Viena iš pagrindinių algebros ir visos matematikos savybių yra laipsnis. Žinoma, XXI amžiuje visus skaičiavimus galima atlikti internetiniu skaičiuotuvu, tačiau smegenų vystymuisi geriau išmokti tai padaryti patiems.

Šiame straipsnyje apžvelgsime daugiausiai svarbius klausimus susijusi su šiuo apibrėžimu. Būtent, mes suprasime, kas tai apskritai yra ir kokios yra pagrindinės jo funkcijos, kokios matematikos savybės.

Pažvelkime į pavyzdžius, kaip atrodo skaičiavimas ir kokios yra pagrindinės formulės. Pažvelkime į pagrindinius dydžių tipus ir kuo jie skiriasi nuo kitų funkcijų.

Leiskite mums suprasti, kaip išspręsti įvairias problemas naudojant šį kiekį. Pavyzdžiais parodysime, kaip pakelti iki nulinės galios, neracionalų, neigiamą ir pan.

Internetinė eksponencijos skaičiuoklė

Kas yra skaičiaus galia

Ką reiškia posakis „pakelti skaičių iki laipsnio“?

Skaičiaus galia n yra a dydžio veiksnių sandauga n kartų iš eilės.

Matematiškai tai atrodo taip:

a n = a * a * a * …a n .

Pavyzdžiui:

• 2 3 = 2 trečiame laipsnyje. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 žingsniui. du = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 žingsniui. keturi = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 = 10 5 žingsniais. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100 000;
• 10 4 = 10 4 žingsniais. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10 000.

Žemiau yra kvadratų ir kubelių nuo 1 iki 10 lentelė.

Laipsnių lentelė nuo 1 iki 10

Žemiau pateikiami natūraliųjų skaičių padidinimo iki teigiamų galių rezultatai - „nuo 1 iki 100“.

Ch-lo	2-oji g.	3 etapas
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Laipsnių savybės

Kas būdinga tokiai matematinei funkcijai? Pažvelkime į pagrindines savybes.

Mokslininkai nustatė šiuos dalykus Visiems laipsniams būdingi ženklai:

• a n * a m = (a) (n+m) ;
• a n: a m = (a) (n-m) ;
• (a b) m =(a) (b*m) .

Patikrinkime su pavyzdžiais:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Kita vertus, 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

Panašiai: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. Kitu atveju 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. O jei skiriasi? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Kaip matote, taisyklės veikia.

Bet ką apie su pridėjimu ir atėmimu? Tai paprasta. Pirmiausia atliekamas eksponentinis koeficientas, o tada sudėjimas ir atėmimas.

Pažiūrėkime į pavyzdžius:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. Atkreipkite dėmesį: taisyklė negalios, jei pirmiausia atimsite: (5 – 3) 2 = 2 2 = 4.

Tačiau šiuo atveju pirmiausia turite apskaičiuoti priedą, nes skliausteliuose yra veiksmų: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Kaip gaminti skaičiavimai plačiau sunkių atvejų ? Tvarka ta pati:

• jei yra skliaustų, reikia pradėti nuo jų;
• tada eksponencija;
• tada atlikti daugybos ir dalybos operacijas;
• po sudėjimo, atimties.

Yra specifinių savybių, kurios būdingos ne visiems laipsniams:

1. Skaičiaus a n-oji šaknis iki laipsnio m bus parašyta taip: a m / n.
2. Keliant trupmeną į laipsnį: ši procedūra taikoma ir skaitikliui, ir jo vardikliui.
3. Statant kūrinį skirtingi skaičiai laipsniui, išraiška atitiks šių skaičių sandaugą su duotuoju laipsniu. Tai yra: (a * b) n = a n * b n .
4. Didinant skaičių iki neigiamo laipsnio, 1 reikia padalyti iš skaičiaus tame pačiame amžiuje, bet su „+“ ženklu.
5. Jei trupmenos vardiklis yra neigiamas laipsnis, tai ši išraiška bus lygi skaitiklio sandaugai, o vardiklio - teigiamai laipsnei.
6. Bet koks skaičius laipsniui 0 = 1 ir laipsniui. 1 = sau.

Šios taisyklės kai kuriais atvejais yra svarbios, jas apsvarstysime išsamiau.

Laipsnis su neigiamu rodikliu

Ką daryti su minuso laipsniu, t.y. kai rodiklis neigiamas?

Remiantis 4 ir 5 savybėmis(žr. aukščiau esantį punktą), pasirodo:

A (- n) = 1 / A n, 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25.

Ir atvirkščiai:

1 / A (- n) = A n, 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8.

O jei tai trupmena?

(A / B) (- n) = (B / A) n, (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

Laipsnis su natūraliu indikatoriumi

Jis suprantamas kaip laipsnis, kurio rodikliai lygūs sveikiesiems skaičiams.

Ką reikia atsiminti:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1...ir t.t.

A1 = A, 11 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3...ir t.t.

