Trupmenų su skirtingais vardikliais pridėjimo taisyklės yra labai paprastos.

Žingsnis po žingsnio pažvelkime į trupmenų su skirtingais vardikliais pridėjimo taisykles:

1. Raskite vardiklių LCM (mažiausią bendrąjį kartotinį). Gautas LCM bus bendrasis trupmenų vardiklis;

2. Sumažinti trupmenas iki bendro vardiklio;

3. Sudėkite trupmenas, sumažintas iki bendro vardiklio.

Naudodamiesi paprastu pavyzdžiu, sužinosime, kaip taikyti trupmenų su skirtingais vardikliais pridėjimo taisykles.

Pavyzdys

Trupmenų su skirtingais vardikliais pridėjimo pavyzdys.

Pridėkite trupmenas su skirtingais vardikliais:

1	+	5
6		12

Mes nuspręsime žingsnis po žingsnio.

1. Raskite vardiklių LCM (mažiausią bendrąjį kartotinį).

Skaičius 12 dalijasi iš 6.

Iš to darome išvadą, kad 12 yra mažiausias bendras skaičių 6 ir 12 kartotinis.

Atsakymas: skaičių 6 ir 12 skaičius yra 12:

LCM(6; 12) = 12

Gautas LCM bus bendras dviejų trupmenų 1/6 ir 5/12 vardiklis.

2. Sumažinkite trupmenas iki bendro vardiklio.

Mūsų pavyzdyje tik pirmąją trupmeną reikia sumažinti iki bendro vardiklio 12, nes antroji trupmena jau turi 12 vardiklį.

Padalinkite bendrą 12 vardiklį iš pirmosios trupmenos vardiklio:

2 turi papildomą daugiklį.

Pirmosios trupmenos (1/6) skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš papildomo koeficiento 2.

Atkreipkite dėmesį! Prieš rašydami galutinį atsakymą, pažiūrėkite, ar galite sutrumpinti gautą trupmeną.

Atimant trupmenas su panašiais vardikliais, pavyzdžiai:

,

,

Tinkamos trupmenos atėmimas iš vieneto.

Jei reikia iš tinkamo vieneto atimti trupmeną, vienetas paverčiamas netinkamosios trupmenos forma, jo vardiklis lygus atimtos trupmenos vardikliui.

Tinkamos trupmenos atėmimo iš vieneto pavyzdys:

Atimamos trupmenos vardiklis = 7 , t.y., vieną pavaizduojame kaip netinkamą trupmeną 7/7 ir atimame ją pagal trupmenų su panašiais vardikliais atėmimo taisyklę.

Tinkamos trupmenos atėmimas iš sveikojo skaičiaus.

Trupmenų atėmimo taisyklės - teisinga iš sveikojo skaičiaus (natūralus numeris):

• Duotas trupmenas, kuriose yra sveikoji dalis, paverčiame netinkamomis. Gauname normalius terminus (nesvarbu, ar jie turi skirtingus vardiklius), kuriuos apskaičiuojame pagal aukščiau pateiktas taisykles;
• Tada apskaičiuojame skirtumą tarp gautų trupmenų. Dėl to atsakymą beveik rasime;
• Atliekame atvirkštinę transformaciją, tai yra, atsikratome netinkamos trupmenos – trupmenoje parenkame visą dalį.

Iš sveikojo skaičiaus atimkite tinkamą trupmeną: pavaizduokite natūralųjį skaičių kaip mišrų skaičių. Tie. Paimame vieną iš natūraliojo skaičiaus ir paverčiame jį netinkamos trupmenos forma, vardiklis yra toks pat kaip ir atimtosios trupmenos.

Trupmenų atėmimo pavyzdys:

Pavyzdyje vieną pakeitėme netinkama trupmena 7/7 ir vietoj 3 užrašėme mišrų skaičių ir iš trupmeninės dalies atėmėme trupmeną.

Trupmenų su skirtingais vardikliais atėmimas.

Arba kitaip tariant, atimant skirtingas trupmenas.

Trupmenų su skirtingais vardikliais atėmimo taisyklė. Norint atimti trupmenas su skirtingais vardikliais, pirmiausia reikia šias trupmenas sumažinti iki mažiausio bendro vardiklio (LCD), o tik po to atlikti atimtį, kaip su trupmenomis su tais pačiais vardikliais.

Kelių trupmenų bendras vardiklis yra LCM (mažiausias bendras kartotinis) natūraliuosius skaičius, kurie yra šių trupmenų vardikliai.

Dėmesio! Jei paskutinėje trupmenoje skaitiklis ir vardiklis turi bendrus veiksnius, tada trupmeną reikia sumažinti. Netinkama trupmena geriausiai vaizduojama kaip mišri trupmena. Atimties rezultato palikimas nesumažinant trupmenos, jei įmanoma, yra neišsamus pavyzdžio sprendimas!

Trupmenų su skirtingais vardikliais atėmimo tvarka.

• rasti visų vardiklių LCM;
• įdėti papildomų koeficientų visoms trupmenoms;
• padauginkite visus skaitiklius iš papildomo koeficiento;
• Gautas sandaugas įrašome į skaitiklį, po visomis trupmenomis pasirašydami bendrąjį vardiklį;
• atimkite trupmenų skaitiklius, bendrąjį vardiklį pažymėdami po skirtumu.

Tuo pačiu būdu trupmenos pridedamos ir atimamos, jei skaitiklyje yra raidžių.

Trupmenų atėmimas, pavyzdžiai:

Mišrių trupmenų atėmimas.

At mišrių trupmenų (skaičių) atėmimas atskirai sveikoji dalis atimama iš sveikosios dalies, o trupmeninė dalis atimama iš trupmeninės dalies.

Pirmasis mišrių trupmenų atėmimo variantas.

Jei trupmeninės dalys identiški minuendinės trupmeninės dalies vardikliai ir skaitiklis (iš jo atimame) ≥ potraukio trupmeninės dalies skaitiklis (atimame).

Pavyzdžiui:

Antrasis variantas mišrioms trupmenoms atimti.

Kai trupmeninės dalys skirtinga vardikliai. Pirmiausia trupmenines dalis suvedame į bendrą vardiklį, o po to iš visos dalies atimame visą dalį, o iš trupmeninės dalies – trupmeninę.

Pavyzdžiui:

Trečias variantas mišrioms trupmenoms atimti.

Trupmeninė minuend dalis yra mažesnė už trupmeninę pogrupio dalį.

Pavyzdys:

Nes Trupmenų dalys turi skirtingus vardiklius, o tai reiškia, kaip ir antrajame variante, įprastąsias trupmenas pirmiausia sujungiame į bendrą vardiklį.

Mažosios dalies trupmeninės dalies skaitiklis yra mažesnis už pogrupio trupmeninės dalies skaitiklį.3 < 14. Tai reiškia, kad mes paimame vienetą iš visos dalies ir sumažiname šį vienetą iki netinkamos trupmenos formos su tuo pačiu vardikliu ir skaitikliu = 18.

Dešinėje pusėje esančiame skaitiklyje rašome skaitiklių sumą, tada dešinėje esančiame skaitiklyje atveriame skliaustus, tai yra viską padauginame ir pateikiame panašius. Vardiklyje skliaustų neatidarome. Įprasta prekę palikti vardikliuose. Mes gauname:

Pamokos turinys

Sudėjus trupmenas su panašiais vardikliais

Yra du trupmenų pridėjimo tipai:

1. Sudėjus trupmenas su panašiais vardikliais
2. Sudėjus trupmenas su skirtingais vardikliais

Pirma, išmokime pridėti trupmenas su panašiais vardikliais. Čia viskas paprasta. Norėdami pridėti trupmenas su tais pačiais vardikliais, turite pridėti jų skaitiklius ir vardiklį palikti nepakeistą. Pavyzdžiui, pridėkime trupmenas ir . Pridėkite skaitiklius ir palikite vardiklį nepakeistą:

Šį pavyzdį galima nesunkiai suprasti, jei prisiminsime picą, kuri yra padalinta į keturias dalis. Jei į picą dedate picą, gausite picą:

2 pavyzdys. Pridėkite trupmenas ir .

Atsakymas pasirodė esąs netinkama trupmena. Kai ateina užduoties pabaiga, įprasta atsikratyti netinkamų trupmenų. Norėdami atsikratyti netinkamos trupmenos, turite pasirinkti visą jos dalį. Mūsų atveju visa dalis yra lengvai izoliuojama - du padalinti iš dviejų, lygūs vienas:

Šį pavyzdį galima nesunkiai suprasti, jei prisiminsime apie picą, padalytą į dvi dalis. Jei į picą pridėsite daugiau picos, gausite vieną visą picą:

3 pavyzdys. Pridėkite trupmenas ir .

Vėlgi, sudedame skaitiklius ir vardiklį paliekame nepakeistą:

Šį pavyzdį galima nesunkiai suprasti, jei prisiminsime picą, kuri yra padalinta į tris dalis. Jei į picą pridėsite daugiau picos, gausite picą:

4 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę

Šis pavyzdys išspręstas lygiai taip pat, kaip ir ankstesni. Skaitikliai turi būti pridėti, o vardiklis paliktas nepakeistas:

Pabandykime pavaizduoti savo sprendimą naudodami piešinį. Jei pridėsite picą prie picos ir pridėsite daugiau picų, gausite 1 visą picą ir daugiau picų.

Kaip matote, nėra nieko sudėtingo pridedant trupmenas su tais pačiais vardikliais. Pakanka suprasti šias taisykles:

1. Norėdami pridėti trupmenas su tuo pačiu vardikliu, turite pridėti jų skaitiklius ir palikti vardiklį nepakeistą;

Sudėjus trupmenas su skirtingais vardikliais

Dabar išmokime pridėti trupmenas su skirtingais vardikliais. Sudedant trupmenas, trupmenų vardikliai turi būti vienodi. Tačiau jie ne visada yra vienodi.

