Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai svetainėje pateikiate užklausą, galime surinkti įvairios informacijos, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, adresą paštu ir tt

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis dėl unikalių pasiūlymų, akcijų ir kitų renginių bei būsimų renginių.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Esant poreikiui – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teismine tvarka ir (arba) remiantis viešais prašymais ar prašymais iš vyriausybines agentūras Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Iš visos logaritminių nelygybių įvairovės atskirai nagrinėjamos nelygybės su kintamu pagrindu. Jie sprendžiami naudojant specialią formulę, kuri dėl kokių nors priežasčių retai mokoma mokykloje:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

Vietoj žymės langelio „∨“ galite įdėti bet kokį nelygybės ženklą: daugiau ar mažiau. Svarbiausia, kad abiejose nelygybėse ženklai būtų vienodi.

Taip atsikratome logaritmų ir sumažiname problemą iki racionalios nelygybės. Pastarąjį išspręsti daug lengviau, tačiau atmetus logaritmus gali atsirasti papildomų šaknų. Norint juos nupjauti, pakanka rasti priimtinų verčių diapazoną. Jei pamiršote logaritmo ODZ, primygtinai rekomenduoju jį pakartoti – žr. „Kas yra logaritmas“.

Viskas, kas susiję su priimtinų verčių diapazonu, turi būti išrašyta ir išspręsta atskirai:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Šios keturios nelygybės sudaro sistemą ir turi būti tenkinamos vienu metu. Kai randamas priimtinų reikšmių diapazonas, belieka jį susikirsti su racionalios nelygybės sprendimu – ir atsakymas paruoštas.

Užduotis. Išspręskite nelygybę:

Pirmiausia užrašykite logaritmo ODZ:

Pirmosios dvi nelygybės tenkinamos automatiškai, tačiau paskutinė turės būti išrašyta. Kadangi skaičiaus kvadratas yra nulis tada ir tik tada, kai pats skaičius yra nulis, turime:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Pasirodo, kad logaritmo ODZ yra visi skaičiai, išskyrus nulį: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Dabar išsprendžiame pagrindinę nelygybę:

Mes pereiname nuo logaritminės nelygybės prie racionalios. Pradinė nelygybė turi ženklą „mažiau nei“, o tai reiškia, kad gauta nelygybė taip pat turi turėti „mažiau nei“ ženklą. Turime:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x ) (3 + x ) x 2< 0.

Šios išraiškos nuliai yra: x = 3; x = –3; x = 0. Be to, x = 0 yra antrojo dauginio šaknis, vadinasi, einant pro ją funkcijos ženklas nekinta. Turime:

Gauname x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Šis rinkinys yra visiškai įtrauktas į logaritmo ODZ, o tai reiškia, kad tai yra atsakymas.

Logaritminių nelygybių konvertavimas

Dažnai pradinė nelygybė skiriasi nuo aukščiau pateiktos. Tai galima lengvai ištaisyti naudojant standartines darbo su logaritmais taisykles – žr. „Pagrindinės logaritmų savybės“. Būtent:

1. Bet kuris skaičius gali būti pavaizduotas kaip logaritmas su duota baze;
2. Logaritmų su vienodomis bazėmis sumą ir skirtumą galima pakeisti vienu logaritmu.

Atskirai norėčiau priminti apie priimtinų verčių diapazoną. Kadangi pradinėje nelygybėje gali būti keli logaritmai, reikia rasti kiekvieno iš jų VA. Taigi bendra logaritminių nelygybių sprendimo schema yra tokia:

1. Raskite kiekvieno į nelygybę įtraukto logaritmo VA;
2. Sumažinkite nelygybę iki standartinės, naudodami logaritmų pridėjimo ir atėmimo formules;
3. Išspręskite gautą nelygybę pagal aukščiau pateiktą schemą.

Užduotis. Išspręskite nelygybę:

Raskime pirmojo logaritmo apibrėžimo sritį (DO):

Sprendžiame intervalo metodu. Skaitiklio nulių radimas:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Tada - vardiklio nuliai:

x − 1 = 0;
x = 1.

Ant koordinačių rodyklės pažymime nulius ir ženklus:

Gauname x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Antrasis logaritmas turės tą patį VA. Jei netikite, galite patikrinti. Dabar paverčiame antrąjį logaritmą taip, kad bazė būtų dvi:

Kaip matote, trys prie pagrindo ir prieš logaritmą buvo sumažinti. Gavome du logaritmus su ta pačia baze. Sudėkime juos:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Gavome standartinę logaritminę nelygybę. Atsikratome logaritmų naudodami formulę. Kadangi pradinėje nelygybėje yra ženklas „mažiau nei“, gauta racionali išraiška taip pat turi būti mažesnė už nulį. Turime:

(f (x) – g (x)) (k (x) – 1)< 0;
((x - 1) 2 - 2 2) (2 - 1)< 0;
x 2 - 2x + 1 - 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x – 3) (x + 1)< 0;
x ∈ (-1; 3).

Gavome du komplektus:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Kandidatas į atsakymą: x ∈ (−1; 3).

Belieka susikirsti šias aibes - mes gauname tikrą atsakymą:

Mus domina aibių sankirta, todėl pasirenkame intervalus, kurie yra užtamsinti ant abiejų rodyklių. Gauname x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) – visi taškai pradurti.

Ar manote, kad iki vieningo valstybinio egzamino dar liko laiko ir turėsite laiko pasiruošti? Galbūt taip ir yra. Bet bet kuriuo atveju, kuo anksčiau studentas pradeda ruoštis, tuo sėkmingiau jis išlaiko egzaminus. Šiandien nusprendėme skirti straipsnį logaritminėms nelygybėms. Tai viena iš užduočių, reiškiančių galimybę gauti papildomą kreditą.

Ar jau žinai, kas yra logaritmas? Labai tikimės. Bet net jei neturite atsakymo į šį klausimą, tai nėra problema. Suprasti, kas yra logaritmas, labai paprasta.

Kodėl 4? Turite padidinti skaičių 3 iki šios galios, kad gautumėte 81. Kai suprasite principą, galite pereiti prie sudėtingesnių skaičiavimų.

Prieš kelerius metus išgyvenote nelygybę. Ir nuo to laiko jūs nuolat susiduriate su jais matematikoje. Jei kyla problemų sprendžiant nelygybes, peržiūrėkite atitinkamą skyrių.
Dabar, kai susipažinome su sąvokomis atskirai, pereikime prie jų bendro nagrinėjimo.

Paprasčiausia logaritminė nelygybė.

Paprasčiausios logaritminės nelygybės neapsiriboja šiuo pavyzdžiu, yra dar trys, tik su skirtingais ženklais. Kodėl tai būtina? Norėdami geriau suprasti, kaip logaritmais išspręsti nelygybes. Dabar pateikime tinkamesnį pavyzdį, vis dar gana paprastą, sudėtingas logaritmines nelygybes paliksime vėlesniam laikui.

Kaip tai išspręsti? Viskas prasideda nuo ODZ. Verta apie tai žinoti daugiau, jei norite visada lengvai išspręsti bet kokią nelygybę.

Kas yra ODZ? ODZ logaritminėms nelygybėms

Santrumpa reiškia priimtinų verčių diapazoną. Ši formuluotė dažnai atsiranda atliekant vieningo valstybinio egzamino užduotis. ODZ jums bus naudingas ne tik logaritminių nelygybių atveju.

Dar kartą pažiūrėkite į aukščiau pateiktą pavyzdį. Remdamiesi juo svarstysime ODZ, kad suprastumėte principą, o logaritminių nelygybių sprendimas nekeltų klausimų. Iš logaritmo apibrėžimo išplaukia, kad turi būti 2x+4 didesnis už nulį. Mūsų atveju tai reiškia štai ką.

Šis skaičius pagal apibrėžimą turi būti teigiamas. Išspręskite aukščiau pateiktą nelygybę. Tai galima padaryti net žodžiu, čia aišku, kad X negali būti mažesnis nei 2. Nelygybės sprendimas bus priimtinų reikšmių diapazono apibrėžimas.
Dabar pereikime prie paprasčiausios logaritminės nelygybės sprendimo.

Mes atmetame pačius logaritmus iš abiejų nelygybės pusių. Ką tai mums palieka? Paprasta nelygybė.

Tai nesunku išspręsti. X turi būti didesnis nei -0,5. Dabar mes sujungiame dvi gautas reikšmes į sistemą. Taigi,

Tai bus nagrinėjamos logaritminės nelygybės priimtinų verčių diapazonas.