Be to, jei (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2...tada rezultatas bus su „+“ ženklu. Jei neigiamas skaičius padidinamas iki nelyginio laipsnio, tada atvirkščiai.

Jiems būdingos ir bendrosios savybės bei visos aukščiau aprašytos specifinės savybės.

Trupmeninis laipsnis

Šį tipą galima parašyti kaip schemą: A m / n. Skaityti kaip: n-oji skaičiaus A šaknis iki laipsnio m.

Su trupmeniniu indikatoriumi galite daryti ką norite: sumažinti, padalinti į dalis, pakelti į kitą galią ir pan.

Laipsnis su neracionaliuoju rodikliu

Tegu α yra neracionalusis skaičius, o A ˃ 0.

Norėdami suprasti laipsnio esmę naudojant tokį rodiklį, Pažvelkime į įvairius galimus atvejus:

• A = 1. Rezultatas bus lygus 1. Kadangi yra aksioma - 1 visose laipsniais lygus vienetui;

A r 1 ˂ A α ˂ A r 2 , r 1 ˂ r 2 – racionalūs skaičiai;

• 0˂А˂1.

Šiuo atveju viskas yra atvirkščiai: A r 2 ˂ A α ˂ A r 1 tomis pačiomis sąlygomis kaip ir antroje pastraipoje.

Pavyzdžiui, eksponentas yra skaičius π. Tai racionalu.

r 1 – šiuo atveju lygus 3;

r 2 – bus lygus 4.

Tada, jei A = 1, 1 π = 1.

A = 2, tada 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, tada (½) 4˂ (½) π˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π˂ 1/8.

Tokiems laipsniams būdingi visi aukščiau aprašyti matematiniai veiksmai ir specifinės savybės.

Išvada

Apibendrinkime – kam reikalingi šie kiekiai, kokie tokių funkcijų privalumai? Žinoma, pirmiausia jie supaprastina matematikų ir programuotojų gyvenimą sprendžiant pavyzdžius, nes leidžia sumažinti skaičiavimus, sutrumpinti algoritmus, sisteminti duomenis ir dar daugiau.

Kur dar šios žinios gali būti naudingos? Bet kurioje darbo specialybėje: medicina, farmakologija, odontologija, statyba, technologija, inžinerija, dizainas ir kt.

Laipsnio formulės naudojamas mažinant ir supaprastinant sudėtingas išraiškas, sprendžiant lygtis ir nelygybes.

Skaičius c yra n- skaičiaus laipsnis a Kada:

Operacijos su laipsniais.

1. Padauginus laipsnius iš tos pačios bazės, pridedami jų rodikliai:

a m·a n = a m + n .

2. Dalijant laipsnius su ta pačia baze, jų eksponentai atimami:

3. Produkto galia 2 arba daugiau faktoriai yra lygūs šių veiksnių galių sandaugai:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Trupmenos laipsnis lygus dividendo ir daliklio laipsnių santykiui:

(a/b) n = a n/b n .

5. Padidinus laipsnį į laipsnį, rodikliai dauginami:

(a m) n = a m n .

Kiekviena aukščiau pateikta formulė yra teisinga kryptimis iš kairės į dešinę ir atvirkščiai.

Pavyzdžiui. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operacijos su šaknimis.

1. Kelių veiksnių sandaugos šaknis yra lygi šių veiksnių šaknų sandaugai:

2. Santykio šaknis lygi dividendo ir šaknų daliklio santykiui:

3. Keliant šaknį į laipsnį, iki šios laipsnio pakanka pakelti radikalųjį skaičių:

4. Jei padidinsite šaknies laipsnį n vieną kartą ir tuo pačiu metu integruoti į n laipsnis yra radikalus skaičius, tada šaknies reikšmė nepasikeis:

5. Jei sumažinsite šaknies laipsnį n tuo pačiu metu ištraukite šaknį n- radikalaus skaičiaus laipsnis, tada šaknies reikšmė nepasikeis:

Laipsnis su neigiamu rodikliu. Tam tikro skaičiaus laipsnis su neteigiamąja (sveikojo skaičiaus) laipsniu apibrėžiama kaip viena, padalyta iš to paties skaičiaus laipsnio, kurio rodiklis lygus absoliuti vertė ne teigiamas indikatorius:

Formulė a m:a n =a m - n gali būti naudojamas ne tik m> n, bet ir su m< n.

Pavyzdžiui. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Į formulę a m:a n =a m - n tapo teisinga, kai m=n, būtinas nulinis laipsnis.

Laipsnis su nuliniu indeksu. Bet kurio skaičiaus, nelygaus nuliui, su nuliniu rodikliu, laipsnis yra lygus vienetui.

Pavyzdžiui. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Laipsnis su trupmeniniu rodikliu. Norėdami padidinti tikrąjį skaičių A iki laipsnio m/n, reikia išgauti šaknį n laipsnis m-šio skaičiaus laipsnis A.

Pakėlimas į neigiamą laipsnį yra vienas iš pagrindinių matematikos elementų ir dažnai su juo susiduriama sprendžiant algebrines problemas. Žemiau pateikiamos išsamios instrukcijos.

Kaip pakelti į neigiamą galią – teorija

Kai pakeliame skaičių iki paprasto laipsnio, jo reikšmę padauginame kelis kartus. Pavyzdžiui, 3 3 = 3×3×3 = 27. Su neigiama trupmena yra atvirkščiai. Bendras vaizdas pagal formulę atrodys taip: a -n = 1/a n. Taigi, norėdami padidinti skaičių iki neigiamos laipsnio, turite padalyti vieną iš duotas numeris, bet teigiamai.

Kaip pakelti iki neigiamo laipsnio – įprastų skaičių pavyzdžiai

Turėdami omenyje aukščiau pateiktą taisyklę, išspręskime kelis pavyzdžius.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Atsakymas: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Atsakymas -4 -2 = 1/16.

Bet kodėl atsakymai pirmame ir antrame pavyzdžiuose yra vienodi? Faktas yra tas, kad statant neigiamas skaičius iki lygiosios galios (2, 4, 6 ir tt), ženklas tampa teigiamas. Jei laipsnis būtų lygus, minusas liktų:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Kaip padidinti skaičių nuo 0 iki 1 iki neigiamos laipsnio

Prisiminkite, kad kai skaičius tarp 0 ir 1 padidinamas iki teigiamo laipsnio, reikšmė mažėja, kai galia didėja. Pavyzdžiui, 0,5 2 = 0,25. 0.25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

3 pavyzdys: Apskaičiuokite 0,5 -2
Sprendimas: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1 × 4/1 = 4.
Atsakymas: 0,5 -2 = 4

Analizė (veiksmų seka):

• Paverskite dešimtainę trupmeną 0,5 į trupmeną 1/2. Taip lengviau.
  Pakelkite 1/2 iki neigiamos galios. 1/(2) -2 . Padalinkite 1 iš 1/(2) 2, gausime 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

4 pavyzdys: Apskaičiuokite 0,5 -3
Sprendimas: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

5 pavyzdys: Apskaičiuokite -0,5 -3
Sprendimas: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Atsakymas: -0,5 -3 = -8

Remdamiesi 4 ir 5 pavyzdžiais, galime padaryti keletą išvadų:

• Teigiamam skaičiui intervale nuo 0 iki 1 (4 pavyzdys), padidintam iki neigiamo laipsnio, nesvarbu, ar laipsnis lyginis, ar nelyginis, išraiškos reikšmė bus teigiama. Be to, kuo didesnis laipsnis, tuo didesnė vertė.
• Neigiamam skaičiui diapazone nuo 0 iki 1 (5 pavyzdys), padidintam iki neigiamo laipsnio, nesvarbu, ar laipsnis lyginis, ar nelyginis, išraiškos reikšmė bus neigiama. Šiuo atveju kuo aukštesnis laipsnis, tuo mažesnė vertė.

Kaip pakelti į neigiamą laipsnį – laipsnį trupmeninio skaičiaus pavidalu

Šio tipo išraiškos turi tokią formą: a -m/n, kur a yra reguliarus skaičius, m yra laipsnio skaitiklis, n yra laipsnio vardiklis.

Pažiūrėkime į pavyzdį:
Apskaičiuokite: 8 -1/3

Sprendimas (veiksmų seka):

• Prisiminkime skaičiaus didinimo iki neigiamo laipsnio taisyklę. Gauname: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• Atkreipkite dėmesį, kad vardiklio skaičius 8 yra trupmenos laipsnis. Bendra trupmeninės galios skaičiavimo forma yra tokia: a m/n = n √8 m.
• Taigi 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Gauname aštuonių kubinę šaknį, kuri yra lygi 2. Iš čia 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Atsakymas: 8 -1/3 = 2

Pamoka ir pristatymas tema: "Laikiklis su neigiamu rodikliu. Problemų sprendimo apibrėžimas ir pavyzdžiai"

Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pageidavimų. Visa medžiaga buvo patikrinta antivirusine programa.

Mokomosios priemonės ir simuliatoriai Integral internetinėje parduotuvėje 8 klasei
Vadovėlio vadovas Muravinas G.K.   

Alimovo Sh.A. vadovėlio vadovas.

Laipsnio nustatymas su neigiamu rodikliu
Vaikinai, mums sekasi padidinti skaičių iki galių.

Pavyzdžiui: $2^4=2*2*2*2=16$  $((-3))^3=(-3)*(-3)*(-3)=27$.
Gerai žinome, kad bet koks skaičius iki nulio laipsnio yra lygus vienetui. $a^0=1$, $a≠0$.
Kyla klausimas, kas atsitiks, jei skaičių padidinsite iki neigiamos galios? Pavyzdžiui, kam bus lygus skaičius $2^(-2)$?
Pirmieji matematikai, kurie uždavė šį klausimą, nusprendė, kad dviračio išradinėti neverta, o gerai, kad visos laipsnių savybės išliko tokios pat. Tai yra, padauginus laipsnius su ta pačia baze, eksponentai sumuojasi.
Panagrinėkime šį atvejį: $2^3*2^(-3)=2^(3-3)=2^0=1$.

Mes nustatėme, kad tokių skaičių sandauga turėtų duoti vieną. Produkto vienetas gaunamas padauginus abipusius skaičius, tai yra $2^(-3)=\frac(1)(2^3)$.
Toks samprotavimas lėmė tokį apibrėžimą. Apibrėžimas. Jei $n$ – natūralusis skaičius

ir $a≠0$, tada galioja lygybė: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.
Svarbi tapatybė, kuri dažnai naudojama: $(\frac(a)(b))^(-n)=(\frac(b)(a))^n$.

Visų pirma $(\frac(1)(a))^(-n)=a^n$.

Sprendimų pavyzdžiai
1 pavyzdys.

Apskaičiuokite: $2^(-3)+(\frac(2)(5))^(-2)-8^(-1)$.
Sprendimas.
Panagrinėkime kiekvieną terminą atskirai.
1. $2^(-3)=\frac(1)(2^3)=\frac(1)(2*2*2)=\frac(1)(8)$.
2. $(\frac(2)(5))^(-2)=(\frac(5)(2))^2=\frac(5^2)(2^2)=\frac(25) (4) $.
3. $8^(-1)=\frac(1)(8)$.
Belieka atlikti sudėjimo ir atimties operacijas: $\frac(1)(8)+\frac(25)(4)-\frac(1)(8)=\frac(25)(4)=6\frac( 1) (4) USD.

Atsakymas: $6\frac(1)(4)$.
2 pavyzdys. duotas numeris kaip laipsnis pirminis skaičius$\frac(1)(729)$.

Apskaičiuokite: $2^(-3)+(\frac(2)(5))^(-2)-8^(-1)$.
Akivaizdu, kad $\frac(1)(729)=729^(-1)$.
Tačiau 729 nėra pirminis skaičius, kuris baigiasi skaičiumi 9. Galima daryti prielaidą, kad šis skaičius yra trijų laipsnis. Nuosekliai padalinkite 729 iš 3.
1) $\frac(729)(3)=243$;
2) $\frac(243)(3)=81$;
3) $\frac(81)(3)=27$;
4) $\frac(27)(3)=9$;
5) $\frac(9)(3)=3$;
6) $\frac(3)(3)=1$.
Buvo atliktos šešios operacijos ir tai reiškia: $729=3^6$.
Mūsų užduočiai:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Atsakymas: $3^(-6)$.

3 pavyzdys. Išreikškite išraišką kaip laipsnį: $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))$.
Sprendimas. Pirmasis veiksmas visada atliekamas skliausteliuose, tada daugyba $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))= \frac (a^6*a^(-10))((a^5)^(-1))=\frac(a^((-4)))(a^((-5)))= a^ (-4-(-5))=a^(-4+5)=a$.
Atsakymas: $a$.

4 pavyzdys. Įrodykite tapatybę:
$(\frac(y^2 (xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)*\frac(y^2(x^(-2) )+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y)):\frac(1-x^(-1) y)(xy^(-1 ) +1)=\frac(x-y)(x+y)$.

Sprendimas.
Kairėje pusėje mes svarstome kiekvieną veiksnį skliausteliuose atskirai.
1. $\frac(y^2(xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)=\frac(y^2(\frac(x) )(y)-1)^2)(x(1+\frac(y)(x))^2) =\frac(y^2(\frac(x^2)(y^2)-2\ frac(x)(y)+1))(x(1+2\frac(y)(x)+\frac(y^2)(x^2)))=\frac(x^2-2xy+ y ^2)(x+2y+\frac(y^2)(x))=\frac(x^2-2xy+y^2)(\frac(x^2+2xy+y^2)(x) ) =\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))$.
2. $\frac(y^2(x^(-2)+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))=\frac(y^ 2(\frac(1)(x^2)+\frac(1)(y^2)))(x(\frac(x)(y)+\frac(y)(x))) =\frac (\frac(y^2)(x^2)+1)(\frac(x^2)(y)+y)=\frac(\frac(y^2+x^2)(x^2) )((\frac(x^2+y^2)(y)))=\frac(y^2+x^2)(x^2) *\frac(y)(x^2+y^2 )=\frac(y)(x^2)$.
3. $\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))*\frac(y)(x^2)=\frac(y(x) ^2-2xy+y^2))(x(x^2+2xy+y^2))=\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2)$.
4. Pereikime prie trupmenos, iš kurios dalijame.
$\frac(1-x^(-1)y)(xy^(-1)+1)=\frac(1-\frac(y)(x))(\frac(x)(y)+1 )=\frac(\frac(x-y)(x))(\frac(x+y)(y))=\frac(x-y)(x)*\frac(y)(x+y)=\frac( y(x-y))(x(x+y))$.
5. Atlikime padalijimą.
$\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2):\frac(y(x-y))(x(x+y))=\frac(y(x-y)^2)( x(x+y)^2)*\frac(x(x+y))(y(x-y))=\frac(x-y)(x+y)$.
Gavome teisingą tapatybę, kurią turėjome įrodyti.

Pamokos pabaigoje dar kartą surašysime darbo su galiomis taisykles, čia rodiklis yra sveikasis skaičius.
$a^s*a^t=a^(s+t)$.
$\frac(a^s)(a^t)=a^(s-t)$.
$(a^s)^t=a^(st)$.
$(ab)^s=a^s*b^s$.
$(\frac(a)(b))^s=\frac(a^s)(b^s)$.

Problemos, kurias reikia spręsti savarankiškai

1. Apskaičiuokite: $3^(-2)+(\frac(3)(4))^(-3)+9^(-1)$.
2. Pateiktą skaičių pavaizduokite kaip pirminio skaičiaus $\frac(1)(16384)$ laipsnį.
3. Išreikškite išraišką kaip galią:
$\frac(b^(-8)*(b^3)^(-4))((b^2*b^(-7))^3)$.
4. Įrodykite tapatybę:
$(\frac(b^(-m)-c^(-m))(b^(-m)+c^(-m))+\frac(b^(-m)+c^(-m) ))(c^(-m)-b^(-m)))=\frac(4)(b^m c^(-m)-b^(-m)c^m) $.

Šioje medžiagoje apžvelgsime, kas yra skaičiaus galia. Be pagrindinių apibrėžimų, suformuluosime, kokios yra galios su natūraliaisiais, sveikaisiais, racionaliaisiais ir neracionaliais rodikliais. Kaip visada, visos sąvokos bus iliustruotos su pavyzdinėmis problemomis.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pirmiausia suformuluokime pagrindinį laipsnio apibrėžimą su natūraliuoju rodikliu. Norėdami tai padaryti, turime prisiminti pagrindines daugybos taisykles. Iš anksto išsiaiškinkime, kad kol kas bazinį laikysime realųjį skaičių (žymimą raide a), o natūralųjį – rodiklį (žymimą raide n).

1 apibrėžimas

Skaičiaus a, kurio natūralusis rodiklis n, laipsnis yra n-ojo veiksnių skaičiaus sandauga, kurių kiekvienas yra lygus skaičiui a. Laipsnis parašytas taip: a n, o formulės pavidalu jo sudėtis gali būti pavaizduota taip:

Pavyzdžiui, jei eksponentas yra 1, o bazė yra a, tada pirmoji laipsnio a rašoma kaip a 1. Atsižvelgiant į tai, kad a yra koeficiento reikšmė, o 1 yra veiksnių skaičius, galime padaryti tokią išvadą a 1 = a.

Apskritai galime pasakyti, kad laipsnis yra patogi įrašymo forma didelis kiekis vienodi veiksniai. Taigi, formos įrašas 8 8 8 8 gali būti sutrumpintas iki 8 4 . Panašiai kūrinys padeda išvengti įrašų didelis skaičius terminai (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4) ; Tai jau aptarėme straipsnyje, skirtame natūraliųjų skaičių daugybai.

Kaip teisingai perskaityti laipsnio įrašą? Visuotinai priimtas variantas yra „a iki n laipsnio“. Arba galite pasakyti „n-oji a galia“ arba „antoji galia“. Jei, tarkime, pavyzdyje susidūrėme su įrašu 8 12 , galime skaityti „8 iki 12 laipsnio“, „8 iki 12 laipsnio“ arba „12 laipsnio 8“.

Antroji ir trečioji skaičių galios turi savo nusistovėjusius pavadinimus: kvadratas ir kubas. Jei matome antrąją laipsnį, pavyzdžiui, skaičių 7 (7 2), tada galime pasakyti „7 kvadratas“ arba „skaičiaus 7 kvadratas“. Panašiai trečiasis laipsnis skaitomas taip: 5 3 - tai yra „skaičiaus 5 kubas“ arba „5 kubas“. Tačiau taip pat galite naudoti standartinę formuluotę „į antrą / trečią galią“ tai nebus klaida.

1 pavyzdys

Pažvelkime į laipsnio su natūraliuoju rodikliu pavyzdį: už 5 7 penki bus bazė, o septyni bus eksponentas.

Pagrindas neturi būti sveikasis skaičius: laipsniui (4 , 32) 9 Pagrindas bus trupmena 4, 32, o eksponentas bus devyni. Atkreipkite dėmesį į skliaustus: šis žymėjimas daromas visiems laipsniams, kurių bazės skiriasi nuo natūraliųjų skaičių.

Pavyzdžiui: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

Kam skirti skliaustai? Jie padeda išvengti klaidų skaičiavimuose. Tarkime, kad turime du įrašus: (− 2) 3 Ir − 2 3 . Pirmasis iš jų reiškia neigiamą skaičių atėmus du, pakeltą iki laipsnio, kurio natūralusis rodiklis yra trys; antrasis yra skaičius, atitinkantis priešingą laipsnio reikšmę 2 3 .

Kartais knygose galite rasti šiek tiek kitokią skaičiaus galios rašybą - a^n(kur a yra bazė, o n yra rodiklis). Tai yra, 4^9 yra tas pats kaip 4 9 . Jei n yra kelių skaitmenų skaičius, jis paimtas skliausteliuose. Pavyzdžiui, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Bet mes naudosime žymėjimą a n kaip dažniau.

Nesunku atspėti, kaip apskaičiuoti eksponento vertę su natūraliuoju rodikliu pagal jo apibrėžimą: tereikia padauginti n-ąjį skaičių kartų. Daugiau apie tai rašėme kitame straipsnyje.

Laipsnio sąvoka yra atvirkštinė kito matematinė sąvoka- skaičiaus šaknis. Jei žinome laipsnio ir laipsnio reikšmę, galime apskaičiuoti jos bazę. Laipsnis turi tam tikrų specifinių savybių, naudingų sprendžiant problemas, kurias aptarėme atskiroje medžiagoje.

Rodikliai gali apimti ne tik natūraliuosius skaičius, bet ir apskritai bet kokias sveikųjų skaičių reikšmes, įskaitant neigiamus vienetus ir nulius, nes jie taip pat priklauso sveikųjų skaičių rinkiniui.

2 apibrėžimas

Skaičiaus su teigiamu sveikojo skaičiaus rodikliu galia gali būti pavaizduota kaip formulė: .

Šiuo atveju n yra bet koks teigiamas sveikasis skaičius.

Supraskime nulinio laipsnio sąvoką. Norėdami tai padaryti, naudojame metodą, kuriame atsižvelgiama į koeficiento savybę galioms su lygiomis bazėmis. Jis suformuluotas taip:

3 apibrėžimas

Lygybė a m: a n = a m − n bus teisinga tokiomis sąlygomis: m ir n yra natūralūs skaičiai, m< n , a ≠ 0 .

Paskutinė sąlyga yra svarbi, nes išvengiama padalijimo iš nulio. Jei m ir n reikšmės yra lygios, gauname tokį rezultatą: a n: a n = a n − n = a 0

Bet tuo pat metu a n: a n = 1 yra lygių skaičių koeficientas a n ir a. Pasirodo, bet kurio nulinio skaičiaus nulinė galia yra lygi vienetui.

Tačiau toks įrodymas netaikomas nuo nulio iki nulio laipsnio. Norėdami tai padaryti, mums reikia kitos galių savybės - galių, turinčių vienodas bazes, savybių. Tai atrodo taip: a m · a n = a m + n .

Jei n lygus 0, tada a m · a 0 = a m(ši lygybė mums tai taip pat įrodo a 0 = 1). Bet jei ir taip pat yra lygus nuliui, mūsų lygybė įgauna formą 0 m · 0 0 = 0 m, Tai bus teisinga bet kuriai natūraliai n reikšmei ir nesvarbu, kokia tiksliai yra laipsnio reikšmė 0 0 , tai yra, jis gali būti lygus bet kuriam skaičiui, ir tai neturės įtakos lygybės tikslumui. Todėl formos žymėjimas 0 0 neturi savo ypatingos reikšmės, ir mes jos jai nepriskirsime.

Jei norite, tai nesunku patikrinti a 0 = 1 susilieja su laipsnio savybe (a m) n = a m n su sąlyga, kad laipsnio pagrindas nėra nulis. Taigi bet kurio nulinio skaičiaus, kurio rodiklis nulis, laipsnis yra vienas.

2 pavyzdys

Pažvelkime į pavyzdį su konkrečiais skaičiais: Taigi, 5 0 - vienetas, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 ir reikšmė 0 0 neapibrėžtas.

Po nulinio laipsnio mes tiesiog turime išsiaiškinti, kas yra neigiamas laipsnis. Norėdami tai padaryti, mums reikia tos pačios laipsnių su lygiomis bazėmis sandaugos, kurią jau naudojome aukščiau: a m · a n = a m + n.

Įveskime sąlygą: m = − n, tada a neturi būti lygus nuliui. Iš to išplaukia, kad a − n · a n = a − n + n = a 0 = 1. Pasirodo, kad a n ir a−n turime abipusius abipusius skaičius.

Dėl to a neigiamai visumai galia yra ne kas kita, kaip trupmena 1 a n.

Ši formuluotė patvirtina, kad laipsniui su sveikuoju neigiamu rodikliu galioja visos tos pačios savybės, kurias turi laipsnis su natūraliuoju rodikliu (su sąlyga, kad bazė nėra lygi nuliui).

3 pavyzdys

Laipsnį a su neigiamu sveikojo skaičiaus rodikliu n galima pavaizduoti kaip trupmeną 1 a n . Taigi, a - n = 1 a n subjektas a ≠ 0 ir n yra bet koks natūralusis skaičius.

