प्रायोगिक कार्य त्रिकोण के चार अद्भुत बिंदु। अनुसंधान परियोजना अद्भुत त्रिभुज बिंदु

तथा ओवी 1 चतुर्भुज का घिरा हुआ चक्र ओए 1 दप 1 सर्वांगसम क्योंकि उनके कोण बराबर होते हैं ओसीए 1 तथा ओएसवी 1 .

खुदा हुआ चक्र Δ एबीसीइसके पक्षों को आंतरिक बिंदुओं पर स्पर्श करें। आइए जानें कि किस प्रकार के वृत्त सामान्यतः तीन रेखाओं को स्पर्श करते हैं एबी, सनतथा साएक वृत्त का केंद्र दो प्रतिच्छेदी रेखाओं की स्पर्शरेखा उन दो रेखाओं में से एक पर स्थित होता है जो मूल रेखाओं के बीच के कोणों को समद्विभाजित करती हैं। इसलिए, वृत्तों के केंद्र रेखाओं को स्पर्श करते हैं एबी, सनतथा सीए,त्रिभुज (या उनके विस्तार) के बाहरी या आंतरिक कोणों के द्विभाजक पर स्थित हैं। एक आंतरिक कोण का द्विभाजक बाहरी कोणों के किन्हीं दो द्विभाजकों के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरता है। इस अभिकथन का प्रमाण शाब्दिक रूप से आंतरिक कोणों के द्विभाजकों के लिए संगत अभिकथन के प्रमाण को दोहराता है। परिणामस्वरूप, हमें केंद्र O वाले 4 वृत्त मिलते हैं, हे एक , ओहतथा हे साथ (चित्र 57)। केंद्र के साथ घेरा हे एक पक्ष को छूता है रवितथा

पार्टियों की निरंतरता अबतथा एसी;इस वृत्त को कहा जाता है लिखा नहीं परिधि Δ एबीसी।एक त्रिभुज के खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या को आमतौर पर r द्वारा निरूपित किया जाता है, और बाह्यवृत्त की त्रिज्या को r द्वारा दर्शाया जाता है एक , जी बीऔर जी साथ . निम्नलिखित संबंध खुदा हुआ और बाह्य वृत्त की त्रिज्या के बीच होते हैं:

जी / जी एस =(पी-सी)/पी औरजी जी साथ \u003d (पी - ए) (पी - बी),कहाँ पे आर- अर्धपरिधि Δ एबीसी।आइए इसे साबित करें। बता दें कि K और L रेखा के साथ अंकित और बाह्य वृत्तों के संपर्क के बिंदु हैं रवि(चित्र। 58)। सही त्रिकोण रसतथा सीओ सी एल समान, इसलिए

जी / जी एस = ओके / ओ साथ एल = सी.के. / क्लोरीन .. पहले, यह सिद्ध किया गया था कि SC = (a+b-c)/2=p-c.

यह सत्यापित करना बाकी है क्लोरीन = पी .

होने देना एमतथा आर- सीधी रेखाओं के साथ बाह्य वृत्त की स्पर्शरेखा के बिंदु अबतथा जैसा।फिर

सीएल = (सीएल+सीपी)/2 = (सीबी+बीएल+सीए+एपी)/2 = (सीबी+बीएम + सीए+एएम)/2 =आर

सम्बन्ध सिद्ध करना आरआर सी =(पी - एक )(पी - बी ) समकोण त्रिभुजों पर विचार करें एलओ सी बी तथा कुओ,जो समान हैं क्योंकि

<ओबीके +< हे सी बीएल =(<СВА + <АВ एल )/2=90°.

माध्यम, एल ओ एस / वीएल \u003d बीके / केओ, यानी। आरआर सी = को · एलओ सी = बीके · बीएल . यह ध्यान रखना बाकी है वीके=(एक + सी - बी )/2= पी - बी तथा बीएल = क्लोरीन - सीबी = पी - एक .

हम एक और दिलचस्प संपत्ति पर ध्यान देते हैं (पहले से ही पारित होने में सिद्ध)। खुदा हुआ और बहिर्वृत्त पक्ष को छूने दें अबबिंदुओं पर एनतथा एम(चित्र। 58)। फिर पूर्वाह्न = बी एन . वास्तव में, बी एन = पी - बी तथा एएम = एआर = एसआर-एसी = आर - सी।

अनुपात आरआर सी =(पी - एक)(पी-में ) तथा आर पी =आर साथ (आर-सी) का उपयोग हीरोन के सूत्र को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है एस 2 = पी (पी - एक )(पी - बी )(पी - सी ), कहाँ पे एस - त्रिभुज का क्षेत्रफल। इन अनुपातों को गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं आर 2 पी =(पी - एक )(पी - बी )(पी - सी ). यह सत्यापित करना बाकी है एस = जनसंपर्क . Δ काट कर यह करना आसान है एबीसीपर डीएओबी, Δबीओएसतथा डीओसीए।

मध्य अवरोधन बिंदु

आइए हम सिद्ध करें कि त्रिभुज की माध्यिकाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। इसके लिए बिंदु पर विचार करें एम,जहां माध्यिकाएं प्रतिच्छेद करती हैं आ 1 तथा बी बी 1 . चलो Δ में खर्च करते हैं ВВ1Сमध्य पंक्ति ए 1 ए 2 , समानांतर बी बी 1 (चित्र 59)। फिर ए 1 एम : पूर्वाह्न = बी 1 ए 2 : अब 1 = बी 1 ए 2 : बी 1 सी = बी ० ए 1 :बीसी=1:2,यानी माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु बी बी 1 तथा आ 1 माध्यिका को विभाजित करता है आ 1 1:2 के अनुपात में। इसी तरह, माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु एसएस 1 तथा आ 1 माध्यिका को विभाजित करता है आ 1 1:2 के अनुपात में। इसलिए, माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु आ 1 तथा बी बी 1 माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के साथ मेल खाता है आ 1 तथा एसएस 1 .

यदि किसी त्रिभुज की माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु शीर्षों से जुड़ा हो, तो त्रिभुज समान क्षेत्रफल वाले तीन त्रिभुजों में विभाजित हो जाएगा। वास्तव में, यह साबित करने के लिए पर्याप्त है कि अगर आर- माध्यिका का कोई बिंदु आ 1 में एबीसी,फिर क्षेत्र डीएवीआरतथा डी ए सी पीबराबर हैं। आखिर मंझले आ 1 तथा आरए 1 डी में एबीसीऔर डी आर वी एसउन्हें समान क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों में काटें।

विलोम कथन भी सत्य है: यदि किसी बिंदु पर आर,अंदर पड़ा हुआ Δ एबीसी,क्षेत्र डी एवीआर, डी बुधवार कोतथा ΔCAPबराबर हैं, तो आरमाध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है। दरअसल, क्षेत्रों की समानता से डीएवीआरतथा डीएचआरयह इस प्रकार है कि बिंदु A और C से सीधी रेखा तक की दूरी बीपीबराबर हैं, जिसका अर्थ है बीपीखण्ड के मध्य से होकर गुजरता है जैसा।के लिये एआरतथा एसआरप्रमाण समान है।

त्रिभुजों के क्षेत्रों की समानता जिसमें माध्यिकाएँ त्रिभुज को विभाजित करती हैं, हमें माध्यिकाओं से बने त्रिभुज के क्षेत्रफलों के अनुपात का पता लगाने की अनुमति देता है: ΔABC,Δ के क्षेत्र S के लिए ही एबीसी।होने देना एम- माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु Δ एबीसी;दूरसंचार विभाग लेकिन"सममित लेकिनबिंदु के सापेक्ष एम(चित्र 60)

एक ओर, क्षेत्र डीए "एमएसएस/3 के बराबर है। दूसरी ओर, यह त्रिभुज खंडों से बना है, जिनमें से प्रत्येक संबंधित माध्यिका की लंबाई का 2/3 है, इसलिए इसका क्षेत्रफल

बराबर (2/3) 2 एस = 4s /9। फलस्वरूप, एस =3 एस /4.

माध्यिका प्रतिच्छेदन बिंदु का एक बहुत ही महत्वपूर्ण गुण यह है कि इससे त्रिभुज के शीर्षों तक जाने वाले तीन सदिशों का योग शून्य के बराबर होता है। आइए पहले ध्यान दें पूर्वाह्न = 1/3(एबी + एसी), कहाँ पे एम- माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु Δ एबीसी . दरअसल, अगर

ए.बी.ए. "सेएक समांतर चतुर्भुज है, तो एए" = एबी + एसीतथा एएम = 1/3एए"।इसीलिए एमए + एमबी + एमसी = 1/3 (बीए + सीए + एबी + सीबी + एसी + बीसी) = 0।

यह भी स्पष्ट है कि माध्यिकाओं के केवल प्रतिच्छेदन बिंदु के पास ही यह गुण है, क्योंकि यदि एक्स - कोई अन्य बिंदु, फिर

एक्सए + एक्सबी + एक्सएस \u003d (एक्सएम + एमए) + (एक्सएम + एमबी) + (एक्सएम + एमएस) \u003d 3XM ..

त्रिभुज की माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के इस गुण का उपयोग करते हुए, हम निम्नलिखित कथन को सिद्ध कर सकते हैं: भुजाओं के मध्यबिंदुओं पर शीर्षों के साथ त्रिभुज की माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु एबी,सीडी तथा एफई षट्भुज एबीसीडीईएफ भुजाओं के मध्यबिंदुओं में शीर्षों के साथ त्रिभुज की माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के साथ मेल खाता है रवि,डे तथा एफए . दरअसल, इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि यदि, उदाहरण के लिए, आर- खंड के मध्य एबी,तो किसी भी बिंदु के लिए एक्स निष्पक्ष समानता एक्सए + एक्सबी \u003d 2XP,यह साबित करना आसान है कि दोनों माने गए त्रिकोणों की माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं में यह गुण होता है कि उनसे षट्भुज के कोने तक जाने वाले सदिशों का योग शून्य के बराबर होता है। इसलिए, ये बिंदु मेल खाते हैं।

माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु में एक गुण होता है जो इसे त्रिभुज के बाकी उल्लेखनीय बिंदुओं से स्पष्ट रूप से अलग करता है: यदि Δ ए "बी" सीएक प्रक्षेपण है ΔABCसमतल पर, फिर माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु Δ ए "बी" सी" माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का प्रक्षेपण है ΔABCउसी विमान के लिए। यह इस तथ्य से आसानी से अनुसरण करता है कि खंड के मध्य बिंदु को प्रक्षेपित करते समय इसके प्रक्षेपण के मध्य में चला जाता है, जिसका अर्थ है कि त्रिभुज का मध्य इसके प्रक्षेपण के मध्य में जाता है। न तो समद्विभाजक और न ही ऊँचाई में यह गुण होता है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि त्रिकोण के माध्यिका के चौराहे का बिंदु द्रव्यमान का केंद्र है, और त्रिकोण के कोने पर स्थित समान द्रव्यमान वाले तीन भौतिक बिंदुओं की प्रणाली के द्रव्यमान का केंद्र और द्रव्यमान का केंद्र है। किसी दिए गए त्रिकोण के आकार वाली प्लेट की। एक त्रिकोण की संतुलन स्थिति एक मनमाना बिंदु पर टिका है एक्स , ऐसी स्थिति होगी जिसमें बीम एचएमपृथ्वी के केंद्र की ओर निर्देशित। माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु पर टिका त्रिभुज के लिए, कोई भी स्थिति एक संतुलन स्थिति है। इसके अलावा, एक त्रिभुज, जिसकी माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु सुई की नोक पर टिका होता है, भी संतुलन में होगा।

ऊँचाई पार करने का बिंदु

सिद्ध करने के लिए कि ऊँचाइयाँ Δ एबीसीएक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, हम खंड के अंत में उल्लिखित प्रमाण के पथ को याद करते हैं "परिचित वृत्त का केंद्र"। चलो चोटियों के माध्यम से चलते हैं ए, बीतथा सेविपरीत पक्षों के समानांतर सीधी रेखाएँ; ये रेखाएँ Δ बनाती हैं लेकिन 1 पर 1 से 1 (चित्र 61)। हाइट्स डी एबीसीभुजाओं के समद्विभाजक हैं डीए 1 बी 1 सी 1 . इसलिए, वे एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं - परिधि वाले वृत्त का केंद्र डीए 1 बी 1 सी 1 . त्रिभुज की ऊँचाइयों के प्रतिच्छेदन बिंदु को कभी-कभी इसका कहा जाता है orthocenter.

-

यह जाँचना आसान है कि यदि H ऊँचाई Δ का प्रतिच्छेदन बिंदु है एबीसी,फिर ए, बीतथा से -ऊंचाई चौराहे बिंदु Δ वीएनएस, ΔSNAऔर डी एएनवीक्रमश।

यह भी स्पष्ट है<एबीसी + < एएचसी = 180° क्योंकि < बी ० ए 1 एच = < ईसा पूर्व 1 एच =90° (ए 1 तथा सी 1 - ऊंचाइयों का आधार)। अगर बिंदु एच 1 सीधी रेखा के संबंध में बिंदु H के सममित एयू,फिर चतुर्भुज एबीएसएन 1 अंकित। इसलिए परिबद्ध वृत्तों की त्रिज्या Δ एबीसीऔर डी एएन एससमान हैं और ये वृत्त भुजा के संबंध में सममित हैं एसी(चित्र 62)। अब इसे साबित करना आसान है

एएच = ए|सीटीजी ए |, जहां ए = बीसी।वास्तव में,

एएच = 2आरपाप< एसीएच = 2आर|क्योंकि ए| = एक|सीटीजी ए| .

सादगी के लिए मान लें कि ΔABCतीव्र-कोण और Δ पर विचार करें ए 1 बी 1 सी 1 , इसकी ऊंचाइयों के आधारों द्वारा गठित। यह पता चला है कि उत्कीर्ण चक्र का केंद्र Δ है ए 1 बी 1 सी 1 ऊंचाई Δ का प्रतिच्छेदन बिंदु है एबीसी,और बहिर्वृत्त के केंद्र

डीए 1 बी 1 सी 1 शीर्ष Δ हैं एबीसी(चित्र 63)। अंक लेकिन 1 तथा पर 1 चौधरी(कोनों से मॉडिफ़ाइड अमेरिकन प्लान 1 सी और ऑन 1 सेसीधे), तो < हा 1 बी 1 = < एचसीबी 1 . उसी प्रकार<हा 1 सी 1 = < एचबीसी 1 . और तबसे<एचसीबी 1 = =< एचबीसी 1 फिर लेकिन 1 लेकिन -द्विभाजक<पर 1 लेकिन 1 से 1 .

होने देना एच- ऊंचाइयों के चौराहे का बिंदु आ 1 , बीबी 1 तथा सीसी 1 त्रिकोण एबीसी . अंक ए 1 तथा पर 1 एक व्यास के साथ एक सर्कल पर लेट जाओ एबी,इसीलिए एएच · ए 1 एच = बिहार · बी 1 एच . उसी प्रकार वीएनबी 1 एच = सीएच सी 1 एन।

एक तीव्र त्रिभुज के लिए, विलोम कथन भी सत्य है: यदि बिंदु A 1, बी 1 तथा सी 1 पक्षों पर लेट जाओ सन, एसएऔर एवी तीव्र Δ एबीसी औरखंडों आ 1 , बीबी 1 तथा एसएस 1 एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करना आर,तथा एआर ए 1 पी = बीपी वी 1 पी = सीपी सी 1 आर,फिर आर- ऊंचाइयों के चौराहे का बिंदु। दरअसल, समानता से

एपी ए 1 पी =बीपी बी 1 पी

यह इस प्रकार है कि अंक ए, बी, ए 1 तथा पर 1 व्यास के साथ एक ही सर्कल पर झूठ बोलें एबी,जिसका मतलब है < अब 1 बी = < बी ० ए 1 ए =γ. उसी प्रकार < एसीआईसी =< सीएआईए = β तथा <СВ 1 बी =<ВС 1 सी = α (चित्र 64)। यह भी स्पष्ट है कि α + β= सीसी 1 ए = एल 80°, β+γ=180° और γ + α = 180°। इसलिए, α = β=γ=90°।

एक त्रिभुज की ऊँचाइयों का प्रतिच्छेदन बिंदु दूसरे बहुत ही रोचक तरीके से निर्धारित किया जा सकता है, लेकिन इसके लिए हमें एक सदिश की अवधारणाओं और सदिशों के अदिश गुणनफल की आवश्यकता है।

होने देना हे- परिधि वाले वृत्त का केंद्र Δ एबीसी।सदिशों का योग ओ ए+ ओबी + ओएसकुछ सदिश है, इसलिए ऐसा बिंदु है आर,क्या या = ओए + ओबी + ओएस।परिणाम यह निकला आर- ऊंचाइयों के चौराहे का बिंदु Δ एबीसी!

आइए सिद्ध करें, उदाहरण के लिए, कि एपी सीधा ईसा पूर्व . यह स्पष्ट है कि एआर = एओ +

+ ऑप \u003d एओ + (ओए + ओवी + ओएस) \u003d ओव + ओएस और सूरज \u003d -ओव + ओएस। इसलिए, सदिशों का अदिश गुणनफल एआरतथा रविबराबरी ओएस 2 - ओबी 2 = आर 2 - आर 2 =0, यानी ये वैक्टर लंबवत हैं।

त्रिभुज के लंबकेन्द्र का यह गुण हमें स्पष्ट कथनों से कुछ दूर साबित करने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, चतुर्भुज पर विचार करें ए बी सी डी , एक घेरे में अंकित। होने देना ना, एनवी, एनएसतथा एच डी - ऑर्थोसेंटर Δ बीसीडी , Δ सीडीए , Δ डी ए बी और डी एबीसी क्रमश। फिर खंडों के मध्यबिंदु एक एक , वीएन, सीएच से , डी.एच. डी मिलान। दरअसल, अगर हेवृत्त का केंद्र है, और एम- खंड के मध्य एक एक , फिर ओएम = 1/2 (0ए + ओएच एक ) = = 1/2 (ओए + ओबी + ओएस + ओडी ) . अन्य तीन खंडों के मध्यबिंदुओं के लिए, हम बिल्कुल समान व्यंजक प्राप्त करते हैं।

प्रत्यक्ष यूलर

पेड़ के अद्भुत बिंदुओं की सबसे अद्भुत संपत्तिवर्ग यह है कि उनमें से कुछ एक दूसरे से जुड़े हुए हैंजीओएम निश्चित अनुपात। उदाहरण के लिए, चौराहा बिंदुमाध्यिकाओं एम, ऊंचाइयों के चौराहे का बिंदु एच और वर्णित सर्कल का केंद्र0 एक सीधी रेखा पर स्थित है, और बिंदुएमखंड को विभाजित करता है वह ताकि रिश्ताओएम: एमएन = 1:2. इस प्रमेय 1765 में लियोनहार्ड यूलर द्वारा सिद्ध किया गया था, जिन्होंनेअपनी अथक गतिविधि से, उन्होंने गणित के कई क्षेत्रों को महत्वपूर्ण रूप से विकसित किया और इसके कई नए वर्गों की नींव रखी। उनका जन्म 1707 में स्विट्जरलैंड में हुआ था। सिफारिश पर 20 साल की उम्र में यूलरबर्नौली भाइयों को सेंट पीटर आने का निमंत्रण मिलाबर्ग, जहां कुछ समय पहले एक अकादमी का आयोजन किया गया था। परअन्ना लियोपोल के सत्ता में आने के सिलसिले में रूस में 1740 के अंत मेंशीघ्र ही, एक खतरनाक स्थिति पैदा हो गई, और यूलर स्थानांतरित हो गयाबर्लिन। 25 वर्षों के बाद, वह कुल मिलाकर फिर से रूस लौट आयायूलर 30 से अधिक वर्षों तक सेंट पीटर्सबर्ग में रहे। बर्ली में होनानहीं, यूलर ने रूसी अकादमी के साथ घनिष्ठ संबंध बनाए रखा और थाइसके मानद सदस्य। बर्लिन से, यूलर ने लोमोनो के साथ पत्राचार कियाउल्लू। उनका पत्राचार इस प्रकार शुरू हुआ। 1747 में, लोमोनोसोव को एक प्रोफेसर चुना गया, जो कि अकादमी का पूर्ण सदस्य था; साम्राज्ञी ने इस चुनाव को मंजूरी दे दी। फिरप्रतिक्रियावादी अकादमी के अधिकारी शूमाकर जो लो से बहुत नफरत करते हैंमोनोसोव ने प्राप्त करने की उम्मीद में अपने कागजात यूलर को भेजेखराब प्रतिक्रिया। (यूलर लोमोनोसोव से केवल 4 साल बड़ा था,लेकिन उस समय तक उनका वैज्ञानिक अधिकार पहले से ही बहुत अधिक था।)अपनी समीक्षा में, यूलर ने लिखा: "ये सभी कार्य न केवल अच्छे हैंशि, बल्कि उत्कृष्ट भी, क्योंकि वह भौतिक और रासायनिक की व्याख्या करता हैसबसे आवश्यक और कठिन मामले, जो पूरी तरह से अज्ञात हैं और व्याख्या करना असंभव थासबसे मजाकिया और सीखने वालाny लोग, ऐसे संस्थापक के साथइस तथ्य से कि मुझे पूरा यकीन हैउसके साक्ष्य की सटीकता ...यह इच्छा करना आवश्यक है कि सब कुछ के बारे मेंजिनकी अकादमियां इस तरह के आविष्कारों को दिखाने में सक्षम रही हैंश्री लोमो द्वारा दिखाया गयानाक।"

आइए सबूत पर चलते हैं यूलर के प्रमेय।विचार करना Δ ए 1 बी 1 सी 1 में चोटियों के साथ भुजाओं के मध्य बिंदु Δ एबीसी;होने देना एच 1 और एच उनके ऑर्थोसेंटर हैं (चित्र। 65)। बिंदु H 1 केंद्र के साथ मेल खाता है हेपरिबद्ध वृत्त Δ एबीसी।आइए सिद्ध करें कि Δ सी 1 एच 1 एम =Δ सीएचएम . दरअसल, मध्यस्थों के प्रतिच्छेदन बिंदु की संपत्ति से से 1 एम: सीएम = 1:2, समानता गुणांक Δ ए 1 बी 1 सी 1 और डी एबीसी 2 है, इसलिए सी 1 एच 1 : चौधरी =1:2, इसके अतिरिक्त,<एच 1 सी 1 एम =<НСМ (सी 1 एच 1 || चौधरी ). इसलिए,< सी 1 महाराष्ट्र 1 = < एसएमएन,जिसका अर्थ बिंदु होता है एमलाइन पर पड़ा है एच 1 एच . अलावा, एच 1 एम : महाराष्ट्र =1:2, समानता गुणांक Δ के बाद से सी 1 एच 1 एम और डी एसएनएम 2 के बराबर

नौ बिंदुओं का चक्र

1765 में, यूलर ने पाया कि एक त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिंदु और उसके शीर्षलंबों के आधार एक ही वृत्त पर स्थित होते हैं। हम त्रिभुज के इस गुण को भी सिद्ध करेंगे।

बता दें कि B2 ऊपर से नीचे की गई ऊंचाई का आधार है परपर
पक्ष जैसा।अंक परऔर बी 2 एक सीधी रेखा के बारे में सममित हैं लेकिन 1 से 1
(चित्र 66)। इसलिए, डी लेकिन 1 पर 2 से 1 = Δ ए 1 ईसा पूर्व टी = Δ ए 1 बी 1 सी 1 , इसीलिए < ए 1 बी 2 सी 1 = <А 1 पर 1 से 1 , जिसका अर्थ बिंदु होता है पर 2 वर्णित पर है
हलकों डीए 1 पर 1 से 1 . ऊँचाई के अन्य आधारों के लिए, प्रमाण समान है। "

इसके बाद, यह पता चला कि तीन और बिंदु एक ही वृत्त पर स्थित हैं - त्रिकोण के कोने के साथ ऑर्थोसेंटर को जोड़ने वाले खंडों के मध्य बिंदु। यह वही है नौ बिंदुओं का घेरा।

होने देना अज़तथा एसजेड- खंडों के मध्यबिंदु एकतथा सीएच, एस 2 - ऊंचाई का आधार ऊपर से गिरा सेपर अब(चित्र 67)। आइए पहले इसे साबित करें ए 1 सी 1 ए 3 सी 3 - आयत। यह इस तथ्य से आसानी से अनुसरण करता है कि लेकिन 1 एसजेडतथा ए 3 सी 1 - मध्य रेखा Δ वीएसएनतथा ΔABH,एक ए 1 सी 1 तथा लेकिन 3 एसजेड- मध्य रेखा Δ एबीसीऔर डी एएसएन।इसलिए अंक लेकिन 1 तथा अज़एक व्यास के साथ एक सर्कल पर लेट जाओ से 1 एसजेड,और तबसे अज़तथा एसजेडबिंदुओं से गुजरने वाले वृत्त पर लेट जाएं लेकिन 1, सी 1 और सी 2। यह वृत्त यूलर द्वारा माने गए वृत्त के साथ मेल खाता है (यदि Δ एबीसीसमबाहु नहीं)। बिंदु के लिए वज़प्रमाण समान है।

टॉरिकेली पॉइंट

एक मनमाना चतुर्भुज के अंदर ए बी सी डी एक बिंदु का पता लगाना आसान है, जिसमें से दूरियों का योग सबसे छोटा मान है। ऐसा बिंदु बिंदु है हेइसके विकर्णों का चौराहा। दरअसल, अगर एक्स - कोई अन्य बिंदु, फिर एएक्स+एक्ससी≥एसी=एओ+ओएसतथा बीएक्स + एक्सडी ≥ बी.डी = बो + आयुध डिपो , और असमानताओं में से कम से कम एक सख्त है। एक त्रिभुज के लिए, समान समस्या को हल करना अधिक कठिन होता है, अब हम इसे हल करने के लिए आगे बढ़ेंगे। सरलता के लिए, हम न्यूनकोण त्रिभुज की स्थिति पर विचार करते हैं।

होने देना एम- न्यून-कोण Δ के भीतर कोई बिंदु एबीसी।चलो मुड़ें Δ एबीसीडॉट के साथ एमबिंदु के चारों ओर 60° लेकिन(चित्र 68)। (अधिक सटीक, चलो बी, सीतथा एम"- बिंदुओं की छवियां बी, सीतथा एमजब एक बिंदु के चारों ओर 60° घुमाया जाता है लेकिन।)फिर एएम+वीएम+सीएम=एमएम"+बी.एम. + सी " एम ", एएम = एमएम",इसलिए ΔAMM की तरह"- समद्विबाहु (एएम = एएम")तथा<मैम" = 60 डिग्री। समानता का दाहिना भाग पॉलीलाइन की लंबाई है वीएमएम "एस" ; यह सबसे छोटी रेखा होगी जब यह टूटी हुई रेखा होगी

खंड से मेल खाता है रवि" . इस मामले में<. एएमबी = 180° -<एएमएम" = 120° और<АМС = <पूर्वाह्न " सी - 180°-<पूर्वाह्न " एम = 120° यानी भुजाएँ एबी, सनऔर एसए बिंदु से दिखाई दे रहे हैं एम 120° के कोण पर। ऐसा बिंदु एमबुलाया टोरिकेली का बिंदुत्रिकोण एबीसी .

हालाँकि, हम यह सिद्ध करते हैं कि एक न्यूनकोण त्रिभुज के अंदर हमेशा एक बिंदु मौजूद होता है एम,जिससे प्रत्येक पक्ष 120° के कोण पर दिखाई देता है। साइड में बनाते हैं अबत्रिकोण एबीसी बाहरी रूप से सही Δ एबीसी 1 (चित्र 69)। होने देना एम- परिबद्ध वृत्त का प्रतिच्छेदन बिंदु ΔABC 1 और प्रत्यक्ष एसएस 1 . फिर एबीसी 1 = 60°तथा एबीसीबिंदु से देखा जा सकता है एम 120° के कोण पर। इन विचारों को थोड़ा आगे जारी रखते हुए, टोरिकेली बिंदु की एक और परिभाषा प्राप्त कर सकते हैं। आइए नियमित त्रिकोण बनाएं लेकिन 1 रवितथा अब 1 सेविमान के किनारों पर भी और जैसा।आइए हम सिद्ध करें कि बिंदु M भी रेखा पर स्थित है आ 1 . दरअसल, बिंदु एमपरिबद्ध वृत्त Δ पर स्थित है ए 1 ईसा पूर्व , इसीलिए<ए 1 एमबी = < ए 1 सीबी = 60°,जिसका मतलब है<लेकिन 1 एमवी+<. बीएमए = 180 डिग्री। इसी तरह डॉट एमसीधी रेखा पर स्थित है बी बी 1 (चित्र 69)।

डी के अंदर एबीसीएक अद्वितीय बिंदु M है जिससे इसकी भुजाएँ 120° के कोण पर दिखाई देती हैं, क्योंकि परिबद्ध वृत्त Δ एबीसी 1 , Δ अब मैं सी और डी लेकिन 1 रविएक से अधिक सामान्य बिंदु नहीं हो सकते।

आइए अब हम टोरिकेली बिंदु की भौतिक (यांत्रिक) व्याख्या करते हैं। शीर्ष Δ पर ठीक करें एबीसीछल्ले, आइए उनके माध्यम से तीन रस्सियों को पास करें, जिनमें से एक छोर बंधे हुए हैं, और समान द्रव्यमान के वजन दूसरे छोर से जुड़े हैं (चित्र। 70)। यदि एक्स = एमए, वाई = एमबी,जेड = एम सी तथा एकप्रत्येक धागे की लंबाई है, तो विचाराधीन प्रणाली की संभावित ऊर्जा मी के बराबर है जी (एक्स -एक) + एम जी (वाई - एक )+ मिलीग्राम (जेड --एक)।संतुलन की स्थिति में, स्थितिज ऊर्जा का मान सबसे छोटा होता है, इसलिए योग x + y + z का भी सबसे छोटा मान होता है। दूसरी ओर, संतुलन की स्थिति में, बिंदु पर बलों का परिणाम एमशून्य के बराबर। ये बल निरपेक्ष मान में बराबर हैं, इसलिए बल सदिशों के बीच जोड़ीदार कोण 120° के बराबर हैं।

यह बताना बाकी है कि एक अधिक त्रिकोण के मामले में चीजें कैसे खड़ी होती हैं। यदि अधिक कोण 120° से कम है, तो पिछले सभी विचार मान्य रहते हैं। और यदि अधिक कोण 120 ° से अधिक या उसके बराबर है, तो त्रिभुज के बिंदु से उसके शीर्ष तक की दूरी का योग सबसे छोटा होगा जब यह बिंदु अधिक कोण का शीर्ष है।

ब्रोकार्ड पॉइंट्स

ब्रोकार्ड Δ ABC को इंगित करता हैऐसे इसके आंतरिक बिंदु कहलाते हैं आरतथा क्यू , क्या<एबीपी = <. बीसीपी =< टोपी तथा<. QAB = <. क्यूबीसी = < क्यूसीए (एक समबाहु त्रिभुज के लिए, ब्रोकार्ड बिंदु एक बिंदु में विलीन हो जाते हैं)। आइए सिद्ध करें कि किसी भी Δ के अंदर एबीसीएक बिंदु है आर,आवश्यक संपत्ति होने (एक बिंदु के लिए क्यू प्रमाण समान है)। आइए हम प्रारंभिक रूप से ब्रोकार्ड बिंदु की परिभाषा को एक अलग रूप में तैयार करें। आइए चित्र 71 में दिखाए अनुसार कोणों को निरूपित करें। चूंकि<एआरवी=180° - ए+एक्स-वाई,समानता एक्स = वाईसमानता के बराबर है<एपीबी =180°-< . ए . फलस्वरूप, आर- बिंदु Δ एबीसी,किस तरफ से एबी,
रवितथा एसए 180° के कोण पर दिखाई देते हैं -<. ए , 180°-<बी , 180°-<से।
इस तरह के बिंदु का निर्माण निम्नानुसार किया जा सकता है। चलो आगे बढ़ते हैं
पक्ष रवित्रिकोण एबीसीसमान त्रिभुज CA1B
जैसा कि चित्र 72 में दिखाया गया है। आइए हम यह सिद्ध करें कि रेखा के चौराहे का बिंदु Р एए1और घिरा हुआ घेरा ΔA1BCइच्छित। वास्तव में,<बीपीसी =18 हे ° - β तथा<एपीबी = 180°-<ए टी पंजाब = 180° -<ए 1 सीबी = एल 80°- एक।अगला, हम समान त्रिभुजों को पक्षों पर समान तरीके से बनाते हैं एसीतथा अब(चित्र 73)। इसलिये<. एपीबी = 180° - एक,दूरसंचार विभाग आरपरिबद्ध वृत्त Δ पर भी स्थित है एबीसी 1 फलस्वरूप,<बीपीसी 1 = <बीएसी 1 = β, और इसलिए बिंदु
आरलाइन पर पड़ा है एसएस 1 . इसी तरह, यह खंड पर भी स्थित है बी बी 1 ,
अर्थात। आर -खंडों के चौराहे का बिंदु आ 1 , बीबी 1 तथा एसएस 1 .

ब्रोकार्ड पॉइंट आरनिम्नलिखित दिलचस्प संपत्ति है। सीधे चलो एआर, वी.आरतथा एसआरपरिबद्ध वृत्त ΔABC को प्रतिच्छेद करें

बिंदु A 1, B 1 और C 1 (चित्र 74) पर। फिर डी एबीसी = ∆ बी 1 से 1 ए 1 ।परअसल में,<. ए 1 बी 1 सी 1 = < ए 1 बी 1 बी + < बीबी 1 सी 1 =<ए 1 अब +<В सीसी 1 =<ए 1 अब + +< ए 1 एसी =<.ВАС, ब्रोकार्ड बिंदु ΔABC की संपत्ति से, कोण BCC 1 और A 1 AC बराबर हैं, जिसका अर्थ है कि ए 1 सी 1 = ईसा पूर्व . अन्य पक्षों की समानता Δ एबीसीऔर Δ B 1 C 1 A 1 को इसी तरह चेक किया जाता है।

उन सभी मामलों में, जिन पर हमने विचार किया है, इस बात का प्रमाण है कि संबंधित त्रिगुण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, का उपयोग करके किया जा सकता है सेवा के प्रमेय।हम इस प्रमेय को तैयार करेंगे।

प्रमेय. पक्षों पर चलो एबी, सनतथा एस एत्रिकोण एबीसी अंक लिए जाते हैं से 1 , लेकिन 1 तथा पर 1 क्रमश। प्रत्यक्ष आ 1 , बीबी 1 तथा एसएस 1 यदि और केवल यदि एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करें

एसी 1 / सी 1 वी वीए 1 / ए 1 सी सीबी 1 / बी 1 ए \u003d 1।

प्रमेय का प्रमाण ज्यामिति की पाठ्यपुस्तक 7-9 वर्ग एलएस अटानास्यान में पृष्ठ 300 पर दिया गया है।

साहित्य।

1. अतनास्यान एल.एस. ज्यामिति 7-9.- एम .: ज्ञानोदय, 2000।

2. केसेलेव ए.पी. प्राथमिक ज्यामिति।- एम।: ज्ञानोदय, 1980।

3. निकोलसकाया आई.एल. गणित में वैकल्पिक पाठ्यक्रम। एम .: ज्ञानोदय, 1991।

4. एक युवा गणितज्ञ का विश्वकोश शब्दकोश। कॉम्प। ए.पी. सविन.-एम.: शिक्षाशास्त्र, 1989।

© कुगुशेवा नताल्या लावोवना, 2009 ज्यामिति, ग्रेड 8 त्रिकोण चार उल्लेखनीय अंक

त्रिभुज माध्यिका का प्रतिच्छेदन बिंदु त्रिभुज द्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु त्रिभुज की ऊँचाई का प्रतिच्छेदन बिंदु एक त्रिभुज के लम्ब समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु

त्रिभुज की माध्यिका (BD) वह रेखाखंड है जो त्रिभुज के शीर्ष को सम्मुख भुजा के मध्यबिंदु से जोड़ती है। ए बी सी डी मेडियन

एक त्रिभुज की माध्यिकाएँ एक बिंदु (त्रिकोण के गुरुत्व के केंद्र) पर प्रतिच्छेद करती हैं और इस बिंदु से 2: 1 के अनुपात में विभाजित होती हैं, ऊपर से गिनती की जाती है। एएम:एमए 1 = वीएम:एमवी 1 = एसएम:एमएस 1 = 2:1। ए ए 1 बी बी 1 एम सी सी 1

त्रिभुज का द्विभाजक (ए डी) त्रिभुज के आंतरिक कोण के द्विभाजक का खंड है।

एक खुले हुए कोण के समद्विभाजक का प्रत्येक बिंदु उसके किनारों से समान दूरी पर होता है। इसके विपरीत, एक कोण के भीतर स्थित प्रत्येक बिंदु और कोण की भुजाओं से समदूरस्थ इसके समद्विभाजक पर स्थित होता है। ए एम बी सी

त्रिभुज के सभी द्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं - त्रिभुज में अंकित वृत्त का केंद्र। C B 1 M A B A 1 C 1 O वृत्त की त्रिज्या (OM) केंद्र (t.O) से त्रिभुज की ओर गिरा हुआ लंब है

ऊँचाई त्रिभुज की ऊँचाई (C D) त्रिभुज के शीर्ष से विपरीत भुजा वाली रेखा पर गिराए गए लंब का खंड है। ए बी सी डी

एक त्रिभुज (या उनके विस्तार) की ऊँचाई एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है। ए ए 1 बी बी 1 सी सी 1

मध्य लंब समद्विभाजक (DF) त्रिभुज की एक भुजा पर लंब रेखा होती है और इसे आधे में विभाजित करती है। ए डी एफ बी सी

A M B m O एक खंड के लम्ब समद्विभाजक (m) का प्रत्येक बिंदु इस खंड के सिरों से समान दूरी पर है। इसके विपरीत, खंड के सिरों से समदूरस्थ प्रत्येक बिंदु इसके लंबवत द्विभाजक पर स्थित होता है।

त्रिभुज की भुजाओं के सभी लंब समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं - त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त का केंद्र। A B C O परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या, वृत्त के केंद्र से त्रिभुज (OA) के किसी शीर्ष तक की दूरी है। एम एन पी

छात्र कार्य एक अधिक त्रिभुज में खुदे हुए एक वृत्त का निर्माण करने के लिए कम्पास और स्ट्रेटेज का उपयोग करें। ऐसा करने के लिए: कम्पास और सीधे किनारे का उपयोग करके एक अधिक त्रिभुज के समद्विभाजक का निर्माण करें। द्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु वृत्त का केंद्र है। वृत्त की त्रिज्या का निर्माण करें: वृत्त के केंद्र से त्रिभुज की भुजा पर लंब। त्रिभुज में अंकित एक वृत्त का निर्माण करें।

2. एक अधिक कोण वाले त्रिभुज के परिगत एक वृत्त बनाने के लिए कंपास और सीधे किनारे का उपयोग करें। ऐसा करने के लिए: एक अधिक कोण वाले त्रिभुज की भुजाओं पर लंब समद्विभाजक बनाएँ। इन लंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु परिबद्ध वृत्त का केंद्र है। एक वृत्त की त्रिज्या केंद्र से त्रिभुज के किसी शीर्ष तक की दूरी है। त्रिभुज के परिगत एक वृत्त की रचना कीजिए।

एक त्रिभुज में तथाकथित चार उल्लेखनीय बिंदु होते हैं: माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु। समद्विभाजकों के प्रतिच्छेदन बिंदु, ऊँचाइयों के प्रतिच्छेदन बिंदु और लंबवत द्विभाजकों के प्रतिच्छेदन बिंदु। आइए उनमें से प्रत्येक पर विचार करें।

त्रिभुज की माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु

प्रमेय 1

त्रिभुज की माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन पर: त्रिभुज की माध्यिकाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु को $2:1$ के अनुपात में शीर्ष से शुरू करके विभाजित करती हैं।

सबूत।

त्रिभुज $ABC$ पर विचार करें, जहाँ $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ इसकी माध्यिका है। चूँकि माध्यिकाएँ भुजाओं को आधे में विभाजित करती हैं। मध्य रेखा $A_1B_1$ पर विचार करें (चित्र 1)।

चित्र 1. त्रिभुज की माध्यिकाएँ

प्रमेय 1 के अनुसार, $AB||A_1B_1$ और $AB=2A_1B_1$, इसलिए $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$। इसलिए त्रिकोण $ABM$ और $A_1B_1M$ पहले त्रिकोण समानता मानदंड के अनुसार समान हैं। फिर

इसी प्रकार यह सिद्ध होता है

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

त्रिभुज के समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन बिंदु

प्रमेय 2

त्रिभुज के द्विभाजक के प्रतिच्छेदन पर: त्रिभुज के समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

सबूत।

त्रिभुज $ABC$ पर विचार करें, जहाँ $AM,\ BP,\ CK$ इसके समद्विभाजक हैं। बिंदु $O$ को समद्विभाजक $AM\ और \ BP$ का प्रतिच्छेदन बिंदु होने दें। इस बिंदु से त्रिभुज की भुजाओं के लंबवत खींचिए (चित्र 2)।

चित्र 2. त्रिभुज के समद्विभाजक

प्रमेय 3

एक गैर-विस्तारित कोण के समद्विभाजक का प्रत्येक बिंदु इसके किनारों से समान दूरी पर होता है।

प्रमेय 3 के अनुसार, हमारे पास: $OX=OZ,\ OX=OY$। इसलिए $ ओए = ओजेड $। इसलिए बिंदु $O$ कोण $ACB$ के किनारों से समान दूरी पर है और इसलिए इसके द्विभाजक $CK$ पर स्थित है।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

एक त्रिभुज के लंब समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु

प्रमेय 4

त्रिभुज की भुजाओं के लम्ब समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

सबूत।

चलो एक त्रिकोण $ABC$ दिया जाता है, $n,\ m,\ p$ इसके लंबवत द्विभाजक। बिंदु $O$ को लंबवत द्विभाजक $n\ and\ m$ (चित्र 3) का प्रतिच्छेदन बिंदु होने दें।

चित्र 3. त्रिभुज का लंब समद्विभाजक

उपपत्ति के लिए हमें निम्नलिखित प्रमेय की आवश्यकता है।

प्रमेय 5

एक खंड के लम्ब द्विभाजक का प्रत्येक बिंदु दिए गए खंड के सिरों से समान दूरी पर है।

प्रमेय 3 के अनुसार, हमारे पास है: $OB=OC,\ OB=OA$। इसलिए $OA=OC$। इसका मतलब यह है कि बिंदु O खंड AC खंड के सिरों से समान दूरी पर है और इसलिए, इसके लंबवत द्विभाजक p पर स्थित है।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

त्रिभुज की ऊँचाइयों का प्रतिच्छेदन बिंदु

प्रमेय 6

त्रिभुज की ऊँचाई या उनके विस्तार एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

सबूत।

त्रिभुज $ABC$ पर विचार करें, जहाँ $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ इसकी ऊंचाई है। त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष से होकर शीर्ष के सम्मुख भुजा के समांतर एक रेखा खींचिए। हमें एक नया त्रिकोण मिलता है $A_2B_2C_2$ (चित्र 4)।

चित्र 4. त्रिभुज की ऊँचाई

चूँकि $AC_2BC$ और $B_2ABC$ एक उभयनिष्ठ भुजा वाले समांतर चतुर्भुज हैं, तो $AC_2=AB_2$, यानी बिंदु $A$ भुजा $C_2B_2$ का मध्यबिंदु है। इसी तरह, हम पाते हैं कि बिंदु $B$ भुजा $C_2A_2$ का मध्यबिंदु है, और बिंदु $C$ भुजा $A_2B_2$ का मध्यबिंदु है। निर्माण से हमारे पास $(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$ है। इसलिए $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ त्रिकोण के लंबवत द्विभाजक हैं $A_2B_2C_2$। फिर, प्रमेय 4 के अनुसार, ऊँचाई $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है।

इस पाठ में हम त्रिभुज के चार अद्भुत बिंदुओं को देखेंगे। हम उनमें से दो पर विस्तार से ध्यान देंगे, महत्वपूर्ण प्रमेयों के प्रमाणों को याद करेंगे और समस्या को हल करेंगे। शेष दो हम याद करते हैं और उनकी विशेषता बताते हैं।

विषय:8वीं कक्षा के ज्यामिति पाठ्यक्रम की पुनरावृत्ति

पाठ: त्रिभुज के चार उल्लेखनीय बिंदु

एक त्रिभुज, सबसे पहले, तीन खंड और तीन कोण होते हैं, इसलिए खंडों और कोणों के गुण मौलिक होते हैं।

खंड AB दिया गया है। किसी भी खंड का एक मध्य होता है, और इसके माध्यम से एक लंब खींचा जा सकता है - हम इसे पी द्वारा निरूपित करते हैं। इस प्रकार p लम्ब समद्विभाजक है।

प्रमेय (लंबवत द्विभाजक की मूल संपत्ति)

लंबवत द्विभाजक पर स्थित कोई भी बिंदु खंड के सिरों से समान दूरी पर है।

साबित करो

सबूत:

त्रिभुजों पर विचार करें और (चित्र 1 देखें)। वे आयताकार और समान हैं, क्योंकि। एक उभयनिष्ठ पाद OM है, और शर्त के अनुसार AO और OB की पाद समान हैं, इस प्रकार, हमारे पास दो पादों में बराबर दो समकोण त्रिभुज हैं। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि त्रिभुजों के कर्ण भी बराबर होते हैं, अर्थात्, जिसे सिद्ध किया जाना था।

चावल। एक

विलोम प्रमेय सत्य है।

प्रमेय

एक खंड के सिरों से समदूरस्थ प्रत्येक बिंदु इस खंड के लंबवत द्विभाजक पर स्थित है।

सेगमेंट एबी दिया गया है, इसके लिए औसत लंबवत पी, बिंदु एम, सेगमेंट के सिरों से समतुल्य है (चित्र 2 देखें)।

साबित करें कि बिंदु एम खंड के लंबवत द्विभाजक पर स्थित है।

चावल। 2

सबूत:

आइए एक त्रिभुज पर विचार करें। यह समद्विबाहु है, शर्त के अनुसार। त्रिभुज की माध्यिका पर विचार करें: बिंदु O आधार AB का मध्यबिंदु है, OM माध्यिका है। एक समद्विबाहु त्रिभुज के गुण के अनुसार, इसके आधार पर खींची गई माध्यिका ऊँचाई और द्विभाजक दोनों होती है। अतः यह अनुसरण करता है। परंतु रेखा p भी AB पर लंब है। हम जानते हैं कि खंड AB के लिए एक लम्ब बिंदु O पर खींचा जा सकता है, जिसका अर्थ है कि रेखाएँ OM और p संपाती हैं, इसलिए यह इस प्रकार है कि बिंदु M रेखा p से संबंधित है, जिसे सिद्ध करना आवश्यक था।

यदि एक खंड के बारे में एक वृत्त का वर्णन करना आवश्यक है, तो यह किया जा सकता है, और असीम रूप से ऐसे कई वृत्त हैं, लेकिन उनमें से प्रत्येक का केंद्र खंड के लंबवत द्विभाजक पर स्थित होगा।

लम्ब द्विभाजक को एक खंड के सिरों से समदूरस्थ बिंदुओं का स्थान कहा जाता है।

त्रिभुज में तीन खंड होते हैं। आइए उनमें से दो पर मध्य लंब खींचें और उनके प्रतिच्छेदन का बिंदु O प्राप्त करें (चित्र 3 देखें)।

बिंदु O त्रिभुज की भुजा BC के लंबवत द्विभाजक से संबंधित है, जिसका अर्थ है कि यह अपने शीर्ष B और C से समान दूरी पर है, इस दूरी को R: के रूप में निरूपित करते हैं।

इसके अलावा, बिंदु O, खंड AB के लंबवत द्विभाजक पर स्थित है, अर्थात। हालाँकि, यहाँ से।

इस प्रकार, दो मध्यबिंदुओं के प्रतिच्छेदन बिंदु O

चावल। 3

त्रिभुज का लम्ब इसके शीर्षों से समदूरस्थ होता है, जिसका अर्थ है कि यह तीसरे लम्ब समद्विभाजक पर भी स्थित होता है।

हमने एक महत्वपूर्ण प्रमेय की उपपत्ति को दोहराया है।

एक त्रिभुज के तीन लंब समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं - परिधि वाले वृत्त का केंद्र।

इसलिए, हमने त्रिभुज के पहले उल्लेखनीय बिंदु पर विचार किया है - इसके लंब समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन बिंदु।

आइए एक मनमाना कोण की संपत्ति पर चलते हैं (चित्र 4 देखें)।

एक कोण दिया गया है, इसका समद्विभाजक AL, बिंदु M द्विभाजक पर स्थित है।

चावल। चार

यदि बिंदु M कोण के समद्विभाजक पर स्थित है, तो यह कोण की भुजाओं से समान दूरी पर है, अर्थात बिंदु M से AC और कोण की भुजाओं के BC तक की दूरी बराबर होती है।

सबूत:

त्रिभुज और पर विचार करें। ये समकोण त्रिभुज हैं, और ये बराबर हैं, क्योंकि। एक उभयनिष्ठ कर्ण AM है, और कोण और बराबर हैं, क्योंकि AL कोण का समद्विभाजक है। इस प्रकार, समकोण त्रिभुज कर्ण और न्यून कोण में बराबर होते हैं, इसलिए यह उसी का अनुसरण करता है, जिसे सिद्ध करना आवश्यक था। इस प्रकार, किसी कोण के समद्विभाजक पर स्थित बिंदु उस कोण की भुजाओं से समदूरस्थ होता है।

विलोम प्रमेय सत्य है।

प्रमेय

यदि एक बिंदु एक गैर-विस्तारित कोण की भुजाओं से समान दूरी पर है, तो यह अपने द्विभाजक पर स्थित होता है (चित्र 5 देखें)।

एक अविकसित कोण दिया गया है, बिंदु M, जैसे कि कोण की भुजाओं से उसकी दूरी समान है।

सिद्ध कीजिए कि बिंदु M कोण के समद्विभाजक पर स्थित है।

चावल। 5

सबूत:

एक बिंदु से एक रेखा की दूरी लंब की लंबाई है। बिंदु M से भुजा AB पर MK और भुजा AC पर लंब खींचिए।

त्रिभुज और पर विचार करें। ये समकोण त्रिभुज हैं, और ये बराबर हैं, क्योंकि। एक सामान्य कर्ण एएम है, पैर एमके और एमआर शर्त के बराबर हैं। इस प्रकार, समकोण त्रिभुज कर्ण और भुजा में बराबर होते हैं। त्रिभुजों की समानता से संबंधित तत्वों की समानता का अनुसरण करता है, समान कोण समान पैरों के विरुद्ध होते हैं, इस प्रकार, इसलिए, बिंदु M दिए गए कोण के समद्विभाजक पर स्थित है।

यदि एक कोण में एक वृत्त अंकित करना आवश्यक है, तो यह किया जा सकता है, और ऐसे असंख्य वृत्त हैं, लेकिन उनके केंद्र दिए गए कोण के समद्विभाजक पर स्थित हैं।

समद्विभाजक को एक कोण की भुजाओं से समदूरस्थ बिंदुओं का बिंदुपथ कहा जाता है।

एक त्रिभुज तीन कोनों से बना होता है। हम उनमें से दो के द्विभाजक का निर्माण करते हैं, हमें उनके चौराहे का बिंदु O मिलता है (चित्र 6 देखें)।

बिंदु O कोण के द्विभाजक पर स्थित है, जिसका अर्थ है कि यह अपनी भुजाओं AB और BC से समान दूरी पर है, आइए दूरी को r: के रूप में निरूपित करें। साथ ही, बिंदु O कोण के समद्विभाजक पर स्थित है, जिसका अर्थ है कि यह अपनी भुजाओं AC और BC से समान दूरी पर है: , , इसलिए .

यह देखना आसान है कि समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन बिंदु तीसरे कोण की भुजाओं से समान दूरी पर है, जिसका अर्थ है कि यह पर स्थित है

चावल। 6

कोण द्विभाजक। इस प्रकार त्रिभुज के तीनों समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

इसलिए, हमें एक और महत्वपूर्ण प्रमेय की उपपत्ति याद आ गई।

त्रिभुज के कोणों के द्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं - उत्कीर्ण वृत्त का केंद्र।

इसलिए, हमने त्रिभुज के दूसरे अद्भुत बिंदु पर विचार किया है - द्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु।

हमने एक कोण के द्विभाजक की जांच की और इसके महत्वपूर्ण गुणों पर ध्यान दिया: द्विभाजक के बिंदु कोण के किनारों से समान दूरी पर होते हैं, इसके अलावा, एक बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्शरेखा के खंड समान होते हैं।

आइए कुछ अंकन प्रस्तुत करते हैं (चित्र 7 देखें)।

x, y और z द्वारा स्पर्शरेखाओं के बराबर खंडों को निरूपित करें। शीर्ष A के विपरीत स्थित भुजा BC को a के रूप में निरूपित किया जाता है, इसी प्रकार AC को b, AB को c के रूप में दर्शाया जाता है।

चावल। 7

समस्या 1: एक त्रिभुज में, अर्धपरिधि और भुजा की लंबाई ज्ञात होती है। x द्वारा निरूपित शीर्ष A - AK से खींची गई स्पर्शरेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

जाहिर है, त्रिकोण पूरी तरह से परिभाषित नहीं है, और ऐसे कई त्रिकोण हैं, लेकिन यह पता चला है कि उनमें कुछ तत्व समान हैं।

उन समस्याओं के लिए जिनमें हम एक उत्कीर्ण वृत्त के बारे में बात कर रहे हैं, हम निम्नलिखित समाधान तकनीक का प्रस्ताव कर सकते हैं:

1. समद्विभाजक बनाएं और खुदे हुए वृत्त का केंद्र प्राप्त करें।

2. केंद्र 0 से भुजाओं पर लंब खींचिए और स्पर्श बिंदु प्राप्त कीजिए।

3. समान स्पर्शरेखाएँ चिह्नित करें।

4. त्रिभुज की भुजाओं और स्पर्श रेखाओं के बीच संबंध लिखिए।

उच्च व्यावसायिक शिक्षा के रूसी संघ के संघीय राज्य बजटीय शैक्षिक संस्थान के शिक्षा और विज्ञान मंत्रालय

"मैग्नीटोगोर्स्क स्टेट यूनिवर्सिटी"

भौतिकी और गणित संकाय

बीजगणित और ज्यामिति विभाग

कोर्स वर्क

त्रिभुज के उल्लेखनीय बिंदु

पूर्ण: समूह 41 के छात्र

वखरमीवा ए.एम.

वैज्ञानिक सलाहकार

वेलिकिख ए.एस.

मैग्नीटोगोर्स्क 2014

परिचय

ऐतिहासिक रूप से, ज्यामिति एक त्रिकोण के साथ शुरू हुई, इसलिए ढाई सहस्राब्दियों तक त्रिकोण ज्यामिति का प्रतीक रहा है; लेकिन वह केवल एक प्रतीक नहीं है, वह ज्यामिति का परमाणु है।

त्रिभुज को ज्यामिति का परमाणु क्यों माना जा सकता है? क्योंकि पूर्ववर्ती अवधारणाएँ - बिंदु, रेखा और कोण - अस्पष्ट और अमूर्त सार हैं, साथ में प्रमेयों और उनसे जुड़ी समस्याओं का एक समूह है। इसलिए आज विद्यालय की ज्यामिति रोचक और अर्थपूर्ण तभी बन सकती है, जब उसमें त्रिभुज का गहन और व्यापक अध्ययन प्रकट हो।

आश्चर्यजनक रूप से, त्रिभुज, अपनी स्पष्ट सादगी के बावजूद, अध्ययन की एक अटूट वस्तु है - कोई भी, हमारे समय में भी, यह कहने की हिम्मत नहीं करता है कि उसने त्रिकोण के सभी गुणों का अध्ययन किया है और जानता है।

इसका मतलब यह है कि स्कूल की ज्यामिति का अध्ययन त्रिभुज की ज्यामिति के गहन अध्ययन के बिना नहीं किया जा सकता है; अध्ययन की वस्तु के रूप में त्रिभुज की विविधता को ध्यान में रखते हुए - और इसलिए, इसके अध्ययन के लिए विभिन्न तरीकों का स्रोत - त्रिभुज के उल्लेखनीय बिंदुओं की ज्यामिति का अध्ययन करने के लिए सामग्री का चयन और विकास करना आवश्यक है। इसके अलावा, इस सामग्री का चयन करते समय, किसी को केवल राज्य शैक्षिक मानक द्वारा स्कूल पाठ्यक्रम में प्रदान किए गए अद्भुत बिंदुओं तक ही सीमित नहीं होना चाहिए, जैसे कि खुदा हुआ चक्र का केंद्र (द्विभाजक के चौराहे का बिंदु), केंद्र का केंद्र परिबद्ध वृत्त (मध्य लंब के प्रतिच्छेदन बिंदु), माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु, ऊँचाइयों के प्रतिच्छेदन बिंदु। लेकिन त्रिभुज की प्रकृति में गहराई से प्रवेश करने और इसकी अटूटता को समझने के लिए, त्रिभुज के जितने संभव हो उतने अद्भुत बिंदुओं के बारे में विचार करना आवश्यक है। एक ज्यामितीय वस्तु के रूप में त्रिभुज की अटूटता के अलावा, अध्ययन की वस्तु के रूप में त्रिभुज की सबसे आश्चर्यजनक संपत्ति पर ध्यान देना आवश्यक है: त्रिभुज की ज्यामिति का अध्ययन इसके किसी भी गुण के अध्ययन से शुरू हो सकता है, इसे आधार के रूप में लेना; तब त्रिभुज के अध्ययन की पद्धति का निर्माण इस प्रकार किया जा सकता है कि त्रिभुज के अन्य सभी गुण इसी आधार पर पिरोए जाएँ। दूसरे शब्दों में, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप त्रिभुज का अध्ययन कहाँ से शुरू करते हैं, आप हमेशा इस अद्भुत आकृति की किसी भी गहराई तक पहुँच सकते हैं। लेकिन तब - एक विकल्प के रूप में - आप इसके उल्लेखनीय बिंदुओं का अध्ययन करके त्रिभुज का अध्ययन शुरू कर सकते हैं।

पाठ्यक्रम कार्य का उद्देश्य त्रिभुज के उल्लेखनीय बिंदुओं का अध्ययन करना है। इस लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए, निम्नलिखित कार्यों को हल करना आवश्यक है:

· समद्विभाजक, माध्यिका, ऊँचाई, लम्ब समद्विभाजक और उनके गुणों की अवधारणाओं का अध्ययन करना।

· गेर्गोन पॉइंट, यूलर सर्कल और यूलर लाइन पर विचार करें, जिनका स्कूल में अध्ययन नहीं किया जाता है।

अध्याय 1. त्रिभुज का समद्विभाजक, त्रिभुज के खुदे हुए वृत्त का केंद्र। त्रिभुज के द्विभाजक के गुण। प्वाइंट गेरगोन

1 त्रिकोण अंतःवृत्त केंद्र

त्रिभुज के उल्लेखनीय बिंदु वे बिंदु होते हैं जिनका स्थान विशिष्ट रूप से त्रिभुज द्वारा निर्धारित किया जाता है और यह उस क्रम पर निर्भर नहीं करता है जिसमें त्रिभुज की भुजाएँ और शीर्ष लिए जाते हैं।

त्रिभुज का द्विभाजक त्रिभुज के कोण के द्विभाजक का खंड होता है जो एक शीर्ष को विपरीत दिशा में एक बिंदु से जोड़ता है।

प्रमेय। एक गैर-विस्तारित कोण के समद्विभाजक का प्रत्येक बिंदु इसके किनारों से समदूरस्थ (अर्थात, त्रिभुज की भुजाओं को समाहित करने वाली रेखाओं से समदूरस्थ) होता है। इसके विपरीत, एक कोण के भीतर स्थित प्रत्येक बिंदु और कोण की भुजाओं से समदूरस्थ इसके समद्विभाजक पर स्थित होता है।

सबूत। 1) कोण BAC के समद्विभाजक पर एक मनमाना बिंदु M लें, लंबवत MK और ML को सीधी रेखाओं AB और AC पर खींचें और सिद्ध करें कि MK=ML। समकोण त्रिभुजों पर विचार करें ?एएमके व ?एएमएल। वे कर्ण और तीव्र कोण में बराबर हैं (AM - सामान्य कर्ण, 1 = 2 स्थिति के अनुसार)। इसलिए, एमके = एमएल।

) मान लीजिए कि बिंदु M BAC के अंदर स्थित है और इसकी भुजाओं AB और AC से समान दूरी पर है। आइए हम सिद्ध करें कि किरण AM BAC की समद्विभाजक है। सीधी रेखाओं AB और AC पर लम्ब MK और ML खींचिए। समकोण त्रिभुज AKM और ALM कर्ण और पैर के बराबर हैं (AM - सामान्य कर्ण, MK = ML शर्त के अनुसार)। इसलिए, 1 = 2. लेकिन इसका मतलब यह है कि किरण AM BAC की समद्विभाजक है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

परिणाम। एक त्रिकोण के द्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, (खुदा हुआ वृत्त का केंद्र और केंद्र)।

आइए हम त्रिभुज ABC के समद्विभाजकों AA1 और BB1 के प्रतिच्छेदन बिंदु को O अक्षर से निरूपित करें और इस बिंदु से रेखाएँ AB, BC और CA पर क्रमशः OK, OL और OM लम्ब बनाएँ। प्रमेय के अनुसार (एक गैर-विस्तारित कोण के द्विभाजक का प्रत्येक बिंदु इसके किनारों से समान होता है। इसके विपरीत: कोण के अंदर स्थित प्रत्येक बिंदु और कोण के किनारों से समान दूरी पर इसके द्विभाजक पर स्थित होता है) हम कहते हैं कि OK \u003d OM और ओके \u003d ओएल। इसलिए, OM = OL, अर्थात बिंदु O, ACB की भुजाओं से समदूरस्थ है और इसलिए, इस कोण के समद्विभाजक CC1 पर स्थित है। इसलिए, तीनों द्विभाजक ?ABCs बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं, जिसे सिद्ध किया जाना था।

वृत्त द्विभाजक त्रिभुज सीधा

1.2 त्रिभुज के समद्विभाजक के गुण

किसी भी कोण का द्विभाजक BD (चित्र 1.1)। ?ABC विपरीत भुजा को AD और CD में विभाजित करता है, जो त्रिभुज की संलग्न भुजाओं के समानुपाती होता है।

यह सिद्ध करना आवश्यक है कि यदि ABD = DBC, तो AD: DC = AB: BC.

चलो सीई का संचालन करते हैं || भुजा AB की निरंतरता के साथ बिंदु E पर चौराहे पर BD। फिर, कई समानांतर रेखाओं द्वारा प्रतिच्छेदित रेखाओं पर बने खंडों की आनुपातिकता पर प्रमेय के अनुसार, हमारे पास अनुपात होगा: AD: DC = AB: BE। इस अनुपात से सिद्ध किए जाने वाले अनुपात में जाने के लिए, यह पता लगाना पर्याप्त है कि BE = BC, यानी कि ?सभी समबाहु हैं। इस त्रिभुज में, E \u003d ABD (समानांतर रेखाओं पर संगत कोणों के रूप में) और ALL \u003d DBC (समान समानांतर रेखाओं के साथ आड़े-तिरछे पड़े कोणों के रूप में)।

लेकिन कन्वेंशन द्वारा एबीडी = डीबीसी; इसलिए, E = ALL, और इसलिए समान कोणों के सम्मुख स्थित भुजाएँ BE और BC भी समान हैं।

अब ऊपर लिखे अनुपात में BE को BC से प्रतिस्थापित करने पर हमें वह अनुपात प्राप्त होता है जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।

20 एक त्रिभुज के आंतरिक और आसन्न कोणों के समद्विभाजक लंबवत होते हैं।

सबूत। मान लें कि BD, ABC का समद्विभाजक है (चित्र 1.2), और BE निर्दिष्ट आंतरिक कोण से सटे बाहरी CBF का समद्विभाजक है, ?एबीसी। तब यदि हम ABD = DBC = निरूपित करें ?, सीबीई = ईबीएफ = ?, फिर 2 ? + 2?= 1800 और इस प्रकार ?+ ?= 900. और इसका मतलब है कि BD? होना।

30 त्रिभुज के बाहरी कोण का समद्विभाजक विपरीत भुजा को बाह्य रूप से आसन्न भुजाओं के समानुपाती भागों में विभाजित करता है।

(आकृति 1.3) AB: BC = AD: DC, ?एईडी ~ सीबीडी, एई/बीसी = एडी/डीसी = एई/बीसी।

40 त्रिभुज के किसी भी कोण का समद्विभाजक विपरीत भुजा को त्रिभुज की आसन्न भुजाओं के समानुपाती खंडों में विभाजित करता है।

सबूत। विचार करना ?एबीसी। मान लीजिए, निश्चितता के लिए, समद्विभाजक CAB भुजा BC को बिंदु D पर प्रतिच्छेद करता है (चित्र 1.4)। आइए हम दिखाते हैं कि बीडी: डीसी = एबी: एसी। ऐसा करने के लिए, हम बिंदु C से होकर रेखा AB के समांतर एक रेखा खींचते हैं और इस रेखा AD के प्रतिच्छेदन बिंदु E से निरूपित करते हैं। फिर DAB=DEC, ABD=ECD और इसलिए ?डीएबी ~ ?त्रिभुजों की समानता के पहले चिन्ह पर DEC। आगे, क्योंकि किरण AD, CAD की समद्विभाजक है, तो CAE = EAB = AEC और, इसलिए, ?ईसीए समद्विबाहु। इसलिए एसी = सीई। लेकिन इस मामले में समानता से ?डीएबी और ?DEC का तात्पर्य है कि BD: DC = AB: CE = AB: AC, और यही वह है जिसे सिद्ध किया जाना आवश्यक था।

यदि किसी त्रिभुज के बाहरी कोण का समद्विभाजक इस कोण के शीर्ष के विपरीत भुजा की निरंतरता को काटता है, तो परिणामी प्रतिच्छेदन बिंदु से विपरीत भुजा के सिरों तक के खंड त्रिभुज की आसन्न भुजाओं के समानुपाती होते हैं।

सबूत। विचार करना ?एबीसी। मान लीजिए कि F भुजा CA के विस्तार पर एक बिंदु है, D भुजा CB के विस्तार के साथ बाह्य त्रिभुज BAF के समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु है (चित्र 1.5)। आइए दिखाते हैं कि DC:DB=AC:AB. वास्तव में, हम बिंदु C से रेखा AB के समांतर एक रेखा खींचते हैं और रेखा DA के साथ इस रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु को E से निरूपित करते हैं। फिर त्रिकोण एडीबी ~ ?ईडीसी और इसलिए डीसी:डीबी=ईसी:एबी। और तबसे ?ईएसी = ?खराब = ?सीईए, फिर समद्विबाहु में ?सीईए पक्ष एसी = ईसी और इस प्रकार डीसी: डीबी = एसी: एबी, जो साबित होना था।

3 द्विभाजक के गुणों के अनुप्रयोग पर समस्याओं को हल करना

समस्या 1। मान लीजिए O एक वृत्त का केंद्र है जिसमें खुदा हुआ है ?एबीसी, सीएबी = ?. सिद्ध कीजिए कि COB = 900 + ? /2.

समाधान। चूँकि O अंकित का केंद्र है ?ABC वृत्त (चित्र 1.6), तो किरणें BO और CO क्रमशः ABC और BCA की समद्विभाजक हैं। और फिर COB \u003d 1800 - (OBC + BCO) \u003d 1800 - (ABC + BCA) / 2 \u003d 1800 - (1800 - ?)/2 = 900 + ?/2, जो सिद्ध होना था।

समस्या 2। चलो O परिधि का केंद्र है ?वृत्त का ABC, H भुजा BC की ओर खींची गई ऊँचाई का आधार है। सिद्ध कीजिए कि CAB का समद्विभाजक किसका भी समद्विभाजक है? ओह।

माना AD CAB का समद्विभाजक है, AE व्यास है ?एबीसी सर्कल (चित्र। 1.7,1.8)। यदि एक ?एबीसी - तीव्र (चित्र। 1.7) और इसलिए, एबीसी<900, то так как ABC = AEC= ½ चाप एसी, और ?बीएचए और ?ECA आयताकार (BHA =ECA = 900), तब ?भा ~ ?ईसीए और इसलिए सीएओ = सीएई = एचएबी। इसके अलावा, बीएडी और सीएडी शर्त के बराबर हैं, इसलिए एचएडी = बीएडी - बीएएच = सीएडी - सीएई = ईएडी = ओएडी। माना अब ABC = 900 है। इस स्थिति में, ऊँचाई AH भुजा AB के साथ मेल खाती है, तब बिंदु O कर्ण AC का होगा, और इसलिए समस्या के कथन की वैधता स्पष्ट है।

उस स्थिति पर विचार करें जब ABC > 900 (चित्र 1.8)। यहाँ चतुर्भुज ABCE एक वृत्त में अंकित है और इसलिए AEC = 1800 - ABC है। दूसरी ओर, एबीएच = 1800 - एबीसी, यानी एईसी = एबीएच। और तबसे ?बीएचए और ?ECA - आयताकार और, इसलिए, HAB = 900 - ABH = 900 - AEC = EAC, तो HAD = HAB + BAD = EAC + CAD = EAD = OAD। जिन मामलों में बीएसी और एसीबी कमजोर हैं, उनके साथ समान व्यवहार किया जाता है। ?

4 प्वाइंट गेरगोन

Gergonne बिंदु उन खंडों का प्रतिच्छेदन बिंदु है जो त्रिभुज के शीर्षों को इन शीर्षों के विपरीत भुजाओं के संपर्क बिंदुओं और त्रिभुज में अंकित वृत्त से जोड़ते हैं।

मान लीजिए कि बिंदु O त्रिभुज ABC के अंतःवृत्त का केंद्र है। बता दें कि खुदा हुआ वृत्त त्रिभुज की भुजाओं BC,AC और AB को क्रमशः बिंदु D,E और F पर स्पर्श करता है। Gergonne बिंदु AD, BE और CF खंडों का प्रतिच्छेदन बिंदु है। बता दें कि बिंदु O खुदा हुआ चक्र का केंद्र है ?एबीसी। बता दें कि खुदा हुआ वृत्त त्रिभुज की भुजाओं BC, AC और AB को क्रमशः बिंदु D, E और F पर स्पर्श करता है। Gergonne बिंदु AD, BE और CF खंडों का प्रतिच्छेदन बिंदु है।

आइए हम सिद्ध करें कि ये तीनों खंड वास्तव में एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं। ध्यान दें कि उत्कीर्ण वृत्त का केंद्र कोण द्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु है ?ABC, और खुदे हुए वृत्त की त्रिज्याएँ OD, OE और OF हैं ?त्रिभुज की भुजाएँ। इस प्रकार, हमारे पास समान त्रिभुजों के तीन जोड़े हैं (AFO और AEO, BFO और BDO, CDO और CEO)।

वर्क्स AF?BD? सीई और एई? होना? CF बराबर हैं, क्योंकि BF = BD, CD = CE, AE = AF, इसलिए, इन उत्पादों का अनुपात बराबर है, और Ceva प्रमेय के अनुसार (बिंदु A1, B1, C1 भुजाओं BC, AC और AB पर स्थित हैं ?ABC, क्रमशः। मान लीजिए कि खंड AA1 , BB1 और CC1 एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, फिर

(हम त्रिभुज को दक्षिणावर्त घुमाते हैं)), खंड एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

खुदा सर्कल गुण:

एक वृत्त को एक त्रिभुज में खुदा हुआ कहा जाता है यदि वह अपनी सभी भुजाओं को स्पर्श करता है।

किसी भी त्रिभुज को एक वृत्त में अंकित किया जा सकता है।

दिया गया है: ABC - एक दिया गया त्रिभुज, O - द्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु, M, L और K - त्रिभुज की भुजाओं के साथ वृत्त के संपर्क के बिंदु (चित्र। 1.11)।

सिद्ध करें: O ABC में अंकित एक वृत्त का केंद्र है।

सबूत। आइए बिंदु O से AB, BC और CA की भुजाओं पर क्रमशः OK, OL और OM लंब बनाएं (चित्र 1.11)। चूँकि बिंदु O त्रिभुज ABC की भुजाओं से समान दूरी पर है, तो OK \u003d OL \u003d OM है। इसलिए, त्रिज्या OK का केंद्र O वाला एक वृत्त बिंदु K, L, M से होकर गुजरता है। त्रिभुज ABC की भुजाएँ इस वृत्त को बिंदु K, L, M पर स्पर्श करती हैं, क्योंकि वे त्रिज्या OK, OL और OM के लंबवत हैं। अतः त्रिज्या OK का केंद्र O वाला वृत्त त्रिभुज ABC के अंतर्गत है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

एक त्रिकोण में अंकित एक वृत्त का केंद्र उसके द्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु है।

एबीसी दिया जाता है, ओ - इसमें अंकित सर्कल का केंद्र, डी, ई और एफ - पक्षों के साथ सर्कल के संपर्क के बिंदु (चित्र। 1.12)। ? एईओ =? कर्ण और पैर के साथ AOD (EO = OD - त्रिज्या के रूप में, AO - कुल)। त्रिभुजों की समानता से क्या निकलता है? ओएडी =? ओएई। अतः AO कोण EAD का समद्विभाजक है। यह उसी तरह सिद्ध होता है कि बिंदु O त्रिभुज के अन्य दो समद्विभाजकों पर स्थित है।

संपर्क के बिंदु पर खींची गई त्रिज्या स्पर्शरेखा के लंबवत होती है।

सबूत। मान लीजिए कि वृत्त (O; R) एक दिया हुआ वृत्त है (चित्र 1.13), रेखा a इसे बिंदु P पर स्पर्श करती है। बता दें कि त्रिज्या OP a के लंबवत नहीं है। बिंदु O से स्पर्श रेखा पर एक लंब OD खींचिए। एक स्पर्शरेखा की परिभाषा के अनुसार, बिंदु P के अलावा इसके सभी बिंदु, और विशेष रूप से बिंदु D, वृत्त के बाहर स्थित होते हैं। इसलिए, लंब OD की लंबाई R से तिर्यक OP की लंबाई से अधिक है। यह तिरछी संपत्ति का खंडन करता है, और प्राप्त विरोधाभास अभिकथन को सिद्ध करता है।

अध्याय 2. त्रिभुज के 3 उल्लेखनीय बिंदु, यूलर का चक्र, यूलर की रेखा।

त्रिभुज के परिबद्ध वृत्त का 1 केंद्र

एक खंड का लंबवत द्विभाजक एक सीधी रेखा है जो खंड के मध्य बिंदु से होकर गुजरती है और इसके लंबवत होती है।

प्रमेय। एक खंड के लम्ब द्विभाजक का प्रत्येक बिंदु इस खंड के सिरों से समान दूरी पर है। इसके विपरीत, खंड के सिरों से समदूरस्थ प्रत्येक बिंदु इसके लंबवत द्विभाजक पर स्थित होता है।

सबूत। रेखा m को खंड AB का लंबवत द्विभाजक होने दें, और बिंदु O खंड का मध्य बिंदु हो।

रेखा m के एक मनमाना बिंदु M पर विचार करें और सिद्ध करें कि AM=BM है। यदि बिंदु M बिंदु O के साथ मेल खाता है, तो यह समानता सत्य है, क्योंकि O खंड AB का मध्य बिंदु है। मान लीजिए कि M और O अलग-अलग बिंदु हैं। आयताकार ?ओएएम और ?ओबीएम दो पैरों में बराबर हैं (ओए = ओबी, ओएम - सामान्य पैर), इसलिए एएम = वीएम।

) एक मनमाना बिंदु N पर विचार करें, जो खंड AB के सिरों से समान दूरी पर है, और सिद्ध करें कि बिंदु N रेखा m पर स्थित है। यदि N रेखा AB का एक बिंदु है, तो यह खंड AB के मध्य बिंदु O के साथ मेल खाता है और इसलिए रेखा m पर स्थित है। यदि बिंदु N रेखा AB पर स्थित नहीं है, तो विचार करें ?ANB, जो समद्विबाहु है, चूंकि AN=BN. खंड NO इस त्रिभुज की माध्यिका है, और इसलिए ऊंचाई है। इस प्रकार, NO AB के लंबवत है, इसलिए रेखाएँ ON और m संपाती हैं, और इसलिए N रेखा m का एक बिंदु है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

परिणाम। त्रिभुज की भुजाओं के लंबवत समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, (परिचित वृत्त का केंद्र)।

आइए, O को निरूपित करें, भुजाओं AB और BC पर मध्य लंब m और n का प्रतिच्छेदन बिंदु ?एबीसी। प्रमेय के अनुसार (खंड के लंबवत समद्विभाजक का प्रत्येक बिंदु इस खंड के सिरों से समान दूरी पर है। इसके विपरीत: खंड के सिरों से समदूरस्थ प्रत्येक बिंदु इसके लंबवत द्विभाजक पर स्थित है।) हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि OB=OA और OB = OC इसलिए: OA = OC, यानी, बिंदु O खंड AC के सिरों से समान दूरी पर है और इसलिए, इस खंड के लंबवत द्विभाजक p पर स्थित है। इसलिए, तीनों लम्ब समद्विभाजक m, n और p भुजाओं पर हैं ?ABC बिंदु O पर प्रतिच्छेद करता है।

एक तीव्र कोण वाले त्रिभुज के लिए, यह बिंदु अंदर स्थित होता है, एक अधिक कोण वाले त्रिभुज के लिए - त्रिभुज के बाहर, समकोण वाले के लिए - कर्ण के मध्य में।

त्रिभुज के लंब समद्विभाजक का गुण:

सीधी रेखाएँ जिन पर त्रिभुज के आंतरिक और बाहरी कोणों के द्विभाजक झूठ बोलते हैं, एक शीर्ष से निकलते हुए, त्रिभुज के परिचालित वृत्त के व्यास के विपरीत बिंदुओं पर विपरीत दिशा में लंब के साथ प्रतिच्छेद करते हैं।

सबूत। मान लीजिए, उदाहरण के लिए, द्विभाजक ABC परिचालित को प्रतिच्छेद करता है ?बिंदु D पर ABC एक वृत्त है (चित्र 2.1)। तब चूँकि खुदा हुआ ABD और DBC बराबर हैं, तब AD = चाप DC। लेकिन भुजा AC का लम्ब समद्विभाजक भी चाप AC को समद्विभाजित करता है, इसलिए बिंदु D भी इसी लम्ब समद्विभाजक से संबंधित होगा। इसके अलावा, चूंकि, पैराग्राफ 1.3 से संपत्ति 30 के अनुसार, एबीसी से सटे द्विभाजक बीडी एबीसी, बाद वाला वृत्त को बिंदु डी के विपरीत एक बिंदु पर काटेगा, क्योंकि खुदा हुआ समकोण हमेशा व्यास पर टिका होता है।

2 त्रिभुज वृत्त का लंबकेन्द्र

ऊँचाई त्रिभुज के शीर्ष से विपरीत भुजा वाली रेखा पर खींचा गया लंब है।

त्रिभुज (या उनके विस्तार) की ऊँचाइयाँ एक बिंदु (ऑर्थोसेंटर) पर प्रतिच्छेद करती हैं।

सबूत। एक मनमानी पर विचार करें ?एबीसी और साबित करें कि इसकी ऊंचाई वाली रेखाएं एए 1, बीबी 1, सीसी 1 एक बिंदु पर छेड़छाड़ करती हैं। प्रत्येक शीर्ष से गुजरें ?ABC विपरीत दिशा के समानांतर एक सीधी रेखा है। प्राप्त ?क2ख2ग2. बिंदु A, B और C इस त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिंदु हैं। दरअसल, AB=A2C और AB=CB2 समानांतर चतुर्भुज ABA2C और ABCB2 के विपरीत पक्षों के रूप में, इसलिए A2C=CB2। इसी प्रकार C2A=AB2 और C2B=BA2. इसके अलावा, निर्माण के अनुसार, CC1, A2B2 के लंबवत है, AA1, B2C2 के लंबवत है, और BB1, A2C2 के लंबवत है। इस प्रकार, रेखाएँ AA1, BB1 और CC1 भुजाओं के लंब समद्विभाजक हैं ?क2ख2ग2. इसलिए, वे एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

त्रिभुज के प्रकार के आधार पर, ऑर्थोसेंटर त्रिभुज के अंदर तीव्र-कोण वाले त्रिभुजों में हो सकता है, इसके बाहर - तिरछे-कोण वाले त्रिभुजों में या शीर्ष के साथ मेल खाता है, आयताकार में - एक समकोण पर शीर्ष के साथ मेल खाता है।

त्रिकोण ऊंचाई गुण:

एक तीव्र त्रिभुज के दो शीर्षों के आधारों को जोड़ने वाला एक खंड दिए गए त्रिभुज के समान एक त्रिभुज को काटता है, जिसमें सामान्य कोण के कोसाइन के बराबर समानता गुणांक होता है।

सबूत। मान लीजिए AA1, BB1, CC1 एक न्यून त्रिभुज ABC की ऊँचाई हैं, और ABC = है ?(चित्र 2.2)। समकोण त्रिभुज BA1A और CC1B में एक उभयनिष्ठ है ?, इसलिए वे समान हैं, और इसलिए BA1/BA = BC1/BC = cos ?. यह इस प्रकार है कि BA1/BC1=BA/BC = cos ?, अर्थात। में ?C1BA1 और ?उभयनिष्ठ के सन्निकट ABC भुजाएँ ??C1BA1~ ?एबीसी, और समानता गुणांक कॉस के बराबर है ?. इसी प्रकार यह सिद्ध होता है ?A1CB1~ ?समानता गुणांक cos BCA के साथ ABC, और ?बी1एसी1~ ?समानता गुणांक cos CAB के साथ ABC।

एक समकोण त्रिभुज के कर्ण पर गिरा हुआ ऊँचाई इसे एक दूसरे के समान और मूल त्रिभुज के समान दो त्रिभुजों में विभाजित करता है।

सबूत। एक आयताकार पर विचार करें ?एबीसी, जिसके पास है ?बीसीए \u003d 900, और सीडी इसकी ऊंचाई है (चित्र। 2.3)।

फिर समानता ?एडीसी व ?बीडीसी, उदाहरण के लिए, एडी/सीडी = सीडी/डीबी के बाद से, दो पैरों की आनुपातिकता में समकोण त्रिभुजों की समानता की कसौटी से अनुसरण करता है। समकोण त्रिभुज ADC और BDC में से प्रत्येक मूल समकोण त्रिभुज के समान है, कम से कम दो कोणों पर समरूपता मानदंड के आधार पर।

ऊंचाइयों के गुणों के उपयोग पर समस्याओं का समाधान

समस्या 1. सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज, जिसका एक शीर्ष किसी दिए गए अधिक कोण वाले त्रिभुज का शीर्ष है, और अन्य दो कोने एक अधिक कोण वाले त्रिकोण के शीर्षलंबों के आधार हैं, इसके अन्य दो शीर्षों से हटा दिया गया है, समान है पहले शीर्ष पर कोण के कोसाइन के मापांक के बराबर समानता गुणांक के साथ दिए गए त्रिभुज के लिए।

समाधान। एक मंदबुद्धि पर विचार करें ?कुंद कैब के साथ एबीसी। मान लीजिए AA1, BB1, CC1 इसकी ऊंचाईयां हैं (चित्र 2.4, 2.5, 2.6) और माना CAB = ?, एबीसी = ? , बीसीए = ?.

इस बात का सबूत है कि ?C1BA1~ ?समानता गुणांक k = cos के साथ ABC (चित्र 2.4)। ?, संपत्ति 1, आइटम 2.2 के प्रमाण में किए गए तर्क को पूरी तरह से दोहराता है।

आइए इसे साबित करें ?A1CB~ ?एबीसी (चित्र। 2.5) समानता गुणांक के साथ k1= cos ?, एक ?बी1एसी1~ ?समानता गुणांक k2 = |cos के साथ ABC (चित्र 2.6) |.

वास्तव में, समकोण त्रिभुज CA1A और CB1B का एक उभयनिष्ठ कोण है ?और इसलिए समान। यह इस प्रकार है कि B1C/ BC = A1C / AC = cos ?और, इसलिए, B1C/ A1C = BC / AC = cos ?, अर्थात। त्रिभुजों A1CB1 और ABC में वे भुजाएँ जो एक उभयनिष्ठ बनाती हैं ??, आनुपातिक हैं। और फिर, त्रिभुजों की समरूपता की दूसरी कसौटी के अनुसार ?A1CB~ ?एबीसी, और समानता गुणांक k1 = cos ?. बाद के मामले के लिए (चित्र। 2.6), फिर समकोण त्रिभुजों के विचार से ?बीबी1ए और ?CC1A समान ऊर्ध्वाधर कोण BAB1 और C1AC के साथ, यह इस प्रकार है कि वे समान हैं और इसलिए, B1A / BA = C1A / CA = cos (1800 - ?) = |cos ?|, क्योंकि ??- बेवकूफ। इसलिए B1A / C1A = BA /CA = |cos ?| और इस प्रकार त्रिकोण में ?B1AC1 और ?समान कोण बनाने वाली ABC भुजाएँ समानुपाती होती हैं। और इसका मतलब यह है ?बी1एसी1~ ?समानता गुणांक के साथ एबीसी k2 = |cos? |.

प्रश्न 2. सिद्ध कीजिए कि यदि बिंदु O एक न्यूनकोण त्रिभुज ABC की ऊँचाइयों का प्रतिच्छेदन बिंदु है, तो ABC + AOC = 1800, BCA + BOA = 1800, CAB + COB = 1800।

समाधान। आइए समस्या की स्थिति में दिए गए पहले सूत्र की वैधता को सिद्ध करें। इसी प्रकार शेष दो सूत्रों की वैधता सिद्ध होती है। तो माना ABC = ?, एओसी = ?. A1, B1 और C1 - शीर्ष A, B और C से खींचे गए त्रिभुज की ऊँचाइयों के आधार क्रमशः (चित्र। 2.7)। तब समकोण त्रिभुज BC1C से यह पता चलता है कि BCC1 = 900 - ?और इस प्रकार समकोण त्रिभुज OA1C में कोण COA1 है ?. लेकिन कोणों का योग AOC + COA1 = ? + ?एक सीधा कोण देता है और इसलिए AOC + COA1 = AOC + ABC = 1800, जिसे सिद्ध किया जाना था।

समस्या 3. सिद्ध कीजिए कि एक न्यूनकोण त्रिभुज के शीर्षलंब उस त्रिभुज के कोणों के समद्विभाजक होते हैं जिनके शीर्ष इस त्रिभुज के शीर्षलंबों के आधार होते हैं।

चित्र 2.8

समाधान। माना AA1, BB1, CC1 एक तीव्र त्रिभुज ABC की ऊँचाई हैं और CAB = हैं ?(चित्र 2.8)। आइए, उदाहरण के लिए, सिद्ध करें कि ऊँचाई AA1 कोण C1A1B1 का समद्विभाजक है। वास्तव में, चूँकि त्रिभुज C1BA1 और ABC समरूप हैं (गुण 1), तो BA1C1 = ?और इसलिए, C1A1A = 900 - ?. त्रिभुज A1CB1 और ABC की समानता से यह इस प्रकार है कि AA1B1 = 900 - ?और इसलिए C1A1A = AA1B1= 900 - ?. लेकिन इसका मतलब यह है कि AA1 कोण C1A1B1 का समद्विभाजक है। इसी प्रकार, यह सिद्ध होता है कि त्रिभुज ABC की अन्य दो ऊँचाइयाँ त्रिभुज A1B1C1 के अन्य दो संगत कोणों की समद्विभाजक हैं।

3 त्रिभुज के एक वृत्त का गुरुत्व केंद्र

त्रिभुज की माध्यिका वह खंड है जो त्रिभुज के किसी भी शीर्ष को सम्मुख भुजा के मध्यबिंदु से जोड़ता है।

प्रमेय। त्रिभुज की माध्यिका एक बिंदु (गुरुत्वाकर्षण केंद्र) पर प्रतिच्छेद करती है।

सबूत। एक मनमानी पर विचार करें एबीसी।

आइए हम माध्यिका AA1 और BB1 के प्रतिच्छेदन बिंदु O अक्षर से निरूपित करें और इस त्रिभुज की मध्य रेखा A1B1 बनाएं। खंड A1B1 भुजा AB के समानांतर है, इसलिए 1 = 2 और 3 = 4 है। इसलिए, ?एओबी और ?A1OB1 दो कोणों में समान हैं, और, इसलिए, उनके पक्ष आनुपातिक हैं: AO:A1O=BO:B1O=AB:A1B1। परंतु AB=2A1B1, इसलिए AO=2A1O और BO=2B1O। इस प्रकार, माध्यिका AA1 और BB1 के प्रतिच्छेदन बिंदु O उनमें से प्रत्येक को ऊपर से गिनते हुए 2: 1 के अनुपात में विभाजित करता है।

इसी तरह, यह साबित होता है कि माध्यिका BB1 और CC1 का प्रतिच्छेदन बिंदु उनमें से प्रत्येक को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है, ऊपर से गिनती करता है, और इसलिए, बिंदु O के साथ मेल खाता है और इसे 2 के अनुपात में विभाजित करता है: 1, ऊपर से गिनती।

त्रिभुज माध्य गुण:

10 एक त्रिभुज की माध्यिकाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं और ऊपर से गिनती करते हुए 2:1 के अनुपात में प्रतिच्छेदन बिंदु से विभाजित होती हैं।

दिया गया: ?ABC, AA1, BB1 - माध्यिकाएँ।

सिद्ध करें: AO:OA1=BO:OB1=2:1

सबूत। मध्य रेखा A1B1||AB, A1B1=1/2 AB के गुण के अनुसार मध्य रेखा A1B1 (चित्र 2.10) खींचते हैं। चूंकि A1B1 || AB, फिर 1 \u003d 2 आड़े-तिरछे समानांतर रेखाओं AB और A1B1 और छेदक AA1 पर स्थित है। 3 \u003d 4 समानांतर रेखाओं A1B1 और AB और छेदक BB1 के साथ स्थित है।

फलस्वरूप, ?एओओ ~ ?दो कोणों की समानता से A1OB1, इसलिए भुजाएँ आनुपातिक हैं: AO/A1O = OB/OB1 = AB/A1B = 2/1, AO/A1O = 2/1; ओबी/ओबी1 = 2/1।

माध्यिका त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।

सबूत। बीडी - माध्यिका ?एबीसी (अंजीर। 2.11), बीई - इसकी ऊंचाई। फिर ?एबीडी और ?डीबीसी समान हैं क्योंकि उनके पास क्रमशः एडी और डीसी समान आधार हैं, और एक सामान्य ऊंचाई बीई है।

संपूर्ण त्रिभुज को उसकी माध्यिकाओं द्वारा छह बराबर त्रिभुजों में विभाजित किया गया है।

यदि, त्रिभुज की माध्यिका की निरंतरता पर, माध्यिका की लंबाई के बराबर एक खंड त्रिभुज की भुजा के मध्य से अलग रखा जाता है, तो इस खंड का अंतिम बिंदु और त्रिभुज के शीर्ष इसके शीर्ष हैं समांतर चतुर्भुज।

सबूत। माना D भुजा BC का मध्यबिंदु है ?ABC (चित्र 2.12), E रेखा AD पर एक बिंदु इस प्रकार है कि DE = AD है। तब चूंकि चतुर्भुज ABEC के विकर्ण AE और BC उनके प्रतिच्छेदन बिंदु D पर आधे में विभाजित हैं, यह गुण 13.4 से अनुसरण करता है कि चतुर्भुज ABEC एक समांतर चतुर्भुज है।

माध्यकों के गुणों के उपयोग पर समस्याओं का समाधान:

प्रश्न 1. सिद्ध कीजिए कि यदि O माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है ?एबीसी तब ?एओबी, ?बीओसी और ?एओसी बराबर हैं।

समाधान। माना AA1 और BB1 माध्यिकाएँ हैं ?एबीसी (चित्र। 2.13)। विचार करना ?एओबी और ?बीओसी। जाहिर है, एस ?एओबी = एस ?AB1B-एस ?एबी1ओ, एस ?बीओसी = एस ?BB1C-एस ?ओबी1सी। लेकिन संपत्ति 2 से हमारे पास एस है ?AB1B = एस ?बीबी1सी, एस ?एओबी = एस ?OB1C, जिसका अर्थ है कि S ?एओबी = एस ?बी.ओ.सी. समानता एस एओबी = एस ?एओसी।

प्रश्न 2. सिद्ध कीजिए कि यदि बिंदु O अंदर स्थित है ?एबीसी और ?एओबी, ?बीओसी और ?AOC बराबर हैं, तो O माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है? एबीसी।

समाधान। विचार करना ?ABC (2.14) और मान लें कि बिंदु O माध्यिका BB1 पर स्थित नहीं है। तब चूँकि OB1 माध्यिका है ?एओसी, फिर एस ?एओबी1=एस ?B1OC , और चूँकि शर्त के अनुसार S ?एओबी = एस ?बीओसी, फिर एस ?AB1OB=S ?बीओबी1सी. लेकिन यह नहीं हो सकता, क्योंकि ?एबीबी1 = एस ?बी1बीसी। परिणामी विरोधाभास का अर्थ है कि बिंदु O BB1 की माध्यिका पर स्थित है। इसी प्रकार यह सिद्ध होता है कि बिंदु O अन्य दो माध्यिकाओं से संबंधित है ?एबीसी। इसलिए यह इस प्रकार है कि बिंदु O वास्तव में तीन माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है? एबीसी।

समस्या 3. सिद्ध करें कि यदि में ?ABC की भुजाएँ AB और BC समान नहीं हैं, तो इसका समद्विभाजक BD माध्यिका BM और ऊँचाई BH के बीच स्थित है।

सबूत। के बारे में बताते हैं ?ABC एक वृत्त है और इसके द्विभाजक BD को बिंदु K पर वृत्त के साथ प्रतिच्छेद करने तक विस्तारित करता है। बिंदु K के माध्यम से खंड AC (गुण 1, अनुच्छेद 2.1 से गुण 1) के लिए एक लंबवत मध्य बिंदु होगा, जिसका माध्यिका के साथ एक सामान्य बिंदु M है। लेकिन चूँकि खंड BH और MK समानांतर हैं, और बिंदु B और K रेखा AC के विपरीत दिशा में स्थित हैं, तो खंड BK और AC का प्रतिच्छेदन बिंदु HM से संबंधित है, और यह दावा सिद्ध करता है।

टास्क 4. में ?ABC माध्यिका BM, भुजा AB के आकार की आधी है और इसके साथ 400 का कोण बनाती है। ABC ज्ञात कीजिए।

समाधान। आइए माध्यिका BM को बिंदु M से उसकी लंबाई से आगे बढ़ाते हैं और बिंदु D (चित्र 2.15) प्राप्त करते हैं। चूँकि AB \u003d 2BM, तब AB \u003d BD, यानी त्रिभुज ABD समद्विबाहु है। इसलिए, BAD = BDA = (180o - 40o) : 2 = 70o. चतुर्भुज ABCD एक समांतर चतुर्भुज है क्योंकि इसके विकर्ण प्रतिच्छेदन बिंदु से द्विभाजित होते हैं। तो सीबीडी = एडीबी = 700। तब ABC = ABD + CBD = 1100। उत्तर 1100 है।

समस्या 5. भुजाएँ ABC a, b, c के बराबर हैं। भुजा c पर खींची गई माध्यिका mc की गणना करें (चित्र 2.16)।

समाधान। समांतर चतुर्भुज ASBP में ?ABC को पूर्ण करके माध्यिका को दोगुना करते हैं, और इस समांतर चतुर्भुज पर प्रमेय 8 लागू करते हैं। हमें मिलता है: CP2+AB2 = 2AC2+2BC2, अर्थात (2mc)2+c2= 2b2+2a2, जहां से हम पाते हैं:

2.4 यूलर सर्कल। यूलर लाइन

प्रमेय। माध्यिका के आधार, एक मनमाने त्रिभुज की ऊँचाई, साथ ही त्रिभुज के कोने को उसके ऑर्थोसेंटर से जोड़ने वाले खंडों के मध्य बिंदु, एक ही वृत्त पर स्थित होते हैं, जिसकी त्रिज्या परिचालित वृत्त की त्रिज्या के आधे के बराबर होती है त्रिकोण के बारे में। इस वृत्त को नौ-बिंदु वृत्त या यूलर वृत्त कहा जाता है।

सबूत। आइए माध्यिका लें? MNL (चित्र। 2.17) और इसके चारों ओर एक वृत्त W का वर्णन करें। खंड LQ आयताकार में माध्यिका है? AQB, इसलिए LQ=1/2AB। खंड MN=1/2AB, as एमएन - मध्य रेखा एबीसी। इससे पता चलता है कि चतुर्भुज QLMN समद्विबाहु है। चूँकि वृत्त W समद्विबाहु समलंब L, M, N के 3 शीर्षों से होकर गुजरता है, यह चौथे शीर्ष Q से भी गुजरेगा। इसी प्रकार, यह सिद्ध होता है कि P, W से संबंधित है, R, W से संबंधित है।

चलो बिंदु X, Y, Z पर चलते हैं। खंड XL मध्य रेखा के रूप में BH के लिए लंबवत है? AHB। खंड बीएच एसी के लंबवत है, और चूंकि एसी एलएम के समानांतर है, बीएच एलएम के लंबवत है। इसलिए, XLM=P/2। इसी प्रकार, एक्सएनएम = एफ/2।

चतुर्भुज LXNM में, दो विपरीत कोण समकोण होते हैं, इसलिए इसके चारों ओर एक वृत्त खींचा जा सकता है। यह वृत्त W होगा। इसलिए X, W से संबंधित है, इसी प्रकार Y, W से संबंधित है, Z, W से संबंधित है।

मध्य ?LMN ?ABC के समान है। समानता गुणांक 2 है। इसलिए, नौ-बिंदु वृत्त की त्रिज्या R/2 है।

यूलर सर्कल गुण:

नौ बिंदुओं वाले वृत्त की त्रिज्या, ABC के चारों ओर परिचालित वृत्त की आधी त्रिज्या के बराबर है।

गुणांक के साथ ?ABC के चारों ओर परिबद्ध वृत्त के लिए नौ बिंदुओं का वृत्त समरूप है ½ और बिंदु H पर समरूपता केंद्र।

प्रमेय। लम्बकेन्द्र, केन्द्रक, परिबद्ध वृत्त का केन्द्र और नौ बिन्दुओं के वृत्त का केन्द्र एक ही सरल रेखा पर स्थित होते हैं। यूलर की सीधी रेखा।

सबूत। मान लीजिए H लम्बकेन्द्र है? ABC (चित्र 2.18) और O परिबद्ध वृत्त का केंद्र है। निर्माण के द्वारा, लम्ब समद्विभाजक?ABC में माध्यिका की ऊँचाई होती है?MNL, यानी O एक साथ ऑर्थोसेंटर?LMN है। ?LMN ~ ?ABC, उनकी समानता गुणांक 2 है, इसलिए BH=2ON।

बिंदुओं H और O से होकर एक रेखा खींचिए। हमें दो समान त्रिभुज मिलते हैं?NOG और?BHG। चूँकि BH=2ON, तब BG=2GN. उत्तरार्द्ध का मतलब है कि बिंदु G एक केन्द्रक है? ABC। बिंदु G के लिए, अनुपात HG:GO=2:1 पूरा होता है।

मान लीजिए आगे TF लम्ब समद्विभाजक है? TGF और ?NGO जैसे विकल्पों पर विचार करें। बिंदु G एक केन्द्रक?MNL है, इसलिए समानता गुणांक?TGF और?NGO 2 के बराबर है। इसलिए OG=2GF और चूंकि HG=2GO, फिर HF=FO और F खंड HO का मध्यबिंदु है।

यदि हम दूसरी तरफ लम्ब समद्विभाजक के संबंध में समान तर्क देते हैं?MNL, तो इसे भी खंड HO के मध्य से गुजरना होगा। लेकिन इसका मतलब यह है कि बिंदु F लम्ब समद्विभाजक MNL का एक बिंदु है। ऐसा बिंदु यूलर सर्कल का केंद्र है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

निष्कर्ष

इस पेपर में, हमने स्कूल में पढ़े गए त्रिकोण के 4 अद्भुत बिंदुओं और उनके गुणों की जांच की, जिसके आधार पर हम कई समस्याओं को हल कर सकते हैं। गेर्गोन पॉइंट, यूलर सर्कल और यूलर लाइन पर भी विचार किया गया।

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