Pavyzdžiui, trupmenas galima pridėti, nes jos turi tuos pačius vardiklius.

Tačiau trupmenų negalima pridėti iš karto, nes šios trupmenos turi skirtingus vardiklius. Tokiais atvejais trupmenos turi būti sumažintos iki to paties (bendro) vardiklio.

Yra keletas būdų, kaip sumažinti trupmenas iki to paties vardiklio. Šiandien apžvelgsime tik vieną iš jų, nes kiti metodai pradedantiesiems gali pasirodyti sudėtingi.

Šio metodo esmė ta, kad pirmiausia ieškoma abiejų trupmenų vardklių LCM. Tada LCM padalijamas iš pirmosios trupmenos vardiklio, kad būtų gautas pirmasis papildomas koeficientas. Tą patį jie daro ir su antrąja trupmena – LCM dalijamas iš antrosios trupmenos vardiklio ir gaunamas antras papildomas koeficientas.

Tada trupmenų skaitikliai ir vardikliai dauginami iš jų papildomų koeficientų. Dėl šių veiksmų trupmenos, kurios turėjo skirtingus vardiklius, paverčiamos trupmenomis, turinčiomis tuos pačius vardiklius. Ir mes jau žinome, kaip pridėti tokias trupmenas.

1 pavyzdys. Sudėkime trupmenas ir

Pirmiausia randame mažiausią bendrą abiejų trupmenų vardikų kartotinį. Pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 2. Mažiausias bendras šių skaičių kartotinis yra 6

LCM (2 ir 3) = 6

Dabar grįžkime prie trupmenų ir . Pirmiausia padalykite LCM iš pirmosios trupmenos vardiklio ir gaukite pirmąjį papildomą koeficientą. LCM yra skaičius 6, o pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3. Padalinkite 6 iš 3, gausime 2.

Gautas skaičius 2 yra pirmasis papildomas daugiklis. Užrašome iki pirmosios trupmenos. Norėdami tai padaryti, padarykite nedidelę įstrižą liniją virš trupmenos ir užrašykite papildomą koeficientą, esantį virš jos:

Tą patį darome su antrąja trupmena. LCM padalijame iš antrosios trupmenos vardiklio ir gauname antrą papildomą koeficientą. LCM yra skaičius 6, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 2. Padalinkite 6 iš 2, gausime 3.

Gautas skaičius 3 yra antrasis papildomas daugiklis. Užrašome iki antros trupmenos. Vėlgi, ant antrosios trupmenos padarome nedidelę įstrižą liniją ir užrašome papildomą koeficientą, esantį virš jos:

Dabar viską paruošėme papildymui. Belieka padauginti trupmenų skaitiklius ir vardiklius iš jų papildomų koeficientų:

Atidžiai pažiūrėkite, prie ko priėjome. Priėjome išvados, kad trupmenos, turinčios skirtingus vardiklius, virto trupmenomis, turinčiomis tuos pačius vardiklius. Ir mes jau žinome, kaip pridėti tokias trupmenas. Panagrinėkime šį pavyzdį iki galo:

Tai užbaigia pavyzdį. Pasirodo pridėti.

Pabandykime pavaizduoti savo sprendimą naudodami piešinį. Jei pridėsite picą prie picos, gausite vieną visą picą ir kitą šeštadalį picos:

Trupmenų mažinimas iki to paties (bendro) vardiklio taip pat gali būti pavaizduotas naudojant paveikslėlį. Sumažinę trupmenas ir iki bendro vardiklio, gavome trupmenas ir . Šios dvi frakcijos bus atstovaujamos tais pačiais picos gabalėliais. Skirtumas bus tik tas, kad šį kartą jie bus padalinti į lygias dalis (sumažinus iki to paties vardiklio).

Pirmame piešinyje pavaizduota trupmena (keturi gabalai iš šešių), o antrasis piešinys – trupmena (trys gabalai iš šešių). Pridėjus šiuos gabalus gauname (septynios dalys iš šešių). Ši trupmena netinkama, todėl paryškinome visą jos dalį. Rezultate gavome (vieną visą picą ir kitą šeštą picą).

Atkreipkite dėmesį, kad šį pavyzdį aprašėme per daug išsamiai. Švietimo įstaigose taip smulkiai rašyti nėra įprasta. Turite mokėti greitai rasti abiejų vardiklių ir papildomų veiksnių LCM, taip pat greitai padauginti rastus papildomus veiksnius iš skaitiklių ir vardklių. Jei būtume mokykloje, šį pavyzdį turėtume parašyti taip:

Tačiau yra ir kita medalio pusė. Jei pirmaisiais matematikos studijų etapais nedarote išsamių pastabų, tada pradeda atsirasti tokių klausimų. „Iš kur toks skaičius?“, „Kodėl trupmenos staiga virsta visiškai skirtingomis trupmenomis? «.

