bus didesnis už nulį, o reikalavimas x > 0 tenkinamas automatiškai.

Kita vertus, 1 = 5 0, 1/25 = 5 −2, 1/125 = 5 −3, o tai reiškia, kad šie apribojimai mūsų šaknims (kurių, priminsiu, eksponente yra neracionalus skaičius) taip pat yra patenkinti, ir abu atsakymai yra problemos sprendimai.

Taigi, mes turime galutinį atsakymą. Šioje užduotyje yra du pagrindiniai punktai:

1. Būkite atsargūs vartydami logaritmą, kai sukeičiami argumentai ir bazė. Tokios transformacijos nustato nereikalingus apibrėžimo apimties apribojimus.
2. Nebijokite transformuoti logaritmų: juos galima ne tik apversti, bet ir išplėsti naudojant sumos formulę ir paprastai keisti naudojant bet kokias formules, kurias studijavote spręsdami logaritmines išraiškas. Tačiau visada atminkite: kai kurios transformacijos išplečia apibrėžimo sritį, o kai kurios - susiaurina.

Mes visi esame susipažinę su lygtimis iš pradinės mokyklos. Ten mokėmės spręsti ir paprasčiausius pavyzdžius, ir reikia pripažinti, kad jie pritaiko net aukštojoje matematikoje. Su lygtimis viskas paprasta, įskaitant kvadratines lygtis. Jei kyla problemų dėl šios temos, labai rekomenduojame ją peržiūrėti.

Jūs tikriausiai taip pat jau praėjote logaritmus. Tačiau manome, kad svarbu pasakyti, kas tai yra tiems, kurie dar nežino. Logaritmas prilyginamas galiai, iki kurios reikia pakelti bazę, kad būtų gautas skaičius, esantis dešinėje nuo logaritmo ženklo. Pateiksime pavyzdį, pagal kurį jums viskas taps aišku.

Jei padidinsite 3 į ketvirtą laipsnį, gausite 81. Dabar pakeiskite skaičius pagal analogiją ir pagaliau suprasite, kaip sprendžiami logaritmai. Dabar belieka sujungti dvi aptartas sąvokas. Iš pradžių situacija atrodo itin sudėtinga, tačiau atidžiau panagrinėjus svoris stoja į savo vietas. Esame tikri, kad po šio trumpo straipsnio jūs neturėsite problemų šioje vieningo valstybinio egzamino dalyje.

Šiandien yra daug būdų, kaip išspręsti tokias struktūras. Papasakosime apie paprasčiausias, efektyviausias ir labiausiai pritaikomas vieningo valstybinio egzamino užduotis. Logaritminių lygčių sprendimas turėtų prasidėti nuo paprasčiausio pavyzdžio. Paprasčiausios logaritminės lygtys susideda iš funkcijos ir vieno kintamojo joje.

Svarbu pažymėti, kad x yra argumento viduje. A ir b turi būti skaičiai. Šiuo atveju funkciją galite tiesiog išreikšti skaičiumi laipsniu. Tai atrodo taip.

Žinoma, logaritminę lygtį išsprendę šiuo metodu gausite teisingą atsakymą. Didžiosios daugumos studentų problema šiuo atveju yra ta, kad jie nesupranta, iš ko ir iš kur atsiranda. Dėl to tenka taikstytis su klaidomis ir negauti norimų taškų. Labiausiai įžeidžianti klaida bus, jei sumaišysite raides. Norėdami išspręsti lygtį tokiu būdu, turite įsiminti šią standartinę mokyklos formulę, nes ją sunku suprasti.

Kad būtų lengviau, galite naudoti kitą metodą - kanoninę formą. Idėja itin paprasta. Vėl nukreipkite dėmesį į problemą. Atminkite, kad raidė a yra skaičius, o ne funkcija ar kintamasis. A nėra lygus vienetui ir didesnis už nulį. Nėra jokių apribojimų b. Dabar iš visų formulių prisiminkime vieną. B gali būti išreikštas taip.

Iš to išplaukia, kad visos pradinės lygtys su logaritmais gali būti pavaizduotos tokia forma:

Dabar galime atsisakyti logaritmų. Rezultatas yra paprastas dizainas, kurį jau matėme anksčiau.

Šios formulės patogumas slypi tame, kad ją galima naudoti labai įvairiais atvejais, o ne tik paprasčiausio dizaino.

Nesijaudinkite dėl OOF!

Daugelis patyrusių matematikų pastebės, kad mes nekreipėme dėmesio į apibrėžimo sritį. Taisyklė susiveda į tai, kad F(x) būtinai yra didesnis nei 0. Ne, mes nepraleidome šio taško. Dabar kalbame apie dar vieną rimtą kanoninės formos pranašumą.

Čia nebus papildomų šaknų. Jei kintamasis bus rodomas tik vienoje vietoje, apimtis nebūtina. Tai daroma automatiškai. Norėdami patikrinti šį sprendimą, pabandykite išspręsti kelis paprastus pavyzdžius.

Kaip išspręsti logaritmines lygtis su skirtingais pagrindais

Tai jau sudėtingos logaritminės lygtys, todėl jų sprendimo būdas turi būti ypatingas. Čia retai įmanoma apsiriboti liūdnai pagarsėjusia kanonine forma. Pradėkime savo išsamią istoriją. Turime tokią konstrukciją.

Atkreipkite dėmesį į trupmeną. Jame yra logaritmas. Jei tai matote užduotyje, verta prisiminti vieną įdomų triuką.

Ką tai reiškia? Kiekvienas logaritmas gali būti pavaizduotas kaip dviejų logaritmų su patogia baze koeficientas. Ir ši formulė turi specialų atvejį, kuris taikomas šiame pavyzdyje (turime omenyje, jei c=b).

Būtent tokią trupmeną matome savo pavyzdyje. Taigi.

Iš esmės mes apvertėme trupmeną ir gavome patogesnę išraišką. Prisiminkite šį algoritmą!

Dabar reikia, kad logaritminėje lygtyje nebūtų skirtingų bazių. Pavaizduokime bazę kaip trupmeną.

Matematikoje yra taisyklė, pagal kurią galite gauti laipsnį iš bazės. Toliau pateikiami statybos rezultatai.

Atrodytų, kas mums dabar trukdo savo išraišką paversti kanonine forma ir tiesiog ją išspręsti? Tai nėra taip paprasta. Prieš logaritmą neturėtų būti trupmenų. Ištaisykime šią situaciją! Trupmenas leidžiama naudoti kaip laipsnius.

Atitinkamai.

Jei pagrindai yra vienodi, galime pašalinti logaritmus ir sulyginti pačias išraiškas. Taip situacija taps daug paprastesnė nei buvo. Liks elementari lygtis, kurią kiekvienas iš mūsų mokėjome išspręsti dar 8 ar net 7 klasėje. Skaičiavimus galite atlikti patys.

Gavome vienintelę teisingą šios logaritminės lygties šaknį. Logaritminės lygties sprendimo pavyzdžiai yra gana paprasti, ar ne? Dabar galėsite savarankiškai susidoroti su net sudėtingiausiomis pasiruošimo vieningam valstybiniam egzaminui ir jo išlaikymo užduotis.

Koks rezultatas?

Bet kokių logaritminių lygčių atveju mes vadovaujamės viena labai svarbia taisykle. Reikia elgtis taip, kad išraiška būtų sumažinta iki kuo paprastesnės formos. Tokiu atveju turėsite daugiau šansų ne tik teisingai išspręsti užduotį, bet ir atlikti ją kuo paprasčiau bei logiškiau. Būtent taip visada dirba matematikai.

Labai nerekomenduojame ieškoti sunkių kelių, ypač šiuo atveju. Prisiminkite keletą paprastų taisyklių, kurios leis jums pakeisti bet kokią išraišką. Pavyzdžiui, sumažinkite du ar tris logaritmus iki tos pačios bazės arba gaukite galią iš bazės ir laimėkite.

Taip pat verta prisiminti, kad logaritminių lygčių sprendimas reikalauja nuolatinės praktikos. Palaipsniui pereisite prie vis sudėtingesnių struktūrų, o tai leis jums užtikrintai išspręsti visus vieningo valstybinio egzamino uždavinių variantus. Iš anksto pasiruoškite egzaminams ir sėkmės!

Logaritminių lygčių sprendimas. 1 dalis.

Logaritminė lygtis yra lygtis, kurioje nežinomasis yra po logaritmo ženklu (ypač logaritmo pagrindu).

Paprasčiausias logaritminė lygtis turi formą:

Bet kokios logaritminės lygties sprendimas apima perėjimą nuo logaritmų prie išraiškų logaritmų ženklu. Tačiau šis veiksmas išplečia leistinų lygties verčių diapazoną ir gali sukelti pašalinių šaknų atsiradimą. Kad neatsirastų svetimų šaknų, galite tai padaryti vienu iš trijų būdų:

1. Atlikite lygiavertį perėjimą nuo pradinės lygties iki sistemos, apimančios

priklausomai nuo to, kuri nelygybė ar paprastesnė.

Jei lygtyje yra nežinomasis logaritmo bazėje:

tada einame į sistemą:

2. Atskirai raskite priimtinų lygties verčių diapazoną, tada išspręskite lygtį ir patikrinkite, ar rasti sprendiniai atitinka lygtį.

3. Išspręskite lygtį ir tada patikrinkite: rastus sprendinius pakeiskite į pradinę lygtį ir patikrinkite, ar gauname teisingą lygybę.

Bet kokio sudėtingumo logaritminė lygtis galiausiai visada redukuojama iki paprasčiausios logaritminės lygties.

Visas logaritmines lygtis galima suskirstyti į keturis tipus:

1 . Lygtys, kuriose yra logaritmų tik iki pirmos laipsnio. Transformacijų ir panaudojimo pagalba jie įvedami į formą

Pavyzdys. Išspręskime lygtį:

Sulyginkime po logaritmo ženklu esančias išraiškas:

Patikrinkime, ar mūsų lygties šaknis tenkina:

Taip, tai tenkina.

Atsakymas: x=5

2 . Lygtys, kuriose yra logaritmų laipsniams, išskyrus 1 (ypač trupmenos vardiklyje). Tokias lygtis galima išspręsti naudojant įvedant kintamojo pakeitimą.

Pavyzdys. Išspręskime lygtį:

Raskime ODZ lygtį:

Lygtyje yra logaritmų kvadratas, todėl ją galima išspręsti pakeitus kintamąjį.

Svarbu! Prieš įvesdami pakeitimą, turite „išskirti“ logaritmus, kurie yra lygties dalis, į „plytas“, naudodami logaritmų savybes.

„Ištraukiant“ logaritmus svarbu labai atsargiai naudoti logaritmų savybes:

Be to, čia yra dar vienas subtilus taškas, o norėdami išvengti dažnos klaidos, naudosime tarpinę lygybę: logaritmo laipsnį parašysime tokia forma:

Lygiai taip pat

Pakeiskime gautas išraiškas į pradinę lygtį. Mes gauname:

Dabar matome, kad nežinomasis yra lygtyje kaip dalis . Pristatome pakaitalą: . Kadangi jis gali turėti bet kokią realią reikšmę, kintamajam netaikome jokių apribojimų.

Logaritminės lygtys. Mes ir toliau svarstome Vieningo valstybinio matematikos egzamino B dalies uždavinius. Kai kurių lygčių sprendimus jau išnagrinėjome straipsniuose „“, „“. Šiame straipsnyje apžvelgsime logaritmines lygtis. Iš karto pasakysiu, kad sprendžiant tokias lygtis vieningo valstybinio egzamino metu nebus jokių sudėtingų transformacijų. Jie yra paprasti.

Pakanka žinoti ir suprasti pagrindinį logaritminį tapatumą, žinoti logaritmo savybes. Atkreipkite dėmesį, kad išsprendę PRIVALOTE atlikti patikrinimą – gautą reikšmę pakeiskite į pradinę lygtį ir apskaičiuokite, galų gale turėtumėte gauti teisingą lygybę.

Apibrėžimas:

Skaičiaus logaritmas iki bazės b yra eksponentas.į kurią b turi būti pakeltas norint gauti a.

Pavyzdžiui:

Log 3 9 = 2, nes 3 2 = 9

Logaritmų savybės:

Ypatingi logaritmų atvejai:

Išspręskime problemas. Pirmajame pavyzdyje atliksime patikrinimą. Ateityje patikrinkite patys.

Raskite lygties šaknį: log 3 (4–x) = 4

Kadangi log b a = x b x = a, tai

3 4 = 4 – x

x = 4–81

x = – 77

Egzaminas:

3 žurnalas (4–(–77)) = 4

log 3 81 = 4

3 4 = 81 Teisingai.

Atsakymas: 77

Spręskite patys:

Raskite lygties šaknį: log 2 (4 – x) = 7

Raskite lygties log 5 šaknį(4 + x) = 2

Mes naudojame pagrindinę logaritminę tapatybę.

Kadangi log a b = x b x = a, tai

5 2 = 4 + x

x = 5 2 – 4

x = 21

Egzaminas:

log 5 (4 + 21) = 2

log 5 25 = 2

5 2 = 25 Teisingai.

Atsakymas: 21

Raskite lygties šaknį log 3 (14 – x) = log 3 5.

Vyksta tokia savybė, jos reikšmė tokia: jei kairėje ir dešinėje lygties pusėse turime logaritmus su ta pačia baze, tai po logaritmų ženklus galime sutapatinti išraiškas.

14 – x = 5

x=9

Atlikite patikrinimą.

Atsakymas: 9

Spręskite patys:

Raskite lygties šaknį log 5 (5 – x) = log 5 3.

Raskite lygties šaknį: log 4 (x + 3) = log 4 (4x – 15).

Jei log c a = log c b, tai a = b

x + 3 = 4x – 15

3x = 18

x=6

Atlikite patikrinimą.

Atsakymas: 6

Raskite lygties log 1/8 (13 – x) = – 2 šaknį.

(1/8) –2 = 13 – x

8 2 = 13 – x

x = 13–64

x = – 51

Atlikite patikrinimą.

Nedidelis papildymas – turtas čia naudojamas

laipsnių ().

Atsakymas: 51

Spręskite patys:

Raskite lygties šaknį: log 1/7 (7 – x) = – 2

Raskite lygties šaknį log 2 (4 – x) = 2 log 2 5.

Paverskime dešinę pusę. Naudokimės turtu:

log a b m = m∙log a b

log 2 (4 – x) = log 2 5 2

Jei log c a = log c b, tai a = b

4 – x = 5 2

4 – x = 25

x = – 21

Atlikite patikrinimą.

Atsakymas: 21

Spręskite patys:

Raskite lygties šaknį: log 5 (5 – x) = 2 log 5 3

Išspręskite lygtį log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11)

Jei log c a = log c b, tai a = b

x 2 + 4x = x 2 + 11

4x = 11

x = 2,75

Atlikite patikrinimą.

Atsakymas: 2,75

Spręskite patys:

Raskite lygties log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10) šaknį.

Išspręskite lygtį log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) +1.

Būtina gauti formos išraišką dešinėje lygties pusėje:

2 žurnalas (......)

Mes atstovaujame 1 kaip bazinį 2 logaritmą:

1 = log 2 2

log c (ab) = log c a + log c b

2 žurnalas (2 – x) = 2 log 2 (2 – 3x) + 2 log 2

Mes gauname:

2 žurnalas (2 – x) = 2 log 2 (2 – 3x)

Jei log c a = log c b, tai a = b, tada

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

x = 0,4

Atlikite patikrinimą.

Atsakymas: 0,4

Spręskite patys: Toliau reikia išspręsti kvadratinę lygtį. Beje,

šaknys yra 6 ir – 4.

Šaknis "-4" nėra sprendimas, nes logaritmo bazė turi būti didesnė už nulį, o su "– 4" tai lygu " – 5". Sprendimas yra 6 šaknis.Atlikite patikrinimą.

Atsakymas: 6.

R valgyti savarankiškai:

Išspręskite lygtį log x –5 49 = 2. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakykite mažesne.

Kaip matėte, jokių sudėtingų transformacijų su logaritminėmis lygtimisNr. Pakanka žinoti logaritmo savybes ir mokėti jas taikyti. USE uždaviniuose, susijusiuose su logaritminių išraiškų transformavimu, atliekamos rimtesnės transformacijos ir reikalingi gilesni sprendimo įgūdžiai. Mes pažvelgsime į tokius pavyzdžius, nepraleiskite jų!Sėkmės tau!!!

Pagarbiai Aleksandras Krutitskichas.

P.S. Būčiau dėkingas, jei papasakotumėte apie svetainę socialiniuose tinkluose.

pagrindinės savybės.

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

identiškais pagrindais

Log6 4 + log6 9.

Dabar šiek tiek apsunkinkime užduotį.

Logaritmų sprendimo pavyzdžiai

Ką daryti, jei logaritmo pagrindas arba argumentas yra laipsnis? Tada šio laipsnio rodiklis gali būti paimtas iš logaritmo ženklo pagal šias taisykles:

Žinoma, visos šios taisyklės turi prasmę, jei laikomasi logaritmo ODZ: a > 0, a ≠ 1, x >

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

Perėjimas prie naujo pagrindo

Pateikiame logaritmo logaksą. Tada bet kurio skaičiaus c, kurio c > 0 ir c ≠ 1, lygybė yra teisinga:

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

Taip pat žiūrėkite:

Pagrindinės logaritmo savybės

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Rodiklis yra 2,718281828…. Norėdami prisiminti eksponentą, galite išstudijuoti taisyklę: eksponentas yra lygus 2,7 ir du kartus už Levo Nikolajevičiaus Tolstojaus gimimo metus.

Pagrindinės logaritmų savybės

Žinodami šią taisyklę, žinosite ir tikslią eksponento vertę, ir Levo Tolstojaus gimimo datą.

Logaritmų pavyzdžiai

Logaritminės išraiškos

1 pavyzdys.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Naudodami savybes 3.5 apskaičiuojame

2.

3.

4. Kur .

2 pavyzdys. Raskite x jei

3 pavyzdys. Pateikiame logaritmų reikšmę

Apskaičiuokite log(x), jei

Pagrindinės logaritmų savybės

Logaritmus, kaip ir bet kokius skaičius, galima visais būdais sudėti, atimti ir transformuoti. Bet kadangi logaritmai nėra visiškai įprasti skaičiai, čia yra taisyklės, kurios vadinamos pagrindinės savybės.

Jūs tikrai turite žinoti šias taisykles – be jų nepavyks išspręsti nė vienos rimtos logaritminės problemos. Be to, jų labai mažai – viską gali išmokti per vieną dieną. Taigi pradėkime.

Logaritmų pridėjimas ir atėmimas

Apsvarstykite du logaritmus su tomis pačiomis bazėmis: logax ir logay. Tada juos galima pridėti ir atimti, ir:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Taigi logaritmų suma lygi sandaugos logaritmui, o skirtumas lygus koeficiento logaritmui. Atkreipkite dėmesį: pagrindinis dalykas čia yra identiškais pagrindais. Jei priežastys skiriasi, šios taisyklės neveikia!

Šios formulės padės apskaičiuoti logaritminę išraišką net tada, kai neatsižvelgiama į atskiras jos dalis (žr. pamoką „Kas yra logaritmas“). Pažvelkite į pavyzdžius ir pamatykite:

Kadangi logaritmai turi tas pačias bazes, naudojame sumos formulę:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log2 48 − log2 3.

Pagrindai yra vienodi, mes naudojame skirtumo formulę:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log3 135 − log3 5.

Vėlgi bazės yra tos pačios, todėl turime:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kaip matote, pradinės išraiškos yra sudarytos iš „blogų“ logaritmų, kurie nėra skaičiuojami atskirai. Bet po transformacijų gaunami visiškai normalūs skaičiai. Daugelis testų yra pagrįsti šiuo faktu. Taip, vieningo valstybinio egzamino metu į testus panašūs posakiai siūlomi labai rimtai (kartais praktiškai be pakeitimų).

Rodiklio išskyrimas iš logaritmo

Nesunku pastebėti, kad paskutinė taisyklė seka pirmąsias dvi. Bet vis tiek geriau tai atsiminti - kai kuriais atvejais tai žymiai sumažins skaičiavimų skaičių.

Žinoma, visos šios taisyklės turi prasmę, jei laikomasi logaritmo ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ir dar vienas dalykas: išmokite taikyti visas formules ne tik iš kairės į dešinę, bet ir atvirkščiai , t.y. Skaičius prieš logaritmo ženklą galite įvesti į patį logaritmą. Tai yra tai, ko dažniausiai reikia.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log7 496.

Atsikratykime argumento laipsnio naudodami pirmąją formulę:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

Atkreipkite dėmesį, kad vardiklyje yra logaritmas, kurio pagrindas ir argumentas yra tikslios galios: 16 = 24; 49 = 72. Turime:

Manau, kad paskutinis pavyzdys reikalauja šiek tiek paaiškinimo. Kur dingo logaritmai? Iki pat paskutinės akimirkos dirbame tik su vardikliu.

Logaritminės formulės. Logaritmų sprendimų pavyzdžiai.

Pateikėme ten stovinčio logaritmo bazę ir argumentą galių pavidalu ir išėmėme eksponentus - gavome „trijų aukštų“ trupmeną.

Dabar pažvelkime į pagrindinę dalį. Skaitiklyje ir vardiklyje yra tas pats skaičius: log2 7. Kadangi log2 7 ≠ 0, tai trupmeną galime sumažinti – vardiklyje liks 2/4. Pagal aritmetikos taisykles keturis galima perkelti į skaitiklį, kas ir buvo padaryta. Rezultatas buvo atsakymas: 2.

Perėjimas prie naujo pagrindo

Kalbėdamas apie logaritmų sudėjimo ir atėmimo taisykles, konkrečiai pabrėžiau, kad jos veikia tik su tais pačiais pagrindais. O jei priežastys kitokios? O jei jie nėra tikslūs to paties skaičiaus laipsniai?

Į pagalbą ateina perėjimo prie naujo pagrindo formulės. Suformuluokime juos teoremos forma:

Pateikiame logaritmo logaksą. Tada bet kurio skaičiaus c, kurio c > 0 ir c ≠ 1, lygybė yra teisinga:

Konkrečiai, jei nustatome c = x, gauname:

Iš antrosios formulės išplaukia, kad logaritmo bazę ir argumentą galima sukeisti vietomis, tačiau tokiu atveju „apverčiama“ visa išraiška, t.y. vardiklyje atsiranda logaritmas.

Šios formulės retai randamos įprastose skaitinėse išraiškose. Įvertinti, kiek jos patogios, galima tik sprendžiant logaritmines lygtis ir nelygybes.

Tačiau yra problemų, kurių niekaip nepavyks išspręsti, išskyrus persikėlimą į naują fondą. Pažvelkime į porą iš šių:

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log5 16 log2 25.

Atkreipkite dėmesį, kad abiejų logaritmų argumentuose yra tikslios galios. Išimkime rodiklius: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Dabar „atsukkime“ antrąjį logaritmą:

Kadangi sandauga nesikeičia pertvarkant veiksnius, ramiai padauginome keturis ir du, o tada nagrinėjome logaritmus.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log9 100 lg 3.

Pirmojo logaritmo pagrindas ir argumentas yra tikslios galios. Užsirašykime tai ir atsikratykime rodiklių:

Dabar atsikratykime dešimtainio logaritmo, pereidami prie naujos bazės:

Pagrindinė logaritminė tapatybė

Dažnai sprendimo procese skaičių reikia pateikti kaip logaritmą tam tikram pagrindui. Šiuo atveju mums padės šios formulės:

Pirmuoju atveju skaičius n tampa veiksniu argumente. Skaičius n gali būti visiškai bet koks, nes tai tik logaritmo reikšmė.

Antroji formulė iš tikrųjų yra perfrazuotas apibrėžimas. Taip jis vadinasi:.

Tiesą sakant, kas atsitiks, jei skaičius b padidintas iki tokios laipsnio, kad skaičius b iki šios laipsnio duotų skaičių a? Teisingai: rezultatas yra tas pats skaičius a. Dar kartą atidžiai perskaitykite šią pastraipą – daugeliui žmonių ji užstringa.

Kaip ir formulės, skirtos pereiti prie naujos bazės, pagrindinė logaritminė tapatybė kartais yra vienintelis galimas sprendimas.

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

Atkreipkite dėmesį, kad log25 64 = log5 8 – tiesiog paėmė kvadratą iš logaritmo pagrindo ir argumento. Atsižvelgdami į galių dauginimo iš tos pačios bazės taisykles, gauname:

Jei kas nežino, tai buvo tikra užduotis iš unifikuoto valstybinio egzamino :)

Logaritminis vienetas ir logaritminis nulis

Baigdamas pateiksiu dvi tapatybes, kurias vargu ar galima pavadinti savybėmis – veikiau tai yra logaritmo apibrėžimo pasekmės. Jie nuolat atsiranda problemų ir, stebėtinai, sukelia problemų net „pažengusiems“ studentams.

1. logaa = 1 yra. Vieną kartą ir visiems laikams atsiminkite: logaritmas bet kuriam tos bazės pagrindui a yra lygus vienetui.
2. loga 1 = 0 yra. Bazė a gali būti bet kokia, bet jei argumente yra vienas, logaritmas lygus nuliui! Kadangi a0 = 1 yra tiesioginė apibrėžimo pasekmė.

Tai visos savybės. Būtinai praktikuokite juos pritaikydami praktiškai! Pamokos pradžioje atsisiųskite cheat lapą, atsispausdinkite ir išspręskite problemas.

Taip pat žiūrėkite:

B logaritmas iki a pagrindo reiškia išraišką. Apskaičiuoti logaritmą reiškia rasti laipsnį x (), kai lygybė tenkinama

Pagrindinės logaritmo savybės

Būtina žinoti aukščiau pateiktas savybes, nes jų pagrindu išsprendžiamos beveik visos su logaritmais susijusios problemos ir pavyzdžiai. Likusias egzotines savybes galima gauti atliekant matematines manipuliacijas su šiomis formulėmis

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Skaičiuodami logaritmų sumos ir skirtumo formulę (3.4) susiduri gana dažnai. Likusieji yra šiek tiek sudėtingi, tačiau atliekant daugybę užduočių jie yra būtini norint supaprastinti sudėtingas išraiškas ir apskaičiuoti jų reikšmes.

Dažni logaritmų atvejai

Kai kurie įprasti logaritmai yra tie, kurių bazė yra net dešimt, eksponentinė arba dvi.
Logaritmas iki dešimties pagrindo paprastai vadinamas dešimtainiu logaritmu ir tiesiog žymimas lg(x).

Iš įrašo aišku, kad pagrindai įraše neparašyti. Pavyzdžiui

Natūralusis logaritmas yra logaritmas, kurio bazė yra eksponentas (žymimas ln(x)).

Rodiklis yra 2,718281828…. Norėdami prisiminti eksponentą, galite išstudijuoti taisyklę: eksponentas yra lygus 2,7 ir du kartus už Levo Nikolajevičiaus Tolstojaus gimimo metus. Žinodami šią taisyklę, žinosite ir tikslią eksponento vertę, ir Levo Tolstojaus gimimo datą.

Ir dar vienas svarbus logaritmas dviem pagrindams žymimas

Funkcijos logaritmo išvestinė lygi vienetui, padalytam iš kintamojo

Integralinis arba antiderivinis logaritmas nustatomas pagal ryšį

Pateiktos medžiagos pakanka, kad išspręstumėte plačią su logaritmais ir logaritmais susijusių problemų klasę. Kad padėčiau suprasti medžiagą, pateiksiu tik keletą bendrų pavyzdžių iš mokyklos programos ir universitetų.

Logaritmų pavyzdžiai

Logaritminės išraiškos

1 pavyzdys.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Naudodami savybes 3.5 apskaičiuojame

2.
Pagal logaritmų skirtumo savybę turime

3.
Naudodami savybes 3.5 randame

4. Kur .

Iš pažiūros sudėtinga išraiška supaprastinama, kad būtų suformuota naudojant daugybę taisyklių

Logaritmo reikšmių paieška

2 pavyzdys. Raskite x jei

Sprendimas. Skaičiavimui taikome paskutinio termino 5 ir 13 savybių

Įrašome tai ir gedime

Kadangi bazės yra lygios, išraiškas sulyginame

Logaritmai. Pradinis lygis.

Tegu pateikiama logaritmų reikšmė

Apskaičiuokite log(x), jei

Sprendimas: Paimkime kintamojo logaritmą, kad parašytume logaritmą per jo terminų sumą

Tai tik mūsų pažinties su logaritmais ir jų savybėmis pradžia. Praktikuokite skaičiavimus, praturtinkite savo praktinius įgūdžius – greitai jums prireiks įgytų žinių sprendžiant logaritmines lygtis. Išstudijavę pagrindinius tokių lygčių sprendimo būdus, jūsų žinias išplėsime į kitą ne mažiau svarbią temą - logaritmines nelygybes...

Pagrindinės logaritmų savybės

Logaritmus, kaip ir bet kokius skaičius, galima visais būdais sudėti, atimti ir transformuoti. Bet kadangi logaritmai nėra visiškai įprasti skaičiai, čia yra taisyklės, kurios vadinamos pagrindinės savybės.

Jūs tikrai turite žinoti šias taisykles – be jų nepavyks išspręsti nė vienos rimtos logaritminės problemos. Be to, jų labai mažai – viską gali išmokti per vieną dieną. Taigi pradėkime.

Logaritmų pridėjimas ir atėmimas

Apsvarstykite du logaritmus su tomis pačiomis bazėmis: logax ir logay. Tada juos galima pridėti ir atimti, ir:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Taigi logaritmų suma lygi sandaugos logaritmui, o skirtumas lygus koeficiento logaritmui. Atkreipkite dėmesį: pagrindinis dalykas čia yra identiškais pagrindais. Jei priežastys skiriasi, šios taisyklės neveikia!

Šios formulės padės apskaičiuoti logaritminę išraišką net tada, kai neatsižvelgiama į atskiras jos dalis (žr. pamoką „Kas yra logaritmas“). Pažvelkite į pavyzdžius ir pamatykite:

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log6 4 + log6 9.

Kadangi logaritmai turi tas pačias bazes, naudojame sumos formulę:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log2 48 − log2 3.

Pagrindai yra vienodi, mes naudojame skirtumo formulę:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log3 135 − log3 5.

Vėlgi bazės yra tos pačios, todėl turime:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kaip matote, pradinės išraiškos yra sudarytos iš „blogų“ logaritmų, kurie nėra skaičiuojami atskirai. Bet po transformacijų gaunami visiškai normalūs skaičiai. Daugelis testų yra pagrįsti šiuo faktu. Taip, vieningo valstybinio egzamino metu į testus panašūs posakiai siūlomi labai rimtai (kartais praktiškai be pakeitimų).

Rodiklio išskyrimas iš logaritmo

Dabar šiek tiek apsunkinkime užduotį. Ką daryti, jei logaritmo pagrindas arba argumentas yra laipsnis? Tada šio laipsnio rodiklis gali būti paimtas iš logaritmo ženklo pagal šias taisykles:

Nesunku pastebėti, kad paskutinė taisyklė seka pirmąsias dvi. Bet vis tiek geriau tai atsiminti - kai kuriais atvejais tai žymiai sumažins skaičiavimų skaičių.

Žinoma, visos šios taisyklės turi prasmę, jei laikomasi logaritmo ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ir dar vienas dalykas: išmokite taikyti visas formules ne tik iš kairės į dešinę, bet ir atvirkščiai , t.y. Skaičius prieš logaritmo ženklą galite įvesti į patį logaritmą.

Kaip išspręsti logaritmus

Tai yra tai, ko dažniausiai reikia.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log7 496.

Atsikratykime argumento laipsnio naudodami pirmąją formulę:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

Atkreipkite dėmesį, kad vardiklyje yra logaritmas, kurio pagrindas ir argumentas yra tikslios galios: 16 = 24; 49 = 72. Turime:

Manau, kad paskutinis pavyzdys reikalauja šiek tiek paaiškinimo. Kur dingo logaritmai? Iki pat paskutinės akimirkos dirbame tik su vardikliu. Pateikėme ten stovinčio logaritmo bazę ir argumentą galių pavidalu ir išėmėme eksponentus - gavome „trijų aukštų“ trupmeną.

Dabar pažvelkime į pagrindinę dalį. Skaitiklyje ir vardiklyje yra tas pats skaičius: log2 7. Kadangi log2 7 ≠ 0, tai trupmeną galime sumažinti – vardiklyje liks 2/4. Pagal aritmetikos taisykles keturis galima perkelti į skaitiklį, kas ir buvo padaryta. Rezultatas buvo atsakymas: 2.

Perėjimas prie naujo pagrindo

Kalbėdamas apie logaritmų sudėjimo ir atėmimo taisykles, konkrečiai pabrėžiau, kad jos veikia tik su tais pačiais pagrindais. O jei priežastys kitokios? O jei jie nėra tikslūs to paties skaičiaus laipsniai?

Į pagalbą ateina perėjimo prie naujo pagrindo formulės. Suformuluokime juos teoremos forma:

Pateikiame logaritmo logaksą. Tada bet kurio skaičiaus c, kurio c > 0 ir c ≠ 1, lygybė yra teisinga:

Konkrečiai, jei nustatome c = x, gauname:

Iš antrosios formulės išplaukia, kad logaritmo bazę ir argumentą galima sukeisti vietomis, tačiau tokiu atveju „apverčiama“ visa išraiška, t.y. vardiklyje atsiranda logaritmas.

Šios formulės retai randamos įprastose skaitinėse išraiškose. Įvertinti, kiek jos patogios, galima tik sprendžiant logaritmines lygtis ir nelygybes.

Tačiau yra problemų, kurių niekaip nepavyks išspręsti, išskyrus persikėlimą į naują fondą. Pažvelkime į porą iš šių:

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log5 16 log2 25.

Atkreipkite dėmesį, kad abiejų logaritmų argumentuose yra tikslios galios. Išimkime rodiklius: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Dabar „atsukkime“ antrąjį logaritmą:

Kadangi sandauga nesikeičia pertvarkant veiksnius, ramiai padauginome keturis ir du, o tada nagrinėjome logaritmus.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log9 100 lg 3.

Pirmojo logaritmo pagrindas ir argumentas yra tikslios galios. Užsirašykime tai ir atsikratykime rodiklių:

Dabar atsikratykime dešimtainio logaritmo, pereidami prie naujos bazės:

Pagrindinė logaritminė tapatybė

Dažnai sprendimo procese skaičių reikia pateikti kaip logaritmą tam tikram pagrindui. Šiuo atveju mums padės šios formulės:

Pirmuoju atveju skaičius n tampa veiksniu argumente. Skaičius n gali būti visiškai bet koks, nes tai tik logaritmo reikšmė.

Antroji formulė iš tikrųjų yra perfrazuotas apibrėžimas. Taip jis vadinasi:.

Tiesą sakant, kas atsitiks, jei skaičius b padidintas iki tokios laipsnio, kad skaičius b iki šios laipsnio duotų skaičių a? Teisingai: rezultatas yra tas pats skaičius a. Dar kartą atidžiai perskaitykite šią pastraipą – daugeliui žmonių ji užstringa.

Kaip ir formulės, skirtos pereiti prie naujos bazės, pagrindinė logaritminė tapatybė kartais yra vienintelis galimas sprendimas.

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

Atkreipkite dėmesį, kad log25 64 = log5 8 – tiesiog paėmė kvadratą iš logaritmo pagrindo ir argumento. Atsižvelgdami į galių dauginimo iš tos pačios bazės taisykles, gauname:

Jei kas nežino, tai buvo tikra užduotis iš unifikuoto valstybinio egzamino :)

Logaritminis vienetas ir logaritminis nulis

Baigdamas pateiksiu dvi tapatybes, kurias vargu ar galima pavadinti savybėmis – veikiau tai yra logaritmo apibrėžimo pasekmės. Jie nuolat atsiranda problemų ir, stebėtinai, sukelia problemų net „pažengusiems“ studentams.

1. logaa = 1 yra. Vieną kartą ir visiems laikams atsiminkite: logaritmas bet kuriam tos bazės pagrindui a yra lygus vienetui.
2. loga 1 = 0 yra. Bazė a gali būti bet kokia, bet jei argumente yra vienas, logaritmas lygus nuliui! Kadangi a0 = 1 yra tiesioginė apibrėžimo pasekmė.

Tai visos savybės. Būtinai praktikuokite juos pritaikydami praktiškai! Pamokos pradžioje atsisiųskite cheat lapą, atsispausdinkite ir išspręskite problemas.