Példák az exponenciális egyenlőtlenségek rendszerei. exponenciális egyenletek. Nehezebb esetek
Ebben a leckében bonyolultabb exponenciális egyenletek megoldásával foglalkozunk, felidézzük az exponenciális függvénnyel kapcsolatos főbb elméleti rendelkezéseket.
1. Exponenciális függvény definíciója és tulajdonságai, technika a legegyszerűbb exponenciális egyenletek megoldására
Idézzük fel az exponenciális függvény definícióját és főbb tulajdonságait. Az összes exponenciális egyenlet és egyenlőtlenség megoldása a tulajdonságokon alapul.
Exponenciális függvény az alak függvénye, ahol az alap a fok, és itt x egy független változó, egy argumentum; y - függő változó, függvény.
Rizs. 1. Az exponenciális függvény grafikonja
A grafikon egy növekvő és csökkenő kitevőt mutat, illusztrálva az exponenciális függvényt egynél nagyobb, egynél kisebb, de nullánál nagyobb bázison.
Mindkét görbe áthalad a ponton (0;1)
Az exponenciális függvény tulajdonságai:
Tartomány: ;
Értéktartomány: ;
A függvény monoton, növekszik -vel, csökken -vel.
A monoton függvény minden értékét az argumentum egyetlen értékével veszi fel.
Amikor az argumentum mínuszról plusz végtelenre nő, a függvény nulláról plusz végtelenre növekszik. Ellenkezőleg, amikor az argumentum mínuszról plusz végtelenre nő, a függvény végtelenről nullára csökken, beleértve.
2. Tipikus exponenciális egyenletek megoldása
Emlékezzünk vissza, hogyan kell megoldani a legegyszerűbb exponenciális egyenleteket. Megoldásuk az exponenciális függvény monotonitásán alapul. Szinte minden összetett exponenciális egyenlet ilyen egyenletre redukálódik.
Az egyenlő bázisú kitevők egyenlősége az exponenciális függvény tulajdonságának, nevezetesen a monotonságának köszönhető.
Megoldási módszer:
Egyenlítse ki a fokok alapjait;
Kitevők egyenlítése.
Térjünk át a bonyolultabb exponenciális egyenletekre, célunk mindegyiket a legegyszerűbbre redukálni.
Szabaduljunk meg a bal oldali gyökértől, és csökkentsük a fokokat ugyanarra az alapra:
Annak érdekében, hogy egy összetett exponenciális egyenletet egyszerűvé redukáljunk, gyakran alkalmazzák a változók megváltoztatását.
Használjuk a fokozat tulajdonságot:
Bevezetünk egy cserét. Akkor hagyd 
A kapott egyenletet megszorozzuk kettővel, és az összes tagot átvisszük a bal oldalra:
Az első gyök nem elégíti ki az y értékek intervallumát, eldobjuk. Kapunk:
Hozzuk a fokokat ugyanarra a mutatóra:
Bevezetünk egy cserét:
Akkor hagyd 
. Ezzel a helyettesítéssel nyilvánvaló, hogy y szigorúan pozitív értékeket vesz fel. Kapunk:
Tudjuk, hogyan kell megoldani hasonló másodfokú egyenleteket, kiírjuk a választ:
A gyökök helyes megtalálásához ellenőrizheti a Vieta-tételt, vagyis keresse meg a gyökök és szorzatuk összegét, és ellenőrizze az egyenlet megfelelő együtthatóival.
Kapunk:
3. Másodfokú homogén exponenciális egyenletek megoldásának technikája
Vizsgáljuk meg a következő fontos exponenciális egyenlettípusokat:
Az ilyen típusú egyenleteket az f és g függvények tekintetében másodfokú homogénnek nevezzük. Bal oldalán van egy f-hez tartozó négyzetháromtag g paraméterrel, vagy egy négyzetháromtag a g-hez f paraméterrel.
Megoldási módszer:
Ez az egyenlet másodfokúként is megoldható, de fordítva is könnyebb. Két esetet kell figyelembe venni:
Az első esetben azt kapjuk
A második esetben jogunk van a legmagasabb fokozattal osztani, és azt kapjuk:
Változóváltást kell bevezetni, y másodfokú egyenletet kapunk:
Vegyük észre, hogy az f és g függvények tetszőlegesek lehetnek, de minket az az eset érdekel, amikor ezek exponenciális függvények.
4. Példák homogén egyenletek megoldására
Vigyük át az összes tagot az egyenlet bal oldalára:
Mivel az exponenciális függvények szigorúan pozitív értékeket kapnak, jogunk van azonnal elosztani az egyenletet -vel, figyelmen kívül hagyva azt az esetet, amikor:
Kapunk:
Bevezetünk egy cserét: 
(az exponenciális függvény tulajdonságai szerint)
Kaptunk egy másodfokú egyenletet:
A gyököket a Vieta-tétel szerint határozzuk meg:
Az első gyök nem elégíti ki az y értékek intervallumát, eldobjuk, így kapjuk:
Használjuk a fok tulajdonságait, és redukáljuk le az összes fokot egyszerű alapokra:
Könnyen észrevehető az f és g függvény:
Mivel az exponenciális függvények szigorúan pozitív értékeket kapnak, jogunk van azonnal elosztani az egyenletet -vel, figyelmen kívül hagyva azt az esetet, amikor .
és x = b a legegyszerűbb exponenciális egyenlet. Benne a nagyobb nullánál és A nem egyenlő eggyel.
Exponenciális egyenletek megoldása
Az exponenciális függvény tulajdonságaiból tudjuk, hogy értéktartománya pozitív valós számokra korlátozódik. Ekkor ha b = 0, akkor az egyenletnek nincs megoldása. Ugyanez a helyzet következik be abban az egyenletben is, ahol b
Most tegyük fel, hogy b>0. Ha exponenciális függvényben az alap a nagyobb, mint egy, akkor a függvény növekszik a teljes definíciós tartományban. Ha a bázis exponenciális függvényében A a következő feltétel teljesül 0 Ez alapján és a gyöktételt alkalmazva azt kapjuk, hogy az a x = b egyenletnek egyetlen gyöke van, b>0 esetén pozitív a nem egyenlő eggyel. Ennek megtalálásához b = a c alakban kell képviselnie b-t. Tekintsük a következő példát: oldja meg az 5. egyenletet (x 2 - 2*x - 1) = 25. Képzeljük el a 25-öt 5 2-ként, így kapjuk: 5 (x 2 - 2 * x - 1) = 5 2 . Vagy ami egyenértékű: x 2 - 2*x - 1 = 2. A kapott másodfokú egyenletet bármelyik ismert módszerrel megoldjuk. Két gyöket x = 3 és x = -1 kapunk. Válasz: 3;-1. Oldjuk meg a 4 x - 5*2 x + 4 = 0 egyenletet. Cseréljük le: t=2 x és kapjuk a következő másodfokú egyenletet: t 2 - 5*t + 4 = 0. Most oldjuk meg a 2 x = 1 és 2 x = 4 egyenleteket. Válasz: 0;2. A legegyszerűbb exponenciális egyenlőtlenségek megoldása is a növekvő és csökkenő függvények tulajdonságain alapul. Ha egy exponenciális függvényben az a bázis nagyobb, mint egy, akkor a függvény növekszik a teljes definíciós tartományban. Ha a bázis exponenciális függvényében A a következő feltétel teljesül 0 Vegyünk egy példát: oldjuk meg a (0,5) egyenlőtlenséget (7 - 3*x)< 4. Vegye figyelembe, hogy 4 = (0,5) 2 . Ekkor az egyenlőtlenség (0,5)(7 - 3*x) alakot ölt.< (0.5) (-2) . Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели. A következőt kapjuk: 7 - 3*x>-2. Innen: x<3. Válasz: x<3. Ha az egyenlőtlenségben az alap nagyobb lenne, mint egy, akkor az alaptól való megszabaduláskor az egyenlőtlenség jelét nem kell megváltoztatni. Az exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek azok az egyenletek és egyenlőtlenségek, amelyekben az ismeretlen benne van a kitevőben. Az exponenciális egyenletek megoldása gyakran az a x \u003d a b egyenlet megoldásához vezet, ahol a > 0, a ≠ 1, x egy ismeretlen. Ennek az egyenletnek egyetlen gyöke van x \u003d b, mivel a következő tétel igaz: Tétel. Ha a > 0, a ≠ 1 és a x 1 = a x 2, akkor x 1 = x 2. Indokoljuk megfontolt állításunkat. Tegyük fel, hogy az x 1 = x 2 egyenlőség nem teljesül, azaz. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, akkor az y \u003d a x exponenciális függvény növekszik, és ezért az a x 1 egyenlőtlenség< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >egy x 2. Mindkét esetben ellentmondást kaptunk az a x 1 = a x 2 feltételre. Nézzünk meg több feladatot. Oldja meg a 4 ∙ 2 x = 1 egyenletet. Megoldás. Az egyenletet a következő alakban írjuk fel: 2 2 ∙ 2 x = 2 0 - 2 x + 2 = 2 0 x = -2. Válasz. x = -2. Oldja meg a 2 3x ∙ 3 x = 576 egyenletet. Megoldás. Mivel 2 3x \u003d (2 3) x \u003d 8 x, 576 \u003d 24 2, az egyenlet 8 x ∙ 3 x \u003d 24 2 vagy 24 x \u003d 2 formában írható fel. Innen kapjuk, hogy x = 2. Válasz. x = 2. Oldja meg a 3 x + 1 - 2∙3 x - 2 = 25 egyenletet. Megoldás. Ha a bal oldalon lévő 3 x - 2 közös tényezőt zárójelbe állítjuk, 3 x - 2 ∙ (3 3 - 2) \u003d 25 - 3 x - 2 ∙ 25 \u003d 25, ahonnan 3 x - 2 = 1, azaz. x - 2 = 0, x = 2. Válasz. x = 2. Oldja meg a 3 x = 7 x egyenletet! Megoldás. Mivel 7 x ≠ 0, az egyenlet felírható így: 3 x / 7 x = 1, tehát (3/7) x = 1, x = 0. Válasz. x = 0. Oldja meg a 9 x - 4 ∙ 3 x - 45 = 0 egyenletet. Megoldás. A 3 x \u003d a helyettesítésével ez az egyenlet a 2 - 4a - 45 \u003d 0 másodfokú egyenletté redukálódik. Ezt az egyenletet megoldva megtaláljuk a gyökereit: a 1 \u003d 9 és 2 \u003d -5, ahonnan 3 x \u003d 9, 3 x \u003d -5. A 3 x \u003d 9 egyenletnek 2 gyöke van, a 3 x \u003d -5 egyenletnek pedig nincs gyökere, mivel az exponenciális függvény nem vehet fel negatív értékeket. Válasz. x = 2. Az exponenciális egyenlőtlenségek megoldása gyakran az a x > a b vagy a x egyenlőtlenségek megoldásához vezet.< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции. Nézzünk néhány feladatot. Oldja meg a 3 x egyenlőtlenséget!< 81. Megoldás. Az egyenlőtlenséget 3 x alakba írjuk< 3 4 . Так как 3 >1, akkor az y \u003d 3 x függvény növekszik. Ezért x-re< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 . Így x-re< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство Válasz. x< 4.
Oldja meg a 16 x +4 x - 2 > 0 egyenlőtlenséget. Megoldás. Jelöljük 4 x = t, ekkor kapjuk a t2 + t - 2 > 0 másodfokú egyenlőtlenséget. Ez az egyenlőtlenség t< -2 и при t > 1. Mivel t = 4 x, két 4 x egyenlőtlenséget kapunk< -2, 4 х > 1. Az első egyenlőtlenségnek nincs megoldása, mivel 4 x > 0 minden x ∈ R esetén. A második egyenlőtlenséget 4 x > 4 0 alakban írjuk, ahonnan x > 0. Válasz. x > 0. Grafikusan oldja meg az (1/3) x = x - 2/3 egyenletet. Megoldás. 1) Ábrázoljuk az y \u003d (1/3) x és y \u003d x - 2/3 függvények grafikonjait. 2) Ábránk alapján megállapíthatjuk, hogy a vizsgált függvények grafikonjai egy pontban metszik egymást az abszcissza x ≈ 1 értékkel. x \u003d 1 - ennek az egyenletnek a gyökere: (1/3) 1 = 1/3 és 1 - 2/3 = 1/3. Más szóval, megtaláltuk az egyenlet egyik gyökerét. 3) Keress más gyökereket, vagy bizonyítsd be, hogy nincsenek. Az (1/3) x függvény csökken, az y \u003d x - 2/3 függvény pedig növekszik. Ezért x > 1 esetén az első függvény értéke kisebb, mint 1/3, a második pedig nagyobb, mint 1/3; x-nél< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 és x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1. Válasz. x = 1. Megjegyzendő, hogy különösen ennek a feladatnak a megoldásából következik, hogy az (1/3) x > x – 2/3 egyenlőtlenség teljesül x-re.< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1. oldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges. Kiegészítő anyagok Oktatási segédanyagok és szimulátorok az "Integral" online áruházban a 11. osztály számára Meghatározás. A következő alakú egyenletek: $a^(f(x))=a^(g(x))$, ahol $a>0$, $a≠1$ exponenciális egyenleteknek nevezzük. Emlékezve az „Exponenciális függvény” témakörben tanulmányozott tételekre, bevezethetünk egy új tételt: B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$. C) Az eredeti egyenlet ekvivalens a következő egyenlettel: $x^2-6x=-3x+18$. Példa. Példa. Készítsünk feljegyzést az exponenciális egyenletek megoldásának módjairól: Példa. Tétel. Ha $a>1$, akkor az $a^(f(x))>a^(g(x))$ exponenciális egyenlőtlenség ekvivalens a $f(x)>g(x)$ egyenlőtlenséggel. Példa. B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) Egyenletünkben a fokkal kisebb bázis mint 1, akkor egy egyenlőtlenség ekvivalensre cserélésekor meg kell változtatni az előjelet. C) Egyenlőtlenségünk egyenlő az egyenlőtlenséggel:
Akkor ez nyilvánvaló Val vel megoldása lesz az a x = a c egyenletre.
Ezt az egyenletet bármelyik ismert módszerrel megoldjuk. A t1 = 1 t2 = 4 gyököket kapjukExponenciális egyenlőtlenségek megoldása
3 x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.
Óra és előadás a következő témában: "Exponenciális egyenletek és exponenciális egyenlőtlenségek"
Kedves felhasználók, ne felejtsék el megírni észrevételeiket, visszajelzéseiket, javaslataikat! Az összes anyagot egy vírusirtó program ellenőrzi.
Interaktív kézikönyv 9-11. osztályos „Trigonometria”
Interaktív kézikönyv 10-11. évfolyamos "Logaritmusok"Exponenciális egyenletek meghatározása
Srácok, tanulmányoztuk az exponenciális függvényeket, megtanultuk tulajdonságaikat és grafikonokat építettünk, példákat elemeztünk olyan egyenletekre, amelyekben exponenciális függvények találkoztak. Ma exponenciális egyenleteket és egyenlőtlenségeket fogunk tanulmányozni.
Tétel. Az $a^(f(x))=a^(g(x))$ exponenciális egyenlet, ahol $a>0$, $a≠1$ ekvivalens a $f(x)=g(x) egyenlettel $.Példák exponenciális egyenletekre
Példa.
Egyenletek megoldása:
a) $3^(3x-3)=27$.
b) $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=\sqrt(\frac(2)(3))$.
c) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$.
Megoldás.
a) Jól tudjuk, hogy $27=3^3$.
Írjuk át az egyenletünket: $3^(3x-3)=3^3$.
A fenti tétel segítségével azt kapjuk, hogy az egyenletünk a $3x-3=3$ egyenletre redukálódik, ezt az egyenletet megoldva $x=2$ egyenletet kapunk.
Válasz: $x=2$.
Ekkor az egyenletünk átírható: $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5 ) )=((\frac(2)(3)))^(0,2)$.
$2x+0,2=$0,2.
$x=0$.
Válasz: $x=0$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ és $x_2=-3$.
Válasz: $x_1=6$ és $x_2=-3$.
Oldja meg az egyenletet: $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=16*((0.0625))^(x+1)$.
Megoldás:
Sorban végrehajtunk egy műveletsort, és az egyenletünk mindkét részét ugyanarra az alapra hozzuk.
Végezzünk el egy sor műveletet a bal oldalon:
1) $((0,25))^(x-0,5)=((\frac(1)(4)))^(x-0,5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0,5+0,5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
Menjünk tovább a jobb oldalra:
4) $16=4^2$.
5) $((0,0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) 16 USD*((0,0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
Az eredeti egyenlet ekvivalens a következő egyenlettel:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
Válasz: $x=0$.
Oldja meg az egyenletet: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
Megoldás:
Írjuk át az egyenletünket: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
Változtassuk meg a változókat, legyen $a=3^x$.
Az új változókban az egyenlet a következő formában lesz: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ és $a_2=3$.
Végezzük el a változók fordított változtatását: $3^x=-12$ és $3^x=3$.
Az utolsó órán megtanultuk, hogy az exponenciális kifejezések csak pozitív értékeket vehetnek fel, emlékezzen a grafikonra. Ez azt jelenti, hogy az első egyenletnek nincs megoldása, a második egyenletnek egy megoldása van: $x=1$.
Válasz: $x=1$.
1. Grafikus módszer. Az egyenlet mindkét részét függvényként ábrázoljuk, és elkészítjük grafikonjaikat, megkeressük a gráfok metszéspontjait. (Az utolsó leckében ezt a módszert alkalmaztuk).
2. A mutatók egyenlőségének elve. Az elv azon alapul, hogy két azonos bázisú kifejezés akkor és csak akkor egyenlő, ha ezen bázisok fokai (kitevői) egyenlőek. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. A változók módszerének megváltoztatása. Ezt a módszert akkor érdemes alkalmazni, ha az egyenlet változóváltáskor leegyszerűsíti a formáját és sokkal könnyebben megoldható.
Oldja meg az egyenletrendszert: $\begin (esetek) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \end(esetek)$.
Megoldás.
Tekintsük a rendszer mindkét egyenletét külön-külön:
27 $^y*3^x=1$.
$3^(3y)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
Tekintsük a második egyenletet:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
Használjuk a változók váltás módszerét, legyen $y=2^(x+y)$.
Ekkor az egyenlet a következő alakot veszi fel:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ és $y_2=-3$.
Térjünk át a kezdeti változókra, az első egyenletből $x+y=2$ kapjuk. A második egyenletnek nincs megoldása. Ekkor a kezdeti egyenletrendszerünk ekvivalens a következő rendszerrel: $\begin (esetek) x+3y=0, \\ x+y=2. \end(esetek)$.
Vonjuk ki a második egyenletet az első egyenletből, így kapjuk: $\begin (esetek) 2y=-2, \\ x+y=2. \end(esetek)$.
$\begin (esetek) y=-1, \\ x=3. \end(esetek)$.
Válasz: $(3;-1)$.exponenciális egyenlőtlenségek
Térjünk át az egyenlőtlenségekre. Az egyenlőtlenségek megoldásánál figyelni kell a végzettség alapjára. Az egyenlőtlenségek megoldása során két lehetséges forgatókönyv lehetséges az események alakulására.
Ha 0 dollár
Egyenlőtlenségek megoldása:
a) $3^(2x+3)>81$.
b) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) c) $(0,3)^(x^2+6x)≤(0,3)^(4x+15)$ .
Megoldás.
a) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
Egyenlőtlenségünk egyenlő az egyenlőtlenséggel:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0,5 $.
$2x-4>2$.
$x>3 $.
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
Használjuk az intervallum megoldási módszert:
Válasz: $(-∞;-5]U)
.jpg "Mikor van az anyák napja Fehéroroszországban?")