Kad būtų lengviau pridėti trupmenas su skirtingais vardikliais, galite naudoti šias nuoseklias instrukcijas:

1. Raskite trupmenų vardiklių LCM;
2. Padalinkite LCM iš kiekvienos trupmenos vardiklio ir gaukite papildomą kiekvienos trupmenos koeficientą;
3. Trupmenų skaitiklius ir vardiklius padauginkite iš jų papildomų koeficientų;
4. Pridėkite trupmenas, turinčias tuos pačius vardiklius;
5. Jei atsakymas yra neteisinga trupmena, pasirinkite visą jo dalį;

2 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę .

Pasinaudokime aukščiau pateiktomis instrukcijomis.

1 veiksmas. Raskite trupmenų vardiklių LCM

Raskite abiejų trupmenų vardiklių LCM. Trupmenų vardikliai yra skaičiai 2, 3 ir 4

2 veiksmas. Padalinkite LCM iš kiekvienos trupmenos vardiklio ir gaukite papildomą kiekvienos trupmenos koeficientą

Padalinkite LCM iš pirmosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 12, o pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 2. Padalinkite 12 iš 2, gausime 6. Gavome pirmąjį papildomą koeficientą 6. Jį rašome virš pirmosios trupmenos:

Dabar LCM padalijame iš antrosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 12, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3. Padalinkite 12 iš 3, gausime 4. Gauname antrą papildomą koeficientą 4. Rašome virš antrosios trupmenos:

Dabar LCM padalijame iš trečiosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 12, o trečiosios trupmenos vardiklis yra skaičius 4. 12 padaliname iš 4, gauname 3. Gauname trečiąjį papildomą koeficientą 3. Jį užrašome virš trečiosios trupmenos:

3 veiksmas. Trupmenų skaitiklius ir vardiklius padauginkite iš jų papildomų koeficientų

Skaitiklius ir vardiklius padauginame iš jų papildomų koeficientų:

4 veiksmas. Sudėkite trupmenas su tais pačiais vardikliais

Priėjome išvados, kad trupmenos, turinčios skirtingus vardiklius, virto trupmenomis, turinčiomis tuos pačius (bendruosius) vardiklius. Belieka pridėti šias trupmenas. Pridėkite:

Papildymas netilpo vienoje eilutėje, todėl likusią išraišką perkėlėme į kitą eilutę. Tai leidžiama matematikoje. Kai išraiška netelpa vienoje eilutėje, ji perkeliama į kitą eilutę, o pirmosios eilutės pabaigoje ir naujos eilutės pradžioje reikia dėti lygybės ženklą (=). Lygybės ženklas antroje eilutėje rodo, kad tai yra pirmoje eilutėje buvusios išraiškos tęsinys.

5 veiksmas. Jei pasirodo, kad atsakymas yra netinkama trupmena, pasirinkite visą jo dalį

Mūsų atsakymas pasirodė esąs netinkama trupmena. Turime pabrėžti visą jo dalį. Mes pabrėžiame:

Gavome atsakymą

Trupmenų su panašiais vardikliais atėmimas

Yra du trupmenų atėmimo tipai:

1. Trupmenų su panašiais vardikliais atėmimas
2. Trupmenų su skirtingais vardikliais atėmimas

Pirma, išmokime atimti trupmenas su panašiais vardikliais. Čia viskas paprasta. Norėdami iš vienos trupmenos atimti kitą, iš pirmosios trupmenos skaitiklio turite atimti antrosios trupmenos skaitiklį, tačiau vardiklį palikite tą patį.

Pavyzdžiui, suraskime išraiškos reikšmę. Norėdami išspręsti šį pavyzdį, iš pirmosios trupmenos skaitiklio turite atimti antrosios trupmenos skaitiklį ir vardiklį palikti nepakeistą. Padarykime taip:

Šį pavyzdį galima nesunkiai suprasti, jei prisiminsime picą, kuri yra padalinta į keturias dalis. Jei pjaustysite picas iš picos, gausite picas:

2 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę.

Vėlgi, iš pirmosios trupmenos skaitiklio atimkite antrosios trupmenos skaitiklį ir palikite vardiklį nepakeistą:

Šį pavyzdį galima nesunkiai suprasti, jei prisiminsime picą, kuri yra padalinta į tris dalis. Jei pjaustysite picas iš picos, gausite picas:

3 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę

Šis pavyzdys išspręstas lygiai taip pat, kaip ir ankstesni. Iš pirmosios trupmenos skaitiklio reikia atimti likusių trupmenų skaitiklius:

Kaip matote, atimant trupmenas su tais pačiais vardikliais nėra nieko sudėtingo. Pakanka suprasti šias taisykles:

1. Norėdami iš vienos trupmenos atimti kitą, iš pirmosios trupmenos skaitiklio turite atimti antrosios trupmenos skaitiklį, o vardiklį palikti nepakeistą;
2. Jei pasirodo, kad atsakymas yra netinkama trupmena, tuomet reikia paryškinti visą jo dalį.

Trupmenų su skirtingais vardikliais atėmimas

Pavyzdžiui, galite atimti trupmeną iš trupmenos, nes trupmenos turi tuos pačius vardiklius. Bet jūs negalite atimti trupmenos iš trupmenos, nes šios trupmenos turi skirtingus vardiklius. Tokiais atvejais trupmenos turi būti sumažintos iki to paties (bendro) vardiklio.

Bendras vardiklis randamas naudojant tą patį principą, kurį naudojome pridėdami trupmenas su skirtingais vardikliais. Pirmiausia suraskite abiejų trupmenų vardiklių LCM. Tada LCM dalijamas iš pirmosios trupmenos vardiklio ir gaunamas pirmasis papildomas koeficientas, kuris užrašomas virš pirmosios trupmenos. Panašiai LCM dalijamas iš antrosios trupmenos vardiklio ir gaunamas antras papildomas koeficientas, kuris užrašomas virš antrosios trupmenos.

Tada trupmenos dauginamos iš papildomų koeficientų. Dėl šių operacijų trupmenos, kurios turėjo skirtingus vardiklius, paverčiamos trupmenomis, turinčiomis tuos pačius vardiklius. Ir mes jau žinome, kaip atimti tokias trupmenas.

1 pavyzdys. Raskite posakio prasmę:

Šios trupmenos turi skirtingus vardiklius, todėl jas reikia sumažinti iki to paties (bendro) vardiklio.

Pirmiausia randame abiejų trupmenų vardiklių LCM. Pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 4. Mažiausias bendras šių skaičių kartotinis yra 12

LCM (3 ir 4) = 12

Dabar grįžkime prie trupmenų ir

Raskime papildomą pirmosios trupmenos koeficientą. Norėdami tai padaryti, padalykite LCM iš pirmosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 12, o pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3. Padalinkite 12 iš 3, gausime 4. Virš pirmosios trupmenos parašykite ketvertą:

Tą patį darome su antrąja trupmena. Padalinkite LCM iš antrosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 12, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 4. Padalinkite 12 iš 4, gausime 3. Ant antrosios trupmenos parašykite trejetą:

Dabar esame pasirengę atimti. Belieka padauginti trupmenas iš jų papildomų veiksnių:

Priėjome išvados, kad trupmenos, turinčios skirtingus vardiklius, virto trupmenomis, turinčiomis tuos pačius vardiklius. Ir mes jau žinome, kaip atimti tokias trupmenas. Panagrinėkime šį pavyzdį iki galo:

Gavome atsakymą

Pabandykime pavaizduoti savo sprendimą naudodami piešinį. Jei išpjausite picą iš picos, gausite picą

Tai yra išsami sprendimo versija. Jei būtume mokykloje, šį pavyzdį turėtume išspręsti trumpiau. Toks sprendimas atrodytų taip:

Trupmenų sumažinimas iki bendro vardiklio taip pat gali būti pavaizduotas naudojant paveikslėlį. Sumažinę šias trupmenas iki bendro vardiklio, gavome trupmenas ir . Šios trupmenos bus pavaizduotos tomis pačiomis picos riekelėmis, tačiau šį kartą jos bus padalintos į lygias dalis (sumažintos iki to paties vardiklio):

Pirmoje nuotraukoje pavaizduota trupmena (aštuoni gabalėliai iš dvylikos), o antrame paveikslėlyje – trupmena (trys gabalai iš dvylikos). Iš aštuonių dalių iškirpę tris gabalus, gauname penkis gabalus iš dvylikos. Trupmena apibūdina šiuos penkis gabalus.

2 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę

Šios trupmenos turi skirtingus vardiklius, todėl pirmiausia reikia jas sumažinti iki to paties (bendro) vardiklio.

Raskime šių trupmenų vardklių LCM.

Trupmenų vardikliai yra skaičiai 10, 3 ir 5. Mažiausias bendras šių skaičių kartotinis yra 30

LCM(10; 3; 5) = 30

Dabar kiekvienai frakcijai randame papildomų faktorių. Norėdami tai padaryti, padalykite LCM iš kiekvienos trupmenos vardiklio.

Raskime papildomą pirmosios trupmenos koeficientą. LCM yra skaičius 30, o pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 10. 30 padaliname iš 10, gauname pirmąjį papildomą koeficientą 3. Jį rašome virš pirmosios trupmenos:

Dabar randame papildomą antrosios trupmenos koeficientą. Padalinkite LCM iš antrosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 30, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3. Padalijus 30 iš 3, gauname antrą papildomą koeficientą 10. Rašome virš antrosios trupmenos:

Dabar randame papildomą trečiosios trupmenos koeficientą. Padalinkite LCM iš trečiosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 30, o trečiosios trupmenos vardiklis yra skaičius 5. Padalinkite 30 iš 5, gausime trečią papildomą koeficientą 6. Rašome virš trečiosios trupmenos:

Dabar viskas paruošta atimti. Belieka padauginti trupmenas iš jų papildomų veiksnių:

Priėjome išvados, kad trupmenos, turinčios skirtingus vardiklius, virto trupmenomis, turinčiomis tuos pačius (bendruosius) vardiklius. Ir mes jau žinome, kaip atimti tokias trupmenas. Užbaikime šį pavyzdį.

Pavyzdžio tęsinys netilps vienoje eilutėje, todėl tęsinį perkeliame į kitą eilutę. Nepamirškite apie lygybės ženklą (=) naujoje eilutėje:

Paaiškėjo, kad atsakymas yra įprasta trupmena, ir viskas, atrodo, mums tinka, bet tai yra pernelyg sudėtinga ir negražu. Turėtume tai padaryti paprasčiau. Ką galima padaryti? Galite sutrumpinti šią trupmeną.

Norėdami sumažinti trupmeną, jos skaitiklį ir vardiklį turite padalyti iš (GCD) iš skaičių 20 ir 30.

Taigi, randame skaičių 20 ir 30 gcd:

Dabar grįžtame prie savo pavyzdžio ir trupmenos skaitiklį ir vardiklį padaliname iš rasto gcd, tai yra iš 10

Gavome atsakymą

Trupmenos padauginimas iš skaičiaus

Norėdami padauginti trupmeną iš skaičiaus, reikia padauginti nurodytos trupmenos skaitiklį iš to skaičiaus ir vardiklį palikti tą patį.

1 pavyzdys. Padauginkite trupmeną iš skaičiaus 1.

Padauginkite trupmenos skaitiklį iš skaičiaus 1

Įrašą galima suprasti kaip pusę 1 karto. Pavyzdžiui, jei vieną kartą paimsite picą, gausite picą

Iš daugybos dėsnių žinome, kad sukeitus daugiklį ir koeficientą sandauga nepasikeis. Jei išraiška parašyta kaip , sandauga vis tiek bus lygi . Vėlgi, sveikojo skaičiaus ir trupmenos dauginimo taisyklė veikia:

Šį žymėjimą galima suprasti kaip pusę vieno. Pavyzdžiui, jei yra 1 visa pica ir paimame pusę jos, tada turėsime picą:

2 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę

Padauginkite trupmenos skaitiklį iš 4

Atsakymas buvo netinkama trupmena. Pabrėžkime visą jo dalį:

Išraišką galima suprasti kaip du ketvirčius 4 kartus. Pavyzdžiui, jei paimsite 4 picas, gausite dvi visas picas

Ir jei sukeisime daugiklį ir daugiklį, gausime išraišką . Jis taip pat bus lygus 2. Ši išraiška gali būti suprantama kaip dvi picos iš keturių ištisų picų:

Trupmenų dauginimas

Norėdami padauginti trupmenas, turite padauginti jų skaitiklius ir vardiklius. Jei atsakymas pasirodo esąs netinkama trupmena, turite paryškinti visą jo dalį.

1 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę.

Gavome atsakymą. Patartina šią dalį sumažinti. Frakcija gali būti sumažinta 2. Tada galutinis tirpalas bus tokios formos:

Posakį galima suprasti kaip picos paėmimą iš pusės picos. Tarkime, kad turime pusę picos:

Kaip paimti du trečdalius iš šios pusės? Pirmiausia turite padalyti šią pusę į tris lygias dalis:

Ir paimkite du iš šių trijų dalių:

Gaminsime picą. Prisiminkite, kaip atrodo pica padalinta į tris dalis:

Vienas šios picos gabalas ir du mūsų paimti gabalai bus vienodo dydžio:

Kitaip tariant, mes kalbame apie tokio pat dydžio picą. Todėl išraiškos vertė yra

2 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę

Padauginkite pirmosios trupmenos skaitiklį iš antrosios trupmenos skaitiklio, o pirmosios trupmenos vardiklį iš antrosios trupmenos vardiklio:

Atsakymas buvo netinkama trupmena. Pabrėžkime visą jo dalį:

3 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę

Padauginkite pirmosios trupmenos skaitiklį iš antrosios trupmenos skaitiklio, o pirmosios trupmenos vardiklį iš antrosios trupmenos vardiklio:

Atsakymas pasirodė taisyklinga trupmena, bet būtų gerai, jei ji būtų sutrumpinta. Norėdami sumažinti šią trupmeną, šios trupmenos skaitiklį ir vardiklį turite padalyti iš didžiausio skaičių 105 ir 450 bendrojo daliklio (GCD).

Taigi, suraskime skaičių 105 ir 450 gcd:

Dabar savo atsakymo skaitiklį ir vardiklį padalijame iš gcd, kurį dabar radome, tai yra iš 15

Sveikąjį skaičių pavaizduoti kaip trupmeną

Bet koks sveikas skaičius gali būti pavaizduotas trupmena. Pavyzdžiui, skaičius 5 gali būti pavaizduotas kaip . Tai nepakeis penkių reikšmės, nes posakis reiškia „skaičius penkis padalytas iš vieno“, o tai, kaip žinome, yra lygi penkiems:

Abipusiai skaičiai

Dabar susipažinsime su labai įdomia matematikos tema. Tai vadinama „atvirkštiniais skaičiais“.