Kodėl mums apskritai reikia ODZ? Tai galimybė atsikratyti neteisingų ir neįmanomų atsakymų. Jei atsakymas nepatenka į priimtinų verčių diapazoną, atsakymas tiesiog neturi prasmės. Tai verta prisiminti ilgą laiką, nes vieningame valstybiniame egzamine dažnai reikia ieškoti ODZ, ir tai susiję ne tik su logaritminėmis nelygybėmis.

Logaritminės nelygybės sprendimo algoritmas

Sprendimas susideda iš kelių etapų. Pirmiausia turite rasti priimtinų verčių diapazoną. ODZ bus dvi reikšmės, mes tai aptarėme aukščiau. Toliau turime išspręsti pačią nelygybę. Sprendimo metodai yra tokie:

• daugiklio pakeitimo metodas;
• skilimas;
• racionalizavimo metodas.

Atsižvelgiant į situaciją, verta naudoti vieną iš aukščiau pateiktų metodų. Pereikime tiesiai prie sprendimo. Atskleisime populiariausią metodą, kuris tinka spręsti vieningo valstybinio egzamino užduotis beveik visais atvejais. Toliau apžvelgsime skaidymo metodą. Tai gali padėti, jei susidursite su ypač sudėtinga nelygybe. Taigi, logaritminės nelygybės sprendimo algoritmas.

Sprendimų pavyzdžiai :

Ne veltui mes priėmėme būtent šią nelygybę! Atkreipkite dėmesį į pagrindą. Atsiminkite: jei jis didesnis už vienetą, randant priimtinų reikšmių diapazoną, ženklas išlieka toks pat; kitu atveju reikia pakeisti nelygybės ženklą.

Dėl to gauname nelygybę:

Dabar kairę pusę sumažiname iki lygties formos, lygios nuliui. Vietoj ženklo „mažiau nei“ dedame „lygu“ ir išsprendžiame lygtį. Taigi, mes rasime ODZ. Tikimės, kad tai padės išspręsti šią problemą paprasta lygtis neturėsite jokių problemų. Atsakymai yra -4 ir -2. Tai dar ne viskas. Turite parodyti šiuos taškus grafike, padėdami „+“ ir „-“. Ką reikia padaryti dėl to? Pakeiskite skaičius iš intervalų į išraišką. Kai reikšmės yra teigiamos, ten įdedame „+“.

Atsakymas: x negali būti didesnis nei -4 ir mažesnis nei -2.

Mes radome priimtinų verčių diapazoną tik kairiajai pusei, dabar turime rasti priimtinų verčių diapazoną dešinėje pusėje. Tai daug lengviau. Atsakymas: -2. Sukertame abi gautas sritis.

Ir tik dabar pradedame spręsti pačią nelygybę.

Kiek įmanoma supaprastinkime, kad būtų lengviau išspręsti.

Sprendime vėl naudojame intervalo metodą. Praleiskime skaičiavimus; viskas jau aišku iš ankstesnio pavyzdžio. Atsakymas.

Bet šis metodas tinka, jei logaritminė nelygybė turi tuos pačius pagrindus.

Norint išspręsti logaritmines lygtis ir nelygybes su skirtingais pagrindais, reikia iš pradžių redukuoti iki tos pačios bazės. Tada naudokite aukščiau aprašytą metodą. Bet yra ir daugiau sunkus atvejis. Panagrinėkime vieną iš labiausiai sudėtingos rūšys logaritmines nelygybes.

Logaritminės nelygybės su kintamu pagrindu

Kaip išspręsti tokias charakteristikas turinčias nelygybes? Taip, ir tokių žmonių galima rasti Vieningame valstybiniame egzamine. Nelygybių sprendimas tokiu būdu taip pat bus naudingas jums ugdymo procesas. Supraskime problemą išsamiai. Išmeskime teoriją ir eikime tiesiai į praktiką. Norint išspręsti logaritmines nelygybes, pakanka vieną kartą susipažinti su pavyzdžiu.

Norint išspręsti pateiktos formos logaritminę nelygybę, reikia sumažinti dešinę pusę iki logaritmo su ta pačia baze. Principas primena lygiaverčius perėjimus. Dėl to nelygybė atrodys taip.

Tiesą sakant, belieka sukurti nelygybių sistemą be logaritmų. Naudodami racionalizacijos metodą pereiname prie lygiavertės nelygybių sistemos. Pačią taisyklę suprasite, kai pakeisite atitinkamas reikšmes ir stebėsite jų pokyčius. Sistema turės tokias nelygybes.

Sprendžiant nelygybes naudojant racionalizacijos metodą, reikia atsiminti: vieną reikia atimti iš pagrindo, x pagal logaritmo apibrėžimą atimama iš abiejų nelygybės pusių (dešinė iš kairės), dvi išraiškos padauginamos ir nustatyti po pirminiu ženklu nulio atžvilgiu.

Tolesnis sprendimas atliekamas naudojant intervalų metodą, čia viskas paprasta. Jums svarbu suprasti sprendimo būdų skirtumus, tada viskas pradės lengvai klotis.

IN logaritmines nelygybes daug niuansų. Paprasčiausius iš jų gana lengva išspręsti. Kaip galite išspręsti kiekvieną iš jų be problemų? Šiame straipsnyje jau gavote visus atsakymus. Dabar jūsų laukia ilga praktika. Nuolat treniruokitės spręsdami įvairias egzamine problemas ir galėsite gauti aukščiausią balą. Sėkmės jums atliekant sunkią užduotį!

Logaritminės nelygybės

Ankstesnėse pamokose susipažinome su logaritminėmis lygtimis ir dabar žinome, kas jos yra ir kaip jas išspręsti. Šios dienos pamoka bus skirta logaritminėms nelygybėms tirti. Kas yra šios nelygybės ir kuo skiriasi logaritminės lygties sprendimas nuo nelygybės?

Logaritminės nelygybės yra nelygybės, kurių kintamasis yra po logaritmo ženklu arba jo pagrindu.

Arba taip pat galime pasakyti, kad logaritminė nelygybė yra nelygybė, kurioje jos nežinoma reikšmė, kaip ir logaritminėje lygtyje, atsiras po logaritmo ženklu.

Paprasčiausios logaritminės nelygybės turi tokią formą:

kur f(x) ir g(x) yra kai kurios išraiškos, kurios priklauso nuo x.

Pažvelkime į tai naudodami šį pavyzdį: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

Logaritminių nelygybių sprendimas

Prieš sprendžiant logaritmines nelygybes, verta paminėti, kad išspręstos jos yra panašios į eksponentinės nelygybės, būtent:

Pirma, pereinant nuo logaritmų prie išraiškų po logaritmo ženklu, taip pat turime palyginti logaritmo bazę su vienu;

Antra, sprendžiant logaritminę nelygybę naudojant kintamųjų pokytį, turime spręsti nelygybes pokyčio atžvilgiu, kol gausime paprasčiausią nelygybę.

Bet jūs ir aš svarstėme panašius logaritminių nelygybių sprendimo aspektus. Dabar atkreipkime dėmesį į gana reikšmingą skirtumą. Jūs ir aš žinome, kad logaritminė funkcija turi ribotą apibrėžimo sritį, todėl pereinant nuo logaritmų prie išraiškų po logaritmo ženklu, turime atsižvelgti į leistinų verčių diapazoną (ADV).

Tai yra, sprendžiant reikia atsižvelgti į tai logaritminė lygtis Jūs ir aš pirmiausia galime rasti lygties šaknis, o tada patikrinti šį sprendimą. Tačiau logaritminės nelygybės sprendimas tokiu būdu neveiks, nes pereinant nuo logaritmų prie išraiškų po logaritmo ženklu, reikės užrašyti nelygybės ODZ.

Be to, verta prisiminti, kad nelygybių teorija susideda iš realiųjų skaičių, kurie yra teigiami ir neigiami skaičiai, taip pat skaičius 0.

Pavyzdžiui, kai skaičius „a“ yra teigiamas, reikia naudoti tokį žymėjimą: a >0. Šiuo atveju ir šių skaičių suma, ir sandauga taip pat bus teigiami.

Pagrindinis nelygybės sprendimo principas yra pakeisti ją paprastesne nelygybe, tačiau svarbiausia, kad ji būtų lygiavertė duotajai. Be to, mes taip pat gavome nelygybę ir vėl ją pakeitėme paprastesne forma ir pan.

Sprendžiant nelygybes su kintamuoju, reikia rasti visus jo sprendimus. Jei dvi nelygybės turi tą patį kintamąjį x, tai tokios nelygybės yra lygiavertės, jei jų sprendiniai sutampa.

Atlikdami logaritminių nelygybių sprendimo užduotis, turite atsiminti, kad kai a > 1, tada logaritminė funkcija didėja, o kai 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Logaritminių nelygybių sprendimo metodai

Dabar pažvelkime į kai kuriuos metodus, taikomus sprendžiant logaritmines nelygybes. Kad geriau suprastume ir įsisavintume, bandysime juos suprasti pasitelkdami konkrečius pavyzdžius.

Visi žinome, kad paprasčiausia logaritminė nelygybė turi tokią formą:

Šioje nelygybėje V – yra vienas iš šių nelygybės ženklų:<,>, ≤ arba ≥.

Kai duoto logaritmo bazė yra didesnė už vieną (a>1), pereinant nuo logaritmų prie išraiškų po logaritmo ženklu, tada šioje versijoje nelygybės ženklas išsaugomas, o nelygybė bus tokia:

kuri yra lygiavertė šiai sistemai:

Tuo atveju, kai logaritmo bazė yra didesnė už nulį ir mažesnė už vieną (0

Tai atitinka šią sistemą:

Pažvelkime į daugiau paprasčiausių logaritminių nelygybių sprendimo pavyzdžių, parodytų paveikslėlyje žemiau:

Sprendimo pavyzdžiai

Pratimai. Pabandykime išspręsti šią nelygybę:

Priimtinų verčių diapazono sprendimas.

Dabar pabandykime padauginti jo dešinę pusę iš:

Pažiūrėkime, ką galime sugalvoti:

Dabar pereikime prie sublogaritminių išraiškų konvertavimo. Dėl to, kad logaritmo pagrindas yra 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
x > 8.

Ir iš to išplaukia, kad mūsų gautas intervalas visiškai priklauso ODZ ir yra tokios nelygybės sprendimas.

Štai atsakymą gavome:

Ko reikia logaritminėms nelygybėms išspręsti?

Dabar pabandykime išanalizuoti, ko mums reikia norint sėkmingai išspręsti logaritmines nelygybes?

Pirma, sutelkite visą savo dėmesį ir stenkitės nesuklysti atlikdami transformacijas, kurios yra pateiktos šioje nelygybėje. Taip pat reikia atsiminti, kad sprendžiant tokias nelygybes, būtina vengti nelygybių išsiplėtimų ir susitraukimų, dėl kurių gali būti prarasti ar įgyti pašaliniai sprendimai.

Antra, sprendžiant logaritmines nelygybes, reikia išmokti logiškai mąstyti ir suprasti skirtumą tarp sąvokų, tokių kaip nelygybių sistema ir nelygybių rinkinys, kad galėtumėte lengvai pasirinkti nelygybės sprendimus, vadovaudamiesi jos DL.

Trečia, norėdami sėkmingai išspręsti tokias nelygybes, kiekvienas iš jūsų turite puikiai žinoti visas elementariųjų funkcijų savybes ir aiškiai suprasti jų reikšmę. Tokios funkcijos apima ne tik logaritmines, bet ir racionaliąsias, galios, trigonometrines ir pan., vienu žodžiu, visas tas, kurias studijavote. mokslus algebra.

Kaip matote, išstudijavus logaritminių nelygybių temą, nėra nieko sudėtingo sprendžiant šias nelygybes, jei esate atsargūs ir atkaklūs siekdami savo tikslų. Norint išvengti problemų sprendžiant nelygybes, reikia kuo daugiau praktikuotis, sprendžiant įvairias užduotis ir tuo pačiu prisiminti pagrindinius tokių nelygybių sprendimo būdus ir jų sistemas. Jei nepavyksta išspręsti logaritminių nelygybių, turėtumėte atidžiai išanalizuoti savo klaidas, kad ateityje prie jų nebegrįžtumėte.

Namų darbai

Norėdami geriau suprasti temą ir konsoliduoti nagrinėjamą medžiagą, išspręskite šias nelygybes: