\(\DeclareMathOperator(\tg)(tg)\)\(\DeclareMathOperator(\ctg)(ctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arctg)(arctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arcctg)(arcctg) \)

Turinys

Funkcijos monotoniškumas intervale Jei intervale \((a;b)\) bet kuriai taškų porai \((x_1) didėja šiame intervale.

Jei intervale \((a;b)\) bet kuriai taškų porai \((x_1)(f(x_2))\), tada funkcija \(f(x)\) mažėjašiuo intervalu.

Funkcija, kurios grafikas parodytas paveiksle, didėja intervale \((a;b)\) ir mažėja intervale \((b;c)\).

Pakankami funkcijos monotoniškumo intervale kriterijai Pakankamas funkcijos didinimo kriterijus
Jei \(f"(x)>0\) visuose taškuose \(x\in(a;b)\), tada funkcija \(f(x)\) didėja intervale \((a;b) \) .

Pakankamas kriterijus funkcijai mažėti
Jei \(f"(x)

Vietinių kraštutinumų taškai Jei kuriame nors intervale \((a;b)\), kuriame yra taškas \(x_0\) visiems \(x\in(a;b)\), nelygybė \(f(x)\geqslant f(x_0)\ ), ir šiame intervale yra taškas \(x_1\), kad \(f(x_1)>f(x_0)\), tada \(x_0\) - vietinis minimalus taškas funkcijos \(f(x)\).

Jei kuriame nors intervale \((a;b)\), kuriame yra taškas \(x_0\) visiems \(x\in(a;b)\), nelygybė \(f(x)\leqslant f(x_0)\ ), ir šiame intervale yra taškas \(x_1\), kad \(f(x_1) yra funkcijos \(f(x)\) vietinio maksimumo taškas.

Vadinami vietinių minimumų ir maksimumų taškai vietinių ekstremalių taškų.

Žemiau esančiame paveikslėlyje pavaizduotas funkcijos \(f(x)\) grafikas, o jos vietinių ekstremalių taškai pažymėti: \(x_1,\; x_2,\; x_3,\; x_4\).

\(x_1\) ir \(x_3\) yra vietinių minimumų taškai, \(x_2\) ir \(x_4\) yra vietinių maksimumų taškai.
Taškuose \(x_1,\; x_3\) ir \(x_4\) išvestinė egzistuoja ir yra lygi nuliui – grafiko liestinės (rodomos raudonomis linijomis) šiuose taškuose yra lygiagrečios x ašiai.
Taške \(x_2\) išvestinė neapibrėžta. Šiuo metu negalima nubrėžti grafiko liestinės.

Aukšto ir žemo lygio požymiai Jei taške \(x_0\) funkcija \(f\) yra ištisinė, o jos išvestinė \(f'\) šiame taške pakeičia ženklą iš pliuso į minusą (tai yra, yra toks intervalas \(( a;x_0)\ ) taip, kad \(f'>0\) ant \((a;x_0)\) ir intervalas \((x_0;b)\), kad \(f'
Jei taške \(x_0\) funkcija \(f\) yra ištisinė, o jos išvestinė \(f'\) šiame taške pakeičia ženklą iš minuso į pliusą (tai yra, yra toks intervalas \(( a;x_0)\ ), kad \(f' 0\) ant \((x_0;b)\)), tada \(x_0\) yra mažiausias funkcijos \(f\) taškas.

Mažiausias ir maksimalus funkcijos taškai yra šios funkcijos apibrėžimo srities taškai (tai yra reikšmės \(x\)). Funkcijų reikšmės šiuose taškuose (reikšmės\(y\), atitinkančios šiuos \(x\)) vadinamos žemumos ir aukštumos atitinkamai funkcijas.

Pavyzdžiui, funkcijai \(y=x^2+1\): \(\;x=0\) yra mažiausias taškas, o \(y(0)=1\) yra minimumas.

Minimalaus ir maksimalaus taškų paieška Norėdami rasti mažiausią ir didžiausią ištisinės funkcijos \(f(x)\) taškus, jums reikia:

2) rasti išvestinės nulius (išspręsti lygtį \(f"(x)=0\)) ir taškus, kuriuose išvestinė neapibrėžta;

3) kiekviename gautame intervale rasti išvestinės požymius;

4) taškai, kuriuose funkcija \(f\) yra ištisinė, o jos išvestinė keičia ženklą iš „+“ į „-“ - šios funkcijos maksimumo taškai,

tie taškai, kuriuose funkcija \(f\) yra ištisinė, o jos išvestinė keičia ženklą iš „-“ į „+“ – minimalius šios funkcijos taškus.

Didžiausia ir mažiausia segmento funkcijos reikšmė Funkcija, kuri yra tęstinė segmente, pasiekia didžiausias ir minimalias reikšmes šiame segmente.

Norėdami rasti didžiausią ir mažiausią ištisinės funkcijos \(f(x)\) segmente reikšmes, jums reikia:

1) suraskite šios funkcijos išvestinę \ (f "(x) \);

2) rasti kritiniai taškai, tai yra išvestinės nuliai (išspręskite lygtį \ (f "(x) = 0 \))" ir taškai, kuriuose išvestinė nėra apibrėžta;

3) rasti funkcijos reikšmę kritiniuose taškuose, taip pat atkarpos galuose;

4) didžiausia iš gautų reikšmių bus didžiausia funkcijos reikšmė šiame segmente,

mažiausia iš gautų verčių bus mažiausia šio segmento funkcijos reikšmė.

Didžiausia funkcijos \(f(x)\) reikšmė intervale \(\) žymima \(\max\limits_()f(x)\)

Mažiausia funkcijos \(f(x)\) reikšmė intervale \(\) žymima \(\min\limits_()f(x)\)

Raskite didžiausią funkcijos y=(7x^2-56x+56)e^x reikšmę intervale [-3; 2].

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Raskite pradinės funkcijos išvestinę pagal sandaugos išvestinės formulę y"=(7x^2-56x+56)"e^x\,+ (7x^2-56x+56)\left(e^x\right)"= (14x-56)e^x+(7x^2-56x+56)e^x= (7x^2-42x)e^x= 7x(x-6)e^x. Apskaičiuokime išvestinės nulius: y"=0;

7x(x-6)e^x=0,

x_1=0, x_2=6.

Padėkime išvestinės ženklus ir nustatykime pradinės funkcijos monotoniškumo intervalus duotame intervale.