Apibrėžimas. Atvirkščiai į skaičiųa yra skaičius, kurį padauginus iša duoda vieną.

Pakeiskime šį apibrėžimą vietoj kintamojo a skaičių 5 ir pabandykite perskaityti apibrėžimą:

Atvirkščiai į skaičių 5 yra skaičius, kurį padauginus iš 5 duoda vieną.

Ar galima rasti skaičių, kurį padauginus iš 5 gaunamas vienas? Pasirodo, tai įmanoma. Įsivaizduokime penkis kaip trupmeną:

Tada padauginkite šią trupmeną iš savęs, tiesiog pakeiskite skaitiklį ir vardiklį. Kitaip tariant, padauginkime trupmeną iš pačios, tik aukštyn kojomis:

Kas bus dėl to? Jei ir toliau spręstume šį pavyzdį, gautume vieną:

Tai reiškia, kad atvirkštinis skaičius 5 yra skaičius , nes padauginę 5 iš gausite vieną.

Skaičiaus atvirkštinę vertę taip pat galima rasti bet kuriam kitam sveikajam skaičiui.

Taip pat galite rasti bet kurios kitos trupmenos atvirkštinį koeficientą. Norėdami tai padaryti, tiesiog apverskite.

Trupmenos dalijimas iš skaičiaus

Tarkime, kad turime pusę picos:

Padalinkime jį po lygiai tarp dviejų. Kiek picos gaus kiekvienas žmogus?

Matyti, kad padalinus pusę picos buvo gauti du vienodi gabalai, kurių kiekvienas sudaro po picą. Taigi visi gauna picą.

Trupmenų padalijimas atliekamas naudojant reciprokines vertes. Abipusiai skaičiai leidžia dalybą pakeisti daugyba.

Norėdami padalyti trupmeną iš skaičiaus, turite padauginti trupmeną iš daliklio atvirkštinės vertės.

Pagal šią taisyklę užrašysime savo picos pusės padalijimą į dvi dalis.

Taigi, jums reikia padalyti trupmeną iš skaičiaus 2. Čia dividendas yra trupmena, o daliklis yra skaičius 2.

Norėdami padalyti trupmeną iš skaičiaus 2, turite šią trupmeną padauginti iš daliklio 2 atvirkštinės vertės. Daliklio 2 atvirkštinė vertė yra trupmena. Taigi reikia padauginti iš

Ar vaikas atsinešė namų darbus iš mokyklos ir nežinote, kaip juos išspręsti? Tuomet ši mini pamoka skirta tau!

Kaip pridėti dešimtainių skaičių

Stulpelyje patogiau sudėti dešimtaines trupmenas. Norėdami pridėti dešimtainių skaičių, turite laikytis vienos paprastos taisyklės:

• Vieta turi būti po vieta, kablelis po kableliu.

Kaip matote pavyzdyje, visi vienetai yra vienas po kito, dešimtosios ir šimtinės skaitmenys yra vienas po kito. Dabar sudedame skaičius, nekreipdami dėmesio į kablelį. Ką daryti su kableliu? Kablelis perkeliamas į vietą, kurioje jis buvo sveikųjų skaičių kategorijoje.

Sudėjus trupmenas su vienodais vardikliais

Norėdami atlikti sudėjimą su bendruoju vardikliu, vardiklį turite palikti nepakeistą, rasti skaitiklių sumą ir gauti trupmeną, kuri bus bendra suma.

Trupmenų su skirtingais vardikliais pridėjimas naudojant bendrąjį kartotinį metodą

Pirmas dalykas, į kurį reikia atkreipti dėmesį, yra vardikliai. Vardikliai yra skirtingi, ar vienas dalijasi iš kito, ar jie yra pirminiai skaičiai. Pirmiausia turime suvesti jį į vieną bendrą vardiklį, yra keli būdai tai padaryti:

• 1/3 + 3/4 = 13/12, norėdami išspręsti šį pavyzdį, turime rasti mažiausią bendrąjį kartotinį (LCM), kuris dalijasi iš 2 vardiklių. Mažiausiam a ir b kartotiniui pažymėti – LCM (a;b). Šiame pavyzdyje LCM (3;4) = 12. Tikriname: 12:3=4; 12:4=3.
• Padauginame koeficientus ir sudedame gautus skaičius, gauname 13/12 – netinkamą trupmeną.

• Norėdami neteisingą trupmeną paversti tinkama, padalykite skaitiklį iš vardiklio, gauname sveikąjį skaičių 1, likusią dalį 1 yra skaitiklis, o 12 - vardiklį.

Trupmenų sudėjimas naudojant kryžminio daugybos metodą

Norėdami pridėti trupmenas su skirtingais vardikliais, yra kitas metodas, naudojant formulę „kryžius į kryžių“. Tai garantuotas būdas išlyginti vardiklius, kad tai padarytumėte, skaitiklius padauginkite iš vienos trupmenos vardiklio ir atvirkščiai. Jei esate tik pradiniame trupmenų mokymosi etape, šis metodas yra paprasčiausias ir tiksliausias būdas gauti teisingą rezultatą pridedant trupmenas su skirtingais vardikliais.

Raskite skaitiklį ir vardiklį. Trupmeną sudaro du skaičiai: skaičius, esantis virš eilutės, vadinamas skaitikliu, o skaičius, esantis žemiau eilutės, vadinamas vardikliu. Vardiklis nurodo bendrą dalių, į kurias padalyta visuma, skaičių, o skaitiklis – tokių nagrinėjamų dalių skaičių.

• Pavyzdžiui, trupmenoje ½ skaitiklis yra 1, o vardiklis yra 2.

Nustatykite vardiklį. Jei dvi ar daugiau trupmenų turi bendrą vardiklį, tokios trupmenos po eilute turi tą patį skaičių, tai yra, šiuo atveju tam tikra visuma yra padalinta į tą patį skaičių dalių. Sudėti trupmenas su bendru vardikliu yra labai paprasta, nes visos trupmenos vardiklis bus toks pat kaip ir pridedamų trupmenų. Pavyzdžiui:

• Trupmenų 3/5 ir 2/5 bendras vardiklis yra 5.
• Trupmenų 3/8, 5/8, 17/8 bendras vardiklis yra 8.

Nustatykite skaitiklius. Norėdami pridėti trupmenas su bendru vardikliu, pridėkite jų skaitiklius ir parašykite rezultatą virš pridedamų trupmenų vardiklio.

• Trupmenų 3/5 ir 2/5 skaitikliai yra 3 ir 2.
• Trupmenų 3/8, 5/8, 17/8 skaitikliai yra 3, 5, 17.

Sudėkite skaitiklius. Užduotyje 3/5 + 2/5 pridėkite skaitiklius 3 + 2 = 5. Užduotyje 3/8 + 5/8 + 17/8 pridėkite skaitiklius 3 + 5 + 17 = 25.

Parašykite bendrą trupmeną. Atsiminkite, kad sudėjus trupmenas su bendru vardikliu, jis lieka nepakitęs – pridedami tik skaitikliai.

• 3/5 + 2/5 = 5/5
• 3/8 + 5/8 + 17/8 = 25/8

Jei reikia, paverskite trupmeną. Kartais trupmeną galima parašyti kaip sveikąjį skaičių, o ne kaip trupmeną ar dešimtainį skaičių. Pavyzdžiui, trupmeną 5/5 galima nesunkiai paversti 1, nes bet kuri trupmena, kurios skaitiklis yra lygus vardikliui, yra 1. Įsivaizduokite pyragą, supjaustytą į tris dalis. Jei suvalgysite visas tris dalis, būsite suvalgę visą (vieną) pyragą.

• Bet kurią trupmeną galima konvertuoti į dešimtainę; Norėdami tai padaryti, padalykite skaitiklį iš vardiklio. Pavyzdžiui, trupmeną 5/8 galima užrašyti taip: 5 ÷ 8 = 0,625.

Jei įmanoma, supaprastinkite trupmeną. Supaprastinta trupmena yra trupmena, kurios skaitiklis ir vardiklis neturi bendrų veiksnių.

• Pavyzdžiui, apsvarstykite trupmeną 3/6. Čia tiek skaitiklis, tiek vardiklis turi bendrą daliklį, lygų 3, tai yra, skaitiklis ir vardiklis visiškai dalijasi iš 3. Todėl trupmeną 3/6 galima užrašyti taip: 3 ÷ 3/6 ÷ 3 = ½ .

Jei reikia, pakeiskite netinkamą trupmeną į mišrią trupmeną (mišrus skaičius). Netinkamos trupmenos skaitiklis yra didesnis už jos vardiklį, pavyzdžiui, 25/8 (tinkamos trupmenos skaitiklis yra mažesnis už vardiklį). Netinkama trupmena gali būti konvertuojama į mišrią trupmeną, kurią sudaro sveikoji dalis (ty sveikasis skaičius) ir trupmenos dalis (ty tinkama trupmena). Norėdami konvertuoti netinkamą trupmeną, pvz., 25/8, į mišrų skaičių, atlikite šiuos veiksmus:

• Netinkamos trupmenos skaitiklį padalinkite iš vardiklio; užrašykite dalinį koeficientą (visą atsakymą). Mūsų pavyzdyje: 25 ÷ 8 = 3 plius likutis. Šiuo atveju visas atsakymas yra visa mišraus skaičiaus dalis.
• Raskite likusią dalį. Mūsų pavyzdyje: 8 x 3 = 24; gautą rezultatą atimkite iš pradinio skaitiklio: 25 - 24 = 1, tai yra, liekana yra 1. Šiuo atveju liekana yra mišraus skaičiaus trupmeninės dalies skaitiklis.
• Parašykite mišrią trupmeną. Vardiklis nesikeičia (tai yra lygus netinkamosios trupmenos vardikliui), taigi 25/8 = 3 1/8.