Logaritmas. Pagrindinė logaritminė tapatybė. Kas yra logaritmas

21.10.2019

Logaritmo samprata ir pagrindinė logaritminė tapatybė

Logaritmo samprata ir pagrindinė logaritminė tapatybė yra glaudžiai susijusios, nes logaritmo apibrėžimas matematiniame žymėjime yra .

Pagrindinė logaritminė tapatybė išplaukia iš logaritmo apibrėžimo:

1 apibrėžimas

Logaritmas vadinamas eksponentu $n$, kurį pakėlus skaičiai $a$ gauna skaičių $b$.

1 pastaba

Eksponentinė lygtis $a^n=b$, kai $a > 0$, $a \ne 1$ neturi neteigiamų $b$ sprendinių ir turi vieną šaknį teigiamiems $b$. Ši šaknis vadinama skaičiaus $b$ logaritmas iki bazės $a$ ir parašyk:

$a^(\log_(a) b)=b$.

2 apibrėžimas

Išraiška

$a^(\log_(a) b)=b$

paskambino pagrindinė logaritminė tapatybė su sąlyga, kad $a,b > 0$, $a \ne 1$.

1 pavyzdys

17 USD^(\log_(17) 6)=6 USD;

$e^(\ln⁡13) =13$;

10 USD^(\lg23)=23 USD.

Pagrindinė logaritminė tapatybė

Pagrindinis logaritminis tapatumas vadinamas todėl jis naudojamas beveik visada dirbant su logaritmais. Be to, su jo pagalba pagrindžiamos pagrindinės logaritmų savybės.

2 pavyzdys

7 ^ 5 = 16 807 $, todėl $\log_(7)16 807 = 5 $.

$3^(-5)=\frac(1)(243)$, todėl $\log_(3)\frac(1)(243)=-5$.

$11^0=1$, todėl $\log_(11)⁡1=0$.

Pasvarstykime pagrindinės logaritminės tapatybės pasekmė:

3 apibrėžimas

Jei du logaritmai su tomis pačiomis bazėmis yra lygūs, tada logaritminės išraiškos yra lygios:

jei $\log_(a)⁡b=\log_(a)⁡c$, tada $b=c$.

Pasvarstykime apribojimai, kurie naudojami logaritminei tapatybei:

Nes keldami vienybę iki bet kokios galios, visada gauname vieną, o lygybė $x=\log_(a)⁡b$ egzistuoja tik $b=1$, tada $\log_(1)⁡1$ bus bet kokia realus skaičius. Norėdami išvengti šios dviprasmybės, paimkite $a \ne 1$.

$a=0$ logaritmas pagal apibrėžimą gali egzistuoti tik $b=0$. Nes Kai pakeliame nulį iki bet kokios laipsnio, visada gauname nulį, tada $\log_(0)⁡0$ gali būti bet koks realusis skaičius. Norėdami išvengti šios dviprasmybės, paimkite $a \ne 0$. Už $a racionalus ir neracionalus logaritmų reikšmės, nes laipsnis su racionaliuoju ir neracionaliuoju rodikliu gali būti skaičiuojamas tik teigiamoms bazėms. Norėdami išvengti šios situacijos, paimkite $a > 0$.

$b > 0$ išplaukia iš sąlygos $a > 0$, nuo $x=\log_(a)⁡b$, o teigiamo skaičiaus a laipsnis visada bus teigiamas.

Pagrindinė logaritminė tapatybė dažnai naudojama logaritminėms išraiškoms supaprastinti.

3 pavyzdys

Apskaičiuokite $81^(\log_(9) 7)$.

Sprendimas.

Norint naudoti pagrindinį logaritminį tapatumą, būtina, kad logaritmo bazė ir laipsniai būtų vienodi. Parašykime laipsnio pagrindą tokia forma:

Dabar galime rašyti:

81 USD^(\log_(9)7)=(9^2)^(\log_(9)7)=$

Naudokime galios savybę:

$=9^(2 \cdot \log_(9)7)=9^(\log_(9)7) \cdot 9^(\log_(9)7)=$

Pagrindinis logaritminis tapatumas dabar gali būti taikomas kiekvienam veiksniui:

$=7 \cdot 7=49$.

2 pastaba

Norėdami taikyti pagrindinę logaritminę tapatybę, taip pat galite pakeisti logaritmo pagrindą išraiška, kuri rodoma po logaritmo ženklu, ir atvirkščiai.

4 pavyzdys

Apskaičiuokite $7^(\frac(1)(\log_(11) 7))$.

Sprendimas.

$7^(\frac(1)(\log_(11) 7))=7^(\log_(7) 11)=11$.

Atsakymas: $11$.

5 pavyzdys

Apskaičiuokite $7^(\frac(3)(\log_(11) 7))$.

Ir logaritmas yra glaudžiai susiję. Ir iš tikrųjų tai yra matematinis apibrėžimo žymėjimas logaritmas. Išsamiai panagrinėkime, kas yra logaritmas ir iš kur jis atsirado.

