Logaritminė lygtis yra lygtis, kurioje nežinomasis (x) ir išraiškos su juo yra po logaritminės funkcijos ženklu. Sprendžiant logaritmines lygtis daroma prielaida, kad jau esate susipažinę su ir .
Kaip išspręsti logaritmines lygtis?

Paprasčiausia lygtis yra log a x = b, kur a ir b yra kai kurie skaičiai, x yra nežinomas.
Logaritminės lygties sprendimas yra x = a b, jei: a > 0, a 1.

Pažymėtina, kad jei x yra kažkur už logaritmo ribų, pavyzdžiui, log 2 x = x-2, tai tokia lygtis jau vadinama mišria ir jai išspręsti reikia specialaus požiūrio.

Idealus atvejis yra tada, kai susiduriate su lygtimi, kurioje po logaritmo ženklu yra tik skaičiai, pavyzdžiui, x+2 = log 2 2. Čia pakanka žinoti logaritmų savybes, kad ją išspręstumėte. Tačiau tokia sėkmė nepasitaiko dažnai, todėl ruoškitės sunkesniems dalykams.

Bet pirmiausia pradėkime nuo paprastų lygčių. Norint juos išspręsti, patartina turėti labai bendrą logaritmo supratimą.

Paprastų logaritminių lygčių sprendimas

Tai apima log 2 x = log 2 16 tipo lygtis. Plika akimi matosi, kad praleidę logaritmo ženklą gauname x = 16.

Norint išspręsti sudėtingesnę logaritminę lygtį, ji paprastai redukuojama iki įprastos algebrinės lygties arba iki paprastos logaritminės lygties log a x = b. Paprasčiausiose lygtyse tai vyksta vienu judesiu, todėl jos vadinamos paprasčiausiomis.

Aukščiau pateiktas logaritmų atsisakymo būdas yra vienas iš pagrindinių logaritminių lygčių ir nelygybių sprendimo būdų. Matematikoje ši operacija vadinama potenciacija. Šio tipo operacijoms taikomos tam tikros taisyklės arba apribojimai:

• logaritmai turi tas pačias skaitines bazes
• Abiejose lygties pusėse esantys logaritmai yra laisvieji, t.y. be jokių koeficientų ar kitų įvairių išraiškų.

Tarkime, lygtyje log 2 x = 2log 2 (1 - x) potencija netaikoma – koeficientas 2 dešinėje to neleidžia. Toliau pateiktame pavyzdyje log 2 x+log 2 (1 - x) = log 2 (1+x) taip pat neatitinka vieno iš apribojimų – kairėje yra du logaritmai. Jei būtų tik vienas, tai būtų visai kitas reikalas!

Paprastai logaritmus galite pašalinti tik tuo atveju, jei lygtis turi tokią formą:

log a (...) = log a (...)

Absoliučiai bet kokios išraiškos gali būti pateikiamos skliausteliuose, tai neturi jokios įtakos stiprinimo operacijai. O panaikinus logaritmus liks paprastesnė lygtis - tiesinė, kvadratinė, eksponentinė ir pan., kurią, tikiuosi, jau žinote kaip išspręsti.

Paimkime kitą pavyzdį:

log 3 (2x-5) = log 3 x

Pritaikome potenciją, gauname:

3 žurnalas (2x-1) = 2

Remiantis logaritmo apibrėžimu, būtent, kad logaritmas yra skaičius, iki kurio turi būti pakelta bazė, norint gauti išraišką, kuri yra po logaritmo ženklu, t.y. (4x-1), gauname:

Vėl gavome gražų atsakymą. Čia mes padarėme nepašalindami logaritmų, tačiau čia taip pat taikomas potenciavimas, nes logaritmą galima sudaryti iš bet kokio skaičiaus ir būtent tokio, kokio mums reikia. Šis metodas labai padeda sprendžiant logaritmines lygtis ir ypač nelygybes.

Išspręskime logaritminę lygtį log 3 (2x-1) = 2 naudodami potenciaciją:

Įsivaizduokime skaičių 2 kaip logaritmą, pavyzdžiui, šį log 3 9, nes 3 2 =9.

Tada log 3 (2x-1) = log 3 9 ir vėl gauname tą pačią lygtį 2x-1 = 9. Tikiuosi, kad viskas aišku.

Taigi mes pažvelgėme į tai, kaip išspręsti paprasčiausias logaritmines lygtis, kurios iš tikrųjų yra labai svarbios, nes sprendžiant logaritmines lygtis, net ir pačios baisiausios ir iškreiptos, galiausiai visada tenka išspręsti paprasčiausias lygtis.

Viską, ką darėme aukščiau, praradome vieną labai svarbų dalyką, kuris vaidins lemiamą vaidmenį ateityje. Faktas yra tas, kad bet kurios logaritminės lygties, net ir pačios elementariausios, sprendimas susideda iš dviejų lygių dalių. Pirmasis yra pačios lygties sprendimas, antrasis - darbas su leistinų verčių diapazonu (APV). Tai yra būtent pirmoji mūsų įvaldyta dalis. Aukščiau pateiktuose pavyzdžiuose ODZ neturi jokios įtakos atsakymui, todėl mes to nesvarstėme.

Paimkime kitą pavyzdį:

log 3 (x 2 -3) = 3 log (2x)

Išoriškai ši lygtis niekuo nesiskiria nuo elementariosios, kurią galima labai sėkmingai išspręsti. Tačiau tai nėra visiškai tiesa. Ne, mes, žinoma, tai išspręsime, bet greičiausiai neteisingai, nes joje yra nedidelė pasala, į kurią iškart patenka ir C klasės mokiniai, ir puikūs mokiniai. Pažiūrėkime atidžiau.

Tarkime, kad reikia rasti lygties šaknį arba šaknų sumą, jei jų yra keletas:

log 3 (x 2 -3) = 3 log (2x)

Mes naudojame potenciją, čia tai priimtina. Dėl to gauname įprastą kvadratinę lygtį.

Raskite lygties šaknis:

Paaiškėjo, kad dvi šaknys.

Atsakymas: 3 ir -1

Iš pirmo žvilgsnio viskas teisinga. Bet patikrinkime rezultatą ir pakeiskime jį pradine lygtimi.

Pradėkime nuo x 1 = 3:

log 3 6 = log 3 6

Patikrinimas buvo sėkmingas, dabar eilė yra x 2 = -1:

log 3 (-2) = log 3 (-2)

Gerai, sustok! Iš išorės viskas tobula. Vienas dalykas – nėra logaritmų iš neigiamų skaičių! Tai reiškia, kad šaknis x = -1 netinka mūsų lygčiai išspręsti. Ir todėl teisingas atsakymas bus 3, o ne 2, kaip rašėme.

Čia ODZ atliko savo lemtingą vaidmenį, kurį mes pamiršome.

Leiskite jums priminti, kad priimtinų reikšmių diapazonas apima tas x reikšmes, kurios yra leidžiamos arba prasmingos pradiniam pavyzdžiui.

Be ODZ bet koks, net ir visiškai teisingas, bet kokios lygties sprendimas virsta loterija – 50/50.

Kaip galėtume sugauti sprendžiant iš pažiūros elementarų pavyzdį? Bet būtent stiprinimo momentu. Dingo logaritmai, o kartu su jais ir visi apribojimai.

Ką tokiu atveju daryti? Atsisakyti panaikinti logaritmus? Ir visiškai atsisakyti išspręsti šią lygtį?

Ne, mes tiesiog, kaip tikri herojai iš vienos garsios dainos, apsuksime aplinkkelį!

Prieš pradėdami spręsti bet kokią logaritminę lygtį, užrašysime ODZ. Bet po to su mūsų lygtimi galite daryti ką tik širdis geidžia. Gavę atsakymą, mes tiesiog išmetame tas šaknis, kurios nėra įtrauktos į mūsų ODZ, ir užrašome galutinę versiją.

Dabar nuspręskime, kaip įrašyti ODZ. Norėdami tai padaryti, atidžiai išnagrinėjame pradinę lygtį ir ieškome joje įtartinų vietų, tokių kaip padalijimas iš x, lyginė šaknis ir pan. Kol neišsprendėme lygties, nežinome, kam x yra lygus, tačiau tikrai žinome, kad tie x, kuriuos pakeitę, dalijasi iš 0 arba paima neigiamo skaičiaus kvadratinę šaknį, akivaizdžiai netinka kaip atsakyti. Todėl tokie x yra nepriimtini, o likusi dalis sudarys ODZ.

Dar kartą panaudokime tą pačią lygtį:

log 3 (x 2 -3) = 3 log (2x)

log 3 (x 2 -3) = 3 log (2x)

Kaip matote, nėra dalybos iš 0, taip pat nėra kvadratinių šaknų, tačiau logaritmo korpuse yra išraiškų su x. Iš karto prisiminkime, kad išraiška logaritmo viduje visada turi būti >0. Šią sąlygą rašome ODZ forma:

Tie. Dar nieko neišsprendėme, bet jau užsirašėme privalomą sąlygą visai sublogaritminei išraiškai. Garbanotas petnešos reiškia, kad šios sąlygos turi būti teisingos vienu metu.

