Šioje pamokoje apžvelgsime pagrindinius teorinius faktus apie logaritmus ir svarstysime, kaip išspręsti paprasčiausias logaritmines lygtis.

Prisiminkime pagrindinį apibrėžimą – logaritmo apibrėžimą. Tai apima eksponentinės lygties sprendimą. Ši lygtis turi vieną šaknį, ji vadinama logaritmu iš b pagrindo a:

Apibrėžimas:

B logaritmas iki bazės a yra eksponentas, iki kurio bazę reikia pakelti, kad gautume b.

Leiskite jums priminti pagrindinė logaritminė tapatybė.

Išraiška (1 išraiška) yra lygties šaknis (2 išraiška). Pakeiskite reikšmę x iš 1 išraiškos vietoj x į 2 išraišką ir gaukite pagrindinę logaritminę tapatybę:

Taigi matome, kad kiekviena vertė yra susieta su verte. B pažymime x(), c – y ir taip gauname logaritminę funkciją:

Pavyzdžiui:

Prisiminkime pagrindines logaritminės funkcijos savybes.

Dar kartą atkreipkime dėmesį, nes po logaritmu gali būti griežtai teigiama išraiška, kaip logaritmo pagrindas.

Ryžiai. 1. Logaritminės funkcijos grafikas įvairiais pagrindais

Funkcijos at grafikas rodomas juodai. Ryžiai. 1. Jei argumentas didėja nuo nulio iki begalybės, funkcija didėja nuo minuso iki pliuso begalybės.

Funkcijos at grafikas rodomas raudonai. Ryžiai. 1.

Šios funkcijos savybės:

Taikymo sritis: ;

Vertybių diapazonas: ;

Funkcija yra monotoniška visoje apibrėžimo srityje. Kai monotoniškai (griežtai) didėja, didesnė argumento reikšmė atitinka didesnę funkcijos reikšmę. Kai monotoniškai (griežtai) mažėja, didesnė argumento reikšmė atitinka mažesnę funkcijos reikšmę.

Logaritminės funkcijos savybės yra raktas sprendžiant įvairias logaritmines lygtis.

Panagrinėkime paprasčiausią logaritminę lygtį, kaip taisyklė, sumažinamos iki šios formos.

Kadangi logaritmų pagrindai ir patys logaritmai yra lygūs, funkcijos pagal logaritmą taip pat yra lygios, tačiau neturime praleisti apibrėžimo srities. Pagal logaritmą gali atsirasti tik teigiamas skaičius, turime:

Išsiaiškinome, kad funkcijos f ir g yra lygios, todėl pakanka pasirinkti bet kurią nelygybę, kad atitiktų ODZ.

Taigi, mes turime mišrią sistemą, kurioje yra lygtis ir nelygybė:

Paprastai nelygybės spręsti nereikia, užtenka išspręsti lygtį ir rastąsias šaknis pakeisti į nelygybę, taip atliekant patikrinimą.

Suformuluokime paprasčiausių logaritminių lygčių sprendimo būdą:

Išlyginti logaritmų pagrindus;

Sulyginti sublogaritmines funkcijas;

Atlikite patikrinimą.

Pažvelkime į konkrečius pavyzdžius.

1 pavyzdys – išspręskite lygtį:

Iš pradžių logaritmų pagrindai yra lygūs, turime teisę sulyginti sublogaritmines išraiškas, nepamirškite apie ODZ, pasirenkame pirmąjį logaritmą nelygybei sudaryti:

2 pavyzdys – išspręskite lygtį:

Ši lygtis skiriasi nuo ankstesnės tuo, kad logaritmų bazės yra mažesnės už vieną, tačiau tai neturi jokios įtakos sprendimui:

Raskime šaknį ir pakeiskime ją nelygybe:

Gavome neteisingą nelygybę, vadinasi, rasta šaknis netenkina ODZ.

3 pavyzdys – išspręskite lygtį:

Iš pradžių logaritmų pagrindai yra lygūs, turime teisę sulyginti sublogaritmines išraiškas, nepamirškite apie ODZ, nelygybei sudaryti pasirenkame antrą logaritmą:

Raskime šaknį ir pakeiskime ją nelygybe:

Akivaizdu, kad tik pirmoji šaknis tenkina DD.

Paskutiniai vaizdo įrašai ilgoje pamokų serijoje apie logaritminių lygčių sprendimą. Šį kartą visų pirma dirbsime su logaritmo ODZ – būtent dėl ​​neteisingo apibrėžimo srities įvertinimo (ar net ignoravimo) sprendžiant tokias problemas kyla daugiausia klaidų.

Šioje trumpoje vaizdo pamokoje apžvelgsime logaritmų pridėjimo ir atėmimo formulių naudojimą, taip pat nagrinėsime trupmenines racionaliąsias lygtis, su kuriomis daugelis mokinių taip pat turi problemų.

Apie ką kalbėsime? Pagrindinė formulė, kurią norėčiau suprasti, atrodo taip:

log a (f g ) = log a f + log a g

Tai standartinis perėjimas nuo sandaugos prie logaritmų sumos ir atgal. Tikriausiai šią formulę žinote nuo pat logaritmų studijų pradžios. Tačiau yra viena kliūtis.

Kol kintamieji a, f ir g yra įprasti skaičiai, problemų nekyla. Ši formulė puikiai veikia.

