Jie priklauso matematikos trigonometrijos skyriui. Jų esmė yra sumažinti trigonometrines kampų funkcijas į „paprastesnę“ formą. Apie jų pažinimo svarbą galima daug rašyti. Šių formulių jau yra 32!

Neišsigąskite, jums jų nereikia mokytis, kaip ir daugelio kitų matematikos kurso formulių. Nereikia pildyti galvos nereikalinga informacija, reikia atsiminti „raktus“ ar dėsnius, o prisiminti ar išvesti reikiamą formulę nebus problemų. Beje, kai rašau straipsniuose "... reikia mokytis!!!" – tai reiškia, kad to tikrai reikia išmokti.

Jei nesate susipažinę su redukcijos formulėmis, tada jų išvedimo paprastumas jus maloniai nustebins - yra „dėsnis“, kurio pagalba tai galima lengvai padaryti. Ir jūs galite parašyti bet kurią iš 32 formulių per 5 sekundes.

Išvardinsiu tik keletą uždavinių, kurie atsiras vieningame valstybiniame matematikos egzamine, kur be šių formulių žinių yra didelė tikimybė, kad nepavyks jas išspręsti. Pavyzdžiui:

– stačiojo trikampio sprendimo uždaviniai, kai kalbame apie išorinį kampą, ir uždaviniai vidiniams kampams, kai kurios iš šių formulių taip pat būtinos.

– trigonometrinių išraiškų reikšmių skaičiavimo užduotys; skaitinių trigonometrinių išraiškų konvertavimas; pažodinių trigonometrinių išraiškų konvertavimas.

– liestinės ir geometrinės liestinės reikšmės uždaviniai, reikalinga liestinės redukcijos formulė, taip pat kitos problemos.

– stereometrines problemas, sprendžiant dažnai reikia nustatyti kampo, kuris yra nuo 90 iki 180 laipsnių, sinusą arba kosinusą.

Ir tai tik tie punktai, kurie yra susiję su vieningu valstybiniu egzaminu. Ir pačiame algebros kurse yra daug problemų, kurių sprendimas tiesiog negali būti atliktas be redukcijos formulių žinių.

Taigi, ką tai lemia ir kaip nurodytos formulės padeda mums lengviau spręsti problemas?

Pavyzdžiui, turite nustatyti bet kurio kampo nuo 0 iki 450 laipsnių sinusą, kosinusą, liestinę arba kotangentą:

alfa kampas svyruoja nuo 0 iki 90 laipsnių

* * *

Taigi, būtina suprasti čia veikiantį „įstatymą“:

1. Nustatykite funkcijos ženklą atitinkamame kvadrante.

Leiskite man jums priminti:

2. Atsiminkite šiuos dalykus:

funkcija pakeičiama į kofunkciją

funkcija nekeičiama į kofunkciją

Ką reiškia sąvoka – funkcija keičiasi į kofunkciją?

Atsakymas: sinuso pokyčiai į kosinusą arba atvirkščiai, tangentas į kotangentą arba atvirkščiai.

tai viskas!

Dabar pagal pateiktą įstatymą patys surašysime kelias mažinimo formules:

Šis kampas yra trečiajame ketvirtyje, o kosinusas trečiajame ketvirtyje yra neigiamas. Mes nekeičiame funkcijos į kofunkciją, nes turime 180 laipsnių, o tai reiškia:

Kampas yra pirmame ketvirtyje, o sinusas pirmajame ketvirtyje yra teigiamas. Mes nekeičiame funkcijos į kofunkciją, nes turime 360 ​​laipsnių, o tai reiškia:

Čia yra dar vienas papildomas patvirtinimas, kad gretimų kampų sinusai yra lygūs:

Kampas yra antrajame ketvirtyje, sinusas antrajame ketvirtyje yra teigiamas. Mes nekeičiame funkcijos į kofunkciją, nes turime 180 laipsnių, o tai reiškia:

Ištirkite kiekvieną formulę mintyse arba raštu ir būsite įsitikinę, kad nėra nieko sudėtingo.