ODZ užrašytas, bet reikia išspręsti ir susidariusią nelygybių sistemą, ką mes ir padarysime. Gauname atsakymą x > v3. Dabar mes tikrai žinome, kuris x mums netiks. Ir tada mes pradedame spręsti pačią logaritminę lygtį, ką mes padarėme aukščiau.

Gavus atsakymus x 1 = 3 ir x 2 = -1, nesunku pastebėti, kad mums tinka tik x1 = 3, ir jį užrašome kaip galutinį atsakymą.

Ateityje labai svarbu atsiminti: bet kurią logaritminę lygtį sprendžiame 2 etapais. Pirmasis – išspręsti pačią lygtį, antrasis – išspręsti ODZ sąlygą. Abu etapai atliekami nepriklausomai vienas nuo kito ir lyginami tik rašant atsakymą, t.y. išmeskite viską, kas nereikalinga, ir užrašykite teisingą atsakymą.

Norėdami sustiprinti medžiagą, primygtinai rekomenduojame žiūrėti vaizdo įrašą:

Vaizdo įraše rodomi kiti žurnalo sprendimo pavyzdžiai. lygtis ir intervalų metodo praktikavimas praktikoje.

Į šį klausimą, kaip išspręsti logaritmines lygtis Tai kol kas viskas. Jei ką nors nusprendžia žurnalas. lygtys lieka neaiškios ar nesuprantamos, rašykite savo klausimus komentaruose.

Pastaba: Socialinio ugdymo akademija (ASE) pasiruošusi priimti naujus studentus.

Logaritminės lygtys. Nuo paprasto iki sudėtingo.

Dėmesio!
Yra papildomų
Specialiajame 555 skyriuje nurodytos medžiagos.
Tiems, kurie labai „nelabai...“
Ir tiems, kurie „labai…“)

Kas yra logaritminė lygtis?

Tai lygtis su logaritmais. Aš nustebęs, tiesa?) Tada paaiškinsiu. Tai lygtis, kurioje randami nežinomieji (x) ir reiškiniai su jais logaritmų viduje. Ir tik ten! Tai svarbu.

Štai keletas pavyzdžių logaritmines lygtis:

log 3 x = log 3 9

log 3 (x 2 -3) = 3 log (2x)

log x+1 (x 2 +3x-7) = 2

lg 2 (x+1)+10 = 11lg (x+1)

Na, supranti... )

Atkreipkite dėmesį! Yra pačios įvairiausios išraiškos su X tik logaritmais. Jei staiga kažkur lygtyje atsiranda X lauke, Pavyzdžiui:

log 2 x = 3+x,

tai jau bus mišraus tipo lygtis. Tokios lygtys neturi aiškių jų sprendimo taisyklių. Kol kas jų nesvarstysime. Beje, yra lygčių, kur logaritmų viduje tik skaičiai. Pavyzdžiui:

Ką aš galiu pasakyti? Jums pasisekė, jei su tuo susidursite! Logaritmas su skaičiais yra kažkoks skaičius. Tai viskas. Tokiai lygčiai išspręsti pakanka žinoti logaritmų savybes. Specialių taisyklių, specialiai sprendimui pritaikytų technikų išmanymas logaritmines lygtis,čia nereikalingas.

Taigi, kas yra logaritminė lygtis- išsiaiškinome.

Kaip išspręsti logaritmines lygtis?

Sprendimas logaritmines lygtis- Iš tikrųjų viskas nėra labai paprasta. Taigi mūsų skyrius yra ketvertas... Reikalingas padorus žinių kiekis visomis susijusiomis temomis. Be to, šiose lygtyse yra ypatingas bruožas. Ir ši savybė tokia svarbi, kad ją drąsiai galima vadinti pagrindine logaritminių lygčių sprendimo problema. Kitoje pamokoje mes išsamiai išnagrinėsime šią problemą.

Kol kas nesijaudink. Eisime teisingu keliu nuo paprasto iki sudėtingo. Naudojant konkrečius pavyzdžius. Svarbiausia yra gilintis į paprastus dalykus ir nepatingėti sekti nuorodas, aš jas ten dedu ne be priežasties... Ir viskas jums pasiseks. Būtinai.

Pradėkime nuo elementariausių, paprasčiausių lygčių. Norint juos išspręsti, patartina turėti logaritmo idėją, bet nieko daugiau. Tik neįsivaizduoju logaritmas, priimti sprendimą logaritminis lygtys – kažkaip net nepatogios... Labai drąsiai, sakyčiau).

Paprasčiausios logaritminės lygtys.

Tai yra šios formos lygtys:

1. log 3 x = log 3 9

2. rąstas 7 (2x-3) = rąstas 7 x

3. log 7 (50x-1) = 2

Sprendimo procesas bet kuri logaritminė lygtis susideda iš perėjimo nuo lygties su logaritmais į lygtį be jų. Paprasčiausiose lygtyse šis perėjimas atliekamas vienu žingsniu. Štai kodėl jie yra patys paprasčiausi.)

Ir tokias logaritmines lygtis stebėtinai lengva išspręsti. Pažiūrėkite patys.

Išspręskime pirmąjį pavyzdį:

log 3 x = log 3 9

Norėdami išspręsti šį pavyzdį, jums nereikia žinoti beveik nieko, taip... Grynai intuicija!) Ko mums reikia ypač nepatinka šis pavyzdys? Ką-ką... Nemėgstu logaritmų! Teisingai. Taigi atsikratykime jų. Atidžiai žiūrime į pavyzdį ir mumyse kyla natūralus troškimas... Tikrai nenugalimas! Paimkite ir išmeskite logaritmus. Ir tai yra gerai Gali daryk! Matematika leidžia. Logaritmai išnyksta atsakymas yra:

Puiku, tiesa? Tai galima (ir reikia) daryti visada. Tokiu būdu logaritmų pašalinimas yra vienas iš pagrindinių logaritminių lygčių ir nelygybių sprendimo būdų. Matematikoje ši operacija vadinama stiprinimas.Žinoma, tokio likvidavimo taisyklės yra, tačiau jų nedaug. Prisiminkite:

Galite be baimės pašalinti logaritmus, jei jie turi:

a) tos pačios skaitinės bazės

c) logaritmai iš kairės į dešinę yra gryni (be koeficientų) ir yra puikiai atskirti.

Leiskite man paaiškinti paskutinį dalyką. Tarkime, lygtyje

log 3 x = 2 log 3 (3 x-1)

Logaritmų pašalinti negalima. Du dešinėje to neleidžia. Koeficientas, žinai... Pavyzdyje

log 3 x+log 3 (x+1) = log 3 (3+x)

Taip pat neįmanoma sustiprinti lygties. Kairėje pusėje nėra vieno logaritmo. Jų yra dvi.

Trumpai tariant, galite pašalinti logaritmus, jei lygtis atrodo taip ir tik taip:

log a (.....) = log a (.....)

Skliausteliuose, kur yra elipsė, gali būti bet kokios išraiškos. Paprasta, super sudėtinga, visokių. Kad ir kaip būtų. Svarbu tai, kad pašalinus logaritmus liekame paprastesnė lygtis.Žinoma, daroma prielaida, kad jūs jau žinote, kaip išspręsti tiesines, kvadratines, trupmenines, eksponencines ir kitas lygtis be logaritmų.)

Dabar galite lengvai išspręsti antrąjį pavyzdį:

rąstas 7 (2x-3) = rąstas 7 x

Tiesą sakant, tai nusprendžiama mintyse. Mes sustipriname, gauname:

Na, ar tai labai sunku?) Kaip matote, logaritminis lygties sprendinio dalis yra tik panaikinant logaritmus... Ir tada ateina likusios lygties sprendimas be jų. Nereikšmingas reikalas.

Išspręskime trečiąjį pavyzdį:

7 žurnalas (50x-1) = 2

Matome, kad kairėje yra logaritmas:

Prisiminkime, kad šis logaritmas yra skaičius, iki kurio reikia pakelti bazę (t.y. septynias), kad gautume poblogaritminę išraišką, t.y. (50x-1).

Bet šis skaičius yra du! Pagal Eq. Taigi:

Tai iš esmės viskas. Logaritmas dingo, Lieka nekenksminga lygtis:

Šią logaritminę lygtį išsprendėme remdamiesi tik logaritmo reikšme. Ar vis dar lengviau panaikinti logaritmus?) Sutinku. Beje, jei padarysite logaritmą iš dviejų, šį pavyzdį galite išspręsti pašalindami. Bet kurį skaičių galima paversti logaritmu. Be to, taip, kaip mums to reikia. Labai naudinga technika sprendžiant logaritmines lygtis ir (ypač!) nelygybes.

Nežinai, kaip iš skaičiaus sudaryti logaritmą!? Viskas gerai. 555 skirsnyje ši technika išsamiai aprašyta. Galite jį įvaldyti ir panaudoti iki galo! Tai labai sumažina klaidų skaičių.

Ketvirtoji lygtis išspręsta visiškai panašiai (pagal apibrėžimą):

tiek.

Apibendrinkime šią pamoką. Paprasčiausių logaritminių lygčių sprendimą nagrinėjome naudodami pavyzdžius. Tai labai svarbu. Ir ne tik todėl, kad tokios lygtys atsiranda testuose ir egzaminuose. Faktas yra tas, kad net pačios blogiausios ir sudėtingiausios lygtys būtinai sumažinamos iki paprasčiausių!