Panagrinėkime algebrinę operaciją – eksponento skaičiavimą X pagal nurodytas konkrečias vertes laipsnių b ir pagrindas A. Ši užduotis iš esmės yra sprendžiant lygtį a x = b, Kur A Ir b- kai kurios nurodytos vertės, x - nežinomas kiekis. Atminkite, kad šios problemos sprendimai ne visada egzistuoja.

Kai, pavyzdžiui, Eq. a x = b numerįA yra teigiamas ir skaičius b neigiamas, tada ši lygtis neturi šaknų. Bet jei tik A Ir b yra teigiami ir ≠ 1, tada jis tikrai turi tik vieną vienintelį šaknis. Gana gerai žinomas faktas eksponentinės funkcijos grafikas y = a x tikrai susikerta su tiesioginis y = b ir, be to, išskirtinai vienu momentu. Abscisė yra susikirtimo taškas ir bus lygties šaknis.

Norėdami nurodyti lygties šaknis a x = bĮprasta naudoti log a b (tariama: skaičiaus b logaritmas iki pagrindo a).

Logaritmas numeriai b remiantis A Tai eksponentas, iki kurio skaičius turi būti padidintas A norėdami gauti numerį b ir a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Remdamiesi apibrėžimu, gauname pagrindinė logaritminė tapatybė :

Pavyzdžiai:

Pasekmė pagrindinė logaritminė tapatybė yra taip taisyklė.

Iš dviejų lygybės tikrieji logaritmai gauname lygybę logaritminis posakius.

Iš tiesų, kai log a b = log a c, tada , kur, b = c.

Pasvarstykime, kodėl logaritminė tapatybė taikomi apribojimai a > 0, a ≠ 1, b > 0 .

Pirma sąlyga a ≠ 1.

Gerai žinoma, kad vienetas bet kuriame laipsnių bus vienybė, o lygybė x = log a b gali egzistuoti tik tada, jei b = 1, bet tuo pačiu žurnalas 11 bus bet koks realus skaičius. Siekiant išvengti šios dviprasmybės, jis priimtas a ≠ 1.

Pagrįskime sąlygos būtinumą a > 0.

At a = 0 Autorius logaritmo apibrėžimas gali egzistuoti tik tada, jei b = 0. Ir todėl tada žurnalas 0 0 gali būti bet koks nulis realus skaičius, nes nulis iki bet kurio laipsnio, išskyrus nulį, yra nulis. Siekiant išvengti šios dviprasmybės, sąlyga a ≠ 0. Ir kada a< 0 turėtume atsisakyti analizės racionalus Ir neracionalus logaritmų reikšmės, nuo laipsnį su racionaliu ir neracionalus rodiklis apibrėžta tik dėl teigiamų priežasčių. Būtent dėl šios priežasties sąlyga yra numatyta a > 0.

Ir galutinė sąlyga b > 0 yra nelygybės pasekmė a > 0, nes x = log a b, o galios reikšmė su teigiama baze a visada teigiamas.

Skaičiaus logaritmas N remiantis A vadinamas eksponentu X , prie kurios reikia statyti A norėdami gauti numerį N

Su sąlyga, kad
,
,

Iš logaritmo apibrėžimo išplaukia, kad
, t.y.
- ši lygybė yra pagrindinė logaritminė tapatybė.

Logaritmai iki 10 bazės vadinami dešimtainiais logaritmais. Vietoj to
rašyti
.

Logaritmai iki pagrindo e yra vadinami natūraliais ir yra paskirti
.

Pagrindinės logaritmų savybės.

Vieneto logaritmas yra lygus nuliui bet kuriai bazei.

Produkto logaritmas lygus faktorių logaritmų sumai.

3) koeficiento logaritmas lygus logaritmų skirtumui

veiksnys
vadinamas perėjimo iš logaritmų į bazę moduliu a prie logaritmų bazėje b .

Naudojant 2–5 savybes, dažnai galima sumažinti sudėtingos išraiškos logaritmą iki paprastų aritmetinių logaritmų operacijų rezultato.

Pavyzdžiui,

Tokios logaritmo transformacijos vadinamos logaritmais. Transformacijos, atvirkštinės logaritmui, vadinamos potenciacija.

2 skyrius. Aukštosios matematikos elementai.

1. Ribos

Funkcijos riba
yra baigtinis skaičius A, jei, kaip xx 0 už kiekvieną iš anksto nustatytą
, yra toks skaičius
kad kai tik
, Tai
.

Funkcija, turinti ribą, skiriasi nuo jos be galo mažu dydžiu:
, kur- b.m.v., t.y.
.

Pavyzdys. Apsvarstykite funkciją
.

Kai stengiamasi
, funkcija y linkęs į nulį:

1.1. Pagrindinės teoremos apie ribas.

Pastovios vertės riba yra lygi šiai pastoviai vertei

Baigtinio skaičiaus funkcijų sumos (skirtumo) riba yra lygi šių funkcijų ribų sumai (skirtumui).

Baigtinio skaičiaus funkcijų sandaugos riba yra lygi šių funkcijų ribų sandaugai.

Dviejų funkcijų koeficiento riba yra lygi šių funkcijų ribų daliniui, jei vardiklio riba nėra lygi nuliui.

Nuostabios ribos

,
, Kur

1.2. Ribų skaičiavimo pavyzdžiai

Tačiau ne visos ribos taip lengvai apskaičiuojamos. Dažniau apskaičiuojant ribą atskleidžiamas tipo neapibrėžtumas: arba .

2. Funkcijos išvestinė

Leiskite mums atlikti funkciją
, ištisinis segmente
.

Argumentas šiek tiek padidėjo
. Tada funkcija gaus prieaugį
.

Argumento vertė atitinka funkcijos reikšmę
.

Argumento vertė
atitinka funkcijos reikšmę.

Vadinasi,.

Raskime šio santykio ribą ties
. Jei ši riba egzistuoja, tada ji vadinama duotosios funkcijos išvestine.

3 apibrėžimas Nurodytos funkcijos išvestinė
argumentu vadinama funkcijos didėjimo ir argumento prieaugio santykio riba, kai argumento prieaugis savavališkai linksta į nulį.

Funkcijos išvestinė
gali būti žymimas taip:

; ; ; .

4 apibrėžimas Funkcijos išvestinės radimo operacija vadinama diferenciacija.

2.1. Mechaninė vedinio reikšmė.

Panagrinėkime tiesinį kurio nors standaus kūno ar materialaus taško judėjimą.

Leiskite tam tikru momentu judantis taškas
buvo per atstumą nuo pradinės padėties
.

Po tam tikro laiko
ji pasitraukė per atstumą
. Požiūris =- vidutinis materialaus taško greitis
. Atsižvelgdami į tai, suraskime šio santykio ribą
.

Vadinasi, momentinio materialaus taško judėjimo greičio nustatymas sumažinamas iki kelio išvestinės laiko atžvilgiu radimo.

2.2. Išvestinės geometrinė reikšmė

Turėkime grafiškai apibrėžtą funkciją
.

Ryžiai. 1. Geometrinė išvestinės reikšmė

Jeigu
, tada tašką
, judės išilgai kreivės, artėdamas prie taško
.

Vadinasi
, t.y. išvestinės reikšmė tam tikrai argumento reikšmei skaitine prasme lygus kampo, kurį sudaro liestinė tam tikrame taške su teigiama ašies kryptimi, tangentei
.

2.3. Pagrindinių diferenciacijos formulių lentelė.

Maitinimo funkcija

Eksponentinė funkcija

Logaritminė funkcija

Trigonometrinė funkcija

Atvirkštinė trigonometrinė funkcija

2.4. Diferencijavimo taisyklės.

Darinys iš

Funkcijų sumos (skirtumo) išvestinė

Dviejų funkcijų sandaugos išvestinė

Dviejų funkcijų dalinio išvestinė

2.5. Sudėtingos funkcijos išvestinė.

Tegu funkcija duota
tokia, kad ją būtų galima pavaizduoti formoje

Ir
, kur kintamasis tai yra tarpinis argumentas

Sudėtinės funkcijos išvestinė yra lygi duotosios funkcijos išvestinės tarpinio argumento ir tarpinio argumento išvestinei x atžvilgiu.

1 pavyzdys.

2 pavyzdys.

3. Diferencialinė funkcija.

Tebūnie
, skiriasi tam tikru intervalu
ir tegul adresu ši funkcija turi išvestinę

tada galėsime rašyti

(1),

Kur - be galo mažas kiekis,

nuo kada

Padauginus visus lygybės (1) narius iš
mes turime:

Kur
- b.m.v. aukštesnė tvarka.

Didumas
vadinamas funkcijos diferencialu
ir yra paskirtas

3.1. Diferencialo geometrinė vertė.

Tegu funkcija duota
.

2 pav. Geometrinė diferencialo reikšmė.

Akivaizdu, kad funkcijos skirtumas
yra lygus liestinės ordinatės prieaugiui tam tikrame taške.

3.2. Įvairių eilių dariniai ir diferencialai.

Jei yra
, Tada
vadinamas pirmuoju dariniu.

Pirmojo vedinio vedinys vadinamas antros eilės išvestiniu ir rašomas
.

Funkcijos n-osios eilės išvestinė
vadinama (n-1) eilės išvestine ir rašoma:

Funkcijos diferencialo diferencialas vadinamas antruoju diferencialu arba antros eilės diferencialu.

.

.

3.3 Biologinių problemų sprendimas naudojant diferenciaciją.

1 užduotis. Tyrimai parodė, kad mikroorganizmų kolonijos augimas paklūsta įstatymui
, Kur N – mikroorganizmų skaičius (tūkst.), t – laikas (dienos).

b) Ar šiuo laikotarpiu kolonijos populiacija padidės ar mažės?