***

Straipsnyje apie sprendimą buvo pažymėtas toks faktas - vieno stačiojo trikampio smailiojo kampo sinusas yra lygus kito jame esančio smailiojo kampo kosinusui.

Pamokos tema

• Sinuso, kosinuso ir tangento pokyčiai didėjant kampui.

Pamokos tikslai

• Susipažinkite su naujais apibrėžimais ir prisiminkite kai kuriuos jau išnagrinėtus.
• Susipažinkite su sinuso, kosinuso ir tangento reikšmių pokyčių modeliu, kai kampas didėja.
• Lavinamieji – ugdyti mokinių dėmesį, atkaklumą, atkaklumą, loginį mąstymą, matematinę kalbą.
• Ugdomasis - per pamoką ugdykite dėmesingą požiūrį vienas į kitą, ugdykite gebėjimą išklausyti bendražygius, savitarpio pagalbą ir savarankiškumą.

Pamokos tikslai

• Patikrinkite mokinių žinias.

Pamokos planas

1. Anksčiau studijuotos medžiagos kartojimas.
2. Kartojimo užduotys.
3. Sinuso, kosinuso ir tangento pokyčiai didėjant kampui.
4. Praktinis pritaikymas.

Anksčiau studijuotos medžiagos kartojimas

Pradėkime nuo pat pradžių ir prisiminkime, kas bus naudinga atgaivinant atmintį. Kas yra sinusas, kosinusas ir tangentas ir kuriai geometrijos šakai priklauso šios sąvokos?

Trigonometrija- tai toks sudėtingas graikiškas žodis: trigononas - trikampis, metro - matuoti. Todėl graikų kalba tai reiškia: matuojamas trikampiais.

Dalykai > Matematika > Matematika 8 kl

Apibrėžimas. Redukcijos formulės yra formulės, leidžiančios pereiti nuo trigonometrinių formos funkcijų prie argumentų funkcijų. Jų pagalba savavališko kampo sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas gali būti sumažintas iki kampo sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento iš intervalo nuo 0 iki 90 laipsnių (nuo 0 iki radianų). Taigi, sumažinimo formulės leidžia pereiti prie darbo su kampais 90 laipsnių ribose, o tai neabejotinai yra labai patogu.

Sumažinimo formulės:

Yra dvi redukcijos formulių naudojimo taisyklės.

1. Jei kampas gali būti pavaizduotas kaip (π/2 ±a) arba (3*π/2 ±a), tada keičiasi funkcijos pavadinimas nuodėmės į cos, cos į nuodėmę, tg į ctg, ctg į tg. Jei kampas gali būti pavaizduotas forma (π ±a) arba (2*π ±a), tada Funkcijos pavadinimas lieka nepakitęs.

Pažiūrėkite į žemiau esantį paveikslėlį, kuriame schematiškai parodyta, kada keisti ženklą, o kada ne

2. Sumažėjusios funkcijos ženklas lieka ta pati. Jei pradinė funkcija turėjo pliuso ženklą, tai sumažinta funkcija taip pat turi pliuso ženklą. Jei pradinė funkcija turėjo minuso ženklą, tai sumažinta funkcija taip pat turi minuso ženklą.

Žemiau esančiame paveikslėlyje pavaizduoti pagrindinių trigonometrinių funkcijų ženklai, priklausantys nuo ketvirčio.

Pavyzdys:

Apskaičiuokite

Naudokime redukcijos formules:

Sin(150˚) yra antrame ketvirtyje, matome, kad nuodėmės ženklas šiame ketvirtyje yra lygus „+“. Tai reiškia, kad nurodyta funkcija taip pat turės „+“ ženklą. Pritaikėme antrąją taisyklę.

Dabar 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ yra π/2. Tai yra, mes susiduriame su atveju π/2+60, todėl pagal pirmąją taisyklę funkciją keičiame iš sin į cos. Dėl to gauname Sin(150˚) = cos(60˚) = ½.

Šis straipsnis skirtas išsamiam trigonometrinių redukcijos formulių tyrimui. Pateikiamas visas redukcinių formulių sąrašas, pateikiami jų panaudojimo pavyzdžiai, formulių teisingumo įrodymas. Straipsnyje taip pat pateikiama mnemoninė taisyklė, leidžianti išvesti redukcijos formules neįsiminus kiekvienos formulės.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Sumažinimo formulės. Sąrašas

Redukcijos formulės leidžia sumažinti pagrindines savavališko dydžio kampų trigonometrines funkcijas iki kampų, esančių diapazone nuo 0 iki 90 laipsnių (nuo 0 iki π 2 radianų). Darbas su kampais nuo 0 iki 90 laipsnių yra daug patogiau nei dirbti su savavališkai didelėmis reikšmėmis, todėl sprendžiant trigonometrijos uždavinius plačiai naudojamos mažinimo formulės.

Prieš užsirašydami pačias formules, išsiaiškinkime kelis svarbius supratimui reikalingus dalykus.

• Trigonometrinių funkcijų argumentai redukcijos formulėse yra ± α + 2 π · z, π 2 ± α + 2 π · z, 3 π 2 ± α + 2 π · z formos kampai. Čia z yra bet koks sveikasis skaičius, o α yra savavališkas sukimosi kampas.
• Nebūtina išmokti visų redukcijos formulių, kurių skaičius yra gana įspūdingas. Yra mnemoninė taisyklė, leidžianti lengvai išvesti norimą formulę. Apie mnemoninę taisyklę kalbėsime vėliau.

Dabar pereikime tiesiai prie redukcijos formulių.

Sumažinimo formulės leidžia pereiti nuo darbo su savavališkai ir savavališkai dideliais kampais prie darbo su kampais nuo 0 iki 90 laipsnių. Visas formules surašykime lentelės forma.

Sumažinimo formulės

nuodėm cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos π , 2 α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z =, cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z , co sin π + α + 2 π z π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z, = α sin α + 2 π z + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 ϱ 2 - α = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

Šiuo atveju formulės rašomos radianais. Tačiau juos taip pat galite rašyti naudodami laipsnius. Pakanka tik radianus paversti laipsniais, π pakeičiant 180 laipsnių.

Redukcijos formulių naudojimo pavyzdžiai

Parodysime, kaip naudoti redukcijos formules ir kaip šios formulės naudojamos sprendžiant praktinius pavyzdžius.

Kampas po trigonometrinės funkcijos ženklu gali būti pavaizduotas ne vienu, o įvairiais būdais. Pavyzdžiui, trigonometrinės funkcijos argumentą galima pavaizduoti forma ± α + 2 π z, π 2 ± α + 2 π z, π ± α + 2 π z, 3 π 2 ± α + 2 π z. Parodykime tai.

Paimkime kampą α = 16 π 3. Šį kampą galima parašyti taip:

α = 16 π 3 = π + π 3 + 2 π 2 α = 16 π 3 = - 2 π 3 + 2 π 3 α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π

Priklausomai nuo kampo vaizdavimo, naudojama atitinkama mažinimo formulė.

Paimkime tą patį kampą α = 16 π 3 ir apskaičiuokime jo liestinę

1 pavyzdys: redukcijos formulių naudojimas

α = 16 π 3, t g α = ?

Kampą α = 16 π 3 pavaizduokime kaip α = π + π 3 + 2 π 2

Šis kampo vaizdas atitiks redukcijos formulę

t g (π + α + 2 π z) = t g α

t g 16 π 3 = t g π + π 3 + 2 π 2 = t g π 3

Naudodami lentelę nurodome liestinės reikšmę

Dabar naudojame kitą kampo α = 16 π 3 vaizdą.

