यह लेख विषय के बारे में बात करता है « बिंदु से रेखा की दूरी », एक बिंदु से एक रेखा की दूरी की परिभाषा को निर्देशांक की विधि द्वारा सचित्र उदाहरणों के साथ माना जाता है। सिद्धांत के प्रत्येक खंड के अंत में समान समस्याओं को हल करने के उदाहरण दिखाए गए हैं।

एक बिन्दु से एक रेखा की दूरी एक बिन्दु से एक बिन्दु की दूरी ज्ञात करके ज्ञात की जाती है। आइए अधिक विस्तार से विचार करें।

मान लीजिए कि एक रेखा a और एक बिंदु M 1 है जो दी गई रेखा से संबंधित नहीं है। इसके माध्यम से एक रेखा खींचिए जो रेखा a के लंबवत है। रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु को H 1 के रूप में लें। हम पाते हैं कि M 1 H 1 एक लंब है, जिसे बिंदु M 1 से रेखा a तक उतारा गया था।

परिभाषा 1

बिंदु M 1 से सीधी रेखा a तक की दूरीबिंदु M 1 और H 1 के बीच की दूरी कहलाती है।

लंबवत की लंबाई के आंकड़े के साथ परिभाषा के रिकॉर्ड हैं।

परिभाषा 2

बिंदु से रेखा की दूरीकिसी दिए गए बिंदु से दी गई रेखा पर खींचे गए लंब की लंबाई है।

परिभाषाएँ समकक्ष हैं। नीचे दिए गए चित्र पर विचार करें।

यह ज्ञात है कि एक बिंदु से एक सीधी रेखा तक की दूरी सबसे छोटी संभव है। आइए इसे एक उदाहरण के साथ देखें।

यदि हम बिंदु Q को लाइन a पर ले जाते हैं, बिंदु M 1 के साथ मेल नहीं खाते हैं, तो हम पाते हैं कि खंड M 1 Q को तिरछा कहा जाता है, M 1 से रेखा a तक कम किया जाता है। यह इंगित करना आवश्यक है कि बिंदु M 1 से लंबवत बिंदु से सीधी रेखा तक खींची गई किसी भी अन्य तिरछी रेखा से कम है।

इसे सिद्ध करने के लिए, त्रिभुज M 1 Q 1 H 1 पर विचार करें, जहाँ M 1 Q 1 कर्ण है। यह ज्ञात है कि इसकी लंबाई हमेशा किसी भी पैर की लंबाई से अधिक होती है। इसलिए, हमारे पास वह एम 1 एच 1 है< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

एक बिंदु से एक सीधी रेखा तक खोजने के लिए प्रारंभिक डेटा कई समाधान विधियों का उपयोग करने की अनुमति देता है: पाइथागोरस प्रमेय के माध्यम से, साइन की परिभाषा, कोसाइन, एक कोण की स्पर्शरेखा और अन्य। इस प्रकार के अधिकांश कार्य स्कूल में ज्यामिति के पाठों में हल किए जाते हैं।

जब, एक बिंदु से एक रेखा की दूरी ज्ञात करते समय, आप एक आयताकार समन्वय प्रणाली में प्रवेश कर सकते हैं, तो समन्वय विधि का उपयोग किया जाता है। इस पैराग्राफ में, हम किसी दिए गए बिंदु से वांछित दूरी खोजने के लिए मुख्य दो तरीकों पर विचार करते हैं।

पहली विधि में M 1 से रेखा a पर खींचे गए लंब के रूप में दूरी ज्ञात करना शामिल है। दूसरी विधि आवश्यक दूरी ज्ञात करने के लिए सीधी रेखा a के सामान्य समीकरण का उपयोग करती है।

यदि समतल पर निर्देशांक M 1 (x 1, y 1) के साथ एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक सीधी रेखा a है, और आपको M 1 H 1 की दूरी ज्ञात करने की आवश्यकता है, तो आप दो तरीकों से गणना कर सकते हैं। आइए उन पर विचार करें।

पहला तरीका

यदि बिंदु H 1 के निर्देशांक x 2, y 2 के बराबर हैं, तो बिंदु से रेखा तक की दूरी सूत्र M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y) के निर्देशांक से गणना की जाती है। 2 - वाई 1) 2।

अब चलिए बिंदु H 1 के निर्देशांक खोजने के लिए आगे बढ़ते हैं।

यह ज्ञात है कि O x y में एक सीधी रेखा एक समतल में एक सीधी रेखा के समीकरण से मेल खाती है। आइए एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण या ढलान के साथ एक समीकरण लिखकर एक सीधी रेखा को परिभाषित करने का एक तरीका अपनाएं। हम एक सीधी रेखा के समीकरण की रचना करते हैं जो बिंदु M 1 से होकर किसी रेखा a पर लंबवत गुजरती है। रेखा को Beech b द्वारा निरूपित करते हैं। H 1 लाइनों a और b का प्रतिच्छेदन बिंदु है, इसलिए निर्देशांक निर्धारित करने के लिए, आपको लेख का उपयोग करना चाहिए, जो दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक से संबंधित है।

यह देखा जा सकता है कि किसी दिए गए बिंदु M 1 (x 1, y 1) से सीधी रेखा तक की दूरी खोजने के लिए एल्गोरिथ्म बिंदुओं के अनुसार किया जाता है:

परिभाषा 3

• सीधी रेखा के सामान्य समीकरण का पता लगाना , ए 1 एक्स + बी 1 वाई + सी 1 \u003d 0, या ढलान गुणांक के साथ एक समीकरण, फॉर्म y \u003d k 1 x + b 1;
• रेखा b का सामान्य समीकरण प्राप्त करना, जिसका रूप A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 है या ढलान y \u003d k 2 x + b 2 के साथ एक समीकरण है यदि रेखा b बिंदु M 1 को काटती है और दी गई रेखा a के लंबवत है;
• बिंदु H 1 के निर्देशांक x 2, y 2 का निर्धारण, जो कि a और b का प्रतिच्छेदन बिंदु है, इसके लिए रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल किया जाता है A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + बी 2 वाई + सी 2 = 0 या वाई = के 1 एक्स + बी 1 वाई = के 2 एक्स + बी 2;
• सूत्र M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 का उपयोग करके एक बिंदु से एक सीधी रेखा तक आवश्यक दूरी की गणना।

दूसरा तरीका

प्रमेय किसी दिए गए बिंदु से किसी विमान पर दी गई रेखा तक की दूरी का पता लगाने के प्रश्न का उत्तर देने में मदद कर सकता है।

प्रमेय

एक आयताकार समन्वय प्रणाली में O x y का एक बिंदु M 1 (x 1, y 1) है, जिससे एक सीधी रेखा खींची जाती है a विमान के सामान्य समीकरण द्वारा दिए गए विमान के रूप में, cos α x + cos β y - p \u003d 0, मॉड्यूलो के बराबर सामान्य सीधी रेखा समीकरण के बाईं ओर प्राप्त मूल्य, x = x 1, y = y 1 पर गणना की जाती है, इसका मतलब है कि M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · वाई 1 - पी।

सबूत

रेखा a विमान के सामान्य समीकरण से मेल खाती है, जिसका रूप cos α x + cos β y - p = 0 है, फिर n → = (cos α , cos β) रेखा का एक सामान्य सदिश माना जाता है। पी इकाइयों के साथ मूल से रेखा तक की दूरी। आकृति में सभी डेटा को चित्रित करना आवश्यक है, निर्देशांक एम 1 (x 1, y 1) के साथ एक बिंदु जोड़ें, जहां बिंदु का त्रिज्या वेक्टर M 1 - O M 1 → = (x 1 , y 1) । एक बिंदु से एक सीधी रेखा तक एक सीधी रेखा खींचना आवश्यक है, जिसे हम M 1 H 1 द्वारा निरूपित करेंगे। अंक एम 1 और एच 2 के अनुमानों एम 2 और एच 2 को बिंदु ओ के माध्यम से गुजरने वाली सीधी रेखा पर n → = (cos α , cos β), और संख्यात्मक प्रक्षेपण के निर्देशन वेक्टर के साथ दिखाना आवश्यक है सदिश की संख्या को O M 1 → = (x 1 , y 1) के रूप में n → = (cos α , cos β) के रूप में n p n → O M 1 → के रूप में निरूपित किया जाएगा।

विविधताएँ बिंदु M 1 की स्थिति पर ही निर्भर करती हैं। नीचे दिए गए चित्र पर विचार करें।

हम सूत्र M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p का उपयोग करके परिणाम ठीक करते हैं। फिर हम समानता को इस रूप में लाते हैं M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 प्राप्त करने के लिए।

सदिशों का अदिश गुणनफल n → , O M → 1 = n → n p n → O M 1 → = 1 n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → के रूपांतरित सूत्र में परिणत होता है, जो रूप n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 । इसलिए, हमें वह n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 प्राप्त होता है। यह इस प्रकार है कि M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p । प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

हम पाते हैं कि बिंदु M 1 (x 1, y 1) से विमान पर सीधी रेखा a तक की दूरी का पता लगाने के लिए कई क्रियाएं करनी होंगी:

परिभाषा 4

• रेखा का सामान्य समीकरण a cos α · x + cos β · y - p = 0 प्राप्त करना, बशर्ते कि यह कार्य में न हो;
• व्यंजक cos α · x 1 + cos β · y 1 - p की गणना, जहां परिणामी मान M 1 H 1 लेता है।

आइए एक बिंदु से एक समतल की दूरी ज्ञात करने की समस्याओं को हल करने के लिए इन विधियों को लागू करें।

उदाहरण 1

निर्देशांक M 1 (- 1 , 2) वाले बिंदु से रेखा 4 x - 3 y + 35 = 0 की दूरी ज्ञात कीजिए।

समाधान

आइए हल करने के लिए पहली विधि का उपयोग करें।

ऐसा करने के लिए, आपको रेखा b के सामान्य समीकरण को खोजने की आवश्यकता है, जो किसी दिए गए बिंदु M 1 (- 1 , 2) से होकर रेखा 4 x - 3 y + 35 = 0 के लम्बवत् होकर जाता है। यह स्थिति से देखा जा सकता है कि रेखा b, रेखा a के लंबवत है, तो इसके दिशा सदिश के निर्देशांक (4, - 3) के बराबर हैं। इस प्रकार, हमारे पास समतल पर रेखा b के विहित समीकरण को लिखने का अवसर है, क्योंकि बिंदु M 1 के निर्देशांक हैं, जो रेखा b से संबंधित है। आइए सीधी रेखा b के निर्देशन वेक्टर के निर्देशांक निर्धारित करें। हम पाते हैं कि x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3। परिणामी विहित समीकरण को एक सामान्य में परिवर्तित किया जाना चाहिए। तब हमें वह मिलता है

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 (x + 1) = 4 (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

आइए रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक खोजें, जिन्हें हम पदनाम H 1 के रूप में लेंगे। परिवर्तन इस तरह दिखते हैं:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

ऊपर से, हमारे पास यह है कि बिंदु H 1 के निर्देशांक (- 5; 5) हैं।

बिंदु M 1 से सीधी रेखा a की दूरी की गणना करना आवश्यक है। हमारे पास बिंदु M 1 (- 1, 2) और H 1 (- 5, 5) के निर्देशांक हैं, फिर हम दूरी खोजने के लिए सूत्र में स्थानापन्न करते हैं और हमें वह मिलता है

एम 1 एच 1 \u003d (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 \u003d 25 \u003d 5

दूसरा उपाय।

दूसरे तरीके से हल करने के लिए, सीधी रेखा के सामान्य समीकरण को प्राप्त करना आवश्यक है। हम सामान्य कारक के मान की गणना करते हैं और समीकरण 4 x - 3 y + 35 = 0 के दोनों पक्षों को गुणा करते हैं। यहाँ से हम पाते हैं कि प्रसामान्यीकरण गुणक - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5 है, और प्रसामान्य समीकरण - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - के रूप में होगा। 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0।

गणना एल्गोरिथ्म के अनुसार, एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण को प्राप्त करना और x = - 1, y = 2 मानों के साथ इसकी गणना करना आवश्यक है। तब हमें वह मिलता है

4 5 - 1 + 3 5 2 - 7 = - 5

यहाँ से हम पाते हैं कि बिंदु M 1 (- 1, 2) से दी गई सरल रेखा 4 x - 3 y + 35 = 0 की दूरी का मान - 5 = 5 है।

उत्तर: 5 .

यह देखा जा सकता है कि इस विधि में सीधी रेखा के सामान्य समीकरण का उपयोग करना महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह विधि सबसे छोटी है। लेकिन पहली विधि इस मायने में सुविधाजनक है कि यह सुसंगत और तार्किक है, हालाँकि इसमें अधिक गणना बिंदु हैं।

उदाहरण 2

समतल पर एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली O xy है जिसका एक बिंदु M 1 (8, 0) है और एक सीधी रेखा y = 1 2 x + 1 है। किसी दिए गए बिंदु से सीधी रेखा की दूरी ज्ञात कीजिए।

समाधान

पहले तरीके से हल का अर्थ है किसी दिए गए समीकरण को ढलान गुणांक के साथ एक सामान्य समीकरण में घटाना। सरल बनाने के लिए, आप इसे अलग तरह से कर सकते हैं।

यदि लंबवत रेखाओं के ढलानों का उत्पाद -1 है, तो दिए गए y = 1 2 x + 1 के लंबवत रेखा का ढलान 2 है। अब हमें निर्देशांक M 1 (8, 0) वाले बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण मिलता है। हमारे पास y - 0 = - 2 (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 है।

हम बिंदु H 1 के निर्देशांक खोजने के लिए आगे बढ़ते हैं, अर्थात, चौराहे के बिंदु y \u003d - 2 x + 16 और y \u003d 1 2 x + 1। हम समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं और प्राप्त करते हैं:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 6 + 1 x \u003d 6 \u003d y \u003d 4 x \u003d 6 ⇒ एच 1 (6, 4)

यह इस प्रकार है कि निर्देशांक एम 1 (8 , 0) के साथ बिंदु से लाइन y = 1 2 x + 1 की दूरी निर्देशांक एम 1 (8 , 0) और एच के साथ प्रारंभ बिंदु और अंत बिंदु से दूरी के बराबर है। 1 (6 , 4) . आइए गणना करें और प्राप्त करें कि M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5।

दूसरे तरीके से समाधान समीकरण से एक गुणांक के साथ अपने सामान्य रूप में पारित करना है। अर्थात्, हमें y \u003d 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 \u003d 0 मिलता है, तो सामान्यीकरण कारक का मान होगा - 1 1 2 2 + (- 1) 2 \u003d - 2 5 . यह इस प्रकार है कि एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 रूप लेता है। आइए बिंदु M 1 8 , 0 से फॉर्म की सीधी रेखा - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 की गणना करें। हम पाते हैं:

एम 1 एच 1 \u003d - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 \u003d - 10 5 \u003d 2 5

उत्तर: 2 5 .

उदाहरण 3

निर्देशांक M 1 (- 2 , 4) से सीधी रेखाओं 2 x - 3 = 0 और y + 1 = 0 के साथ बिंदु से दूरी की गणना करना आवश्यक है।

समाधान

हमें सीधी रेखा 2 x - 3 = 0 के सामान्य रूप का समीकरण मिलता है:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

फिर हम बिंदु M 1 - 2, 4 से सीधी रेखा x - 3 2 = 0 की दूरी की गणना करने के लिए आगे बढ़ते हैं। हम पाते हैं:

एम 1 एच 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

सीधी रेखा समीकरण y + 1 = 0 में -1 के मान के साथ सामान्य कारक है। इसका अर्थ है कि समीकरण - y - 1 = 0 का रूप लेगा। हम बिंदु M 1 (- 2 , 4) से सीधी रेखा - y - 1 = 0 की दूरी की गणना करने के लिए आगे बढ़ते हैं। हम पाते हैं कि यह - 4 - 1 = 5 के बराबर है।

उत्तर: 3 1 2 और 5।

आइए हम समतल के दिए गए बिंदु से निर्देशांक अक्षों O x और O y की दूरी के निर्धारण पर विस्तार से विचार करें।

एक आयताकार समन्वय प्रणाली में, अक्ष O y में एक सीधी रेखा का समीकरण होता है, जो अधूरा होता है और इसका रूप x \u003d 0, और O x - y \u003d 0 होता है। निर्देशांक अक्षों के लिए समीकरण सामान्य हैं, फिर बिंदु से निर्देशांक M 1 x 1 , y 1 के साथ सीधी रेखाओं की दूरी का पता लगाना आवश्यक है। यह सूत्र M 1 H 1 = x 1 और M 1 H 1 = y 1 के आधार पर किया जाता है। नीचे दिए गए चित्र पर विचार करें।

उदाहरण 4

बिंदु M 1 (6, - 7) से O x y तल में स्थित निर्देशांक रेखाओं की दूरी ज्ञात कीजिए।

समाधान

चूँकि समीकरण y \u003d 0 रेखा O x को संदर्भित करता है, आप सूत्र का उपयोग करके इस रेखा के दिए गए निर्देशांक के साथ M 1 से दूरी का पता लगा सकते हैं। हमें वह 6 = 6 प्राप्त होता है।

चूँकि समीकरण x \u003d 0 रेखा O y को संदर्भित करता है, आप सूत्र का उपयोग करके M 1 से इस रेखा की दूरी का पता लगा सकते हैं। तब हम पाते हैं कि - 7 = 7।

उत्तर: M 1 से O x की दूरी का मान 6 है, और M 1 से O y का मान 7 है।

जब त्रि-आयामी अंतरिक्ष में हमारे पास निर्देशांक M 1 (x 1, y 1, z 1) के साथ एक बिंदु होता है, तो बिंदु A से रेखा a तक की दूरी का पता लगाना आवश्यक होता है।

दो तरीकों पर विचार करें जो आपको अंतरिक्ष में स्थित एक बिंदु से एक सीधी रेखा तक की दूरी की गणना करने की अनुमति देते हैं। पहला मामला बिंदु M 1 से रेखा तक की दूरी पर विचार करता है, जहाँ रेखा पर स्थित बिंदु को H 1 कहा जाता है और बिंदु M 1 से रेखा a तक खींचे गए लंब का आधार है। दूसरा मामला बताता है कि इस समतल के बिंदुओं को समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई के रूप में खोजा जाना चाहिए।

पहला तरीका

परिभाषा से, हमारे पास यह है कि सीधी रेखा पर स्थित बिंदु M 1 से दूरी लंबवत M 1 H 1 की लंबाई है, फिर हम पाते हैं कि बिंदु H 1 के निर्देशांक मिले हैं, फिर हम दूरी का पता लगाते हैं M 1 (x 1, y 1, z 1 ) और H 1 (x 1, y 1, z 1) के बीच सूत्र M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z के आधार पर 2 - z 1 2 .