Iš paveikslo matyti, kad intervale [-3; 0] pradinė funkcija didėja ir mažėja intervale. Taigi didžiausia intervalo reikšmė [-3; 2] pasiekiamas esant x=0 ir yra lygus y(0)= 7\cdot 0^2-56\cdot 0+56=56.

Atsakymas

Būklė

Raskite atkarpoje didžiausią funkcijos y=12x-12tg x-18 reikšmę \kairėje.

Rodyti sprendimą

Sprendimas

y"= (12x)"-12(tgx)"-(18)"= 12-\frac(12)(\cos ^2x)= \frac(12\cos ^2x-12)(\cos ^2x)\leqslant0. Tai reiškia, kad pradinė funkcija nagrinėjamame intervale nedidėja ir įgauna didžiausią reikšmę kairiajame segmento gale, ty ties x=0. Didžiausia vertė yra y(0)= 12\cdot 0-12tg(0)-18= -18.

Atsakymas

Šaltinis: „Matematika. Pasiruošimas egzaminui-2017 m. profilio lygis. Red. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Būklė

Raskite funkcijos y=(x+8)^2e^(x+52) mažiausią tašką.

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Funkcijos minimalų tašką rasime naudodami išvestinę. Raskime duotosios funkcijos išvestinę naudodamiesi sandaugos išvestinės formulėmis, x^\alpha ir e^x išvestine:

y"(x)= \left((x+8)^2\right)"e^(x+52)+(x+8)^2\left(e^(x+52)\right)"= 2(x+8)e^(x+52)+(x+8)^2e^(x+52)= (x+8)e^(x+52)(2+x+8)= (x+8)(x+10)e^(x+52).

Išdėstykime išvestinės požymius ir nustatykime pradinės funkcijos monotoniškumo intervalus. e^(x+52)>0 bet kuriam x . y"=0 kai x=-8, x=-10.

Paveikslėlyje parodyta, kad funkcija y=(x+8)^2e^(x+52) turi vieną minimalų tašką x=-8.

Atsakymas

Šaltinis: „Matematika. Pasiruošimas egzaminui-2017 m. profilio lygis. Red. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Būklė

Raskite maksimalų funkcijos tašką y=8x-\frac23x^\tfrac32-106.

Rodyti sprendimą

Sprendimas

ODZ: x \geqslant 0. Raskite pradinės funkcijos išvestinę:

y"=8-\frac23\cdot\frac32x^\tfrac12=8-\sqrt x.

Apskaičiuokime išvestinės nulius:

8-\sqrtx=0;

\sqrtx=8;

x=64.

Išdėstykime išvestinės požymius ir nustatykime pradinės funkcijos monotoniškumo intervalus.

Iš paveikslo matyti, kad taškas x=64 yra vienintelis maksimalus duotosios funkcijos taškas.

Atsakymas

Šaltinis: „Matematika. Pasiruošimas egzaminui-2017 m. profilio lygis. Red. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Būklė

Raskite mažiausią funkcijos y=5x^2-12x+2\ln x+37 reikšmę segmente \left[\frac35; \frac75\right].

Rodyti sprendimą

Sprendimas

ODZ: x>0.

Raskite pradinės funkcijos išvestinę:

y"(x)= 10x-12+\frac(2)(x)= \frac(10x^2-12x+2)(x).

Apibrėžkime išvestinės nulius: y"(x)=0;

\frac(10x^2-12x+2)(x)=0,

5x^2-6x+1=0,

x_(1,2)= \frac(3\pm\sqrt(3^2-5\cdot1))(5)= \frac(3\pm2)(5),

x_1=\frac15\notin\left[\frac35; \frac75\right],

x_2=1\in\kairėje[\frac35; \frac75\right].

Išdėliojame išvestinės ženklus ir nustatome pradinės funkcijos monotoniškumo intervalus nagrinėjamame intervale.

Iš paveikslo matyti, kad segmente \left[\frac35; 1\dešinė] pradinė funkcija mažėja, o intervale \kairėje dideja. Taigi, mažiausia segmento vertė \left[\frac35; \frac75\right] pasiekiamas ties x=1 ir yra lygus y(1)= 5\cdot 1^2-12\cdot 1+2 \ln 1+37= 30.

Atsakymas

Šaltinis: „Matematika. Pasiruošimas egzaminui-2017 m. profilio lygis. Red. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Būklė

Raskite didžiausią funkcijos y=(x+4)^2(x+1)+19 reikšmę atkarpoje [-5; -3].

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Raskite pradinės funkcijos išvestinę, naudodami sandaugos išvestinės formulę.

Funkcijos padidėjimas, sumažėjimas ir ekstremumai

Funkcijos padidėjimo, mažėjimo ir ekstremalių intervalų radimas yra savarankiška užduotis ir svarbi kitų užduočių dalis, ypač pilnas funkcijų tyrimas. Pateikiama pradinė informacija apie funkcijos padidėjimą, sumažėjimą ir kraštutinumus teorinis skyrius apie išvestinę, kurį labai rekomenduoju išankstiniam tyrimui (arba kartojimas)- taip pat dėl ​​to, kad ši medžiaga yra pagrįsta pačiu vedinio esmė yra harmoningas šio straipsnio tęsinys. Nors, jei laikas bėga, galimas ir grynai formalus šios dienos pamokos pavyzdžių išdirbimas.

Ir šiandien ore tvyro reto vieningumo dvasia, ir aš tiesiogiai jaučiu, kad visi susirinkusieji dega noru išmokti tyrinėti funkciją naudojant išvestinę. Todėl jūsų monitorių ekranuose iškart pasirodo pagrįsta gera amžina terminija.

Kam? Viena iš praktiškiausių priežasčių yra: kad būtų aišku, ko iš jūsų paprastai reikalaujama atliekant tam tikrą užduotį!

Funkcijos monotoniškumas. Ekstremalūs taškai ir funkcijos ekstremumai

Panagrinėkime kai kurias funkcijas. Paprasčiau tariant, mes manome, kad tai tęstinis visoje skaičių eilutėje:

Tik tuo atveju iš karto atsikratysime galimų iliuzijų, ypač tiems skaitytojams, kurie neseniai susipažino funkcijos ženklų pastovumo intervalai. Dabar mes NESUDOMINTAS, kaip funkcijos grafikas yra ašies atžvilgiu (viršuje, apačioje, kur ji kerta ašį). Norėdami įtikinti, mintyse ištrinkite ašis ir palikite vieną grafiką. Nes susidomėjimas tuo.

Funkcija dideja intervale, jei bet kuriems dviem šio intervalo taškams, susijusiems su santykiu , nelygybė yra teisinga. Tai reiškia, kad didesnė argumento reikšmė atitinka didesnę funkcijos reikšmę, o jos grafikas eina „iš apačios į viršų“. Demonstracinė funkcija per laikotarpį auga.

Taip pat ir funkcija mažėja apie intervalą, jei bet kurių dviejų taškų tam tikro intervalo, kad , Nelygybė yra tiesa. Tai reiškia, kad didesnė argumento reikšmė atitinka mažesnę funkcijos reikšmę, o jos grafikas eina „iš viršaus į apačią“. Mūsų funkcija mažėja per intervalus .

Jei funkcija didėja arba mažėja per intervalą, tada ji vadinama griežtai monotoniškasšiuo intervalu. Kas yra monotoniškumas? Supraskite tai pažodžiui – monotonija.

Taip pat galima apibrėžti nemažėjantis funkcija (atsipalaidavusi būsena pirmajame apibrėžime) ir nedidėjantis funkcija (suminkštinta sąlyga 2-oje apibrėžime). Nemažėjanti arba nedidėjanti intervalo funkcija vadinama monotonine tam tikro intervalo funkcija (griežtas monotoniškumas yra ypatingas „tiesiog“ monotoniškumo atvejis).

Teorija taip pat svarsto kitus metodus, kaip nustatyti funkcijos padidėjimą / sumažėjimą, įskaitant pusės intervalus, segmentus, tačiau, kad nepiltumėte aliejaus-alyva-alyvos ant galvos, mes sutinkame veikti atvirais intervalais su kategoriškais apibrėžimais - tai yra aiškiau ir gana daug praktinių problemų išspręsti.

Šiuo būdu, mano straipsniuose formuluotė „funkcijos monotoniškumas“ beveik visada pasislėps intervalais griežta monotonija(griežtas funkcijos padidėjimas arba sumažėjimas).

Taško kaimynystė. Žodžiai, po kurių mokiniai blaškosi kur tik gali, ir iš siaubo slepiasi kampuose. …Nors po įrašo Cauchy ribos jie tikriausiai jau nesislepia, o tik truputi dreba =) Nesijaudink, dabar nebus matematinės analizės teoremų įrodymų - reikėjo apylinkėms griežčiau suformuluoti apibrėžimus ekstremalūs taškai. Mes prisimenam:

Kaimynystės taškas pavadinkite intervalą, kuriame yra nurodytas taškas, o patogumo dėlei intervalas dažnai laikomas simetrišku. Pavyzdžiui, taškas ir jo standartinė kaimynystė:

Iš esmės apibrėžimai:

Taškas vadinamas griežtas maksimalus taškas, jei egzistuoja jos kaimynystėje, visiems kurių vertės, išskyrus patį tašką, nelygybė yra įvykdyta. Mūsų konkrečiame pavyzdyje tai yra taškas.

Taškas vadinamas griežtas minimalus taškas, jei egzistuoja jos kaimynystėje, visiems kurių vertės, išskyrus patį tašką, nelygybė yra įvykdyta. Brėžinyje - taškas "a".

Pastaba : reikalavimas, kad kaimynystė būtų simetriška, visai nereikalingas. Be to, svarbu pats egzistavimo faktas kaimynystė (nors ir mažytė, net mikroskopinė), atitinkanti nurodytas sąlygas

Taškai vadinami griežto ekstremumo taškai arba tiesiog ekstremalūs taškai funkcijas. Tai yra apibendrintas maksimalaus ir minimalaus balo terminas.

Kaip suprasti žodį „ekstremalus“? Taip, taip pat tiesiogiai kaip monotonija. Kraštutiniai kalnelių taškai.

Kaip ir monotoniškumo atveju, teorijoje yra ir dar daugiau paplitusių negriežtų postulatų (į kurią, žinoma, patenka griežti atvejai!):

Taškas vadinamas maksimalus taškas, jei egzistuoja jo aplinka, tokia, kad visiems
Taškas vadinamas minimalus taškas, jei egzistuoja jo aplinka, tokia, kad visiemsšios kaimynystės vertybes, nelygybė galioja.

Atkreipkite dėmesį, kad pagal paskutinius du apibrėžimus bet kuris pastovios funkcijos taškas (arba tam tikros funkcijos „plokščias plotas“) laikomas ir maksimaliu, ir mažiausiu tašku! Funkcija , beje, yra ir nedidinanti, ir nemažinanti, tai yra monotoniška. Tačiau paliekame šiuos argumentus teoretikams, nes praktiškai beveik visada kontempliuojame tradicines „kalvas“ ir „daubas“ (žr. piešinį) su unikalia „kalno karaliumi“ arba „pelkės princese“. Kaip įvairovė pasitaiko tašką, nukreiptas aukštyn arba žemyn, pavyzdžiui, funkcijos minimumas taške .

O, o kalbant apie honorarą:
- vadinasi prasmė maksimalus funkcijos;
- vadinasi prasmė minimumas funkcijas.

Dažnas vardas - kraštutinumai funkcijas.

Būkite atsargūs su savo žodžiais!

ekstremalūs taškai yra „x“ reikšmės.
Kraštutinumai- „žaidimo“ vertybės.

! Pastaba : kartais išvardyti terminai nurodo taškus "x-y", esančius tiesiai funkcijos GRAFĖJE.

Kiek ekstremalių gali turėti funkcija?

Nėra, 1, 2, 3 ir tt iki begalybės. Pavyzdžiui, sinusas turi begalinį skaičių minimumų ir maksimumų.

SVARBU! Terminas „maksimali funkcija“ nėra tapatus terminas „didžiausia funkcijos reikšmė“. Nesunku pastebėti, kad vertė yra maksimali tik vietinėje kaimynystėje, o viršutiniame kairiajame kampe yra „staigesni bendražygiai“. Taip pat „minimali funkcija“ nėra tas pats, kas „minimali funkcijos reikšmė“, o brėžinyje matome, kad reikšmė yra minimali tik tam tikroje srityje. Šiuo atžvilgiu taip pat vadinami kraštutiniai taškai vietiniai ekstremumo taškai, ir ekstremumai vietiniai kraštutinumai. Jie vaikšto ir klaidžioja aplinkui ir globalus broliai. Taigi, bet kuri parabolė turi savo viršūnę pasaulinis minimumas arba pasaulinis maksimumas. Be to, aš neskirsiu kraštutinumų tipų, o paaiškinimas išsakomas labiau bendrais ugdymo tikslais – papildomi būdvardžiai „vietinis“ / „pasaulinis“ neturėtų stebinti.

Apibendrinkime savo trumpą nukrypimą į teoriją kontroliniu šūviu: ką reiškia užduotis „Rasti funkcijos monotoniškumo intervalus ir ekstremalius taškus“?

Formuluotė ragina rasti:

- funkcijos didėjimo/mažėjimo intervalai (nemažėjanti, nedidėjanti atsiranda daug rečiau);

– maksimalūs ir (arba) mažiausi balai (jeigu yra). Na, geriau patiems susirasti minimumus/maksimus iš gedimo ;-)

Kaip visa tai apibrėžti? Išvestinės funkcijos pagalba!

Kaip rasti didėjimo, mažėjimo intervalus,
funkcijos ekstremumai ir ekstremumai?

Iš tikrųjų daugelis taisyklių jau žinomos ir suprantamos pamoka apie vedinio reikšmę.

Tangentinė išvestinė yra gera žinia, kad funkcija vis didėja domenai.

Su kotangentu ir jo išvestine situacija yra visiškai priešinga.

Arsinusas auga intervale - čia išvestinė yra teigiama: .
Funkcija yra apibrėžta, bet nediferencijuojama. Tačiau kritiniame taške yra dešinioji išvestinė ir dešinioji liestinė, o kitame krašte – kairieji jų atitikmenys.

Manau, jums nebus sunku atlikti panašius argumentus dėl lanko kosinuso ir jo išvestinės.

Visi šie atvejai, kurių daugelis yra lentelės vediniai, primenu, sekite tiesiai iš išvestinės apibrėžimai.

Kam tirti funkciją su išvestine?

Norėdami geriau suprasti, kaip atrodo šios funkcijos grafikas: kur eina "iš apačios į viršų", kur eina "iš viršaus žemyn", kur pasiekia aukštumų žemumas (jei iš viso). Ne visos funkcijos yra tokios paprastos – daugeliu atvejų mes apskritai neturime nė menkiausio supratimo apie konkrečios funkcijos grafiką.

Atėjo laikas pereiti prie prasmingesnių pavyzdžių ir apsvarstyti funkcijos monotoniškumo ir ekstremalumo intervalų paieškos algoritmas:

1 pavyzdys

Raskite funkcijos didėjančius/mažėjančius intervalus ir kraštutinumus

Sprendimas:

1) Pirmas žingsnis yra surasti funkcijos apimtis, taip pat atkreipkite dėmesį į lūžio taškus (jei jie yra). Šiuo atveju funkcija tęsiasi visoje realioje eilutėje ir šis veiksmas yra šiek tiek formalus. Tačiau kai kuriais atvejais čia įsiplieskia rimtos aistros, todėl vertinkime pastraipą be aplaidumo.

2) Antrasis algoritmo taškas yra skirtas

būtina ekstremumo sąlyga:

Jei taške yra ekstremumas, tada reikšmė neegzistuoja.

Supainioti dėl pabaigos? Funkcijos "modulo x" ekstremumas .

sąlyga būtina, bet nepakankamai, ir atvirkščiai ne visada tiesa. Taigi iš lygybės dar neišplaukia, kad funkcija taške pasiekia maksimumą ar minimumą. Klasikinis pavyzdys jau buvo apšviestas aukščiau - tai kubinė parabolė ir jos kritinis taškas.

Bet kaip ten bebūtų, būtina ekstremumo sąlyga diktuoja poreikį rasti įtartinus taškus. Norėdami tai padaryti, raskite išvestinę ir išspręskite lygtį:

Pirmojo straipsnio pradžioje apie funkcijų grafikus Aš jums pasakiau, kaip greitai sukurti parabolę naudojant pavyzdį : "... imame pirmąją išvestinę ir prilyginame ją nuliui: ... Taigi, mūsų lygties sprendinys: - būtent šioje vietoje yra parabolės viršūnė...". Dabar, manau, visi supranta, kodėl parabolės viršūnė yra būtent šioje vietoje =) Apskritai čia reikėtų pradėti nuo panašaus pavyzdžio, bet jis per paprastas (net arbatinukui). Be to, pačioje pamokos pabaigoje yra analogas apie išvestinė funkcija. Taigi pakelkime lygį:

2 pavyzdys

Raskite funkcijos monotoniškumo intervalus ir ekstremumus

Tai „pasidaryk pats“ pavyzdys. Išsamus problemos sprendimas ir apytikslis baigiamasis pavyzdys pamokos pabaigoje.

Atėjo ilgai lauktas susitikimo su trupmeninėmis racionaliosiomis funkcijomis momentas:

3 pavyzdys

Išnagrinėkite funkciją naudodami pirmąją išvestinę

Atkreipkite dėmesį, kaip įvairiai galima performuluoti vieną ir tą pačią užduotį.

Sprendimas:

1) Funkcija taškuose patiria begalinius lūžius.

2) Mes nustatome kritinius taškus. Raskime pirmąją išvestinę ir prilyginkime ją nuliui:

Išspręskime lygtį. Trupmena yra lygi nuliui, kai jos skaitiklis yra nulis:

Taigi gauname tris svarbius taškus:

3) Atidėkite VISUS aptiktus taškus skaičių eilutėje ir intervalo metodas apibrėžkite IŠVEDINIMO požymius:

Primenu, kad reikia paimti kokį nors intervalo tašką, paskaičiuoti jame išvestinės reikšmę ir nustatyti jo ženklą. Pelningiau net ne skaičiuoti, o „įvertinti“ žodžiu. Paimkite, pavyzdžiui, tašką, priklausantį intervalui , ir atlikite pakeitimą: .

Du „pliusai“ ir vienas „minusas“ suteikia „minusą“, o tai reiškia, kad išvestinė yra neigiama visame intervale.

Veiksmas, kaip suprantate, turi būti atliktas kiekvienam iš šešių intervalų. Beje, atkreipkite dėmesį, kad skaitiklio veiksnys ir vardiklis yra griežtai teigiami bet kuriame bet kurio intervalo taške, o tai labai supaprastina užduotį.

Taigi, išvestinė mums pasakė, kad PATI FUNKCIJA padidėja ir sumažėja . Patogu to paties tipo tarpus tvirtinti su sąjungos piktograma .

Kai funkcija pasiekia maksimumą:
Tuo momentu, kai funkcija pasiekia savo minimumą:

Pagalvokite, kodėl negalite perskaičiuoti antrosios vertės ;-)

Einant per tašką, išvestinė ženklo nekeičia, todėl funkcija ten NE KREIMUMO - ir sumažėjo, ir liko mažėjanti.

! Pakartokime svarbų dalyką: taškai nelaikomi kritiniais – jie turi funkciją nepatikslinta. Atitinkamai, čia ekstremumai negali būti iš principo(net jei išvestinė keičia ženklą).

Atsakymas: funkcija padidėja ir mažėja Įjungus Pasiekus funkcijos maksimumą: , o taške - minimumas: .

Žinios apie monotoniškumo intervalus ir ekstremumus, kartu su nustatytais asimptotų jau suteikia labai gerą supratimą apie funkcijos grafiko išvaizdą. Vidutinis žmogus gali žodžiu nustatyti, kad funkcijos grafikas turi du vertikalius asimptotus ir įstrižą asimptotą. Štai mūsų herojus:

Pabandykite dar kartą susieti tyrimo rezultatus su šios funkcijos grafiku.
Kritiniame taške ekstremumo nėra, bet yra kreivės vingis(kas, kaip taisyklė, nutinka panašiais atvejais).

4 pavyzdys

Raskite funkcijos kraštutinumus

5 pavyzdys

Raskite funkcijos monotoniškumo intervalus, maksimumus ir minimumus

... šiandien pasirodo kažkokios X-in-a-cube atostogos...
Soooo, kas ten galerijoje už tai pasiūlė išgerti? =)

Kiekviena užduotis turi savo esminių niuansų ir techninių subtilybių, kurios komentuojamos pamokos pabaigoje.

Tai gana įdomi matematikos dalis, su kuria susiduria visi absolventai ir studentai. Tačiau ne visi mėgsta matą. Kai kurie nesugeba suprasti net pagrindinių dalykų, tokių kaip iš pažiūros standartinis funkcijų tyrimas. Šiuo straipsniu siekiama ištaisyti šią klaidą. Norite sužinoti daugiau apie funkcijų analizę? Ar norėtumėte sužinoti, kas yra ekstremalumo taškai ir kaip juos rasti? Tada šis straipsnis skirtas jums.

Funkcijos grafiko tyrimas

Pirmiausia verta suprasti, kodėl iš viso reikia analizuoti diagramą. Yra paprastų funkcijų, kurias lengva nupiešti. Ryškus tokios funkcijos pavyzdys yra parabolė. Nubraižyti jos diagramą nėra sunku. Viskas, ko reikia, tai naudojant paprastą transformaciją, rasti skaičius, kuriems esant funkcija įgauna reikšmę 0. Ir iš esmės tai viskas, ką reikia žinoti norint nubraižyti parabolės grafiką.

Bet ką daryti, jei funkcija, kurią turime sudaryti diagramoje, yra daug sudėtingesnė? Kadangi sudėtingų funkcijų savybės yra gana neaiškios, būtina atlikti visą analizę. Tik tada funkcija gali būti pavaizduota grafiškai. Kaip tai padaryti? Atsakymą į šį klausimą galite rasti šiame straipsnyje.

Funkcijų analizės planas

Pirmas dalykas, kurį reikia padaryti, yra atlikti paviršutinišką funkcijos tyrimą, kurio metu rasime apibrėžimo sritį. Taigi, pradėkime iš eilės. Apibrėžimo sritis yra tų reikšmių, kuriomis apibrėžiama funkcija, rinkinys. Paprasčiau tariant, tai yra skaičiai, kuriuos galima naudoti funkcijoje vietoj x. Norint nustatyti apimtį, tereikia pažvelgti į įrašą. Pavyzdžiui, akivaizdu, kad funkcija y (x) \u003d x 3 + x 2 - x + 43 turi apibrėžimo sritį - realiųjų skaičių aibę. Na, su tokia funkcija kaip (x 2 - 2x) / x viskas yra šiek tiek kitaip. Kadangi skaičius vardiklyje neturi būti lygus 0, tai šios funkcijos sritis bus visi tikrieji skaičiai, išskyrus nulį.

Toliau reikia rasti vadinamuosius funkcijos nulius. Tai yra argumento reikšmės, kurių visos funkcijos reikšmė yra nulis. Norėdami tai padaryti, funkciją reikia prilyginti nuliui, išsamiai apsvarstyti ir atlikti kai kurias transformacijas. Paimkime jau pažįstamą funkciją y(x) = (x 2 - 2x)/x. Iš mokyklos kurso žinome, kad trupmena yra 0, kai skaitiklis yra nulis. Todėl vardiklį atmetame ir pradedame dirbti su skaitikliu, prilygindami jį nuliui. Gauname x 2 - 2x \u003d 0 ir išimame x iš skliaustų. Taigi x (x - 2) \u003d 0. Dėl to mes nustatome, kad mūsų funkcija yra lygi nuliui, kai x yra lygi 0 arba 2.

Tyrinėdami funkcijos grafiką, daugelis susiduria su ekstremumo taškų problema. Ir tai keista. Juk kraštutinumai – gana paprasta tema. Netiki? Įsitikinkite patys skaitydami šią straipsnio dalį, kurioje kalbėsime apie minimalius ir maksimalius taškus.

Pirmiausia verta suprasti, kas yra ekstremumas. Ekstremalumas yra ribinė vertė, kurią funkcija pasiekia grafike. Iš to paaiškėja, kad yra dvi kraštutinės vertės - didžiausia ir mažiausia. Aiškumo dėlei galite pažiūrėti aukščiau esantį paveikslėlį. Tirtoje srityje taškas -1 yra funkcijos y (x) \u003d x 5 - 5x maksimumas, o taškas 1 atitinkamai yra minimumas.

Be to, nepainiokite sąvokų tarpusavyje. Funkcijos ekstremalieji taškai yra tie argumentai, kuriuose duotoji funkcija įgyja kraštutines reikšmes. Savo ruožtu ekstremumas yra funkcijos minimumų ir maksimumų reikšmė. Pavyzdžiui, dar kartą apsvarstykite aukščiau esantį paveikslą. -1 ir 1 yra funkcijos ekstremumai, o 4 ir -4 yra patys ekstremumai.

Ekstremalumo taškų paieška

Bet kaip rasti funkcijos kraštutinius taškus? Viskas gana paprasta. Pirmas dalykas, kurį reikia padaryti, yra rasti lygties išvestinę. Tarkime, gavome užduotį: "Raskite funkcijos y (x) ekstremumo taškus, x yra argumentas. Aiškumo dėlei paimkime funkciją y (x) \u003d x 3 + 2x 2 + x + 54. Atskirkime ir gaukite tokią lygtį: 3x 2 + 4x + 1. Rezultate gavome standartinę kvadratinę lygtį. Tereikia ją prilyginti nuliui ir rasti šaknis. Kadangi diskriminantas didesnis už nulį (D \u003d 16 - 12 \u003d 4), šią lygtį lemia dvi šaknys. Mes jas randame ir gauname dvi reikšmes: 1/3 ir -1. Tai bus funkcijos ekstremumai. Tačiau kaip vis tiek galite nustatyti kas yra kas? Kuris taškas yra didžiausias, o kuris yra minimumas? Norėdami tai padaryti, turite paimti gretimą tašką ir sužinoti jo reikšmę. Pavyzdžiui, paimkime skaičių -2, kuris yra kairėje išilgai koordinatės eilutė nuo -1. Šią reikšmę savo lygtyje pakeičiame y (-2) = 12 - 8 + 1 = 5. Dėl to gavome teigiamą skaičių. Tai reiškia, kad intervale nuo 1/3 iki -1 funkcija padidėja, o tai savo ruožtu reiškia, kad intervalais nuo min nuo begalybės iki 1/3 ir nuo -1 iki plius begalybės funkcija mažėja. Taigi galime daryti išvadą, kad skaičius 1/3 yra mažiausias funkcijos taškas tiriamame intervale, o -1 yra didžiausias taškas.

Verta paminėti ir tai, kad egzamino metu reikia ne tik surasti ekstremalių taškų, bet ir su jais atlikti kokią nors operaciją (sudėti, padauginti ir pan.). Būtent dėl ​​šios priežasties verta atkreipti ypatingą dėmesį į problemos sąlygas. Juk dėl neatidumo galite prarasti taškus.

Svarbi matematikos sąvoka yra funkcija. Su jo pagalba galite vizualizuoti daugybę gamtoje vykstančių procesų, atspindėti ryšį tarp tam tikrų dydžių naudojant formules, lenteles ir paveikslėlius grafike. Pavyzdys yra skysčio sluoksnio slėgio ant kūno priklausomybė nuo panardinimo gylio, pagreičio - nuo tam tikros jėgos poveikio objektui, temperatūros padidėjimo - nuo perduodamos energijos ir daugelio kitų procesų. Funkcijos tyrimas apima grafiko braižymą, jo savybių, apibrėžimo srities ir reikšmių, didėjimo ir mažėjimo intervalų išsiaiškinimą. Svarbus šio proceso momentas yra ekstremalių taškų paieška. Apie tai, kaip tai padaryti teisingai, ir pokalbis tęsis.

Apie pačią koncepciją konkrečiame pavyzdyje

Medicinoje funkcijų grafiko sudarymas gali pasakyti apie ligos vystymosi eigą paciento organizme, aiškiai atspindėdamas jo būklę. Tarkime, kad laikas dienomis brėžiamas išilgai OX ašies, o žmogaus kūno temperatūra – išilgai OY ašies. Paveikslėlyje aiškiai matyti, kaip šis rodiklis smarkiai pakyla, o paskui krenta. Taip pat nesunku pastebėti vienetinius taškus, atspindinčius momentus, kai funkcija, anksčiau padidėjusi, pradeda mažėti ir atvirkščiai. Tai yra kraštutiniai taškai, tai yra kritinės vertės (maksimali ir minimali) šiuo atveju paciento temperatūrai, po kurios pasikeičia jo būklė.

Pasvirimo kampas

Iš paveikslo nesunku nustatyti, kaip keičiasi funkcijos išvestinė. Jei grafiko tiesės laikui bėgant kyla aukštyn, tai yra teigiama. Ir kuo jie statesni, tuo didesnė išvestinės vertė, didėjant pasvirimo kampui. Mažėjimo laikotarpiais ši reikšmė įgauna neigiamas reikšmes, ekstremaliuose taškuose virsta iki nulio, o išvestinės grafikas pastaruoju atveju nubrėžiamas lygiagrečiai OX ašiai.

Bet koks kitas procesas turėtų būti traktuojamas taip pat. Tačiau geriausias būdas pasakyti apie šią sąvoką yra įvairių kūnų judėjimas, aiškiai parodytas diagramose.

Judėjimas

Tarkime, koks nors objektas juda tiesia linija, tolygiai įgydamas greitį. Šiuo laikotarpiu kūno koordinačių pokytis grafiškai atvaizduoja tam tikrą kreivę, kurią matematikas vadintų parabolės šaka. Tuo pačiu metu funkcija nuolat didėja, nes koordinačių rodikliai kas sekundę keičiasi vis greičiau. Greičio grafikas rodo išvestinės elgseną, kurios reikšmė taip pat didėja. Tai reiškia, kad judėjimas neturi kritinių taškų.

Tai tęstųsi neribotą laiką. Bet ką daryti, jei kūnas staiga nusprendžia sulėtinti greitį, sustoti ir pradėti judėti kita kryptimi? Tokiu atveju koordinačių rodikliai pradės mažėti. O funkcija perduos kritinę reikšmę ir iš didėjimo virsta mažėjančia.

Šiame pavyzdyje vėlgi galite suprasti, kad funkcijos grafiko ekstremumo taškai atsiranda tais momentais, kai ji nustoja būti monotoniška.

Fizinė išvestinės reikšmė

Tai, kas buvo aprašyta anksčiau, aiškiai parodė, kad išvestinė iš esmės yra funkcijos kitimo greitis. Šiame patobulinime yra jo fizinė prasmė. Ekstremalūs taškai yra kritinės diagramos sritys. Juos sužinoti ir aptikti galima apskaičiavus išvestinės vertę, kuri pasirodo lygi nuliui.

Yra dar vienas požymis, kuris yra pakankama ekstremumo sąlyga. Darinys tokiose linksniavimo vietose keičia savo ženklą: nuo „+“ iki „-“ maksimumo srityje ir nuo „-“ iki „+“ minimumo srityje.

Judėjimas gravitacijos įtakoje

Įsivaizduokime kitą situaciją. Vaikai, žaisdami kamuolį, mėtė jį taip, kad jis pradėjo judėti kampu į horizontą. Pradiniu momentu šio objekto greitis buvo didžiausias, tačiau veikiamas gravitacijos jis ėmė mažėti ir su kiekviena sekunde ta pačia dydžiu, lygus maždaug 9,8 m/s 2 . Tai pagreičio vertė, atsirandanti veikiant žemės traukai laisvojo kritimo metu. Mėnulyje jis būtų maždaug šešis kartus mažesnis.

Kūno judėjimą apibūdinantis grafikas yra parabolė, kurios šakos nukreiptos žemyn. Kaip rasti ekstremalių taškų? Šiuo atveju tai yra funkcijos viršūnė, kurioje kūno (rutulio) greitis įgyja nulinę reikšmę. Funkcijos išvestinė tampa lygi nuliu. Tokiu atveju kryptis, taigi ir greičio reikšmė, pasikeičia į priešingą. Kūnas su kiekviena sekunde lekia žemyn vis greičiau ir greičiau, o įsibėgėja tiek pat – 9,8 m/s 2 .

Antrasis darinys

Ankstesniu atveju greičio modulio grafikas brėžiamas kaip tiesi linija. Ši linija pirmiausia nukreipta žemyn, nes šio dydžio vertė nuolat mažėja. Pasiekus nulį viename iš laiko taškų, šios reikšmės rodikliai pradeda didėti, o greičio modulio grafinio atvaizdavimo kryptis labai pasikeičia. Dabar linija nukreipta į viršų.

Greitis, kuris yra koordinatės išvestinė laiko atžvilgiu, taip pat turi kritinį tašką. Šiame regione funkcija, iš pradžių mažėjanti, pradeda didėti. Tai funkcijos išvestinės ekstremumo taško vieta. Tokiu atveju liestinės nuolydis tampa lygus nuliui. O pagreitis, būdamas antrasis koordinatės išvestinis laiko atžvilgiu, keičia ženklą iš „-“ į „+“. Ir judėjimas iš vienodai lėto tampa tolygiai pagreitėjęs.

Pagreičio grafikas

Dabar apsvarstykite keturis skaičius. Kiekvienas iš jų rodo tokio fizinio dydžio, kaip pagreitis, pokyčio grafiką. „A“ atveju jo reikšmė išlieka teigiama ir pastovi. Tai reiškia, kad kūno greitis, kaip ir jo koordinatė, nuolat didėja. Jeigu įsivaizduosime, kad objektas taip judės be galo ilgai, tai koordinatės priklausomybę nuo laiko atspindinti funkcija pasirodys nuolat didėjanti. Iš to išplaukia, kad ji neturi kritinių regionų. Išvestinės grafike taip pat nėra ekstremumo taškų, tai yra tiesiškai besikeičiančio greičio.

Tas pats pasakytina ir apie „B“ atvejį su teigiamu ir nuolat didėjančiu pagreičiu. Tiesa, čia koordinačių ir greičio grafikai bus kiek sudėtingesni.

Kai pagreitis pasiekia nulį

Žvelgiant į „B“ figūrą, galima pastebėti visiškai kitokį vaizdą, apibūdinantį kūno judėjimą. Jo greitis bus grafiškai pavaizduotas kaip parabolė su šakomis, nukreiptomis žemyn. Jei tęsime eilutę, apibūdinančią pagreičio pokytį, kol jis susikirs su OX ašimi, ir toliau, tada galime įsivaizduoti, kad iki šios kritinės reikšmės, kur pagreitis pasirodo lygus nuliui, objekto greitis padidės. vis lėčiau. Koordinatės funkcijos išvestinės ekstremalus taškas bus kaip tik parabolės viršuje, po kurio kūnas radikaliai pakeis judesio pobūdį ir pradės judėti kita kryptimi.

Pastaruoju atveju „G“ judesio pobūdžio negalima tiksliai nustatyti. Čia žinome tik tai, kad tam tikrą nagrinėjamą laikotarpį nėra pagreičio. Tai reiškia, kad objektas gali likti vietoje arba judėjimas vyksta pastoviu greičiu.

Koordinavimo papildymo užduotis

Pereikime prie užduočių, su kuriomis dažnai susiduriama mokantis algebros mokykloje ir siūlomos pasiruošti egzaminui. Žemiau esančiame paveikslėlyje parodytas funkcijos grafikas. Būtina apskaičiuoti ekstremalių taškų sumą.

Tai darysime y ašiai, nustatydami kritinių sričių, kuriose pastebimas funkcijos charakteristikų pokytis, koordinates. Paprasčiau tariant, mes randame vingio taškų reikšmes išilgai x ašies ir tada pridedame gautus terminus. Pagal grafiką akivaizdu, kad jie turi tokias reikšmes: -8; -7; -5; -3; -2; vienas; 3. Pridedama iki -21, tai yra atsakymas.

Optimalus sprendimas

Nebūtina aiškinti, kiek svarbus gali būti optimalaus sprendimo pasirinkimas atliekant praktines užduotis. Juk yra daug būdų pasiekti tikslą, o geriausia išeitis, kaip taisyklė, yra tik viena. Tai nepaprastai reikalinga, pavyzdžiui, projektuojant laivus, erdvėlaivius ir orlaivius, architektūrines struktūras, siekiant rasti optimalią šių žmogaus sukurtų objektų formą.

Transporto priemonių greitis labai priklauso nuo kompetentingo pasipriešinimo, kurį jos patiria važiuodamos vandeniu ir oru, sumažinimo, nuo perkrovų, atsirandančių veikiant gravitacinėms jėgoms ir daugeliui kitų rodiklių. Laivui jūroje reikia tokių savybių kaip stabilumas audros metu, upės laivui svarbi minimali grimzlė. Skaičiuojant optimalų dizainą, ekstremalūs taškai grafike gali vizualiai pateikti idėją apie geriausią sudėtingos problemos sprendimą. Tokio plano uždaviniai dažnai sprendžiami ekonomikoje, ekonomikos srityse, daugelyje kitų gyvenimo situacijų.

Iš senovės istorijos

Ekstremalios užduotys užėmė net senovės išminčius. Graikų mokslininkai matematiniais skaičiavimais sėkmingai išaiškino plotų ir tūrių paslaptį. Jie pirmieji suprato, kad įvairių figūrų plokštumoje, turinčioje tą patį perimetrą, apskritimas visada turi didžiausią plotą. Panašiai rutuliui suteikiamas didžiausias tūris tarp kitų erdvėje esančių objektų, kurių paviršiaus plotas yra toks pat. Tokių problemų sprendimui atsidėjo tokios garsios asmenybės kaip Archimedas, Euklidas, Aristotelis, Apolonijus. Labai gerai sekėsi surasti ekstremalių taškų Heronui, kuris, griebęsis skaičiavimų, sukonstravo išradingus įrenginius. Tai buvo automatinės mašinos, judančios garu, siurbliai ir turbinos, veikiančios tuo pačiu principu.

Kartaginos statyba

Yra legenda, kurios siužetas pagrįstas vienos iš ekstremalių užduočių sprendimu. Finikiečių princesės, kuri kreipėsi pagalbos į išminčius, pademonstruoto verslo požiūrio rezultatas buvo Kartaginos statyba. Šio senovinio ir garsaus miesto sklypą Didonai (toks buvo valdovo vardas) padovanojo vienos iš Afrikos genčių vadas. Sklypo plotas jam iš pradžių neatrodė labai didelis, nes pagal sutartį jis turėjo būti uždengtas jaučio oda. Tačiau princesė įsakė savo kareiviams supjaustyti jį plonomis juostelėmis ir iš jų padaryti diržą. Jis pasirodė toks ilgas, kad apėmė plotą, kuriame tilpo visas miestas.

Skaičiavimo ištakos

O dabar pereikime nuo seniausių laikų į vėlesnę erą. Įdomu tai, kad XVII amžiuje Keplerį suprasti matematinės analizės pagrindus paskatino susitikimas su vyno pardavėju. Prekybininkas taip gerai išmanė savo profesiją, kad galėjo nesunkiai nustatyti gėrimo tūrį statinėje tiesiog nuleidęs į ją geležinį turniketą. Apmąstydamas tokį kuriozą, žinomas mokslininkas sugebėjo išspręsti šią dilemą. Pasirodo, įgudę tų laikų kuprininkai įprato gaminti indus taip, kad tam tikrame tvirtinimo žiedų perimetro aukštyje ir spinduliu jie turėtų maksimalią talpą.

Kepleriui tai tapo proga tolesniems apmąstymams. Bocharai priėjo optimalų sprendimą ilgų ieškojimų, klaidų ir naujų bandymų dėka, perduodant savo patirtį iš kartos į kartą. Tačiau Kepleris norėjo pagreitinti procesą ir išmokti tą patį padaryti per trumpą laiką matematiniais skaičiavimais. Visi jo pokyčiai, kuriuos perėmė kolegos, virto dabar žinomomis Fermato ir Niutono – Leibnizo teoremomis.

Didžiausio ploto radimo problema

Įsivaizduokite, kad turime vielą, kurios ilgis yra 50 cm. Kaip iš jo padaryti stačiakampį, kurio plotas didžiausias?

Pradedant sprendimą, reikia vadovautis paprastų ir gerai žinomų tiesų. Aišku, kad mūsų figūros perimetras bus 50 cm.Ji taip pat susideda iš dvigubai didesnių abiejų pusių ilgių. Tai reiškia, kad vieną iš jų pažymėjus „X“, kitą galima išreikšti kaip (25 – X).

Iš čia gauname plotą, lygų X (25 - X). Ši išraiška gali būti pavaizduota kaip funkcija, kuri įgyja daug reikšmių. Uždaviniui išspręsti reikia surasti jų maksimumą, vadinasi, reikėtų išsiaiškinti kraštutinius taškus.

Norėdami tai padaryti, randame pirmąją išvestinę ir prilygstame nuliui. Rezultatas yra paprasta lygtis: 25 - 2X = 0.

Iš jo sužinome, kad viena iš kraštinių yra X = 12,5.

Todėl kitas: 25 - 12,5 \u003d 12,5.

Pasirodo, kad problemos sprendimas bus kvadratas, kurio kraštinė yra 12,5 cm.

Kaip rasti maksimalų greitį

Panagrinėkime dar vieną pavyzdį. Įsivaizduokite, kad yra kūnas, kurio tiesinis judėjimas apibūdinamas lygtimi S \u003d - t 3 + 9t 2 - 24t - 8, kur nuvažiuotas atstumas išreiškiamas metrais, o laikas - sekundėmis. Būtina rasti maksimalų greitį. Kaip tai padaryti? Atsisiuntę raskite greitį, tai yra, pirmąją išvestinę.

Gauname lygtį: V = - 3t 2 + 18t - 24. Dabar, norėdami išspręsti problemą, vėl turime rasti ekstremumo taškus. Tai turi būti padaryta taip pat, kaip ir ankstesnėje užduotyje. Randame pirmąją greičio išvestinę ir prilygstame nuliui.

Gauname: - 6t + 18 = 0. Vadinasi, t = 3 s. Tai laikas, kai kūno greitis įgauna kritinę reikšmę. Gautus duomenis pakeičiame į greičio lygtį ir gauname: V = 3 m/s.

Tačiau kaip suprasti, kad tai yra būtent didžiausias greitis, nes kritiniais funkcijos taškais gali būti didžiausios arba mažiausios jos reikšmės? Norėdami patikrinti, turite rasti antrąjį greičio išvestinį. Jis išreiškiamas kaip skaičius 6 su minuso ženklu. Tai reiškia, kad rastas taškas yra maksimalus. O antrosios išvestinės teigiamos reikšmės atveju būtų minimumas. Vadinasi, rastas sprendimas buvo teisingas.

Kaip pavyzdys pateiktos užduotys yra tik dalis tų, kurias galima išspręsti gebant rasti funkcijos kraštutinius taškus. Tiesą sakant, jų yra daug daugiau. Ir tokios žinios žmogaus civilizacijai atveria neribotas galimybes.