Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цель урока: формирование навыков решения линейных неравенств.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Задачи урока:

• Образовательные:

1. вспомнить, что такое неравенство;
2. вспомнить свойства числовых неравенств;
3. выяснить с учащимися, что значит решить неравенство;
4. ввести понятие линейного неравенства;
5. познакомить учащихся с алгоритмом решения линейных неравенств.

Воспитательные:

1. отработать навыки решения линейных неравенств, применяя алгоритм решения линейных неравенств.

Развивающие:

1. развитие умения самостоятельно анализировать текст, добывать знания и делать выводы;
2. развитие познавательного интереса;
3. развитие мышления учащихся;
4. развитие умений общаться в группах, сотрудничать и взаимообучать;
5. развитие правильной речи учащихся.

Ход урока

1 этап. Мотивационный

Учитель обращается к классу: «Серьезность изучаемых в школе предметов не мешает нам творчески переосмысливать новые знания. Думая о сегодняшнем уроке, я почти случайно зарифмовала свои размышления. Послушайте, что у меня получилось, и попробуйте определить тему урока».

В математике - соотношенье между числами и выраженьями,
В них и знаки для сравнения: меньше, больше иль равно?
Я вам дам одну подсказку, вполне полезную возможно,
Мир объединяет равенство, частица «не» указывает на …… (неравенство)

Итак, тема урока «Неравенства ».

2 этап. Изучение нового материала

Стадия осмысления: (5 мин) (добывание учащимися знаний)

(применяю прием маркировки текста «Инсерт» - учащиеся читают текст, вникают в него, делают специальные пометки)

Отмечают «+» то, что им уже известно , «-» то, что новое, не знакомо .

Текст

Неравенство – это два числа или выражения, соединенные одним из знаков:

• > (больше),
• < (меньше),
• ≤ (меньше или равно),
• ≥ (больше или равно),
• ≠ (не равно).

Линейное неравенство – это неравенство вида ax + b > 0 (или ax + b < 0) , где а и b – любые числа, причем а ≠ 0 .

Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство. Например, х + 5 < 17. Подставив вместо х значение 1 , получим 1+ 5 < 17, 6 < 17 – верное числовое неравенство. Значит, х = 1 – решение данного неравенства.

Решить неравенство – это значит найти все его решения или доказать, что решений нет.

Свойства числовых неравенств:

1. Если а > b и b > c, то а > с.
2. Если а > b, то а + с > b + с.
3. Если а > b и m > 0, то аm > bm;
   Если а > b и m < 0 , то am < bm.
4. Если а > b и с > d, то a + c > b + d.
5. Если а > b и с > d, то ac > bd, где а, b, c, d – положительные числа.
6. Если а > b, а и b – неотрицательные числа, то aⁿ > bⁿ , n – любое натуральное число.

Алгоритм решения линейных неравенст	Пример: решить неравенство 5(х – 3) > 2х - 3
1. Раскрыть скобки:	5х – 15 > 2х - 3
2. Перенести все слагаемые с х влево, а числа вправо, меняя при этом знак на противоположный:	5х – 2х > -3 + 15
3. Привести подобные слагаемые:	3х > 12
4. Разделить обе части неравенства на число, стоящее перед х (если это число положительное, то знак неравенства не меняется; если это число отрицательное, то знак неравенства меняется на противоположный):	3х > 12: 3 х > 4
5. Перейти от аналитической модели х > 4 к геометрической модели:
6. Указать множество решений данного неравенства, записав ответ:	Ответ: (4; +∞)

Фаза рефлексии: (беседа с классом по вопросам)

Учитель составляет «Кластер» на доске.

1. Что из того, что вы прочитали, вам уже было знакомо?
2. Что из того, что вы прочитали, оказалось новой информацией?
3. А что вам напоминает алгоритм решения линейного неравенства? (решение линейного уравнения, за исключением создания геометрической модели и записи ответа)

Судя по этой схеме, вы уже многое знаете о неравенствах, а сегодня на уроке мы расширим эти знания.

3 этап. Закрепление нового материала (отработка навыков решения линейных неравенств)

Стратегия «Зигзаг»: (в группе по 5 человек, 5 групп) отработка навыков решения линейных уравнений: каждый ученик получает свое неравенство, решает, применяя алгоритм решения линейного неравенства, затем обсуждение в группах и объяснение другим ученикам.

1. Попытка решить самому!!! 5 мин

Задание: Решить неравенство и изобразить множество его решений на координатной прямой.

№1. 17 – х > 2∙(5 – 3х)

№2. 2∙(32 – 3х) ≥ 1- х

№3. 8 + 5х ≤ 3∙(7 + 2х)

№4. 2∙(0,1х – 1) < 7 – 0,8х

№5. 5х + 2 ≤ 1 – 3∙(х + 2)

2. Разбор задания в группе. 5 мин

Переходят в экспертные группы с одинаковым заданием. Обсуждают решения, консультируют друг друга и исправляют свои ошибки, если они есть. Необходимо, чтобы каждый понял решение своего неравенства.

Учитель выступает в роли консультанта.

(Ученик сам – группа учеников – учитель)

3. Взаимообучение. 5-7 мин Ученики возвращаются на свои места и рассказывают ход решения своего неравенства по очереди другим, идет запись в тетрадь неравенств.

Задача группы: чтобы каждый овладел алгоритмом решения линейных неравенств.

После того, как ученики готовы идет самопроверка нескольких неравенств через ИКТ, нескольких у доски.

Обсуждение (беседа): Кто верно выполнил решение всех неравенств («один за всех и все за одного ») поднимите руку? Кто допустил ошибки? Где и почему?

Если позволит время: для тех, кто не ошибся решить (или в качестве домашнего задания) творческое задание (одно на выбор) и сделать к нему соответствующий вывод:

1) 2(х + 8) – 5х < 4 – 3х (решения нет)

2)

3) При каких значениях х двучлен 5х – 7 принимает положительные значения?

4 этап. Подведение итогов

Ребята! Чем мы на уроке занимались? Чему учились?

Давайте вспомним: Что значит решить неравенство? Чем мы будем пользоваться при решении неравенства? (обратить еще раз внимание на алгоритм)

Ребята! Как вы думаете, кто сегодня отличился на уроке? (оценивают себя сами)

5 этап. Домашнее задание

П.34 В программе для создания слайдов выполнить презентацию о неравенстве Коши.

Хочу я вам дать совет:

«Через математические знания, полученные в школе, лежит широкая дорога к огромным, почти необозримым областям труда и открытий»

А.И. Маркушевич

Всем спасибо за урок! Желаю успехов!

§ 1 Линейные неравенства

На этом занятии мы познакомимся с определением линейного неравенства. Рассмотрим свойства, используемые при решении линейных неравенств. Научимся решать линейные неравенства.

Линейным неравенствомназывают неравенства вида aх+ b > 0 или aх+ b < 0, где переменная или искомая величина, a и b- некоторые числа, причем a ≠ 0.

Так как неравенство может быть строгим и нестрогим, то линейные неравенства могут иметь следующий вид aх+ b ≥0, aх+ b ≤ 0.

Неравенство является линейным, так как х входит в неравенство в первой степени.

Решением линейного неравенства является значение переменной х, при котором неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Возьмем неравенство 2х+5 > 0.

Подставим вместо х значение нуль. Получим 5 > 0. Это верное неравенство. Значит, х=0, является решением неравенства 2х+5>0.

Подставив вместо х значение -2,5, получим 0 > 0. Это неверное неравенство. Следовательно, х= -2,5 не является решением линейного неравенства 2х + 5>0. Подбирая значения х, можно найти еще несколько частных решений.

Найти все решения или доказать, что неравенство не имеет решений, означает решить линейное неравенство.

Неравенства, которые имеют одни и те же решения, называются равносильными.

При решении неравенств используют правила, применяя которые можно получить более простые для решения равносильные неравенства.

§ 2 Примеры решения линейных неравенств

Решим неравенство 2х+5>0. И первое правило, которое здесь можно использовать: если член неравенства перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, не изменив при этом знак неравенства, то получим равносильное неравенство.

Разделим обе части неравенства на 2. Получим х > -2,5.

Ответ можно записать так: х > -2,5 или в виде числового промежутка

Результатом является положительно-направленный открытый луч.

Открытый, так как наше неравенство строгое, а значит, число -2,5 не включается в числовой промежуток.

Решим другое линейное неравенство 3х - 3 ≥ 7х - 15.

Так же, как при решении линейных уравнений, слагаемые с х перенесем влево, а числовые слагаемые - вправо. Не забудем при переносе поменять знаки слагаемых на противоположные. Исходя из первого правила, знак неравенства при этом не меняется.

Получим 3х - 7х ≥ -15 + 3 или -4х ≥ -12.

Далее используем третье правило: если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то жеотрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получим равносильное неравенство.

Разделим обе части неравенства на -4.

Получим х ≤ 3.

Покажем решение на оси х.

Результатом является отрицательно-направленный закрытый луч. Закрытый, так как наше неравенство нестрогое, а значит, число 3 включается в числовой промежуток.

Рассмотрим решение более сложного линейного неравенства

Используя второе правило, обе части неравенства умножим на число 15. Число 15 будет общим знаменателем дробей.

Умножим числители на дополнительные множители.

Получим неравенство 5х + 6х - 3 > 30х.

Используя правило один, перенесем слагаемые с х влево, числовые слагаемые - вправо, поменяв знаки при переносе на противоположные.

Получим -19х > 3.

Применим правило три, разделим обе части неравенства на -19. В этом случае надо поменять знак неравенства на противоположный знак.

Покажем решение на оси х.

Результатом является открытый луч, потому что неравенство строгое, а значит, число не включается в числовой промежуток. Это отрицательно-направленный луч.

Решим следующее неравенство

Обе части неравенства умножим на 4.

Получим 5 - 2х ≤ 8х. Перенесем слагаемые с х влево, числовые слагаемые - вправо

2х - 8х ≤ -5 или -10х ≤-5.

Разделим обе части неравенства на -10. Это число отрицательное, по правилу 3 необходимо поменять знак неравенства на противоположный.

Получим х≥0,5.

Покажем решение на оси х.

Результатом является закрытый луч, так как неравенство нестрогое, а значит, число 0,5 включается в числовой промежуток. Это положительно-направленный луч.

При решении неравенств после преобразований может получиться так, что коэффициент при х равен нулю, например, 0∙х> b (или 0∙х< b). Такое неравенство не имеет решений или решением является любое число.

Решим неравенство 2(х + 8) -5х < 4-3х.

Раскроем скобки 2х + 16 - 5х < 4 - 3х.

Используя свойство один, перенесем слагаемые с х влево, а числа- вправо, получим 0∙х < -12. При любом значении х неравенство обращается в неравенство 0 < -12. Это неверное неравенство.

Ответ: нет решения или пустое множество.

Решим другое неравенство х > х - 1.

Перенесем х справа налево, получим 0∙х > -1. При любом значении х неравенство обращается в неравенство 0 > -1. Это верное неравенство.

§ 3 Краткий итог урока

Важно запомнить:

Линейным неравенством называют неравенство вида aх+ b > 0 (или aх+ b < 0, aх+ b ≥ 0, aх+ b≤ 0), где х - переменная, a и b- некоторые числа, причем a≠0.

Решить неравенство - значит найти все его решения или доказать, что решений нет.

При решении линейных неравенств используют правила, позволяющие заменить данное неравенство на более простые для решения равносильные ему неравенства:

1) если член неравенства перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, не изменив при этом знак неравенства, то получим равносильное неравенство;

2)если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, не изменив при этом знак неравенства, то получим равносильное неравенство;

3) если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получим равносильное неравенство.

Целью применения этих правил является приведение линейного неравенства к виду х > b/a или х < b/a.

Решением линейного неравенства является числовой промежуток. Это может быть открытый или закрытый числовой луч, который может быть как

положительно-направленным, так и отрицательно-направленным.

Список использованной литературы:

1. Макарычев Ю.Н., Н.Г. Миндюк, Нешков К.И., Суворова С.Б., под редакцией Теляковского С.А. Алгебра: учебн. для 8 кл. общеобразоват. учреждений. - М.: Просвещение, 2013.
2. Мордкович А.Г. Алгебра. 8 кл.: В двух частях. Ч.1: Учеб. для общеобразоват. учреждений. - М.: Мнемозина.
3. Рурукин А.Н. Поурочные разработки по алгебре: 8 класс.- М.: ВАКО, 2010.
4. Алгебра 8 класс: поурочные планы по учебнику Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешкова, С.Б. Суворовой / Авт.-сост. Т.Л. Афанасьева, Л.А. Тапилина. -Волгоград: Учитель, 2005.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Урок и презентация на тему: "Примеры линейных неравенств и их решение"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 9 класса
Образовательный комплекс 1C: "Алгебраические задачи с параметрами, 9–11 классы" Программная среда "1С: Математический конструктор 6.1"

Линейные уравнения (повторение)

Ребята, мы переходим к изучению курса алгебры за 9 класс. Во время изучения нашего курса мы научимся решать много новых увлекательных задач.

Давайте немного повторим.
Вы помните, что такое линейное уравнение?
Мы называем уравнение вида $ax+b=0$ - линейным, здесь коэффициенты а и b из множества действительных чисел, то есть практически любое число. Кстати, а почему оно называется линейным? Правильно, если нарисуем график решения нашего уравнения, то получается линия.

Как мы решали наше уравнение? То, что с х, мы оставляли слева от знака равно, а без х переносили на право, не забывая менять знак, то есть получали уравнение вида: $ax=-b$.
После делили на коэффициент при х и получали решение уравнения: $x=-\frac{b}{a}$.
Ну что же, давайте перейдем к первой теме нашего курса.

Мы с вами вспомнили линейные уравнения, теперь давайте введем понятие линейного неравенства. Думаю вы догадались, что определения не будут сильно отличаться.
Линейным неравенством с одной переменной называют неравенства вот такого вида: $ax+b>0$, где а и b значения из множества действительных чисел $(a≠0)$. Вообще можно записать 4 вида неравенств :
$ax+b>0\\ ax+b
Значения переменной x, при котором наше неравенство становится верно - называется решением. Стоит заметить, что существует два вида решений: частное и общее. Общим решением называют все множество частных решений.

Давайте введем несколько правил при решении линейных неравенств:
Члены неравенства можно так же, как и в линейных уравнениях переносить из одно части в другую, не меняя знак неравенства.
Неравенство $3х
Неравенство можно умножить и разделить на одно и тоже число большее нуля, не изменив при этом знак неравенства. Ребята, не забывайте что обязательно надо умножать или делить обе части неравенства!
Неравенство $3x
Неравенство можно умножить или разделить на отрицательное число, не забыв при этом изменить знак неравенства на противоположный. Знак, ≤ на≥, и соответственно наоборот.
Умножим неравенство $3x-7 0$.

Если неравенство от переменой x разделить или умножить на выражение $p(x)$, зависящее от х, и которое положительно при любом х, не изменив знак неравенства, то получится неравенство, равносильное изначальному.

Если неравенство от переменой x разделить или умножить на выражение $p(x)$, зависящее от х, b которое отрицательно при любом х, поменяв знак неравенства, то получится неравенство, равносильное изначальному.

1. Решить неравенство: $3x-6
Решение:
Способ решения аналогичен линейным уравнениям, перенесем -6 направо от знака неравенства $3x Мы можем разделить наше неравенство на любое положительное число, не меняя знака. Давайте раздели на 3 и получим решение: $x Ответ: $x
2. Решить неравенство: $-3x+6
Решение:
Выполним начальные действия: $-3x Разделим неравенство на -3, не забыв изменить знак: $x>2$.
Ответ: $x>2$.

3. Решить неравенство: $\frac{x}{4}+\frac{(3x-2)}{8}>x-\frac{1}{16}$.

Решение:
Умножим наше неравенство на 16, получаем: $4x+2(3x-2)>16x-1$.
Выполним необходимые действия: $4x+6x-4-16x>-1$.
$-6x>3$.
Разделим неравенство на -6, поменяв его знак: $x Ответ: $x
4. Решить неравенство: $|2x-2|
Решение:
Разделим неравенство на 2. Получим: $|x-1| Решением нашего неравенство можно представить в виде отрезка координатной прямой. Середина отрезка будет находиться в точке $x=1$, а границы удалены на 2.
Нарисуем наш отрезок:
Открытый интервал $(-1;3)$ – решение нашего неравенства.

Задачи на линейные неравенства

1. Решить неравенство:
a) $2x+5 b) $-4x-9>11.$
c) $-5x+10
2. Решить неравенство: $\frac{2x}{9}+\frac{2x-4}{3}≤x-\frac{1}{18}$.

3. Решить неравенство:
$a) |3x-5| b) $|5x|