Szint III

3.1. A hiperbola érinti az 5. sorokat x – 6y – 16 = 0, 13x – 10y– – 48 = 0. Írja fel a hiperbola egyenletét, feltéve, hogy a tengelyei egybeesnek a koordinátatengelyekkel!

3.2. Írjon egyenleteket a hiperbola érintőire!

1) áthalad egy ponton A(4, 1), B(5, 2) és C(5, 6);

2) párhuzamos a 10. egyenessel x – 3y + 9 = 0;

3) merőleges a 10. egyenesre x – 3y + 9 = 0.

Parabola a sík azon pontjainak geometriai helye, amelyek koordinátái kielégítik az egyenletet

Parabola paraméterek:

Pont F(p/2, 0) hívják fókusz parabolák, nagyságrend p – paraméter , pont RÓL RŐL(0, 0) – tetejére . Ebben az esetben az egyenes NAK,-NEK, amelyre a parabola szimmetrikus, meghatározza ennek a görbének a tengelyét.

Nagyságrend Ahol M(x, y) – parabola tetszőleges pontja, ún fókuszsugár , egyenes D: x = –p/2 – igazgatónő (nem metszi a parabola belső tartományát). Nagyságrend a parabola excentricitásának nevezzük.

A parabola fő jellemző tulajdonsága: a parabola minden pontja egyenlő távolságra van az irányítótól és a fókusztól (24. ábra).

A kanonikus parabola egyenletnek más formái is léteznek, amelyek a koordinátarendszerben az elágazások más irányait határozzák meg (25. ábra):

Mert parabola parametrikus meghatározása paraméterként t a parabolapont ordinátaértéke felvehető:

Ahol t egy tetszőleges valós szám.

1. példa Határozza meg a parabola paramétereit és alakját a kanonikus egyenlet segítségével:

Megoldás. 1. Egyenlet y 2 = –8x pontban csúcsponttal rendelkező parabolát határoz meg RÓL RŐL Ó. Ágai balra irányulnak. Összehasonlítva ezt az egyenletet az egyenlettel y 2 = –2px, azt találjuk: 2 p = 8, p = 4, p/2 = 2. Ezért a fókusz a ponton van F(–2; 0), direktrix egyenlet D: x= 2 (26. ábra).

2. Egyenlet x 2 = –4y pontban csúcsponttal rendelkező parabolát határoz meg O(0; 0), szimmetrikus a tengelyre Oy. Ágai lefelé irányulnak. Összehasonlítva ezt az egyenletet az egyenlettel x 2 = –2py, azt találjuk: 2 p = 4, p = 2, p/2 = 1. Ezért a fókusz a ponton van F(0; –1), direktrix egyenlet D: y= 1 (27. ábra).

2. példa Határozza meg a görbe paramétereit és típusát x 2 + 8x – 16y– 32 = 0. Készítsen rajzot.

Megoldás. Alakítsuk át az egyenlet bal oldalát a teljes négyzetkivonat módszerével:

x 2 + 8x– 16y – 32 =0;

(x + 4) 2 – 16 – 16y – 32 =0;

(x + 4) 2 – 16y – 48 =0;

(x + 4) 2 – 16(y + 3).

Ennek eredményeként azt kapjuk

(x + 4) 2 = 16(y + 3).

Ez egy parabola kanonikus egyenlete, amelynek csúcsa a (–4, –3) pontban van, a paraméter p= 8, felfelé mutató ágak (), tengely x= –4. A fókusz a ponton van F(–4; –3 + p/2), azaz F(–4; 1) Igazgatónő D egyenlettel adott y = –3 – p/2 ill y= –7 (28. ábra).

4. példaÍrjon fel egyenletet egy parabolára, amelynek csúcsa a pontban van! V(3; –2) és fókuszáljon a pontra F(1; –2).

Megoldás. Egy adott parabola csúcsa és fókusza a tengellyel párhuzamos egyenesen fekszik Ökör(ugyanolyan ordináták), a parabola ágai balra irányulnak (a fókusz abszcisszája kisebb, mint a csúcs abszcisszán), a fókusz és a csúcs távolsága p/2 = 3 – 1 = 2, p= 4. Tehát a szükséges egyenlet

(y+ 2) 2 = –2 4( x– 3) vagy ( y + 2) 2 = = –8(x – 3).

Önálló megoldási feladatok

én szintet

1.1. Határozza meg a parabola paramétereit, és állítsa össze:

1) y 2 = 2x; 2) y 2 = –3x;

3) x 2 = 6y; 4) x 2 = –y.

1.2. Írja fel egy parabola egyenletét az origó csúcsával, ha tudja, hogy:

1) a parabola a bal félsíkban, a tengelyhez képest szimmetrikusan helyezkedik el ÖkörÉs p = 4;

2) a parabola a tengelyhez képest szimmetrikusan helyezkedik el Oyés áthalad a ponton M(4; –2).

3) a direktrixet a 3. egyenlet adja meg y + 4 = 0.

1.3. Írjon fel egyenletet egy görbére, amelynek minden pontja egyenlő távolságra van a (2; 0) ponttól és az egyenestől x = –2.

II. szint

2.1. Határozza meg a görbe típusát és paramétereit!

Javaslom, hogy a többi olvasó jelentősen bővítse a parabolákkal és hiperbolákkal kapcsolatos iskolai ismereteit. Hiperbola és parabola – egyszerűek? ...alig várom =)

A hiperbola és kanonikus egyenlete

Az anyag bemutatásának általános felépítése az előző bekezdéshez fog hasonlítani. Kezdjük a hiperbola általános fogalmával és a megalkotásának feladatával.

A hiperbola kanonikus egyenlete alakja , ahol pozitív valós számok. Kérjük, vegye figyelembe, hogy ellentétben ellipszis, a feltétel itt nincs beállítva, vagyis az „a” értéke kisebb lehet, mint a „be” érték.

Meg kell mondanom, egészen váratlanul... az „iskolai” hiperbola egyenlete még csak nem is hasonlít a kanonikus jelölésre. De erre a rejtélyre még várni kell, de egyelőre kapkodjuk a fejünket, és emlékezzünk arra, hogy milyen jellegzetességei vannak a kérdéses görbének? Terítsük szét képzeletünk képernyőjén függvény grafikonja ….

A hiperbolának két szimmetrikus ága van.

Nem rossz előrelépés! Bármely hiperbola rendelkezik ezekkel a tulajdonságokkal, és most őszinte csodálattal nézzük ennek a vonalnak a nyakkivágását:

4. példa

Szerkessze meg az egyenlettel megadott hiperbolát!

Megoldás: első lépésben ezt az egyenletet kanonikus formába hozzuk. Kérjük, ne feledje a szabványos eljárást. A jobb oldalon egy „egyet” kell kapnia, ezért az eredeti egyenlet mindkét oldalát elosztjuk 20-zal:

Itt mindkét frakciót csökkentheti, de optimálisabb mindegyiket elvégezni háromemeletes:

És csak ezután hajtsa végre a csökkentést:

Válassza ki a négyzeteket a nevezőkben:

Miért jobb így végrehajtani az átalakításokat? Hiszen a bal oldali frakciók azonnal csökkenthetők és megszerezhetők. A helyzet az, hogy a vizsgált példában egy kis szerencsénk volt: a 20-as szám osztható 4-gyel és 5-tel is. Általános esetben egy ilyen szám nem működik. Tekintsük például az egyenletet. Itt az oszthatósággal minden szomorúbb és anélkül háromemeletes törtek már nem lehetséges:

Használjuk tehát munkánk gyümölcsét – a kanonikus egyenletet:

Hogyan készítsünk hiperbolát?

Kétféle megközelítés létezik a hiperbola felépítésére: geometriai és algebrai.
Gyakorlati szempontból iránytűvel rajzolni... akár utópisztikusnak is mondanám, így sokkal kifizetődőbb ismét egyszerű számításokkal segíteni.

Célszerű betartani a következő algoritmust, először a kész rajzot, majd a megjegyzéseket:

A gyakorlatban gyakran előfordul a hiperbola tetszőleges szöggel történő elforgatásának és párhuzamos transzlációjának kombinációja. Ezt a helyzetet az órán megbeszélik A 2. rendű egyenes egyenlet visszavezetése kanonikus formára.

Parabola és kanonikus egyenlete

Kész van! Ő az egyetlen. Készen áll arra, hogy felfedjen sok titkot. A parabola kanonikus egyenlete alakja , ahol egy valós szám. Könnyen észrevehető, hogy standard helyzetében a parabola „oldalt fekszik”, csúcsa pedig az origóban van. Ebben az esetben a függvény ennek a sornak a felső ágát adja meg, a függvény pedig az alsó ágat. Nyilvánvaló, hogy a parabola szimmetrikus a tengelyre. Tulajdonképpen miért is zavarna:

6. példa

Szerkessz egy parabolát

Megoldás: a csúcs ismert, keressünk további pontokat. Az egyenlet meghatározza a parabola felső ívét, az egyenlet az alsó ívet.

A számítások rögzítésének lerövidítése érdekében a számításokat „egy ecsettel” végezzük:

A kompakt rögzítésnél az eredményeket táblázatban lehetne összefoglalni.

Az elemi pontonkénti rajz elvégzése előtt fogalmazzunk meg egy szigorú

parabola definíciója:

A parabola a sík azon pontjainak halmaza, amelyek egyenlő távolságra vannak egy adott ponttól és egy adott egyenestől, amely nem megy át a ponton.

A lényeg az ún fókusz parabolák, egyenes - igazgatónő (egy "es"-vel írva) parabolák. A kanonikus egyenlet állandó "pe"-jét ún fókusz paraméter, ami egyenlő a fókusz és a direktix távolságával. Ebben az esetben . Ebben az esetben a fókusznak vannak koordinátái, és a direktrixet az egyenlet adja meg.
Példánkban:

A parabola meghatározása még egyszerűbb, mint az ellipszis és a hiperbola meghatározása. A parabola bármely pontja esetén a szakasz hossza (a fókusz és a pont távolsága) egyenlő a merőleges hosszával (a pont és az irányító távolsága):

Gratulálunk! Sokan közületek igazi felfedezést tettek ma. Kiderült, hogy a hiperbola és a parabola egyáltalán nem „hétköznapi” függvények grafikonjai, hanem kifejezett geometriai eredetűek.

Nyilvánvaló, hogy a fókuszparaméter növekedésével a grafikon ágai fel-le „emelkednek”, végtelenül közelítve a tengelyhez. Ahogy a „pe” érték csökken, elkezdenek összenyomódni és nyúlni a tengely mentén

Bármely parabola excentricitása egyenlő az egységgel:

Parabola forgatása és párhuzamos fordítása

A parabola az egyik leggyakoribb vonal a matematikában, és nagyon gyakran kell megépíteni. Ezért kérjük, fordítson különös figyelmet a lecke utolsó bekezdésére, ahol a görbe elhelyezésének tipikus lehetőségeit tárgyalom.

! jegyzet : a korábbi görbékhez hasonlóan helyesebb a koordinátatengelyek elforgatásáról és párhuzamos fordításáról beszélni, de a szerző a bemutatás egyszerűsített változatára szorítkozik, hogy az olvasó alapvetően megértse ezeket a transzformációkat.

A hol alak függvényét hívják másodfokú függvény.

Másodfokú függvény grafikonja – parabola.

Nézzük az eseteket:

I CASE, KLASSZIKUS PARABOLA

Azaz ,

Az összeállításhoz töltse ki a táblázatot az x értékek behelyettesítésével a képletbe:

Jelölje be a pontokat (0;0); (1;1); (-1;1) stb. a koordinátasíkon (minél kisebb lépésben vesszük az x értékeket (ebben az esetben az 1. lépés), és minél több x értéket veszünk, annál simább lesz a görbe), egy parabolát kapunk:

Könnyen belátható, hogy ha a , , esetet vesszük, akkor egy parabolát kapunk, amely szimmetrikus a tengelyre (oh). Ezt könnyű ellenőrizni egy hasonló táblázat kitöltésével:

II. ESET, „A” KÜLÖNBÖZIK AZ EGYSÉGTŐL

Mi lesz, ha , , ? Hogyan fog megváltozni a parabola viselkedése? With title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

Az első képen (lásd fent) jól látható, hogy a parabola (1;1), (-1;1) pontjai a táblázatból (1;4), (1;-4) pontokká alakultak, azaz azonos értékek mellett minden pont ordinátáját megszorozzuk 4-gyel. Ez az eredeti táblázat összes kulcspontjával megtörténik. Hasonlóan érvelünk a 2. és 3. kép esetében is.

És amikor a parabola „szélesebbé válik”, mint a parabola:

Összefoglaljuk:

1)Az együttható előjele határozza meg az ágak irányát. With title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Abszolút érték együttható (modulus) felelős a parabola „tágulásáért” és „összenyomódásáért”. Minél nagyobb , annál keskenyebb a parabola, minél kisebb |a|, annál szélesebb a parabola.

III. ESET, „C” MEGJELENÉS

Most pedig vezessük be a játékba (vagyis vegyük figyelembe azt az esetet, amikor), figyelembe vesszük a forma paraboláit. Nem nehéz kitalálni (mindig hivatkozhat a táblázatra), hogy a parabola az előjeltől függően felfelé vagy lefelé tolódik el a tengely mentén:

IV. ESET, „b” MEGJELENÉS

Mikor fog a parabola „elszakadni” a tengelytől, és végül „járni” a teljes koordinátasíkon? Mikor lesz többé egyenlő?

Itt egy parabola megalkotásához szükségünk van képlet a csúcs kiszámításához: , .

Tehát ezen a ponton (mint az új koordinátarendszer (0;0) pontjában) parabolát építünk, amit már meg is tudunk tenni. Ha az esettel foglalkozunk, akkor a csúcsból egy egységszegmenst teszünk jobbra, egyet felfelé, - a kapott pont a miénk (hasonlóan egy lépés balra, egy lépés a mi pontunk); ha például foglalkozunk, akkor a csúcsból egy egységszegmenst teszünk jobbra, kettőt - felfelé stb.

Például egy parabola csúcsa:

Most a legfontosabb, hogy megértsük, hogy ebben a csúcsban parabolát fogunk építeni a parabolaminta szerint, mert esetünkben.

Parabola felépítésénél miután megtalálta a csúcs koordinátáit nagyonÉrdemes a következő szempontokat figyelembe venni:

1) parabola biztosan átmegy a ponton . Valóban, ha x=0-t behelyettesítünk a képletbe, azt kapjuk, hogy . Azaz a parabola (oy) tengellyel való metszéspontjának ordinátája . A fenti példánkban a parabola pontban metszi az ordinátát, mivel .

2) szimmetriatengely parabolák egy egyenes, így a parabola minden pontja szimmetrikus lesz rá. Példánkban azonnal vesszük a (0; -2) pontot, és a parabola szimmetriatengelyéhez képest szimmetrikusan építjük fel, megkapjuk azt a pontot (4; -2), amelyen a parabola áthalad.

3) A -val egyenlítve megtudjuk a parabola és az (ó) tengellyel való metszéspontokat. Ehhez megoldjuk az egyenletet. A diszkriminánstól függően egyet (, ), kettőt ( title="Rendered by QuickLaTeX.com) kapunk" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . Az előző példában a diszkrimináns gyökünk nem egész szám szerkesztéskor, nincs sok értelme, hogy megtaláljuk a gyököket, de jól látjuk, hogy két metszéspontunk lesz a tengellyel (oh) (hiszen title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Szóval dolgozzuk ki

Parabola felépítésének algoritmusa, ha az alakban van megadva

1) határozza meg az ágak irányát (a>0 – felfelé, a<0 – вниз)

2) a parabola csúcsának koordinátáit a , képlet segítségével találjuk meg.

3) megkeressük a parabola metszéspontját a tengellyel (oy) a szabad tag segítségével, alkossunk erre a pontra szimmetrikus pontot a parabola szimmetriatengelyéhez képest (meg kell jegyezni, hogy előfordul, hogy nem kifizetődő a jelölés ezt a pontot például mert nagy az érték... ezt a pontot kihagyjuk...)

4) A megtalált pontban - a parabola csúcsában (mint az új koordinátarendszer (0;0) pontjában) parabolát szerkesztünk. If title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Az egyenlet megoldásával megtaláljuk a parabola metszéspontjait az (oy) tengellyel (ha még nem „felszínre kerültek”)

1. példa

2. példa

1. megjegyzés. Ha a parabolát kezdetben a formában adjuk meg nekünk, ahol néhány szám van (például ), akkor még könnyebb lesz megszerkeszteni, mert már megkaptuk a csúcs koordinátáit. Miért?

Vegyünk egy másodfokú trinomit, és izoláljuk benne a teljes négyzetet: Nézze, megkaptuk, hogy , . Te és én korábban egy parabola csúcsának neveztük, vagyis most,.

Például, . Megjelöljük a síkon a parabola csúcsát, megértjük, hogy az ágak lefelé irányulnak, a parabola kitágult (-hez képest). Vagyis végrehajtjuk az 1. pontokat; 3; 4; 5. ábra a parabola felépítésének algoritmusából (lásd fent).

Jegyzet 2. Ha a parabolát ehhez hasonló formában adjuk meg (vagyis két lineáris tényező szorzataként jelenítjük meg), akkor azonnal látjuk a parabola és a tengellyel (ökör) való metszéspontokat. Ebben az esetben – (0;0) és (4;0). A többinél az algoritmus szerint járunk el, kinyitva a zárójeleket.

6. Tétel egy determináns determinánsok összegére való bontásáról és a belőle származó következményekről.

7. A determináns sor (oszlop) elemeire való kiterjesztésének tétele és következményei.

8. Műveletek mátrixokkal és tulajdonságaik. Bizonyítsd be az egyiket.

9. Mátrix transzpozíciós művelet és tulajdonságai.

10. Inverz mátrix definíciója. Bizonyítsuk be, hogy minden invertálható mátrixnak csak egy inverziója van.

13. Blokkmátrixok. Blokkmátrixok összeadása és szorzása. Tétel egy kvázi-háromszög mátrix determinánsáról.

14. Tétel a mátrixok szorzatának determinánsáról.

15. Tétel inverz mátrix létezéséről.

16.A mátrix rangjának meghatározása. A tétel a moll alapon és ennek következménye.

17. Egy mátrix sorai és oszlopai lineáris függésének fogalma. Mátrix rangtétel.

18. Mátrix rangszámítási módszerei: a kiskorúak határolásának módszere, az elemi transzformációk módszere.

19. Csak sorok (csak oszlopok) elemi transzformációinak alkalmazása az inverz mátrix megtalálásához.

20. Lineáris egyenletrendszerek. Az összeegyeztethetőség és a bizonyosság kritériuma.

21. Lineáris egyenlet együttes megoldása.

22. Homogén lineáris egyenletrendszerek. Tétel egy alapvető megoldási rendszer létezéséről.

23. Lineáris műveletek vektorokon és tulajdonságaik. Bizonyítsd be az egyiket.

24. Két vektor különbségének meghatározása. Bizonyítsuk be, hogy bármely vektor és a különbség létezik és egyedi.

25. A bázis meghatározása, vektorkoordináták a bázisban. Tétel egy vektor bázishoz viszonyított felbontásáról.

26. Vektorok lineáris függése. A lineáris függőség fogalmának sajátosságai bizonyítják az egyiket.

28. Derékszögű koordinátarendszerek térben, síkon és egyenesen. Tétel a vektorok lineáris kombinációjáról és ennek következményeiről.

29. Az egyik DCS pontjának koordinátáit kifejező képletek egy másik DCS ugyanazon pontjának koordinátáin keresztül.

30. Vektorok pontszorzata. Definíció és alapvető tulajdonságok.

31. Vektorok keresztszorzata. Definíció és alapvető tulajdonságok.

32. Vektorok vegyes szorzata. Definíció és alapvető tulajdonságok.

33. Vektorok kettős vektorszorzata. Definíció és számítási képlet (bizonyíték nélkül).

34. Algebrai egyenesek és felületek. Tételek a sorrend invarianciájáról (változatlanságáról).

35. Sík és egyenes általános egyenletei.

36. Egy egyenes és egy sík paraméteres egyenlete.

37. Átmenet egy sík és egy síkon lévő egyenes általános egyenleteiről a paraméteres egyenleteikre. Az a, b, c (a, b) együtthatók geometriai jelentése egy sík általános egyenletében (egyenes egy síkon).

38. Paraméter eliminálása síkon (térben) lévő parametrikus egyenletekből, egyenes kanonikus egyenletei.

39. Egyenes és sík vektoregyenletei.

40. Egyenes térbeli általános egyenletei, redukciója kanonikus formára.

41. Egy pont és egy sík távolsága. Távolság egy ponttól egy vonalig. Egyéb problémák a vonalakkal és síkokkal kapcsolatban.

42. Ellipszis definíciója. Ellipszis kanonikus egyenlete. Az ellipszis paraméteres egyenletei. Ellipszis excentricitás.

44. A parabola definíciója. A kanonikus parabola egyenlet levezetése.

45. Másodrendű görbék és osztályozásuk. A főtétel a kvp-ről.

45. Másodrendű felületek és osztályozásuk. A fő tétel a pvp-ről. Forgásfelületek.

47. A lineáris tér meghatározása. Példák.

49. Az euklideszi tér definíciója. Vektor hossza. Szög vektorok között. Cauchy-Bunyakovsky egyenlőtlenség. Példa.

50. Az euklideszi tér definíciója. Pitagorasz tétel. Példa a háromszög egyenlőtlenségre.

44. A parabola definíciója. A kanonikus parabola egyenlet levezetése.

Meghatározás: A parabola egy síkon azon pontok helye, amelyeknél a sík valamely rögzített F pontjától való távolság egyenlő valamely rögzített egyenes távolságával. Az F pontot a parabola fókuszának, a rögzített egyenest pedig a parabola irányítójának nevezzük.

Az egyenlet levezetéséhez építsük fel:

VAL VEL definíció szerint:

Mivel 2 >=0, a parabola a jobb oldali félsíkban fekszik. Ahogy x 0-ról a végtelenre nő
. A parabola szimmetrikus az ökörre. A parabola és a szimmetriatengely metszéspontját a parabola csúcsának nevezzük.

45. Másodrendű görbék és osztályozásuk. A főtétel a kvp-ről.

A KVP-nek 8 típusa van:

1.ellipszisek

2.hiperbolák

3.parabolák

Az 1, 2, 3 görbék kanonikus szakaszok. Ha a kúpot a kúp tengelyével párhuzamos síkkal metszük, hiperbolát kapunk. Ha a sík párhuzamos a generatrixszal, akkor ez parabola. Nem minden sík halad át a kúp csúcsán. Ha bármely más síkról van szó, akkor az ellipszis.

4. y 2 +a 2 =0, a0 párhuzamos egyenes pár

5. y 2 -k 2 x 2 =0 metsző egyenes pár

6.egy egyenes y 2 =0

7.egy pont x 2 + y 2 =0

8. üres halmaz - üres görbe (pontok nélküli görbe) x 2 + y 2 +1=0 vagy x 2 + 1=0

Tétel (főtétel a KVP-ről): A forma egyenlete

a 11 x 2 + 2 a 12 x y + a 22 y 2 + 2 a 1 x + 2a 2 y+a 0 = 0

csak e nyolc típus egyikének görbéjét ábrázolhatja.

A bizonyítási ötlet Olyan koordinátarendszerre kell áttérni, amelyben a KVP egyenlet a legegyszerűbb formát ölti, amikor nyilvánvalóvá válik, hogy milyen típusú görbét ábrázol. A tételt úgy bizonyítjuk, hogy a koordinátarendszert olyan szögben elforgatjuk, amelynél a koordináták szorzatával képzett tag eltűnik. És a koordinátarendszer párhuzamos átvitelének segítségével, amelyben vagy az x változós tag, vagy az y változós tag eltűnik.

Áttérés új koordinátarendszerre: 1. Párhuzamos átvitel

2. Forgatás

45. Másodrendű felületek és osztályozásuk. A fő tétel a pvp-ről. Forgásfelületek.

P VP - olyan pontok halmaza, amelyek téglalap alakú koordinátái kielégítik a 2. fokú egyenletet: (1)

Feltételezzük, hogy a négyzetek vagy szorzatok legalább egy együtthatója különbözik 0-tól. Az egyenlet invariáns a koordinátarendszer megválasztása szempontjából.

Tétel Bármely sík metszi a PVP-t a CVP mentén, kivéve egy speciális esetet, amikor a teljes sík a metszetben van (A PVP lehet sík vagy síkpár).

15 féle PVP létezik. Soroljuk fel őket, jelezve azokat az egyenleteket, amelyekkel a megfelelő koordinátarendszerekben megadjuk őket. Ezeket az egyenleteket kanonikusnak (a legegyszerűbbnek) nevezzük. A párhuzamos metszet módszerével készítsünk kanonikus egyenleteknek megfelelő geometriai képeket: Metszük a felületet koordinátasíkokkal és azokkal párhuzamos síkokkal. Az eredmény metszetek és ívek, amelyek képet adnak a felület alakjáról.

1. Ellipszoid.

Ha a=b=c akkor egy gömböt kapunk.

2. Hiperboloidok.

1). Egylapos hiperboloid:

Egylapos hiperboloid metszete koordinátasíkok szerint: XOZ:
- hiperbola.

YOZ:
- hiperbola.

XOY repülőgép:
- ellipszis.

2). Kétlapos hiperboloid.

Az origó egy szimmetriapont.

A koordinátasíkok szimmetriasíkok.

Repülőgép z = h ellipszis mentén metszi a hiperboloidot
, azaz repülőgép z = h kezdi metszeni a hiperboloidot | h |  c. Hiperboloid metszete síkok szerint x = 0 És y = 0 - ezek hiperbolák.

A (2), (3), (4) egyenletekben szereplő a, b, c számokat ellipszoidok és hiperboloidok féltengelyeinek nevezzük.

3. Paraboloidok.

1). Elliptikus paraboloid:

Sík szakasz z = h Van
, Ahol
. Az egyenletből jól látható, hogy z  0 végtelen tál.

Síkok metszéspontja y = hÉs x= h
- ez egy parabola és általában

2). Hiperbolikus paraboloid:

Nyilvánvalóan az XOZ és YOZ síkok szimmetriasíkok, a z tengely a paraboloid tengelye. Paraboloid metszéspontja síkkal z = h- hiperbolák:
,
. Repülőgép z=0 két tengely mentén metszik egy hiperbolikus paraboloidot
amelyek aszimptoták.

4. Másodrendű kúp és hengerek.

1). A kúp egy felület
. A kúpot a 0 (0, 0, 0) origón áthaladó egyenesek alkotják. A kúp keresztmetszete egy féltengelyes ellipszis
.

2). Másodrendű hengerek.

Ez egy elliptikus henger
.

Bármilyen egyenest veszünk is, amely metszi az ellipsziseket és párhuzamos az Óz tengellyel, az megfelel ennek az egyenletnek. Ezt az egyenest az ellipszis körül mozgatva felületet kapunk.

G hiperbolikus henger:

Az XOU síkon ez egy hiperbola. A hiperbolát metsző egyenest Óz-szal párhuzamosan mozgatjuk a hiperbola mentén.

Parabola henger:

N az XOU sík pedig egy parabola.

A hengeres felületeket egy bizonyos egyenes (guide) mentén önmagával párhuzamosan haladó egyenes (generatív) alkotja.

10. Metsző síkpár

11.Párhuzamos síkpár

12.
- egyenes

13. Egyenes vonal - egy pontra épített „henger”.

14.Egy pont

15.Üres készlet

A PVP fő tétele: Mindegyik PVP a fent tárgyalt 15 típus valamelyikéhez tartozik. Nincs más PVP.

Forgásfelületek. Legyen adott a PDSC Oxyz és az Oyz síkban az F(y,z)=0 (1) egyenlettel meghatározott e egyenes. Készítsünk egyenletet az egyenes Óz tengely körüli elforgatásával kapott felületre. Vegyünk egy M(y,z) pontot az e egyenesen. Amikor az Oyz sík Óz körül forog, az M pont egy kört ír le. Legyen N(X,Y,Z) ennek a körnek tetszőleges pontja. Nyilvánvaló, hogy z=Z.

.

Ha z és y talált értékeit behelyettesítjük az (1) egyenletbe, megkapjuk a helyes egyenlőséget:
azok. az N pont koordinátái kielégítik az egyenletet
. Így a forgásfelület bármely pontja kielégíti a (2) egyenletet. Nem nehéz bebizonyítani, hogy ha egy N(x 1 ,y 1 ,z 1) pont kielégíti a (2) egyenletet, akkor a vizsgált felülethez tartozik. Most azt mondhatjuk, hogy a (2) egyenlet a forgásfelület kívánt egyenlete.

"

A parabola egy adott F ponttól egyenlő távolságra lévő pontok helye a síkban

és egy adott ponton át nem haladó dd egyenes. Ez a geometriai meghatározás kifejezi parabola rendezői tulajdonsága.

A parabolák rendezői tulajdonsága

Az F pontot a parabola fókuszának nevezzük, a d egyenes a parabola irányvonala, a fókuszból az irányítópontra süllyesztett merőleges O felezőpontja a parabola csúcsa, a p távolság a fókusztól az irányítópontig a parabola paramétere, és a p2 távolság a parabola csúcsától a fókuszig a gyújtótávolság. A direktrixre merőleges és a fókuszon áthaladó egyenest a parabola tengelyének (a parabola fókusztengelyének) nevezzük. A parabola tetszőleges M pontját a fókuszával összekötő FM szakaszt a pont fókuszsugarának nevezzük.

M. A parabola két pontját összekötő szakaszt a parabola húrjának nevezzük.

Egy parabola tetszőleges pontja esetén a fókusz távolságának és az irányítópont távolságának aránya eggyel egyenlő. Összehasonlítva az ellipszis, a hiperbola és a parabola rendező tulajdonságait, arra a következtetésre jutunk parabola excentricitás definíció szerint egyenlő eggyel

A parabola geometriai meghatározása, amely a rendezői tulajdonságát fejezi ki, ekvivalens az analitikai definíciójával - a parabola kanonikus egyenlete által meghatározott egyenessel:

Tulajdonságok

• Ennek van egy szimmetriatengelye, az ún parabola tengely. A tengely áthalad a fókuszon és a direktrixre merőleges csúcson.
• Optikai tulajdonság. A parabola tengelyével párhuzamos, a parabolában visszavert sugárnyaláb a fókuszában gyűlik össze. És fordítva, a fókuszban lévő forrásból származó fényt egy parabola tükrözi vissza a tengelyével párhuzamos sugárnyalábba.
• Ha a parabola fókusza az érintőhöz képest tükröződik, akkor a képe az irányítóponton fog feküdni.
• Egy parabola tetszőleges húrjának felezőpontját és a húr végén lévő érintők metszéspontját összekötő szakasz merőleges az irányvonalra, felezőpontja pedig a parabolán fekszik.
• A parabola egy vonal antipódja.
• Minden parabola hasonló. A fókusz és a direktix közötti távolság határozza meg a léptéket.

Egy valós változó függvénye: alapfogalmak, példák.

Definíció: Ha egy X numerikus halmaz minden x értéke az f szabály szerint megfelel az Y halmaz egyetlen számának, akkor azt mondják, hogy az y = f(x) függvény adott az X numerikus halmazon, az értékek x értékét az (X) függvény definíciós tartományában szereplő értékkészlet határozza meg.
Ebben az esetben x-et argumentumnak nevezzük, y-t pedig a függvény értéke. Az X halmazt a függvény definíciós tartományának, Y a függvény értékkészletének nevezzük.
Ezt a szabályt gyakran egy képlet adja meg; például y = 2x + 5. A függvény képlet segítségével történő megadásának ezt a módszerét analitikusnak nevezzük.
Egy függvény megadható grafikonnal is - Az y függvény grafikonja - f(x) a sík azon pontjainak halmaza, amelyek x koordinátái kielégítik az y = f(x) összefüggést.