Iliustruojame savo idėją konkrečiais pavyzdžiais:

4 pavyzdys

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

Paskutinėje pastraipos dalyje stengsimės viską, kas pasakyta, aiškiai pavaizduoti vienoje formulėje:

4 apibrėžimas

Skaičiaus, kurio natūralusis rodiklis z, laipsnis yra: a z = a z, e su l ir z - teigiamas sveikasis skaičius 1, z = 0 ir a ≠ 0, (jei z = 0 ir a = 0, rezultatas yra 0 0, išraiškos reikšmės 0 0 nėra apibrėžtos) 1 a z, jei ir z yra neigiamas sveikas skaičius ir a ≠ 0 (jei z yra neigiamas sveikas skaičius ir a = 0, gausite 0 z, egoz reikšmė neapibrėžta)

Kas yra galios su racionaliuoju rodikliu?

Išnagrinėjome atvejus, kai eksponente yra sveikasis skaičius. Tačiau skaičių galite padidinti iki laipsnio, net jei jo eksponente yra trupmeninis skaičius. Tai vadinama galia su racionaliuoju rodikliu. Šiame skyriuje įrodysime, kad jis turi tas pačias savybes kaip ir kitos galios.

Kas yra racionalieji skaičiai? Jų rinkinyje yra ir sveikieji, ir trupmeniniai skaičiai, o trupmeniniai skaičiai gali būti pavaizduoti kaip paprastosios trupmenos (ir teigiamos, ir neigiamos). Suformuluokime skaičiaus a laipsnio apibrėžimą su trupmeniniu rodikliu m / n, kur n yra natūralusis skaičius, o m yra sveikas skaičius.

Turime tam tikrą laipsnį su trupmeniniu rodikliu a m n . Kad galios galios savybė galiotų, lygybė a m n n = a m n · n = a m turi būti teisinga.

Atsižvelgiant į n-osios šaknies apibrėžimą ir kad a m n n = a m, galime priimti sąlygą a m n = a m n, jei a m n turi prasmę nurodytoms m, n ir a reikšmėms.

Aukščiau pateiktos laipsnio su sveikuoju rodikliu savybės bus teisingos esant sąlygai a m n = a m n .

Pagrindinė mūsų samprotavimų išvada yra tokia: tam tikro skaičiaus a laipsnis su trupmeniniu rodikliu m / n yra n-oji skaičiaus a šaknis iki laipsnio m. Tai tiesa, jei nurodytoms m, n ir a reikšmėms išraiška a m n išlieka reikšminga.

1. Galime apriboti laipsnio pagrindo reikšmę: paimkime a, kuri teigiamoms m reikšmėms bus didesnė arba lygi 0, o neigiamoms - griežtai mažesnė (nes kai m ≤ 0 gauname 0 m, tačiau toks laipsnis nėra apibrėžtas). Šiuo atveju laipsnio apibrėžimas su trupmeniniu rodikliu atrodys taip:

Laipsnis su trupmeniniu rodikliu m/n tam tikram teigiamam skaičiui a yra n-oji šaknis a pakelto iki laipsnio m. Tai galima išreikšti formule:

Laipsniui su nuline baze ši nuostata taip pat tinka, bet tik tuo atveju, jei jos rodiklis yra teigiamas skaičius.

Laipsnis su baziniu nuliu ir trupmeniniu teigiamu eksponentu m/n gali būti išreikštas kaip

0 m n = 0 m n = 0, jei m yra teigiamas sveikasis skaičius, o n yra natūralusis skaičius.

Esant neigiamam santykiui m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Atkreipkime dėmesį į vieną dalyką. Kadangi įvedėme sąlygą, kad a yra didesnis arba lygus nuliui, kai kurių atvejų atmetėme.

Išraiška a m n kartais vis dar turi prasmę kai kurioms neigiamoms a ir kai kurioms m reikšmėms. Taigi teisingi įrašai yra (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4, kuriuose bazė yra neigiama.

2. Antrasis būdas yra atskirai apsvarstyti šaknį a m n su lyginiais ir nelyginiais rodikliais. Tada turėsime įvesti dar vieną sąlygą: laipsnis a, kurio eksponente yra redukuojama paprastoji trupmena, laikomas laipsniu a, kurio eksponente yra atitinkama neredukuojama trupmena. Vėliau paaiškinsime, kodėl mums reikia šios sąlygos ir kodėl ji tokia svarbi. Taigi, jei turime žymėjimą a m · k n · k , tai galime jį sumažinti iki a m n ir supaprastinti skaičiavimus.

Jei n - nelyginis skaičius, o m reikšmė yra teigiama, a yra bet koks neneigiamas skaičius, tada a m n turi prasmę. Sąlyga, kad a būtų neneigiama, būtina, nes lyginio laipsnio šaknis negalima išskirti iš neigiamo skaičiaus. Jei m reikšmė yra teigiama, tai a gali būti ir neigiama, ir nulis, nes Nelyginę šaknį galima paimti iš bet kurio realaus skaičiaus.