Tiesą sakant, paprasčiausios lygtys yra paskutinė sprendimo dalis bet koks lygtys. Ir ši paskutinė dalis turi būti suprantama griežtai! Ir dar vienas dalykas. Būtinai perskaitykite šį puslapį iki galo. Čia yra staigmena...)

Dabar sprendžiame patys. Taip sakant, tobulėkime...)

Raskite lygčių šaknį (arba šaknų sumą, jei yra kelios):

ln(7x+2) = ln(5x+20)

2 žurnalas (x 2 +32) = 2 žurnalas (12x)

log 16 (0,5x-1,5) = 0,25

log 0,2 (3x-1) = -3

ln(e 2 +2x-3) = 2

2 žurnalas (14x) = 2 rąstas 7 + 2

Atsakymai (žinoma, netvarkingai): 42; 12; 9; 25; 7; 1,5; 2; 16.

Ką, ne viskas pavyksta? Atsitinka. Nesijaudink! 555 skirsnyje aiškiai ir išsamiai paaiškinamas visų šių pavyzdžių sprendimas. Ten tikrai išsiaiškinsi. Taip pat išmoksite naudingų praktinių technikų.

Viskas pavyko!? Visi „liko vienas“ pavyzdžiai?) Sveikiname!

Atėjo laikas atskleisti jums karčią tiesą. Sėkmingas šių pavyzdžių sprendimas negarantuoja sėkmės sprendžiant visas kitas logaritmines lygtis. Netgi tokie patys paprasčiausi. Deja.

Faktas yra tas, kad bet kurios logaritminės lygties (net ir pačios elementariausios!) sprendimas susideda iš dvi lygios dalys. Lygties sprendimas ir darbas su ODZ. Mes įvaldėme vieną dalį – pačios lygties sprendimą. Tai nėra taip sunku tiesa?

Šiai pamokai specialiai parinkau pavyzdžius, kuriuose DL niekaip neįtakoja atsakymo. Bet ne visi tokie malonūs kaip aš, tiesa?...)

Todėl būtina įvaldyti kitą dalį. ODZ. Tai yra pagrindinė problema sprendžiant logaritmines lygtis. Ir ne todėl, kad tai sunku - ši dalis yra dar lengvesnė nei pirmoji. Bet todėl, kad jie tiesiog pamiršta apie ODZ. Arba jie nežino. Arba abu). Ir jie iškrenta iš netikėtumo...

Kitoje pamokoje nagrinėsime šią problemą. Tada galite drąsiai nuspręsti bet koks paprastas logaritmines lygtis ir gana tvirtas užduotis.

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokykimės – su susidomėjimu!)

Galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

Mes visi esame susipažinę su lygtimis iš pradinės mokyklos. Ten mokėmės spręsti ir paprasčiausius pavyzdžius, ir reikia pripažinti, kad jie pritaiko net ir aukštojoje matematikoje. Su lygtimis viskas paprasta, įskaitant kvadratines lygtis. Jei kyla problemų dėl šios temos, labai rekomenduojame ją peržiūrėti.

Jūs tikriausiai taip pat jau praėjote logaritmus. Tačiau manome, kad svarbu pasakyti, kas tai yra tiems, kurie dar nežino. Logaritmas prilyginamas galiai, iki kurios reikia pakelti bazę, kad būtų gautas skaičius, esantis dešinėje nuo logaritmo ženklo. Pateiksime pavyzdį, pagal kurį jums viskas taps aišku.

Jei padidinsite 3 į ketvirtą laipsnį, gausite 81. Dabar pakeiskite skaičius pagal analogiją ir pagaliau suprasite, kaip sprendžiami logaritmai. Dabar belieka sujungti dvi aptartas sąvokas. Iš pradžių situacija atrodo itin sudėtinga, tačiau atidžiau panagrinėjus svoris stoja į vietą. Esame tikri, kad po šio trumpo straipsnio jūs neturėsite problemų šioje vieningo valstybinio egzamino dalyje.

Šiandien yra daug būdų, kaip išspręsti tokias struktūras. Papasakosime apie paprasčiausias, efektyviausias ir labiausiai pritaikomas vieningo valstybinio egzamino užduotis. Logaritminių lygčių sprendimas turėtų prasidėti nuo paprasčiausio pavyzdžio. Paprasčiausios logaritminės lygtys susideda iš funkcijos ir vieno kintamojo joje.

Svarbu pažymėti, kad x yra argumento viduje. A ir b turi būti skaičiai. Šiuo atveju funkciją galite tiesiog išreikšti skaičiumi laipsniu. Tai atrodo taip.

Žinoma, logaritminę lygtį išsprendę šiuo metodu gausite teisingą atsakymą. Šiuo atveju didžiosios daugumos studentų problema yra ta, kad jie nesupranta, kas iš kur atsiranda. Dėl to tenka taikstytis su klaidomis ir negauti norimų taškų. Labiausiai įžeidžianti klaida bus, jei sumaišysite raides. Norėdami išspręsti lygtį tokiu būdu, turite įsiminti šią standartinę mokyklos formulę, nes ją sunku suprasti.

Kad būtų lengviau, galite naudoti kitą metodą - kanoninę formą. Idėja itin paprasta. Vėl nukreipkite dėmesį į problemą. Atminkite, kad raidė a yra skaičius, o ne funkcija ar kintamasis. A nėra lygus vienetui ir didesnis už nulį. Nėra jokių apribojimų b. Dabar iš visų formulių prisiminkime vieną. B gali būti išreikštas taip.

Iš to išplaukia, kad visos pradinės lygtys su logaritmais gali būti pavaizduotos tokia forma:

Dabar galime atsisakyti logaritmų. Rezultatas yra paprastas dizainas, kurį jau matėme anksčiau.

Šios formulės patogumas slypi tame, kad ją galima naudoti labai įvairiais atvejais, o ne tik paprasčiausio dizaino.

Nesijaudinkite dėl OOF!

Daugelis patyrusių matematikų pastebės, kad mes nekreipėme dėmesio į apibrėžimo sritį. Taisyklė susiveda į tai, kad F(x) būtinai yra didesnis nei 0. Ne, mes nepraleidome šio taško. Dabar kalbame apie dar vieną rimtą kanoninės formos pranašumą.

Čia nebus papildomų šaknų. Jei kintamasis bus rodomas tik vienoje vietoje, apimtis nebūtina. Tai daroma automatiškai. Norėdami patikrinti šį sprendimą, pabandykite išspręsti kelis paprastus pavyzdžius.

Kaip išspręsti logaritmines lygtis su skirtingais pagrindais

Tai jau sudėtingos logaritminės lygtys, todėl jų sprendimo būdas turi būti ypatingas. Čia retai įmanoma apsiriboti liūdnai pagarsėjusia kanonine forma. Pradėkime savo išsamią istoriją. Turime tokią konstrukciją.

Atkreipkite dėmesį į trupmeną. Jame yra logaritmas. Jei tai matote užduotyje, verta prisiminti vieną įdomų triuką.

Ką tai reiškia? Kiekvienas logaritmas gali būti pavaizduotas kaip dviejų logaritmų su patogia baze koeficientas. Ir ši formulė turi specialų atvejį, kuris taikomas šiame pavyzdyje (turime omenyje, jei c=b).

Būtent tokią trupmeną matome savo pavyzdyje. Taigi.

Iš esmės mes apvertėme trupmeną ir gavome patogesnę išraišką. Prisiminkite šį algoritmą!

Dabar būtina, kad logaritminėje lygtyje nebūtų skirtingų bazių. Pavaizduokime bazę kaip trupmeną.

Matematikoje yra taisyklė, pagal kurią galite gauti laipsnį iš bazės. Toliau pateikiami statybos rezultatai.

Atrodytų, kas mums dabar trukdo savo išraišką paversti kanonine forma ir tiesiog ją išspręsti? Tai nėra taip paprasta. Prieš logaritmą neturėtų būti trupmenų. Ištaisykime šią situaciją! Trupmenas leidžiama naudoti kaip laipsnius.

Atitinkamai.

Jei pagrindai yra vienodi, galime pašalinti logaritmus ir sulyginti pačias išraiškas. Taip situacija taps daug paprastesnė nei buvo. Liks elementari lygtis, kurią kiekvienas iš mūsų mokėjome išspręsti dar 8 ar net 7 klasėje. Skaičiavimus galite atlikti patys.

Gavome vienintelę tikrąją šios logaritminės lygties šaknį. Logaritminės lygties sprendimo pavyzdžiai yra gana paprasti, ar ne? Dabar galėsite savarankiškai susidoroti su net sudėtingiausiomis pasiruošimo vieningam valstybiniam egzaminui ir jo išlaikymo užduotis.

Koks rezultatas?

Bet kokių logaritminių lygčių atveju mes vadovaujamės viena labai svarbia taisykle. Reikia elgtis taip, kad išraiška būtų sumažinta iki kuo paprastesnės formos. Tokiu atveju turėsite daugiau šansų ne tik teisingai išspręsti užduotį, bet ir atlikti ją kuo paprasčiau bei logiškiau. Būtent taip visada dirba matematikai.