Atsakymas. Kolonijos dydis padidės.

2 užduotis. Ežero vanduo periodiškai tiriamas, siekiant stebėti patogeninių bakterijų kiekį. Per t dienų po tyrimo, bakterijų koncentracija nustatoma pagal santykį

Kada ežere bus minimali bakterijų koncentracija ir ar bus galima jame maudytis?

Sprendimas: Funkcija pasiekia max arba min, kai jos išvestinė lygi nuliui.

Nustatykime, kad maksimalus arba min. bus po 6 dienų. Norėdami tai padaryti, paimkime antrąją išvestinę.

Atsakymas: Po 6 dienų bus minimali bakterijų koncentracija.

Skaičiaus b (b > 0) logaritmas a pagrindu (a > 0, a ≠ 1)– eksponentas, iki kurio skaičius a turi būti padidintas, norint gauti b.

10 bazinis b logaritmas gali būti parašytas kaip log(b), o logaritmas iki pagrindo e (natūralus logaritmas) yra ln(b).

Dažnai naudojamas sprendžiant logaritmų problemas:

Logaritmų savybės

Yra keturi pagrindiniai logaritmų savybės.

Tegul a > 0, a ≠ 1, x > 0 ir y > 0.

Savybė 1. Produkto logaritmas

Produkto logaritmas lygi logaritmų sumai:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Savybė 2. Dalinio logaritmas

Dalinio logaritmas lygus logaritmų skirtumui:

log a (x / y) = log a x – log a y

Savybė 3. Galios logaritmas

Laipsnio logaritmas lygi galios ir logaritmo sandaugai:

Jei logaritmo pagrindas yra laipsnyje, taikoma kita formulė:

Savybė 4. Šaknies logaritmas

Šią savybę galima gauti iš laipsnio logaritmo savybės, nes laipsnio n-oji šaknis yra lygi 1/n laipsniui:

Formulė konvertuoti iš logaritmo vienoje bazėje į logaritmą kitoje bazėje

Ši formulė taip pat dažnai naudojama sprendžiant įvairias logaritmų užduotis:

Ypatingas atvejis:

Logaritmų (nelygybių) palyginimas

Turėkime 2 funkcijas f(x) ir g(x) pagal logaritmus su tais pačiais pagrindais ir tarp jų yra nelygybės ženklas:

Norėdami juos palyginti, pirmiausia turite pažvelgti į logaritmų bazę a:

Jei a > 0, tada f(x) > g(x) > 0
Jei 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Kaip spręsti uždavinius su logaritmais: pavyzdžiai

Problemos su logaritmaisįtrauktas į vieningą valstybinį matematikos egzaminą 11 klasei 5 užduotyje ir 7 užduotyje, užduotis su sprendimais galite rasti mūsų svetainės atitinkamuose skyriuose. Taip pat matematikos užduočių banke yra užduotys su logaritmais. Visus pavyzdžius rasite ieškodami svetainėje.

Kas yra logaritmas

Logaritmai visada buvo laikomi sunkia tema mokykliniuose matematikos kursuose. Yra daug skirtingų logaritmo apibrėžimų, tačiau dėl tam tikrų priežasčių dauguma vadovėlių naudoja sudėtingiausius ir nesėkmingiausius iš jų.

Logaritmą apibrėžsime paprastai ir aiškiai. Norėdami tai padaryti, sukurkime lentelę:

Taigi, mes turime dviejų galių.

Logaritmai – savybės, formulės, kaip išspręsti

Jei paimsite skaičių iš apatinės eilutės, galite lengvai rasti galią, iki kurios turėsite pakelti du, kad gautumėte šį skaičių. Pavyzdžiui, norėdami gauti 16, turite pakelti du į ketvirtą laipsnį. O norint gauti 64, reikia pakelti du iki šeštos laipsnio. Tai matyti iš lentelės.

Ir dabar - iš tikrųjų logaritmo apibrėžimas:

argumento x bazė a yra laipsnis, iki kurio reikia pakelti skaičių a, kad gautume skaičių x.

Pavadinimas: log a x = b, kur a yra bazė, x yra argumentas, b yra logaritmas iš tikrųjų lygus.

Pavyzdžiui, 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (bazinis 2 logaritmas iš 8 yra trys, nes 2 3 = 8). Esant tokiai pat sėkmei, log 2 64 = 6, nes 2 6 = 64.

Vadinamasis skaičiaus logaritmo pagal duotąją bazę radimo operacija. Taigi, į savo lentelę įtraukime naują eilutę:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Deja, ne visi logaritmai taip lengvai apskaičiuojami. Pavyzdžiui, pabandykite rasti log 2 5. Skaičiaus 5 lentelėje nėra, bet logika nurodo, kad logaritmas bus kažkur intervale. Nes 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Tokie skaičiai vadinami neracionaliais: skaičiai po kablelio gali būti rašomi iki begalybės ir jie niekada nesikartoja. Jei logaritmas pasirodo neracionalus, geriau jį palikti taip: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Svarbu suprasti, kad logaritmas yra išraiška su dviem kintamaisiais (bazė ir argumentas). Iš pradžių daugelis žmonių painioja, kur yra pagrindas, o kur argumentas. Kad išvengtumėte erzinančių nesusipratimų, tiesiog pažiūrėkite į paveikslėlį:

Prieš mus yra ne kas kita, kaip logaritmo apibrėžimas. Prisiminkite: logaritmas yra galia, į kurią turi būti įdėta bazė, kad būtų gautas argumentas. Būtent pagrindas yra pakeltas iki galios – paveikslėlyje jis paryškintas raudonai. Pasirodo, pagrindas visada yra apačioje! Šią nuostabią taisyklę savo mokiniams sakau jau pirmoje pamokoje – ir nekyla painiavos.

Kaip skaičiuoti logaritmus

Mes išsiaiškinome apibrėžimą – belieka išmokti skaičiuoti logaritmus, t.y. atsikratyti „rąsto“ ženklo. Pirmiausia pažymime, kad iš apibrėžimo išplaukia du svarbūs faktai:

Argumentas ir bazė visada turi būti didesni už nulį. Tai išplaukia iš laipsnio apibrėžimo racionaliuoju rodikliu, iki kurio logaritmo apibrėžimas sumažinamas.
Pagrindas turi skirtis nuo vieno, nes vienas bet kokiu laipsniu vis tiek išlieka. Dėl šios priežasties klausimas „į kokią galią turi būti pakeltas, kad gautum du“ yra beprasmis. Tokio laipsnio nėra!

Tokie apribojimai vadinami priimtinų verčių diapazoną(ODZ). Pasirodo, logaritmo ODZ atrodo taip: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Atkreipkite dėmesį, kad skaičiui b (logaritmo reikšmei) nėra jokių apribojimų. Pavyzdžiui, logaritmas gali būti neigiamas: log 2 0,5 = −1, nes 0,5 = 2–1.

Tačiau dabar mes svarstome tik skaitines išraiškas, kai nereikia žinoti logaritmo VA. Į visus apribojimus jau atsižvelgė užduočių autoriai. Tačiau kai pradės veikti logaritminės lygtys ir nelygybės, DL reikalavimai taps privalomi. Juk pagrinde ir argumente gali būti labai stiprių konstrukcijų, kurios nebūtinai atitinka minėtus apribojimus.

Dabar pažvelkime į bendrą logaritmų skaičiavimo schemą. Jį sudaro trys žingsniai:

Išreikškite bazę a ir argumentą x kaip laipsnį, kurio mažiausia galima bazė yra didesnė už vienetą. Pakeliui geriau atsisakyti kablelio;
Išspręskite kintamojo b lygtį: x = a b ;
Gautas skaičius b bus atsakymas.

tai viskas! Jei logaritmas pasirodys neracionalus, tai bus matoma jau pirmame žingsnyje. Reikalavimas, kad bazė būtų didesnė už vieną, yra labai svarbus: tai sumažina klaidos tikimybę ir labai supaprastina skaičiavimus. Tas pats ir su dešimtainėmis trupmenomis: jei iš karto jas konvertuosite į įprastas, klaidų bus daug mažiau.

Pažiūrėkime, kaip ši schema veikia, naudodami konkrečius pavyzdžius:

Užduotis. Apskaičiuokite logaritmą: log 5 25

Įsivaizduokime bazę ir argumentą kaip penkių laipsnį: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2;

Sukurkime ir išspręskime lygtį:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

Gavome atsakymą: 2.

Užduotis. Apskaičiuokite logaritmą:

Užduotis. Apskaičiuokite logaritmą: log 4 64

Įsivaizduokime bazę ir argumentą kaip dviejų laipsnį: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6;
Sukurkime ir išspręskime lygtį:
log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
Gavome atsakymą: 3.

Užduotis. Apskaičiuokite logaritmą: log 16 1

Įsivaizduokime bazę ir argumentą kaip dviejų laipsnį: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0;
Sukurkime ir išspręskime lygtį:
log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
Gavome atsakymą: 0.

Užduotis. Apskaičiuokite logaritmą: log 7 14

Įsivaizduokime bazę ir argumentą kaip septyneto laipsnį: 7 = 7 1 ; 14 negali būti pavaizduotas kaip septynių laipsnis, nes 7 1< 14 < 7 2 ;
Iš ankstesnės pastraipos matyti, kad logaritmas neskaičiuojamas;
Atsakymas nesikeičia: žurnalas 7 14.

Maža pastaba apie paskutinį pavyzdį. Kaip galite būti tikri, kad skaičius nėra tiksli kito skaičiaus laipsnis? Tai labai paprasta – tiesiog įtraukite tai į pagrindinius veiksnius. Jei išplėtimas turi bent du skirtingus veiksnius, skaičius nėra tiksli galia.

Užduotis. Išsiaiškinkite, ar skaičiai yra tikslūs laipsniai: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - tikslus laipsnis, nes yra tik vienas daugiklis;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - nėra tiksli galia, nes yra du veiksniai: 3 ir 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - tikslus laipsnis;
35 = 7 · 5 - vėlgi nėra tiksli galia;
14 = 7 · 2 - vėlgi nėra tikslus laipsnis;

Taip pat atkreipkite dėmesį, kad patys pirminiai skaičiai visada yra tikslios jų galios.

Dešimtainis logaritmas

Kai kurie logaritmai yra tokie įprasti, kad turi specialų pavadinimą ir simbolį.

argumento x yra logaritmas iki 10 bazės, t.y. Galia, iki kurios reikia pakelti skaičių 10, kad gautume skaičių x. Pavadinimas: lg x.

Pavyzdžiui, log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 ir kt.

Nuo šiol, kai vadovėlyje pasirodys tokia frazė kaip „Rasti lg 0,01“, žinokite: tai nėra rašybos klaida. Tai yra dešimtainis logaritmas. Tačiau, jei nesate susipažinę su šiuo užrašu, visada galite jį perrašyti:
log x = log 10 x

Viskas, kas tinka įprastiniams logaritmams, galioja ir dešimtainiams logaritmams.

Natūralus logaritmas

Yra dar vienas logaritmas, turintis savo pavadinimą. Kai kuriais atžvilgiais tai net svarbesnė nei dešimtainė. Mes kalbame apie natūralųjį logaritmą.

argumento x yra logaritmas į bazę e, t.y. galia, iki kurios reikia pakelti skaičių e, kad gautume skaičių x. Pavadinimas: ln x.

Daugelis žmonių paklaus: koks yra skaičius e? Tai yra neracionalus skaičius, kurio tikslios vertės negalima rasti ir užrašyti. Pateiksiu tik pirmuosius skaičius:
e = 2,718281828459…

Mes nesigilinsime į tai, kas yra šis skaičius ir kodėl jis reikalingas. Tiesiog nepamirškite, kad e yra natūralaus logaritmo pagrindas:
ln x = log e x

Taigi ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 ir kt. Kita vertus, ln 2 yra neracionalus skaičius. Apskritai bet kurio racionalaus skaičiaus natūralusis logaritmas yra neracionalus. Žinoma, išskyrus vienybę: ln 1 = 0.

Natūraliųjų logaritmų atveju galioja visos taisyklės, kurios galioja įprastiems logaritmams.

Taip pat žiūrėkite:

Logaritmas. Logaritmo savybės (logaritmo galia).

Kaip pavaizduoti skaičių kaip logaritmą?

Mes naudojame logaritmo apibrėžimą.

Logaritmas yra eksponentas, iki kurio reikia pakelti bazę, kad būtų gautas skaičius po logaritmo ženklu.

Taigi, norėdami pavaizduoti tam tikrą skaičių c kaip logaritmą bazei a, po logaritmo ženklu turite įdėti laipsnį, kurio bazė yra tokia pati, kaip ir logaritmo bazė, ir šį skaičių c įrašyti kaip eksponentą:

Visiškai bet koks skaičius gali būti pavaizduotas kaip logaritmas - teigiamas, neigiamas, sveikasis skaičius, trupmeninis, racionalus, neracionalus:

Kad nepainiotumėte a ir c įtemptomis testo ar egzamino sąlygomis, galite naudoti šią įsiminimo taisyklę:

tai, kas yra apačioje, nusileidžia, o kas yra aukščiau, kyla aukštyn.

Pavyzdžiui, skaičių 2 turite pateikti kaip logaritmą iki 3 bazės.

Turime du skaičius – 2 ir 3. Šie skaičiai yra bazė ir rodiklis, kuriuos rašysime po logaritmo ženklu. Belieka nustatyti, kuris iš šių skaičių turi būti užrašomas iki laipsnio pagrindo, o kuris – iki laipsnio.

Bazė 3 logaritmo žymėjime yra apačioje, o tai reiškia, kad pateikę du kaip logaritmą prie 3 pagrindo, 3 taip pat įrašysime į bazę.

2 yra didesnis nei trys. Žymėdami antrąjį laipsnį, rašome virš trijų, tai yra, kaip eksponentą:

Logaritmai. Pradinis lygis.

Logaritmai

Logaritmas teigiamas skaičius b remiantis a, Kur a > 0, a ≠ 1, vadinamas eksponentu, iki kurio skaičius turi būti padidintas a gauti b.

Logaritmo apibrėžimas trumpai galima parašyti taip:

Ši lygybė galioja b > 0, a > 0, a ≠ 1. Paprastai tai vadinama logaritminė tapatybė.
Skaičiaus logaritmo radimo veiksmas vadinamas pagal logaritmą.

Logaritmų savybės:

Produkto logaritmas:

Dalinio logaritmas:

Logaritmo bazės pakeitimas:

Laipsnio logaritmas:

Šaknies logaritmas:

Logaritmas su galios baze:

Dešimtainiai ir natūralūs logaritmai.

Dešimtainis logaritmas skaičiai iškviečia šio skaičiaus logaritmą iki 10 ir rašo lg b
Natūralus logaritmas skaičiai vadinami to skaičiaus logaritmu iki bazės e, Kur e- neracionalusis skaičius, maždaug lygus 2,7. Tuo pat metu jie rašo ln b.

Kitos pastabos apie algebrą ir geometriją

Pagrindinės logaritmų savybės

Logaritmus, kaip ir bet kokius skaičius, galima visais būdais sudėti, atimti ir transformuoti. Bet kadangi logaritmai nėra visiškai įprasti skaičiai, čia yra taisyklės, kurios vadinamos pagrindinės savybės.

Jūs tikrai turite žinoti šias taisykles – be jų nepavyks išspręsti nė vienos rimtos logaritminės problemos. Be to, jų labai mažai – viską gali išmokti per vieną dieną. Taigi pradėkime.

Logaritmų pridėjimas ir atėmimas

Apsvarstykite du logaritmus su tais pačiais pagrindais: log a x ir log a y. Tada juos galima pridėti ir atimti, ir:

log a x + log a y = log a (x y);
log a x − log a y = log a (x: y).

Taigi logaritmų suma lygi sandaugos logaritmui, o skirtumas lygus koeficiento logaritmui. Atkreipkite dėmesį: pagrindinis dalykas čia yra identiškais pagrindais. Jei priežastys skiriasi, šios taisyklės neveikia!

Šios formulės padės apskaičiuoti logaritminę išraišką net tada, kai neatsižvelgiama į atskiras jos dalis (žr. pamoką „Kas yra logaritmas“). Pažvelkite į pavyzdžius ir pamatykite:

Rąstas 6 4 + rąstas 6 9.

Kadangi logaritmai turi tas pačias bazes, naudojame sumos formulę:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 2 48 − log 2 3.

Pagrindai yra vienodi, mes naudojame skirtumo formulę:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 3 135 − log 3 5.

Vėlgi bazės yra tos pačios, todėl turime:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Kaip matote, pradinės išraiškos yra sudarytos iš „blogų“ logaritmų, kurie nėra skaičiuojami atskirai. Bet po transformacijų gaunami visiškai normalūs skaičiai. Daugelis testų yra pagrįsti šiuo faktu. Taip, vieningo valstybinio egzamino metu į testus panašūs posakiai siūlomi labai rimtai (kartais praktiškai be pakeitimų).

Rodiklio išskyrimas iš logaritmo

Dabar šiek tiek apsunkinkime užduotį. Ką daryti, jei logaritmo pagrindas arba argumentas yra laipsnis? Tada šio laipsnio rodiklis gali būti paimtas iš logaritmo ženklo pagal šias taisykles:

Nesunku pastebėti, kad paskutinė taisyklė seka pirmąsias dvi. Bet vis tiek geriau tai atsiminti - kai kuriais atvejais tai žymiai sumažins skaičiavimų skaičių.

Žinoma, visos šios taisyklės turi prasmę, jei laikomasi logaritmo ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ir dar vienas dalykas: išmokite taikyti visas formules ne tik iš kairės į dešinę, bet ir atvirkščiai , t.y. Skaičius prieš logaritmo ženklą galite įvesti į patį logaritmą.

Kaip išspręsti logaritmus

Tai yra tai, ko dažniausiai reikia.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 7 49 6 .

Atsikratykime argumento laipsnio naudodami pirmąją formulę:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

Atkreipkite dėmesį, kad vardiklyje yra logaritmas, kurio pagrindas ir argumentas yra tikslieji laipsniai: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Turime:

Manau, kad paskutinis pavyzdys reikalauja šiek tiek paaiškinimo. Kur dingo logaritmai? Iki pat paskutinės akimirkos dirbame tik su vardikliu. Pateikėme ten stovinčio logaritmo bazę ir argumentą galių pavidalu ir išėmėme eksponentus - gavome „trijų aukštų“ trupmeną.

Dabar pažvelkime į pagrindinę dalį. Skaitiklyje ir vardiklyje yra tas pats skaičius: log 2 7. Kadangi log 2 7 ≠ 0, tai trupmeną galime sumažinti – vardiklyje liks 2/4. Pagal aritmetikos taisykles keturis galima perkelti į skaitiklį, kas ir buvo padaryta. Rezultatas buvo atsakymas: 2.

Perėjimas prie naujo pagrindo

Kalbėdamas apie logaritmų sudėjimo ir atėmimo taisykles, konkrečiai pabrėžiau, kad jos veikia tik su tais pačiais pagrindais. O jei priežastys kitokios? O jei jie nėra tikslūs to paties skaičiaus laipsniai?