Tačiau kai tik vietoj f ir g atsiranda funkcijos, iškyla apibrėžimo srities išplėtimo ar susiaurinimo problema, priklausomai nuo to, kuria kryptimi transformuoti. Spręskite patys: kairėje parašytame logaritme apibrėžimo sritis yra tokia:

fg > 0

Tačiau dešinėje parašyta suma apibrėžimo sritis jau šiek tiek skiriasi:

f > 0

g > 0

Šis reikalavimų rinkinys yra griežtesnis nei pradinis. Pirmuoju atveju mus tenkins f variantas< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0 yra vykdomas).

Taigi, pereinant nuo kairiosios konstrukcijos prie dešinės, susiaurėja apibrėžimo sritis. Jei iš pradžių turėtume sumą ir ją perrašytume sandaugos pavidalu, tada apibrėžimo sritis išsiplečia.

Kitaip tariant, pirmuoju atveju galime prarasti šaknis, o antruoju – gauti papildomų. Į tai reikia atsižvelgti sprendžiant realias logaritmines lygtis.

Taigi, pirmoji užduotis:

[Paveikslo antraštė]

Kairėje matome logaritmų sumą naudojant tą pačią bazę. Todėl šiuos logaritmus galima pridėti:

[Paveikslo antraštė]

Kaip matote, dešinėje mes pakeitėme nulį naudodami formulę:

a = log b b a

Dar šiek tiek pertvarkykime savo lygtį:

log 4 (x – 5) 2 = log 4 1

Prieš mus yra logaritminės lygties kanoninė forma, mes galime nubraukti log ženklą ir sulyginti argumentus:

(x − 5) 2 = 1

|x − 5| = 1

Atkreipkite dėmesį: iš kur atsirado modulis? Leiskite jums priminti, kad tikslaus kvadrato šaknis yra lygi moduliui:

[Paveikslo antraštė]

Tada išsprendžiame klasikinę lygtį su moduliu:

|f | = g (g > 0) ⇒f = ±g

x − 5 = ±1 ⇒x 1 = 5 − 1 = 4; x 2 = 5 + 1 = 6

Štai du kandidatų atsakymai. Ar jie yra pradinės logaritminės lygties sprendimas? Ne, jokiomis aplinkybėmis!

Mes neturime teisės palikti visko taip ir užrašyti atsakymą. Pažvelkite į žingsnį, kai logaritmų sumą pakeičiame vienu argumentų sandaugos logaritmu. Problema ta, kad originaliose išraiškose turime funkcijas. Todėl turėtumėte reikalauti:

x(x − 5) > 0; (x – 5)/x > 0.

Kai transformavome gaminį, gaudami tikslų kvadratą, pasikeitė reikalavimai:

(x – 5) 2 > 0

Kada šis reikalavimas įvykdytas? Taip, beveik visada! Išskyrus atvejį, kai x − 5 = 0. Tai yra nelygybė bus sumažinta iki vieno taško:

x − 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ 5

Kaip matote, apibrėžimo apimtis išsiplėtė, apie ką mes kalbėjome pačioje pamokos pradžioje. Dėl to gali atsirasti papildomų šaknų.

Kaip galite užkirsti kelią šių papildomų šaknų atsiradimui? Tai labai paprasta: žiūrime į gautas šaknis ir lyginame jas su pradinės lygties apibrėžimo sritimi. Suskaičiuokime:

x (x − 5) > 0

Išspręsime intervalo metodu:

x (x − 5) = 0 ⇒ x = 0; x = 5

Gautus skaičius pažymime eilutėje. Trūksta visų punktų, nes nelygybė griežta. Paimkite bet kurį skaičių, didesnį nei 5, ir pakeiskite:

[Paveikslo antraštė]

Mus domina intervalai (−∞; 0) ∪ (5; ∞). Jei atkarpoje pažymėsime savo šaknis, pamatysime, kad x = 4 mums netinka, nes ši šaknis yra už pradinės logaritminės lygties apibrėžimo srities.

Grįžtame prie visumos, išbraukiame šaknį x = 4 ir užrašome atsakymą: x = 6. Tai galutinis atsakymas į pradinę logaritminę lygtį. Štai ir viskas, problema išspręsta.

Pereikime prie antrosios logaritminės lygties:

[Paveikslo antraštė]

Išspręskime. Atkreipkite dėmesį, kad pirmasis narys yra trupmena, o antrasis yra ta pati trupmena, bet apversta. Neišsigąskite posakio lgx – tai tik dešimtainis logaritmas, galime jį parašyti:

lgx = log 10 x

Kadangi turime dvi apverstas trupmenas, siūlau įvesti naują kintamąjį:

[Paveikslo antraštė]

Todėl mūsų lygtį galima perrašyti taip:

t + 1/t = 2;

t + 1/t - 2 = 0;

(t 2 – 2t + 1)/t = 0;

(t − 1) 2 /t = 0.

Kaip matote, trupmenos skaitiklis yra tikslus kvadratas. Trupmena lygi nuliui, kai jos skaitiklis lygus nuliui, o vardiklis – ne nulis:

(t – 1) 2 = 0; t ≠ 0

Išspręskime pirmąją lygtį:

t − 1 = 0;

t = 1.

Ši vertė atitinka antrąjį reikalavimą. Todėl galime sakyti, kad visiškai išsprendėme savo lygtį, bet tik kintamojo t atžvilgiu. Dabar prisiminkime, kas yra t:

[Paveikslo antraštė]

Gavome proporciją:

logx = 2 logx + 1

2 logx − logx = −1

logx = −1

Pateikiame šią lygtį į kanoninę formą:

logx = log 10 −1

x = 10 −1 = 0,1

Dėl to gavome vieną šaknį, kuri teoriškai yra pradinės lygties sprendimas. Tačiau vis tiek žaiskime saugiai ir išrašykime pradinės lygties apibrėžimo sritį:

[Paveikslo antraštė]

Todėl mūsų šaknis atitinka visus reikalavimus. Mes radome pradinės logaritminės lygties sprendimą. Atsakymas: x = 0,1. Problema išspręsta.

Šiandienos pamokoje yra tik vienas esminis dalykas: naudodami formulę, skirtą pereiti nuo produkto prie sumos ir atgal, būtinai atsižvelkite į tai, kad apibrėžimo sritis gali susiaurėti arba išplėsti, priklausomai nuo to, kuria kryptimi pereinama.

Kaip suprasti, kas vyksta: susitraukimas ar išsiplėtimas? Labai paprasta. Jei anksčiau funkcijos buvo kartu, o dabar – atskiros, tai apibrėžimo apimtis susiaurėjo (nes atsirado daugiau reikalavimų). Jei iš pradžių funkcijos stovėjo atskirai, o dabar yra kartu, tada apibrėžimo sritis plečiasi (produktui keliama mažiau reikalavimų nei atskiriems veiksniams).

Atsižvelgdamas į šią pastabą, noriu pastebėti, kad antroji logaritminė lygtis šių transformacijų visiškai nereikalauja, tai yra, argumentų niekur nesudedame ir nedauginame. Tačiau čia norėčiau atkreipti jūsų dėmesį į dar vieną nuostabią techniką, kuri gali gerokai supaprastinti sprendimą. Kalbama apie kintamojo pakeitimą.

Tačiau atminkite, kad jokie pakaitalai neišlaisvina mūsų iš apibrėžimo apimties. Štai kodėl radę visas šaknis nepatingėjome ir grįžome prie pradinės lygties, kad surastume jos ODZ.

Dažnai keičiant kintamąjį atsiranda erzinanti klaida, kai mokiniai randa t reikšmę ir mano, kad sprendimas baigtas. Ne, jokiomis aplinkybėmis!

Suradę t reikšmę, turite grįžti prie pradinės lygties ir pamatyti, ką tiksliai turėjome omenyje šia raide. Dėl to turime išspręsti dar vieną lygtį, kuri vis dėlto bus daug paprastesnė nei pradinė.

Būtent tai yra naujo kintamojo įvedimo esmė. Pradinę lygtį padalijome į dvi tarpines, kurių kiekviena turi daug paprastesnį sprendimą.

Kaip išspręsti „įdėtas“ logaritmines lygtis

Šiandien toliau tiriame logaritmines lygtis ir analizuosime konstrukcijas, kai vienas logaritmas yra po kito logaritmo ženklu. Abi lygtis išspręsime naudodami kanoninę formą.

Šiandien toliau tiriame logaritmines lygtis ir analizuosime konstrukcijas, kai vienas logaritmas yra po kito ženklu. Abi lygtis išspręsime naudodami kanoninę formą. Leiskite jums priminti, kad jei turime paprasčiausią logaritminę lygtį log a f (x) = b formos, tada, norėdami išspręsti tokią lygtį, atliekame šiuos veiksmus. Pirmiausia turime pakeisti skaičių b :

b = log a a b

Pastaba: a b yra argumentas. Panašiai ir pradinėje lygtyje argumentas yra funkcija f(x). Tada perrašome lygtį ir gauname tokią konstrukciją:

log a f (x) = log a a b

Tada galime atlikti trečią veiksmą – atsikratyti logaritmo ženklo ir tiesiog parašyti:

f (x) = a b

Dėl to gauname naują lygtį. Šiuo atveju funkcijai f (x) netaikomi jokie apribojimai. Pavyzdžiui, jos vietą gali užimti ir logaritminė funkcija. Ir tada vėl gausime logaritminę lygtį, kurią vėl sumažinsime iki paprasčiausios formos ir išspręsime per kanoninę formą.

Tačiau dainų užteks. Išspręskime tikrąją problemą. Taigi, užduotis numeris 1:

2 log (1 + 3 log 2 x ) = 2

Kaip matote, prieš mus yra paprasčiausia logaritminė lygtis. F (x) vaidmuo yra konstrukcija 1 + 3 log 2 x, o skaičiaus b vaidmuo yra skaičius 2 (a vaidmenį taip pat atlieka du). Perrašykime šiuos du taip:

Svarbu suprasti, kad pirmieji du du atėjo pas mus iš logaritmo pagrindo, t.y. jei pradinėje lygtyje būtų 5, tai gautume, kad 2 = log 5 5 2. Apskritai bazė priklauso tik nuo logaritmo, kuris iš pradžių buvo pateiktas uždavinyje. Ir mūsų atveju tai yra skaičius 2.

Taigi, mes perrašome savo logaritminę lygtį, atsižvelgdami į tai, kad dvi dešinėje iš tikrųjų taip pat yra logaritmas. Mes gauname:

log 2 (1 + 3 log 2 x ) = log 2 4

Pereikime prie paskutinio mūsų schemos žingsnio – kanoninės formos atsikratymo. Galima sakyti, mes tiesiog nubraukiame rąsto ženklus. Tačiau matematiniu požiūriu neįmanoma „perbraukti žurnalo“ – teisingiau būtų sakyti, kad argumentus tiesiog sulyginame:

1 + 3 log 2 x = 4

Iš čia galime lengvai rasti 3 log 2 x:

3 log 2 x = 3

log 2 x = 1

Vėl gavome paprasčiausią logaritminę lygtį, grąžinkime ją į kanoninę formą. Norėdami tai padaryti, turime atlikti šiuos pakeitimus:

1 = log 2 2 1 = log 2 2

Kodėl bazėje yra du? Kadangi mūsų kanoninėje lygtyje kairėje yra logaritmas tiksliai 2 pagrindu. Perrašome uždavinį atsižvelgdami į šį faktą:

log 2 x = log 2 2

Vėlgi atsikratome logaritmo ženklo, t.y. argumentus tiesiog sulyginame. Turime teisę tai padaryti, nes pagrindai yra vienodi ir daugiau jokių papildomų veiksmų nebuvo atlikta nei dešinėje, nei kairėje:

tai viskas! Problema išspręsta. Mes radome logaritminės lygties sprendimą.

Atkreipkite dėmesį! Nors argumente yra kintamasis x (t. y. iškyla reikalavimai apibrėžimo sričiai), jokių papildomų reikalavimų nekelsime.

Kaip minėjau aukščiau, šis patikrinimas yra nereikalingas, jei kintamasis yra tik viename tik vieno logaritmo argumente. Mūsų atveju x tikrai pasirodo tik argumente ir tik po vienu žurnalo ženklu. Todėl papildomų patikrinimų nereikia.

Tačiau jei nepasitikite šiuo metodu, galite lengvai patikrinti, ar x = 2 tikrai yra šaknis. Pakanka pakeisti šį skaičių į pradinę lygtį.

Pereikime prie antrosios lygties, ji šiek tiek įdomiau:

log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = 1

Jei išraišką didžiojo logaritmo viduje pažymėsime funkcija f (x), gautume paprasčiausią logaritminę lygtį, su kuria pradėjome šiandienos video pamoką. Todėl galite taikyti kanoninę formą, kuriai vienetą turėsite pavaizduoti formoje log 2 2 1 = log 2 2.

Perrašykime savo didžiąją lygtį:

log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = log 2 2

Atsitraukime nuo logaritmo ženklo, sulygindami argumentus. Turime teisę tai daryti, nes ir kairėje, ir dešinėje pagrindai yra vienodi. Be to, atkreipkite dėmesį, kad log 2 4 = 2:

log 1/2 (2x − 1) + 2 = 2

log 1/2 (2x − 1) = 0

Prieš mus vėl yra paprasčiausia logaritminė lygtis log a f (x) = b. Pereikime prie kanoninės formos, tai yra, nulį pavaizduojame formoje log 1/2 (1/2)0 = log 1/2 1.

Perrašome savo lygtį ir atsikratome žurnalo ženklo, sulygindami argumentus:

log 1/2 (2x − 1) = log 1/2 1

2x − 1 = 1

Vėlgi, iškart gavome atsakymą. Jokių papildomų patikrinimų nereikia, nes pradinėje lygtyje funkcija kaip argumentas yra tik viename logaritme.

Todėl papildomų patikrinimų nereikia. Galime drąsiai teigti, kad x = 1 yra vienintelė šios lygties šaknis.

Bet jei antrajame logaritme vietoj keturių būtų kokia nors x funkcija (arba 2x buvo ne argumente, o bazėje), tai reikėtų patikrinti apibrėžimo sritį. Priešingu atveju yra didelė tikimybė patekti į papildomas šaknis.

Iš kur atsiranda šios papildomos šaknys? Šį dalyką reikia suprasti labai aiškiai. Pažvelkite į pradines lygtis: visur funkcija x yra po logaritmo ženklu. Vadinasi, kadangi užsirašėme log 2 x, automatiškai nustatome reikalavimą x > 0. Priešingu atveju šis įrašas tiesiog neturi prasmės.

Tačiau, sprendžiant logaritminę lygtį, atsikratome visų rąsto ženklų ir gauname paprastas konstrukcijas. Čia nėra jokių apribojimų, nes tiesinė funkcija yra apibrėžta bet kuriai x reikšmei.

Būtent dėl ​​šios problemos, kai galutinė funkcija apibrėžiama visur ir visada, o pradinė – ne visur ir ne visada, todėl sprendžiant logaritmines lygtis labai dažnai atsiranda papildomos šaknys.

Bet dar kartą kartoju: taip atsitinka tik tada, kai funkcija yra arba keliuose logaritmuose, arba vieno iš jų pagrindu. Problemose, kurias šiandien svarstome, iš esmės nėra problemų išplėsti apibrėžimo sritį.

Skirtingo pagrindo atvejai

Ši pamoka skirta sudėtingesnėms struktūroms. Logaritmai šiandieninėse lygtyse nebebus išspręsti iš karto – pirmiausia reikės atlikti kai kurias transformacijas.

Pradedame spręsti logaritmines lygtis su visiškai skirtingomis bazėmis, kurios nėra tikslios viena kitos galios. Neleiskite tokioms problemoms jūsų gąsdinti - jas išspręsti nėra sunkiau nei paprasčiausius dizainus, kuriuos aptarėme aukščiau.

Tačiau prieš pereinant tiesiai prie uždavinių, leiskite man priminti paprasčiausių logaritminių lygčių sprendimo formulę naudojant kanoninę formą. Apsvarstykite tokią problemą:

log a f (x) = b

Svarbu, kad funkcija f (x) būtų tik funkcija, o skaičių a ir b vaidmuo turėtų būti skaičiai (be jokių kintamųjų x). Žinoma, pažodžiui po minutės pažvelgsime į tokius atvejus, kai vietoj kintamųjų a ir b yra funkcijos, bet dabar ne apie tai.

Kaip prisimename, skaičius b turi būti pakeistas logaritmu toje pačioje bazėje a, kuri yra kairėje. Tai daroma labai paprastai:

b = log a a b

Žinoma, žodžiai „bet koks skaičius b“ ir „bet koks skaičius a“ reiškia reikšmes, kurios atitinka apibrėžimo sritį. Konkrečiai, šioje lygtyje kalbame tik apie bazę a > 0 ir a ≠ 1.

Tačiau šis reikalavimas tenkinamas automatiškai, nes pradiniame uždavinyje jau yra logaritmas bazei a – jis tikrai bus didesnis nei 0 ir nelygus 1. Todėl toliau sprendžiame logaritminę lygtį:

log a f (x) = log a a b

Toks žymėjimas vadinamas kanonine forma. Jo patogumas slypi tuo, kad mes galime iš karto atsikratyti rąsto ženklo, sulyginę argumentus:

f (x) = a b

Būtent šią techniką dabar naudosime sprendžiant logaritmines lygtis su kintamu pagrindu. Taigi, eime!

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 0,5 0,125

Kas toliau? Kažkas dabar pasakys, kad reikia apskaičiuoti teisingą logaritmą arba sumažinti juos iki tos pačios bazės, ar dar ką nors. Ir iš tiesų, dabar turime suvesti abi bazes į tą pačią formą - arba 2, arba 0,5. Bet kartą ir visiems laikams išmokime šią taisyklę:

Jei logaritminėje lygtyje yra dešimtainių skaičių, būtinai konvertuokite šias trupmenas iš dešimtainės į bendrą žymėjimą. Ši transformacija gali labai supaprastinti sprendimą.

Toks perėjimas turi būti atliktas nedelsiant, net prieš atliekant bet kokius veiksmus ar transformacijas. Pažiūrėkime:

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 1 / 2 1/8

Ką mums duoda toks rekordas? 1/2 ir 1/8 galime pavaizduoti kaip laipsnius su neigiamu rodikliu:

[Paveikslo antraštė]

Prieš mus yra kanoninė forma. Sulyginame argumentus ir gauname klasikinę kvadratinę lygtį:

x 2 + 4x + 11 = 8

x 2 + 4x + 3 = 0

Prieš mus yra tokia kvadratinė lygtis, kurią galima lengvai išspręsti naudojant Vietos formules. Vidurinėje mokykloje turėtumėte matyti panašius ekranus pažodžiui žodžiu:

(x + 3) (x + 1) = 0

x 1 = −3

x 2 = −1

tai viskas! Pradinė logaritminė lygtis buvo išspręsta. Turime dvi šaknis.

Priminsiu, kad šiuo atveju nebūtina nustatyti apibrėžimo srities, nes funkcija su kintamuoju x yra tik viename argumente. Todėl apibrėžimo apimtis atliekama automatiškai.

Taigi, pirmoji lygtis išspręsta. Pereikime prie antrojo:

log 0,5 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 1/9

log 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 9 −1

Dabar atkreipkite dėmesį, kad pirmojo logaritmo argumentas taip pat gali būti parašytas kaip laipsnis su neigiamu eksponentu: 1/2 = 2 −1. Tada galite paimti abiejų lygties pusių galias ir padalyti viską iš −1:

[Paveikslo antraštė]

Ir dabar mes baigėme labai svarbų logaritminės lygties sprendimo žingsnį. Galbūt kažkas kažko nepastebėjo, todėl paaiškinsiu.

Pažvelkite į mūsų lygtį: ir kairėje, ir dešinėje yra logaritmas, bet kairėje yra logaritmas iki 2 bazės, o dešinėje yra logaritmas iki 3 bazės. Trys nėra sveikasis skaičius du ir, atvirkščiai, negalite rašyti, kad 2 yra 3 sveikuoju laipsnių skaičiumi.

Vadinasi, tai logaritmai su skirtingais pagrindais, kurių negalima redukuoti vieni į kitus tiesiog pridedant galias. Vienintelis būdas išspręsti tokias problemas yra atsikratyti vieno iš šių logaritmų. Šiuo atveju, kadangi vis dar svarstome gana paprastas problemas, dešinėje esantis logaritmas buvo tiesiog apskaičiuotas ir gavome paprasčiausią lygtį – būtent tą, apie kurią kalbėjome pačioje šios dienos pamokos pradžioje.

Pavaizduokime skaičių 2, kuris yra dešinėje, kaip log 2 2 2 = log 2 4. Ir tada atsikratome logaritmo ženklo, po kurio mums tiesiog paliekama kvadratinė lygtis:

2 žurnalas (5x 2 + 9x + 2) = log 2 4

5x 2 + 9x + 2 = 4

5x 2 + 9x − 2 = 0

Prieš mus yra įprasta kvadratinė lygtis, bet ji nėra sumažinta, nes koeficientas x 2 skiriasi nuo vienybės. Todėl mes ją išspręsime naudodami diskriminantą:

D = 81 − 4 5 (−2) = 81 + 40 = 121

x 1 = (−9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5

x 2 = (−9 − 11)/10 = −2

tai viskas! Mes radome abi šaknis, o tai reiškia, kad gavome pradinės logaritminės lygties sprendimą. Iš tiesų, pradinėje užduotyje funkcija su kintamuoju x yra tik viename argumente. Vadinasi, nereikia jokių papildomų patikrų apibrėžimo srityje – abi šaknys, kurias radome, tikrai atitinka visus galimus apribojimus.

Tai galėtų būti šios dienos vaizdo pamokos pabaiga, tačiau pabaigai norėčiau dar kartą pasakyti: spręsdami logaritmines lygtis būtinai konvertuokite visas dešimtaines trupmenas į paprastąsias trupmenas. Daugeliu atvejų tai labai supaprastina jų sprendimą.

Retai, labai retai susiduri su problemomis, kai kablelio atsikratymas tik apsunkina skaičiavimus. Tačiau tokiose lygtyse, kaip taisyklė, iš pradžių aišku, kad nereikia atsikratyti dešimtainių trupmenų.

Daugeliu kitų atvejų (ypač jei tik pradedate praktikuoti logaritminių lygčių sprendimą), nedvejodami atsisakykite dešimtainių skaičių ir konvertuokite juos į paprastus. Kadangi praktika rodo, kad tokiu būdu jūs žymiai supaprastinsite tolesnį sprendimą ir skaičiavimus.

Sprendimo subtilybės ir gudrybės

Šiandien pereiname prie sudėtingesnių problemų ir išspręsime logaritminę lygtį, kuri remiasi ne skaičiumi, o funkcija.

Ir net jei ši funkcija yra tiesinė, sprendinio schemoje reikės atlikti nedidelius pakeitimus, kurių prasmė susiveda į papildomus logaritmo apibrėžimo srities reikalavimus.

Sudėtingos užduotys

Ši pamoka bus gana ilga. Jame analizuosime dvi gana rimtas logaritmines lygtis, kurias spręsdami daugelis mokinių daro klaidų. Praktikuodamas matematikos mokytoją, nuolat susidurdavau su dviejų tipų klaidomis:

1. Papildomų šaknų atsiradimas dėl logaritmų apibrėžimo srities išplėtimo. Norėdami išvengti tokių įžeidžiančių klaidų, tiesiog atidžiai stebėkite kiekvieną transformaciją;
2. Šaknų praradimas dėl to, kad studentas pamiršo apsvarstyti kai kuriuos „subtilius“ atvejus - tai yra situacijos, į kurias šiandien sutelksime dėmesį.

Tai paskutinė logaritminių lygčių pamoka. Tai bus ilga, analizuosime sudėtingas logaritmines lygtis. Įsitaisykite patogiai, išsivirkite arbatos ir pradėkime.

Pirmoji lygtis atrodo gana standartinė:

log x + 1 (x - 0,5) = log x - 0,5 (x + 1)

Iš karto atkreipkime dėmesį, kad abu logaritmai yra atvirkštinės vienas kito kopijos. Prisiminkime nuostabią formulę:

log a b = 1/log b a

Tačiau ši formulė turi keletą apribojimų, atsirandančių, jei vietoj skaičių a ir b yra kintamojo x funkcijos:

b > 0

1 ≠ a > 0

Šie reikalavimai taikomi logaritmo pagrindui. Kita vertus, trupmenoje privalome turėti 1 ≠ a > 0, nes ne tik kintamasis a yra logaritmo argumente (taigi a > 0), bet ir pats logaritmas yra trupmenos vardiklyje. . Bet log b 1 = 0, o vardiklis turi būti ne nulis, taigi a ≠ 1.

Taigi, kintamojo a apribojimai išlieka. Bet kas atsitiks su kintamuoju b? Viena vertus, bazė reiškia b > 0, kita vertus, kintamasis b ≠ 1, nes logaritmo bazė turi skirtis nuo 1. Iš viso iš dešinės formulės pusės matyti, kad 1 ≠ b > 0.

Tačiau čia yra problema: antrojo reikalavimo (b ≠ 1) trūksta pirmojoje nelygybėje, kuri susijusi su kairiuoju logaritmu. Kitaip tariant, atlikdami šią transformaciją turime patikrinti atskirai, kad argumentas b skiriasi nuo vieno!

Taigi patikrinkime. Taikykime savo formulę:

[Paveikslo antraštė]

1 ≠ x - 0,5 > 0; 1 ≠ x + 1 > 0

Taigi jau iš pradinės logaritminės lygties gavome, kad ir a, ir b turi būti didesni už 0, o ne lygūs 1. Tai reiškia, kad logaritminę lygtį galime lengvai apversti:

Siūlau įvesti naują kintamąjį:

log x + 1 (x − 0,5) = t

Tokiu atveju mūsų konstrukcija bus perrašyta taip:

(t 2 − 1)/t = 0

Atkreipkite dėmesį, kad skaitiklyje turime kvadratų skirtumą. Kvadratų skirtumą atskleidžiame naudodami sutrumpintą daugybos formulę:

(t – 1)(t + 1)/t = 0

Trupmena lygi nuliui, kai jos skaitiklis lygus nuliui, o vardiklis – ne nulis. Tačiau skaitiklyje yra sandauga, todėl kiekvieną veiksnį prilyginame nuliui:

t1 = 1;

t2 = -1;

t ≠ 0.

Kaip matome, abi kintamojo t reikšmės mums tinka. Tačiau sprendimas tuo nesibaigia, nes reikia rasti ne t, o x reikšmę. Grįžtame prie logaritmo ir gauname:

log x + 1 (x - 0,5) = 1;

log x + 1 (x - 0,5) = -1.

Padėkime kiekvieną iš šių lygčių kanonine forma:

log x + 1 (x - 0,5) = log x + 1 (x + 1) 1

log x + 1 (x - 0,5) = log x + 1 (x + 1) -1

Pirmuoju atveju atsikratome logaritmo ženklo ir sulyginame argumentus:

x − 0,5 = x + 1;

x − x = 1 + 0,5;

Tokia lygtis neturi šaknų, todėl pirmoji logaritminė lygtis taip pat neturi šaknų. Bet su antrąja lygtimi viskas yra daug įdomiau:

(x – 0,5)/1 = 1/(x + 1)

Išspręsdami proporciją, gauname:

(x – 0,5) (x + 1) = 1

Priminsiu, kad sprendžiant logaritmines lygtis daug patogiau visas dešimtaines trupmenas naudoti kaip paprastas, todėl savo lygtį perrašykime taip:

(x – 1/2) (x + 1) = 1;

x 2 + x - 1/2x - 1/2 - 1 = 0;

x 2 + 1/2x − 3/2 = 0.

Prieš mus yra žemiau pateikta kvadratinė lygtis, ją galima lengvai išspręsti naudojant Vietos formules:

(x + 3/2) (x - 1) = 0;

x 1 = -1,5;

x 2 = 1.

Gavome dvi šaknis – jos yra kandidatės į pradinę logaritminę lygtį. Kad suprastume, kokios šaknys iš tikrųjų glūdi atsakymui, grįžkime prie pradinės problemos. Dabar patikrinsime kiekvieną savo šaknį, kad pamatytume, ar jos atitinka apibrėžimo sritį:

1,5 ≠ x > 0,5; 0 ≠ x > –1.

Šie reikalavimai prilygsta dvigubai nelygybei:

1 ≠ x > 0,5

Iš čia iš karto matome, kad šaknis x = −1,5 mums netinka, bet x = 1 mums tinka visai neblogai. Todėl x = 1 yra galutinis logaritminės lygties sprendimas.

Pereikime prie antrosios užduoties:

log x 25 + log 125 x 5 = log 25 x 625

Iš pirmo žvilgsnio gali atrodyti, kad visi logaritmai turi skirtingus pagrindus ir skirtingus argumentus. Ką daryti su tokiomis struktūromis? Visų pirma, atkreipkite dėmesį, kad skaičiai 25, 5 ir 625 yra 5 laipsniai:

25 = 5 2 ; 625 = 5 4

Dabar pasinaudokime nuostabia logaritmo savybe. Esmė ta, kad iš argumento galite išskirti galias faktorių forma:

log a b n = n ∙ log a b

Šiai transformacijai taip pat taikomi apribojimai, kai b pakeičiama funkcija. Bet mums b tėra skaičius ir jokių papildomų apribojimų nekyla. Perrašykime savo lygtį:

2 ∙ rąstas x 5 + rąstas 125 x 5 = 4 ∙ rąstas 25 x 5

Gavome lygtį su trimis terminais, kuriuose yra log ženklas. Be to, visų trijų logaritmų argumentai yra lygūs.

Atėjo laikas apversti logaritmus, kad jie būtų vienodi – 5. Kadangi kintamasis b yra konstanta, apibrėžimo srities pokyčių nevyksta. Mes tiesiog perrašome:

[Paveikslo antraštė]

Kaip ir tikėtasi, vardiklyje atsirado tie patys logaritmai. Siūlau pakeisti kintamąjį:

log 5 x = t

Tokiu atveju mūsų lygtis bus perrašyta taip:

Išrašykime skaitiklį ir atidarykime skliaustus:

2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) – 4 t (t + 3) = 2 (t 2 + 5 t + 6) + t 2 + 2 t - 4 t 2 - 12 t = 2 t 2 + 10 t + 12 + t 2 + 2 t - 4 t 2 - 12 t = -t 2 + 12

Grįžkime prie savo trupmenos. Skaitiklis turi būti lygus nuliui:

[Paveikslo antraštė]

Ir vardiklis skiriasi nuo nulio:

t ≠ 0; t ≠ –3; t ≠ –2

Paskutiniai reikalavimai įvykdomi automatiškai, nes jie visi yra „susieti“ su sveikaisiais skaičiais, o visi atsakymai yra neracionalūs.

Taigi, trupmeninė racionali lygtis buvo išspręsta, rastos kintamojo t reikšmės. Grįžkime prie logaritminės lygties sprendimo ir prisiminkime, kas yra t:

[Paveikslo antraštė]

Šią lygtį sumažiname iki kanoninės formos ir gauname skaičių su neracionaliu laipsniu. Neleiskite, kad tai jūsų suklaidintų – netgi tokie argumentai gali būti sutapatinti:

[Paveikslo antraštė]

Turime dvi šaknis. Tiksliau, du kandidatai atsako – patikrinkime, ar jie atitinka apibrėžimo sritį. Kadangi logaritmo pagrindas yra kintamasis x, mums reikia:

1 ≠ x > 0;

Su ta pačia sėkme tvirtiname, kad x ≠ 1/125, kitaip antrojo logaritmo bazė pasisuks į vienybę. Galiausiai x ≠ 1/25 trečiajam logaritmui.

Iš viso gavome keturis apribojimus:

1 ≠ x > 0; x ≠ 1/125; x ≠ 1/25

Dabar kyla klausimas: ar mūsų šaknys tenkina šiuos reikalavimus? Žinoma, jie tenkina! Nes 5 bet kuriai galiai bus didesnis už nulį, o reikalavimas x > 0 tenkinamas automatiškai.

Kita vertus, 1 = 5 0, 1/25 = 5 −2, 1/125 = 5 −3, o tai reiškia, kad šie apribojimai mūsų šaknims (kurių, priminsiu, eksponente yra neracionalus skaičius) taip pat yra patenkinti, ir abu atsakymai yra problemos sprendimai.

Taigi, mes turime galutinį atsakymą. Šioje užduotyje yra du pagrindiniai punktai:

1. Būkite atsargūs vartydami logaritmą, kai sukeičiami argumentai ir bazė. Tokios transformacijos nustato nereikalingus apibrėžimo apimties apribojimus.
2. Nebijokite transformuoti logaritmų: juos galima ne tik apversti, bet ir išplėsti naudojant sumos formulę ir paprastai keisti naudojant bet kokias formules, kurias studijavote spręsdami logaritmines išraiškas. Tačiau visada atminkite: kai kurios transformacijos išplečia apibrėžimo sritį, o kai kurios - susiaurina.

Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis dėl unikalių pasiūlymų, akcijų ir kitų renginių bei būsimų renginių.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Prireikus – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teisminiuose procesuose ir (arba) remiantis viešais prašymais ar valdžios institucijų prašymais Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleisti savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis dėl unikalių pasiūlymų, akcijų ir kitų renginių bei būsimų renginių.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Prireikus – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teisminiuose procesuose ir (arba) remiantis viešais prašymais ar valdžios institucijų prašymais Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleisti savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Logaritminės išraiškos, sprendimų pavyzdžiai. Šiame straipsnyje apžvelgsime problemas, susijusias su logaritmų sprendimu. Užduotyse keliamas klausimas, kaip rasti posakio prasmę. Pažymėtina, kad logaritmo sąvoka naudojama daugelyje užduočių ir jos prasmės supratimas yra nepaprastai svarbus. Kalbant apie vieningą valstybinį egzaminą, logaritmas naudojamas sprendžiant lygtis, atliekant taikomuosius uždavinius, taip pat atliekant užduotis, susijusias su funkcijų tyrimu.

Pateiksime pavyzdžių, kad suprastume pačią logaritmo reikšmę:

Pagrindinė logaritminė tapatybė:

Logaritmų savybės, kurias visada reikia atsiminti:

*Darbos logaritmas lygus faktorių logaritmų sumai.

* * *

*Dalyvio (trupos) logaritmas lygus faktorių logaritmų skirtumui.

* * *

*Rodiklio logaritmas lygus eksponento sandaugai ir jo bazės logaritmui.

* * *

*Perėjimas prie naujų pamatų

* * *

Daugiau savybių:

* * *

Logaritmų skaičiavimas yra glaudžiai susijęs su eksponentų savybių naudojimu.

Išvardinkime kai kuriuos iš jų:

Šios savybės esmė ta, kad skaitiklį perkėlus į vardiklį ir atvirkščiai, rodiklio ženklas pasikeičia į priešingą. Pavyzdžiui:

Šios nuosavybės pasekmė:

* * *

Didinant laipsnį į laipsnį, bazė išlieka ta pati, tačiau rodikliai dauginami.

* * *

Kaip matėte, pati logaritmo sąvoka yra paprasta. Svarbiausia, kad jums reikia geros praktikos, kuri suteikia jums tam tikrų įgūdžių. Žinoma, reikia žinoti formules. Jei elementarių logaritmų konvertavimo įgūdis nebuvo išugdytas, tada spręsdami paprastas užduotis galite lengvai suklysti.

Praktikuokite, pirmiausia išspręskite paprasčiausius matematikos kurso pavyzdžius, tada pereikite prie sudėtingesnių. Ateityje tikrai parodysiu, kaip sprendžiami „bražūs“ logaritmai, jie nebus rodomi vieningame valstybiniame egzamine, bet jie yra įdomūs, nepraleiskite jų!

Tai viskas! Sėkmės tau!

Pagarbiai Aleksandras Krutitskichas

P.S. Būčiau dėkingas, jei papasakotumėte apie svetainę socialiniuose tinkluose.