पहले, उपडोमेन विधि का उल्लेख किया गया था, जो कई संख्यात्मक विधियों के लिए शुरुआती बिंदु के रूप में कार्य करती थी। ऐसी ही एक विधि परिमित आयतन विधि है। यही विधि एक अन्य व्यापक वर्ग-अभिन्न विधि का प्रतिनिधि है। उपडोमेन विधि के अंकन के शास्त्रीय रूप से, उपडोमेन में कम्प्यूटेशनल डोमेन का विभाजन और उपडोमेन पर अवशिष्ट का एकीकरण लिया जाता है। अंतर सन्निकटन (परीक्षण) फ़ंक्शन की स्पष्ट रिकॉर्डिंग की अनुपस्थिति है। लेकिन, पहले की तरह, हम प्रत्येक उपडोमेन में समीकरण को "बिल्कुल" हल करने का प्रयास कर रहे हैं। इसलिए, मूल समीकरण उपडोमेन पर एकीकृत है। इंटीग्रल विधियों की विशेषता यह है कि पहले विभेदक समीकरण का इंटीग्रल लिया जाता है, और समीकरण लिखने का एक इंटीग्रल रूप प्राप्त होता है। इस रूप में समीकरण को फिर अलग-अलग ग्रिड कोशिकाओं पर लागू किया जाता है। इस मामले में, कोशिकाएँ और उपक्षेत्र एक ही हैं।

वास्तव में, समीकरण लिखने के अभिन्न रूप में (भौतिकी के दृष्टिकोण से) अंतर की तुलना में अनुप्रयोग की व्यापक सीमा होती है। तथ्य यह है कि फ़ंक्शन असंतोष की उपस्थिति में, अंतर समीकरण लागू नहीं होते हैं, और उनके अभिन्न एनालॉग काम, काम और काम करना जारी रखते हैं…। दुर्भाग्य से, जब उन्हें संख्यात्मक रूप से लागू किया जाता है, तो यह लाभ कभी-कभी खो जाता है।

एक नियम के रूप में, समीकरणों से अभिन्नों का एक सरल और समझने योग्य भौतिक अर्थ होता है। उदाहरण के लिए, निरंतरता समीकरण पर विचार करें। मूल अवकल समीकरण लिखा गया है

आइए इसे वॉल्यूम V पर एकीकृत करें, जिसकी सतह S है, और समय के साथ t 0 से t 1 के अंतराल में। डेरिवेटिव को एकीकृत करते समय, हम स्टोक्स सूत्र का उपयोग करते हैं (इसके विशेष मामलों को ग्रीन और ओस्ट्रोग्रैडस्की-गॉस सूत्र कहा जाता है)। परिणाम हमें मिलता है

इस अंकन में, पहले दो अभिन्नों के बीच अंतर का मतलब विचाराधीन समय अंतराल के दौरान किसी दिए गए आयतन में द्रव्यमान में परिवर्तन है। और डबल इंटीग्रल एक ही समय की अवधि में सतह के माध्यम से दिए गए आयतन में प्रवाहित होने वाले द्रव्यमान को दर्शाता है। स्वाभाविक रूप से, चूंकि हम संख्यात्मक तरीकों के बारे में बात कर रहे हैं, इन अभिन्नों की गणना लगभग की जाती है। और यहां सन्निकटन के प्रश्न शुरू होते हैं, परिमित अंतर विधि में विचार किए जाने वाले प्रश्नों के समान।

आइए सबसे सरल मामलों में से एक पर विचार करें - एक द्वि-आयामी आयताकार समान ग्रिड। परिमित आयतन विधि में, फ़ंक्शंस के मान आमतौर पर ग्रिड नोड्स पर नहीं, बल्कि कोशिकाओं के केंद्रों पर निर्धारित किए जाते हैं। तदनुसार, प्रत्येक दिशा में ग्रिड लाइनें भी अनुक्रमित नहीं होती हैं, बल्कि कोशिकाओं की परतें होती हैं (आंकड़ा देखें)।

जे-1

जे

जे+1

के-1

क

क+1

ए

बी

सी

डी

इस स्थिति के लिए, समीकरण का अभिन्न रूप इस प्रकार लिखा जाएगा

जैसा कि आप देख सकते हैं, इस मामले में हमें एक साधारण समीकरण प्राप्त हुआ, जिसे हम परिमित अंतर विधि का उपयोग करके भी लिख सकते हैं। इसका मतलब यह है कि स्थिरता का अध्ययन करने के वही तरीके इस पर लागू किए जा सकते हैं। (एक त्वरित प्रश्न: क्या यह योजना स्थिर है?)

लेकिन अगर हमें वही चीज़ मिलती, तो क्या यह पूरा बगीचा बनाने लायक था? सरलतम मामलों में, हमें वास्तव में कोई लाभ नहीं मिलता है। लेकिन अधिक जटिल परिस्थितियों में लाभ सामने आते हैं। सबसे पहले, जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, ऐसी विधियाँ (इतने सरल कार्यान्वयन में भी) असंतुलन और उच्च ग्रेडिएंट वाले क्षेत्रों का बेहतर वर्णन करती हैं। साथ ही, द्रव्यमान, संवेग और ऊर्जा के संरक्षण के नियमों की पूर्ति की गारंटी है, क्योंकि वे प्रत्येक कोशिका में देखे जाते हैं। दूसरे, ये विधियाँ ग्रिड पर विभिन्न प्रकार के दुरुपयोगों का सामना कर सकती हैं। यहां तक ​​कि घुमावदार, असमान और अनियमित ग्रिड भी इन तरीकों को पटरी से नहीं उतारते हैं। ये लाभ विशेष रूप से अक्सर तब महसूस होते हैं जब सीमा शर्तें निर्दिष्ट की जाती हैं।

जे-1

जे

जे+1

के-1

क

क+1

ए

बी

सी

डी

इ

उदाहरण के लिए, चित्र में दिखाए गए मामले के लिए, समीकरण के अभिन्न रूप का रूप होगा

यानी, बस जहां हमने इंटीग्रल को पूर्ण सेल के क्षेत्र पर ले लिया, अब हम इसे "छंटनी" क्षेत्र पर ले जाते हैं, जहां हमने इंटीग्रल को पूर्ण किनारे पर ले लिया, अब हम इसे इसके शेष भाग पर ले जाते हैं . सीमा खंड पर एक अभिन्न अंग जोड़ा गया था। लेकिन यह सीमा की स्थितियों से आसानी से मिल जाता है। विशेष रूप से, यदि दीवार के माध्यम से कोई द्रव्यमान प्रवाह नहीं किया जाता है (और साथ ही सतह से कोई द्रव्यमान नहीं ले जाया जाता है और/या हम दीवार पर चार्ज खोने वाले आयनों के द्रव्यमान प्रवाह की उपेक्षा करते हैं), तो ऐसा अभिन्न शून्य के बराबर होता है। ऊर्जा समीकरण के समान रूप में, दीवार के माध्यम से प्रवाह को, एक नियम के रूप में, ध्यान में रखा जाना चाहिए। लेकिन सीमा शर्तों (यदि वे सही ढंग से सेट की गई हैं) से इसे ढूंढना भी मुश्किल नहीं है।

इसे सुदृढ़ करने के लिए, आइए हम वर्णन करें कि संवेग संरक्षण समीकरणों में से किसी एक पर परिमित आयतन विधि का अनुप्रयोग कैसा दिखेगा। आइए हम एकल आवेशित आयनों के लिए फ्लैट स्थिर केस लें। हम श्यानता और प्रत्यास्थ टकराव की उपेक्षा करते हैं। हमें समीकरण मिलता है

एक आयताकार जाल के लिए (ऊपर चित्र देखें) हमें मिलता है

ऐसे समीकरण का सबसे सरल सन्निकटन इस प्रकार लिखा जा सकता है:

कटौती के बाद हमें सूत्र मिलता है

प्रयोग परिमित (नियंत्रण) आयतन विधिआइए हम द्वि-आयामी स्थिर ताप समीकरण के उदाहरण का उपयोग करके प्रदर्शित करें:

चावल। 13. समीकरण (31) को हल करने के लिए उपयोग की जाने वाली गणना ग्रिड

परिमित आयतन विधि

माध्य मान प्रमेय का उपयोग करके हम लिख सकते हैं

,

जहां Δx, Δу सेल चेहरों की लंबाई है, x W सेल A की बाईं ("पश्चिमी") सीमा का भुज है, x E दाहिनी ("पूर्वी") सीमा का भुज है, y N कोटि है ऊपरी ("उत्तरी") सीमा का, y S निचली ("दक्षिणी") सीमा का कोटि है, S * - सेल-औसत ताप रिलीज़ दर। (32) के बाईं ओर डेरिवेटिव (*) पर सूचकांक इंगित करता है कि उन्हें औसत मान माना जाना चाहिए, इस तरह से निर्धारित किया जाना चाहिए कि प्रत्येक सीमा पर गर्मी प्रवाह का सही ढंग से प्रतिनिधित्व किया जा सके। इस परिस्थिति को ध्यान में रखते हुए, (32) का एक अलग एनालॉग बिना किसी कठिनाई के प्राप्त किया जा सकता है [पाटनकर]।

इस प्रकार, समीकरण (32) सेल ए के भीतर गर्मी संतुलन (ऊर्जा के संरक्षण का नियम) का वर्णन करता है। बशर्ते कोशिकाओं के बीच गर्मी प्रवाह का सही ढंग से वर्णन किया गया हो, प्रत्येक नियंत्रण मात्रा पर लागू फॉर्म (32) के समीकरणों से बना एक सिस्टम सही ढंग से होगा संपूर्ण कम्प्यूटेशनल डोमेन में ताप संतुलन का वर्णन करें।

पैराग्राफ के अंत में, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि विशेष मामलों में, ऊपर वर्णित विधियों द्वारा प्राप्त गणना सूत्र मेल खा सकते हैं, और वक्रीय गैर-ऑर्थोगोनल गणना ग्रिड का उपयोग करते समय सबसे महत्वपूर्ण अंतर दिखाई देते हैं।

5. असतत सर्किट के गुण

5.1 सटीकता

शुद्धताइसके व्यावहारिक उपयोग के लिए संख्यात्मक योजना की स्वीकार्यता को दर्शाता है। असतत सर्किट की सटीकता का आकलन करना एक बहुत ही कठिन कार्य प्रतीत होता है, क्योंकि सर्किट के गुणों के परिणामस्वरूप उत्पन्न होने वाली त्रुटियों को अन्य कारकों (जैसे) के परिणामस्वरूप उत्पन्न होने वाली त्रुटियों से अलग करना लगभग असंभव हो जाता है पूर्णांकन त्रुटियाँ, सीमा और प्रारंभिक स्थितियों को निर्दिष्ट करने में अशुद्धि, आदि)।

जब एक अलग योजना की सटीकता के बारे में बात की जाती है, तो उनका मतलब आमतौर पर डेरिवेटिव 27 के सन्निकटन में त्रुटि से होता है। विशेष रूप से, यदि सन्निकटन त्रुटि कम्प्यूटेशनल ग्रिड चरण की दूसरी शक्ति के बराबर है, तो असतत योजना को दूसरे क्रम की सटीकता कहा जाता है। इस मुद्दे पर §3 में अधिक विस्तार से चर्चा की गई है।

5.2 संगति

असतत परिपथ कहलाता है पर सहमतमूल अंतर समीकरण के साथ, यदि, जब कम्प्यूटेशनल जाल को परिष्कृत किया जाता है, तो सन्निकटन त्रुटि (§ 3 देखें) शून्य हो जाती है,

ऐसी ज्ञात गणना योजनाएँ हैं जिनमें स्थिरता प्राप्त करने के लिए अतिरिक्त शर्तों को पूरा करना होगा [एंडरसन और के]। चूँकि गणना योजनाओं की स्थिरता की जाँच करना सॉफ़्टवेयर के सॉफ़्टवेयर डेवलपर्स (और उपयोगकर्ताओं का नहीं) का कार्य है, इसलिए इस मुद्दे पर यहाँ अधिक विस्तार से चर्चा नहीं की जाएगी।

विवरण

अनौपचारिक

तरल या गैस प्रवाह का एक निश्चित बंद क्षेत्र चुना जाता है, जिसके लिए स्थूल मात्राओं (उदाहरण के लिए, वेग, दबाव) के क्षेत्रों की खोज की जाती है जो समय में माध्यम की स्थिति का वर्णन करते हैं और गणितीय रूप से तैयार किए गए कुछ कानूनों को संतुष्ट करते हैं। यूलर चर में संरक्षण कानून का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है।

किसी भी मूल्य के लिए, अंतरिक्ष में हर बिंदु पर, कुछ से घिरा हुआ बंद परिमित मात्रा, समय के क्षण में निम्नलिखित संबंध होता है: आयतन में किसी मात्रा की कुल मात्रा निम्नलिखित कारकों के कारण बदल सकती है:

दूसरे शब्दों में, एमकेओ तैयार करते समय, अध्ययन की जा रही मात्रा की भौतिक व्याख्या का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, गर्मी हस्तांतरण की समस्याओं को हल करते समय, प्रत्येक नियंत्रण मात्रा में गर्मी के संरक्षण के नियम का उपयोग किया जाता है।

गणितीय

संशोधनों

साहित्य

• पाटनकर एस.वी. चैनलों में प्रवाह के दौरान थर्मल चालन और संवहन गर्मी हस्तांतरण की समस्याओं का संख्यात्मक समाधान = चालन और वाहिनी प्रवाह गर्मी हस्तांतरण की गणना: अनुवाद। अंग्रेज़ी से - एम.: एमपीईआई पब्लिशिंग हाउस, 2003. - 312 पी।

यह सभी देखें

विकिमीडिया फ़ाउंडेशन. 2010.

• द्विघात छलनी विधि
• परिमित अनुपात विधि

देखें अन्य शब्दकोशों में "परिमित आयतन विधि" क्या है:

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