Visi racionalūs skaičiai gali būti pavaizduoti kaip bendroji trupmena. Tai taikoma sveikiesiems skaičiams (pavyzdžiui, 12, –6, 0) ir baigtinėms dešimtainėms trupmenoms (pvz., 0,5; –3,8921) ir begalinėms periodinėms dešimtainėms trupmenoms (pvz., 0,11(23); –3 , (87) )).

Tačiau begalinis neperiodinis dešimtainis skaičius negali būti vaizduojamos kaip paprastosios trupmenos. Tai jie tokie neracionalūs skaičiai(tai yra neracionalu). Tokio skaičiaus pavyzdys yra skaičius π, kuris yra maždaug lygus 3,14. Tačiau, kam jis tiksliai lygus, neįmanoma nustatyti, nes po skaičiaus 4 yra begalė kitų skaičių, kuriuose negalima atskirti pasikartojančių laikotarpių. Be to, nors skaičius π negali būti tiksliai išreikštas, jis turi specifinę geometrinę reikšmę. Skaičius π yra bet kurio apskritimo ilgio ir jo skersmens ilgio santykis. Taigi neracionalūs skaičiai iš tikrųjų egzistuoja gamtoje, kaip ir racionalieji skaičiai.

Kitas pavyzdys racionalūs skaičiai gali pasitarnauti teigiamų skaičių kvadratinės šaknys. Iš vienų skaičių ištraukus šaknis, gaunamos racionalios reikšmės, iš kitų – neracionalios. Pavyzdžiui, √4 = 2, ty 4 šaknis yra racionalus skaičius. Tačiau √2, √5, √7 ir daugelis kitų lemia neracionalius skaičius, tai yra, juos galima išskirti tik apytiksliai, apvalinant iki tam tikros dešimtainės dalies. Šiuo atveju trupmena tampa neperiodinė. Tai yra, neįmanoma tiksliai ir neabejotinai pasakyti, kokia yra šių skaičių šaknis.

Taigi √5 yra skaičius, esantis tarp skaičių 2 ir 3, nes √4 = 2, o √9 = 3. Taip pat galime daryti išvadą, kad √5 yra arčiau 2 nei 3, nes √4 yra arčiau √5 nei √9 iki √5. Iš tiesų, √5 ≈ 2,23 arba √5 ≈ 2,24.

Iracionalūs skaičiai taip pat gaunami atliekant kitus skaičiavimus (ir ne tik išgaunant šaknis) ir gali būti neigiami.

Kalbant apie neracionalius skaičius, galime teigti, kad nesvarbu, kokį vienetinį segmentą imtume išmatuoti tokiu skaičiumi išreikštą ilgį, mes jo tikrai negalėsime išmatuoti.

Aritmetinėse operacijose neracionalieji skaičiai gali dalyvauti kartu su racionaliais skaičiais. Tuo pačiu metu yra keletas dėsningumų. Pavyzdžiui, jei aritmetinėje operacijoje dalyvauja tik racionalieji skaičiai, tada rezultatas visada yra racionalus skaičius. Jei operacijoje dalyvauja tik neracionalieji, tai vienareikšmiškai pasakyti, ar rezultatas bus racionalus ar neracionalus skaičius, neįmanoma.

Pavyzdžiui, jei padauginate du neracionalius skaičius √2 * √2, gausite 2 - tai yra racionalus skaičius. Kita vertus, √2 * √3 = √6 yra neracionalus skaičius.

Jei aritmetinė operacija apima racionalius ir neracionalius skaičius, tada rezultatas bus neracionalus. Pavyzdžiui, 1 + 3,14... = 4,14... ; √17 – 4.

Kodėl √17 – 4 yra neracionalus skaičius? Įsivaizduokime, kad gauname racionalųjį skaičių x. Tada √17 = x + 4. Bet x + 4 yra racionalus skaičius, nes manėme, kad x yra racionalus. Skaičius 4 taip pat yra racionalus, taigi x + 4 yra racionalus. Tačiau racionalusis skaičius negali būti lygus iracionaliajam skaičiui √17. Todėl prielaida, kad √17 – 4 duoda racionalų rezultatą, yra neteisinga. Aritmetinės operacijos rezultatas bus neracionalus.