Labai nerekomenduojame ieškoti sunkių kelių, ypač šiuo atveju. Prisiminkite keletą paprastų taisyklių, kurios leis jums pakeisti bet kokią išraišką. Pavyzdžiui, sumažinkite du ar tris logaritmus iki tos pačios bazės arba gaukite galią iš bazės ir laimėkite.

Taip pat verta prisiminti, kad logaritminių lygčių sprendimas reikalauja nuolatinės praktikos. Palaipsniui pereisite prie vis sudėtingesnių struktūrų, o tai leis jums užtikrintai išspręsti visus vieningo valstybinio egzamino uždavinių variantus. Iš anksto pasiruoškite egzaminams ir sėkmės!

Kaip žinote, dauginant išraiškas su laipsniais, jų rodikliai visada sumuojasi (a b *a c = a b+c). Šį matematinį dėsnį išvedė Archimedas, o vėliau, VIII amžiuje, matematikas Virasenas sukūrė sveikųjų rodiklių lentelę. Būtent jie pasitarnavo tolesniam logaritmų atradimui. Šios funkcijos naudojimo pavyzdžių galima rasti beveik visur, kur reikia supaprastinti sudėtingą dauginimą paprastu sudėjimu. Jei skaitydami šį straipsnį skirsite 10 minučių, paaiškinsime, kas yra logaritmai ir kaip su jais dirbti. Paprasta ir prieinama kalba.

Apibrėžimas matematikoje

Logaritmas yra tokios formos išraiška: log a b=c, tai yra, bet kurio neneigiamo skaičiaus (ty bet kurio teigiamo) „b“ logaritmas iki jo bazės „a“ laikomas laipsniu „c“. “, iki kurio reikia pakelti bazę „a“, kad galiausiai gautume reikšmę „b“. Išanalizuokime logaritmą naudodami pavyzdžius, tarkime, kad yra išraiška log 2 8. Kaip rasti atsakymą? Tai labai paprasta, reikia rasti tokią galią, kad nuo 2 iki reikiamos galios gautumėte 8. Galvoje atlikę keletą skaičiavimų, gauname skaičių 3! Ir tai tiesa, nes 2 iki 3 laipsnio suteikia atsakymą kaip 8.

Logaritmų tipai

Daugeliui mokinių ir studentų ši tema atrodo sudėtinga ir nesuprantama, tačiau iš tikrųjų logaritmai nėra tokie baisūs, svarbiausia suprasti jų bendrą prasmę ir atsiminti jų savybes bei kai kurias taisykles. Yra trys atskiri logaritminių išraiškų tipai:

1. Natūralusis logaritmas ln a, kur bazė yra Eulerio skaičius (e = 2,7).
2. Dešimtainė a, kur bazė yra 10.
3. Bet kurio skaičiaus b logaritmas bazei a>1.

Kiekvienas iš jų yra išspręstas standartiniu būdu, įskaitant supaprastinimą, sumažinimą ir vėlesnį redukavimą iki vieno logaritmo naudojant logaritmines teoremas. Norėdami gauti teisingas logaritmų reikšmes, spręsdami turėtumėte atsiminti jų savybes ir veiksmų seką.

Taisyklės ir kai kurie apribojimai

Matematikoje yra keletas taisyklių-apribojimų, kurie priimami kaip aksioma, tai yra, jie nėra diskutuojami ir yra tiesa. Pavyzdžiui, neįmanoma skaičių padalyti iš nulio, taip pat neįmanoma išgauti neigiamų skaičių lyginės šaknies. Logaritmai taip pat turi savo taisykles, kurių laikydamiesi galite lengvai išmokti dirbti net su ilgomis ir talpiomis logaritminėmis išraiškomis:

• Bazė „a“ visada turi būti didesnė už nulį, o ne lygi 1, kitaip išraiška praras savo prasmę, nes „1“ ir „0“ bet kokiu laipsniu visada yra lygūs jų reikšmėms;
• jei a > 0, tai a b >0, pasirodo, kad „c“ taip pat turi būti didesnis už nulį.

Kaip išspręsti logaritmus?

Pavyzdžiui, pateikiama užduotis rasti atsakymą į lygtį 10 x = 100. Tai labai paprasta, reikia pasirinkti laipsnį, padidinant skaičių dešimt, iki kurio gauname 100. Tai, žinoma, yra 10 2 = 100.

Dabar pavaizduokime šią išraišką logaritmine forma. Gauname logaritmą 10 100 = 2. Sprendžiant logaritmus visi veiksmai praktiškai susilieja, kad rastų laipsnį, į kurį reikia įvesti logaritmo bazę, norint gauti duotą skaičių.

Norėdami tiksliai nustatyti nežinomo laipsnio reikšmę, turite išmokti dirbti su laipsnių lentele. Tai atrodo taip:

Kaip matote, kai kuriuos eksponentus galima atspėti intuityviai, jei turite techninį protą ir išmanote daugybos lentelę. Tačiau didesnėms vertėms jums reikės maitinimo stalo. Ją gali naudoti net tie, kurie nieko nežino apie sudėtingas matematines temas. Kairiajame stulpelyje yra skaičiai (bazė a), viršutinė skaičių eilutė yra laipsnio c reikšmė, iki kurios pakeliamas skaičius a. Sankryžoje langeliuose yra skaičių reikšmės, kurios yra atsakymas (a c = b). Paimkime, pavyzdžiui, patį pirmąjį langelį su skaičiumi 10 ir padėkite jį kvadratu, gausime reikšmę 100, kuri yra nurodyta mūsų dviejų langelių sankirtoje. Viskas taip paprasta ir lengva, kad supras net pats tikriausias humanistas!

Lygtys ir nelygybės

Pasirodo, tam tikromis sąlygomis eksponentas yra logaritmas. Todėl bet kurios matematinės skaitinės išraiškos gali būti užrašytos kaip logaritminė lygybė. Pavyzdžiui, 3 4 =81 gali būti parašytas kaip 81 bazinis 3 logaritmas, lygus keturiems (log 3 81 = 4). Neigiamų galių taisyklės tos pačios: 2 -5 = 1/32 rašome kaip logaritmą, gauname log 2 (1/32) = -5. Viena įdomiausių matematikos skyrių yra „logaritmų“ tema. Žemiau pažvelgsime į lygčių pavyzdžius ir sprendimus, iš karto ištyrę jų savybes. Dabar pažiūrėkime, kaip atrodo nelygybės ir kaip jas atskirti nuo lygčių.

Pateikiama tokios formos išraiška: log 2 (x-1) > 3 - tai logaritminė nelygybė, nes nežinoma reikšmė „x“ yra po logaritminiu ženklu. Taip pat išraiškoje lyginami du dydžiai: norimo skaičiaus logaritmas su baziniu du yra didesnis nei skaičius trys.

Svarbiausias skirtumas tarp logaritminių lygčių ir nelygybių yra tas, kad lygtys su logaritmais (pavyzdžiui, logaritmas 2 x = √9) reiškia vieną ar daugiau konkrečių skaitinių reikšmių atsakyme, o sprendžiant nelygybę, tiek priimtinų intervalų. reikšmės ir taškai nustatomi pažeidžiant šią funkciją. Todėl atsakymas yra ne paprastas atskirų skaičių rinkinys, kaip lygties atsakyme, o ištisinė skaičių seka arba rinkinys.

Pagrindinės teoremos apie logaritmus

Sprendžiant primityvias logaritmo reikšmių radimo užduotis, jo savybės gali būti nežinomos. Tačiau kalbant apie logaritmines lygtis ar nelygybes, pirmiausia reikia aiškiai suprasti ir praktiškai pritaikyti visas pagrindines logaritmų savybes. Vėliau pažvelgsime į lygčių pavyzdžius, pirmiausia pažvelkime į kiekvieną ypatybę išsamiau.

1. Pagrindinė tapatybė atrodo taip: a logaB =B. Jis taikomas tik tada, kai a yra didesnis nei 0, nelygus vienetui, o B yra didesnis už nulį.
2. Produkto logaritmą galima pavaizduoti tokia formule: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Šiuo atveju privaloma sąlyga yra: d, s 1 ir s 2 > 0; a≠1. Galite pateikti šios logaritminės formulės įrodymą su pavyzdžiais ir sprendimu. Tegu log a s 1 = f 1 ir log a s 2 = f 2, tada a f1 = s 1, a f2 = s 2. Gauname, kad s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (ypatybės laipsniai ), o tada pagal apibrėžimą: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, ką reikėjo įrodyti.
3. Dalinio logaritmas atrodo taip: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Teorema formulės pavidalu įgauna tokią formą: log a q b n = n/q log a b.

Ši formulė vadinama „logaritmo laipsnio savybe“. Tai primena įprastų laipsnių savybes, ir tai nenuostabu, nes visa matematika remiasi natūraliais postulatais. Pažiūrėkime į įrodymą.

Tegu log a b = t, pasirodo a t =b. Jei abi dalis pakelsime laipsniu m: a tn = b n ;

bet kadangi a tn = (a q) nt/q = b n, todėl log a q b n = (n*t)/t, tada log a q b n = n/q log a b. Teorema įrodyta.