2 pavyzdys: redukcijos formulių naudojimas

α = 16 π 3, t g α = ? α = – 2 π 3 + 2 π 3 t g 16 π 3 = t g - 2 π 3 + 2 π 3 = - t g 2 π 3 = - (- 3) = 3

Galiausiai, trečiajam kampo vaizdui rašome

3 pavyzdys. Redukcijos formulių naudojimas

α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α t g α = t g (3 π 2 - π 6 + 2 π 3 π = c 6 g )

Dabar pateiksime sudėtingesnių redukcijos formulių naudojimo pavyzdį

4 pavyzdys. Redukcijos formulių naudojimas

Įsivaizduokime nuodėmę 197° per smailiojo kampo sinusą ir kosinusą.

Kad galėtumėte taikyti redukcijos formules, vienoje iš formų turite pavaizduoti kampą α = 197 °

± α + 360 ° z, 90 ° ± α + 360 ° z, 180 ° ± α + 360 ° z, 270 ° ± α + 360 ° z. Pagal problemos sąlygas kampas turi būti aštrus. Atitinkamai, mes turime du būdus tai pavaizduoti:

197° = 180° + 17° 197° = 270° - 73°

Mes gauname

sin 197° = nuodėmė (180° + 17°) nuodėmė 197° = nuodėmė (270° - 73°)

Dabar pažvelkime į sinusų mažinimo formules ir išsirinksime tinkamas

sin (π + α + 2 πz) = - sinα sin (3 π 2 - α + 2 πz) = - cosα sin 197 ° = sin (180 ° + 17 ° + 360 ° z) = - sin 17 ° sin 197 ° = sin (270 ° - 73 ° + 360 ° z) = - cos 73 °

Mnemoninė taisyklė

Redukcijos formulių yra daug, ir, laimei, nereikia jų įsiminti. Yra dėsningumų, pagal kuriuos galima išvesti redukcijos formules skirtingiems kampams ir trigonometrinėms funkcijoms. Šie modeliai vadinami mnemoninėmis taisyklėmis. Mnemonika yra įsiminimo menas. Mnemoninę taisyklę sudaro trys dalys arba trys etapai.

Mnemoninė taisyklė

1. Pradinės funkcijos argumentas pateikiamas viena iš šių formų:

± α + 2 πz π 2 ± α + 2 πz π ± α + 2 πz 3 π 2 ± α + 2 πz

Kampas α turi būti nuo 0 iki 90 laipsnių.

2. Nustatomas pradinės trigonometrinės funkcijos ženklas. Dešinėje formulės pusėje parašyta funkcija turės tą patį ženklą.

3. Kampams ± α + 2 πz ir π ± α + 2 πz pradinės funkcijos pavadinimas išlieka nepakitęs, o kampams π 2 ± α + 2 πz ir 3 π 2 ± α + 2 πz atitinkamai keičiasi į „kofunkcija“. Sinusas – kosinusas. Tangentas – kotangentas.

Norėdami naudoti redukcijos formulių mnemoninį vadovą, turite mokėti nustatyti trigonometrinių funkcijų požymius pagal vieneto apskritimo ketvirčius. Pažvelkime į mnemoninės taisyklės naudojimo pavyzdžius.

1 pavyzdys: mnemoninės taisyklės naudojimas

Užrašykime cos π 2 - α + 2 πz ir t g π - α + 2 πz redukcijos formules. α yra pirmojo ketvirčio žurnalas.

1. Kadangi pagal sąlygą α yra pirmojo ketvirčio log, praleidžiame pirmąjį taisyklės tašką.

2. Nustatykite funkcijų cos π 2 - α + 2 πz ir t g π - α + 2 πz požymius. Kampas π 2 - α + 2 πz taip pat yra pirmojo ketvirčio kampas, o kampas π - α + 2 πz yra antrajame ketvirtyje. Pirmajame ketvirtyje kosinuso funkcija yra teigiama, o antrojo ketvirčio liestinė turi minuso ženklą. Užsirašykime, kaip šiame etape atrodys reikalingos formulės.

cos π 2 - α + 2 πz = + t g π - α + 2 πz = -

3. Pagal trečiąjį tašką kampui π 2 - α + 2 π funkcijos pavadinimas pasikeičia į Konfucijus, o kampui π - α + 2 πz išlieka toks pat. Užsirašykime:

cos π 2 - α + 2 πz = + sin α t g π - α + 2 πz = - t g α

Dabar pažvelkime į aukščiau pateiktas formules ir įsitikinkite, kad mnemoninė taisyklė veikia.

Pažiūrėkime į pavyzdį, kurio specifinis kampas α = 777°. Sumažinkime sinuso alfa iki smailiojo kampo trigonometrinės funkcijos.

2 pavyzdys: mnemoninės taisyklės naudojimas

1. Įsivaizduokite kampą α = 777 ° reikiama forma

777° = 57° + 360° 2 777° = 90° - 33° + 360° 2

2. Pradinis kampas yra pirmojo ketvirčio kampas. Tai reiškia, kad kampo sinusas turi teigiamą ženklą. Dėl to turime:

3. sin 777° = sin (57° + 360° 2) = sin 57° sin 777° = nuodėmė (90° - 33° + 360° 2) = cos 33°

Dabar pažiūrėkime į pavyzdį, rodantį, kaip svarbu teisingai nustatyti trigonometrinės funkcijos ženklą ir teisingai pavaizduoti kampą naudojant mnemoninę taisyklę. Pakartokime dar kartą.

Svarbu!

Kampas α turi būti smailus!

Apskaičiuokime kampo 5 π 3 liestinę. Iš pagrindinių trigonometrinių funkcijų verčių lentelės galite iš karto paimti reikšmę t g 5 π 3 = - 3, tačiau taikysime mnemoninę taisyklę.

3 pavyzdys: mnemoninės taisyklės naudojimas

Įsivaizduokime kampą α = 5 π 3 reikiama forma ir naudokimės taisykle

t g 5 π 3 = t g 3 π 2 + π 6 = - c t g π 6 = - 3 t g 5 π 3 = t g 2 π - π 3 = - t g π 3 = - 3

Jei alfa kampą vaizduosime forma 5 π 3 = π + 2 π 3, tada mnemoninės taisyklės taikymo rezultatas bus neteisingas.

t g 5 π 3 = t g π + 2 π 3 = - t g 2 π 3 = - (- 3) = 3

Neteisingas rezultatas atsiranda dėl to, kad kampas 2 π 3 nėra smailus.

Redukcijos formulių įrodymas grindžiamas trigonometrinių funkcijų periodiškumo ir simetrijos savybėmis, taip pat poslinkio kampais π 2 ir 3 π 2 savybe. Visų redukcijos formulių galiojimo įrodymas gali būti atliktas neatsižvelgiant į terminą 2 πz, nes jis žymi kampo pokytį sveikuoju pilnų apsisukimų skaičiumi ir tiksliai atspindi periodiškumo savybę.

Pirmosios 16 formulių tiesiogiai išplaukia iš pagrindinių trigonometrinių funkcijų savybių: sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento.

Čia yra sinusų ir kosinusų redukcijos formulių įrodymas

sin π 2 + α = cos α ir cos π 2 + α = - sin α

Pažiūrėkime į vienetinį apskritimą, kurio pradinis taškas, pasukus kampu α, eina į tašką A 1 x, y, o po pasukimo kampu π 2 + α - į tašką A 2. Iš abiejų taškų brėžiame statmenas abscisių ašiai.

Du stačiakampiai trikampiai O A 1 H 1 ir O A 2 H 2 yra lygūs hipotenuzėje ir gretimuose kampuose. Iš taškų išsidėstymo apskritime ir trikampių lygybės galime daryti išvadą, kad taškas A 2 turi koordinates A 2 - y, x. Naudodamiesi sinuso ir kosinuso apibrėžimais, rašome:

sin α = y, cos α = x, sin π 2 + α = x, cos π 2 + α = y

sin π 2 + α = cos α, cos π 2 + α = - sin α

Atsižvelgdami į pagrindines trigonometrijos tapatybes ir tai, kas ką tik buvo įrodyta, galime rašyti

t g π 2 + α = sin π 2 + α cos π 2 + α = cos α - sin α = - c t g α c t g π 2 + α = cos π 2 + α sin π 2 + α = - α α = cos t g α

Norint įrodyti redukcijos formules su argumentu π 2 - α, ji turi būti pateikta forma π 2 + (- α). Pavyzdžiui:

cos π 2 - α = cos π 2 + (- α) = - sin (- α) = sin α

Įrodyme naudojamos trigonometrinių funkcijų savybės su priešingų ženklų argumentais.

Visos kitos redukcijos formulės gali būti įrodytos remiantis aukščiau parašytomis formulėmis.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Redukcijos formulės yra ryšiai, leidžiantys pereiti nuo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento su kampais `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi) 2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` į tas pačias kampo `\alpha` funkcijas, kurios yra pirmajame vieneto apskritimo ketvirtyje. Taigi mažinimo formulės „veda“ mus prie darbo su kampais nuo 0 iki 90 laipsnių, o tai yra labai patogu.

Iš viso yra 32 redukcijos formulės. Jie neabejotinai pravers per vieningą valstybinį egzaminą, egzaminus ir testus. Tačiau iš karto perspėsime, kad nereikia jų įsiminti! Turite praleisti šiek tiek laiko ir suprasti jų taikymo algoritmą, tada jums nebus sunku tinkamu metu išvesti reikiamą lygybę.

Pirmiausia užsirašykime visas redukcijos formules:

Jei kampas (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) arba (`90^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha
`tg(\frac (\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha
`ctg(\frac (\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha

Kampui (`\pi \pm \alpha`) arba (`180^\circ \pm \alpha`):

`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha

Jei kampas (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) arba (`270^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha
`cos(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha
`tg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha
`ctg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha

Kampui (`2\pi \pm \alpha`) arba (`360^\circ \pm \alpha`):

`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha

Redukcijos formules dažnai galite rasti lentelės pavidalu, kur kampai parašyti radianais:

Norėdami jį naudoti, turime pasirinkti eilutę su reikalinga funkcija ir stulpelį su norimu argumentu. Pavyzdžiui, norint su lentele sužinoti, kam bus lygus ` sin(\pi + \alpha)`, pakanka rasti atsakymą eilutės ` sin \beta` ir stulpelio ` \pi + sankirtoje. \alfa. Gauname ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`.

Ir antroji, panaši lentelė, kurioje kampai rašomi laipsniais:

Mnemoninė redukcinių formulių taisyklė arba kaip jas atsiminti

Kaip jau minėjome, visų minėtų santykių nereikia įsiminti. Jei atidžiai pažvelgėte į juos, tikriausiai pastebėjote keletą modelių. Jie leidžia suformuluoti mnemoninę taisyklę (mnemoninę – prisiminti), kurios pagalba nesunkiai gauname bet kokią redukcijos formulę.

Iš karto atkreipkime dėmesį, kad norint taikyti šią taisyklę, reikia gerai identifikuoti (arba atsiminti) trigonometrinių funkcijų požymius skirtinguose vieneto apskritimo ketvirčiuose.
Pati vakcina susideda iš 3 etapų:

1. 1. Funkcijos argumentas turi būti pateiktas kaip \frac (\pi)2 \pm \alpha, \pi \pm \alpha, \frac (3\pi)2 \pm \alpha, 2\pi \ pm \alpha, o \alfa būtinai yra smailusis kampas (nuo 0 iki 90 laipsnių).
   2. Argumentams \frac (\pi)2 \pm \alpha, \frac (3\pi)2 \pm \alpha transformuotos išraiškos trigonometrinė funkcija pasikeičia į kofunkciją, tai yra priešinga (sinusas kosinusui, kotangentui ir atvirkščiai). Argumentams „\pi \pm \alpha“, „2\pi \pm \alpha“ funkcija nesikeičia.
   3. Nustatomas pradinės funkcijos ženklas. Dešinėje pusėje gauta funkcija turės tą patį ženklą.

Norėdami pamatyti, kaip šią taisyklę galima pritaikyti praktiškai, paverskime keletą išraiškų:

1. „cos(\pi + \alpha)“.

Funkcija nekeičiama. Kampas `\pi + \alpha` yra trečiajame ketvirtyje, kosinusas šiame ketvirtyje turi „-“ ženklą, todėl transformuota funkcija taip pat turės „-“ ženklą.

Atsakymas: ` cos(\pi + \alpha)= - cos \alpha`

2. `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)'.

Pagal mnemoninę taisyklę funkcija bus atvirkštinė. Kampas `\frac (3\pi)2 - \alpha` yra trečiame ketvirtyje, sinusas čia turi „-“ ženklą, todėl rezultatas taip pat turės „-“ ženklą.

Atsakymas: "sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)= - cos \alpha"

3. „cos(\frac (7\pi)2 – \alpha)“.

`cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (6\pi)2+\frac (\pi)2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac(\pi) )2-\alpha))". Pavaizduokime „3\pi“ kaip „2\pi+\pi“. „2\pi“ yra funkcijos laikotarpis.

Svarbu: funkcijų „cos \alpha“ ir „sin \alpha“ laikotarpis yra „2\pi“ arba „360^\circ“, jų reikšmės nepasikeis, jei argumentas bus padidintas arba sumažintas šiomis reikšmėmis.

Remiantis tuo, mūsų išraišką galima parašyti taip: `cos (\pi+(\frac(\pi)2-\alpha)`. Du kartus pritaikę mnemoninę taisyklę, gauname: `cos (\pi+(\frac(\) pi) 2-\alpha)= - cos (\frac(\pi)2-\alpha)= - sin \alpha`.

Atsakymas: `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=- sin \alpha.

Arklio taisyklė

Antrasis aukščiau aprašytos mnemoninės taisyklės punktas dar vadinamas redukcijos formulių arklio taisykle. Įdomu, kodėl arkliai?

Taigi, turime funkcijas su argumentais „\frac (\pi)2 \pm \alpha”, „\pi \pm \alpha”, „\frac (3\pi)2 \pm \alpha”, „2\pi \ pm \alpha, taškai \frac (\pi)2, \pi, \frac (3\pi)2, 2\pi yra raktai, jie yra koordinačių ašyse. „\pi“ ir „2\pi“ yra horizontalioje x ašyje, o „\frac (\pi)2“ ir „\frac (3\pi)2“ yra vertikalioje ordinatėje.

Užduodame sau klausimą: „Ar funkcija virsta kofunkcija? Norėdami atsakyti į šį klausimą, turite pasukti galvą išilgai ašies, kurioje yra pagrindinis taškas.

Tai yra, į argumentus, kurių pagrindiniai taškai yra horizontalioje ašyje, atsakome „ne“ purtydami galvas į šonus. O į kampus, kurių pagrindiniai taškai yra vertikalioje ašyje, atsakome „taip“ linksėdami galvą iš viršaus į apačią, kaip arklys :)

Rekomenduojame žiūrėti vaizdo pamoką, kurioje autorius išsamiai paaiškina, kaip atsiminti mažinimo formules jų neįsiminti.

Praktiniai redukcijos formulių naudojimo pavyzdžiai

Sumažinimo formulės pradedamos naudoti 9 ir 10 klasėse. Daug problemų naudojant juos buvo pateikta vieningam valstybiniam egzaminui. Štai keletas problemų, dėl kurių turėsite taikyti šias formules:

• uždaviniai stačiajam trikampiui išspręsti;
• skaitinių ir abėcėlinių trigonometrinių reiškinių transformavimas, jų reikšmių skaičiavimas;
• stereometrines užduotis.

1 pavyzdys. Apskaičiuokite naudodami redukcijos formules a) „sin 600^\circ“, b) „tg 480^\circ“, c) „cos 330^\circ“, d) „sin 240^\circ“.

Sprendimas: a) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;

b) „tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac(\sqrt 3)3“;

c) „cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac(\sqrt 3)2“;

d) „sin 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac(\sqrt 3)2“.

2 pavyzdys. Išreiškę kosinusą per sinusą, naudodami redukcijos formules, palyginkite skaičius: 1) „sin \frac (9\pi)8“ ir „cos \frac (9\pi)8“; 2) „sin \frac (\pi)8“ ir „cos \frac (3\pi)10“.

Sprendimas: 1)`sin \frac (9\pi)8 = sin (\pi+\frac (\pi)8) = -sin \frac (\pi)8

„cos \frac (9\pi)8=cos (\pi+\frac (\pi)8)=-cos \frac (\pi)8=-sin \frac (3\pi)8“

„-sin \frac (\pi)8> -sin \frac (3\pi)8“.

„sin \frac (9\pi)8>cos \frac (9\pi)8“.

2) „cos \frac (3\pi)10=cos (\frac (\pi)2-\frac (\pi)5) = sin \frac (\pi)5“

`sin \frac (\pi)8

`sin \frac (\pi)8

Pirmiausia įrodykime dvi argumento `\frac (\pi)2 + \alpha sinuso ir kosinuso formules: ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha` ir ` cos (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`. Likusi dalis yra kilusi iš jų.

Paimkime vienetinį apskritimą ir jame nurodykime tašką A su koordinatėmis (1,0). Leiskite atsivertę kampas „\alpha“ pateks į tašką „A_1(x, y)“, o pasukus kampu „\frac (\pi)2 + \alpha“ į tašką „A_2(-y, x)“. Numetę statmenus iš šių taškų į tiesę OX, matome, kad trikampiai `OA_1H_1` ir `OA_2H_2` yra lygūs, nes jų hipotenuzės ir gretimi kampai yra lygūs. Tada, remdamiesi sinuso ir kosinuso apibrėžimais, galime parašyti „sin\alpha=y“, „cos\alpha=x“, „sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=x“, „cos“ (\frac (\pi)2 + \alpha)=-y`. Kur galime parašyti, kad ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \alpha` ir ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \alpha`, kas įrodo redukciją sinuso ir kosinuso kampų formulės `\frac (\pi)2 + \alpha`.

Iš tangento ir kotangento apibrėžimo gauname ` tan(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (sin(\frac (\pi)2 + \alpha))(cos(\frac (\) pi)2 + \alpha))=\frac (cos \alpha)(-sin \alpha)=-ctg \alpha` ir ` сtg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (cos(\) frac (\ pi)2 + \alpha))(sin(\frac (\pi)2 + \alpha))=\frac (-sin \alpha)(cos \alpha)=-tg \alpha`, kuris įrodo kampo liestinės ir kotangento redukcijos formulės `\frac (\pi)2 + \alpha.

Norint įrodyti formules su argumentu `\frac (\pi)2 - \alpha`, pakanka pateikti ją kaip `\frac (\pi)2 + (-\alpha)` ir eiti tuo pačiu keliu, kaip nurodyta aukščiau. Pavyzdžiui, „cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (\pi)2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)“.

Kampai `\pi + \alpha` ir `\pi - \alpha` gali būti pavaizduoti kaip `\frac (\pi)2 +(\frac (\pi)2+\alpha)` ir `\frac (\pi ) 2 +(\frac (\pi)2-\alpha)` atitinkamai.

Ir „\frac (3\pi)2 + \alpha“ ir „\frac (3\pi)2 - \alpha“ kaip „\pi +(\frac (\pi)2+\alpha)“ ir „\pi“ +(\frac (\pi)2-\alpha)`.