Tačiau yra šios taisyklės išimtis. Jei neracionalųjį skaičių padauginsime iš 0, gausime racionalųjį skaičių 0.

Jau senovės matematikai žinojo apie vienetinio ilgio atkarpą: žinojo, pavyzdžiui, įstrižainės ir kvadrato kraštinės nesuderinamumą, o tai prilygsta skaičiaus neracionalumui.

Neracionalūs yra:

Iracionalumo įrodymų pavyzdžiai

2 šaknis

Tarkime priešingai: jis yra racionalus, tai yra, jis pavaizduotas neredukuojamos trupmenos forma, kur ir yra sveikieji skaičiai. Pastatykime tariamą lygybę kvadratu:

.

Iš to išplaukia, kad net yra lyginis ir . Tegul būna ten, kur yra visuma. Tada

Todėl net reiškia net ir . Mes nustatėme, kad ir yra lygūs, o tai prieštarauja trupmenos nesumažinamumui. Tai reiškia, kad pradinė prielaida buvo neteisinga ir yra neracionalus skaičius.

Dvejetainis skaičiaus 3 logaritmas

Tarkime, priešingai: racionalus, tai yra, vaizduojamas kaip trupmena, kur ir yra sveikieji skaičiai. Nuo , ir galima pasirinkti teigiamas. Tada

Bet lyginis ir nelyginis. Gauname prieštaravimą.

e

Istorija

Iracionaliųjų skaičių sąvoką netiesiogiai perėmė Indijos matematikai VII amžiuje prieš Kristų, kai Manava (apie 750 m. pr. Kr. – apie 690 m. pr. Kr.) suprato, kad kai kurių natūraliųjų skaičių, tokių kaip 2 ir 61, kvadratinės šaknys negali būti aiškiai išreikštos. .

Pirmasis iracionaliųjų skaičių egzistavimo įrodymas paprastai priskiriamas Hipasui iš Metaponto (apie 500 m. pr. Kr.), pitagoriečiui, kuris šį įrodymą rado tyrinėdamas pentagramos kraštinių ilgius. Pitagoriečių laikais buvo manoma, kad yra vienas ilgio vienetas, pakankamai mažas ir nedalomas, kuris į bet kurį segmentą patenka sveikuoju skaičiumi kartų. Tačiau Hipasas teigė, kad nėra vieno ilgio vieneto, nes jo egzistavimo prielaida sukelia prieštaravimą. Jis parodė, kad jei lygiašonio stačiojo trikampio hipotenuzėje yra sveikasis skaičius vienetinių atkarpų, tai šis skaičius turi būti lyginis ir nelyginis. Įrodymas atrodė taip:

• Lygiašonio stačiakampio trikampio hipotenuzės ilgio ir kojos ilgio santykis gali būti išreikštas kaip a:b, Kur a Ir b pasirinktas kaip galimas mažiausias.
• Pagal Pitagoro teoremą: a² = 2 b².
• Nes a- net, a turi būti lyginis (nes nelyginio skaičiaus kvadratas būtų nelyginis).
• Kadangi a:b nesumažinamas b turi būti nelyginis.
• Nes a netgi, pažymime a = 2y.
• Tada a² = 4 y² = 2 b².
• b² = 2 y², todėl b- net tada b net.
• Tačiau buvo įrodyta, kad b nelyginis. Prieštaravimas.

Graikų matematikai šį nesuderinamų dydžių santykį vadino alogos(neapsakoma), bet, pasak legendų, jie neatrodė deramos pagarbos Hipasui. Egzistuoja legenda, kad Hipasas atrado plaukiodamas jūra, o kiti pitagoriečiai jį išmetė už borto „už tai, kad sukūrė visatos elementą, paneigiantį doktriną, kad visas visatos esybes galima redukuoti iki sveikųjų skaičių ir jų santykio“. Hipaso atradimas sukėlė rimtą problemą Pitagoro matematikai, sugriovė pagrindinę prielaidą, kad skaičiai ir geometriniai objektai yra vienas ir neatsiejamas dalykas.

