III lygis

3.1. Hiperbolė paliečia 5 eilutes x – 6y – 16 = 0, 13x – 10y– – 48 = 0. Užrašykite hiperbolės lygtį, jei jos ašys sutampa su koordinačių ašimis.

3.2. Parašykite hiperbolės liestinių lygtis

1) einantis per tašką A(4, 1), B(5, 2) ir C(5, 6);

2) lygiagrečiai tiesei 10 x – 3y + 9 = 0;

3) statmenai tiesei 10 x – 3y + 9 = 0.

parabolė yra plokštumos taškų, kurių koordinatės tenkina lygtį, vieta

Parabolės parametrai:

Taškas F(p/2, 0) vadinamas sutelkti dėmesį parabolės, dydis p – parametras , taškas O(0, 0) – viršūnė . Tuo pačiu metu tiesioginis APIE, kurios atžvilgiu parabolė yra simetriška, apibrėžia šios kreivės ašį.

Vertė kur M(x, y) yra savavališkas parabolės taškas, vadinamas židinio spindulys , tiesus D: x = –p/2 – direktorė (ji nekerta parabolės vidaus). Vertė vadinamas parabolės ekscentriškumu.

Pagrindinė parabolės charakteristika: visi parabolės taškai yra vienodu atstumu nuo krypties ir židinio (24 pav.).

Egzistuoja ir kitos kanoninės parabolės lygties formos, nulemiančios kitas jos šakų kryptis koordinačių sistemoje (25 pav.):

Dėl parametrinis parabolės apibrėžimas kaip parametras t parabolės taško ordinatės reikšmė gali būti paimta:

kur t yra savavališkas realusis skaičius.

1 pavyzdys Iš kanoninės lygties nustatykite parabolės parametrus ir formą:

Sprendimas. 1. Lygtis y 2 = –8x apibrėžia parabolę su viršūne taške O Jautis. Jo šakos nukreiptos į kairę. Palyginus šią lygtį su lygtimi y 2 = –2px, randame: 2 p = 8, p = 4, p/2 = 2. Todėl židinys yra taške F(–2; 0), krypties lygtis D: x= 2 (26 pav.).

2. Lygtis x 2 = –4y apibrėžia parabolę su viršūne taške O(0; 0), simetriškas ašies atžvilgiu Oy. Jo šakos nukreiptos žemyn. Palyginus šią lygtį su lygtimi x 2 = –2py, randame: 2 p = 4, p = 2, p/2 = 1. Todėl židinys yra taške F(0; –1), krypties lygtis D: y= 1 (27 pav.).

2 pavyzdys Apibrėžkite parametrus ir kreivės tipą x 2 + 8x – 16y– 32 = 0. Padarykite brėžinį.

Sprendimas. Kairiąją lygties pusę paverčiame viso kvadrato metodu:

x 2 + 8x– 16y – 32 =0;

(x + 4) 2 – 16 – 16y – 32 =0;

(x + 4) 2 – 16y – 48 =0;

(x + 4) 2 – 16(y + 3).

Kaip rezultatas, mes gauname

(x + 4) 2 = 16(y + 3).

Tai kanoninė parabolės lygtis su viršūne taške (–4; –3), parametras p= 8, šakos nukreiptos į viršų (), ašis x= -4. Dėmesys nukreiptas į tašką F(–4; –3 + p/2), t.y. F(–4; 1) direktorė D pateikiama lygtimi y = –3 – p/2 arba y= -7 (28 pav.).

4 pavyzdys Sudarykite parabolės su viršūne taške lygtį V(3; –2) ir sufokusuokite tašką F(1; –2).

Sprendimas.Šios parabolės viršūnė ir židinys yra tiesioje linijoje, lygiagrečioje ašiai Jautis(tos pačios ordinatės), parabolės šakos nukreiptos į kairę (židinio abscisė mažesnė už viršūnės abscisę), atstumas nuo židinio iki viršūnės p/2 = 3 – 1 = 2, p= 4. Vadinasi, norima lygtis

(y+ 2) 2 = –2 4 ( x– 3) arba ( y + 2) 2 = = –8(x – 3).

Savarankiško sprendimo užduotys

I lygiu

1.1. Nustatykite parabolės parametrus ir sukonstruokite:

1) y 2 = 2x; 2) y 2 = –3x;

3) x 2 = 6y; 4) x 2 = –y.

1.2. Parašykite parabolės, kurios viršūnė yra ištakoje, lygtį, jei žinote, kad:

1) parabolė yra kairiojoje pusplokštumoje simetriškai ašies atžvilgiu Jautis ir p = 4;

2) parabolė yra simetriškai apie ašį Oy ir eina per tašką M(4; –2).

3) kryptis pateikiama pagal 3 lygtį y + 4 = 0.

1.3. Parašykite kreivės, kurios visi taškai yra vienodu atstumu nuo taško (2; 0) ir tiesės, lygtį x = –2.

II lygis

2.1. Apibrėžkite kreivės tipą ir parametrus.

Likusiems skaitytojams siūlau gerokai papildyti mokyklos žinias apie parabolę ir hiperbolę. Hiperbolė ir parabolė – ar tai paprasta? ... Nelaukite =)

Hiperbolė ir jos kanoninė lygtis

Bendra medžiagos pateikimo struktūra bus panaši į ankstesnę pastraipą. Pradėkime nuo bendros hiperbolės sampratos ir jos konstravimo problemos.

Kanoninė hiperbolės lygtis turi formą , kur yra teigiami realieji skaičiai. Atkreipkite dėmesį, kad, skirtingai nei elipsė, sąlyga čia netaikoma, tai yra, „a“ reikšmė gali būti mažesnė už „be“ reikšmę.

Turiu pasakyti, visai netikėtai... „mokyklinės“ hiperbolės lygtis nė iš tolo neprimena kanoninio įrašo. Tačiau šios mįslės dar teks palaukti, bet kol kas pasikasykime pakaušį ir prisiminkime, kokiais būdingais bruožais pasižymi nagrinėjama kreivė? Paskleiskime ją savo vaizduotės ekrane funkcijų grafikas ….

Hiperbolė turi dvi simetriškas šakas.

Geros pažangos! Bet kuri hiperbolė turi šias savybes, o dabar su nuoširdžiu susižavėjimu žiūrėsime į šios linijos iškirptę:

4 pavyzdys

Sukurkite hiperbolę, pateiktą pagal lygtį

Sprendimas: pirmame žingsnyje šią lygtį perkeliame į kanoninę formą . Prisiminkite įprastą procedūrą. Dešinėje turite gauti „vieną“, todėl abi pradinės lygties dalis padalijame iš 20:

Čia galite sumažinti abi frakcijas, tačiau optimaliau padaryti kiekvieną iš jų trijų aukštų:

Ir tik po to atlikti sumažinimą:

Vardikliuose pasirenkame kvadratus:

Kodėl transformacijas geriau atlikti tokiu būdu? Juk kairiosios pusės frakcijas galima iš karto sumažinti ir gauti. Faktas yra tas, kad nagrinėjamame pavyzdyje mums šiek tiek pasisekė: skaičius 20 dalijasi ir iš 4, ir iš 5. Bendru atveju toks skaičius neveikia. Apsvarstykite, pavyzdžiui, lygtį. Čia su dalinamumu viskas liūdniau ir be triaukštės trupmenos nebereikia:

Taigi, panaudokime savo darbo vaisius – kanoninę lygtį:

Kaip sukurti hiperbolę?

Yra du hiperbolės konstravimo būdai – geometrinis ir algebrinis.
Žvelgiant iš praktinės pusės, piešimas su kompasu... net sakyčiau utopiškas, todėl daug pelningiau vėl į pagalbą pasitelkti paprastus skaičiavimus.

Patartina laikytis šio algoritmo, pirmiausia baigtas brėžinys, tada komentarai:

Praktikoje dažnai susiduriama su sukimosi savavališku kampu ir lygiagrečiu hiperbolės vertimu. Ši situacija aptariama pamokoje. 2 eilės eilutės lygties redukcija į kanoninę formą.

Parabolė ir jos kanoninė lygtis

Padaryta! Ji yra labiausiai. Pasiruošę atskleisti daugybę paslapčių. Kanoninė parabolės lygtis turi formą , kur yra tikrasis skaičius. Nesunku pastebėti, kad standartinėje padėtyje parabolė „guli ant šono“, o jos viršūnė yra ištakoje. Šiuo atveju funkcija nustato viršutinę šios eilutės šaką, o funkcija – apatinę. Akivaizdu, kad parabolė yra simetriška ašies atžvilgiu. Tiesą sakant, ką maudytis:

6 pavyzdys

Sukurkite parabolę

Sprendimas: viršūnė žinoma, suraskime papildomų taškų. Lygtis nustato viršutinį parabolės lanką, lygtis – apatinį lanką.

Norėdami sutrumpinti įrašą, atliksime skaičiavimus „po tuo pačiu šepečiu“:

Dėl kompaktiško žymėjimo rezultatai gali būti apibendrinti lentelėje.

Prieš atlikdami elementarų taškinį piešinį, suformuluojame griežtą

parabolės apibrėžimas:

Parabolė yra aibė visų plokštumos taškų, kurie yra vienodu atstumu nuo nurodyto taško ir tam tikros tiesės, kuri nekerta taško.

Taškas vadinamas sutelkti dėmesį parabolės, tiesi linija direktorė (parašyta su vienu „es“) parabolės. Kanoninės lygties pastovioji „pe“ vadinama židinio parametras, kuris yra lygus atstumui nuo židinio iki krypties. Tokiu atveju . Šiuo atveju židinys turi koordinates, o kryptis pateikiama lygtimi.
Mūsų pavyzdyje:

Parabolės apibrėžimą suprasti dar lengviau nei elipsės ir hiperbolės apibrėžimus. Bet kuriame parabolės taške atkarpos ilgis (atstumas nuo židinio iki taško) yra lygus statmenos ilgiui (atstumas nuo taško iki krypties):

Sveikiname! Daugelis iš jūsų šiandien padarė tikrą atradimą. Pasirodo, hiperbolė ir parabolė visai nėra „įprastų“ funkcijų grafikai, o turi ryškią geometrinę kilmę.

Akivaizdu, kad padidėjus židinio parametrui, grafiko šakos „išsisklaidys“ aukštyn ir žemyn, artėjant prie ašies be galo arti. Sumažėjus „pe“ vertei, jie pradės trauktis ir ištempti išilgai ašies

Bet kurios parabolės ekscentriškumas yra lygus vienetui:

Parabolės sukimas ir vertimas

Parabolė yra viena iš labiausiai paplitusių matematikos eilučių, todėl ją kurti teks tikrai dažnai. Todėl atkreipkite ypatingą dėmesį į paskutinę pamokos pastraipą, kurioje išanalizuosiu tipines šios kreivės vietos parinktis.

! Pastaba : kaip ir ankstesnių kreivių atveju, teisingiau kalbėti apie koordinačių ašių pasukimą ir lygiagretųjį vertimą, tačiau autorius apsiribos supaprastintu pristatymo variantu, kad skaitytojas turėtų elementarų supratimą apie šias transformacijas.

Formos funkcija , kur vadinama kvadratinė funkcija.

Kvadratinės funkcijos grafikas − parabolė.

Apsvarstykite atvejus:

I ATVEJIS, KLASIKINĖ PARABOLĖ

Tai yra , ,

Norėdami sukurti, užpildykite lentelę, pakeisdami x reikšmes į formulę:

Pažymėti taškus (0;0); (1; 1); (-1;1) ir kt. koordinačių plokštumoje (kuo mažesniu žingsniu imsime x reikšmes (šiuo atveju 1 veiksmas), ir kuo daugiau x reikšmių, tuo sklandesnė kreivė), gauname parabolę:

Nesunku pastebėti, kad paėmę atvejį , , , tai gausime apie ašį (jautis) simetrišką parabolę. Tai lengva patikrinti užpildant panašią lentelę:

II ATVEJIS, "A" SKIRIASI NUO VIENO

Kas atsitiks, jei imsime , , ? Kaip pasikeis parabolės elgsena? Su title="(!LANG: Pateikė QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

Pirmajame paveikslėlyje (žr. aukščiau) aiškiai matyti, kad parabolės (1;1), (-1;1) lentelės taškai buvo paversti taškais (1;4), (1;-4), tai yra, su tomis pačiomis reikšmėmis, kiekvieno taško ordinatė padauginama iš 4. Taip atsitiks su visais pagrindiniais pradinės lentelės taškais. Panašiai ginčijamės ir 2 ir 3 paveikslų atvejais.

Ir kai parabolė „tampa platesnė“, parabolė:

Pakartokime:

1)Koeficiento ženklas yra atsakingas už šakų kryptį. Su title="(!LANG: Pateikė QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Absoliučioji vertė koeficientas (modulis) yra atsakingas už parabolės „išsiplėtimą“, „suspaudimą“. Kuo didesnė , tuo siauresnė parabolė, tuo mažesnė |a|, tuo parabolė platesnė.

III ATVEJIS ATSIRAŠA „C“.

Dabar pradėkime žaisti (tai yra, atsižvelgsime į atvejį, kai ), apsvarstysime formos paraboles. Nesunku atspėti (visada galite remtis lentele), kad parabolė judės aukštyn arba žemyn išilgai ašies, priklausomai nuo ženklo:

IV ATVEJIS, ATRODA „b“.

Kada parabolė „nuplėšys“ nuo ašies ir pagaliau „vaikščios“ per visą koordinačių plokštumą? Kai nustoja būti lygus.

Čia, norint sukurti parabolę, mums reikia viršūnės apskaičiavimo formulė: , .

Taigi šioje vietoje (kaip ir naujosios koordinačių sistemos taške (0; 0)) pastatysime parabolę, kuri jau mūsų galioje. Jei nagrinėjame atvejį, tada iš viršaus atidedame vieną segmentą į dešinę, vieną aukštyn - gautas taškas yra mūsų (panašiai žingsnis į kairę, žingsnis aukštyn yra mūsų taškas); jei turime reikalą, pavyzdžiui, tada iš viršaus atidedame vieną segmentą į dešinę, du – aukštyn ir pan.

Pavyzdžiui, parabolės viršūnė:

Dabar svarbiausia suprasti, kad šioje viršūnėje mes sukursime parabolę pagal parabolės šabloną, nes mūsų atveju.

Statant parabolę radus viršūnės koordinates yra labaiPatogu atsižvelgti į šiuos dalykus:

1) parabolė turi praeiti pro tašką . Iš tiesų, formulėje pakeitę x=0, gauname, kad . Tai yra, parabolės susikirtimo su ašimi (oy) taško ordinatė, tai yra. Mūsų pavyzdyje (aukščiau) parabolė kerta y ašį ties , Kadangi .

2) simetrijos ašis parabolės yra tiesi linija, todėl visi parabolės taškai bus jos atžvilgiu simetriški. Mūsų pavyzdyje iš karto paimame tašką (0; -2) ir pastatome simetrišką simetrijos ašies parabolę, gauname tašką (4; -2), per kurį parabolė praeis.

3) Prilyginę , išsiaiškiname parabolės susikirtimo taškus su ašimi (jautis). Norėdami tai padaryti, išsprendžiame lygtį. Priklausomai nuo diskriminanto, gausime vieną (, ), du ( title="(!LANG:Rended by QuickLaTeX.com)" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . Ankstesniame pavyzdyje mes turime šaknį iš diskriminanto - ne sveikąjį skaičių, jį kuriant mums nėra prasmės rasti šaknis, tačiau aiškiai matome, kad turėsime du susikirtimo taškus su (oh) ašis (nuo pavadinimo = "(!LANG: pateikė QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Taigi treniruokimės

Parabolės konstravimo algoritmas, jei jis pateiktas formoje

1) nustatyti šakų kryptį (a>0 - aukštyn, a<0 – вниз)

2) Raskite parabolės viršūnės koordinates pagal formulę , .

3) parabolės susikirtimo tašką su ašimi (oy) randame laisvuoju terminu, statome tašką, simetrišką duotajam parabolės simetrijos ašies atžvilgiu (reikia pastebėti, kad taip atsitinka Nepelninga pažymėti šį tašką, pavyzdžiui, nes vertė yra didelė ... mes praleidžiame šį tašką ...)

4) Rastame taške - parabolės viršuje (kaip ir naujosios koordinačių sistemos taške (0; 0)) statome parabolę. If title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Mes randame parabolės susikirtimo su ašimi (oy) taškus (jei jie patys dar „neišlipo“), išspręsdami lygtį

1 pavyzdys

2 pavyzdys

1 pastaba. Jei parabolė iš pradžių mums pateikiama forma , kur yra keletas skaičių (pavyzdžiui, ), tada ją sudaryti bus dar lengviau, nes jau gavome viršūnės koordinates. Kodėl?

Paimkime kvadratinį trinarį ir jame pažymime visą kvadratą: Žiūrėkite, mes gavome, kad , . Anksčiau vadinome parabolės viršūnę, tai yra, dabar.

Pavyzdžiui, . Plokštumoje pažymime parabolės viršūnę, suprantame, kad šakos nukreiptos žemyn, parabolė išsiplėtusi (santykinai). Tai yra, atliekame 1 veiksmus; 3; 4; 5 iš parabolės konstravimo algoritmo (žr. aukščiau).

2 pastaba. Jei parabolė pateikiama panašia į šią forma (ty pavaizduota kaip dviejų tiesinių faktorių sandauga), tada iš karto matome parabolės susikirtimo taškus su (x) ašimi. Šiuo atveju – (0;0) ir (4;0). Likusiai elgiamės pagal algoritmą, atidarydami skliaustus.

6. Determinanto skilimo į determinantų sumą ir jos pasekmių teorema.

7. Teorema apie determinanto dekompoziciją pagal eilutės (stulpelio) elementus ir iš to kylančias pasekmes.

8. Veiksmai su matricomis ir jų savybės. Įrodykite vieną iš jų.

9. Matricos transpozicijos operacija ir jos savybės.

10. Atvirkštinės matricos apibrėžimas. Įrodykite, kad kiekviena apverčiama matrica turi tik vieną inversiją.

13. Blokų matricos. Blokų matricų sudėjimas ir daugyba. Kvazitrikampės matricos determinanto teorema.

14. Matricų sandaugos determinanto teorema.

15. Teorema apie atvirkštinės matricos egzistavimą.

16. Matricos rango nustatymas. Pagrindinė mažoji teorema ir jos pasekmė.

17. Matricos eilučių ir stulpelių tiesinės priklausomybės samprata. Matricos rango teorema.

18. Matricos rango skaičiavimo metodai: ribojimo su nepilnamečiais metodas, elementariųjų transformacijų metodas.

19. Tik eilučių (tik stulpelių) elementariųjų transformacijų taikymas atvirkštinei matricai rasti.

20. Tiesinių lygčių sistemos. Suderinamumo ir tikrumo kriterijus.

21. Jungtinės tiesinių lygčių sistemos sprendimas.

22. Homogeninės tiesinių lygčių sistemos. Teorema apie fundamentalios sprendinių sistemos egzistavimą.

23. Tiesinės operacijos su vektoriais ir jų savybės. Įrodykite vieną iš jų.

24. Dviejų vektorių skirtumo nustatymas. Įrodykite, kad bet kokiems vektoriams ir skirtumas egzistuoja ir yra unikalus.

25. Pagrindo apibrėžimas, vektoriaus koordinatės bazėje. Teorema apie vektoriaus plėtimąsi pagrindu.

26. Vektorių tiesinė priklausomybė. Vieną iš jų įrodo tiesinės priklausomybės sąvokos savybės.

28. Dekarto koordinačių sistemos erdvėje, plokštumoje ir tiesėje. Teorema apie vektorių linijinį derinį ir jo pasekmes.

29. Formulių, išreiškiančių vieno dsk taško koordinates, išvedimas per to paties taško koordinates kitame dsk.

30. Vektorių skaliarinė sandauga. Apibrėžimas ir pagrindinės savybės.

31. Vektorių sandauga. Apibrėžimas ir pagrindinės savybės.

32. Mišri vektorių sandauga. Apibrėžimas ir pagrindinės savybės.

33. Vektorių dviguba sandauga. Apibrėžimas ir skaičiavimo formulė (be įrodymų).

34. Algebrinės linijos ir paviršiai. Eiliškumo invariancijos (nevarianso) teoremos.

35. Bendrosios plokštumos ir tiesės lygtys.

36. Tiesės ir plokštumos parametrinės lygtys.

37. Perėjimas nuo bendrųjų plokštumos ir tiesės plokštumoje lygčių prie jų parametrinių lygčių. Koeficientų a, b, c (a, c) geometrinė reikšmė bendrojoje plokštumos lygtyje (tiesė plokštumoje).

38. Parametrų išskyrimas iš parametrinių lygčių plokštumoje (erdvėje), tiesės kanoninės lygtys.

39. Tiesės ir plokštumos vektorinės lygtys.

40. Bendrosios tiesės erdvėje lygtys, redukcija į kanoninę formą.

41. Atstumas nuo taško iki plokštumos. Atstumas nuo taško iki linijos. Kitos problemos dėl linijų ir plokštumų.

42. Elipsės apibrėžimas. Kanoninė elipsės lygtis. Parametrinės elipsės lygtys. Elipsės ekscentriškumas.

44. Parabolės apibrėžimas. Kanoninės parabolės lygties išvedimas.

45. Antrosios eilės kreivės ir jų klasifikacija. Pagrindinė teorema apie kvp.

45. Antrosios eilės paviršiai ir jų klasifikacija. Pagrindinė teorema apie pvp. Revoliucijos paviršiai.

47. Tiesinės erdvės apibrėžimas. Pavyzdžiai.

49. Euklido erdvės apibrėžimas. Vektoriaus ilgis. Kampas tarp vektorių. Koši-Bunyakovskio nelygybė. Pavyzdys.

50. Euklido erdvės apibrėžimas. Pitagoro teorema. Trikampio nelygybės pavyzdys.

44. Parabolės apibrėžimas. Kanoninės parabolės lygties išvedimas.

Apibrėžimas: Parabolė yra taškų lokusas plokštumoje, kurioje atstumas iki kurio nors fiksuoto šios plokštumos taško F yra lygus atstumui iki kokios nors fiksuotos tiesės. Taškas F vadinamas parabolės židiniu, o fiksuota linija vadinama parabolės kryptine.

Norėdami gauti lygtį, sudarome:

SU pagal apibrėžimą:

Kadangi 2 >=0, tada parabolė yra dešinėje pusplokštumoje. Kai x didėja nuo 0 iki begalybės
. Parabolė yra simetriška Ox atžvilgiu. Parabolės ir jos simetrijos ašies susikirtimo taškas vadinamas parabolės viršūne.

45. Antrosios eilės kreivės ir jų klasifikacija. Pagrindinė teorema apie kvp.

Yra 8 KVP tipai:

1.elipsės

2.hiperbolės

3.parabolės

Kreivės 1,2,3 yra kanoninės atkarpos. Jei susikirsime kūgį su plokštuma, lygiagrečia kūgio ašiai, gausime hiperbolę. Jei plokštuma lygiagreti generatrix, tada parabolė. Visos plokštumos nekerta per kūgio viršūnę. Jei kuri kita plokštuma, tai elipsė.

4. lygiagrečių tiesių pora y 2 + a 2 =0, a0

5. susikertančių tiesių pora y 2 -k 2 x 2 \u003d 0

6.viena eilutė y 2 =0

7.vienas taškas x 2 + y 2 =0

8. tuščia aibė - tuščia kreivė (kr. be taškų) x 2 + y 2 +1=0 arba x 2 + 1=0

Teorema (pagrindinė teorema apie KVP): Tipo lygtis

a 11 x 2 + 2a 12 x y + a 22 y 2 + 2a 1 x + 2a 2 y+a 0 = 0

gali parodyti tik vieno iš nurodytų aštuonių tipų kreivę.

Įrodinėjimo idėja yra pereiti prie koordinačių sistemos, kurioje KVP lygtis įgyja paprasčiausią formą, kai paaiškėja jos pavaizduotos kreivės tipas. Teorema įrodoma pasukus koordinačių sistemą tokiu kampu, kuriame terminas su koordinačių sandauga išnyksta. Ir pasitelkus lygiagretųjį koordinačių sistemos vertimą, kuriame išnyksta arba narys su kintamuoju x, arba narys su kintamuoju y.

Perėjimas prie naujos koordinačių sistemos: 1. Lygiagretusis perkėlimas

2. Pasukite

45. Antrosios eilės paviršiai ir jų klasifikacija. Pagrindinė teorema apie pvp. Revoliucijos paviršiai.

P VP - taškų rinkinys, kurio stačiakampės koordinatės atitinka 2-ojo laipsnio lygtį: (1)

Daroma prielaida, kad bent vienas iš koeficientų ties kvadratais arba sandaugomis skiriasi nuo 0. Lygtis yra nekintama koordinačių sistemos pasirinkimo atžvilgiu.