Sujungkime visus aukščiau pateiktus apibrėžimus viename įraše:

Čia m/n reiškia neredukuojamą trupmeną, m yra bet koks sveikas skaičius, o n yra bet koks natūralusis skaičius.

5 apibrėžimas

Bet kuriai įprastai redukcinei trupmenai m · k n · k laipsnį galima pakeisti a m n .

Skaičiaus a su neredukuojamu trupmeniniu rodikliu m / n galia gali būti išreikšta kaip m n šiais atvejais: - bet kokiam realiajam a, sveikieji skaičiai teigiamas vertes m ir nelyginės gamtinės vertės n. Pavyzdys: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

Bet kuriai realiai a, kuri nėra nulis, neigiamos sveikųjų skaičių m reikšmės ir nelyginės n reikšmės, pavyzdžiui, 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) – 27

Bet kuriam neneigiamam a, teigiamas sveikasis skaičius m ir net n, pavyzdžiui, 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

Bet kurio teigiamo a, neigiamo sveikojo skaičiaus m ir net n atveju, pavyzdžiui, 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, .

Kitų verčių atveju laipsnis su trupmeniniu rodikliu nenustatomas. Tokių laipsnių pavyzdžiai: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Dabar paaiškinkime aukščiau aptartos sąlygos svarbą: kodėl trupmeną pakeisti redukuojamu laipsniu trupmena su neredukuojamu rodikliu. Jei nebūtume to padarę, turėtume tokias situacijas, tarkime, 6/10 = 3/5. Tada tai turėtų būti tiesa (- 1) 6 10 = - 1 3 5 , bet - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 ir (- 1) 3 5 = (- 1 ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

Laipsnio apibrėžimas su trupmeniniu rodikliu, kurį pateikėme pirmiausia, yra patogesnis praktiškai naudoti nei antrąjį, todėl jį naudosime ir toliau.

6 apibrėžimas

Taigi teigiamo skaičiaus a laipsnis su trupmeniniu rodikliu m/n apibrėžiamas kaip 0 m n = 0 m n = 0. Esant neigiamam aįrašas a m n neturi prasmės. Teigiamų trupmeninių rodiklių nulio galia m/n apibrėžiamas kaip 0 m n = 0 m n = 0, neigiamiems trupmeniniams eksponentams nulio laipsnio neapibrėžiame.

Išvadose pažymime, kad bet koks trupmeninis rodiklis gali būti parašytas formoje mišrus skaičius, o dešimtainės trupmenos pavidalu: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

Skaičiuojant geriau pakeisti eksponentą paprastoji trupmena ir toliau naudoti laipsnio apibrėžimą su trupmeniniu rodikliu. Dėl aukščiau pateiktų pavyzdžių gauname:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Kas yra galios su neracionaliais ir realiais rodikliais?

Kas yra tikrieji skaičiai? Jų aibėje yra ir racionalių, ir neracionalių skaičių. Todėl, norėdami suprasti, kas yra laipsnis su realiuoju rodikliu, turime apibrėžti laipsnius su racionaliais ir neracionaliais rodikliais. Racionalius jau minėjome aukščiau. Žingsnis po žingsnio spręskime neracionalius rodiklius.

5 pavyzdys

Tarkime, kad turime neracionalųjį skaičių a ir jo dešimtainių aproksimacijų seką a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Pavyzdžiui, paimkime reikšmę a = 1,67175331. . . , Tada

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671, . . . , a 0 = 1,67, a 1 = 1,6717, a 2 = 1,671753, . . .

Aproksimacijų seką galime susieti su laipsnių seka a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Jei prisiminsime, ką sakėme anksčiau apie skaičių padidinimą iki racionalių laipsnių, tada galime patys apskaičiuoti šių galių reikšmes.

Paimkime pavyzdį a = 3, tada a a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753, . . . ir tt

Laipsnių seka gali būti sumažinta iki skaičiaus, kuris bus laipsnio su baze a ir neracionaliuoju rodikliu a reikšmė. Kaip rezultatas: laipsnis su neracionaliu 3 1 formos eksponentu, 67175331. . gali būti sumažintas iki 6, 27.

7 apibrėžimas

Teigiamojo skaičiaus a laipsnis su neracionaliuoju rodikliu a užrašomas kaip a . Jo reikšmė yra sekos riba a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , kur a 0 , a 1 , a 2 , . . . yra nuoseklūs dešimtainiai aproksimacijos neracionalus skaičius a. Laipsnį su nuline baze taip pat galima apibrėžti teigiamiems neracionaliesiems eksponentams, kai 0 a = 0 Taigi, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. Bet to negalima padaryti neigiamiems, nes, pavyzdžiui, reikšmė 0 - 5, 0 - 2 π nėra apibrėžta. Pavyzdžiui, vienetas, padidintas iki bet kokios neracionalios galios, lieka vienetu, o 1 2, 1 5 iš 2 ir 1 - 5 bus lygus 1.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter