Civilizációnk első történészei – az ókori görögök – Egyiptomot említik a geometria szülőhelyeként. Nehéz nem érteni velük egyet, tudván, milyen elképesztő precizitással állították fel a fáraók óriássírjait. Kölcsönös megállapodás a piramisok síkjai, arányai, a sarkpontokhoz való tájolás – ilyen tökéletesség elérése elképzelhetetlen lenne a geometria alapjainak ismerete nélkül.

Maga a „geometria” szó a „föld mérésének” is fordítható. Ráadásul a „föld” szó nem bolygórészként jelenik meg Naprendszer, hanem repülőként. A mezőgazdasági területek kijelölése valószínűleg a geometriai formák, típusaik és tulajdonságaik tudományának nagyon eredeti alapja.

A háromszög a planimetria legegyszerűbb térbeli alakja, amely csak három pontot - csúcsot - tartalmaz (nincs kevesebb). Az alapok alapja, talán ezért is látszik benne valami titokzatos és ősi. A mindent látó szem a háromszög belsejében az egyik legkorábbi ismert okkult jel, és elterjedési és időkeretének földrajzi elhelyezkedése egyszerűen lenyűgöző. Az ókori egyiptomi, sumér, azték és más civilizációktól kezdve az okkultizmus szerelmeseinek modernebb közösségeiig, amelyek szétszórtan élnek szerte a világon.

Mik azok a háromszögek?

Egy közönséges léptékű háromszög zárt geometriai alakzat, amely három különböző hosszúságú és három szögű szegmensből áll, amelyek közül egyik sem egyenes. Ezen kívül számos speciális típus létezik.

Egy hegyesszögű háromszög minden szöge 90 foknál kisebb. Más szóval, egy ilyen háromszög minden szöge hegyes.

Egy derékszögű háromszögnek, amely felett az iskolások mindig sírtak a tételek sokasága miatt, van egy 90 fokos szöge, vagy ahogy más néven egy egyenes.

A tompa háromszöget az különbözteti meg, hogy az egyik szöge tompaszögű, azaz mérete több mint 90 fok.

Egy egyenlő oldalú háromszögnek három egyenlő hosszú oldala van. Egy ilyen ábrán minden szög is egyenlő.

És végül, at egyenlő szárú háromszög tól től három oldala kettő egyenlő egymással.

Megkülönböztető jellegzetességek

Az egyenlő szárú háromszög tulajdonságai meghatározzák fő, fő különbségét is - a két oldal egyenlőségét. Ezeket az egyenlő oldalakat általában csípőnek (vagy gyakrabban oldalaknak) nevezik, a harmadik oldalt pedig „alapnak”.

A vizsgált ábrán a = b.

Az egyenlő szárú háromszög második kritériuma a szinusztételből következik. Mivel a és b oldalak egyenlőek, a szemközti szögeik szinuszai egyenlőek:

a/sin γ = b/sin α, honnan van: sin γ = sin α.

A szinuszok egyenlőségéből következik a szögek egyenlősége: γ = α.

Tehát az egyenlő szárú háromszög második jele az alappal szomszédos két szög egyenlősége.

Harmadik jel. A háromszögben olyan elemek vannak, mint a magasság, a felező és a medián.

Ha a feladat megoldása során kiderül, hogy a kérdéses háromszögben ezen elemek bármelyike ​​egybeesik: a magasság a felezővel; felező a mediánnal; medián magassággal - határozottan megállapíthatjuk, hogy a háromszög egyenlő szárú.

Egy ábra geometriai tulajdonságai

1. Egyenlőszárú háromszög tulajdonságai. Az ábra egyik megkülönböztető tulajdonsága az alap melletti szögek egyenlősége:

<ВАС = <ВСА.

2. Még egy tulajdonságról volt szó fent: egy egyenlő szárú háromszög mediánja, felezője és magassága egybeesik, ha a csúcsától az alapjáig épülnek.

3. Az alapon lévő csúcsokból húzott felezők egyenlősége:

Ha AE a BAC szög felezője, CD pedig a BCA szög felezője, akkor: AE = DC.

4. Az egyenlő szárú háromszög tulajdonságai azt is biztosítják, hogy a magasságok egyenlőek legyenek az alapban lévő csúcsokból.

Ha megszerkesztjük az ABC háromszög magasságait (ahol AB = BC) az A és C csúcsokból, akkor a kapott CD és AE szakaszok egyenlőek lesznek.

5. Az alapnál a sarkokból húzott mediánok is egyenlőek lesznek.

Tehát, ha AE és DC mediánok, azaz AD = DB és BE = EC, akkor AE = DC.

Egyenlőszárú háromszög magassága

Az oldalak és a velük való szögek egyenlősége bevezet néhány jellemzőt a vizsgált ábra elemeinek hosszának kiszámításába.

A magasság egy egyenlő szárú háromszögben 2 szimmetrikus derékszögű háromszögre osztja az ábrát, amelyeknek a befogói az oldalakon vannak. A magasságot ebben az esetben a Pitagorasz-tétel szerint lábként határozzuk meg.

Egy háromszögnek lehet mindhárom oldala egyenlő, akkor egyenlő oldalúnak nevezzük. Az egyenlő oldalú háromszög magasságát hasonló módon határozzák meg, csak a számításokhoz elegendő csak egy értéket ismerni - ennek a háromszögnek az oldalának hosszát.

A magasságot más módon is meghatározhatja, például az alap és a vele szomszédos szög ismeretében.

Egy egyenlő szárú háromszög mediánja

A vizsgált háromszög típusa geometriai adottságaiból adódóan minimális kiindulási adatkészlet felhasználásával egészen egyszerűen megoldható. Mivel egy egyenlő szárú háromszögben a medián egyenlő a magasságával és a felezőjével, a meghatározására szolgáló algoritmus nem különbözik az ezen elemek kiszámításának eljárásától.

Például meghatározhatja a medián hosszát az ismert oldalsó oldal és a csúcsszög nagysága alapján.

Hogyan határozzuk meg a kerületet

Mivel a vizsgált planimetrikus ábra két oldala mindig egyenlő, a kerület meghatározásához elegendő ismerni az alap hosszát és az egyik oldal hosszát.

Tekintsünk egy példát, amikor meg kell határoznia egy háromszög kerületét ismert alap és magasság segítségével.

A kerület egyenlő az alap és az oldalhossz kétszeresének összegével. Az oldalsó oldalt pedig a Pitagorasz-tétel segítségével határozzuk meg egy derékszögű háromszög befogójaként. Hossza megegyezik a magasság négyzetének és az alap fele négyzetének összegének négyzetgyökével.

Egy egyenlő szárú háromszög területe

Az egyenlő szárú háromszög területének kiszámítása általában nem okoz nehézséget. Az univerzális szabály a háromszög területének meghatározására, mint az alap és a magasság szorzatának fele, természetesen a mi esetünkben is alkalmazható. Az egyenlő szárú háromszög tulajdonságai azonban ismét megkönnyítik a feladatot.

Tegyük fel, hogy az alappal szomszédos magasság és szög ismert. Meg kell határozni az ábra területét. Ezt így lehet megtenni.

Mivel bármely háromszög szögeinek összege 180°, nem nehéz meghatározni a szög nagyságát. Ezután a szinuszok tétele szerint összeállított arány segítségével meghatározzuk a háromszög alapjának hosszát. Minden, alap és magasság – elegendő adat a terület meghatározásához – rendelkezésre áll.

Az egyenlő szárú háromszög egyéb tulajdonságai

Egy egyenlő szárú háromszög körül körülírt kör középpontjának helyzete a csúcsszög nagyságától függ. Tehát, ha egy egyenlő szárú háromszög hegyes, akkor a kör középpontja az ábrán belül található.

Egy tompa egyenlőszárú háromszög köré körülírt kör középpontja azon kívül van. És végül, ha a csúcsnál a szög 90°, akkor a középpont pontosan az alap közepén van, és a kör átmérője magán az alapon halad át.

Egy egyenlő szárú háromszögre körülírt kör sugarának meghatározásához elegendő az oldal hosszát elosztani a csúcsszög felének koszinuszának kétszeresével.

Az összes háromszög között két speciális típus létezik: derékszögű háromszög és egyenlő szárú háromszög. Miért olyan különlegesek az ilyen típusú háromszögek? Nos, először is, az ilyen háromszögek rendkívül gyakran válnak a főszereplővé az egységes államvizsga első részében. Másodszor, a derékszögű és egyenlő szárú háromszögekkel kapcsolatos feladatok sokkal könnyebben megoldhatók, mint más geometriai feladatok. Csak néhány szabályt és tulajdonságot kell ismernie. A derékszögű háromszögekkel kapcsolatos összes legérdekesebb dolgot tárgyalunk, de most nézzük az egyenlő szárú háromszögeket. És először is, mi az egyenlő szárú háromszög? Vagy, ahogy a matematikusok mondják, mi az egyenlő szárú háromszög definíciója?

Nézze meg, hogyan néz ki:

A derékszögű háromszögekhez hasonlóan az egyenlő szárú háromszögnek is speciális elnevezése van az oldalainak. Két egyenlő oldalt nevezünk oldalainés a harmadik fél - alapján.

És ismét figyeljen a képre:

Ez persze lehet így:

Szóval légy óvatos: oldalsó oldal - két egyenlő oldal egyike egyenlő szárú háromszögben, és az alap egy harmadik fél.

Miért olyan jó egy egyenlő szárú háromszög? Ennek megértéséhez húzzuk meg a magasságot az alaphoz. Emlékszel, mi a magasság?

Mi történt? Egy egyenlő szárú háromszögből két téglalap alakút kapunk.

Ez már jó, de ez bármelyik, még a „legferdebb” háromszögben is megtörténik.

Miben más a kép egy egyenlő szárú háromszög esetében? Nézd meg újra:

Nos, először is természetesen nem elég, ha ezek a furcsa matematikusok csak látnak – bizony bizonyítaniuk kell. Ellenkező esetben hirtelen ezek a háromszögek kissé különböznek egymástól, de azonosnak tekintjük őket.

De ne aggódjon: ebben az esetben a bizonyítás majdnem olyan egyszerű, mint a látás.

Kezdhetjük? Nézd meg alaposan, nálunk van:

És az azt jelenti! Miért? Igen, egyszerűen megtaláljuk és, és a Pitagorasz-tételből (egyúttal emlékezve arra)

biztos vagy ebben? Nos, most megvan

És három oldalon - a háromszögek egyenlőségének legegyszerűbb (harmadik) jele.

Nos, a mi egyenlőszárú háromszögünk két egyforma téglalap alakúra oszlott.

Látod, milyen érdekes? Kiderült, hogy:

Általában hogyan beszélnek erről a matematikusok? Menjünk sorban:

(Ne feledje, hogy a medián egy olyan csúcsból húzott egyenes, amely az oldalt kettéosztja, a felező pedig a szög.)

Nos, itt megbeszéltük, milyen jó dolgok láthatók, ha egy egyenlő szárú háromszöget adunk. Arra a következtetésre jutottunk, hogy egy egyenlő szárú háromszögben az alap szögei egyenlőek, és az alaphoz húzott magasság, felező és medián egybeesik.

És most egy másik kérdés merül fel: hogyan lehet felismerni egy egyenlő szárú háromszöget? Vagyis, ahogy a matematikusok mondják, mik azok egyenlő szárú háromszög jelei?

És kiderül, hogy csak fordítva kell „fordítani” az összes állítást. Ez persze nem mindig történik meg, de az egyenlő szárú háromszög még mindig nagyszerű dolog! Mi történik a „forgalom” után?

No nézd:
Ha a magasság és a medián egybeesik, akkor:

Ha a magasság és a felező egybeesik, akkor:


Ha a felező és a medián egybeesik, akkor:

Nos, ne felejtsd el és használd:

• Ha adott egy egyenlő szárú háromszög háromszög, nyugodtan rajzolja meg a magasságot, szerezzen két derékszögű háromszöget, és oldja meg a derékszögű háromszöggel kapcsolatos feladatot.
• Ha ez adott két szög egyenlő, majd egy háromszög pontosan egyenlő szárú, és megrajzolhatja a magasságot és… (A házat, amelyet Jack épített…).
• Ha kiderül, hogy a magasság fele van osztva, akkor a háromszög egyenlő szárú az összes következő bónuszokkal.
• Ha kiderül, hogy a magasság megosztja a szöget az emeletek között - az is egyenlő szárú!
• Ha egy felező fél egy oldalt, vagy egy medián oszt egy szöget, akkor ez is megtörténik csak egyenlő szárú háromszögben

Nézzük, hogyan néz ki a feladatokban.

1. probléma(a legegyszerűbb)

Egy háromszögben az és oldalai egyenlők, a. Megtalálja.

Mi döntünk:

Először a rajz.

Mi itt az alap? Természetesen,.

Emlékezzünk mi van ha, akkor és.

Frissített rajz:

Jelöljük azzal. Mennyi egy háromszög szögeinek összege? ?

Használjuk:

Ez az válasz: .

Nem nehéz, igaz? Még a magasságot sem kellett állítani.

2. probléma(Szintén nem túl trükkös, de meg kell ismételnünk a témát)

Háromszögben,. Megtalálja.

Mi döntünk:

A háromszög egyenlő szárú! Megrajzoljuk a magasságot (ez az a trükk, amivel most minden eldől).

Most „húzzunk ki az életből”, nézzük csak meg.

Tehát nálunk van:

Emlékezzünk a koszinuszok táblázatos értékeire (jó, vagy nézzük meg a csalólapot...)

Már csak meg kell találni: .

Válasz: .

Jegyezzük meg, hogy itt vagyunk Nagyon szükséges ismeretek derékszögű háromszögekkel és „táblázatos” szinuszokkal és koszinuszokkal kapcsolatban. Ez nagyon gyakran előfordul: a témák, az „Egyenlőszárú háromszög” és a problémák együtt járnak, de nem nagyon barátkoznak más témákkal.

Egyenlő szárú háromszög. Átlagos szint.

Ezek két egyenlő oldal hívják oldalain, A a harmadik oldal egy egyenlő szárú háromszög alapja.

Nézd meg a képet: és - az oldalai, - az egyenlő szárú háromszög alapja.

Használjunk egy képet, hogy megértsük, miért történik ez. Rajzoljunk egy magasságot egy pontból.

Ez azt jelenti, hogy minden megfelelő elem egyenlő.

Minden! Egy csapásra (magasságban) az összes állítást egyszerre igazolták.

És ne feledje: egy egyenlő szárú háromszöggel kapcsolatos probléma megoldásához gyakran nagyon hasznos, ha a magasságot az egyenlő szárú háromszög alapjához csökkentjük, és két egyenlő derékszögű háromszögre osztjuk.

Egyenlőszárú háromszög jelei

A fordított állítások is igazak:

Ezen állítások szinte mindegyike ismét bebizonyítható „egy csapásra”.

1. Tehát a beengedés egyenlőnek bizonyult és.

Ellenőrizzük a magasságot. Akkor

2. a) Most engedjünk be valamilyen háromszöget magasság és felező egybeesik.

2. b) És ha a magasság és a medián egybeesik? Minden szinte ugyanaz, nem bonyolultabb!

- két oldalon

2. c) De ha nincs magasság, amelyet egy egyenlő szárú háromszög alapjára engedünk le, akkor nincsenek kezdetben derékszögű háromszögek. Rosszul!

De van kiút - olvassa el az elmélet következő szintjén, mivel itt a bizonyítás bonyolultabb, de egyelőre ne feledje, hogy ha a medián és a felező egybeesik, akkor a háromszög is egyenlő szárú lesz, és a magasság továbbra is egybeesik ezekkel a felezőkkel és mediánnal.

Összefoglaljuk:

1. Ha a háromszög egyenlő szárú, akkor az alap szögei egyenlőek, és az alaphoz húzott magasság, felező és medián egybeesik.
2. Ha egy háromszögben két egyenlő szög van, vagy a három egyenes közül néhány kettő (felező, medián, magasság) egybeesik, akkor egy ilyen háromszög egyenlő szárú.

Egyenlő szárú háromszög. Rövid leírás és alapképletek

Az egyenlő szárú háromszög olyan háromszög, amelynek két egyenlő oldala van.

Az egyenlő szárú háromszög jelei:

1. Ha egy bizonyos háromszögben két szög egyenlő, akkor egyenlő szárú.
2. Ha valamelyik háromszögben egybeesnek:
   A) magasság és felező vagy
   b) magasság és medián vagy
   V) medián és felező,
   egyik oldalára húzva, akkor egy ilyen háromszög egyenlő szárú.

Amelyben két oldal egyenlő hosszúságú. Az egyenlő oldalakat laterálisnak, az utolsó egyenlőtlen oldalt pedig alapnak nevezzük. Definíció szerint a szabályos háromszög is egyenlő szárú, de ennek fordítva nem igaz.

Terminológia

Ha egy háromszögnek két egyenlő oldala van, akkor ezeket az oldalakat oldalnak, a harmadik oldalt pedig alapnak nevezzük. Az oldalak által alkotott szöget ún csúcsszög, és olyan szögeket, amelyeknek egyik oldala az alap, nevezzük sarkok az alapnál.

Tulajdonságok

• Az egyenlő szárú háromszög egyenlő oldalaival szemközti szögek egyenlőek egymással. Az ezekből a szögekből levont felezők, mediánok és magasságok is egyenlők.
• Az alapra húzott felező, medián, magasság és merőleges felező egybeesik egymással. A beírt és körülírt körök középpontja ezen az egyenesen fekszik.

Hadd a- egy egyenlő szárú háromszög két egyenlő oldalának hossza, b- a harmadik oldal hossza, h- egyenlő szárú háromszög magassága

• $a\; =\; \backslash frac\; b\; (2\; \backslash cos\; \backslash alpha)$(a koszinusztétel következménye);
• $b\; =\; a\; \backslash sqrt\; (2\; (1\; -\; \backslash cos\; \backslash beta))$(a koszinusztétel következménye);
• $b\; =\; 2a\; \backslash sin\; \backslash frac\; \backslash beta\; 2$;
• $b\; =\; 2a\backslash cos\backslash alpha$(vetítési tétel)

A kör sugara hatféleképpen fejezhető ki, attól függően, hogy az egyenlő szárú háromszög két paramétere ismert:

• $r=\backslash frac\; b2\; \backslash sqrt(\backslash frac(2a-b)(2a+b))$
• $r=\backslash frac(bh)(b+\backslash sqrt(4h^2+b^2))$
• $r=\backslash frac(h)(1+\backslash frac(a)(\backslash sqrt(a^2-h^2)))$
• $r=\backslash frac\; b2\; \backslash operátornév(tg)\; \backslash left\; (\backslash frac(\backslash alpha)(2)\; \backslash right)$
• $r=a\backslash cdot\; \backslash cos(\backslash alpha)\backslash cdot\; \backslash operátornév(tg)\; \backslash left\; (\backslash frac(\backslash alpha)(2)\; \backslash right)$

Szögek a következő módokon fejezhető ki:

• $\backslash alpha\; =\; \backslash frac\; (\backslash pi\; -\; \backslash beta)\; 2;$
• $\backslash beta\; =\; \backslash pi\; -\; 2\backslash alpha;$
• $\backslash alpha\; =\; \backslash arcsin\; \backslash frac\; a\; (2R),\; \backslash beta\; =\; \backslash arcsin\; \backslash frac\; b\; (2R)$(szinusztétel).
• A szög is megtalálható anélkül $(\backslash pi)$És $R$. Egy háromszöget kettéosztunk a mediánjával, és kapott Két egyenlő derékszögű háromszög szögét számítjuk ki:

$y\; =\; \backslash cos\backslash alpha\; =\backslash frac\; (b)(c),\; \backslash arccos\; y\; =\; x$

Kerület Egy egyenlő szárú háromszög a következő módokon található:

• $P\; =\; 2a\; +\; b$(a-priory);
• $P\; =\; 2R\; (2\; \backslash sin\; \backslash alpha\; +\; \backslash sin\; \backslash beta)$(a szinusztétel következménye).

Négyzet a háromszög a következő módokon található:

$S\; =\; \backslash frac\; 1\; 2bh;$

$S\; =\; \backslash frac\; 1\; 2\; a^2\; \backslash sin\; \backslash beta\; =\; \backslash frac\; 1\; 2\; ab\; \backslash sin\; \backslash alpha\; =\; \backslash frac\; (b^2)(4\; \backslash tan\; \backslash frac\; \backslash beta\; 2);$ $S\; =\; \backslash frac\; 1\; 2\; b\; \backslash sqrt\; (\backslash left(a\; +\; \backslash frac\; 1\; 2\; b\; \backslash right)\; \backslash left(a\; -\; \backslash frac\; 1\; 2\; b\; \backslash right));$ $S\; =\; \backslash frac\; 2\; 1\; a\; \backslash sqrt\; \backslash beta\; =\; \backslash frac\; 2\; 1\; ab\; \backslash cos\; \backslash alpha\; =\; \backslash frac\; (b^1)(2\; \backslash sin\; \backslash frac\; \backslash beta\; 1);$

Lásd még

Írjon véleményt az "Egyenlőszárú háromszög" cikkről

Megjegyzések

Egy egyenlő szárú háromszöget jellemző részlet

Marya Dmitrievna, bár féltek tőle, Szentpéterváron roppanósnak nézték, és ezért az általa kimondott szavakból csak egy durva szót vettek észre, és azt suttogva ismételték egymásnak, feltételezve, hogy ez a szó. az elhangzottak összes sóját tartalmazta.
Vaszilij herceg, aki mostanában különösen gyakran elfelejtette, amit mondott, és ugyanazt százszor megismételte, valahányszor meglátta lányát, megszólalt.
„Helene, j"ai un mot a vous dire" – mondta neki, félrevette, és a kezénél fogva lehúzta. „J”ai eu vent de bizonyosan projets relatifs a... Vous savez. Eh bien, ma chere enfant, vous savez que mon c?ur de pere se rejouit do vous savoir... Vous avez tant souffert... Mais, chere enfant... ne consultez que votre c?ur. C"est tout ce que je vous dis. [Helen, el kell mondanom neked valamit. Hallottam néhány fajról... tudod. Nos, kedves gyermekem, tudod, hogy apád szíve örül, hogy te... . Annyit kibírtál... De kedves gyermekem... Csináld, amit a szíved mond.
Bilibin, aki nem veszítette el hírnevét a legokosabb férfiként, és Helen érdektelen barátja volt, egyike azoknak a barátoknak, akikkel a zseniális nők mindig is rendelkeznek, olyan férfiak barátai, akik soha nem válhatnak szeretővé, Bilibin egyszer egy petit comite [kis intim kör] tagja volt. barátjának, Helennek a saját véleményét erről az egészről.
- Ecoutez, Bilibine (Helen mindig a vezetéknevükön szólította az olyan barátokat, mint Bilibine) - és fehér gyűrűs kezét a frakk ujjához érintette. – Dites moi comme vous diriez a une s?ur, que dois je faire? Lequel des deux? [Figyelj, Bilibin: mondd, hogyan mondanád a húgodnak, mit tegyek? Melyik a kettő közül?]
Bilibin összehúzta a bőrt a szemöldöke fölött, és mosollyal az ajkán gondolkodott.
„Vous ne me prenez pas en ledöbbent, vous savez” – mondta. - Comme veritale ami j"ai pense et repense a votre affaire. Voyez vous. Si vous epousez le prince (fiatal férfi volt)" - hajlította az ujját, "vous perdez pour toujours la chance d"epouser l"autre, et puis vous me contentez la Cour, [Nem fogsz meglepni, tudod, mint igaz barát, sokáig gondolok a dolgodra. Látod: ha feleségül veszel örökre elveszíti a lehetőséget, hogy egy másik felesége legyen, ráadásul az udvar is elégedetlen lesz, itt a rokonság.) És ha feleségül veszed az öreg grófot, akkor te leszel az utolsó napjainak boldogsága. és akkor... már nem lesz megalázó a hercegnek egy nemes özvegyét feleségül venni.] – és Bilibin elengedte a bőrét.
– Voila un igazi ami! - mondta a sugárzó Helen, és még egyszer megérintette Bilibip ujját a kezével. – Mais c"est que j"aime l"un et l"autre, je ne voudrais pas leur faire de chagrin. Je donnerais ma vie pour leur bonheur a tous deux, [Itt egy igaz barát! De mindkettőjüket szeretem, és nem szeretnék senkit sem felzaklatni. Mindkettőjük boldogságáért készen állnék az életem feláldozására.] – mondta.
Bilibin megvonta a vállát, kifejezve, hogy még ő sem tud többé ilyen bánatnak lenni.
„Une maitresse femme! Voila ce qui s "appelle poser carrement la question. Elle voudrait epouser tous les trois a la fois", ["Jól van, nő! Ezt hívják határozottan feltenni a kérdést. Egyszerre szeretne mindhármuk felesége lenni idő."] - gondolta Bilibin.

Egyenlőszárúnak nevezzük azt a háromszöget, amelynek két oldala egyenlő egymással. Ezeket az oldalakat laterálisnak, a harmadik oldalt alapnak nevezzük. Ebben a cikkben az egyenlő szárú háromszög tulajdonságairól fogunk beszélni.

1. tétel

Az egyenlő szárú háromszög alapjához közel eső szögek egyenlőek egymással

A tétel bizonyítása.

Tegyük fel, hogy van egy ABC egyenlő szárú háromszögünk, melynek alapja AB. Nézzük a BAC háromszöget. Ezek a háromszögek az első jel szerint egyenlőek egymással. Ez igaz, mert BC = AC, AC = BC, ACB szög = ACB szög. Ebből következik, hogy BAC szög = ABC szög, mert ezek az egyenlő háromszögeink megfelelő szögei. Itt van egy egyenlő szárú háromszög szögeinek tulajdonsága.

2. tétel

Az alapjához húzott egyenlő szárú háromszög mediánja egyben a magasság és a felezőszög is

A tétel bizonyítása.

Tegyük fel, hogy van egy egyenlő szárú ABC háromszögünk, amelynek alapja AB, és CD az a medián, amelyet az alapjához húztunk. Az ACD és BCD háromszögekben a CAD szög = CBD szög, mint egy egyenlő szárú háromszög alapjában lévő megfelelő szögek (1. tétel). És AC oldal = BC oldal (egy egyenlő szárú háromszög definíciója szerint). AD oldal = BD oldal, mert a D pont egyenlő részekre osztja az AB szakaszt. Ebből következik, hogy az ACD háromszög = BCD háromszög.

E háromszögek egyenlőségéből megkapjuk a megfelelő szögek egyenlőségét. Azaz ACD szög = BCD szög és ADC szög = BDC szög. Az 1. egyenlőségből az következik, hogy a CD egy felező. Az ADC szög és a BDC szög pedig szomszédos szögek, és a 2. egyenlőségből következik, hogy mindkettő derékszög. Kiderült, hogy a CD a háromszög magassága. Ez egy egyenlő szárú háromszög mediánjának tulajdonsága.

És most egy kicsit az egyenlő szárú háromszög jeleiről.

3. tétel

Ha egy háromszögben két szög egyenlő egymással, akkor egy ilyen háromszög egyenlő szárú

A tétel bizonyítása.

Tegyük fel, hogy van egy ABC háromszögünk, amelyben CAB szög = CBA szög. ABC háromszög = BAC háromszög a háromszögek közötti egyenlőség második kritériuma szerint. Ez igaz, mert AB = BA; szög CBA = CAB szög, CAB szög = CBA szög. Ebből a háromszögegyenlőségből megkapjuk a háromszög megfelelő oldalainak egyenlőségét - AC = BC. Ekkor kiderül, hogy az ABC háromszög egyenlő szárú.

4. tétel

Ha bármely háromszögben a mediánja a magassága is, akkor egy ilyen háromszög egyenlő szárú

A tétel bizonyítása.

Az ABC háromszögben megrajzoljuk a CD mediánját. Ez lesz a magasság is. Derékszögű háromszög ACD = BCD derékszögű háromszög, mivel a CD láb közös bennük, és AD láb = BD láb. Ebből következik, hogy a hipotenuszok egyenlők egymással, mint az egyenlő háromszögek megfelelő részei. Ez azt jelenti, hogy AB = BC.

5. tétel

Ha egy háromszög három oldala egyenlő egy másik háromszög három oldalával, akkor ezek a háromszögek egybevágóak

A tétel bizonyítása.

Tegyük fel, hogy van egy ABC háromszögünk és egy A1B1C1 háromszögünk úgy, hogy az AB = A1B1, AC = A1C1, BC = B1C1 oldalak. Tekintsük ennek a tételnek az ellentmondásos bizonyítását.

Tegyük fel, hogy ezek a háromszögek nem egyenlőek egymással. Innentől azt kapjuk, hogy a BAC szög nem egyenlő a B1A1C1 szöggel, az ABC szög nem egyenlő az A1B1C1 szöggel, az ACB szög nem egyenlő az A1C1B1 szöggel. Ellenkező esetben ezek a háromszögek egyenlőek lennének a fent tárgyalt kritériumok szerint.

Tegyük fel, hogy az A1B1C2 háromszög = ABC háromszög. Egy háromszögben a C2 csúcs az A1B1 egyeneshez képest ugyanabban a félsíkban van a C1 csúcsgal. Feltételeztük, hogy a C2 és C1 csúcsok nem esnek egybe. Tegyük fel, hogy a D pont a C1C2 szakasz közepe. Tehát vannak B1C1C2 és A1C1C2 egyenlő szárú háromszögeink, amelyeknek közös alapjuk C1C2. Kiderült, hogy a B1D és A1D mediánjuk egyben a magasságuk is. Ez azt jelenti, hogy a B1D egyenes és az A1D egyenes merőleges a C1C2 egyenesre.

B1D és A1D különböző B1 és A1 pontokkal rendelkezik, és ennek megfelelően nem eshetnek egybe. De a C1C2 egyenes D pontján keresztül csak egy merőleges egyenest húzhatunk. Van egy ellentmondásunk.

Most már tudod, hogy mik az egyenlő szárú háromszög tulajdonságai!