Į pagalbą ateina perėjimo prie naujo pagrindo formulės. Suformuluokime juos teoremos forma:

Tegu pateiktas logaritmas log a x. Tada bet kurio skaičiaus c, kurio c > 0 ir c ≠ 1, lygybė yra teisinga:

Konkrečiai, jei nustatome c = x, gauname:

Iš antrosios formulės išplaukia, kad logaritmo bazę ir argumentą galima sukeisti vietomis, tačiau tokiu atveju „apverčiama“ visa išraiška, t.y. vardiklyje atsiranda logaritmas.

Šios formulės retai randamos įprastose skaitinėse išraiškose. Įvertinti, kiek jos patogios, galima tik sprendžiant logaritmines lygtis ir nelygybes.

Tačiau yra problemų, kurių niekaip nepavyks išspręsti, išskyrus persikėlimą į naują fondą. Pažvelkime į porą iš šių:

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 5 16 log 2 25.

Atkreipkite dėmesį, kad abiejų logaritmų argumentuose yra tikslios galios. Išimkime rodiklius: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Dabar „atsukkime“ antrąjį logaritmą:

Kadangi sandauga nesikeičia pertvarkant veiksnius, ramiai padauginome keturis ir du, o tada nagrinėjome logaritmus.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 9 100 lg 3.

Pirmojo logaritmo pagrindas ir argumentas yra tikslios galios. Užsirašykime tai ir atsikratykime rodiklių:

Dabar atsikratykime dešimtainio logaritmo, pereidami prie naujos bazės:

Pagrindinė logaritminė tapatybė

Dažnai sprendimo procese skaičių reikia pateikti kaip logaritmą tam tikram pagrindui.

Šiuo atveju mums padės šios formulės:

Pirmuoju atveju skaičius n tampa veiksniu argumente. Skaičius n gali būti visiškai bet koks, nes tai tik logaritmo reikšmė.

Antroji formulė iš tikrųjų yra perfrazuotas apibrėžimas. Taip jis vadinasi:.

Tiesą sakant, kas atsitiks, jei skaičius b padidintas iki tokios laipsnio, kad skaičius b iki šios laipsnio duotų skaičių a? Teisingai: rezultatas yra tas pats skaičius a. Dar kartą atidžiai perskaitykite šią pastraipą – daugeliui žmonių ji užstringa.

Kaip ir formulės, skirtos pereiti prie naujos bazės, pagrindinė logaritminė tapatybė kartais yra vienintelis galimas sprendimas.

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

Atkreipkite dėmesį, kad log 25 64 = log 5 8 – tiesiog paėmė kvadratą iš logaritmo pagrindo ir argumento. Atsižvelgdami į galių dauginimo iš tos pačios bazės taisykles, gauname:

Jei kas nežino, tai buvo tikra užduotis iš unifikuoto valstybinio egzamino :)

Logaritminis vienetas ir logaritminis nulis

Baigdamas pateiksiu dvi tapatybes, kurias vargu ar galima pavadinti savybėmis – veikiau tai yra logaritmo apibrėžimo pasekmės. Jie nuolat atsiranda problemų ir, stebėtinai, sukelia problemų net „pažengusiems“ studentams.

log a a = 1 yra. Vieną kartą ir visiems laikams atsiminkite: logaritmas bet kuriam tos bazės pagrindui a yra lygus vienetui.
log a 1 = 0 yra. Bazė a gali būti bet kokia, bet jei argumente yra vienas, logaritmas lygus nuliui! Kadangi a 0 = 1 yra tiesioginė apibrėžimo pasekmė.

Tai visos savybės. Būtinai praktikuokite juos pritaikydami praktiškai! Pamokos pradžioje atsisiųskite cheat lapą, atsispausdinkite ir išspręskite problemas.

Kas yra logaritmas?

Dėmesio!
Yra papildomų
Specialiajame 555 skyriuje nurodytos medžiagos.
Tiems, kurie labai „nelabai...“
Ir tiems, kurie „labai...“)

Kas yra logaritmas? Kaip išspręsti logaritmus? Šie klausimai glumina daugelį abiturientų. Tradiciškai logaritmų tema laikoma sudėtinga, nesuprantama ir bauginančia. Ypač lygtys su logaritmais.

Tai visiškai netiesa. absoliučiai! Netikite manimi? gerai. Dabar vos per 10–20 minučių jūs:

1. Suprasite kas yra logaritmas.

2. Išmokite išspręsti visą eksponentinių lygčių klasę. Net jei nieko apie juos negirdėjote.

3. Išmokite skaičiuoti paprastus logaritmus.

Be to, tam jums tereikia žinoti daugybos lentelę ir kaip skaičių pakelti į laipsnį...

Jaučiu, kad tau kyla abejonių... Na, gerai, pažymėk laiką! einam!

Pirmiausia savo galvoje išspręskite šią lygtį: