सीधे शब्दों में कहें तो ये एक खास रेसिपी के अनुसार पानी में पकाई गई सब्जियां हैं। मैं दो प्रारंभिक घटकों (सब्जी सलाद और पानी) और तैयार परिणाम - बोर्स्ट पर विचार करूंगा। ज्यामितीय रूप से, इसे एक आयत के रूप में दर्शाया जा सकता है जिसमें एक तरफ लेट्यूस को दर्शाता है, दूसरी तरफ पानी को दर्शाता है। इन दोनों पक्षों का योग बोर्स्ट को निरूपित करेगा। इस तरह के "बोर्श" आयत का विकर्ण और क्षेत्र विशुद्ध रूप से गणितीय अवधारणाएँ हैं और बोर्स्ट व्यंजनों में कभी भी उपयोग नहीं किया जाता है।

गणित के संदर्भ में लेट्यूस और पानी बोर्स्ट में कैसे बदलते हैं? त्रिकोणमिति में दो खंडों का योग कैसे बदल सकता है? इसे समझने के लिए, हमें रैखिक कोण फलन की आवश्यकता है।

गणित पाठ्यपुस्तकों में आपको रैखिक कोण कार्यों के बारे में कुछ भी नहीं मिलेगा। लेकिन उनके बिना कोई गणित नहीं हो सकता। गणित के नियम, प्रकृति के नियमों की तरह, काम करते हैं चाहे हम जानते हों कि वे मौजूद हैं या नहीं।

रेखीय कोणीय फलन योग के नियम हैं।देखें कि कैसे बीजगणित ज्यामिति में बदल जाता है और ज्यामिति त्रिकोणमिति में बदल जाती है।

क्या रैखिक कोणीय कार्यों के बिना करना संभव है? आप कर सकते हैं, क्योंकि गणितज्ञ अभी भी उनके बिना काम कर सकते हैं। गणितज्ञों की चाल इस तथ्य में निहित है कि वे हमेशा हमें केवल उन्हीं समस्याओं के बारे में बताते हैं जिन्हें वे स्वयं हल कर सकते हैं, और हमें उन समस्याओं के बारे में कभी नहीं बताते जिन्हें वे हल नहीं कर सकते। देखना। यदि हम जोड़ और एक पद का परिणाम जानते हैं, तो हम दूसरे पद को ज्ञात करने के लिए घटाव का उपयोग करते हैं। हर चीज़। हम अन्य समस्याओं को नहीं जानते हैं और हम उन्हें हल करने में सक्षम नहीं हैं। क्या करें यदि हम केवल योग का परिणाम जानते हैं और दोनों पदों को नहीं जानते हैं? इस मामले में, जोड़ के परिणाम को रैखिक कोणीय कार्यों का उपयोग करके दो शब्दों में विघटित किया जाना चाहिए। इसके अलावा, हम स्वयं चुनते हैं कि एक शब्द क्या हो सकता है, और रैखिक कोणीय कार्य दिखाते हैं कि अतिरिक्त परिणाम के लिए दूसरा शब्द क्या होना चाहिए, जो कि हमें चाहिए। ऐसे शब्दों के युग्मों की अनंत संख्या हो सकती है। रोजमर्रा की जिंदगी में, हम योग को विघटित किए बिना बहुत अच्छा करते हैं, घटाव हमारे लिए पर्याप्त है। लेकिन प्रकृति के नियमों के वैज्ञानिक अध्ययन में, राशि का शब्दों में विस्तार बहुत उपयोगी हो सकता है।

जोड़ का एक और नियम जिसके बारे में गणितज्ञ बात करना पसंद नहीं करते (उनकी एक और चाल) के लिए आवश्यक है कि शर्तों में माप की एक ही इकाई हो। लेट्यूस, पानी और बोर्स्ट के लिए, ये वजन, मात्रा, लागत या माप की इकाई हो सकते हैं।

यह आंकड़ा गणित के लिए अंतर के दो स्तरों को दर्शाता है। पहला स्तर संख्याओं के क्षेत्र में अंतर है, जो संकेतित हैं एक, बी, सी. यही गणितज्ञ करते हैं। दूसरा स्तर माप की इकाइयों के क्षेत्र में अंतर है, जो वर्ग कोष्ठक में दिखाए गए हैं और अक्षर द्वारा इंगित किए गए हैं यू. यही भौतिक विज्ञानी करते हैं। हम तीसरे स्तर को समझ सकते हैं - वर्णित वस्तुओं के दायरे में अंतर। विभिन्न वस्तुओं में माप की समान इकाइयों की समान संख्या हो सकती है। यह कितना महत्वपूर्ण है, हम बोर्स्च त्रिकोणमिति के उदाहरण पर देख सकते हैं। यदि हम विभिन्न वस्तुओं के माप की इकाइयों के लिए एक ही अंकन में सबस्क्रिप्ट जोड़ते हैं, तो हम कह सकते हैं कि वास्तव में कौन सी गणितीय मात्रा किसी विशेष वस्तु का वर्णन करती है और यह समय के साथ या हमारे कार्यों के संबंध में कैसे बदलती है। पत्र डब्ल्यूमैं पानी को पत्र से चिह्नित करूंगा एसमैं सलाद को पत्र के साथ चिह्नित करूंगा बी- बोर्श। यहाँ बोर्स्ट के लिए रैखिक कोण कार्य कैसा दिखेगा।

अगर हम पानी का कुछ हिस्सा और सलाद का कुछ हिस्सा लेते हैं, तो वे एक साथ बोर्स्ट की एक सर्विंग में बदल जाएंगे। यहाँ मेरा सुझाव है कि आप बोर्स्ट से थोड़ा ब्रेक लें और अपने दूर के बचपन को याद करें। याद रखें कि कैसे हमें खरगोशों और बत्तखों को एक साथ रखना सिखाया गया था? यह पता लगाना आवश्यक था कि कितने जानवर निकलेंगे। फिर हमें क्या करना सिखाया गया? हमें इकाइयों को संख्याओं से अलग करना और संख्याओं को जोड़ना सिखाया गया। हाँ, किसी भी संख्या को किसी अन्य संख्या में जोड़ा जा सकता है। यह आधुनिक गणित के आत्मकेंद्रित होने का एक सीधा रास्ता है - हम यह नहीं समझते हैं कि क्या, यह स्पष्ट क्यों नहीं है, और हम बहुत कम समझते हैं कि यह कैसे वास्तविकता से संबंधित है, तीन स्तरों के अंतर के कारण, गणितज्ञ केवल एक पर काम करते हैं। माप की एक इकाई से दूसरी इकाई में कैसे जाना है, यह सीखना अधिक सही होगा।

और बन्नी, और बत्तख, और छोटे जानवरों को टुकड़ों में गिना जा सकता है। विभिन्न वस्तुओं के लिए माप की एक सामान्य इकाई हमें उन्हें एक साथ जोड़ने की अनुमति देती है। यह समस्या का बच्चों का संस्करण है। आइए वयस्कों के लिए इसी तरह की समस्या देखें। जब आप बन्नी और पैसे जोड़ते हैं तो आपको क्या मिलता है? यहाँ दो संभावित समाधान हैं।

पहला विकल्प. हम खरगोशों का बाजार मूल्य निर्धारित करते हैं और इसे उपलब्ध नकदी में जोड़ते हैं। हमने अपने धन का कुल मूल्य धन के रूप में प्राप्त किया।

दूसरा विकल्प. हमारे पास जितने बैंक नोट हैं, आप उनमें खरगोशों की संख्या जोड़ सकते हैं। चल संपत्ति का योग टुकड़ों में मिलेगा।

जैसा कि आप देख सकते हैं, एक ही जोड़ कानून आपको अलग-अलग परिणाम प्राप्त करने की अनुमति देता है। यह सब इस बात पर निर्भर करता है कि हम वास्तव में क्या जानना चाहते हैं।

लेकिन वापस हमारे बोर्स्ट में। अब हम देख सकते हैं कि रैखिक कोण कार्यों के कोण के विभिन्न मूल्यों के लिए क्या होगा।

कोण शून्य है। हमारे पास सलाद है लेकिन पानी नहीं। हम बोर्स्ट नहीं पका सकते। बोर्स्ट की मात्रा भी शून्य होती है। इसका मतलब यह बिल्कुल नहीं है कि शून्य बोर्स्ट शून्य पानी के बराबर है। जीरो बोर्स्च जीरो सलाद (राइट एंगल) पर भी हो सकता है।

मेरे लिए व्यक्तिगत रूप से, यह इस तथ्य का मुख्य गणितीय प्रमाण है कि . शून्य जोड़ने पर संख्या नहीं बदलती। ऐसा इसलिए है क्योंकि यदि केवल एक पद है और दूसरा पद लुप्त है तो योग स्वयं असंभव है। आप जैसे चाहें इससे संबंधित हो सकते हैं, लेकिन याद रखें - शून्य के साथ सभी गणितीय संक्रियाओं का आविष्कार स्वयं गणितज्ञों द्वारा किया गया था, इसलिए अपने तर्क को त्यागें और गणितज्ञों द्वारा आविष्कृत परिभाषाओं को मूर्खता से रट लें: "शून्य से विभाजन असंभव है", "किसी भी संख्या को शून्य से गुणा करें" बराबर शून्य", "शून्य बिंदु के पीछे" और अन्य बकवास। यह एक बार याद करने के लिए पर्याप्त है कि शून्य एक संख्या नहीं है, और आपके मन में कभी भी यह सवाल नहीं होगा कि शून्य एक प्राकृतिक संख्या है या नहीं, क्योंकि ऐसा प्रश्न आम तौर पर सभी अर्थ खो देता है: कोई उस संख्या पर कैसे विचार कर सकता है जो संख्या नहीं है . यह पूछने जैसा है कि किसी अदृश्य रंग को किस रंग से जोड़ा जाए। किसी संख्या में शून्य जोड़ना पेंट के साथ पेंट करने जैसा है जो मौजूद नहीं है। उन्होंने एक सूखा ब्रश लहराया और सभी को बताया कि "हमने पेंट किया है।" लेकिन मैं थोड़ा पीछे हटता हूं।

कोण शून्य से बड़ा लेकिन पैंतालीस डिग्री से कम है। हमारे पास सलाद तो बहुत है, लेकिन पानी बहुत कम है। नतीजतन, हमें एक मोटा बोर्स्ट मिलता है।

कोण पैंतालीस डिग्री है। हमारे पास समान मात्रा में पानी और सलाद है। यह एकदम सही बोर्स्ट है (रसोइया मुझे माफ कर सकते हैं, यह सिर्फ गणित है)।

कोण पैंतालीस डिग्री से अधिक लेकिन नब्बे डिग्री से कम है। हमारे पास बहुत सारा पानी और थोड़ा सलाद है। तरल बोर्स्ट प्राप्त करें।

समकोण। हमारे पास पानी है। लेट्यूस की केवल यादें ही रह जाती हैं, क्योंकि हम उस रेखा से कोण को मापना जारी रखते हैं जो एक बार लेट्यूस को चिह्नित करता है। हम बोर्स्ट नहीं पका सकते। बोर्स्ट की मात्रा शून्य है। उस स्थिति में, जब तक यह उपलब्ध है तब तक रुकें और पानी पिएं)))

यहां। कुछ इस तरह। मैं यहाँ अन्य कहानियाँ बता सकता हूँ जो यहाँ उपयुक्त से अधिक होंगी।

साझा व्यवसाय में दोनों मित्रों के हिस्सेदार थे। उनमें से एक की हत्या के बाद सब कुछ दूसरे के हाथ चला गया।

हमारे ग्रह पर गणित का उदय।

इन सभी कहानियों को रैखिक कोणीय कार्यों का उपयोग करके गणित की भाषा में बताया गया है। किसी और समय मैं आपको गणित की संरचना में इन फलनों का वास्तविक स्थान दिखाऊँगा। इस बीच, आइए बोर्स्ट के त्रिकोणमिति पर लौटें और अनुमानों पर विचार करें।

शनिवार, अक्टूबर 26, 2019

मैंने इसके बारे में एक दिलचस्प वीडियो देखा ग्रैंडी की पंक्ति वन माइनस वन प्लस वन माइनस वन - नंबरफाइल. गणितज्ञ झूठ बोलते हैं। उन्होंने अपने तर्क में समानता परीक्षण नहीं किया।

यह मेरे तर्क के साथ प्रतिध्वनित होता है।

आइए उन संकेतों पर करीब से नज़र डालें जो बताते हैं कि गणितज्ञ हमें धोखा दे रहे हैं। तर्क की शुरुआत में, गणितज्ञ कहते हैं कि अनुक्रम का योग इस बात पर निर्भर करता है कि इसमें तत्वों की संख्या सम है या नहीं। यह वस्तुपरक रूप से स्थापित तथ्य है। आगे क्या होता है?

अगला, गणितज्ञ अनुक्रम को एकता से घटाते हैं। इससे क्या होता है? इससे अनुक्रम में तत्वों की संख्या में परिवर्तन होता है - एक सम संख्या एक विषम संख्या में बदल जाती है, एक विषम संख्या एक सम संख्या में बदल जाती है। आखिरकार, हमने अनुक्रम में एक के बराबर एक तत्व जोड़ा है। सभी बाहरी समानता के बावजूद, परिवर्तन से पहले का क्रम परिवर्तन के बाद के अनुक्रम के बराबर नहीं है। यहां तक ​​​​कि अगर हम एक अनंत अनुक्रम के बारे में बात कर रहे हैं, तो हमें यह याद रखना चाहिए कि विषम संख्या वाले तत्वों के साथ एक अनंत अनुक्रम तत्वों की संख्या के साथ एक अनंत अनुक्रम के बराबर नहीं है।

तत्वों की संख्या में भिन्न दो अनुक्रमों के बीच एक समान चिह्न लगाकर, गणितज्ञों का दावा है कि अनुक्रम का योग अनुक्रम में तत्वों की संख्या पर निर्भर नहीं करता है, जो वस्तुनिष्ठ रूप से स्थापित तथ्य का खंडन करता है। अनंत अनुक्रम के योग के बारे में और तर्क गलत है, क्योंकि यह झूठी समानता पर आधारित है।

यदि आप देखते हैं कि गणितज्ञ प्रमाण के दौरान कोष्ठक लगाते हैं, गणितीय अभिव्यक्ति के तत्वों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं, कुछ जोड़ते या हटाते हैं, बहुत सावधान रहें, सबसे अधिक संभावना है कि वे आपको धोखा देने की कोशिश कर रहे हैं। कार्ड जादूगरों की तरह, गणितज्ञ अभिव्यक्ति के विभिन्न जोड़-तोड़ के साथ आपका ध्यान आकर्षित करते हैं ताकि अंत में आपको एक गलत परिणाम मिल सके। यदि आप धोखा देने के रहस्य को जाने बिना कार्ड की चाल को दोहरा नहीं सकते हैं, तो गणित में सब कुछ बहुत सरल है: आपको धोखा देने के बारे में कुछ भी संदेह नहीं है, लेकिन गणितीय अभिव्यक्ति के साथ सभी जोड़तोड़ को दोहराने से आप दूसरों को समझाने की अनुमति देते हैं परिणाम की शुद्धता, ठीक उसी तरह जब आपने आश्वस्त किया हो।

दर्शकों से प्रश्न: और अनंत (क्रम S में तत्वों की संख्या के रूप में), क्या यह सम या विषम है? आप किसी ऐसी चीज़ की समानता को कैसे बदल सकते हैं जिसमें कोई समानता नहीं है?

गणितज्ञों के लिए अनंतता पुजारियों के लिए स्वर्ग के राज्य की तरह है - कोई भी कभी नहीं रहा है, लेकिन हर कोई वास्तव में जानता है कि वहां सब कुछ कैसे काम करता है))) मैं मानता हूं, मृत्यु के बाद आप बिल्कुल उदासीन होंगे कि क्या आप एक सम या विषम संख्या में रहते थे , लेकिन ... अपने जीवन की शुरुआत में सिर्फ एक दिन जोड़ने पर, हमें एक पूरी तरह से अलग व्यक्ति मिलेगा: उसका अंतिम नाम, पहला नाम और संरक्षक बिल्कुल समान हैं, केवल जन्म की तारीख पूरी तरह से अलग है - वह एक ही पैदा हुआ था आप से पहले दिन।

और अब बिंदु पर))) मान लीजिए कि समता वाला एक परिमित क्रम अनंत तक जाने पर इस समता को खो देता है। फिर अनंत अनुक्रम के किसी परिमित खंड को भी समानता खोनी चाहिए। हम इसका पालन नहीं करते हैं। तथ्य यह है कि हम निश्चित रूप से यह नहीं कह सकते हैं कि अनंत अनुक्रम में तत्वों की संख्या सम है या विषम इसका मतलब यह नहीं है कि समता गायब हो गई है। समता, यदि यह मौजूद है, तो एक ट्रेस के बिना अनंतता में गायब नहीं हो सकती है, जैसे कार्ड शार्पर की आस्तीन में। इस मामले के लिए एक बहुत अच्छा सादृश्य है।

क्या आपने कभी घड़ी में बैठी किसी कोयल से पूछा है कि घड़ी की सुई किस दिशा में घूमती है? उसके लिए, तीर विपरीत दिशा में घूमता है जिसे हम "क्लॉकवाइज़" कहते हैं। यह विरोधाभासी लग सकता है, लेकिन रोटेशन की दिशा केवल इस बात पर निर्भर करती है कि हम किस तरफ से रोटेशन को देखते हैं। और इसलिए, हमारे पास एक पहिया है जो घूमता है। हम यह नहीं कह सकते कि घूर्णन किस दिशा में होता है, क्योंकि हम इसे घूर्णन तल के एक ओर से और दूसरी ओर से देख सकते हैं। हम केवल इस तथ्य की गवाही दे सकते हैं कि रोटेशन होता है। एक अनंत अनुक्रम की समता के साथ पूर्ण सादृश्य एस.

अब एक दूसरा घूमने वाला पहिया जोड़ते हैं, जिसका रोटेशन का प्लेन पहले घूमने वाले व्हील के रोटेशन के प्लेन के समानांतर है। हम अभी भी यह नहीं बता सकते हैं कि ये पहिए किस दिशा में घूम रहे हैं, लेकिन हम पूर्ण निश्चितता के साथ बता सकते हैं कि दोनों पहिये एक ही दिशा में घूम रहे हैं या विपरीत दिशाओं में। दो अनंत अनुक्रमों की तुलना करना एसतथा 1-एस, मैंने गणित की मदद से दिखाया कि इन अनुक्रमों की अलग-अलग समानता है और उनके बीच एक समान चिह्न लगाना एक गलती है। व्यक्तिगत रूप से, मैं गणित में विश्वास करता हूं, मुझे गणितज्ञों पर भरोसा नहीं है))) वैसे, अनंत अनुक्रमों के परिवर्तनों की ज्यामिति को पूरी तरह से समझने के लिए, अवधारणा को पेश करना आवश्यक है "एक साथ". इसे खींचने की आवश्यकता होगी।

बुधवार, अगस्त 7, 2019

के बारे में बातचीत को समाप्त करते हुए, हमें एक अपरिमित समुच्चय पर विचार करने की आवश्यकता है। इसमें दिया कि "अनंत" की अवधारणा गणितज्ञों पर कार्य करती है, जैसे खरगोश पर बोआ कंस्ट्रिक्टर। अनन्तता का थरथराता आतंक गणितज्ञों को सामान्य ज्ञान से वंचित करता है। यहाँ एक उदाहरण है:

मूल स्रोत स्थित है। अल्फा एक वास्तविक संख्या को दर्शाता है। उपरोक्त भावों में समान चिह्न इंगित करता है कि यदि आप अनंत में एक संख्या या अनंत जोड़ते हैं, तो कुछ भी नहीं बदलेगा, परिणाम वही अनंत होगा। यदि हम एक उदाहरण के रूप में प्राकृतिक संख्याओं का एक अनंत सेट लेते हैं, तो विचार किए गए उदाहरणों को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

अपने मामले को नेत्रहीन रूप से साबित करने के लिए, गणितज्ञ कई अलग-अलग तरीके लेकर आए हैं। व्यक्तिगत रूप से, मैं इन सभी तरीकों को तम्बुओं के साथ शमां के नृत्य के रूप में देखता हूं। संक्षेप में, वे सभी इस तथ्य पर उतरते हैं कि या तो कुछ कमरों पर कब्जा नहीं किया गया है और उनमें नए मेहमान बस गए हैं, या कुछ आगंतुकों को मेहमानों के लिए जगह बनाने के लिए गलियारे में फेंक दिया गया है (बहुत मानवीय रूप से)। मैंने इस तरह के निर्णयों पर अपने विचार गोरा के बारे में एक शानदार कहानी के रूप में प्रस्तुत किए। मेरा तर्क किस पर आधारित है? असीमित संख्या में आगंतुकों को स्थानांतरित करने में अनंत समय लगता है। हमारे द्वारा पहले अतिथि कक्ष को खाली करने के बाद, आगंतुकों में से एक समय के अंत तक हमेशा अपने कमरे से अगले कमरे तक गलियारे के साथ चलता रहेगा। बेशक, समय कारक को मूर्खतापूर्ण रूप से अनदेखा किया जा सकता है, लेकिन यह पहले से ही "मूर्खों के लिए कानून नहीं लिखा गया है" की श्रेणी से होगा। यह सब इस बात पर निर्भर करता है कि हम क्या कर रहे हैं: वास्तविकता को गणितीय सिद्धांतों में समायोजित करना या इसके विपरीत।

एक "अनंत होटल" क्या है? एक इन्फिनिटी सराय एक सराय है जिसमें हमेशा कितनी भी रिक्तियाँ होती हैं, चाहे कितने भी कमरे हों। यदि "आगंतुकों के लिए" अंतहीन हॉलवे के सभी कमरों पर कब्जा कर लिया गया है, तो "मेहमानों" के लिए कमरे के साथ एक और अंतहीन हॉलवे है। ऐसे अनगिनत गलियारे होंगे। साथ ही, "अनंत होटल" में असीमित संख्या में इमारतों में अनंत संख्या में मंजिलें हैं, अनंत संख्या में ग्रहों पर अनंत संख्या में देवताओं द्वारा बनाई गई ब्रह्मांडों की अनंत संख्या है। दूसरी ओर, गणितज्ञ रोजमर्रा की समस्याओं से दूर नहीं जा पा रहे हैं: भगवान-अल्लाह-बुद्ध हमेशा एक ही हैं, होटल एक है, गलियारा केवल एक है। इसलिए गणितज्ञ होटल के कमरों के सीरियल नंबरों को हथकंडा लगाने की कोशिश कर रहे हैं, हमें यकीन दिलाते हैं कि "अप्रभावित को दूर भगाना" संभव है।

मैं प्राकृतिक संख्याओं के एक अनंत सेट के उदाहरण का उपयोग करके आपके तर्क का तर्क प्रदर्शित करूंगा। पहले आपको एक बहुत ही सरल प्रश्न का उत्तर देने की आवश्यकता है: प्राकृतिक संख्याओं के कितने समूह मौजूद हैं - एक या कई? इस प्रश्न का कोई सही उत्तर नहीं है, चूँकि हमने स्वयं संख्याओं का आविष्कार किया है, इसलिए प्रकृति में संख्याएँ नहीं हैं। हां, प्रकृति पूरी तरह से गिनना जानती है, लेकिन इसके लिए वह अन्य गणितीय उपकरणों का उपयोग करती है जो हमारे परिचित नहीं हैं। जैसा कि प्रकृति सोचती है, मैं आपको फिर कभी बताऊंगा। चूंकि हमने संख्याओं का आविष्कार किया है, इसलिए हम स्वयं तय करेंगे कि प्राकृतिक संख्याओं के कितने समूह मौजूद हैं। एक वास्तविक वैज्ञानिक के रूप में दोनों विकल्पों पर विचार करें।

विकल्प एक। "हमें दिया जाए" प्राकृतिक संख्याओं का एक सेट, जो एक शेल्फ पर शांति से रहता है। हम इस सेट को शेल्फ से लेते हैं। बस इतना ही, शेल्फ पर कोई अन्य प्राकृतिक संख्या नहीं बची है और उन्हें लेने के लिए कहीं नहीं है। हम इस सेट में एक नहीं जोड़ सकते, क्योंकि हमारे पास यह पहले से ही है। यदि आप वास्तव में चाहते हैं तो क्या होगा? कोई बात नहीं। हम उस सेट से एक इकाई ले सकते हैं जिसे हमने पहले ही ले लिया है और इसे शेल्फ पर वापस कर सकते हैं। उसके बाद, हम शेल्फ से एक इकाई ले सकते हैं और जो हमारे पास बची है उसमें जोड़ सकते हैं। नतीजतन, हमें फिर से प्राकृतिक संख्याओं का एक अनंत सेट मिलता है। आप हमारे सभी जोड़तोड़ इस तरह लिख सकते हैं:

मैंने बीजगणितीय संकेतन और समुच्चय सिद्धांत संकेतन में संक्रियाओं को लिखा है, समुच्चय के तत्वों को विस्तार से सूचीबद्ध किया है। सबस्क्रिप्ट इंगित करता है कि हमारे पास प्राकृतिक संख्याओं का एक और केवल एक सेट है। यह पता चला है कि प्राकृतिक संख्याओं का सेट केवल तभी अपरिवर्तित रहेगा जब इसमें से एक को घटाया जाए और उसी को जोड़ा जाए।

विकल्प दो। हमारे पास शेल्फ पर प्राकृतिक संख्याओं के कई अलग-अलग अनंत सेट हैं। मैं जोर देता हूं - अलग, इस तथ्य के बावजूद कि वे व्यावहारिक रूप से अप्रभेद्य हैं। हम इनमें से एक सेट लेते हैं। फिर हम प्राकृत संख्याओं के दूसरे समुच्चय से एक लेते हैं और इसे उस समुच्चय में जोड़ देते हैं जिसे हमने पहले ही ले लिया है। हम प्राकृत संख्याओं के दो समुच्चय भी जोड़ सकते हैं। यहाँ हमें क्या मिलता है:

सबस्क्रिप्ट "एक" और "दो" इंगित करते हैं कि ये तत्व विभिन्न सेटों से संबंधित हैं। हाँ, यदि आप एक अपरिमित समुच्चय में एक जोड़ते हैं, तो परिणाम भी एक अपरिमित समुच्चय होगा, लेकिन यह मूल समुच्चय के समान नहीं होगा। यदि एक अनंत सेट में एक और अनंत सेट जोड़ा जाता है, तो परिणाम एक नया अनंत सेट होता है जिसमें पहले दो सेट के तत्व शामिल होते हैं।

प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय का उपयोग गिनने के लिए उसी प्रकार किया जाता है जिस प्रकार मापन के लिए रूलर का किया जाता है। अब कल्पना कीजिए कि आपने रूलर में एक सेंटीमीटर जोड़ दिया है। यह पहले से ही एक अलग लाइन होगी, मूल के बराबर नहीं।

आप मेरे तर्क को स्वीकार करें या न करें - यह आपका अपना व्यवसाय है। लेकिन अगर आप कभी भी गणितीय समस्याओं में पड़ जाते हैं, तो विचार करें कि क्या आप गलत तर्क के रास्ते पर हैं, गणितज्ञों की पीढ़ियों द्वारा कुचले गए हैं। आखिरकार, गणित की कक्षाएं, सबसे पहले, हममें सोच का एक स्थिर स्टीरियोटाइप बनाती हैं, और उसके बाद ही वे हमारे लिए मानसिक क्षमताओं को जोड़ती हैं (या इसके विपरीत, वे हमें स्वतंत्र सोच से वंचित करती हैं)।

pozg.ru

रविवार, अगस्त 4, 2019

मैं इसके बारे में एक लेख के लिए एक पोस्टस्क्रिप्ट लिख रहा था और विकिपीडिया पर इस अद्भुत पाठ को देखा:

हम पढ़ते हैं: "... बेबीलोनियन गणित के समृद्ध सैद्धांतिक आधार में एक समग्र चरित्र नहीं था और एक सामान्य प्रणाली और साक्ष्य आधार से रहित असमान तकनीकों के एक सेट तक कम हो गया था।"

बहुत खूब! हम कितने चतुर हैं और दूसरों की कमियों को कितनी अच्छी तरह देख पाते हैं। क्या आधुनिक गणित को उसी संदर्भ में देखना हमारे लिए कमजोर है? उपरोक्त पाठ को थोड़ा स्पष्ट करते हुए, मुझे व्यक्तिगत रूप से निम्नलिखित मिला:

आधुनिक गणित के समृद्ध सैद्धांतिक आधार में एक समग्र चरित्र नहीं है और यह एक सामान्य प्रणाली और साक्ष्य आधार से रहित असमान वर्गों के एक समूह में सिमट गया है।

मैं अपने शब्दों की पुष्टि करने के लिए दूर नहीं जाऊंगा - इसकी एक भाषा और परंपराएं हैं जो गणित की कई अन्य शाखाओं की भाषा और परंपराओं से अलग हैं। गणित की विभिन्न शाखाओं में एक ही नाम के अलग-अलग अर्थ हो सकते हैं। मैं आधुनिक गणित की सबसे स्पष्ट भूलों के लिए प्रकाशनों का एक पूरा चक्र समर्पित करना चाहता हूं। जल्दी मिलते हैं।

शनिवार, अगस्त 3, 2019

एक सेट को सबसेट में कैसे विभाजित करें? ऐसा करने के लिए, आपको माप की एक नई इकाई दर्ज करनी होगी, जो चयनित सेट के कुछ तत्वों में मौजूद है। एक उदाहरण पर विचार करें।

हमारे पास बहुत सारे हों लेकिनचार लोगों से मिलकर। यह सेट "लोगों" के आधार पर बनता है आइए इस सेट के तत्वों को पत्र के माध्यम से निरूपित करें एक, एक संख्या के साथ सबस्क्रिप्ट इस सेट में प्रत्येक व्यक्ति की क्रमिक संख्या को इंगित करेगा। चलो माप की एक नई इकाई "यौन विशेषता" पेश करते हैं और इसे पत्र द्वारा निरूपित करते हैं बी. चूंकि यौन विशेषताएं सभी लोगों में निहित हैं, हम सेट के प्रत्येक तत्व को गुणा करते हैं लेकिनलिंग पर बी. ध्यान दें कि हमारा "लोग" सेट अब "लिंग वाले लोग" सेट बन गया है। उसके बाद, हम यौन विशेषताओं को पुरुष में विभाजित कर सकते हैं बी.एम.और महिलाओं की bwलिंग की विशेषताएं। अब हम एक गणितीय फ़िल्टर लागू कर सकते हैं: हम इन यौन विशेषताओं में से एक का चयन करते हैं, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि कौन सा पुरुष या महिला है। यदि यह किसी व्यक्ति में मौजूद है, तो हम इसे एक से गुणा करते हैं, यदि ऐसा कोई संकेत नहीं है, तो हम इसे शून्य से गुणा करते हैं। और फिर हम सामान्य स्कूली गणित लागू करते हैं। देखिए क्या हुआ।

गुणन, कटौती और पुनर्व्यवस्था के बाद, हमें दो उपसमुच्चय मिले: पुरुष उपसमुच्चय बी.एम.और महिलाओं का एक उपसमूह bw. लगभग उसी तरह गणितज्ञ तर्क करते हैं जब वे व्यवहार में सेट सिद्धांत लागू करते हैं। लेकिन वे हमें विवरण में नहीं आने देते, लेकिन हमें पूरा परिणाम देते हैं - "बहुत से लोगों में पुरुषों का एक उपसमूह और महिलाओं का एक उपसमूह होता है।" स्वाभाविक रूप से, आपके पास एक प्रश्न हो सकता है कि उपरोक्त परिवर्तनों में गणित को कितना सही ढंग से लागू किया गया है? मैं आपको आश्वस्त करने का साहस करता हूं कि वास्तव में परिवर्तन सही ढंग से किए गए हैं, यह अंकगणित, बूलियन बीजगणित और गणित के अन्य वर्गों के गणितीय औचित्य को जानने के लिए पर्याप्त है। यह क्या है? इसके बारे में फिर कभी बताऊंगा।

सुपरसेट के लिए, इन दो सेटों के तत्वों में मौजूद माप की एक इकाई को चुनकर दो सेटों को एक सुपरसेट में जोड़ना संभव है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, मापन की इकाइयां और सामान्य गणित समुच्चय सिद्धांत को अतीत की बात बना देते हैं। एक संकेत है कि सेट सिद्धांत के साथ सब ठीक नहीं है, गणितज्ञ सेट सिद्धांत के लिए अपनी भाषा और संकेतन के साथ आए हैं। गणितज्ञों ने वही किया जो शेमस ने एक बार किया था। केवल शेमस ही जानते हैं कि "सही ढंग से" अपने "ज्ञान" को कैसे लागू किया जाए। यह "ज्ञान" वे हमें सिखाते हैं।

अंत में, मैं आपको दिखाना चाहता हूं कि गणितज्ञ कैसे हेरफेर करते हैं
मान लीजिए कि अकिलिस कछुए से दस गुना तेज दौड़ता है और उससे एक हजार कदम पीछे है। जिस समय के दौरान अकिलिस इस दूरी को चलाता है, कछुआ उसी दिशा में सौ कदम रेंगता है। जब अकिलिस सौ कदम चल चुका होता है, तो कछुआ एक और दस कदम रेंगता है, और इसी तरह। प्रक्रिया अनिश्चित काल तक जारी रहेगी, Achilles कछुए के साथ कभी नहीं पकड़ पाएगा।

यह तर्क बाद की सभी पीढ़ियों के लिए एक तार्किक झटका बन गया। अरस्तू, डायोजनीज, कांट, हेगेल, गिल्बर्ट ... उन सभी को, एक तरह से या किसी अन्य, ज़ेनो के एपोरियस माना जाता है। झटका इतना जोरदार था कि " ... वर्तमान समय में चर्चा जारी है, वैज्ञानिक समुदाय अभी तक विरोधाभासों के सार के बारे में एक आम राय में आने में कामयाब नहीं हुआ है ... इस मुद्दे के अध्ययन में गणितीय विश्लेषण, सेट सिद्धांत, नए भौतिक और दार्शनिक दृष्टिकोण शामिल थे ; उनमें से कोई भी समस्या का सार्वभौमिक रूप से स्वीकृत समाधान नहीं बन पाया ..."[विकिपीडिया," ज़ेनो के एपोरियस "]। हर कोई समझता है कि उन्हें मूर्ख बनाया जा रहा है, लेकिन कोई नहीं समझता कि धोखा क्या है।

गणित के दृष्टिकोण से, ज़ेनो ने अपने एपोरिया में स्पष्ट रूप से मूल्य से संक्रमण का प्रदर्शन किया। इस संक्रमण का अर्थ है स्थिरांक के बजाय आवेदन करना। जहाँ तक मैं समझता हूँ, माप की चर इकाइयों को लागू करने के लिए गणितीय उपकरण या तो अभी तक विकसित नहीं हुआ है, या इसे ज़ेनो के एपोरिया पर लागू नहीं किया गया है। हमारे सामान्य तर्क का प्रयोग हमें एक जाल में ले जाता है। हम, सोच की जड़ता से, समय की निरंतर इकाइयों को पारस्परिक रूप से लागू करते हैं। भौतिक दृष्टिकोण से, ऐसा लगता है कि जब अकिलिस कछुए के साथ पकड़ता है तो समय पूरी तरह से धीमा हो जाता है। यदि समय रुक जाता है, तो अकिलिस अब कछुए से आगे नहीं निकल सकता।

यदि हम उस तर्क को बदलते हैं जिसके हम अभ्यस्त हैं, तो सब कुछ ठीक हो जाता है। अकिलिस निरंतर गति से दौड़ता है। इसके पथ का प्रत्येक अनुवर्ती खंड पिछले वाले की तुलना में दस गुना छोटा है। तदनुसार, इसे दूर करने में लगने वाला समय पिछले वाले की तुलना में दस गुना कम है। यदि हम इस स्थिति में "इन्फिनिटी" की अवधारणा को लागू करते हैं, तो यह कहना सही होगा कि "अकिलिस असीम रूप से जल्दी से कछुआ से आगे निकल जाएगा।"

इस तार्किक जाल से कैसे बचें? समय की स्थिर इकाइयों में बने रहें और पारस्परिक मूल्यों पर स्विच न करें। ज़ेनो की भाषा में, यह ऐसा दिखता है:

जितना समय अकिलिस को एक हजार कदम चलने में लगता है, कछुआ उसी दिशा में सौ कदम रेंगता है। अगले समय अंतराल के दौरान, पहले के बराबर, अकिलीज़ एक और हज़ार कदम चलाएगा, और कछुआ एक सौ कदम रेंगेगा। अब अकिलिस कछुए से आठ सौ कदम आगे है।

यह दृष्टिकोण बिना किसी तार्किक विरोधाभास के पर्याप्त रूप से वास्तविकता का वर्णन करता है। लेकिन यह समस्या का पूर्ण समाधान नहीं है। प्रकाश की गति की दुर्गमता के बारे में आइंस्टीन का कथन ज़ेनो के एपोरिया "अकिलिस एंड द कछुआ" के समान है। हमें अभी इस समस्या का अध्ययन, पुनर्विचार और समाधान करना है। और समाधान असीम रूप से बड़ी संख्या में नहीं, बल्कि माप की इकाइयों में खोजा जाना चाहिए।

ज़ेनो का एक और दिलचस्प एपोरिया एक उड़ने वाले तीर के बारे में बताता है:

एक उड़ता हुआ तीर गतिहीन होता है, क्योंकि समय के प्रत्येक क्षण में यह आराम पर होता है, और चूँकि यह हर समय आराम में होता है, इसलिए यह हमेशा आराम में रहता है।

इस एपोरिया में, तार्किक विरोधाभास बहुत सरलता से दूर हो जाता है - यह स्पष्ट करने के लिए पर्याप्त है कि समय के प्रत्येक क्षण में उड़ने वाला तीर अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं पर टिका होता है, जो वास्तव में गति है। यहाँ एक और बात ध्यान देने योग्य है। सड़क पर एक कार की एक तस्वीर से, उसके आंदोलन या उससे दूरी के तथ्य को निर्धारित करना असंभव है। कार की गति के तथ्य को निर्धारित करने के लिए, एक ही बिंदु से अलग-अलग समय पर ली गई दो तस्वीरों की आवश्यकता होती है, लेकिन उनका उपयोग दूरी निर्धारित करने के लिए नहीं किया जा सकता है। कार की दूरी निर्धारित करने के लिए, आपको एक ही समय में अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं से ली गई दो तस्वीरों की आवश्यकता होती है, लेकिन आप उनसे गति के तथ्य को निर्धारित नहीं कर सकते हैं (स्वाभाविक रूप से, आपको अभी भी गणना के लिए अतिरिक्त डेटा की आवश्यकता है, त्रिकोणमिति आपकी मदद करेगी)। मैं जो विशेष रूप से इंगित करना चाहता हूं वह यह है कि समय में दो बिंदु और अंतरिक्ष में दो बिंदु दो अलग-अलग चीजें हैं जिन्हें भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए क्योंकि वे अन्वेषण के विभिन्न अवसर प्रदान करते हैं।
मैं एक उदाहरण के साथ प्रक्रिया दिखाऊंगा। हम "एक दाना में लाल ठोस" चुनते हैं - यह हमारा "संपूर्ण" है। उसी समय, हम देखते हैं कि ये चीजें धनुष के साथ हैं, और बिना धनुष के हैं। उसके बाद, हम "संपूर्ण" का एक हिस्सा चुनते हैं और "धनुष के साथ" एक सेट बनाते हैं। इस तरह शमां अपने सेट सिद्धांत को वास्तविकता से बांधकर खुद को खिलाते हैं।

अब एक छोटी सी युक्ति करते हैं। आइए "एक धनुष के साथ एक दाना में ठोस" लें और लाल तत्वों का चयन करते हुए, इन "पूरे" रंग को एकजुट करें। हमें बहुत सारे "लाल" मिले। अब एक मुश्किल सवाल: प्राप्त सेट "धनुष के साथ" और "लाल" एक ही सेट या दो अलग-अलग सेट हैं? इसका जवाब केवल शमां ही जानते हैं। अधिक सटीक रूप से, वे स्वयं कुछ भी नहीं जानते हैं, लेकिन जैसा वे कहते हैं, वैसा ही हो।

यह सरल उदाहरण दिखाता है कि जब वास्तविकता की बात आती है तो सेट सिद्धांत पूरी तरह से बेकार है। क्या राज हे? हमने "धनुष के साथ लाल ठोस दाना" का एक सेट बनाया। गठन माप की चार अलग-अलग इकाइयों के अनुसार हुआ: रंग (लाल), शक्ति (ठोस), खुरदरापन (एक टक्कर में), सजावट (धनुष के साथ)। केवल माप की इकाइयों का एक सेट ही गणित की भाषा में वास्तविक वस्तुओं का पर्याप्त रूप से वर्णन करना संभव बनाता है. यहाँ यह कैसा दिखता है।

विभिन्न सूचकांकों वाला अक्षर "ए" माप की विभिन्न इकाइयों को दर्शाता है। कोष्ठक में, माप की इकाइयाँ हाइलाइट की जाती हैं, जिसके अनुसार "संपूर्ण" को प्रारंभिक चरण में आवंटित किया जाता है। माप की वह इकाई, जिसके अनुसार समुच्चय बनता है, कोष्ठक से निकाला जाता है। अंतिम पंक्ति अंतिम परिणाम दिखाती है - सेट का एक तत्व। जैसा कि आप देख सकते हैं, यदि हम समुच्चय बनाने के लिए मात्रकों का उपयोग करते हैं, तो परिणाम हमारे कार्यों के क्रम पर निर्भर नहीं करता है। और यह गणित है, न कि तम्बुओं के साथ शेमस का नृत्य। Shamans "सहजता से" एक ही परिणाम पर आ सकते हैं, इसे "स्पष्टता" के साथ बहस कर सकते हैं, क्योंकि माप की इकाइयां उनके "वैज्ञानिक" शस्त्रागार में शामिल नहीं हैं।

माप की इकाइयों की मदद से, एक को तोड़ना या कई सेटों को एक सुपरसेट में जोड़ना बहुत आसान है। आइए इस प्रक्रिया के बीजगणित पर करीब से नज़र डालें।

यदि समस्या को एक त्रिभुज की दो भुजाओं की लंबाई और उनके बीच का कोण दिया गया है, तो आप साइन के माध्यम से त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र लागू कर सकते हैं।

साइन का उपयोग करके त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने का एक उदाहरण। दी गई भुजाएँ a = 3, b = 4, और कोण γ = 30°। 30° के कोण की ज्या 0.5 होती है

त्रिभुज का क्षेत्रफल 3 वर्ग मीटर होगा। सेमी।

अन्य शर्तें भी हो सकती हैं। यदि एक भुजा की लंबाई और कोण दिए गए हैं, तो पहले आपको लापता कोण की गणना करनी होगी। इसलिये एक त्रिभुज के सभी कोणों का योग 180° है, तो:

क्षेत्रफल भुजा के आधे वर्ग के बराबर होगा जिसे अंश से गुणा किया जाएगा। इसके अंश में आसन्न कोणों की ज्या का उत्पाद है, और भाजक में विपरीत कोण की ज्या है। अब हम निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग करके क्षेत्रफल की गणना करते हैं:

उदाहरण के लिए, एक त्रिभुज दिया है जिसकी भुजा a=3 और कोण γ=60°, β=60° है। तीसरे कोण की गणना करें:
डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करना
हम पाते हैं कि त्रिभुज का क्षेत्रफल 3.87 वर्ग मीटर है। सेमी।

द्वितीय। कोज्या के संदर्भ में एक त्रिभुज का क्षेत्रफल

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको सभी भुजाओं की लंबाई जानने की आवश्यकता है। कोसाइन प्रमेय के द्वारा, आप अज्ञात पक्ष पा सकते हैं, और उसके बाद ही उपयोग कर सकते हैं।
कोसाइन के नियम के अनुसार, त्रिभुज की अज्ञात भुजा का वर्ग शेष भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है, जो इन भुजाओं के बीच के कोण के कोसाइन द्वारा इन भुजाओं के उत्पाद का दोगुना होता है।

अज्ञात पक्ष की लंबाई ज्ञात करने के लिए प्रमेय से हम सूत्र प्राप्त करते हैं:

दो भुजाओं और उनके बीच के कोण होने के कारण छूटी हुई भुजा को खोजने का तरीका जानने के बाद, आप आसानी से क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं। कोज्या के संदर्भ में त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र आपको विभिन्न समस्याओं का हल जल्दी और आसानी से खोजने में मदद करता है।

कोसाइन के माध्यम से त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र की गणना करने का एक उदाहरण
ज्ञात भुजाओं वाला त्रिभुज a = 3, b = 4 और कोण γ = 45° दिया गया है। आइए पहले लापता भाग का पता लगाएं। साथ. कोसाइन द्वारा 45°=0.7. ऐसा करने के लिए, हम डेटा को कोसाइन प्रमेय से प्राप्त समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं।
अब सूत्र का उपयोग करके, हम पाते हैं

किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल उसकी भुजाओं के आधे गुणनफल और उनके बीच के कोण की ज्या के बराबर होता है।

सबूत:

एक मनमानी त्रिकोण एबीसी पर विचार करें। माना भुजा BC = a, भुजा CA = b तथा S इस त्रिभुज का क्षेत्रफल है। इसे सिद्ध करना आवश्यक है एस = (1/2) * ए * बी * पाप (सी).

आरंभ करने के लिए, हम एक आयताकार समन्वय प्रणाली का परिचय देते हैं और मूल को बिंदु C पर रखते हैं। आइए हम अपनी समन्वय प्रणाली को इस तरह रखें कि बिंदु B Cx अक्ष की सकारात्मक दिशा पर स्थित हो, और बिंदु A का एक सकारात्मक समन्वय हो।

यदि सब कुछ सही ढंग से किया जाता है, तो आपको निम्न आंकड़ा प्राप्त करना चाहिए।

किसी दिए गए त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है: एस = (1/2) * ए * एच, जहाँ h त्रिभुज की ऊँचाई है। हमारे मामले में, त्रिभुज h की ऊँचाई बिंदु A के समन्वय के बराबर है, अर्थात h \u003d b * sin (C)।

प्राप्त परिणामों को देखते हुए, त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र को निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है: S = (1/2)*a*b*sin(C)। Q.E.D.

समस्या को सुलझाना

टास्क 1. त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि a) AB = 6*√8 सेमी, AC = 4 सेमी, कोण A = 60 डिग्री b) BC = 3 सेमी, AB = 18*√2 सेमी, कोण B= 45 डिग्री c) AC = 14 सेमी, CB = 7 सेमी, कोण C = 48 डिग्री।

ऊपर सिद्ध किए गए प्रमेय के अनुसार, त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल S बराबर है:

एस = (1/2) * एबी * एसी * पाप (ए)।

आइए गणना करते हैं:

ए) एस = ((1/2) *6*√8*4*sin(60˚)) = 12*√6 सेमी^2।

बी) एस = (1/2) * बीसी * बीए * पाप (बी) = ((1/2) * 3 * 18 * √2 * (√2/2)) = 27 सेमी ^ 2।

सी) एस = (1/2) * सीए * सीबी * पाप (सी) = ½ * 14 * 7 * पाप 48˚ सेमी ^ 2।

हम एक कैलकुलेटर पर कोण की ज्या के मान की गणना करते हैं या त्रिकोणमितीय कोणों के मूल्यों की तालिका से मूल्यों का उपयोग करते हैं। उत्तर:

ए) 12*√6 सेमी^2।

सी) लगभग 36.41 सेमी^2।

प्रश्न 2. त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल 60 सेमी^2 है। भुजा AB ज्ञात कीजिए यदि AC = 15 सेमी, कोण A = 30˚।

माना त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल S है। त्रिभुज क्षेत्र प्रमेय द्वारा, हमारे पास है:

एस = (1/2) * एबी * एसी * पाप (ए)।

इसमें हमारे पास मौजूद मूल्यों को प्रतिस्थापित करें:

60 = (1/2)*AB*15*sin30˚ = (1/2)*15*(1/2)*AB=(15/4)*AB.

यहां से हम भुजा AB की लंबाई व्यक्त करते हैं: AB = (60*4)/15 = 16।

त्रिभुज क्षेत्र प्रमेय

प्रमेय 1

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल दो भुजाओं के गुणनफल का आधा होता है जो उन भुजाओं के बीच के कोण की ज्या का गुणनफल होता है।

सबूत।

हमें एक मनमाना त्रिकोण $ABC$ दिया जाए। आइए इस त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई को $BC=a$, $AC=b$ के रूप में निरूपित करें। आइए एक कार्टेसियन समन्वय प्रणाली का परिचय दें, ताकि बिंदु $C=(0,0)$, बिंदु $B$ दाएं सेमीएक्सिस $Ox$ पर स्थित हो, और बिंदु $A$ पहले समन्वय चतुर्थांश में स्थित हो। बिंदु $A$ से ऊँचाई $h$ खींचिए (चित्र 1)।

चित्र 1. प्रमेय 1 का चित्रण

इसलिए ऊंचाई $h$ बिंदु $A$ की कोटि के बराबर है

ज्या प्रमेय

प्रमेय 2

त्रिभुज की भुजाएँ विपरीत कोणों की ज्या के समानुपाती होती हैं।

सबूत।

हमें एक मनमाना त्रिकोण $ABC$ दिया जाए। आइए हम इस त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई को $BC=a$, $AC=b,$ $AC=c$ (चित्र 2) के रूप में निरूपित करें।

चित्र 2।

आइए इसे साबित करें

प्रमेय 1 के अनुसार, हमारे पास है

जोड़ियों में उनकी बराबरी करने पर हमें वह मिलता है

कोसाइन प्रमेय

प्रमेय 3

एक त्रिभुज की एक भुजा का वर्ग त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है, उन भुजाओं के गुणनफल को उन भुजाओं के बीच के कोण के कोज्या से गुणा किए बिना।

सबूत।

हमें एक मनमाना त्रिकोण $ABC$ दिया जाए। इसके पक्षों की लंबाई को $BC=a$, $AC=b,$ $AB=c$ के रूप में निरूपित करें। आइए हम एक कार्टेशियन समन्वय प्रणाली का परिचय दें ताकि बिंदु A=(0,0)$, बिंदु $B$ सकारात्मक अर्ध-अक्ष $Ox$ पर स्थित हो, और बिंदु $C$ पहले समन्वय चतुर्थांश (चित्र 3) में स्थित हो। 3).

चित्र तीन

आइए इसे साबित करें

इस समन्वय प्रणाली में हमें वह मिलता है

बिंदुओं के बीच की दूरी के सूत्र का उपयोग करके भुजा $BC$ की लंबाई ज्ञात करें

इन प्रमेयों का उपयोग करने वाली समस्या का एक उदाहरण

उदाहरण 1

सिद्ध कीजिए कि एक स्वेच्छ त्रिभुज के परिबद्ध वृत्त का व्यास त्रिभुज की किसी भुजा के इस भुजा के सम्मुख कोण की ज्या के अनुपात के बराबर होता है।

समाधान।

हमें एक मनमाना त्रिकोण $ABC$ दिया जाए। $R$ - परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या। व्यास BD खींचिए (चित्र 4)।

आधार और ऊँचाई को जानकर पाया जा सकता है। योजना की पूरी सादगी इस तथ्य में निहित है कि ऊँचाई आधार को दो भागों में विभाजित करती है 1 और 2, और त्रिभुज को दो समकोण त्रिभुजों में विभाजित करता है, जिसका क्षेत्रफल प्राप्त होता है और। तब पूरे त्रिभुज का क्षेत्रफल दो संकेतित क्षेत्रों का योग होगा, और यदि हम ब्रैकेट से आधी ऊँचाई लेते हैं, तो कुल मिलाकर हमें आधार वापस मिल जाता है:

गणना के लिए एक अधिक कठिन विधि हीरोन सूत्र है, जिसके लिए आपको तीनों पक्षों को जानने की आवश्यकता है। इस सूत्र के लिए, आपको पहले त्रिभुज की अर्द्धपरिधि की गणना करनी होगी: हीरोन के सूत्र का तात्पर्य अर्ध-परिधि के वर्गमूल से है, जिसे प्रत्येक पक्ष पर इसके अंतर से गुणा किया जाता है।

निम्नलिखित विधि, जो किसी भी त्रिभुज के लिए भी प्रासंगिक है, आपको दो भुजाओं के माध्यम से त्रिभुज का क्षेत्रफल और उनके बीच के कोण का पता लगाने की अनुमति देती है। इसका प्रमाण ऊँचाई वाले सूत्र से मिलता है - हम किसी भी ज्ञात भुजा की ऊँचाई खींचते हैं और कोण α की ज्या के माध्यम से हमें वह h=a⋅sinα मिलता है। क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आधी ऊँचाई को दूसरी भुजा से गुणा करें।

दूसरा तरीका यह है कि दिए गए 2 कोणों और उनके बीच की भुजा वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात किया जाए। इस सूत्र का प्रमाण काफी सरल है, और आरेख से स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है।

हम ऊंचाई को तीसरे कोने के शीर्ष से ज्ञात पक्ष तक कम करते हैं और परिणामी खंडों को क्रमशः x कहते हैं। यह समकोण त्रिभुजों से देखा जा सकता है कि पहला खंड x गुणनफल के बराबर है