हम पाते हैं कि पूरा हल M 1 से रेखा a पर खींचे गए लंब के आधार के निर्देशांक ज्ञात करने में जाता है। यह निम्नानुसार किया जाता है: एच 1 वह बिंदु है जहां रेखा ए दिए गए बिंदु से गुजरने वाले विमान के साथ प्रतिच्छेद करती है।

इसका मतलब यह है कि बिंदु M 1 (x 1, y 1, z 1) से अंतरिक्ष की सीधी रेखा a तक की दूरी निर्धारित करने के लिए एल्गोरिथ्म का तात्पर्य कई बिंदुओं से है:

परिभाषा 5

• समतल χ के समीकरण को एक रेखा के लम्बवत दिए गए बिंदु से गुजरने वाले समतल के समीकरण के रूप में तैयार करना;
• बिंदु H 1 से संबंधित निर्देशांक (x 2 , y 2 , z 2 ) का निर्धारण जो रेखा a और समतल χ के प्रतिच्छेदन बिंदु है;
• सूत्र M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 का उपयोग करके एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी की गणना।

दूसरा तरीका

स्थिति से हमारे पास एक रेखा है, फिर हम दिशा वेक्टर a → = a x, a y, a z को निर्देशांक x 3, y 3, z 3 और एक निश्चित बिंदु M 3 से संबंधित रेखा से निर्धारित कर सकते हैं। बिंदुओं के निर्देशांक को देखते हुए M 1 (x 1 , y 1) और M 3 x 3 , y 3 , z 3 , M 3 M 1 → की गणना की जा सकती है:

एम 3 एम 1 → = (एक्स 1 - एक्स 3, वाई 1 - वाई 3, जेड 1 - जेड 3)

वैक्टर a → \u003d a x, a y, a z और M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 को बिंदु M 3 से स्थगित करना आवश्यक है, कनेक्ट करें और प्राप्त करें एक समांतर चतुर्भुज आकृति। एम 1 एच 1 समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई है।

नीचे दिए गए चित्र पर विचार करें।

हमारे पास यह है कि ऊँचाई M 1 H 1 वांछित दूरी है, तो आपको सूत्र का उपयोग करके इसे खोजने की आवश्यकता है। यानी, हम M 1 H 1 की तलाश कर रहे हैं।

अक्षर S द्वारा समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र को निरूपित करें, सदिश a → = (a x , a y , a z) और M 3 M 1 → = x 1 - x 3 का उपयोग करके सूत्र द्वारा पाया जाता है। वाई 1 - वाई 3, जेड 1 - जेड 3। क्षेत्र सूत्र का रूप S = a → × M 3 M 1 → है। साथ ही, आकृति का क्षेत्रफल उसके पक्षों की लंबाई और ऊँचाई के उत्पाद के बराबर है, हमें वह S \u003d a → M 1 H 1 एक → \u003d a x 2 + a y 2 + के साथ मिलता है a z 2, जो वेक्टर a → \u003d (a x, a y, a z) की लंबाई है, जो समांतर चतुर्भुज की भुजा के बराबर है। इसलिए, M 1 H 1 बिंदु से रेखा की दूरी है। यह सूत्र M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → द्वारा पाया जाता है।

निर्देशांक M 1 (x 1, y 1, z 1) के साथ एक बिंदु से अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा तक की दूरी का पता लगाने के लिए, आपको एल्गोरिथ्म के कई बिंदुओं को पूरा करने की आवश्यकता है:

परिभाषा 6

• सीधी रेखा के दिशा वेक्टर का निर्धारण a - a → = (a x , a y , a z);
• दिशा वेक्टर a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 की लंबाई की गणना;
• निर्देशांक प्राप्त करना x 3 , y 3 , z 3 लाइन ए पर स्थित बिंदु एम 3 से संबंधित;
• वेक्टर एम 3 एम 1 → के निर्देशांक की गणना;
• वैक्टर a → (a x, a y, a z) और M 3 M 1 → = x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 के रूप में a → × M 3 M 1 → = i के क्रॉस उत्पाद का पता लगाना → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 सूत्र के अनुसार लंबाई प्राप्त करने के लिए a → × M 3 M 1 → ;
• एक बिंदु से एक रेखा M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → की दूरी की गणना।

अंतरिक्ष में दिए गए बिंदु से दी गई सीधी रेखा की दूरी ज्ञात करने की समस्याओं को हल करना

उदाहरण 5

निर्देशांक M 1 2 , - 4 , - 1 से बिंदु से रेखा x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 की दूरी ज्ञात कीजिए।

समाधान

पहली विधि M 1 से गुजरने वाले समतल χ के समीकरण को लिखने से शुरू होती है और दिए गए बिंदु पर लंबवत होती है। हमें एक अभिव्यक्ति मिलती है जैसे:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

बिंदु H 1 के निर्देशांक को खोजना आवश्यक है, जो कि स्थिति द्वारा दी गई सीधी रेखा के लिए विमान χ के साथ चौराहे का बिंदु है। विहित रूप से प्रतिच्छेदन की ओर बढ़ना आवश्यक है। तब हमें फॉर्म के समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 (x + 1) = 2 y 5 (x + 1) = 2 (z + 5) 5 y = - 1 (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

सिस्टम x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 की गणना करना आवश्यक है क्रेमर विधि से 2 x - y + 5 z = 3, तो हम प्राप्त करते हैं:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 60 = 0

इसलिए हमारे पास वह H 1 (1, - 1, 0) है।

एम 1 एच 1 \u003d 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 \u003d 11

दूसरी विधि को कैनोनिकल समीकरण में निर्देशांक खोजकर शुरू किया जाना चाहिए। ऐसा करने के लिए, अंश के भाजक पर ध्यान दें। तब a → = 2 , - 1 , 5 रेखा x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 की दिशा सदिश है। सूत्र a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30 का उपयोग करके लंबाई की गणना करना आवश्यक है।

यह स्पष्ट है कि रेखा x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 बिंदु M 3 (- 1 , 0 , - 5) को प्रतिच्छेद करती है, इसलिए हमारे पास मूल M 3 (- 1 , 0) वाला सदिश है। , - 5) और बिंदु पर इसका अंत M 1 2 , - 4 , - 1 है M 3 M 1 → = 3 , - 4 , 4 । सदिश गुणनफल a → = (2, - 1, 5) और M 3 M 1 → = (3, - 4, 4) ज्ञात कीजिए।

हमें फॉर्म की अभिव्यक्ति मिलती है a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 j → = 16 i → + 7 j → - 5 k →

हम पाते हैं कि क्रॉस उत्पाद की लंबाई a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330 है।

एक सीधी रेखा के लिए एक बिंदु से दूरी की गणना करने के सूत्र का उपयोग करने के लिए हमारे पास सभी डेटा हैं, इसलिए हम इसे लागू करते हैं और प्राप्त करते हैं:

एम 1 एच 1 = ए → × एम 3 एम 1 → ए → = 330 30 = 11

उत्तर: 11 .

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आंकड़ों के सतह क्षेत्र और उनके संस्करणों की गणना करते समय विभिन्न ज्यामितीय वस्तुओं के बीच की दूरी का पता लगाने की क्षमता महत्वपूर्ण है। इस लेख में, हम इस सवाल पर विचार करेंगे कि अंतरिक्ष में और एक विमान पर एक बिंदु से एक सीधी रेखा की दूरी का पता कैसे लगाया जाए।

एक सीधी रेखा का गणितीय विवरण

यह समझने के लिए कि एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी का पता कैसे लगाया जाए, आपको इन ज्यामितीय वस्तुओं के गणितीय विनिर्देश के प्रश्न से निपटना चाहिए।

एक बिंदु के साथ सब कुछ सरल है, यह निर्देशांक के एक सेट द्वारा वर्णित है, जिसकी संख्या अंतरिक्ष के आयाम से मेल खाती है। उदाहरण के लिए, एक विमान पर ये दो निर्देशांक हैं, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में - तीन।

एक आयामी वस्तु के लिए - एक सीधी रेखा, इसका वर्णन करने के लिए कई प्रकार के समीकरणों का उपयोग किया जाता है। आइए उनमें से केवल दो पर विचार करें।

पहले प्रकार को सदिश समीकरण कहते हैं। नीचे त्रि-आयामी और द्वि-आयामी अंतरिक्ष में रेखाओं के लिए भाव दिए गए हैं:

(एक्स; वाई; जेड) = (एक्स 0; वाई 0; जेड 0) + α × (ए; बी; सी);

(एक्स; वाई) = (एक्स 0; वाई 0) + α × (ए; बी)

इन भावों में, शून्य सूचकांक वाले निर्देशांक उस बिंदु का वर्णन करते हैं जिसके माध्यम से दी गई रेखा गुजरती है, निर्देशांक का सेट (a; b; c) और (a; b) संबंधित रेखा के लिए तथाकथित दिशा वैक्टर हैं, α एक है पैरामीटर जो कोई वास्तविक मान ले सकता है।

वेक्टर समीकरण इस अर्थ में सुविधाजनक है कि इसमें स्पष्ट रूप से सीधी रेखा का दिशा वेक्टर होता है, जिसके निर्देशांक का उपयोग समानांतरता या विभिन्न ज्यामितीय वस्तुओं की लंबवतता की समस्याओं को हल करने में किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, दो सीधी रेखाएँ।

दूसरे प्रकार के समीकरण, जिस पर हम एक सरल रेखा के लिए विचार करेंगे, व्यापक कहलाता है। अंतरिक्ष में, यह रूप दो विमानों के सामान्य समीकरणों द्वारा दिया जाता है। एक विमान पर, इसका निम्न रूप है:

ए × एक्स + बी × वाई + सी = 0

जब प्लॉटिंग की जाती है, तो इसे अक्सर x / y पर निर्भरता के रूप में लिखा जाता है, अर्थात:

वाई = -ए / बी × एक्स + (-सी / बी)

यहां, मुक्त शब्द -सी / बी वाई-अक्ष के साथ रेखा के चौराहे के समन्वय से मेल खाता है, और गुणांक -ए / बी लाइन के कोण से एक्स-अक्ष से संबंधित है।

एक रेखा और एक बिंदु के बीच की दूरी की अवधारणा

समीकरणों से निपटने के बाद, आप सीधे एक बिंदु से एक सीधी रेखा की दूरी का पता लगाने के प्रश्न के उत्तर पर आगे बढ़ सकते हैं। 7वीं कक्षा में, स्कूल उचित मूल्य निर्धारित करके इस मुद्दे पर विचार करना शुरू करते हैं।

एक रेखा और एक बिंदु के बीच की दूरी इस रेखा के लम्बवत् खंड की लंबाई है, जिसे विचाराधीन बिंदु से हटा दिया जाता है। नीचे दिया गया आंकड़ा रेखा r और बिंदु A को दर्शाता है। नीली रेखा खंड को रेखा r के लंबवत दिखाती है। इसकी लंबाई आवश्यक दूरी है।

2D स्थिति को यहाँ दर्शाया गया है, हालाँकि, दूरी की यह परिभाषा 3D समस्या के लिए भी मान्य है।

आवश्यक सूत्र

एक सीधी रेखा के समीकरण को किस रूप में लिखा गया है और किस स्थान पर समस्या को हल किया जा रहा है, इसके आधार पर, दो मूल सूत्र दिए जा सकते हैं, जो इस प्रश्न का उत्तर देते हैं कि एक सीधी रेखा और एक बिंदु के बीच की दूरी कैसे ज्ञात करें।

ज्ञात बिंदु को प्रतीक P 2 से निरूपित करें। यदि एक सीधी रेखा का समीकरण सदिश रूप में दिया गया है, तो विचाराधीन वस्तुओं के बीच की दूरी d के लिए सूत्र मान्य है:

डी = || / |v¯|

यही है, डी निर्धारित करने के लिए, प्रत्यक्ष वेक्टर वी¯ और वेक्टर पी 1 पी 2 ¯ के वेक्टर उत्पाद के मॉड्यूल की गणना करनी चाहिए, जिसकी शुरुआत लाइन पर एक मनमाना बिंदु पी 1 पर होती है, और अंत है बिंदु P 2 पर, फिर इस मॉड्यूल को लंबाई v ¯ से विभाजित करें। यह सूत्र फ्लैट और त्रि-आयामी अंतरिक्ष के लिए सार्वभौमिक है।

यदि समस्या को xy समन्वय प्रणाली में एक विमान पर माना जाता है और एक सीधी रेखा का समीकरण सामान्य रूप में दिया जाता है, तो निम्न सूत्र आपको एक सीधी रेखा से एक बिंदु तक की दूरी का पता लगाने की अनुमति देता है:

सरल रेखा: A × x + B × y + C = 0;

बिंदु: पी 2 (एक्स 2; वाई 2; जेड 2);

दूरी: d = |A × x 2 + B × y 2 + C| / √(ए 2 + बी 2)

उपरोक्त सूत्र काफी सरल है, लेकिन इसका उपयोग ऊपर उल्लिखित शर्तों द्वारा सीमित है।

एक सीधी रेखा और दूरी पर एक बिंदु के प्रक्षेपण के निर्देशांक

आप इस सवाल का भी जवाब दे सकते हैं कि एक बिंदु से एक सीधी रेखा की दूरी को दूसरे तरीके से कैसे पता करें जिसमें उपरोक्त सूत्रों को याद करना शामिल नहीं है। इस पद्धति में एक सीधी रेखा पर एक बिंदु का निर्धारण होता है, जो कि मूल बिंदु का प्रक्षेपण है।

मान लीजिए कि एक बिंदु M और एक रेखा r है। बिंदु M का r पर प्रक्षेपण किसी बिंदु M 1 से मेल खाता है। M से r की दूरी सदिश MM 1 ¯ की लंबाई के बराबर है।

M 1 के निर्देशांक कैसे ज्ञात करें? बहुत आसान। यह याद करने के लिए पर्याप्त है कि लाइन वेक्टर v¯ MM 1 ¯ के लंबवत होगा, अर्थात, उनका अदिश गुणनफल शून्य के बराबर होना चाहिए। इस शर्त को जोड़ने पर तथ्य यह है कि निर्देशांक एम 1 को सीधी रेखा आर के समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए, हम सरल रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं। इसके समाधान के परिणामस्वरूप, बिंदु M के r पर प्रक्षेपण के निर्देशांक प्राप्त होते हैं।

एक रेखा से एक बिंदु तक की दूरी का पता लगाने के लिए इस अनुच्छेद में वर्णित विधि का उपयोग विमान और अंतरिक्ष के लिए किया जा सकता है, लेकिन इसके आवेदन के लिए रेखा के लिए सदिश समीकरण के ज्ञान की आवश्यकता होती है।

एक विमान पर कार्य

अब यह दिखाने का समय आ गया है कि वास्तविक समस्याओं को हल करने के लिए प्रस्तुत गणितीय उपकरण का उपयोग कैसे किया जाए। मान लीजिए कि एक बिंदु M(-4; 5) तल पर दिया गया है। बिंदु M से सीधी रेखा तक की दूरी का पता लगाना आवश्यक है, जिसे एक सामान्य समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है:

3 × (-4) + 6 = -6 ≠ 5

अर्थात् M एक रेखा पर स्थित नहीं है।

चूंकि एक सीधी रेखा का समीकरण सामान्य रूप में नहीं दिया जाता है, इसलिए हम इसे इस तरह से कम कर देते हैं कि संबंधित सूत्र का उपयोग करने में सक्षम होने के लिए, हमारे पास है:

वाई = 3 × एक्स + 6

3 एक्स एक्स - वाई + 6 = 0

अब आप ज्ञात संख्याओं को d के सूत्र में स्थानापन्न कर सकते हैं:

डी = |ए × एक्स 2 + बी × वाई 2 + सी | / √(ए 2 + बी 2) =

= |3 × (-4) -1 × 5+6| / √(3 2 +(-1) 2) = 11 / √10 ≈ 3.48

अंतरिक्ष में कार्य

अब अंतरिक्ष के मामले पर विचार करें। निम्नलिखित समीकरण द्वारा सीधी रेखा का वर्णन करें:

(एक्स; वाई; जेड) = (1; -1; 0) + α × (3; -2; 1)

इससे बिंदु M(0; 2; -3) की दूरी कितनी है?

पिछले मामले की तरह, हम जाँचते हैं कि क्या M किसी दी गई रेखा से संबंधित है। ऐसा करने के लिए, हम निर्देशांक को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और इसे स्पष्ट रूप से फिर से लिखते हैं:

x = 0 = 1 + 3 × α => α = -1/3;

y \u003d 2 \u003d -1 -2 × α => α \u003d -3/2;

चूँकि विभिन्न प्राचल α प्राप्त होते हैं, तो M इस रेखा पर स्थित नहीं होता है। अब हम इससे सीधी रेखा की दूरी की गणना करते हैं।

डी के सूत्र का उपयोग करने के लिए, रेखा पर एक मनमाना बिंदु लें, उदाहरण के लिए P(1; -1; 0), फिर:

आइए हम PM¯ और रेखा v¯ के बीच के क्रॉस उत्पाद की गणना करें। हम पाते हैं:

= [(-1; 3; -3) * (3; -2; 1)] = (-3; -8; -7)

अब हम पाए गए वेक्टर और वेक्टर v¯ के मॉड्यूल को डी के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं, हम प्राप्त करते हैं:

डी = √ (9 + 64 + 49) / √ (9 + 4 + 1) ≈ 2.95

यह उत्तर ऊपर वर्णित विधि का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है, जिसमें रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना शामिल है। इसमें और पिछली समस्याओं में, रेखा से बिंदु तक की दूरी के परिकलित मान संबंधित समन्वय प्रणाली की इकाइयों में प्रस्तुत किए जाते हैं।

इस लेख में, आप और मैं एक "जादू की छड़ी" की चर्चा शुरू करेंगे जो आपको ज्यामिति में कई समस्याओं को सरल अंकगणित में कम करने की अनुमति देगा। यह "छड़ी" आपके जीवन को बहुत आसान बना सकती है, खासकर जब आप स्थानिक आकृतियों, वर्गों आदि के निर्माण में असुरक्षित महसूस करते हैं। इसके लिए एक निश्चित कल्पना और व्यावहारिक कौशल की आवश्यकता होती है। जिस विधि पर हम यहां विचार करना शुरू करेंगे, वह आपको सभी प्रकार के ज्यामितीय निर्माणों और तर्कों से लगभग पूरी तरह से अमूर्त करने की अनुमति देगी। विधि कहलाती है "समन्वय विधि". इस लेख में हम निम्नलिखित प्रश्नों पर विचार करेंगे:

1. कार्तिकये निर्देशांक
2. विमान पर अंक और वैक्टर
3. दो बिंदुओं से एक वेक्टर बनाना
4. वेक्टर लंबाई (दो बिंदुओं के बीच की दूरी)।
5. मध्यबिंदु निर्देशांक
6. वैक्टर का डॉट उत्पाद
7. दो सदिशों के बीच का कोण

मुझे लगता है कि आप पहले ही अनुमान लगा चुके हैं कि समन्वय विधि को क्यों कहा जाता है? यह सच है कि इसे ऐसा नाम मिला है, क्योंकि यह ज्यामितीय वस्तुओं के साथ नहीं, बल्कि उनकी संख्यात्मक विशेषताओं (निर्देशांक) के साथ काम करता है। और परिवर्तन ही, जो ज्यामिति से बीजगणित में स्थानांतरित करना संभव बनाता है, में एक समन्वय प्रणाली की शुरुआत होती है। यदि मूल आकृति समतल थी, तो निर्देशांक द्वि-आयामी हैं, और यदि आकृति त्रि-आयामी है, तो निर्देशांक त्रि-आयामी हैं। इस लेख में, हम केवल द्वि-आयामी मामले पर विचार करेंगे। और लेख का मुख्य उद्देश्य आपको यह सिखाना है कि समन्वय विधि की कुछ बुनियादी तकनीकों का उपयोग कैसे करें (वे कभी-कभी एकीकृत राज्य परीक्षा के भाग बी में प्लैमेट्री में समस्याओं को हल करते समय उपयोगी साबित होते हैं)। इस विषय पर निम्नलिखित दो खंड समस्याओं C2 (स्टीरियोमेट्री की समस्या) को हल करने के तरीकों की चर्चा के लिए समर्पित हैं।

समन्वय पद्धति पर चर्चा करना कहाँ से तर्कसंगत होगा? शायद एक समन्वय प्रणाली की अवधारणा के साथ। याद करो जब तुम पहली बार उससे मिले थे। मुझे ऐसा लगता है कि 7 वीं कक्षा में, जब आपने एक रैखिक कार्य के अस्तित्व के बारे में सीखा, उदाहरण के लिए। मैं आपको याद दिला दूं कि आपने इसे बिंदुवार बनाया है। क्या तुम्हें याद है? आपने एक मनमानी संख्या चुनी, इसे सूत्र में प्रतिस्थापित किया और इस तरह गणना की। उदाहरण के लिए, यदि, तब, यदि, तब, आदि। परिणाम के रूप में आपको क्या मिला? और आपको निर्देशांक के साथ अंक प्राप्त हुए: और। इसके बाद, आपने एक "क्रॉस" (समन्वय प्रणाली) बनाया, उस पर एक पैमाना चुना (एक खंड के रूप में आपके पास कितने सेल होंगे) और उस पर आपको प्राप्त बिंदुओं को चिह्नित किया, जिसे आप फिर एक सीधी रेखा से जोड़ते हैं, परिणामी लाइन फ़ंक्शन का ग्राफ़ है।

ऐसी कुछ चीज़ें हैं जिन्हें आपको थोड़ा और विस्तार से समझाने की आवश्यकता है:

1. आप सुविधा के कारणों के लिए एक खंड चुनते हैं, ताकि तस्वीर में सब कुछ अच्छी तरह से और कॉम्पैक्ट रूप से फिट हो सके

2. यह माना जाता है कि अक्ष बाएँ से दाएँ जाता है, और अक्ष नीचे से ऊपर की ओर जाता है

3. वे समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं, और उनके प्रतिच्छेदन बिंदु को मूल बिंदु कहा जाता है। यह एक पत्र के साथ चिह्नित है।

4. एक बिंदु के समन्वय के रिकॉर्ड में, उदाहरण के लिए, कोष्ठक में बाईं ओर अक्ष के साथ बिंदु का समन्वय होता है, और दाईं ओर, अक्ष के साथ। विशेष रूप से, बस इसका मतलब है कि बिंदु

5. निर्देशांक अक्ष पर किसी बिंदु को सेट करने के लिए, आपको इसके निर्देशांक (2 अंक) निर्दिष्ट करने होंगे

6. अक्ष पर स्थित किसी बिंदु के लिए,

7. अक्ष पर स्थित किसी बिंदु के लिए,

8. अक्ष को x-अक्ष कहा जाता है

9. अक्ष को y-अक्ष कहा जाता है

अब हम आपके साथ अगला कदम उठाते हैं: दो बिंदु चिन्हित करें। इन दो बिंदुओं को एक रेखा से जोड़ दें। और तीर को ऐसे रखें जैसे कि हम बिंदु से बिंदु तक एक खंड खींच रहे हों: अर्थात, हम अपने खंड को निर्देशित करेंगे!

याद रखें कि निर्देशित खंड का दूसरा नाम क्या है? यह सही है, इसे सदिश कहा जाता है!

इस प्रकार, यदि हम बिंदु को बिंदु से जोड़ते हैं, और शुरुआत बिंदु A होगी, और अंत बिंदु B होगा,तब हमें एक वेक्टर मिलता है। यह निर्माण आपने भी 8वीं कक्षा में किया था, याद है?

यह पता चला है कि वैक्टर, बिंदुओं की तरह, दो संख्याओं द्वारा निरूपित किए जा सकते हैं: इन संख्याओं को वेक्टर के निर्देशांक कहा जाता है। प्रश्न: क्या आपको लगता है कि सदिश के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए हमारे लिए सदिश के आरंभ और अंत के निर्देशांक जानना पर्याप्त है? यह पता चला है कि हाँ! और यह करना बहुत आसान है:

इस प्रकार, चूंकि वेक्टर में बिंदु शुरुआत और अंत है, वेक्टर में निम्नलिखित निर्देशांक हैं:

उदाहरण के लिए, यदि, तो सदिश के निर्देशांक

अब इसके विपरीत करते हैं, सदिश के निर्देशांक ज्ञात करते हैं। इसके लिए हमें क्या बदलने की जरूरत है? हां, आपको शुरुआत और अंत की अदला-बदली करनी होगी: अब सदिश की शुरुआत एक बिंदु पर होगी, और अंत एक बिंदु पर होगा। फिर:

बारीकी से देखें, वैक्टर और के बीच क्या अंतर है? उनका एकमात्र अंतर निर्देशांकों में चिह्नों का है। वे विपरीत हैं। यह तथ्य इस प्रकार लिखा गया है:

कभी-कभी, यदि यह विशेष रूप से नहीं बताया गया है कि कौन सा बिंदु सदिश की शुरुआत है, और कौन सा अंत है, तो सदिशों को दो बड़े अक्षरों से नहीं, बल्कि एक छोटे अक्षर से दर्शाया जाता है, उदाहरण के लिए :, आदि।

अब थोड़ा अभ्यासऔर निम्नलिखित सदिशों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए:

इंतिहान:

अब समस्या को थोड़ा और कठिन हल करें:

एक बिंदु पर ऑन-चा-स्क्रैप के साथ एक वेक्टर टोरस में को-या-दी-ऑन-यू है। Find-di-te Ab-cis-su अंक।

फिर भी काफी नीरस है: बिंदु के निर्देशांक होने दें। फिर

मैंने एक वेक्टर के निर्देशांक क्या हैं, यह निर्धारित करके सिस्टम को संकलित किया। तब बिंदु के निर्देशांक होते हैं। हम भुज में रुचि रखते हैं। फिर

उत्तर:

आप वैक्टर के साथ और क्या कर सकते हैं? हां, लगभग सब कुछ सामान्य संख्याओं के समान ही है (सिवाय इसके कि आप विभाजित नहीं कर सकते हैं, लेकिन आप दो तरीकों से गुणा कर सकते हैं, जिनमें से एक पर हम थोड़ी देर बाद चर्चा करेंगे)

1. वेक्टरों को एक दूसरे के साथ ढेर किया जा सकता है
2. सदिशों को एक दूसरे से घटाया जा सकता है
3. सदिशों को एक मनमाना गैर-शून्य संख्या से गुणा (या विभाजित) किया जा सकता है
4. सदिशों को आपस में गुणा किया जा सकता है

इन सभी परिचालनों में काफी दृश्य ज्यामितीय प्रतिनिधित्व होता है। उदाहरण के लिए, जोड़ और घटाव के लिए त्रिभुज (या समांतर चतुर्भुज) नियम:

एक संख्या से गुणा या विभाजित होने पर एक वेक्टर फैलता है या सिकुड़ता है या दिशा बदलता है:

हालाँकि, यहाँ हम इस सवाल में दिलचस्पी लेंगे कि निर्देशांक का क्या होता है।

1. जब दो सदिशों को जोड़ते (घटाते) हैं, तो हम उनके निर्देशांकों को एक-एक करके जोड़ते (घटाते) हैं। वह है:

2. जब किसी सदिश को किसी संख्या से गुणा (विभाजित) किया जाता है, तो उसके सभी निर्देशांक इस संख्या से गुणा (विभाजित) हो जाते हैं:

उदाहरण के लिए:

· को-या-दी-नट सेंचुरी-टू-आरए का योग खोजें।

आइए पहले प्रत्येक सदिश के निर्देशांक ज्ञात करें। दोनों का उद्गम एक ही है - उद्गम स्थल। उनके सिरे अलग हैं। फिर, । अब हम सदिश के निर्देशांकों की गणना करते हैं तब परिणामी सदिश के निर्देशांकों का योग बराबर होता है।

उत्तर:

अब निम्नलिखित समस्या को स्वयं हल करें:

· सदिश के निर्देशांकों का योग ज्ञात करें|

हम जाँच:

आइए अब निम्नलिखित समस्या पर विचार करें: हमारे पास निर्देशांक तल पर दो बिंदु हैं। उनके बीच की दूरी कैसे पता करें? पहला बिंदु होने दो, और दूसरा। आइए उनके बीच की दूरी को के रूप में निरूपित करें। आइए स्पष्टता के लिए निम्नलिखित चित्र बनाते हैं:

मैने क्या किया है? मैंने, सबसे पहले, बिंदुओं को जोड़ा और, और बिंदु से अक्ष के समानांतर एक रेखा भी खींची, और बिंदु से अक्ष के समानांतर एक रेखा खींची। क्या वे एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, एक अद्भुत आकृति बनाते हैं? वह अद्भुत क्यों है? हाँ, आप और मैं समकोण त्रिभुज के बारे में लगभग सब कुछ जानते हैं। ठीक है, पायथागॉरियन प्रमेय, निश्चित रूप से। वांछित खंड इस त्रिभुज का कर्ण है, और खंड पैर हैं। बिंदु के निर्देशांक क्या हैं? हां, उन्हें चित्र से ढूंढना आसान है: चूंकि खंड कुल्हाड़ियों के समानांतर हैं और क्रमशः, उनकी लंबाई को खोजना आसान है: यदि हम खंडों की लंबाई को क्रमशः, के माध्यम से निरूपित करते हैं, तो

अब पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करते हैं। हम पैरों की लंबाई जानते हैं, हम कर्ण पाएंगे:

इस प्रकार, दो बिंदुओं के बीच की दूरी निर्देशांक से वर्ग अंतर का मूल योग है। या - दो बिंदुओं के बीच की दूरी उन्हें जोड़ने वाले खंड की लंबाई है। यह देखना आसान है कि बिंदुओं के बीच की दूरी दिशा पर निर्भर नहीं करती है। फिर:

इससे हम तीन निष्कर्ष निकालते हैं:

आइए दो बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करने का थोड़ा अभ्यास करें:

उदाहरण के लिए, यदि, तो और के बीच की दूरी है

या चलिए अलग तरीके से चलते हैं: वेक्टर के निर्देशांक खोजें

और वेक्टर की लंबाई पाएं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, यह वही है!

अब थोड़ा अभ्यास स्वयं करें:

कार्य: दिए गए बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करें:

हम जाँच:

यहाँ एक ही सूत्र के लिए कुछ और समस्याएँ हैं, हालाँकि वे थोड़ी भिन्न लगती हैं:

1. पलक-से-रा की लंबाई का वर्ग ज्ञात करें।

2. पलक की लंबाई-से-रा का नाइ-दी-ते वर्ग

मुझे लगता है कि आप उन्हें आसानी से संभाल सकते हैं? हम जाँच:

1. और यह सावधानी के लिए है) हम पहले ही सदिशों के निर्देशांक पा चुके हैं: . फिर वेक्टर के निर्देशांक हैं। इसकी लंबाई का वर्ग होगा:

2. सदिश के निर्देशांक ज्ञात कीजिए

तो उसकी लम्बाई का वर्ग है

कुछ भी जटिल नहीं है, है ना? सरल अंकगणित, और कुछ नहीं।

निम्नलिखित पहेलियों को स्पष्ट रूप से वर्गीकृत नहीं किया जा सकता है, बल्कि वे सामान्य ज्ञान और सरल चित्र बनाने की क्षमता के लिए हैं।

1. एब्सिस्सा अक्ष के साथ ऑन-क्लो-ऑन-फ्रॉम-कट, कनेक्ट-वन-एन-वें-वें बिंदु के कोण की ज्या का पता लगाएं।

तथा

हम इसे यहाँ कैसे करने जा रहे हैं? आपको कोण और अक्ष के बीच के कोण की ज्या खोजने की आवश्यकता है। और हम साइन कहां देख सकते हैं? यह सही है, एक समकोण त्रिभुज में। तो हमें क्या करना चाहिए? इस त्रिभुज का निर्माण करें!

चूंकि बिंदु के निर्देशांक और, फिर खंड बराबर है, और खंड। हमें कोण की ज्या खोजने की जरूरत है। मैं आपको याद दिला दूं कि साइन कर्ण के विपरीत पैर का अनुपात है, फिर

हमें क्या करना बाकी है? कर्ण का पता लगाएं। आप इसे दो तरीकों से कर सकते हैं: पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके (पैर ज्ञात हैं!) या दो बिंदुओं के बीच की दूरी के सूत्र का उपयोग करके (वास्तव में पहली विधि के समान!)। मैं दूसरा रास्ता लूंगा:

उत्तर:

अगला काम आपको और भी आसान लगने लगेगा। वह - बिंदु के निर्देशांक पर।

कार्य 2।बिंदु से, प्रति-पेन-दी-कू-लार को एब्स-सिस अक्ष पर उतारा जाता है। नै-दी-ते एब्स-सिस-सु ओएस-नो-वा-निया प्रति-पेन-दी-कू-ला-रा।

आइए एक चित्र बनाते हैं:

लंब का आधार वह बिंदु है जिस पर यह x-अक्ष (अक्ष) को काटता है मेरे लिए यह एक बिंदु है। आंकड़ा दिखाता है कि इसमें निर्देशांक हैं:। हम एब्सिस्सा में रुचि रखते हैं - अर्थात, "एक्स" घटक। वह बराबर है।

उत्तर: .

कार्य 3।पिछली समस्या की शर्तों के तहत, बिंदु से निर्देशांक अक्षों तक की दूरियों का योग ज्ञात कीजिए।

कार्य आमतौर पर प्राथमिक होता है यदि आप जानते हैं कि एक बिंदु से अक्ष की दूरी क्या है। तुम्हे पता हैं? मुझे आशा है, लेकिन फिर भी मैं आपको याद दिलाता हूं:

तो, मेरी ड्राइंग में, थोड़ा ऊपर स्थित, मैंने पहले से ही एक ऐसे लंब को चित्रित किया है? यह कौन सी धुरी है? अक्ष को। और उसकी लंबाई क्या है? वह बराबर है। अब अक्ष पर स्वयं एक लंब खींचिए और उसकी लंबाई ज्ञात कीजिए। यह बराबर होगा, है ना? तब उनका योग बराबर होता है।

उत्तर: .

कार्य 4।समस्या 2 की शर्तों में, एक्स-अक्ष के बारे में सममित बिंदु के समन्वय को ढूंढें।

मुझे लगता है कि आप सहज रूप से समझते हैं कि समरूपता क्या है? बहुत सारी वस्तुओं में यह होता है: कई इमारतें, टेबल, प्लेन, कई ज्यामितीय आकृतियाँ: एक गेंद, एक बेलन, एक वर्ग, एक रोम्बस, आदि। मोटे तौर पर, समरूपता को इस प्रकार समझा जा सकता है: एक आकृति में दो (या अधिक) होते हैं। समान आधा। इस समरूपता को अक्षीय कहा जाता है। तो अक्ष क्या है? यह ठीक वही रेखा है जिसके साथ आकृति, अपेक्षाकृत बोल सकती है, समान हिस्सों में "कट" हो सकती है (इस चित्र में, समरूपता की धुरी सीधी है):

अब हम अपने कार्य पर वापस आते हैं। हम जानते हैं कि हम एक ऐसे बिंदु की तलाश कर रहे हैं जो अक्ष के सापेक्ष सममित हो। तब यह अक्ष सममिति का अक्ष है। इसलिए, हमें एक बिंदु को चिह्नित करने की आवश्यकता है ताकि अक्ष खंड को दो समान भागों में काट दे। ऐसे बिंदु को स्वयं चिह्नित करने का प्रयास करें। अब मेरे समाधान से तुलना करें:

क्या आपने भी ऐसा ही किया? अच्छा! पाए गए बिंदु पर, हम समन्वय में रूचि रखते हैं। वह बराबर है

उत्तर:

अब मुझे बताओ, एक सेकंड के लिए सोचने के बाद, y-अक्ष के बारे में बिंदु A के सममित बिंदु का भुज क्या होगा? आपका जवाब क्या है? सही उत्तर: ।

सामान्य तौर पर, नियम इस तरह लिखा जा सकता है:

एक्स-अक्ष के बारे में एक बिंदु के सममित बिंदु में निर्देशांक हैं:

वाई-अक्ष के बारे में एक बिंदु के सममित बिंदु में निर्देशांक हैं:

अच्छा, अब यह वास्तव में डरावना है। एक कार्य: उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो मूल बिंदु के सापेक्ष एक बिंदु के सममित है। आप पहले अपने लिए सोचें, और फिर मेरी ड्राइंग को देखें!

उत्तर:

अब समांतर चतुर्भुज समस्या:

कार्य 5: बिंदु वर्-शि-ना-मी-पा-रल-ले-लो-ग्राम-मा हैं। फाइंड-डी-ते या-डी-ऑन-टू अंक।

आप इस समस्या को दो तरीकों से हल कर सकते हैं: तर्क और समन्वय विधि। मैं पहले समन्वय विधि लागू करूँगा, और फिर मैं आपको बताऊँगा कि आप अन्यथा कैसे निर्णय ले सकते हैं।

यह बिल्कुल स्पष्ट है कि बिंदु का भुज बराबर होता है। (यह बिंदु से x-अक्ष पर खींचे गए लंब पर स्थित है)। हमें समन्वय खोजने की जरूरत है। आइए इस तथ्य का लाभ उठाएं कि हमारी आकृति एक समांतर चतुर्भुज है, जिसका अर्थ है। दो बिंदुओं के बीच की दूरी के सूत्र का उपयोग करके खंड की लंबाई ज्ञात करें:

हम अक्ष के साथ बिंदु को जोड़ने वाले लंब को कम करते हैं। प्रतिच्छेदन बिंदु को एक अक्षर द्वारा निरूपित किया जाता है।

खंड की लंबाई बराबर है। (समस्या स्वयं ढूंढें, जहां हमने इस पल पर चर्चा की थी), फिर हम पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करके खंड की लंबाई पाएंगे:

खंड की लंबाई बिल्कुल उसके समन्वय के समान है।

उत्तर: .

एक और समाधान (मैं सिर्फ एक चित्र प्रदान करूँगा जो इसे दिखाता है)

समाधान प्रगति:

1. खर्च करें

2. बिंदु निर्देशांक और लंबाई ज्ञात करें

3. सिद्ध कीजिए।

और एक लंबाई में कटौती की समस्या:

अंक हैं-ला-युत-ज़िया टॉप-शि-ऑन-मील त्रि-कोण-नो-का। उसकी मध्यरेखा, par-ral-lel-noy की लंबाई ज्ञात कीजिए।

क्या आपको याद है कि त्रिभुज की मध्य रेखा क्या होती है? तब आपके लिए यह कार्य प्राथमिक है। यदि आपको याद नहीं है, तो मैं आपको याद दिला दूं: त्रिभुज की मध्य रेखा वह रेखा होती है जो विपरीत भुजाओं के मध्यबिंदुओं को जोड़ती है। यह आधार के समानांतर और उसके आधे के बराबर है।

आधार एक खंड है। हमें इसकी लंबाई पहले देखनी थी, यह बराबर है। तब मध्य रेखा की लंबाई आधी लंबी और बराबर होती है।

उत्तर: .

टिप्पणी: इस समस्या को दूसरे तरीके से हल किया जा सकता है, जिस पर हम थोड़ी देर बाद चर्चा करेंगे।

इस बीच, यहां आपके लिए कुछ कार्य हैं, उन पर अभ्यास करें, वे काफी सरल हैं, लेकिन वे समन्वय विधि का उपयोग करके "अपना हाथ भरने" में मदद करते हैं!

1. अंक दिखाई देते हैं-ला-युत-जिआ टॉप-शि-ऑन-मी ट्रे-पे-टियन। इसकी मध्य रेखा की लम्बाई ज्ञात कीजिए।

2. अंक और यव-ला-युत-क्सिया वर्-शि-ना-मी पा-रल-ले-लो-ग्राम-मा। फाइंड-डी-ते या-डी-ऑन-टू अंक।

3. कट से लंबाई का पता लगाएं, दूसरे बिंदु को कनेक्ट करें और

4. को-या-दी-नाट-नॉय विमान पर रेड-शेन-नॉय फाई-गु-रे के लिए क्षेत्र का पता लगाएं।

5. ना-चा-ले को-या-दी-नट पर केंद्रित एक चक्र एक बिंदु से गुजरता है। उसकी रा-दी-मूंछें ढूंढो-दे-ते।

6. नाइ-दी-ते रा-दी-हमें सर्कल-नो-स्टि, वर्णन-सान-नॉय सम-कोण-नो-का के पास, टॉप्स-शि-नी ऑफ समथिंग-रो-गो है सह-या - दी-ना-आप सह-से-जवाब-लेकिन

समाधान:

1. यह ज्ञात है कि समलम्बाकार की मध्य रेखा उसके आधारों के योग के आधे के बराबर होती है। आधार बराबर है, लेकिन आधार। फिर

उत्तर:

2. इस समस्या को हल करने का सबसे आसान तरीका यह है कि (समांतर चतुर्भुज नियम) पर ध्यान दिया जाए। वैक्टर के निर्देशांक की गणना करना मुश्किल नहीं है:। वैक्टर जोड़ते समय, निर्देशांक जोड़े जाते हैं। फिर निर्देशांक हैं। बिंदु के समान निर्देशांक हैं, क्योंकि वेक्टर की शुरुआत निर्देशांक के साथ एक बिंदु है। हम समन्वय में रुचि रखते हैं। वह बराबर है।

उत्तर:

3. हम दो बिंदुओं के बीच की दूरी के सूत्र के अनुसार तुरंत कार्य करते हैं:

उत्तर:

4. चित्र को देखो और कहो, किन दो आकृतियों के बीच छायांकित क्षेत्र "निचोड़ा हुआ" है? यह दो वर्गों के बीच सैंडविच है। फिर वांछित आकृति का क्षेत्रफल बड़े वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर होता है, जो छोटे वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर होता है। छोटे वर्ग की भुजा बिंदुओं को जोड़ने वाला खंड है और इसकी लंबाई है

तो छोटे वर्ग का क्षेत्रफल है

हम एक बड़े वर्ग के साथ भी ऐसा ही करते हैं: इसकी भुजा बिंदुओं को जोड़ने वाला एक खंड है और इसकी लंबाई बराबर है

तो बड़े वर्ग का क्षेत्रफल है

वांछित आकृति का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा पाया जाता है:

उत्तर:

5. यदि वृत्त का मूल बिंदु इसका केंद्र है और यह एक बिंदु से होकर गुजरता है, तो इसकी त्रिज्या खंड की लंबाई के बराबर होगी (चित्र बनाएं और आप समझ जाएंगे कि यह स्पष्ट क्यों है)। इस खंड की लंबाई ज्ञात कीजिए:

उत्तर:

6. यह ज्ञात है कि एक आयत के चारों ओर परिचालित एक वृत्त की त्रिज्या उसके विकर्ण के आधे के बराबर होती है। आइए दो विकर्णों में से किसी एक की लंबाई ज्ञात करें (आखिरकार, एक आयत में वे बराबर होते हैं!)

उत्तर:

अच्छा, क्या आपने सब कुछ प्रबंधित किया? यह पता लगाना इतना कठिन नहीं था, है ना? यहां केवल एक नियम है - एक दृश्य चित्र बनाने में सक्षम होना और उसमें से सभी डेटा को "पढ़ना"।

हमारे पास बहुत कम बचा है। वस्तुतः दो और बिंदु हैं जिन पर मैं चर्चा करना चाहूंगा।

आइए इस सरल समस्या को हल करने का प्रयास करें। दो अंक दें और दिया जाए। खंड के मध्य के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। इस समस्या का समाधान इस प्रकार है: बिंदु को वांछित मध्य होने दें, फिर इसमें निर्देशांक हों:

वह है: खंड के मध्य के निर्देशांक = खंड के सिरों के संगत निर्देशांक का अंकगणितीय माध्य।

यह नियम बहुत सरल है और आमतौर पर छात्रों के लिए कठिनाइयों का कारण नहीं बनता है। आइए देखें कि किन समस्याओं में और इसका उपयोग कैसे किया जाता है:

1. फाइंड-दी-ते या-दी-ना-तु से-री-दी-हमें फ्रॉम-कट, कनेक्ट-न्या-यू-थ-थ पॉइंट और

2. बिंदु यव-ला-युत-क्सिया वर-शि-ना-मी-चे-यू-रेह-कोयला-नो-का हैं। उनके दिए-गो-ऑन-लेई के री-री-से-चे-निया के अंक-दी-ते या-दी-ना-तू बिंदु खोजें।

3. वृत्त के केंद्र का पता लगाएं-दी-ते एब्स-सिस-सु, आयत-नो-का के पास वर्णन-सान-नॉय, सबसे ऊपर-शि-हमारे पास कुछ-रो-गो सह-या-दी- ना-आप सह-पशु-चिकित्सक-स्ट्वेनो-लेकिन।

समाधान:

1. पहला काम सिर्फ एक क्लासिक है। हम खंड के मध्यबिंदु का निर्धारण करके तुरंत कार्य करते हैं। उसके निर्देशांक हैं। कोटि बराबर है।

उत्तर:

2. यह देखना आसान है कि दिया गया चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है (एक समचतुर्भुज भी!)। भुजाओं की लंबाइयों की गणना करके और उनकी आपस में तुलना करके आप इसे स्वयं सिद्ध कर सकते हैं। मुझे समांतर चतुर्भुज के बारे में क्या पता है? इसके विकर्ण प्रतिच्छेदन बिंदु से द्विभाजित होते हैं! अहा! तो विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु क्या है? यह किसी भी विकर्ण का मध्य है! मैं, विशेष रूप से, विकर्ण चुनूँगा। फिर बिंदु के निर्देशांक हैं। बिंदु का समन्वय बराबर है।

उत्तर:

3. आयत के परिगत वृत्त का केंद्र क्या है? यह अपने विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु के साथ मेल खाता है। आयत के विकर्णों के बारे में आप क्या जानते हैं? वे बराबर हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु आधे में बांटा गया है। कार्य को पिछले एक तक घटा दिया गया है। उदाहरण के लिए, विकर्ण लें। फिर यदि परिबद्ध वृत्त का केंद्र है, तो मध्य है। मैं निर्देशांक ढूंढ रहा हूं: भुज बराबर है।

उत्तर:

अब थोडा अभ्यास आप स्वयं करें, मैं केवल प्रत्येक समस्या का उत्तर दूंगा ताकि आप स्वयं को चेक कर सकें।

1. नै-दी-ते रा-दी-हमें सर्कल-नो-स्टि, वर्णन-सान-नॉय त्रिकोण-नो-का के पास, किसी-रो-गो के शीर्ष में को-या-दी-नो मिस्टर हैं

2. सर्कल के केंद्र को खोजें-दी-ते या-दी-ना-तु, त्रिकोण-नो-का के पास सैन-नोय का वर्णन करें, सबसे ऊपर-शि-हमारे पास कुछ-रो-गो निर्देशांक हैं

3. किस तरह का रा-दी-य-सा एक बिंदु पर एक केंद्र के साथ एक चक्र होना चाहिए ताकि यह एब्स-सीस अक्ष को छू सके?

4. एक्सिस के री-री-से-इंग के उस बिंदु को खोजें-दी-ते या-दी-ऑन- और कट-कट, कनेक्ट-न्या-यू-थ-वें बिंदु और

उत्तर:

क्या सब कुछ ठीक हो गया? मैं वास्तव में इसके लिए आशा करता हूं! अब - आखिरी धक्का। अब विशेष रूप से सावधान रहें। अब मैं जिस सामग्री की व्याख्या करूंगा, वह न केवल भाग बी में सरल समन्वय विधि की समस्याओं के लिए प्रासंगिक है, बल्कि समस्या सी 2 में भी पाई जाती है।

मैंने अपने कौन से वादे अभी तक नहीं रखे हैं? याद रखें कि मैंने वैक्टर पर कौन से ऑपरेशन शुरू करने का वादा किया था और आखिर में मैंने कौन से ऑपरेशन शुरू किए? क्या मुझे यकीन है कि मैं कुछ भी नहीं भूला हूँ? भूल गया! मैं यह बताना भूल गया कि सदिशों के गुणन का क्या अर्थ है।

वेक्टर द्वारा वेक्टर को गुणा करने के दो तरीके हैं। चुनी हुई विधि के आधार पर, हमें एक अलग प्रकृति की वस्तुएँ मिलेंगी:

वेक्टर उत्पाद काफी पेचीदा है। इसे कैसे करना है और इसकी आवश्यकता क्यों है, हम आपसे अगले लेख में चर्चा करेंगे। और इसमें हम स्केलर उत्पाद पर ध्यान केन्द्रित करेंगे।

पहले से ही दो तरीके हैं जो हमें इसकी गणना करने की अनुमति देते हैं:

जैसा आपने अनुमान लगाया, परिणाम वही होना चाहिए! तो आइए सबसे पहले पहला तरीका देखें:

निर्देशांक के माध्यम से डॉट उत्पाद

ढूँढें: - डॉट उत्पाद के लिए सामान्य संकेतन

गणना के लिए सूत्र इस प्रकार है:

अर्थात, बिंदु गुणनफल = सदिशों के निर्देशांकों के गुणनफलों का योग!

उदाहरण:

खोज-डी-ते

समाधान:

प्रत्येक सदिश के निर्देशांक ज्ञात कीजिए:

हम सूत्र द्वारा स्केलर उत्पाद की गणना करते हैं:

उत्तर:

तुम देखो, बिल्कुल कुछ भी जटिल नहीं है!

अच्छा, अब इसे स्वयं आजमाएँ:

Find-di-te scalar-noe pro-from-ve-de-nie सेंचुरी-टू-डिच और

क्या आप संभाल पाओगे? शायद उसने थोड़ी सी चाल देखी? चलो देखते है:

वेक्टर निर्देशांक, जैसा कि पिछले कार्य में है! उत्तर: ।

निर्देशांक के अलावा, स्केलर उत्पाद की गणना करने का एक और तरीका है, अर्थात्, वैक्टर की लंबाई और उनके बीच के कोण के कोसाइन के माध्यम से:

वैक्टर और के बीच के कोण को दर्शाता है।

अर्थात्, अदिश गुणनफल सदिशों की लंबाई और उनके बीच के कोण के कोसाइन के गुणनफल के बराबर होता है।

हमें इस दूसरे सूत्र की आवश्यकता क्यों है, यदि हमारे पास पहला है, जो बहुत सरल है, तो कम से कम इसमें कोई कोसाइन नहीं है। और हमें इसकी आवश्यकता है ताकि पहले और दूसरे सूत्र से हम यह निष्कर्ष निकाल सकें कि सदिशों के बीच का कोण कैसे ज्ञात किया जाए!

आइए फिर सदिश की लंबाई के सूत्र को याद करें!

फिर अगर मैं इस डेटा को डॉट उत्पाद सूत्र में प्लग करता हूं, तो मुझे यह मिलता है:

लेकिन दूसरी तरफ:

तो हमें क्या मिला है? अब हमारे पास दो सदिशों के बीच के कोण की गणना करने का सूत्र है! कभी-कभी संक्षिप्तता के लिए इसे इस प्रकार भी लिखा जाता है:

अर्थात्, वैक्टर के बीच के कोण की गणना के लिए एल्गोरिथम इस प्रकार है:

1. हम निर्देशांक के माध्यम से स्केलर उत्पाद की गणना करते हैं
2. सदिशों की लंबाई ज्ञात कीजिए और उन्हें गुणा कीजिए
3. बिंदु 1 के परिणाम को बिंदु 2 के परिणाम से विभाजित करें

आइए उदाहरणों के साथ अभ्यास करें:

1. पलकों-से-रा-मी और के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर डिग्रियों में दें।

2. पिछली समस्या की शर्तों के तहत, सदिशों के बीच कोज्या ज्ञात कीजिए

आइए ऐसा करते हैं: मैं पहली समस्या को हल करने में आपकी मदद करूँगा, और दूसरी समस्या को स्वयं हल करने का प्रयास करूँगा! मैं सहमत हूं? तो चलिए शुरू करते हैं!

1. ये वेक्टर हमारे पुराने मित्र हैं। हम पहले ही उनके अदिश गुणनफल पर विचार कर चुके हैं और यह बराबर था। उनके निर्देशांक हैं: , . तब हम उनकी लंबाई ज्ञात करते हैं:

फिर हम वैक्टर के बीच कोज्या की तलाश कर रहे हैं:

कोण की कोज्या क्या है? यह कोना है।

उत्तर:

खैर, अब दूसरी समस्या को स्वयं हल करें, और फिर तुलना करें! मैं बस एक बहुत छोटा समाधान दूंगा:

2. निर्देशांक हैं, निर्देशांक हैं।

सदिशों और के बीच का कोण होने दें, फिर

उत्तर:

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि परीक्षा पत्र के भाग बी में वैक्टर पर सीधे कार्य और निर्देशांक की विधि काफी दुर्लभ है। हालाँकि, C2 समस्याओं के विशाल बहुमत को एक समन्वय प्रणाली की शुरुआत करके आसानी से हल किया जा सकता है। तो आप इस लेख को एक नींव के रूप में मान सकते हैं, जिसके आधार पर हम जटिल समस्याओं को हल करने के लिए काफी कठिन निर्माण करेंगे।

निर्देशांक और वैक्टर। मध्यवर्ती स्तर

आप और मैं निर्देशांक की पद्धति का अध्ययन करना जारी रखते हैं। पिछले भाग में, हमने कई महत्वपूर्ण सूत्र निकाले हैं जो अनुमति देते हैं:

1. वेक्टर निर्देशांक खोजें
2. सदिश की लंबाई ज्ञात कीजिए (वैकल्पिक रूप से: दो बिंदुओं के बीच की दूरी)
3. वैक्टर जोड़ें, घटाएं। उन्हें वास्तविक संख्या से गुणा करें
4. एक खंड के मध्य बिंदु का पता लगाएं
5. वैक्टर के डॉट उत्पाद की गणना करें
6. सदिशों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए

बेशक, संपूर्ण समन्वय विधि इन 6 बिंदुओं में फिट नहीं होती है। यह विश्लेषणात्मक ज्यामिति जैसे विज्ञान को रेखांकित करता है, जिससे आप विश्वविद्यालय में परिचित होंगे। मैं सिर्फ एक नींव बनाना चाहता हूं जो आपको एक ही राज्य में समस्याओं को हल करने की अनुमति देगी। परीक्षा। हमने भाग बी के कार्यों का पता लगा लिया है अब गुणात्मक रूप से नए स्तर पर जाने का समय आ गया है! यह लेख उन C2 समस्याओं को हल करने के लिए एक विधि के लिए समर्पित होगा जिसमें समन्वय विधि पर स्विच करना उचित होगा। यह तर्कसंगतता इस बात से निर्धारित होती है कि समस्या में क्या पाया जाना चाहिए और कौन सा आंकड़ा दिया गया है। इसलिए, यदि प्रश्न हैं तो मैं समन्वय विधि का उपयोग करूंगा:

1. दो विमानों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए
2. एक रेखा और एक समतल के बीच का कोण ज्ञात कीजिए
3. दो रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए
4. एक बिंदु से एक विमान की दूरी ज्ञात कीजिए
5. एक बिंदु से एक रेखा की दूरी ज्ञात कीजिए
6. सीधी रेखा से समतल की दूरी ज्ञात कीजिए
7. दो रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए

यदि समस्या की स्थिति में दिया गया आंकड़ा क्रांति का एक शरीर है (गेंद, सिलेंडर, शंकु ...)

समन्वय विधि के लिए उपयुक्त आंकड़े हैं:

1. घनाभ
2. पिरामिड (त्रिकोणीय, चतुष्कोणीय, षट्कोणीय)

मेरे अनुभव में भी के लिए समन्वय विधि का उपयोग करना अनुचित है:

1. वर्गों के क्षेत्रों का पता लगाना
2. निकायों की मात्रा की गणना

हालांकि, यह तुरंत ध्यान दिया जाना चाहिए कि समन्वय पद्धति के लिए तीन "प्रतिकूल" स्थितियां व्यवहार में काफी दुर्लभ हैं। अधिकांश कार्यों में, यह आपका तारणहार बन सकता है, खासकर यदि आप त्रि-आयामी निर्माणों में बहुत मजबूत नहीं हैं (जो कभी-कभी काफी जटिल होते हैं)।

मैंने ऊपर सूचीबद्ध सभी आंकड़े क्या हैं? वे अब समतल नहीं हैं, जैसे कि एक वर्ग, त्रिकोण, वृत्त, लेकिन बड़ा! तदनुसार, हमें द्वि-आयामी नहीं, बल्कि त्रि-आयामी समन्वय प्रणाली पर विचार करने की आवश्यकता है। यह काफी आसानी से बनाया गया है: केवल भुज और निर्देशांक के अलावा, हम एक और अक्ष, अनुप्रयुक्त अक्ष पेश करेंगे। आंकड़ा योजनाबद्ध रूप से उनकी सापेक्ष स्थिति दिखाता है:

ये सभी परस्पर लंबवत हैं, एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, जिसे हम मूल बिंदु कहेंगे। फरस्किसा अक्ष, पहले की तरह, निरूपित किया जाएगा, समन्वय अक्ष - , और पेश की गई अनुप्रयुक्त अक्ष - ।

यदि पहले विमान के प्रत्येक बिंदु को दो संख्याओं - एब्सिस्सा और ऑर्डिनेट की विशेषता थी, तो अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु को पहले से ही तीन नंबरों द्वारा वर्णित किया गया है - एब्सिस्सा, ऑर्डिनेट, एप्लिकेट। उदाहरण के लिए:

तदनुसार, बिंदु का भुज बराबर है, कोटि है, और अनुप्रयोग है।

कभी-कभी किसी बिंदु के भुज को भुज अक्ष पर बिंदु का प्रक्षेपण भी कहा जाता है, कोटि कोटि के अक्ष पर बिंदु का प्रक्षेपण होता है, और अनुप्रयोग अनुप्रस्थ अक्ष पर बिंदु का प्रक्षेपण होता है। तदनुसार, यदि एक बिंदु दिया जाता है, तो निर्देशांक वाला एक बिंदु:

एक बिंदु के एक विमान पर प्रक्षेपण कहा जाता है

एक बिंदु के एक विमान पर प्रक्षेपण कहा जाता है

एक स्वाभाविक प्रश्न उठता है: क्या द्वि-आयामी स्थिति के लिए व्युत्पन्न सभी सूत्र अंतरिक्ष में मान्य हैं? उत्तर है हां, वे न्यायी हैं और उनका स्वरूप एक जैसा है। एक छोटे से विवरण के लिए। मुझे लगता है कि आपने पहले ही अनुमान लगा लिया है कि कौन सा है। सभी सूत्रों में, हमें अनुप्रयुक्त अक्ष के लिए उत्तरदायी एक और पद जोड़ना होगा। अर्थात्।

1. यदि दो बिंदु दिए गए हों: , तो:

• वेक्टर निर्देशांक:
• दो बिंदुओं (या वेक्टर लंबाई) के बीच की दूरी
• खंड के मध्य में निर्देशांक हैं

2. यदि दो सदिश दिए हों: और, तब:

• उनका डॉट उत्पाद है:
• सदिशों के बीच के कोण की कोसाइन है:

हालाँकि, अंतरिक्ष इतना सरल नहीं है। जैसा कि आप समझते हैं, एक और समन्वय जोड़ने से इस स्थान में "जीवित" आंकड़ों के स्पेक्ट्रम में एक महत्वपूर्ण विविधता आती है। और आगे के कथन के लिए, मुझे कुछ, मोटे तौर पर, सीधी रेखा के "सामान्यीकरण" का परिचय देना होगा। यह "सामान्यीकरण" एक विमान होगा। आप विमान के बारे में क्या जानते हैं? प्रश्न का उत्तर देने का प्रयास करें, विमान क्या है? कहना बहुत मुश्किल है। हालाँकि, हम सभी सहज रूप से कल्पना करते हैं कि यह कैसा दिखता है:

मोटे तौर पर, यह अंतरिक्ष में एक प्रकार का अंतहीन "पत्ता" है। "अनंत" को समझना चाहिए कि विमान सभी दिशाओं में फैला हुआ है, अर्थात इसका क्षेत्रफल अनंत के बराबर है। हालांकि, यह स्पष्टीकरण "उंगलियों पर" विमान की संरचना के बारे में मामूली विचार नहीं देता है। और हमें इसमें दिलचस्पी होगी।

आइए ज्यामिति के मूल सिद्धांतों में से एक को याद करें:

• एक सीधी रेखा समतल पर दो अलग-अलग बिंदुओं से होकर गुजरती है, इसके अलावा, केवल एक:

या अंतरिक्ष में इसका एनालॉग:

बेशक, आपको याद है कि दो दिए गए बिंदुओं से एक सीधी रेखा के समीकरण को कैसे प्राप्त किया जाए, यह बिल्कुल भी मुश्किल नहीं है: यदि पहले बिंदु में निर्देशांक हैं: और दूसरा, तो सीधी रेखा का समीकरण इस प्रकार होगा:

आप इससे 7वीं कक्षा में गुजरे हैं। अंतरिक्ष में, एक सीधी रेखा का समीकरण इस तरह दिखता है: हमारे पास निर्देशांक के साथ दो बिंदु हैं: , फिर उनके बीच से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण का रूप है:

उदाहरण के लिए, एक रेखा बिंदुओं से होकर गुजरती है:

इसे कैसे समझा जाना चाहिए? इसे इस प्रकार समझा जाना चाहिए: एक बिंदु एक रेखा पर स्थित होता है यदि उसके निर्देशांक निम्नलिखित प्रणाली को संतुष्ट करते हैं:

हमें सीधी रेखा के समीकरण में ज्यादा दिलचस्पी नहीं होगी, लेकिन हमें सीधी रेखा के निर्देशक वेक्टर की बहुत महत्वपूर्ण अवधारणा पर ध्यान देने की जरूरत है। - किसी भी गैर-शून्य वेक्टर को दी गई रेखा पर या उसके समानांतर लेटा हुआ।

उदाहरण के लिए, दोनों सदिश एक सीधी रेखा के दिशा सदिश हैं। एक सीधी रेखा पर स्थित एक बिंदु होने दें, और इसका निर्देशन सदिश बनें। तब एक सरल रेखा के समीकरण को निम्न रूप में लिखा जा सकता है:

एक बार फिर, मुझे एक सीधी रेखा के समीकरण में बहुत दिलचस्पी नहीं होगी, लेकिन मुझे वास्तव में यह याद रखने की ज़रूरत है कि एक दिशा सदिश क्या है! फिर से: यह कोई भी गैर-शून्य वेक्टर है जो एक रेखा पर पड़ा हुआ है, या इसके समानांतर है।

वापस लेना एक विमान का तीन-बिंदु समीकरणअब इतना तुच्छ नहीं है, और आमतौर पर हाई स्कूल पाठ्यक्रम में शामिल नहीं होता है। परन्तु सफलता नहीं मिली! जब हम जटिल समस्याओं को हल करने के लिए समन्वय विधि का सहारा लेते हैं तो यह तकनीक महत्वपूर्ण होती है। हालाँकि, मुझे लगता है कि आप कुछ नया सीखने की इच्छा से भरे हुए हैं? इसके अलावा, आप विश्वविद्यालय में अपने शिक्षक को प्रभावित करने में सक्षम होंगे जब यह पता चलेगा कि आप पहले से ही जानते हैं कि तकनीक का उपयोग कैसे करना है जो आमतौर पर विश्लेषणात्मक ज्यामिति के पाठ्यक्रम में अध्ययन किया जाता है। तो चलो शुरू करते है।

एक समतल का समीकरण एक समतल पर एक सीधी रेखा के समीकरण से बहुत अलग नहीं है, अर्थात् इसका रूप है:

कुछ संख्याएँ (सभी शून्य के बराबर नहीं), लेकिन चर, उदाहरण के लिए: आदि। जैसा कि आप देख सकते हैं, एक समतल का समीकरण एक सीधी रेखा (रैखिक फलन) के समीकरण से बहुत अलग नहीं है। हालाँकि, याद रखें कि हमने आपसे क्या बहस की थी? हमने कहा कि यदि हमारे पास तीन बिंदु हैं जो एक सीधी रेखा पर स्थित नहीं हैं, तो विमान का समीकरण उनसे अद्वितीय रूप से बहाल हो जाता है। पर कैसे? मैं आपको समझाने की कोशिश करूंगा।

चूँकि समतल समीकरण है:

और बिंदु इस विमान से संबंधित हैं, फिर प्रत्येक बिंदु के निर्देशांक को विमान के समीकरण में प्रतिस्थापित करते समय, हमें सही पहचान मिलनी चाहिए:

इस प्रकार, अज्ञात के साथ पहले से ही तीन समीकरणों को हल करने की आवश्यकता है! दुविधा! हालाँकि, हम हमेशा यह मान सकते हैं (इसके लिए हमें विभाजित करने की आवश्यकता है)। इस प्रकार, हमें तीन अज्ञात के साथ तीन समीकरण मिलते हैं:

हालाँकि, हम ऐसी प्रणाली को हल नहीं करेंगे, लेकिन इसके बाद आने वाली गूढ़ अभिव्यक्ति को लिखेंगे:

तीन दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाले समतल का समीकरण

\[\बाएं| (\begin(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(सरणी)) \right| = 0\]

विराम! यह और क्या है? कुछ बहुत ही असामान्य मॉड्यूल! हालाँकि, आपके सामने जो वस्तु दिखाई देती है, उसका मॉड्यूल से कोई लेना-देना नहीं है। इस वस्तु को तीसरे क्रम का निर्धारक कहा जाता है। अब से, जब आप किसी तल पर निर्देशांकों की विधि से निपटेंगे, तो आप अक्सर इन्हीं निर्धारकों से रूबरू होंगे। तीसरा आदेश निर्धारक क्या है? ताज्जुब है, यह सिर्फ एक संख्या है। यह समझना बाकी है कि हम निर्धारक के साथ किस विशिष्ट संख्या की तुलना करेंगे।

आइए पहले तीसरे क्रम के निर्धारक को अधिक सामान्य रूप में लिखें:

कुछ संख्याएँ कहाँ हैं। इसके अलावा, पहले इंडेक्स से हमारा मतलब पंक्ति संख्या से है, और इंडेक्स से - कॉलम नंबर से। उदाहरण के लिए, इसका मतलब है कि दी गई संख्या दूसरी पंक्ति और तीसरे कॉलम के चौराहे पर है। आइए निम्नलिखित प्रश्न करें: हम इस तरह के निर्धारक की गणना कैसे करेंगे? यानी हम इसकी तुलना किस विशिष्ट संख्या से करेंगे? ठीक तीसरे क्रम के निर्धारक के लिए, एक अनुमानी (दृश्य) त्रिकोण नियम है, यह इस तरह दिखता है:

1. मुख्य विकर्ण के तत्वों का गुणनफल (ऊपर बाएँ से नीचे दाएँ) उन तत्वों का गुणनफल जो मुख्य विकर्ण के लिए पहला त्रिभुज "लंबवत" बनाते हैं उन तत्वों का गुणनफल जो मुख्य विकर्ण के लिए दूसरा त्रिभुज "लंबवत" बनाते हैं विकर्ण
2. द्वितीयक विकर्ण के तत्वों का गुणन (ऊपरी दाएं कोने से निचले बाएँ तक) उन तत्वों का गुणनफल जो द्वितीयक विकर्ण का पहला त्रिभुज "लंबवत" बनाते हैं, दूसरे त्रिभुज "लंबवत" बनाने वाले तत्वों का गुणनफल द्वितीयक विकर्ण का
3. फिर निर्धारक कदम पर प्राप्त मूल्यों के बीच के अंतर के बराबर है और

यदि हम यह सब संख्याओं में लिखते हैं, तो हमें निम्नलिखित व्यंजक प्राप्त होता है:

हालाँकि, आपको इस रूप में गणना पद्धति को याद रखने की आवश्यकता नहीं है, यह केवल आपके सिर में त्रिभुजों को रखने के लिए पर्याप्त है और इस बात का बहुत विचार है कि क्या जोड़ा जाता है और फिर क्या घटाया जाता है)।

आइए एक उदाहरण के साथ त्रिभुज विधि का वर्णन करें:

1. निर्धारक की गणना करें:

आइए जानें कि हम क्या जोड़ते हैं और क्या घटाते हैं:

शर्तें जो "प्लस" के साथ आती हैं:

यह मुख्य विकर्ण है: तत्वों का गुणनफल है

पहला त्रिकोण, "मुख्य विकर्ण के लंबवत: तत्वों का उत्पाद है

दूसरा त्रिकोण, "मुख्य विकर्ण के लंबवत: तत्वों का उत्पाद है

हम तीन नंबर जोड़ते हैं:

"ऋण" के साथ आने वाली शर्तें

यह एक पार्श्व विकर्ण है: तत्वों का गुणनफल है

पहला त्रिकोण, "द्वितीयक विकर्ण के लंबवत: तत्वों का उत्पाद है

दूसरा त्रिकोण, "द्वितीयक विकर्ण के लंबवत: तत्वों का उत्पाद है

हम तीन नंबर जोड़ते हैं:

जो कुछ भी किया जाना बाकी है, वह है धनात्मक पदों के योग से ऋणात्मक पदों के योग को घटाना:

इस तरह,

जैसा कि आप देख सकते हैं, तीसरे क्रम के निर्धारकों की गणना में कुछ भी जटिल और अलौकिक नहीं है। केवल त्रिकोणों के बारे में याद रखना और अंकगणितीय गलतियाँ नहीं करना महत्वपूर्ण है। अब स्वयं की गणना करने का प्रयास करें:

हम जाँच:

1. मुख्य विकर्ण के लंबवत पहला त्रिभुज:
2. मुख्य विकर्ण के लंबवत दूसरा त्रिभुज:
3. प्लस शर्तों का योग:
4. पार्श्व विकर्ण के लंबवत पहला त्रिभुज:
5. दूसरा त्रिकोण, पक्ष विकर्ण के लंबवत:
6. ऋण के साथ शर्तों का योग:
7. धनात्मक पदों का योग ऋणात्मक पदों का योग:

यहां आपके लिए कुछ और निर्धारक हैं, उनके मूल्यों की स्वयं गणना करें और उत्तरों की तुलना करें:

उत्तर:

अच्छा, क्या सब कुछ मेल खाता था? बढ़िया, तो आप आगे बढ़ सकते हैं! यदि कठिनाइयाँ हैं, तो मेरी सलाह यह है: इंटरनेट पर ऑनलाइन निर्धारक की गणना के लिए कार्यक्रमों का एक समूह है। आपको केवल अपने स्वयं के निर्धारक के साथ आने की आवश्यकता है, इसकी गणना स्वयं करें, और फिर इसकी तुलना प्रोग्राम की गणना के साथ करें। और तब तक जब तक कि परिणाम मेल न खाने लगें। मुझे यकीन है कि यह पल आने में ज्यादा समय नहीं लगेगा!

अब हम उस निर्धारक पर वापस आते हैं जिसे मैंने तब लिखा था जब मैंने तीन दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाले समतल के समीकरण के बारे में बात की थी:

आपको बस इतना करना है कि इसके मूल्य की सीधे गणना करें (त्रिकोण विधि का उपयोग करके) और परिणाम को शून्य के बराबर सेट करें। स्वाभाविक रूप से, चूंकि वे चर हैं, आपको कुछ अभिव्यक्ति मिलेगी जो उन पर निर्भर करती है। यह वह व्यंजक है जो तीन दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाले समतल का समीकरण होगा जो एक सीधी रेखा पर स्थित नहीं है!

आइए इसे एक सरल उदाहरण से समझाते हैं:

1. बिंदुओं से गुजरने वाले तल के समीकरण की रचना कीजिए

हम इन तीन बिंदुओं के लिए एक निर्धारक बनाते हैं:

सरलीकरण:

अब हम सीधे त्रिकोण के नियम के अनुसार इसकी गणना करते हैं:

\[(\बाएं| (\शुरू(सरणी)(*(20)(सी))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(सरणी)) \ दाएँ | = \बाएँ ((x + 3) \दाएँ) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \बाएँ ((z + 1) \दाएँ) + \बाएँ ((y - 2) \दाएँ) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

इस प्रकार, बिंदुओं से गुजरने वाले समतल का समीकरण है:

अब एक समस्या को स्वयं हल करने का प्रयास करें, और फिर हम उस पर चर्चा करेंगे:

2. बिंदुओं से गुजरने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए

खैर, अब समाधान पर चर्चा करते हैं:

हम निर्धारक बनाते हैं:

और इसके मूल्य की गणना करें:

फिर विमान के समीकरण का रूप है:

या, घटाकर, हम प्राप्त करते हैं:

अब आत्मसंयम के लिए दो कार्य:

1. तीन बिंदुओं से गुजरने वाले समतल के समीकरण का निर्माण करें:

उत्तर:

क्या सब कुछ मेल खाता था? फिर, यदि कुछ कठिनाइयाँ हैं, तो मेरी सलाह यह है: अपने सिर से तीन बिंदु लें (उच्च स्तर की संभावना के साथ वे एक सीधी रेखा पर नहीं होंगे), उन पर एक विमान बनाएँ। और फिर अपने आप को ऑनलाइन जांचें। उदाहरण के लिए, साइट पर:

हालांकि, निर्धारकों की मदद से, हम न केवल विमान के समीकरण का निर्माण करेंगे। याद रखें, मैंने आपको बताया था कि सदिशों के लिए, न केवल डॉट उत्पाद परिभाषित किया गया है। एक वेक्टर के साथ-साथ एक मिश्रित उत्पाद भी है। और यदि दो सदिशों का अदिश गुणनफल एक संख्या है, तो दो सदिशों का सदिश गुणनफल एक सदिश होगा, और यह सदिश दिए गए सदिशों के लंबवत होगा:

इसके अलावा, इसका मापांक वैक्टरों पर निर्मित समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर होगा और। एक बिंदु से एक रेखा की दूरी की गणना करने के लिए हमें इस वेक्टर की आवश्यकता होगी। हम सदिशों के क्रॉस उत्पाद की गणना कैसे कर सकते हैं और यदि उनके निर्देशांक दिए गए हैं? तीसरे क्रम का निर्धारक फिर से हमारी सहायता के लिए आता है। हालाँकि, इससे पहले कि मैं क्रॉस उत्पाद की गणना के लिए एल्गोरिथम पर जाऊँ, मुझे एक छोटा गीतात्मक विषयांतर करना होगा।

यह विषयांतर आधार वैक्टर से संबंधित है।

योजनाबद्ध रूप से उन्हें चित्र में दिखाया गया है:

आपको क्यों लगता है कि उन्हें बुनियादी कहा जाता है? तथ्य यह है कि :

या चित्र में:

इस सूत्र की वैधता स्पष्ट है, क्योंकि:

वेक्टर उत्पाद

अब मैं क्रॉस उत्पाद पेश करना शुरू कर सकता हूं:

दो सदिशों का सदिश गुणनफल एक सदिश है जिसकी गणना निम्नलिखित नियम के अनुसार की जाती है:

अब आइए क्रॉस उत्पाद की गणना के कुछ उदाहरण दें:

उदाहरण 1: सदिशों का क्रॉस गुणनफल ज्ञात कीजिए:

समाधान: मैं एक निर्धारक बनाता हूं:

और मैं इसकी गणना करता हूं:

अब, आधार सदिशों के माध्यम से लिखने से, मैं सामान्य सदिश संकेतन पर लौटूंगा:

इस तरह:

अब कोशिश करो।

तैयार? हम जाँच:

और परंपरागत रूप से दो कार्यों को नियंत्रित करने के लिए:

1. निम्नलिखित सदिशों का क्रॉस गुणनफल ज्ञात कीजिए:
2. निम्नलिखित सदिशों का क्रॉस गुणनफल ज्ञात कीजिए:

उत्तर:

तीन वैक्टर का मिश्रित उत्पाद

मुझे जो अंतिम निर्माण चाहिए वह तीन वैक्टरों का मिश्रित उत्पाद है। यह, एक अदिश की तरह, एक संख्या है। इसकी गणना करने के दो तरीके हैं। - निर्धारक के माध्यम से, - मिश्रित उत्पाद के माध्यम से।

अर्थात्, मान लें कि हमारे पास तीन वैक्टर हैं:

तब तीन सदिशों के मिश्रित गुणनफल की गणना इस प्रकार की जा सकती है:

1. - यानी मिश्रित उत्पाद एक सदिश का अदिश गुणनफल और दो अन्य सदिशों का सदिश गुणनफल है

उदाहरण के लिए, तीन वैक्टरों का मिश्रित उत्पाद है:

वेक्टर उत्पाद का उपयोग करके स्वयं इसकी गणना करने का प्रयास करें और सुनिश्चित करें कि परिणाम मेल खाते हैं!

और फिर - एक स्वतंत्र समाधान के लिए दो उदाहरण:

उत्तर:

समन्वय प्रणाली का विकल्प

खैर, अब हमारे पास ज्यामिति में जटिल स्टीरियोमेट्रिक समस्याओं को हल करने के लिए ज्ञान का सभी आवश्यक आधार है। हालाँकि, उन्हें हल करने के लिए सीधे उदाहरणों और एल्गोरिदम पर आगे बढ़ने से पहले, मेरा मानना ​​​​है कि निम्नलिखित प्रश्न पर ध्यान देना उपयोगी होगा: वास्तव में कैसे किसी विशेष आकृति के लिए एक समन्वय प्रणाली चुनें।आखिरकार, यह समन्वय प्रणाली की सापेक्ष स्थिति और अंतरिक्ष में आंकड़ा है जो अंततः निर्धारित करेगा कि गणना कितनी बोझिल होगी।

मैं आपको याद दिलाता हूं कि इस खंड में हम निम्नलिखित आकृतियों पर विचार कर रहे हैं:

1. घनाभ
2. सीधे प्रिज्म (त्रिकोणीय, हेक्सागोनल ...)
3. पिरामिड (त्रिकोणीय, चतुष्कोणीय)
4. टेट्राहेड्रॉन (त्रिकोणीय पिरामिड के समान)

घनाभ या घन के लिए, मैं निम्नलिखित निर्माण की सलाह देता हूं:

यही है, मैं "कोने में" आंकड़ा रखूंगा। घन और डिब्बा बहुत अच्छी आकृतियाँ हैं। उनके लिए, आप हमेशा इसके शीर्षों के निर्देशांक आसानी से खोज सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि (चित्र में दिखाया गया है)

तो शीर्ष निर्देशांक हैं:

बेशक, आपको इसे याद रखने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन यह याद रखना कि घन या आयताकार बॉक्स को किस प्रकार सर्वोत्तम स्थिति में रखना वांछनीय है।

सीधा प्रिज्म

प्रिज्म अधिक हानिकारक आंकड़ा है। आप इसे अलग-अलग तरीकों से अंतरिक्ष में व्यवस्थित कर सकते हैं। हालांकि, मुझे लगता है कि निम्नलिखित सबसे अच्छा विकल्प है:

त्रिकोणीय प्रिज्म:

अर्थात्, हम त्रिभुज की एक भुजा को पूरी तरह से अक्ष पर रखते हैं, और एक शीर्ष मूल बिंदु के साथ मेल खाता है।

हेक्सागोनल प्रिज्म:

अर्थात्, शीर्षों में से एक मूल के साथ मेल खाता है, और पक्षों में से एक अक्ष पर स्थित है।

चतुष्कोणीय और षट्कोणीय पिरामिड:

एक घन के समान स्थिति: हम आधार के दो पक्षों को समन्वय अक्षों के साथ जोड़ते हैं, हम मूल के साथ एक कोने को जोड़ते हैं। बिंदु के निर्देशांक की गणना करने के लिए केवल छोटी सी कठिनाई होगी।

हेक्सागोनल पिरामिड के लिए - हेक्सागोनल प्रिज्म के समान। मुख्य कार्य फिर से शीर्ष के निर्देशांक खोजने में होगा।

चतुष्फलक (त्रिकोणीय पिरामिड)

त्रिकोणीय प्रिज्म के लिए मैंने जो स्थिति दी थी, उसके समान स्थिति है: एक शीर्ष मूल के साथ मेल खाता है, एक पक्ष समन्वय अक्ष पर स्थित है।

खैर, अब आप और मैं आखिरकार समस्याओं को हल करना शुरू करने के करीब हैं। लेख की शुरुआत में मैंने जो कहा था, उससे आप निम्नलिखित निष्कर्ष निकाल सकते हैं: अधिकांश C2 समस्याएं 2 श्रेणियों में आती हैं: कोण के लिए समस्या और दूरी के लिए समस्या। सबसे पहले, हम कोण ज्ञात करने की समस्याओं पर विचार करेंगे। बदले में, उन्हें निम्नलिखित श्रेणियों में विभाजित किया जाता है (जटिलता बढ़ने पर):

कोनों को खोजने में समस्याएँ

1. दो रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करना
2. दो विमानों के बीच का कोण ज्ञात करना

आइए इन समस्याओं पर क्रमिक रूप से विचार करें: आइए दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करके प्रारंभ करें। आइए, याद रखें, क्या आपने और मैंने पहले भी इसी तरह के उदाहरण हल किए हैं? आपको याद है, क्योंकि हमारे पास पहले से ही कुछ ऐसा ही था... हम दो सदिशों के बीच एक कोण की तलाश कर रहे थे। मैं आपको याद दिलाता हूं, अगर दो वैक्टर दिए गए हैं: और, तो उनके बीच का कोण संबंध से पाया जाता है:

अब हमारा एक लक्ष्य है - दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करना। आइए "सपाट चित्र" की ओर मुड़ें:

जब दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं तो हमें कितने कोण मिलते हैं? पहले से ही चीजें। सच है, उनमें से केवल दो समान नहीं हैं, जबकि अन्य उनके लिए लंबवत हैं (और इसलिए उनके साथ मेल खाते हैं)। तो हमें दो सीधी रेखाओं के बीच के कोण को किस कोण पर विचार करना चाहिए: या? यहाँ नियम है: दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण हमेशा डिग्री से अधिक नहीं होता है. अर्थात्, दो कोणों से, हम हमेशा सबसे छोटे डिग्री माप वाले कोण का चयन करेंगे। अर्थात इस चित्र में दो रेखाओं के बीच का कोण बराबर है। हर बार दो कोणों में से सबसे छोटा खोजने से परेशान न होने के लिए, चालाक गणितज्ञों ने मॉड्यूल का उपयोग करने का सुझाव दिया। इस प्रकार, दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

आप, एक चौकस पाठक के रूप में, एक प्रश्न होना चाहिए था: वास्तव में, हमें ये संख्याएँ कहाँ से मिलती हैं कि हमें एक कोण के कोसाइन की गणना करने की आवश्यकता है? उत्तर: हम उन्हें रेखाओं के दिशा सदिशों से लेंगे! इस प्रकार, दो रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करने का एल्गोरिथम इस प्रकार है:

1. हम फॉर्मूला 1 लागू करते हैं।

या अधिक विस्तार से:

1. हम पहली सीधी रेखा के दिशा वेक्टर के निर्देशांक ढूंढ रहे हैं
2. हम दूसरी पंक्ति के दिशा वेक्टर के निर्देशांक ढूंढ रहे हैं
3. उनके स्केलर उत्पाद के मापांक की गणना करें
4. हम पहले वेक्टर की लंबाई की तलाश कर रहे हैं
5. हम दूसरे वेक्टर की लंबाई की तलाश कर रहे हैं
6. बिंदु 4 के परिणामों को बिंदु 5 के परिणामों से गुणा करें
7. हम बिंदु 3 के परिणाम को बिंदु 6 के परिणाम से विभाजित करते हैं। हमें रेखाओं के बीच के कोण का कोसाइन मिलता है
8. यदि यह परिणाम हमें कोण की सटीक गणना करने की अनुमति देता है, तो हम इसकी तलाश करते हैं
9. अन्यथा, हम आर्ककोसाइन के माध्यम से लिखते हैं

खैर, अब कार्यों पर आगे बढ़ने का समय है: मैं पहले दो के समाधान को विस्तार से प्रदर्शित करूँगा, मैं दूसरे के समाधान को संक्षेप में प्रस्तुत करूँगा, और मैं केवल अंतिम दो कार्यों के उत्तर दूंगा, आपको अवश्य ही उनके लिए सभी गणना स्वयं करें।

कार्य:

1. दाएं टेट-आरए-एड-रे में, आप-तो-उस टेट-आरए-एड-आरए और मे-दी-ए-नॉय बो-को-हाउ साइड के बीच के कोण को खोजें।

2. दाएं-आगे छह-कोयला-पी-आरए-एमआई-डी में, सौ-रो-ना-ओएस-नो-वा-निया किसी तरह बराबर हैं, और पार्श्व पसलियां बराबर हैं, सीधे के बीच का कोण खोजें रेखाएँ और।

3. दाएं हाथ के चार-यू-रेच-कोयला-नोय पी-रा-मी-डाई के सभी किनारों की लंबाई एक दूसरे के बराबर होती है। सीधी रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करें और यदि फ्रॉम-री-ज़ोक - यू-सो-दिया गया पि-रा-मी-डाई, बिंदु उसके बो-को- वें रिब पर से-री-दी-है

4. क्यूब के किनारे पर से-मे-चे-एक बिंदु तक ताकि सीधी रेखाओं के बीच का कोण ढूँढ़-ढूँढ़ें और

5. बिंदु - से-री-डी-क्यूब के किनारों पर नाइ-दी-ते सीधी रेखाओं के बीच का कोण और।

यह कोई संयोग नहीं है कि मैंने कार्यों को इस क्रम में रखा है। जबकि आपके पास अभी तक समन्वय विधि को नेविगेट करने का समय नहीं है, मैं स्वयं सबसे "समस्याग्रस्त" आंकड़ों का विश्लेषण करूंगा, और मैं आपको सबसे सरल घन से निपटने के लिए छोड़ दूंगा! धीरे-धीरे आपको सीखना होगा कि सभी आंकड़ों के साथ कैसे काम करना है, मैं विषय से विषय तक कार्यों की जटिलता बढ़ाऊंगा।

आइए समस्याओं को हल करना शुरू करें:

1. एक चतुष्फलक बनाइए, जैसा कि मैंने पहले सुझाव दिया था, इसे निर्देशांक तंत्र में रखिए। चूँकि चतुष्फलक नियमित है, तो इसके सभी फलक (आधार सहित) नियमित त्रिभुज हैं। चूंकि हमें भुजा की लंबाई नहीं दी गई है, मैं इसे बराबर ले सकता हूं। मुझे लगता है कि आप समझते हैं कि कोण वास्तव में इस बात पर निर्भर नहीं करेगा कि हमारा टेट्राहेड्रॉन कितना "स्ट्रेच्ड" होगा? मैं चतुष्फलक में ऊँचाई और माध्यिका भी बनाऊँगा। साथ ही मैं इसका आधार तैयार करूंगा (यह हमारे काम भी आएगा)।

मुझे और के बीच का कोण खोजने की जरूरत है। हम क्या जानते हैं? हम केवल बिंदु का निर्देशांक जानते हैं। इसलिए, हमें बिंदुओं के और निर्देशांक खोजने की आवश्यकता है। अब हम सोचते हैं: एक बिंदु त्रिभुज की ऊँचाइयों (या समद्विभाजक या मध्यिका) का प्रतिच्छेदन बिंदु है। बिंदी एक ऊंचा बिंदु है। बिंदु खंड का मध्य बिंदु है। फिर अंत में हमें खोजने की जरूरत है: बिंदुओं के निर्देशांक:।

आइए सबसे सरल से शुरू करें: बिंदु निर्देशांक। आकृति को देखें: यह स्पष्ट है कि एक बिंदु का अनुप्रयोग शून्य के बराबर है (बिंदु एक समतल पर स्थित है)। इसकी कोटि बराबर है (क्योंकि यह माध्यिका है)। इसका भुज पता करना अधिक कठिन है। हालाँकि, यह पायथागॉरियन प्रमेय के आधार पर आसानी से किया जाता है: एक त्रिभुज पर विचार करें। इसका कर्ण बराबर है, और पैरों में से एक बराबर है तो:

अंत में हमारे पास है:

अब बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करते हैं। यह स्पष्ट है कि इसका अनुप्रयोग फिर से शून्य के बराबर है, और इसकी कोटि एक बिंदु के समान है, अर्थात। आइए इसका भुज ढूंढते हैं। अगर कोई इसे याद रखे तो यह बहुत मामूली तरीके से किया जाता है एक समबाहु त्रिभुज की ऊँचाइयों को अनुपात में प्रतिच्छेदन बिंदु से विभाजित किया जाता हैऊपर से गिनती। चूँकि:, तब खंड की लंबाई के बराबर बिंदु का वांछित भुज इसके बराबर है:। इस प्रकार, बिंदु के निर्देशांक हैं:

आइए बिंदु के निर्देशांक खोजें। यह स्पष्ट है कि इसका भुज और कोटि बिंदु के भुज और कोटि से मेल खाता है। और पिपली खंड की लंबाई के बराबर है। - यह त्रिकोण के पैरों में से एक है। त्रिभुज का कर्ण एक खंड है - एक पैर। यह उन कारणों के लिए खोजा जाता है जिन्हें मैंने बोल्ड में हाइलाइट किया था:

बिंदु खंड का मध्य बिंदु है। फिर हमें खंड के मध्य के निर्देशांक के सूत्र को याद रखना होगा:

बस इतना ही, अब हम दिशा सदिशों के निर्देशांक खोज सकते हैं:

खैर, सब कुछ तैयार है: हम सभी डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

इस तरह,

उत्तर:

आपको ऐसे "भयानक" उत्तरों से डरना नहीं चाहिए: C2 समस्याओं के लिए यह एक सामान्य अभ्यास है। मुझे इस भाग में "सुंदर" उत्तर से आश्चर्य होगा। इसके अलावा, जैसा कि आपने उल्लेख किया है, मैंने व्यावहारिक रूप से पाइथागोरस प्रमेय और एक समबाहु त्रिभुज की ऊँचाइयों के गुण के अलावा किसी अन्य चीज़ का सहारा नहीं लिया। अर्थात्, स्टीरियोमेट्रिक समस्या को हल करने के लिए, मैंने बहुत कम स्टीरियोमेट्री का उपयोग किया। इसमें लाभ आंशिक रूप से बोझिल गणनाओं द्वारा "बुझा" है। लेकिन वे काफी एल्गोरिथम हैं!

2. समन्वय प्रणाली के साथ-साथ इसके आधार के साथ एक नियमित हेक्सागोनल पिरामिड बनाएं:

हमें रेखाओं और के बीच का कोण ज्ञात करने की आवश्यकता है। इस प्रकार, हमारा कार्य बिंदुओं के निर्देशांक खोजने के लिए कम हो जाता है: . हम छोटे आरेखण से अंतिम तीन के निर्देशांक पाएंगे, और हम बिंदु के निर्देशांक के माध्यम से शीर्ष के निर्देशांक पाएंगे। काम बहुत है, लेकिन शुरुआत करनी होगी!

ए) समन्वय: यह स्पष्ट है कि इसका आवेदन और समन्वय शून्य है। आइए भुज का पता लगाएं। ऐसा करने के लिए, एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें। काश, इसमें हम केवल कर्ण को जानते, जो बराबर होता। हम पैर को खोजने की कोशिश करेंगे (क्योंकि यह स्पष्ट है कि पैर की लंबाई से दोगुनी लंबाई हमें बिंदु का भुज देगी)। हम इसे कैसे ढूंढ सकते हैं? आइए याद करें कि पिरामिड के आधार पर हमारे पास किस प्रकार की आकृति है? यह एक नियमित षट्भुज है। इसका क्या मतलब है? इसका अर्थ है कि सभी भुजाएँ और सभी कोण बराबर हैं। हमें एक ऐसा कोना खोजने की जरूरत है। कोई विचार? बहुत सारे विचार हैं, लेकिन एक सूत्र है:

नियमित एन-गॉन के कोणों का योग है .

इस प्रकार, एक नियमित षट्भुज के कोणों का योग डिग्री है। फिर प्रत्येक कोण के बराबर है:

आइए तस्वीर को फिर से देखें। यह स्पष्ट है कि खंड कोण का द्विभाजक है। फिर कोण डिग्री है। फिर:

फिर कहाँ।

तो इसमें निर्देशांक हैं

बी) अब हम आसानी से बिंदु के निर्देशांक पा सकते हैं:।

c) बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। चूंकि इसका भुज खंड की लंबाई के साथ मेल खाता है, यह बराबर है। कोटि ज्ञात करना भी बहुत कठिन नहीं है: यदि हम बिंदुओं को जोड़ते हैं और रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु को निरूपित करते हैं, उदाहरण के लिए। (इसे स्वयं करें सरल निर्माण)। इस प्रकार, बिंदु B की कोटि खंडों की लंबाई के योग के बराबर है। आइए त्रिकोण को फिर से देखें। फिर

तब से बिंदु के निर्देशांक हैं

d) अब बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। एक आयत पर विचार करें और सिद्ध करें कि इस प्रकार, बिंदु के निर्देशांक हैं:

ई) यह शीर्ष के निर्देशांक खोजने के लिए बनी हुई है। यह स्पष्ट है कि इसका भुज और कोटि बिंदु के भुज और कोटि से मेल खाता है। आइए एक ऐप ढूंढते हैं। तब से। एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें। समस्या की स्थिति से, पार्श्व किनारा। यह मेरे त्रिभुज का कर्ण है। फिर पिरामिड की ऊंचाई पैर है।

तब बिंदु के निर्देशांक हैं:

बस इतना ही, मेरे पास रुचि के सभी बिंदुओं के निर्देशांक हैं। मैं सीधी रेखाओं के निर्देशन वाले वैक्टर के निर्देशांक ढूंढ रहा हूं:

हम इन वैक्टरों के बीच के कोण की तलाश कर रहे हैं:

उत्तर:

दोबारा, इस समस्या को हल करते समय, मैंने नियमित एन-गॉन के कोणों के योग के सूत्र के साथ-साथ कोसाइन और सही त्रिकोण की साइन की परिभाषा को छोड़कर, किसी भी परिष्कृत चाल का उपयोग नहीं किया।

3. चूंकि हमें फिर से पिरामिड में किनारों की लंबाई नहीं दी गई है, मैं उन्हें एक के बराबर मानूंगा। इस प्रकार, चूंकि सभी किनारे, और न केवल पक्ष वाले, एक दूसरे के बराबर हैं, फिर पिरामिड के आधार पर और मैं एक वर्ग है, और पार्श्व चेहरे नियमित त्रिकोण हैं। आइए इस तरह के एक पिरामिड, साथ ही एक विमान पर इसका आधार, समस्या के पाठ में दिए गए सभी आंकड़ों को चिह्नित करते हुए चित्रित करें:

हम और के बीच के कोण की तलाश कर रहे हैं। जब मैं बिंदुओं के निर्देशांक खोज रहा हूँ तो मैं बहुत संक्षिप्त गणनाएँ करूँगा। आपको उन्हें "डिक्रिप्ट" करने की आवश्यकता होगी:

बी) - खंड के मध्य। उसके निर्देशांक:

ग) मैं एक त्रिभुज में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके खंड की लंबाई ज्ञात करूँगा। मैं पाइथागोरस प्रमेय द्वारा एक त्रिभुज में खोजूँगा।

निर्देशांक:

d) - खंड के मध्य। इसके निर्देशांक हैं

ई) वेक्टर निर्देशांक

च) वेक्टर निर्देशांक

जी) एक कोण की तलाश:

घन सबसे सरल आकृति है। मुझे यकीन है कि आप इसे अपने दम पर समझ सकते हैं। प्रश्न 4 और 5 के उत्तर इस प्रकार हैं:

एक रेखा और एक समतल के बीच का कोण ज्ञात करना

खैर, सरल पहेलियों का समय समाप्त हो गया है! अब उदाहरण और भी कठिन होंगे। एक रेखा और एक समतल के बीच का कोण ज्ञात करने के लिए, हम इस प्रकार आगे बढ़ेंगे:

1. तीन बिंदुओं का उपयोग करते हुए, हम समतल का समीकरण बनाते हैं
   ,
   तीसरे क्रम के निर्धारक का उपयोग करना।
2. दो बिंदुओं से हम सीधी रेखा के निर्देशन वेक्टर के निर्देशांक ढूंढ रहे हैं:
3. हम एक सीधी रेखा और एक समतल के बीच के कोण की गणना करने के लिए सूत्र लागू करते हैं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, यह सूत्र बहुत कुछ वैसा ही है जैसा हम दो रेखाओं के बीच के कोणों को ज्ञात करने के लिए प्रयोग करते थे। दाईं ओर की संरचना बिल्कुल वैसी ही है, और बाईं ओर अब हम पहले की तरह कोसाइन के बजाय साइन की तलाश कर रहे हैं। खैर, एक बुरा कार्य जोड़ा गया - विमान के समीकरण की खोज।

आइए ठंडे बस्ते में न डालें हल करने के उदाहरण:

1. ओएस-नो-वा-नी-एम सीधे-मेरा पुरस्कार-हम-ला-एट-ज़िया बराबर-लेकिन-गरीब-रेन-एनवाई त्रिकोण-निक आप-उस पुरस्कार के साथ-हम बराबर हैं। सीधी रेखा और समतल के बीच का कोण ज्ञात कीजिए

2. एक आयताकार पा-राल-ले-ले-पी-पे-डे में पश्चिम नाइ-दि-ते से सीधी रेखा और समतल के बीच का कोण

3. दाएं हाथ के छह-कोयला प्रिज्म में, सभी किनारे बराबर होते हैं। सीधी रेखा और समतल के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

4. दाएं त्रिकोणीय पी-आरए-एमआई-डी में ओएस-लेकिन-वा-नी-एम के साथ रिब नाइ-दी-ते कोण के पश्चिम से, ओएस के ओब-आरए-ज़ो-वान-एनवाई विमान -नो-वा-निया और सीधे-मेरे, पसलियों के से-री-दी-ना से गुजरते हुए और

5. शीर्ष के साथ दाहिने चतुष्कोणीय pi-ra-mi-dy के सभी किनारों की लंबाई एक दूसरे के बराबर होती है। सीधी रेखा और समतल के बीच के कोण का पता लगाएं, यदि बिंदु pi-ra-mi-dy के बो-को-इन-वें किनारे पर se-re-di-on है।

दोबारा, मैं पहले दो समस्याओं को विस्तार से हल करूंगा, तीसरा - संक्षेप में, और मैं आपके लिए अपने दम पर हल करने के लिए अंतिम दो छोड़ता हूं। इसके अलावा, आपको पहले से ही त्रिकोणीय और चतुष्कोणीय पिरामिडों से निपटना था, लेकिन अभी तक प्रिज्मों के साथ नहीं।

समाधान:

1. एक प्रिज्म, साथ ही उसका आधार भी बनाएं। आइए इसे समन्वय प्रणाली के साथ संयोजित करें और समस्या विवरण में दिए गए सभी डेटा को चिह्नित करें:

मैं अनुपातों के कुछ गैर-अनुपालन के लिए क्षमा चाहता हूं, लेकिन समस्या को हल करने के लिए यह वास्तव में इतना महत्वपूर्ण नहीं है। विमान मेरे प्रिज्म की "पिछली दीवार" है। यह अनुमान लगाने के लिए पर्याप्त है कि ऐसे विमान के समीकरण का रूप है:

हालाँकि, इसे सीधे भी दिखाया जा सकता है:

हम इस तल पर मनमाने ढंग से तीन बिंदु चुनते हैं: उदाहरण के लिए, .

आइए विमान का समीकरण बनाते हैं:

आपके लिए व्यायाम: इस निर्धारक की गणना स्वयं करें। क्या आप सफल हुए? फिर विमान के समीकरण का रूप है:

या केवल

इस तरह,

उदाहरण को हल करने के लिए, मुझे सीधी रेखा के निर्देशन वेक्टर के निर्देशांक खोजने होंगे। चूंकि बिंदु मूल के साथ मेल खाता है, वेक्टर के निर्देशांक केवल बिंदु के निर्देशांक के साथ मेल खाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम पहले बिंदु के निर्देशांक पाते हैं।

ऐसा करने के लिए, एक त्रिभुज पर विचार करें। चलिए ऊपर से एक ऊंचाई बनाते हैं (यह एक माध्यिका और द्विभाजक भी है)। चूँकि, तब बिंदु की कोटि बराबर होती है। इस बिंदु का भुज ज्ञात करने के लिए, हमें खंड की लंबाई की गणना करने की आवश्यकता है। पाइथागोरस प्रमेय द्वारा हमारे पास:

तब बिंदु के निर्देशांक हैं:

एक बिंदु एक बिंदु पर "उठाया" होता है:

फिर वेक्टर के निर्देशांक:

उत्तर:

जैसा कि आप देख सकते हैं, ऐसी समस्याओं को हल करने में मौलिक रूप से कठिन कुछ भी नहीं है। वास्तव में, एक प्रिज्म जैसी आकृति की "सीधापन" प्रक्रिया को थोड़ा और सरल करता है। अब चलिए अगले उदाहरण पर चलते हैं:

2. हम एक समांतर चतुर्भुज खींचते हैं, एक विमान और उसमें एक सीधी रेखा खींचते हैं, और अलग से इसके निचले आधार को भी खींचते हैं:

सबसे पहले, हम समतल का समीकरण ज्ञात करते हैं: इसमें स्थित तीन बिंदुओं के निर्देशांक:

(पहले दो निर्देशांक एक स्पष्ट तरीके से प्राप्त किए जाते हैं, और आप बिंदु से चित्र से अंतिम निर्देशांक आसानी से पा सकते हैं)। फिर हम विमान के समीकरण की रचना करते हैं:

हम गणना करते हैं:

हम दिशा वेक्टर के निर्देशांक की तलाश कर रहे हैं: यह स्पष्ट है कि इसके निर्देशांक बिंदु के निर्देशांक के साथ मेल खाते हैं, है ना? निर्देशांक कैसे खोजें? ये बिंदु के निर्देशांक हैं, जो एक के द्वारा आवेदन अक्ष के साथ उठाए गए हैं! . फिर हम वांछित कोण की तलाश कर रहे हैं:

उत्तर:

3. एक नियमित षट्कोणीय पिरामिड बनाएं, और फिर उसमें एक समतल और एक सीधी रेखा बनाएं।

यहाँ एक विमान खींचना और भी समस्याग्रस्त है, इस समस्या के समाधान का उल्लेख नहीं करना, लेकिन समन्वय विधि की परवाह नहीं है! यह इसकी बहुमुखी प्रतिभा में है कि इसका मुख्य लाभ निहित है!

विमान तीन बिंदुओं से होकर गुजरता है: . हम उनके निर्देशांक ढूंढ रहे हैं:

एक) । अंतिम दो बिंदुओं के निर्देशांक स्वयं प्रदर्शित करें। इसके लिए आपको हेक्सागोनल पिरामिड के साथ समस्या को हल करने की आवश्यकता होगी!

2) हम समतल का समीकरण बनाते हैं:

हम वेक्टर के निर्देशांक ढूंढ रहे हैं:। (त्रिकोणीय पिरामिड समस्या फिर से देखें!)

3) हम एक कोण की तलाश कर रहे हैं:

उत्तर:

जैसा कि आप देख सकते हैं, इन कार्यों में अलौकिक रूप से कठिन कुछ भी नहीं है। आपको बस जड़ों से बहुत सावधान रहने की जरूरत है। अंतिम दो समस्याओं के लिए, मैं केवल उत्तर दूंगा:

जैसा कि आप देख सकते हैं, समस्याओं को हल करने की तकनीक हर जगह समान है: मुख्य कार्य कोने के निर्देशांक ढूंढना और उन्हें कुछ सूत्रों में बदलना है। यह हमारे लिए कोणों की गणना के लिए समस्याओं के एक और वर्ग पर विचार करने के लिए बना हुआ है, अर्थात्:

दो समतलों के बीच के कोणों की गणना करना

समाधान एल्गोरिथ्म इस प्रकार होगा:

1. तीन बिंदुओं के लिए हम पहले विमान के समीकरण की तलाश कर रहे हैं:
2. अन्य तीन बिंदुओं के लिए, हम दूसरे तल के समीकरण की तलाश कर रहे हैं:
3. हम सूत्र लागू करते हैं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, सूत्र पिछले दो के समान है, जिसकी मदद से हम सीधी रेखाओं के बीच और एक सीधी रेखा और एक समतल के बीच के कोणों की तलाश कर रहे थे। तो इसे याद रखना आपके लिए मुश्किल नहीं होगा। चलिए सीधे समस्या पर चलते हैं:

1. सही त्रिकोणीय प्रिज्म के आधार पर एक सौ-रो-बराबर है, और साइड फेस का डाय-गो-नाल बराबर है। पुरस्कार के आधार के तल और तल के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

2. राइट-फॉरवर्ड फोर-यू-री-कोयला-नोय पी-रा-मी-डी में, किसी के सभी किनारे बराबर हैं, प्लेन और प्लेन को-स्टू के बीच के कोण की साइन का पता लगाएं, जो गुजर रहा है प्रति-कलम-दी-कू-ल्यार की बात-लेकिन सीधी-मेरी।

3. एक नियमित चार-कोयला प्रिज्म में, os-no-va-nia की भुजाएँ बराबर होती हैं, और किनारे के किनारे बराबर होते हैं। किनारे पर फ्रॉम-मे-चे-टू द पॉइंट ताकि। विमानों और के बीच का कोण ज्ञात कीजिए

4. दाहिने चतुष्कोणीय प्रिज्म में, आधारों की भुजाएँ समान होती हैं, और भुजाएँ समान होती हैं। किनारे पर से-मे-चे-एक बिंदु तक ताकि विमानों के बीच का कोण खोजें और।

5. घन में, समतलों और के बीच के कोण का को-सी-नस ज्ञात कीजिए

समस्या समाधान:

1. मैं एक नियमित (आधार पर - एक समबाहु त्रिभुज) त्रिकोणीय प्रिज्म बनाता हूं और उस पर उन विमानों को चिह्नित करता हूं जो समस्या की स्थिति में दिखाई देते हैं:

हमें दो विमानों के समीकरणों को खोजने की आवश्यकता है: आधार समीकरण तुच्छ रूप से प्राप्त होता है: आप तीन बिंदुओं के लिए संबंधित निर्धारक बना सकते हैं, लेकिन मैं तुरंत समीकरण बनाऊंगा:

अब आइए समीकरण खोजें बिंदु में निर्देशांक है बिंदु - चूँकि - त्रिभुज की माध्यिका और ऊँचाई, त्रिभुज में पायथागॉरियन प्रमेय द्वारा खोजना आसान है। फिर बिंदु के निर्देशांक हैं: बिंदु का अनुप्रयोग खोजें ऐसा करने के लिए, एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें

तब हमें निम्नलिखित निर्देशांक मिलते हैं: हम समतल के समीकरण की रचना करते हैं।

हम विमानों के बीच के कोण की गणना करते हैं:

उत्तर:

2. चित्र बनाना:

सबसे मुश्किल काम यह समझना है कि यह किस तरह का रहस्यमयी विमान है, जो एक बिंदु से सीधा होकर गुजर रहा है। खैर, मुख्य बात यह है कि यह क्या है? मुख्य बात सावधानी है! दरअसल, रेखा लंबवत है। रेखा भी लंबवत है। फिर इन दो रेखाओं से गुजरने वाला तल रेखा के लंबवत होगा, और, वैसे, बिंदु से होकर गुजरेगा। यह विमान भी पिरामिड के ऊपर से होकर गुजरता है। फिर वांछित विमान - और विमान हमें पहले ही दिया जा चुका है। हम बिंदुओं के निर्देशांक ढूंढ रहे हैं।

हम बिंदु के माध्यम से बिंदु का समन्वय पाते हैं। एक छोटी सी रेखाचित्र से यह अनुमान लगाना आसान है कि बिंदु के निर्देशांक इस प्रकार होंगे: पिरामिड के शीर्ष के निर्देशांक खोजने के लिए अब क्या खोजना बाकी है? अभी भी इसकी ऊंचाई की गणना करने की जरूरत है। यह उसी पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके किया जाता है: पहले, सिद्ध करें कि (आधार पर एक वर्ग बनाने वाले छोटे त्रिभुजों से तुच्छ रूप से)। चूंकि शर्त के अनुसार, हमारे पास है:

अब सब कुछ तैयार है: वर्टेक्स निर्देशांक:

हम विमान के समीकरण की रचना करते हैं:

आप निर्धारकों की गणना करने में पहले से ही विशेषज्ञ हैं। आपको आसानी से प्राप्त होगा:

या अन्यथा (यदि हम दोनों भागों को दो के मूल से गुणा करें)

अब आइए विमान का समीकरण ज्ञात करें:

(आप यह नहीं भूले कि हम विमान का समीकरण कैसे प्राप्त करते हैं, ठीक है? यदि आप यह नहीं समझते हैं कि यह शून्य कहाँ से आया है, तो विमान के समीकरण की परिभाषा पर वापस जाएँ! यह हमेशा पता चला कि मेरी विमान मूल से संबंधित था!)

हम निर्धारक की गणना करते हैं:

(आप देख सकते हैं कि समतल का समीकरण बिंदुओं से गुजरने वाली सरल रेखा के समीकरण से मेल खाता है और! सोचिए क्यों!)

अब हम कोण की गणना करते हैं:

हमें साइन खोजने की जरूरत है:

उत्तर:

3. एक पेचीदा सवाल: आयताकार प्रिज्म क्या है, आप क्या सोचते हैं? यह आपके लिए सिर्फ एक प्रसिद्ध समानांतर चतुर्भुज है! तुरंत ड्राइंग! आप आधार को अलग से चित्रित भी नहीं कर सकते हैं, यहाँ इसका बहुत कम उपयोग है:

विमान, जैसा कि हमने पहले देखा, एक समीकरण के रूप में लिखा गया है:

अब हम एक विमान बनाते हैं

हम तुरंत विमान के समीकरण की रचना करते हैं:

एक कोण खोज रहा है

अब अंतिम दो समस्याओं के उत्तर:

खैर, अब ब्रेक लेने का समय आ गया है, क्योंकि आप और मैं महान हैं और बहुत अच्छा काम किया है!

निर्देशांक और वैक्टर। अग्रवर्ती स्तर

इस लेख में, हम आपके साथ अन्य प्रकार की समस्याओं पर चर्चा करेंगे जिन्हें समन्वय विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है: दूरी की समस्याएं। अर्थात्, हम निम्नलिखित मामलों पर विचार करेंगे:

1. तिरछी रेखाओं के बीच की दूरी की गणना करना।

मैंने दिए गए कार्यों को उनकी जटिलता बढ़ने पर आदेश दिया है। खोजना सबसे आसान है विमान की दूरी को इंगित करेंऔर सबसे कठिन हिस्सा ढूंढ रहा है प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच की दूरी. हालाँकि, निश्चित रूप से, कुछ भी असंभव नहीं है! आइए टालमटोल न करें और तुरंत प्रथम श्रेणी की समस्याओं पर विचार करें:

एक बिंदु से एक विमान तक की दूरी की गणना करना

इस समस्या को हल करने के लिए हमें क्या चाहिए?

1. बिंदु निर्देशांक

इसलिए, जैसे ही हमें सभी आवश्यक डेटा मिलते हैं, हम सूत्र लागू करते हैं:

आपको पहले से ही पता होना चाहिए कि हम पिछली समस्याओं से कैसे विमान के समीकरण का निर्माण करते हैं जिसका मैंने पिछले भाग में विश्लेषण किया था। चलिए तुरंत व्यापार के लिए नीचे उतरते हैं। योजना इस प्रकार है: 1, 2 - मैं आपको निर्णय लेने में मदद करता हूं, और कुछ विस्तार से, 3, 4 - केवल उत्तर, आप स्वयं निर्णय लेते हैं और तुलना करते हैं। शुरू किया गया!

कार्य:

1. एक घन दिया है। घन के किनारे की लंबाई है कट से फ्लैट तक सी-री-डी-एनवाई से फाइंड-दी-ते दूरी

2. सही-विल-नया चार-यू-रेखा-कोयला-नया पी-रा-मी-दा बो-को-वो एज सौ-रो-ऑन ओएस-नो-वा-निआ बराबर है। खोजें-दी-उन दूरियों को एक बिंदु से एक विमान तक जहां - से-री-दी-किनारों पर।

3. ओएस-बट-वा-नी-एम के साथ सही त्रिकोणीय पी-आरए-एमआई-डी में, दूसरा किनारा बराबर है, और एक सौ-रो-ऑन ओएस-नो-वा-निया बराबर है। खोजें-दि-उन दूरियों को ऊपर से विमान तक।

4. दाएं हाथ के छह-कोयला प्रिज्म में, सभी किनारे बराबर होते हैं। एक बिंदु से एक विमान तक की दूरियों का पता लगाएं।

समाधान:

1. एकल किनारों वाला एक घन बनाएं, एक खंड और एक समतल बनाएं, खंड के मध्य को अक्षर से निरूपित करें

.

सबसे पहले, आइए एक आसान से शुरू करें: एक बिंदु के निर्देशांक खोजें। तब से (खंड के मध्य के निर्देशांक याद रखें!)

अब हम तीन बिन्दुओं पर समतल का समीकरण बनाते हैं

\[\बाएं| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \right| = 0\]

अब मैं दूरी ढूँढना शुरू कर सकता हूँ:

2. हम फिर से एक ड्राइंग के साथ शुरू करते हैं, जिस पर हम सभी डेटा को चिह्नित करते हैं!

एक पिरामिड के लिए, इसका आधार अलग से बनाना उपयोगी होगा।

यहां तक ​​​​कि तथ्य यह है कि मैं चिकन पंजा की तरह आकर्षित करता हूं, हमें इस समस्या को आसानी से हल करने से नहीं रोकेगा!

अब किसी बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना आसान है

बिंदु के निर्देशांक के बाद से

2. चूँकि बिंदु a के निर्देशांक खंड के मध्य में हैं, तब

हम समतल पर दो और बिंदुओं के निर्देशांक आसानी से पा सकते हैं। हम समतल के समीकरण की रचना करते हैं और इसे सरल करते हैं:

\[\बाएं| (\बाएं| (\शुरू(सरणी)(*(20)(सी))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(सरणी)) \right|) \right| = 0\]

चूंकि बिंदु के निर्देशांक हैं: , तो हम दूरी की गणना करते हैं:

उत्तर (बहुत दुर्लभ!):

अच्छा, क्या तुम समझ गए? मुझे ऐसा लगता है कि यहां सब कुछ उतना ही तकनीकी है जितना कि पिछले भाग में आपके साथ हमने जिन उदाहरणों पर विचार किया था। तो मुझे यकीन है कि अगर आपने उस सामग्री में महारत हासिल कर ली है, तो बाकी दो समस्याओं को हल करना आपके लिए मुश्किल नहीं होगा। मैं आपको केवल उत्तर दूंगा:

एक रेखा से एक विमान तक की दूरी की गणना करना

दरअसल, यहां कुछ भी नया नहीं है। एक रेखा और एक समतल एक दूसरे के सापेक्ष कैसे स्थित हो सकते हैं? उनके पास सभी संभावनाएँ हैं: प्रतिच्छेद करने के लिए, या एक सीधी रेखा समतल के समानांतर है। आपको क्या लगता है कि रेखा से समतल की दूरी क्या है जिसके साथ दी गई रेखा प्रतिच्छेद करती है? मुझे ऐसा लगता है कि यह स्पष्ट है कि इतनी दूरी शून्य के बराबर है। अरुचिकर मामला।

दूसरा मामला पेचीदा है: यहाँ दूरी पहले से ही गैर-शून्य है। हालाँकि, चूँकि रेखा समतल के समानांतर है, तो रेखा का प्रत्येक बिंदु इस तल से समान दूरी पर है:

इस तरह:

और इसका मतलब यह है कि मेरा कार्य पिछले एक तक कम हो गया है: हम रेखा पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक की तलाश कर रहे हैं, हम विमान के समीकरण की तलाश कर रहे हैं, हम बिंदु से विमान की दूरी की गणना कर रहे हैं। वास्तव में, परीक्षा में ऐसे कार्य अत्यंत दुर्लभ हैं। मैं केवल एक समस्या खोजने में कामयाब रहा, और इसमें डेटा ऐसा था कि समन्वय विधि इसके लिए बहुत उपयुक्त नहीं थी!

अब आइए समस्याओं के एक और अधिक महत्वपूर्ण वर्ग की ओर बढ़ते हैं:

एक बिंदु से एक रेखा की दूरी की गणना करना

हमें क्या चाहिए?

1. उस बिंदु के निर्देशांक जिससे हम दूरी की तलाश कर रहे हैं:

2. सरल रेखा पर स्थित किसी बिंदु के निर्देशांक

3. दिशा वेक्टर सीधी रेखा के निर्देशांक

हम किस सूत्र का उपयोग करते हैं?

इस अंश के भाजक का आपके लिए क्या मतलब है और इसलिए यह स्पष्ट होना चाहिए: यह सीधी रेखा के निर्देशक वेक्टर की लंबाई है। यहाँ एक बहुत ही पेचीदा अंश है! अभिव्यक्ति का अर्थ है वैक्टर के वेक्टर उत्पाद का मॉड्यूल (लंबाई) और वेक्टर उत्पाद की गणना कैसे करें, हमने काम के पिछले भाग में अध्ययन किया। अपने ज्ञान को ताज़ा करें, यह अब हमारे लिए बहुत उपयोगी होगा!

इस प्रकार, समस्याओं को हल करने के लिए एल्गोरिथम इस प्रकार होगा:

1. हम उस बिंदु के निर्देशांक ढूंढ रहे हैं जिससे हम दूरी की तलाश कर रहे हैं:

2. हम उस रेखा पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक ढूंढ रहे हैं जिससे हम दूरी की तलाश कर रहे हैं:

3. एक वेक्टर का निर्माण

4. हम एक सीधी रेखा के निर्देशन वेक्टर का निर्माण करते हैं

5. क्रॉस उत्पाद की गणना करें

6. हम परिणामी वेक्टर की लंबाई की तलाश कर रहे हैं:

7. दूरी की गणना करें:

हमारे पास बहुत काम है, और उदाहरण काफी जटिल होंगे! तो अब अपना सारा ध्यान केंद्रित करें!

1. दाना एक दाहिने हाथ का त्रिकोणीय पि-रा-मी-दा है जिसमें एक शीर्ष है। एक सौ-रो-ओस-नो-वा-निया पि-रा-मी-डी बराबर है, आप-तो-ता बराबर है। बो-को-वें किनारे के से-री-दी-नी से सीधी रेखा तक उन दूरियों का पता लगाएं, जहां अंक और पसलियों के से-री-दी-एनवाई और सह-वीट हैं -स्टवेन-लेकिन।

2. पसलियों की लंबाई और समकोण-नो-पैरा-राल-ले-ले-पी-पे-दा क्रमशः बराबर हैं, और टॉप-शि-एनवाई से सीधे-माय तक फाइंड-दी-ते दूरी

3. दाहिने छह-कोयला प्रिज्म में, एक झुंड के सभी किनारे समान हैं, एक बिंदु से एक सीधी रेखा तक की दूरी ज्ञात करें

समाधान:

1. हम एक साफ-सुथरी ड्राइंग बनाते हैं, जिस पर हम सभी डेटा को चिह्नित करते हैं:

हमारे पास आपके लिए बहुत काम है! मैं सबसे पहले शब्दों में वर्णन करना चाहूंगा कि हम क्या और किस क्रम में देखेंगे:

1. बिंदुओं के निर्देशांक और

2. बिंदु निर्देशांक

3. बिंदुओं के निर्देशांक और

4. वैक्टर के निर्देशांक और

5. उनका क्रॉस उत्पाद

6. वेक्टर लंबाई

7. वेक्टर उत्पाद की लंबाई

8. से दूरी

खैर, हमारे पास करने के लिए बहुत काम है! चलो अपनी आस्तीन ऊपर रोल करें!

1. पिरामिड की ऊंचाई के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए, हमें बिंदु के निर्देशांक जानने की आवश्यकता है। इसका अनुप्रयोग शून्य है, और कोटि इसके भुज के बराबर है। अंत में, हमें निर्देशांक मिले:

बिंदु निर्देशांक

2. - खंड के मध्य

3. - खंड के मध्य

मध्य

4. निर्देशांक

वेक्टर निर्देशांक

5. वेक्टर उत्पाद की गणना करें:

6. वेक्टर की लंबाई: सबसे आसान तरीका यह है कि खंड को त्रिकोण की मध्य रेखा के रूप में प्रतिस्थापित किया जाए, जिसका अर्थ है कि यह आधे आधार के बराबर है। ताकि।

7. हम वेक्टर उत्पाद की लंबाई पर विचार करते हैं:

8. अंत में, दूरी ज्ञात कीजिए:

काहे, बस इतना ही! ईमानदारी से, मैं आपको बताता हूँ: इस समस्या को पारंपरिक तरीकों (निर्माणों के माध्यम से) से हल करना बहुत तेज़ होगा। लेकिन यहाँ मैंने सब कुछ एक तैयार एल्गोरिथम में घटा दिया! मुझे लगता है कि समाधान एल्गोरिदम आपके लिए स्पष्ट है? इसलिए, मैं आपसे शेष दो समस्याओं को स्वयं हल करने के लिए कहूंगा। उत्तरों की तुलना करें?

दोबारा, मैं दोहराता हूं: इन समस्याओं को समन्वय विधि का सहारा लेने के बजाय निर्माण के माध्यम से हल करना आसान (तेज) है। मैंने आपको हल करने के इस तरीके का प्रदर्शन केवल आपको एक सार्वभौमिक तरीका दिखाने के लिए किया है जो आपको "कुछ भी खत्म नहीं करने" की अनुमति देता है।

अंत में, समस्याओं के अंतिम वर्ग पर विचार करें:

तिरछी रेखाओं के बीच की दूरी की गणना करना

यहां, समस्याओं को हल करने के लिए एल्गोरिदम पिछले वाले के समान होगा। हमारे पास क्या है:

3. पहली और दूसरी पंक्तियों के बिंदुओं को जोड़ने वाला कोई वेक्टर:

हम रेखाओं के बीच की दूरी कैसे ज्ञात करते हैं?

सूत्र है:

अंश मिश्रित उत्पाद का मॉड्यूल है (हमने इसे पिछले भाग में पेश किया है), और भाजक पिछले सूत्र के समान है (रेखाओं के निर्देशन वैक्टर के वेक्टर उत्पाद का मॉड्यूल, जिसके बीच की दूरी हम की तलाश में)।

मैं आपको वह याद दिलाऊंगा

फिर दूरी सूत्र को फिर से लिखा जा सकता है:

इस निर्धारक को निर्धारक से विभाजित करें! हालाँकि, ईमानदार होने के लिए, मैं यहाँ मजाक के मूड में नहीं हूँ! यह सूत्र, वास्तव में, बहुत बोझिल है और जटिल गणनाओं की ओर ले जाता है। अगर मैं तुम होते तो मैं इसे केवल अंतिम उपाय के रूप में उपयोग करता!

आइए उपरोक्त विधि का उपयोग करके कुछ समस्याओं को हल करने का प्रयास करें:

1. समकोण त्रिभुजाकार प्रिज्म में, सभी किनारे किसी न किसी तरह बराबर होते हैं, सीधी रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करें और।

2. एक दाएं-सामने के आकार के त्रिकोणीय प्रिज्म को देखते हुए, किसी के ओएस-नो-वा-निया के सभी किनारे से-चे-टियन के बराबर होते हैं, जो दूसरी पसली से गुजरते हैं और से-री-दी-नू पसलियां होती हैं यव-ला-एत-स्य स्क्वायर-रा-टॉम। Find-di-te dis-sto-I-nie बीच में सीधे-हम-मील और

मैं पहले का फैसला करता हूं, और उसके आधार पर, आप दूसरे का फैसला करते हैं!

1. मैं एक प्रिज्म बनाता हूं और रेखाओं को चिह्नित करता हूं और

प्वाइंट सी निर्देशांक: फिर

बिंदु निर्देशांक

वेक्टर निर्देशांक

बिंदु निर्देशांक

वेक्टर निर्देशांक

वेक्टर निर्देशांक

\[\लेफ्ट((बी,\ओवरराइटएरो (ए(ए_1)) \ओवरराइटएरो (बी(सी_1)) ) \राइट) = \लेफ्ट| (\शुरू(सरणी)(*(20)(एल))(\शुरू(सरणी)(*(20)(सी))0&1&0\end(सरणी))\\(\शुरू (सरणी)(*(20) (c))0&0&1\end(सरणी))\\(\शुरू(सरणी)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2)) और 1 \ अंत (सरणी)) \ अंत (सरणी)) \ सही | = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

हम वैक्टर और के बीच क्रॉस उत्पाद पर विचार करते हैं

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \बाएं| \begin(array)(l)\begin(सरणी)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(सरणी)\\\शुरू (सरणी )(*(20)(सी))0&0&1\end(सरणी)\\\शुरू(सरणी)(*(20)(सी))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

अब हम इसकी लंबाई पर विचार करते हैं:

उत्तर:

अब दूसरा काम सावधानी से पूरा करने की कोशिश करें। इसका उत्तर होगा:.

निर्देशांक और वैक्टर। संक्षिप्त विवरण और बुनियादी सूत्र

एक वेक्टर एक निर्देशित खंड है। - वेक्टर की शुरुआत, - वेक्टर का अंत।
वेक्टर को या द्वारा निरूपित किया जाता है।

निरपेक्ष मूल्यवेक्टर - वेक्टर का प्रतिनिधित्व करने वाले खंड की लंबाई। के रूप में नामित।

वेक्टर निर्देशांक:

,
सदिश \displaystyle a के सिरे कहाँ हैं।

सदिशों का योग: .

वैक्टर का उत्पाद:

वैक्टर का डॉट उत्पाद:

सदिशों का अदिश गुणनफल उनके निरपेक्ष मानों के गुणनफल और उनके बीच के कोण के कोसाइन के बराबर होता है:

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विमान में एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी की गणना करने का सूत्र

यदि रेखा Ax + By + C = 0 का समीकरण दिया गया है, तो बिंदु M(M x, M y) से रेखा तक की दूरी निम्न सूत्र का उपयोग करके पाई जा सकती है

एक विमान में एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी की गणना के लिए कार्यों के उदाहरण

उदाहरण 1

रेखा 3x + 4y - 6 = 0 और बिंदु M(-1, 3) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

समाधान।सूत्र में रेखा के गुणांकों और बिंदु के निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करें

उत्तर:एक बिंदु से एक रेखा की दूरी 0.6 है।

सदिश के लम्बवत् बिन्दुओं से गुजरने वाले समतल का समीकरण समतल का सामान्य समीकरण

किसी दिए गए विमान के लंबवत एक गैर-शून्य वेक्टर कहा जाता है सामान्य वेक्टर (या, संक्षेप में, सामान्य ) इस विमान के लिए।

चलो समन्वय स्थान में (एक आयताकार समन्वय प्रणाली में) दिया गया है:

एक बिंदी ;

बी) एक गैर-शून्य वेक्टर (चित्र। 4.8, ए)।

एक बिंदु से गुजरने वाले समतल के लिए एक समीकरण लिखना आवश्यक है वेक्टर के लंबवत प्रमाण का अंत।

आइए, अब एक समतल में एक सरल रेखा के विभिन्न प्रकार के समीकरणों पर विचार करें।

1) समतल का सामान्य समीकरणपी .

समीकरण की व्युत्पत्ति से यह उसी समय का अनुसरण करता है ए, बीतथा सी 0 के बराबर नहीं (क्यों समझाएं)।

बिंदु विमान का है पीकेवल अगर इसके निर्देशांक समतल के समीकरण को संतुष्ट करते हैं। गुणांकों पर निर्भर करता है ए, बी, सीतथा डीविमान पीकोई न कोई स्थान रखता है।

- विमान समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति के माध्यम से गुजरता है, - विमान समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति के माध्यम से नहीं गुजरता है,

- तल अक्ष के समांतर है एक्स,

एक्स,

- तल अक्ष के समांतर है वाई,

- तल अक्ष के समांतर नहीं है वाई,

- तल अक्ष के समांतर है जेड,

- तल अक्ष के समांतर नहीं है जेड.

इन कथनों को स्वयं सिद्ध कीजिए।

समीकरण (6) आसानी से समीकरण (5) से प्राप्त होता है। दरअसल, बिंदु को विमान पर लेटने दें पी. तब इसके निर्देशांक समीकरण को संतुष्ट करते हैं। समीकरण (5) में से समीकरण (7) घटाकर और पदों को समूहीकृत करके, हम समीकरण (6) प्राप्त करते हैं। अब क्रमशः निर्देशांक वाले दो सदिशों पर विचार करें। सूत्र (6) से यह पता चलता है कि उनका अदिश गुणनफल शून्य के बराबर है। इसलिए, वेक्टर वेक्टर के लंबवत है अंतिम वेक्टर की शुरुआत और अंत क्रमशः उन बिंदुओं पर हैं जो विमान से संबंधित हैं पी. इसलिए, वेक्टर विमान के लंबवत है पी. बिंदु से विमान की दूरी पी, जिसका सामान्य समीकरण है सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है इस सूत्र की उपपत्ति एक बिंदु और एक रेखा के बीच की दूरी के सूत्र की उपपत्ति के समान है (देखिए चित्र 2)।
चावल। 2. समतल और सरल रेखा के बीच की दूरी के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति।

दरअसल, दूरी डीएक रेखा और एक विमान के बीच है

एक विमान पर एक बिंदु कहाँ स्थित है। यहाँ से, जैसा कि व्याख्यान संख्या 11 में है, उपरोक्त सूत्र प्राप्त होता है। यदि उनके सामान्य वैक्टर समानांतर हैं तो दो विमान समानांतर हैं। यहाँ से हम दो तलों के समांतरता की स्थिति प्राप्त करते हैं - विमानों के सामान्य समीकरणों के गुणांक। दो तल लम्बवत् हैं यदि उनके सामान्य सदिश लम्बवत् हैं, इसलिए हम दो तलों के लम्बवत् होने की स्थिति प्राप्त करते हैं यदि उनके सामान्य समीकरण ज्ञात हों

कोना एफदो विमानों के बीच उनके सामान्य वैक्टर (चित्र 3 देखें) के बीच के कोण के बराबर है और इसलिए सूत्र से इसकी गणना की जा सकती है
विमानों के बीच कोण का निर्धारण।

(11)

एक बिंदु से एक विमान की दूरी और इसे कैसे खोजा जाए

बिंदु से दूरी विमानएक बिंदु से इस तल पर गिराए गए लंब की लंबाई है। एक बिंदु से एक विमान तक की दूरी ज्ञात करने के कम से कम दो तरीके हैं: ज्यामितिकतथा बीजगणितीय.

ज्यामितीय विधि सेआपको सबसे पहले यह समझने की आवश्यकता है कि एक बिंदु से एक समतल पर लंब कैसे स्थित है: शायद यह किसी सुविधाजनक तल में स्थित है, यह किसी सुविधाजनक (या ऐसा नहीं) त्रिभुज में ऊँचाई है, या हो सकता है कि यह लंब आमतौर पर किसी पिरामिड में ऊँचाई हो .

इस पहले और सबसे कठिन चरण के बाद, समस्या कई विशिष्ट समतलमितीय समस्याओं (शायद विभिन्न स्तरों में) में टूट जाती है।

बीजगणितीय तरीके सेएक बिंदु से एक विमान की दूरी का पता लगाने के लिए, आपको एक समन्वय प्रणाली में प्रवेश करने की आवश्यकता है, बिंदु के निर्देशांक और विमान के समीकरण का पता लगाएं, और फिर बिंदु से विमान की दूरी के लिए सूत्र लागू करें।

एक बिंदु से रेखा की दूरी बिंदु से रेखा तक लंबवत की लंबाई है। वर्णनात्मक ज्यामिति में, यह नीचे दिए गए एल्गोरिथम के अनुसार रेखांकन द्वारा निर्धारित किया जाता है।

कलन विधि

1. सीधी रेखा को उस स्थिति में स्थानांतरित किया जाता है जिसमें यह किसी प्रक्षेपण विमान के समानांतर होगा। ऐसा करने के लिए, ऑर्थोगोनल अनुमानों के परिवर्तन के तरीकों को लागू करें।
2. एक बिंदु से एक रेखा पर लंब खींचिए। यह निर्माण समकोण प्रक्षेपण प्रमेय पर आधारित है।
3. एक लंब की लंबाई उसके अनुमानों को परिवर्तित करके या समकोण त्रिभुज विधि का उपयोग करके निर्धारित की जाती है।

निम्नलिखित आंकड़ा रेखा खंड सीडी द्वारा परिभाषित बिंदु एम और लाइन बी की एक जटिल ड्राइंग दिखाता है। आपको उनके बीच की दूरी खोजने की जरूरत है।

हमारे एल्गोरिथ्म के अनुसार, पहली बात यह है कि लाइन को प्रोजेक्शन प्लेन के समानांतर स्थिति में ले जाना है। यह समझना महत्वपूर्ण है कि परिवर्तनों के बाद, बिंदु और रेखा के बीच की वास्तविक दूरी नहीं बदलनी चाहिए। यही कारण है कि यहां विमान प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करना सुविधाजनक है, जिसमें अंतरिक्ष में गतिमान आंकड़े शामिल नहीं हैं।

निर्माण के पहले चरण के परिणाम नीचे दिखाए गए हैं। आंकड़ा दिखाता है कि कैसे एक अतिरिक्त ललाट विमान P 4 को b के समानांतर पेश किया जाता है। नई प्रणाली में (P 1 , P 4) बिंदु C"" 1 , D"" 1 , M"" 1 X 1 अक्ष से C"", D"", M"" के समान दूरी पर हैं। अक्ष एक्स।

एल्गोरिथ्म के दूसरे भाग का प्रदर्शन करते हुए, M"" 1 से हम लंबवत M"" 1 N"" 1 को सीधी रेखा b"" 1 से कम करते हैं, क्योंकि b और MN के बीच समकोण MND को विमान P 4 पर प्रक्षेपित किया जाता है। पूर्ण आकार में। हम संचार रेखा के साथ बिंदु N" की स्थिति निर्धारित करते हैं और खंड MN के प्रक्षेपण M"N" को खींचते हैं।

अंतिम चरण में, इसके अनुमानों M"N" और M"" 1 N"" 1 द्वारा खंड MN का मान निर्धारित करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, हम एक समकोण त्रिभुज M"" 1 N"" 1 N 0 बनाते हैं, जिसमें लेग N"" 1 N 0 बिंदु M को हटाने के अंतर (Y M 1 - Y N 1) के बराबर है। एक्स 1 अक्ष से "और एन"। त्रिभुज M"" 1 N"" 1 N 0 के कर्ण M"" 1 N 0 की लंबाई M से b तक वांछित दूरी से मेल खाती है।

हल करने का दूसरा तरीका

• सीडी के समानांतर हम एक नया ललाट विमान P 4 पेश करते हैं। यह P 1 को X 1 अक्ष के साथ और X 1 ∥C"D" को प्रतिच्छेद करता है। विमानों को बदलने की विधि के अनुसार, हम अंक सी "" 1, डी "" 1 और एम "" 1 के अनुमानों को निर्धारित करते हैं, जैसा कि आंकड़े में दिखाया गया है।
• C "" 1 D "" 1 के लंबवत हम एक अतिरिक्त क्षैतिज तल P 5 का निर्माण करते हैं, जिस पर सीधी रेखा b को बिंदु C" 2 \u003d b" 2 पर प्रक्षेपित किया जाता है।
• बिंदु एम और सीधी रेखा बी के बीच की दूरी लाल रंग में चिह्नित एम "2 सी" 2 खंड की लंबाई से निर्धारित होती है।

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