Teorema Bet kuri plokštuma kerta PVP išilgai PVP, išskyrus specialų atvejį, kai atkarpoje yra visa plokštuma (PVP gali būti plokštuma arba plokštumų pora).

Yra 15 PVP tipų. Jas išvardijame nurodydami lygtis, pagal kurias jos pateiktos tinkamose koordinačių sistemose. Šios lygtys vadinamos kanoninėmis (paprastosiomis). Sukurkite geometrinius vaizdus, ​​atitinkančius kanonines lygtis lygiagrečių pjūvių metodu: Kryžkite paviršių koordinačių plokštumomis ir joms lygiagrečiomis plokštumomis. Rezultatas yra pjūviai ir kreivės, kurios suteikia idėją apie paviršiaus formą.

1. Elipsoidas.

Jei a=b=c tada gauname sferą.

2. Hiperboloidai.

vienas). Vieno lapo hiperboloidas:

Vieno lapo hiperboloido pjūvis koordinačių plokštumose: XOZ:
- hiperbolė.

YOZ:
- hiperbolė.

Lėktuvas XOY:
- elipsė.

2). Dviejų lakštų hiperboloidas.

Koordinačių pradžia yra simetrijos taškas.

Koordinačių plokštumos yra simetrijos plokštumos.

Lėktuvas z = h kerta hiperboloidą elipsėje
, t.y. lėktuvas z = h pradeda kirsti hiperboloidą ties | h |  c. Hiperboloido skerspjūvis plokštumose x = 0 ir y = 0 yra hiperbolė.

Skaičiai a,b,c (2), (3), (4) lygtyse vadinami elipsoidų ir hiperboloidų pusašiais.

3. Paraboloidai.

vienas). Elipsinis paraboloidas:

Lėktuvų sekcija z = h yra
, kur
. Iš lygties matyti, kad z  0 yra begalinis dubuo.

Plokštumų sankirta y = h ir x= h
yra parabolė ir

2). Hiperbolinis paraboloidas:

Akivaizdu, kad XOZ ir YOZ plokštumos yra simetrijos plokštumos, o z ašis yra paraboloido ašis. Paraboloido sankirta su plokštuma z = h- hiperbolė:
,
. Lėktuvas z=0 kerta hiperbolinį paraboloidą išilgai dviejų ašių
kurie yra asimptotai.

4. Antros eilės kūgis ir cilindrai.

vienas). Kūgis yra paviršius
. Kūgis įrėmintas tiesiomis linijomis, einančiomis per pradžią 0 (0, 0, 0). Kūgio pjūvis yra elipsė su pusiau ašimis
.

2). Antros eilės cilindrai.

Tai elipsinis cilindras
.

Kad ir kokią tiesę paimtume, kertančią elipses ir lygiagrečią Ozo ašiai, ji tenkina šią lygtį. Perkeldami šią liniją aplink elipsę, gauname paviršių.

G Hiperbolinis cilindras:

HOW plokštumoje tai yra hiperbolė. Hiperbolę kertančią tiesę perkeliame lygiagrečiai Ozui išilgai hiperbolės.

Parabolinis cilindras:

H o plokštuma KAIP yra parabolė.

Cilindrinius paviršius formuoja tiesi linija (generatorius), einanti lygiagrečiai sau išilgai tam tikros tiesės (kreipiančiosios).

10. Susikertančių plokštumų pora

11. Lygiagrečių plokštumų pora

12.
- tiesus

13. Tiesi linija – viename taške pastatytas „cilindras“.

14.Vienas taškas

15. Tuščias komplektas

Pagrindinė teorema apie PVP: Kiekvienas PVP priklauso vienam iš 15 aukščiau aptartų tipų. Kitų PVP nėra.

Revoliucijos paviršiai. Tegu pateikta PDCS Oxyz ir plokštumoje Oyz tiesė e, apibrėžta lygtimi F(y,z)=0 (1). Sudarykime paviršiaus, gauto sukant šią tiesę aplink Ozo ašį, lygtį. Paimkite tašką M(y, z) tiesėje e. Kai plokštuma Oyz sukasi aplink Ozą, taškas M apibūdins apskritimą. Tegul N(X,Y,Z) yra savavališkas šio apskritimo taškas. Aišku, kad z=Z.

.

Rastas z ir y reikšmes pakeisdami į (1) lygtį, gauname teisingą lygybę:
tie. taško N koordinatės tenkina lygtį
. Taigi bet kuris apsisukimo paviršiaus taškas atitinka (2) lygtį. Nesunku įrodyti, kad jei taškas N(x 1 ,y 1 ,z 1) tenkina (2) lygtį, tai jis priklauso nagrinėjamam paviršiui. Dabar galime pasakyti, kad (2) lygtis yra norima apsisukimo paviršiaus lygtis.

"

Parabolė yra taškų vieta plokštumoje, nutolusioje vienodu atstumu nuo nurodyto taško F

o duotoji tiesė dd nekerta tam tikro taško. Šis geometrinis apibrėžimas išreiškia parabolės katalogo nuosavybė.

Parabolių katalogo nuosavybė

Taškas F vadinamas parabolės židiniu, tiesė d vadinama parabolės kryptine, statmeno, nuleisto nuo židinio iki krypties vidurio taškas O yra parabolės viršūnė, atstumas p nuo židinio. iki krypties yra parabolės parametras, o atstumas p2 nuo parabolės viršūnės iki jos židinio yra židinio nuotolis. Tiesi linija, statmena krypčiai ir einanti per židinį, vadinama parabolės ašimi (parabolės židinio ašimi). Atkarpa FM, jungianti savavališką parabolės tašką M su židiniu, vadinama taško židinio spinduliu

M. Atkarpa, jungianti du parabolės taškus, vadinama parabolės styga.

Savavališkame parabolės taške atstumo iki židinio ir atstumo iki krypties santykis yra lygus vienetui. Palyginę elipsės, hiperbolės ir parabolės katalogų savybes, darome išvadą parabolės ekscentriškumas pagal apibrėžimą yra lygus vienetui

Geometrinis parabolės apibrėžimas, išreiškiantis jo katalogo ypatybę, yra lygiavertis jo analitiniam apibrėžimui – tiesei, kurią suteikia kanoninė parabolės lygtis:

Savybės

• Ji turi simetrijos ašį, vadinamą parabolės ašis. Ašis eina per židinį ir viršūnę statmenai krypčiai.
• optinė savybė. Jos židinyje surenkamas lygiagretus parabolės ašiai spindulių spindulys, atsispindėjęs parabolėje. Ir atvirkščiai, šviesa iš fokusuoto šaltinio atsispindi parabole į spindulių pluoštą, lygiagrečią jo ašiai.
• Jei parabolės židinys atsispindi liestinės atžvilgiu, tada jos vaizdas bus ant krypties.
• Atkarpa, jungianti savavališkos parabolės stygos vidurį ir jos liestinių susikirtimo tašką šios stygos galuose, yra statmena krypčiai, o jos vidurio taškas yra ant parabolės.
• Parabolė yra linijos antipodera.
• Visos parabolės yra panašios. Atstumas tarp židinio ir krypties nustato skalę.

Vieno realaus kintamojo funkcija: pagrindinės sąvokos, pavyzdžiai.

Apibrėžimas: jei kiekviena skaitinės aibės X reikšmė x pagal taisyklę f atitinka vieną aibės Y skaičių, tada jie sako, kad funkcija y \u003d f (x) yra pateikta skaitinėje aibėje X, reikšmės ​x yra nustatomi pagal reikšmių rinkinį, įtrauktą į funkcijos (X) apibrėžimo sritį.
Šiuo atveju x vadinamas argumentu, o y – funkcijos reikšme. Aibė X vadinama funkcijos apibrėžimo sritimi, Y vadinama funkcijos reikšmių rinkiniu.
Dažnai ši taisyklė pateikiama formule; pvz., y \u003d 2x + 5. Nurodytas funkcijos nurodymo formule metodas vadinamas analitiniu.
Funkciją taip pat galima nustatyti grafiku - Funkcijos y - f (x) grafikas yra taškų rinkinys plokštumoje, koordinatės x, kurios tenkina santykį y \u003d f (x).