Taip pat žr

Pastabos

Skaitmeninės sistemos
Skaičiavimas rinkiniai	Natūralūs skaičiai () sveikieji skaičiai ()

Jau senovės matematikai žinojo apie vienetinio ilgio atkarpą: žinojo, pavyzdžiui, įstrižainės ir kvadrato kraštinės nesuderinamumą, o tai prilygsta skaičiaus neracionalumui.

Neracionalūs yra:

Iracionalumo įrodymų pavyzdžiai

2 šaknis

Tarkime priešingai: jis yra racionalus, tai yra, jis pavaizduotas neredukuojamos trupmenos forma, kur ir yra sveikieji skaičiai. Pastatykime tariamą lygybę kvadratu:

.

Iš to išplaukia, kad net yra lyginis ir . Tegul būna ten, kur yra visuma. Tada

Todėl net reiškia net ir . Mes nustatėme, kad ir yra lygūs, o tai prieštarauja trupmenos nesumažinamumui. Tai reiškia, kad pradinė prielaida buvo neteisinga ir yra neracionalus skaičius.

Dvejetainis skaičiaus 3 logaritmas

Tarkime, priešingai: racionalus, tai yra, vaizduojamas kaip trupmena, kur ir yra sveikieji skaičiai. Nuo , ir galima pasirinkti teigiamas. Tada

Bet lyginis ir nelyginis. Gauname prieštaravimą.

e

Istorija

Iracionaliųjų skaičių sąvoką netiesiogiai perėmė Indijos matematikai VII amžiuje prieš Kristų, kai Manava (apie 750 m. pr. Kr. – apie 690 m. pr. Kr.) suprato, kad kai kurių natūraliųjų skaičių, tokių kaip 2 ir 61, kvadratinės šaknys negali būti aiškiai išreikštos. .

Pirmasis iracionaliųjų skaičių egzistavimo įrodymas paprastai priskiriamas Hipasui iš Metaponto (apie 500 m. pr. Kr.), pitagoriečiui, kuris šį įrodymą rado tyrinėdamas pentagramos kraštinių ilgius. Pitagoriečių laikais buvo manoma, kad yra vienas ilgio vienetas, pakankamai mažas ir nedalomas, kuris į bet kurį segmentą patenka sveikuoju skaičiumi kartų. Tačiau Hipasas teigė, kad nėra vieno ilgio vieneto, nes jo egzistavimo prielaida sukelia prieštaravimą. Jis parodė, kad jei lygiašonio stačiojo trikampio hipotenuzėje yra sveikasis skaičius vienetinių atkarpų, tai šis skaičius turi būti lyginis ir nelyginis. Įrodymas atrodė taip:

• Lygiašonio stačiakampio trikampio hipotenuzės ilgio ir kojos ilgio santykis gali būti išreikštas kaip a:b, Kur a Ir b pasirinktas kaip galimas mažiausias.
• Pagal Pitagoro teoremą: a² = 2 b².
• Nes a- net, a turi būti lyginis (nes nelyginio skaičiaus kvadratas būtų nelyginis).
• Kadangi a:b nesumažinamas b turi būti nelyginis.
• Nes a netgi, pažymime a = 2y.
• Tada a² = 4 y² = 2 b².
• b² = 2 y², todėl b- net tada b net.
• Tačiau buvo įrodyta, kad b nelyginis. Prieštaravimas.

Graikų matematikai šį nesuderinamų dydžių santykį vadino alogos(neapsakoma), bet, pasak legendų, jie neatrodė deramos pagarbos Hipasui. Egzistuoja legenda, kad Hipasas atrado plaukiodamas jūra, o kiti pitagoriečiai jį išmetė už borto „už tai, kad sukūrė visatos elementą, paneigiantį doktriną, kad visas visatos esybes galima redukuoti iki sveikųjų skaičių ir jų santykio“. Hipaso atradimas sukėlė rimtą problemą Pitagoro matematikai, sugriovė pagrindinę prielaidą, kad skaičiai ir geometriniai objektai yra vienas ir neatsiejamas dalykas.

Taip pat žr

Pastabos

Skaitmeninės sistemos
Skaičiavimas rinkiniai	Natūralūs skaičiai () sveikieji skaičiai ()

Šio straipsnio medžiagoje pateikiama pradinė informacija apie neracionalūs skaičiai. Pirmiausia pateiksime iracionaliųjų skaičių apibrėžimą ir paaiškinsime. Žemiau pateikiame neracionaliųjų skaičių pavyzdžius. Galiausiai pažvelkime į keletą būdų išsiaiškinti, ar duotas numeris neracionalu ar ne.

Puslapio naršymas.

Iracionaliųjų skaičių apibrėžimas ir pavyzdžiai

Nagrinėdami dešimtaines, mes atskirai atsižvelgėme į begalinius neperiodinius dešimtainius. Tokios trupmenos atsiranda matuojant segmentų dešimtainį ilgį, kuris yra nesuderinamas su vienetiniu segmentu. Taip pat pažymėjome, kad begalinės neperiodinės dešimtainės trupmenos negali būti konvertuojamos į bendrosios trupmenos(žr. paprastųjų trupmenų konvertavimą į dešimtaines ir atvirkščiai), todėl šie skaičiai nėra racionalieji skaičiai, jie atstovauja vadinamiesiems neracionaliesiems skaičiams.

Taigi mes ateiname į neracionaliųjų skaičių apibrėžimas.

Apibrėžimas.

Skaičiai, žymintys begalines neperiodines dešimtaines trupmenas dešimtainiu žymėjimu, vadinami neracionalūs skaičiai.

Išsakytas apibrėžimas leidžia mums duoti neracionaliųjų skaičių pavyzdžiai. Pavyzdžiui, begalinė neperiodinė dešimtainė trupmena 4.10110011100011110000... (vienetų ir nulių skaičius kiekvieną kartą didėja vienu) yra neracionalus skaičius. Pateikiame dar vieną neracionaliojo skaičiaus pavyzdį: −22,353335333335... (trejų, skiriančių aštuonetukus, skaičius kiekvieną kartą didėja dviem).

Reikėtų pažymėti, kad neracionalūs skaičiai gana retai randami begalinių neperiodinių dešimtainių trupmenų pavidalu. Paprastai jie randami formoje ir kt., taip pat specialiai įvestų raidžių pavidalu. Labiausiai garsių pavyzdžių Iracionalieji skaičiai šiame žymėjime yra aritmetinė kvadratinė šaknis iš dviejų, skaičius „pi“ π=3,141592..., skaičius e=2,718281... ir auksinis skaičius.

Iracionalieji skaičiai taip pat gali būti apibrėžti realiaisiais skaičiais, kurie jungia racionalius ir neracionalius skaičius.

Apibrėžimas.

Neracionalūs skaičiai yra realieji skaičiai, kurie nėra racionalūs skaičiai.

Ar šis skaičius neracionalus?

Kai skaičius pateikiamas ne dešimtainės trupmenos, o kokios nors šaknies, logaritmo ir pan., tada atsakyti į klausimą, ar jis neracionalus, daugeliu atvejų yra gana sunku.

Be abejonės, atsakant į pateiktą klausimą labai pravartu žinoti, kurie skaičiai nėra neracionalūs. Iš iracionaliųjų skaičių apibrėžimo išplaukia, kad neracionalieji skaičiai nėra racionalieji skaičiai. Taigi neracionalūs skaičiai NĖRA:

• baigtinės ir begalinės periodinės dešimtainės trupmenos.

Taip pat bet kuri racionaliųjų skaičių kompozicija, sujungta aritmetinių operacijų ženklais (+, −, ·, :) nėra neracionalusis skaičius. Taip yra todėl, kad dviejų racionaliųjų skaičių suma, skirtumas, sandauga ir koeficientas yra racionalusis skaičius. Pavyzdžiui, išraiškų ir reikšmės yra racionalūs skaičiai. Čia pažymime, kad jei tokiose išraiškose tarp racionaliųjų skaičių yra vienas iracionalusis skaičius, tada visos išraiškos reikšmė bus neracionalusis skaičius. Pavyzdžiui, reiškinyje skaičius yra neracionalus, o likę skaičiai yra racionalūs, todėl tai yra neracionalusis skaičius. Jei tai būtų racionalus skaičius, tada sektų skaičiaus racionalumas, bet jis nėra racionalus.

Jei skaičių nurodančioje išraiškoje yra keli neracionalūs skaičiai, šaknies ženklai, logaritmai, trigonometrinės funkcijos, skaičiai π, e ir kt., tada kiekvienu konkrečiu atveju reikia įrodyti duoto skaičiaus neracionalumą ar racionalumą. Tačiau jau yra nemažai gautų rezultatų, kuriuos galima panaudoti. Išvardinkime pagrindinius.

Įrodyta, kad sveikojo skaičiaus k-oji šaknis yra racionalusis skaičius tik tada, kai po šaknimi esantis skaičius yra kito sveikojo skaičiaus k-asis laipsnis, kitais atvejais tokia šaknis nurodo iracionalųjį skaičių. Pavyzdžiui, skaičiai ir yra neracionalūs, nes nėra sveikojo skaičiaus, kurio kvadratas būtų 7, ir nėra sveikojo skaičiaus, kurį padidinus iki penktos laipsnio gautas skaičius 15. Ir skaičiai nėra neracionalūs, nes ir .

Kalbant apie logaritmus, kartais galima įrodyti jų neracionalumą naudojant prieštaravimo metodą. Pavyzdžiui, įrodykime, kad log 2 3 yra neracionalus skaičius.

Tarkime, kad log 2 3 yra racionalusis skaičius, o ne iracionalusis, tai yra, jį galima pavaizduoti kaip paprastąją trupmeną m/n. ir leiskite parašyti tokią lygybių grandinę: . Paskutinė lygybė neįmanoma, nes jos kairėje pusėje nelyginis skaičius , o dešinėje pusėje – net. Taigi mes priėjome prie prieštaravimo, o tai reiškia, kad mūsų prielaida pasirodė neteisinga, ir tai įrodė, kad log 2 3 yra neracionalus skaičius.

Atkreipkite dėmesį, kad bet kurio teigiamo ir nevienodo racionaliojo a lna yra neracionalusis skaičius. Pavyzdžiui, ir yra neracionalūs skaičiai.

Taip pat įrodyta, kad skaičius e a bet kuriam nuliui nepriklausančiam racionaliajam a yra neracionalus, o skaičius π z bet kuriam nenuliniam sveikajam skaičiui z yra neracionalus. Pavyzdžiui, skaičiai yra neracionalūs.

Iracionalieji skaičiai taip pat yra trigonometrinės funkcijos sin, cos, tg ir ctg bet kuriai racionaliajai ir nenulinei argumento reikšmei. Pavyzdžiui, sin1 , tan(−4) , cos5,7 yra neracionalūs skaičiai.

Yra ir kitų įrodytų rezultatų, tačiau apsiribosime jau išvardytais. Taip pat reikėtų pasakyti, kad įrodinėjant minėtus rezultatus, teorija, susijusi su algebriniai skaičiai Ir transcendentiniai skaičiai.

Baigdami pažymime, kad neturėtume daryti skubotų išvadų dėl neracionalumo duotus skaičius. Pavyzdžiui, atrodo akivaizdu, kad neracionalusis skaičius iki neracionalaus laipsnio yra iracionalusis skaičius. Tačiau taip būna ne visada. Kad patvirtintume nurodytą faktą, pateikiame laipsnį. Yra žinoma, kad - yra neracionalus skaičius, taip pat buvo įrodyta, kad - yra neracionalus skaičius, bet yra racionalus skaičius. Taip pat galite pateikti iracionaliųjų skaičių, kurių suma, skirtumas, sandauga ir koeficientas yra racionalieji skaičiai, pavyzdžių. Be to, skaičių π+e, π−e, π·e, π π, π e ir daugelio kitų racionalumas ar neracionalumas dar neįrodytas.

Nuorodos.

• Matematika. 6 klasė: mokomoji. bendrajam lavinimui institucijos / [N. Ya. Vilenkin ir kiti]. - 22 leidimas, red. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra: vadovėlis 8 klasei. bendrojo išsilavinimo institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; redagavo S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M.: Švietimas, 2008. - 271 p. : serga. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusevas V. A., Mordkovičius A. G. Matematika (vadovas stojantiems į technikos mokyklas): Proc. pašalpa.- M.; Aukščiau mokykla, 1984.-351 p., iliustr.

Iracionaliojo skaičiaus apibrėžimas

Neracionalieji skaičiai yra tie skaičiai, kurie dešimtainėje žymėjime reiškia begalę neperiodinių dešimtainių trupmenų.