Problemų ir nelygybių pavyzdžiai

Dažniausiai pasitaikančios logaritmų problemos yra lygčių ir nelygybių pavyzdžiai. Jie yra beveik visose probleminėse knygose, taip pat yra privaloma matematikos egzaminų dalis. Norėdami įstoti į universitetą ar išlaikyti stojamuosius matematikos egzaminus, turite žinoti, kaip teisingai išspręsti tokias užduotis.

Deja, nėra vieno plano ar schemos, kaip išspręsti ir nustatyti nežinomą logaritmo reikšmę, tačiau kiekvienai matematinei nelygybei ar logaritminei lygčiai gali būti taikomos tam tikros taisyklės. Pirmiausia turėtumėte išsiaiškinti, ar išraišką galima supaprastinti arba sumažinti iki bendros formos. Galite supaprastinti ilgas logaritmines išraiškas, jei teisingai naudojate jų savybes. Greitai su jais susipažinkime.

Spręsdami logaritmines lygtis turime nustatyti, kokio tipo logaritmą turime: pavyzdinėje išraiškoje gali būti natūralusis logaritmas arba dešimtainis.

Štai pavyzdžiai ln100, ln1026. Jų sprendimas yra susijęs su tuo, kad jiems reikia nustatyti galią, kuriai bazė 10 bus lygi atitinkamai 100 ir 1026. Norėdami išspręsti natūralius logaritmus, turite taikyti logaritminius tapatumus arba jų savybes. Pažvelkime į įvairių tipų logaritminių uždavinių sprendimo pavyzdžius.

Kaip naudoti logaritmo formules: su pavyzdžiais ir sprendimais

Taigi, pažvelkime į pagrindinių logaritmų teoremų naudojimo pavyzdžius.

1. Produkto logaritmo savybė gali būti naudojama atliekant užduotis, kur reikia išskaidyti didelę skaičiaus b reikšmę į paprastesnius veiksnius. Pavyzdžiui, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Atsakymas yra 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - kaip matote, naudojant ketvirtąją logaritmo galios savybę, mums pavyko išspręsti iš pažiūros sudėtingą ir neišsprendžiamą išraišką. Jums tereikia apskaičiuoti bazę ir išimti eksponentų reikšmes iš logaritmo ženklo.

Vieningo valstybinio egzamino užduotys

Logaritmai dažnai aptinkami stojamuosiuose egzaminuose, ypač daug logaritminių uždavinių – vieningame valstybiniame egzamine (valstybinis egzaminas visiems abiturientams). Paprastai šios užduotys pateikiamos ne tik A dalyje (lengviausia egzamino dalis), bet ir C dalyje (sudėtingiausios ir didžiausios užduotys). Egzaminas reikalauja tikslių ir nepriekaištingų temos „Natūralūs logaritmai“ išmanymo.

Pavyzdžiai ir problemų sprendimai paimti iš oficialių vieningo valstybinio egzamino versijų. Pažiūrėkime, kaip tokios užduotys sprendžiamos.

Duotas log 2 (2x-1) = 4. Sprendimas:
perrašykime išraišką, šiek tiek supaprastindami log 2 (2x-1) = 2 2, pagal logaritmo apibrėžimą gauname, kad 2x-1 = 2 4, todėl 2x = 17; x = 8,5.

• Geriausia visus logaritmus sumažinti iki vienodo pagrindo, kad sprendimas nebūtų sudėtingas ir painus.
• Visos išraiškos po logaritmo ženklu nurodomos kaip teigiamos, todėl, kai po logaritmo ženklu esančios išraiškos ir jo bazės eksponentas išimamas kaip daugiklis, po logaritmu likusi išraiška turi būti teigiama.

Šiuo vaizdo įrašu pradedu ilgą pamokų apie logaritmines lygtis seriją. Dabar turite tris pavyzdžius, kurių pagrindu išmoksime išspręsti paprasčiausias problemas, kurios vadinamos - pirmuonys.

log 0,5 (3x − 1) = −3

log (x + 3) = 3 + 2 log 5

Leiskite jums priminti, kad paprasčiausia logaritminė lygtis yra tokia:

log a f (x) = b

Šiuo atveju svarbu, kad kintamasis x būtų tik argumento viduje, tai yra tik funkcijoje f (x). O skaičiai a ir b yra tik skaičiai ir jokiu būdu nėra funkcijos, turinčios kintamąjį x.

Pagrindiniai sprendimo būdai

Yra daug būdų, kaip išspręsti tokias struktūras. Pavyzdžiui, dauguma mokytojų mokykloje siūlo tokį metodą: Nedelsdami išreikškite funkciją f (x) naudodami formulę f ( x) = a b . Tai yra, kai susiduriate su paprasčiausia konstrukcija, galite iškart pereiti prie sprendimo be papildomų veiksmų ir konstrukcijų.

Taip, žinoma, sprendimas bus teisingas. Tačiau šios formulės problema yra ta, kad dauguma studentų nesuprantu, iš kur ji kilusi ir kodėl a raidę keliame į raidę b.

Dėl to dažnai matau labai erzinančių klaidų, kai, pavyzdžiui, sukeičiamos šios raidės. Šią formulę reikia arba suprasti, arba prikimšti, o antrasis metodas priveda prie klaidų pačiais netinkamiausiais ir svarbiausiais momentais: per egzaminus, testus ir pan.

Todėl visiems savo mokiniams siūlau atsisakyti standartinės mokyklos formulės ir sprendžiant logaritmines lygtis antruoju būdu, kuris, kaip tikriausiai atspėjote iš pavadinimo, vadinasi kanoninė forma.

Kanoninės formos idėja yra paprasta. Dar kartą pažvelkime į savo problemą: kairėje turime log a, o raide a reiškia skaičių, o jokiu būdu ne funkciją, kurioje yra kintamasis x. Todėl šiai raidei taikomi visi apribojimai, taikomi logaritmo pagrindui. būtent:

1 ≠ a > 0

Kita vertus, iš tos pačios lygties matome, kad logaritmas turi būti lygus skaičiui b, ir šiai raidei nėra taikomi jokie apribojimai, nes ji gali įgauti bet kokią reikšmę – ir teigiamą, ir neigiamą. Viskas priklauso nuo to, kokias reikšmes įgyja funkcija f(x).

Ir čia mes prisimename mūsų nuostabią taisyklę, kad bet kuris skaičius b gali būti pavaizduotas kaip logaritmas su baziniu a iš a iki b laipsnio:

b = log a a b

Kaip atsiminti šią formulę? Taip, labai paprasta. Parašykime tokią konstrukciją:

b = b 1 = b log a a

Žinoma, tokiu atveju atsiranda visi apribojimai, kuriuos užsirašėme pradžioje. Dabar panaudokime pagrindinę logaritmo savybę ir įveskime daugiklį b kaip a laipsnį. Mes gauname:

b = b 1 = b log a a = log a a b

Dėl to pradinė lygtis bus perrašyta taip:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

tiek. Naujojoje funkcijoje nebėra logaritmo ir ją galima išspręsti naudojant standartinius algebrinius metodus.

Žinoma, dabar kas nors paprieštaraus: kodėl išvis reikėjo sugalvoti kokią nors kanoninę formulę, kam atlikti du papildomus nereikalingus veiksmus, jei buvo galima iš karto pereiti nuo pirminio dizaino prie galutinės formulės? Taip, jei tik todėl, kad dauguma studentų nesupranta, iš kur atsiranda ši formulė, ir dėl to reguliariai klysta ją taikydami.

Tačiau ši veiksmų seka, susidedanti iš trijų žingsnių, leidžia išspręsti pradinę logaritminę lygtį, net jei nesuprantate, iš kur kyla galutinė formulė. Beje, šis įrašas vadinamas kanonine formule:

log a f (x) = log a a b

Kanoninės formos patogumas slypi ir tame, kad ja galima išspręsti labai plačią logaritminių lygčių klasę, o ne tik pačias paprasčiausias, kurias šiandien svarstome.

Sprendimų pavyzdžiai

Dabar pažvelkime į tikrus pavyzdžius. Taigi, nuspręskime:

log 0,5 (3x − 1) = −3

Perrašykime taip:

log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3

Daugelis studentų skuba ir stengiasi iš karto pakelti skaičių 0,5 iki galios, kuri mums kilo iš pradinės problemos. Iš tiesų, kai jau esate gerai apmokytas spręsti tokias problemas, galite nedelsdami atlikti šį veiksmą.

Tačiau jei dabar tik pradedate nagrinėti šią temą, geriau niekur neskubėkite, kad išvengtumėte įžeidžiančių klaidų. Taigi, turime kanoninę formą. Turime:

3x − 1 = 0,5 −3

Tai nebėra logaritminė lygtis, o tiesinė kintamojo x atžvilgiu. Norėdami tai išspręsti, pirmiausia pažvelkime į skaičių 0,5 iki −3 laipsnio. Atminkite, kad 0,5 yra 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Spręsdami logaritminę lygtį, visas dešimtaines trupmenas paverskite paprastosiomis trupmenomis.

Perrašome ir gauname:

3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3

Štai ir gavome atsakymą. Pirmoji problema išspręsta.

Antra užduotis

Pereikime prie antrosios užduoties:

Kaip matome, ši lygtis nebėra pati paprasčiausia. Jei tik todėl, kad kairėje yra skirtumas, o ne vieno pagrindo logaritmas.

Todėl turime kažkaip atsikratyti šio skirtumo. Šiuo atveju viskas labai paprasta. Pažvelkime atidžiau į pagrindus: kairėje yra skaičius po šaknimi:

Bendra rekomendacija: visose logaritminėse lygtyse stenkitės atsikratyti radikalų, t. y. nuo įrašų su šaknimis ir pereikite prie laipsnių funkcijų vien todėl, kad šių galių rodikliai lengvai pašalinami iš logaritmo ženklo ir galiausiai tokie. įrašas žymiai supaprastina ir pagreitina skaičiavimus. Užrašykime taip:

Dabar prisiminkime nuostabią logaritmo savybę: galias galima išvesti iš argumento, taip pat iš bazės. Esant pagrindams, atsitinka taip:

log a k b = 1/k loga b

Kitaip tariant, skaičius, kuris buvo bazinėje laipsnėje, pakeliamas į priekį ir tuo pačiu apverčiamas, tai yra, jis tampa abipusiu skaičiumi. Mūsų atveju bazinis laipsnis buvo 1/2. Todėl galime jį išimti kaip 2/1. Mes gauname:

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

Atkreipkite dėmesį: šiame žingsnyje jokiu būdu neturėtumėte atsikratyti logaritmų. Prisiminkite 4-5 klasių matematiką ir operacijų eiliškumą: pirmiausia atliekama daugyba, o tik tada sudėjimas ir atėmimas. Šiuo atveju iš 10 elementų atimame vieną iš tų pačių elementų:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

Dabar mūsų lygtis atrodo taip, kaip turėtų. Tai paprasčiausia konstrukcija, kurią išsprendžiame naudodami kanoninę formą:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x = 25

tiek. Antroji problema išspręsta.

Trečias pavyzdys

Pereikime prie trečios užduoties:

log (x + 3) = 3 + 2 log 5

Leiskite jums priminti šią formulę:

log b = log 10 b

Jei dėl kokių nors priežasčių jus glumina žymėjimo žurnalas b , tada atlikdami visus skaičiavimus galite tiesiog įrašyti log 10 b . Su dešimtainiais logaritmais galite dirbti taip pat, kaip ir su kitais: imkite laipsnius, sudėkite ir pavaizduokite bet kokius skaičius lg 10 forma.

Būtent šias savybes dabar naudosime spręsdami problemą, nes tai nėra pati paprasčiausia, kurią užsirašėme pačioje pamokos pradžioje.

Pirma, atkreipkite dėmesį, kad koeficientas 2 priešais lg 5 gali būti įvestas ir tampa 5 bazės laipsniu. Be to, laisvasis terminas 3 taip pat pavaizduojamas kaip logaritmas – tai labai lengva pastebėti iš mūsų žymėjimo.

Spręskite patys: bet koks skaičius gali būti pavaizduotas kaip žurnalas iki 10 bazės:

3 = log 10 10 3 = log 10 3

Perrašykime pradinę problemą, atsižvelgdami į gautus pakeitimus:

log (x – 3) = log 1000 + log 25
log (x – 3) = log 1000 25
log (x − 3) = log 25 000

Prieš mus vėl kanoninė forma, kurią gavome neperėję transformacijos etapo, t.y., niekur neatsirado paprasčiausia logaritminė lygtis.

Būtent apie tai kalbėjau pačioje pamokos pradžioje. Kanoninė forma leidžia išspręsti platesnę problemų grupę nei standartinė mokyklos formulė, kurią pateikia dauguma mokyklų mokytojų.

Na, štai, atsikratome dešimtainio logaritmo ženklo ir gauname paprastą tiesinę konstrukciją:

x + 3 = 25 000
x = 24 997

Viskas! Problema išspręsta.

Pastaba apie taikymo sritį

Čia norėčiau pateikti svarbią pastabą dėl apibrėžimo apimties. Tikrai dabar atsiras mokinių ir mokytojų, kurie sakys: „Spręsdami reiškinius logaritmais, turime atsiminti, kad argumentas f (x) turi būti didesnis už nulį! Šiuo atžvilgiu kyla logiškas klausimas: kodėl mes nereikalavome, kad ši nelygybė būtų patenkinta nė vienoje iš nagrinėjamų problemų?

Nesijaudink. Tokiais atvejais neatsiras papildomų šaknų. Ir tai dar vienas puikus triukas, leidžiantis paspartinti sprendimą. Tiesiog žinokite, kad jei uždavinyje kintamasis x yra tik vienoje vietoje (tiksliau, viename vieno logaritmo argumente), o niekur kitur mūsų atveju kintamasis x nepasirodo, tada užrašykite apibrėžimo sritį. nereikia, nes jis bus vykdomas automatiškai.

Spręskite patys: pirmoje lygtyje gavome, kad 3x − 1, t.y. argumentas turi būti lygus 8. Tai automatiškai reiškia, kad 3x − 1 bus didesnis už nulį.

Su ta pačia sėkme galime parašyti, kad antruoju atveju x turėtų būti lygus 5 2, ty tikrai didesnis už nulį. Ir trečiuoju atveju, kur x + 3 = 25 000, t.y., vėlgi, akivaizdžiai didesnis už nulį. Kitaip tariant, apimtis patenkinama automatiškai, bet tik tuo atveju, jei x yra tik vieno logaritmo argumente.

Tai viskas, ką reikia žinoti norint išspręsti paprasčiausias problemas. Vien ši taisyklė kartu su transformacijos taisyklėmis leis išspręsti labai plačią problemų klasę.

Bet būkime sąžiningi: norint pagaliau suprasti šią techniką ir išmokti taikyti kanoninę logaritminės lygties formą, neužtenka tik žiūrėti vieną vaizdo pamoką. Todėl jau dabar atsisiųskite nepriklausomų sprendimų parinktis, kurios pridedamos prie šios vaizdo pamokos, ir pradėkite spręsti bent vieną iš šių dviejų savarankiškų darbų.

Tai užtruks tiesiog kelias minutes. Tačiau tokių mokymų poveikis bus daug didesnis nei tuo atveju, jei tiesiog žiūrėtumėte šią vaizdo pamoką.

Tikiuosi, kad ši pamoka padės suprasti logaritmines lygtis. Naudokite kanoninę formą, supaprastinkite išraiškas naudodamiesi darbo su logaritmais taisyklėmis - ir jūs nebijosite jokių problemų. Tai viskas, ką šiandien turiu.

Atsižvelgiant į apibrėžimo sritį

Dabar pakalbėkime apie logaritminės funkcijos apibrėžimo sritį ir kaip tai veikia logaritminių lygčių sprendimą. Apsvarstykite formos konstrukciją

log a f (x) = b

Tokia išraiška vadinama paprasčiausia – joje yra tik viena funkcija, o skaičiai a ir b yra tik skaičiai, ir jokiu būdu ne funkcija, kuri priklauso nuo kintamojo x. Tai galima išspręsti labai paprastai. Jums tereikia naudoti formulę:

b = log a a b

Ši formulė yra viena iš pagrindinių logaritmo savybių, o pakeitę pradinę išraišką gauname:

log a f (x) = log a a b

f (x) = a b

Tai pažįstama formulė iš mokyklinių vadovėlių. Daugeliui studentų tikriausiai kils klausimas: kadangi pradinėje išraiškoje funkcija f (x) yra po žurnalo ženklu, jai taikomi šie apribojimai:

f(x) > 0

Šis apribojimas taikomas, nes neigiamų skaičių logaritmas neegzistuoja. Taigi, galbūt dėl ​​šio apribojimo reikėtų pradėti tikrinti atsakymus? Galbūt juos reikia įterpti į šaltinį?

Ne, paprasčiausiose logaritminėse lygtyse papildomas tikrinimas nereikalingas. Ir štai kodėl. Pažvelkite į mūsų galutinę formulę:

f (x) = a b

Faktas yra tas, kad skaičius a bet kuriuo atveju yra didesnis nei 0 - šį reikalavimą taip pat nustato logaritmas. Skaičius a yra pagrindas. Šiuo atveju skaičiui b netaikomi jokie apribojimai. Bet tai nesvarbu, nes kad ir kokia galia padidintume teigiamą skaičių, vis tiek gausime teigiamą skaičių išvestyje. Taigi reikalavimas f (x) > 0 tenkinamas automatiškai.

Tikrai verta patikrinti funkcijos domeną po žurnalo ženklu. Gali būti gana sudėtingų struktūrų, todėl sprendimo proceso metu tikrai turite jas stebėti. Pažiūrėsim.

Pirma užduotis:

Pirmas žingsnis: konvertuokite dešinėje esančią trupmeną. Mes gauname:

Atsikratome logaritmo ženklo ir gauname įprastą neracionalią lygtį:

Iš gautų šaknų mums tinka tik pirmoji, nes antroji šaknis mažesnė už nulį. Vienintelis atsakymas bus skaičius 9. Štai ir viskas, problema išspręsta. Norint įsitikinti, kad išraiška po logaritmo ženklu yra didesnė už 0, papildomų patikrų nereikia, nes ji ne tik didesnė už 0, bet pagal lygties sąlygą lygi 2. Todėl reikalavimas „didesnis už nulį “ patenkinamas automatiškai.