Taigi, pavyzdžiui, skaičiai, gauti paėmus natūraliųjų skaičių kvadratinę šaknį, yra neracionalūs ir nėra natūraliųjų skaičių kvadratai. Tačiau ne visi neracionalieji skaičiai gaunami ištraukus kvadratinės šaknys, nes dalybos būdu gautas skaičius „pi“ taip pat yra neracionalus, ir vargu ar jį gausite bandydami išgauti natūraliojo skaičiaus kvadratinę šaknį.

Iracionaliųjų skaičių savybės

Skirtingai nei skaičiai, parašyti kaip begaliniai dešimtainiai, tik neracionalūs skaičiai rašomi kaip neperiodiniai begaliniai dešimtainiai.
Dviejų neneigiamų neracionalių skaičių suma gali būti racionalusis skaičius.
Iracionalieji skaičiai apibrėžia Dedekind dalis racionaliųjų skaičių rinkinyje, žemesnėje klasėje, kuri neturi didelis skaičius, o viršutinėje nėra mažiau.
Bet koks tikras transcendentinis skaičius yra neracionalus.
Visi neracionalūs skaičiai yra algebriniai arba transcendentiniai.
Iracionaliųjų skaičių rinkinys tiesėje yra tankiai išdėstytas, o tarp bet kurių dviejų jos skaičių tikrai yra neracionalusis skaičius.
Iracionaliųjų skaičių aibė yra begalinė, neskaičiuojama ir yra 2 kategorijos aibė.
Atliekant bet kokią aritmetinę operaciją su racionaliaisiais skaičiais, išskyrus dalijimą iš 0, rezultatas bus racionalus skaičius.
Pridedant racionalųjį skaičių prie neracionaliojo skaičiaus, rezultatas visada yra iracionalusis skaičius.
Sudėjus neracionalius skaičius, galime gauti racionalųjį skaičių.
Iracionaliųjų skaičių aibė nėra lyginė.

Skaičiai nėra neracionalūs

Kartais gana sunku atsakyti į klausimą, ar skaičius yra neracionalus, ypač tais atvejais, kai skaičius yra dešimtainės trupmenos arba skaitinės išraiškos, šaknies ar logaritmo pavidalu.

Todėl nebus nereikalinga žinoti, kurie skaičiai nėra neracionalūs. Jei vadovausimės iracionaliųjų skaičių apibrėžimu, tai jau žinome, kad racionalieji skaičiai negali būti neracionalūs.

Neracionalūs skaičiai nėra:

Visų pirma, viskas natūraliuosius skaičius;
Antra, sveikieji skaičiai;
Trečia, paprastosios trupmenos;
Ketvirta, kitokia mišrūs skaičiai;
Penkta, tai yra begalinės periodinės dešimtainės trupmenos.

Be to, kas išdėstyta aukščiau, neracionalusis skaičius negali būti bet koks racionaliųjų skaičių derinys, kurį atlieka aritmetinių operacijų ženklai, pvz., +, -, , :, nes tokiu atveju taip pat bus dviejų racionaliųjų skaičių rezultatas. racionalus skaičius.

Dabar pažiūrėkime, kurie skaičiai yra neracionalūs:

Ar žinote, kad egzistuoja fanų klubas, kuriame šio paslaptingo matematinio reiškinio gerbėjai ieško vis daugiau informacijos apie Pi, bandydami įminti jo paslaptį? Šio klubo nariu gali tapti bet kuris asmuo, mintinai žinantis tam tikrą Pi skaičių po kablelio;

Ar žinojote, kad Vokietijoje, saugomoje UNESCO, yra Castadel Monte rūmai, kurių proporcijų dėka galite apskaičiuoti Pi. Šiam numeriui karalius Frederikas II paskyrė visus rūmus.

Pasirodo, Babelio bokšto statyboje jie bandė panaudoti skaičių Pi. Deja, tai lėmė projekto žlugimą, nes tuo metu tikslus Pi vertės apskaičiavimas nebuvo pakankamai ištirtas.

Dainininkė Kate Bush savo naujajame diske įrašė dainą „Pi“, kurioje skambėjo šimtas dvidešimt keturi numeriai iš garsiosios skaičių serijos 3, 141….