Pereikime prie antrosios užduoties:

Čia viskas taip pat. Perrašome konstrukciją, pakeisdami trigubą:

Atsikratome logaritmo ženklų ir gauname neracionalią lygtį:

Atsižvelgdami į apribojimus išlyginame abi puses ir gauname:

4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2

4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 −4 + ​​6x + x 2 = 0

2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2

x 2 + 7x + 6 = 0

Gautą lygtį išsprendžiame per diskriminantą:

D = 49 - 24 = 25

x 1 = −1

x 2 = −6

Bet x = −6 mums netinka, nes jei šį skaičių pakeisime į savo nelygybę, gausime:

−6 + 4 = −2 < 0

Mūsų atveju reikalaujama, kad jis būtų didesnis nei 0 arba, kraštutiniais atvejais, lygus. Bet x = −1 mums tinka:

−1 + 4 = 3 > 0

Vienintelis atsakymas mūsų atveju bus x = −1. Štai ir sprendimas. Grįžkime į pačią mūsų skaičiavimo pradžią.

Pagrindinė šios pamokos pamoka yra ta, kad jums nereikia tikrinti funkcijos apribojimų paprastose logaritminėse lygtyse. Nes sprendimo proceso metu visi apribojimai tenkinami automatiškai.

Tačiau tai jokiu būdu nereiškia, kad galite visiškai pamiršti apie patikrinimą. Darbo su logaritmine lygtimi procese ji gali virsti neracionalia, kuri turės savo apribojimus ir reikalavimus dešinei pusei, kurią šiandien matėme dviejuose skirtinguose pavyzdžiuose.

Nedvejodami spręskite tokias problemas ir būkite ypač atsargūs, jei ginče yra šaknis.

Logaritminės lygtys su skirtingais pagrindais

Toliau tiriame logaritmines lygtis ir apžvelgiame dar du gana įdomius metodus, kuriais madinga spręsti sudėtingesnes konstrukcijas. Tačiau pirmiausia prisiminkime, kaip išsprendžiamos paprasčiausios problemos:

log a f (x) = b

Šiame žymėjime a ir b yra skaičiai, o funkcijoje f (x) turi būti kintamasis x ir tik ten, tai yra, x turi būti tik argumente. Tokias logaritmines lygtis transformuosime naudodami kanoninę formą. Norėdami tai padaryti, atkreipkite dėmesį į tai

b = log a a b

Be to, a b yra būtent argumentas. Perrašykime šią išraišką taip:

log a f (x) = log a a b

Būtent to mes ir siekiame, kad būtų logaritmas, pagrįsti a kairėje ir dešinėje. Šiuo atveju galime, vaizdžiai tariant, perbraukti rąsto ženklus, o matematiniu požiūriu galime teigti, kad argumentus tiesiog tapatiname:

f (x) = a b

Dėl to gausime naują išraišką, kurią bus daug lengviau išspręsti. Taikykime šią taisyklę savo problemoms šiandien.

Taigi, pirmasis dizainas:

Pirmiausia atkreipiu dėmesį, kad dešinėje yra trupmena, kurios vardiklis yra log. Kai matote tokią išraišką, verta prisiminti nuostabią logaritmų savybę:

Išvertus į rusų kalbą, tai reiškia, kad bet kurį logaritmą galima pavaizduoti kaip dviejų logaritmų su bet kuria baze c koeficientą. Žinoma 0< с ≠ 1.

Taigi: ši formulė turi vieną nuostabų ypatingą atvejį, kai kintamasis c yra lygus kintamajam b. Tokiu atveju gauname tokią konstrukciją:

Būtent tokią konstrukciją matome iš ženklo dešinėje mūsų lygtyje. Pakeiskime šią konstrukciją log a b , gausime:

Kitaip tariant, palyginus su pradine užduotimi, mes sukeitėme argumentą ir logaritmo bazę. Vietoj to, mes turėjome pakeisti trupmeną.

Prisiminkime, kad bet koks laipsnis gali būti išvestas iš bazės pagal šią taisyklę:

Kitaip tariant, koeficientas k, kuris yra bazės laipsnis, išreiškiamas kaip atvirkštinė trupmena. Pateiksime ją kaip apverstą trupmeną:

Trupmeninio koeficiento negalima palikti priekyje, nes tokiu atveju šio žymėjimo negalėsime pavaizduoti kaip kanoninės formos (juk kanoninėje formoje prieš antrąjį logaritmą papildomo koeficiento nėra). Todėl kaip laipsnį prie argumento pridėkime trupmeną 1/4:

Dabar sulyginame argumentus, kurių pagrindai yra vienodi (o mūsų pagrindai iš tikrųjų yra tokie patys), ir rašome:

x + 5 = 1

x = −4

tiek. Gavome atsakymą į pirmąją logaritminę lygtį. Atkreipkite dėmesį: pradinėje užduotyje kintamasis x rodomas tik viename žurnale ir jo argumente. Todėl nereikia tikrinti domeno, o mūsų skaičius x = −4 iš tikrųjų yra atsakymas.

Dabar pereikime prie antrosios išraiškos:

log 56 = log 2 log 2 7 – 3 log (x + 4)

Čia, be įprastų logaritmų, teks dirbti su log f (x). Kaip išspręsti tokią lygtį? Nepasiruošusiam mokiniui gali atrodyti, kad tai sunki užduotis, bet iš tikrųjų viską galima išspręsti elementariai.

Atidžiai pažvelkite į terminą lg 2 log 2 7. Ką apie tai galime pasakyti? Log ir lg pagrindai ir argumentai yra vienodi, ir tai turėtų suteikti tam tikrų idėjų. Dar kartą prisiminkime, kaip iš po logaritmo ženklo išimamos galios:

log a b n = nlog a b

Kitaip tariant, tai, kas argumente buvo b galia, tampa veiksniu prieš patį logą. Šią formulę pritaikykime reiškiniui lg 2 log 2 7. Neišsigąskite lg 2 – tai dažniausiai pasitaikanti išraiška. Galite perrašyti taip:

Jam galioja visos taisyklės, taikomos bet kuriam kitam logaritmui. Visų pirma prie argumento laipsnio gali būti pridėtas veiksnys priešais. Užsirašykime:

Labai dažnai mokiniai šio veiksmo tiesiogiai nemato, nes nėra gerai įvesti vieną rąstą po kito ženklu. Tiesą sakant, tame nėra nieko nusikalstamo. Be to, gauname formulę, kurią lengva apskaičiuoti, jei atsimenate svarbią taisyklę:

Šią formulę galima laikyti ir apibrėžimu, ir viena iš jos savybių. Bet kokiu atveju, jei konvertuojate logaritminę lygtį, turėtumėte žinoti šią formulę taip, kaip žinotumėte bet kurio skaičiaus logaritmą.

Grįžkime prie savo užduoties. Perrašome atsižvelgdami į tai, kad pirmasis lygybės ženklo dešinėje esantis narys bus tiesiog lygus lg 7. Turime:

lg 56 = lg 7–3 lg (x + 4)

Perkelkime lg 7 į kairę, gausime:

lg 56 – log 7 = –3 lg (x + 4)

Atimame kairėje esančias išraiškas, nes jų pagrindas yra tas pats:

lg (56/7) = –3 lg (x + 4)

Dabar atidžiau pažvelkime į gautą lygtį. Tai praktiškai kanoninė forma, tačiau dešinėje yra koeficientas −3. Pridėkime jį prie tinkamo lg argumento:

log 8 = log (x + 4) −3

Prieš mus yra kanoninė logaritminės lygties forma, todėl išbraukiame lg ženklus ir sulyginame argumentus:

(x + 4) –3 = 8

x + 4 = 0,5

tai viskas! Išsprendėme antrąją logaritminę lygtį. Šiuo atveju papildomų patikrinimų nereikia, nes pradinėje užduotyje x buvo tik viename argumente.

Leiskite dar kartą išvardinti pagrindinius šios pamokos dalykus.

Pagrindinė formulė, kuri mokoma visose šio puslapio pamokose, skirtose logaritminėms lygtims spręsti, yra kanoninė forma. Ir neišsigąskite dėl to, kad daugumoje mokyklinių vadovėlių tokias problemas mokoma spręsti kitaip. Šis įrankis veikia labai efektyviai ir leidžia išspręsti daug platesnę užduočių grupę nei pačios paprasčiausios, kurias nagrinėjome pačioje pamokos pradžioje.

Be to, norint išspręsti logaritmines lygtis, bus naudinga žinoti pagrindines savybes. Būtent:

1. Perėjimo į vieną bazę formulė ir specialus atvejis, kai registruojame atvirkščiai (tai mums buvo labai naudinga atliekant pirmąją problemą);
2. Logaritmo ženklo galių pridėjimo ir atėmimo formulė. Čia daugelis studentų įstringa ir nemato, kad paimtame ir įvestame laipsnyje gali būti log f (x). Nėra nieko blogo. Galime įvesti vieną rąstą pagal kito ženklą ir tuo pačiu gerokai supaprastinti problemos sprendimą, ką ir stebime antruoju atveju.

Baigdamas noriu pridurti, kad nebūtina tikrinti apibrėžimo srities kiekvienu iš šių atvejų, nes visur kintamasis x yra tik viename log ženkle, o tuo pačiu yra ir jo argumente. Dėl to visi taikymo srities reikalavimai įvykdomi automatiškai.

Problemos su kintamu pagrindu

Šiandien pažvelgsime į logaritmines lygtis, kurios daugeliui studentų atrodo nestandartinės, jei ne visiškai neišsprendžiamos. Kalbame apie išraiškas, kurios pagrįstos ne skaičiais, o kintamaisiais ir net funkcijomis. Tokias konstrukcijas spręsime naudodami standartinę techniką, būtent per kanoninę formą.

Pirmiausia prisiminkime, kaip sprendžiamos paprasčiausios problemos, remiantis įprastais skaičiais. Taigi, vadinama paprasčiausia konstrukcija

log a f (x) = b

Norėdami išspręsti tokias problemas, galime naudoti šią formulę:

b = log a a b

Perrašome savo pradinę išraišką ir gauname:

log a f (x) = log a a b

Tada sulyginame argumentus, t.y. rašome:

f (x) = a b

Taip atsikratome rąsto ženklo ir išsprendžiame įprastą problemą. Šiuo atveju iš sprendinio gautos šaknys bus pradinės logaritminės lygties šaknys. Be to, įrašas, kai ir kairė, ir dešinė yra tame pačiame logaritme su ta pačia baze, vadinamas kanonine forma. Būtent iki tokio rekordo mes stengsimės sumažinti šiandienos dizainą. Taigi, eime.

Pirma užduotis:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = 1

Pakeiskite 1 log x − 2 (x − 2) 1 . Laipsnis, kurį stebime argumente, iš tikrųjų yra skaičius b, esantis lygybės ženklo dešinėje. Taigi, perrašykime savo išraišką. Mes gauname:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)

Ką mes matome? Prieš mus yra kanoninė logaritminės lygties forma, todėl galime saugiai sulyginti argumentus. Mes gauname:

2x 2 - 13x + 18 = x - 2

Tačiau sprendimas tuo nesibaigia, nes ši lygtis nėra lygiavertė pradinei. Galų gale, gauta konstrukcija susideda iš funkcijų, kurios yra apibrėžtos visoje skaičių eilutėje, o mūsų pradiniai logaritmai yra apibrėžti ne visur ir ne visada.

Todėl apibrėžimo sritį turime užrašyti atskirai. Neskaidykime plaukų ir pirmiausia surašykime visus reikalavimus:

Pirma, kiekvieno logaritmo argumentas turi būti didesnis nei 0:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

Antra, bazė turi būti ne tik didesnė nei 0, bet ir skirtis nuo 1:

x – 2 ≠ 1

Dėl to gauname sistemą:

Tačiau neišsigąskite: apdorojant logaritmines lygtis tokia sistema gali būti gerokai supaprastinta.

Spręskite patys: viena vertus, iš mūsų reikalaujama, kad kvadratinė funkcija būtų didesnė už nulį, kita vertus, ši kvadratinė funkcija prilyginama tam tikrai tiesinei išraiškai, kuri taip pat reikalaujama, kad ji būtų didesnė už nulį.

Šiuo atveju, jei reikalaujame, kad x − 2 > 0, tada reikalavimas 2x 2 − 13x + 18 > 0 bus automatiškai įvykdytas. Todėl galime saugiai išbraukti nelygybę, kurioje yra kvadratinė funkcija. Taigi mūsų sistemoje esančių išraiškų skaičius bus sumažintas iki trijų.

Žinoma, su tokia pačia sėkme galėtume nubraukti tiesinę nelygybę, tai yra, nubraukti x − 2 > 0 ir reikalauti, kad 2x 2 − 13x + 18 > 0. Tačiau sutiksite, kad paprasčiausią tiesinę nelygybę išspręsti yra daug greičiau. ir paprastesnis, nei kvadratinis, net su sąlyga, kad išsprendę visą šią sistemą gausime tas pačias šaknis.

Apskritai, kai tik įmanoma, stenkitės optimizuoti skaičiavimus. O logaritminių lygčių atveju išbraukite sunkiausias nelygybes.

Perrašykime savo sistemą:

Čia yra trijų posakių sistema, iš kurių dvi iš tikrųjų jau nagrinėjome. Atskirai išrašykime kvadratinę lygtį ir išspręskime:

2x 2 − 14x + 20 = 0

x 2 − 7x + 10 = 0

Prieš mus yra sumažintas kvadratinis trinaris, todėl galime naudoti Vietos formules. Mes gauname:

(x - 5) (x - 2) = 0

x 1 = 5

x 2 = 2

Dabar grįžtame į savo sistemą ir nustatome, kad x = 2 mums netinka, nes reikalaujama, kad x būtų griežtai didesnis už 2.

Bet x = 5 mums puikiai tinka: skaičius 5 didesnis už 2, o tuo pačiu 5 nelygus 3. Todėl vienintelis šios sistemos sprendimas bus x = 5.

Štai viskas, problema išspręsta, įskaitant atsižvelgiant į ODZ. Pereikime prie antrosios lygties. Daugiau įdomių ir informatyvių skaičiavimų mūsų laukia čia:

Pirmas žingsnis: kaip ir praėjusį kartą, visą šį reikalą perkeliame į kanoninę formą. Norėdami tai padaryti, skaičių 9 galime parašyti taip:

Jūs neturite liesti pagrindo su šaknimi, bet geriau pakeisti argumentą. Pereikime nuo šaknies prie laipsnio su racionaliuoju rodikliu. Užsirašykime:

Leiskite neperrašyti visos mūsų didelės logaritminės lygties, o tiesiog iš karto sulyginti argumentus:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

Prieš mus yra naujai sumažintas kvadratinis trinaris, panaudokime Vietos formules ir parašykime:

(x + 3) (x + 1) = 0

x 1 = −3

x 2 = −1

Taigi, gavome šaknis, bet niekas negarantavo, kad jos atitiks pradinę logaritminę lygtį. Juk rąstų ženklai nustato papildomus apribojimus (čia turėjome užsirašyti sistemą, bet dėl ​​visos struktūros gremėzdiškumo nusprendžiau apibrėžimo sritį skaičiuoti atskirai).

Visų pirma, atminkite, kad argumentai turi būti didesni nei 0, būtent:

Tai yra apibrėžimo apimties keliami reikalavimai.

Iš karto atkreipkime dėmesį, kad kadangi pirmąsias dvi sistemos išraiškas prilyginsime viena kitai, bet kurią iš jų galime išbraukti. Pirmąjį išbraukime, nes jis atrodo grėsmingesnis nei antrasis.

Be to, atkreipkite dėmesį, kad antrosios ir trečiosios nelygybės sprendiniai bus tos pačios aibės (kai kurių skaičių kubas yra didesnis už nulį, jei pats skaičius yra didesnis už nulį; panašiai ir su trečiojo laipsnio šaknimi - šios nelygybės yra visiškai analogiški, todėl galime išbraukti).

Tačiau su trečiąja nelygybe tai neveiks. Atsikratykime radikalaus ženklo kairėje, pakeldami abi dalis į kubą. Mes gauname:

Taigi gauname šiuos reikalavimus:

− 2 ≠ x > −3

Kuri iš mūsų šaknų: x 1 = −3 arba x 2 = −1 atitinka šiuos reikalavimus? Akivaizdu, kad tik x = −1, nes x = −3 netenkina pirmosios nelygybės (nes mūsų nelygybė yra griežta). Taigi, grįžtant prie uždavinio, gauname vieną šaknį: x = −1. Štai ir viskas, problema išspręsta.

Vėlgi, pagrindiniai šios užduoties punktai:

1. Nedvejodami pritaikykite ir spręskite logaritmines lygtis naudodami kanoninę formą. Studentai, kurie daro tokį žymėjimą, užuot pereidami tiesiai nuo pradinės problemos prie tokios konstrukcijos kaip log a f (x) = b, daro daug mažiau klaidų nei tie, kurie kažkur skuba, praleidžiant tarpinius skaičiavimo veiksmus;
2. Kai tik logaritme atsiranda kintamoji bazė, problema nustoja būti pati paprasčiausia. Todėl ją sprendžiant būtina atsižvelgti į apibrėžimo sritį: argumentai turi būti didesni už nulį, o pagrindai turi būti ne tik didesni už 0, bet ir nelygūs 1.

Galutiniai reikalavimai gali būti taikomi galutiniams atsakymams įvairiais būdais. Pavyzdžiui, galite išspręsti visą sistemą, kurioje yra visi apibrėžimo srities reikalavimai. Kita vertus, pirmiausia galite išspręsti pačią problemą, o tada prisiminti apibrėžimo sritį, atskirai ją sukurti sistemos pavidalu ir pritaikyti gautoms šaknims.

Kurį metodą pasirinkti sprendžiant konkrečią logaritminę lygtį, priklauso nuo jūsų. Bet kokiu atveju atsakymas bus tas pats.