De nombreux nombres ont acquis leur ampleur et leur signification superstitieuse dans les temps anciens. De nos jours, de nouveaux mythes s’y ajoutent. Il existe de nombreuses légendes sur le nombre pi ; les fameux nombres de Fibonacci ne sont pas beaucoup moins célèbres que lui. Mais la chose la plus surprenante est peut-être le chiffre e, dont il ne peut se passer mathématiques modernes, la physique et même l'économie.

La valeur arithmétique de e est d'environ 2,718. Pourquoi pas exactement, mais approximativement ? Parce que ce nombre est irrationnel et transcendantal, il ne peut pas être exprimé comme une fraction avec des entiers naturels ou un polynôme avec des coefficients rationnels. Pour la plupart des calculs, la précision spécifiée de 2,718 est suffisante, bien que le niveau moderne de technologie informatique permette de déterminer sa valeur avec une précision de plus d'un billion de décimales.

La principale caractéristique du nombre e est que la dérivée de sa fonction exponentielle f (x) = e x est égale à la valeur de la fonction e x elle-même. Aucune autre relation mathématique ne possède une propriété aussi inhabituelle. Parlons-en un peu plus en détail.

Qu'est-ce qu'une limite

Tout d’abord, comprenons le concept de limite. Considérons une expression mathématique, par exemple i = 1/n. Peut voir, que lorsque « n » augmente", la valeur de "i" diminuera, et comme "n" tend vers l'infini (qui est désigné par le signe ∞), "i" tendra vers la valeur limite (plus souvent appelée simplement la limite) égale à zéro. L'expression de la limite (notée lim) pour le cas considéré peut s'écrire lim n →∞ (1/ n) = 0.

Il existe différentes limites pour différentes expressions. L'une de ces limites, incluse dans les manuels soviétiques et russes comme deuxième limite remarquable, est l'expression lim n →∞ (1+1/ n) n. Déjà au Moyen Âge, il avait été établi que la limite de cette expression était le nombre e.

La première limite remarquable inclut l'expression lim n →∞ (Sin n / n) = 1.

Comment trouver la dérivée de e x - dans cette vidéo.

Quelle est la dérivée d'une fonction

Pour expliquer le concept de dérivée, il convient de rappeler ce qu'est une fonction en mathématiques. Afin de ne pas encombrer le texte de définitions complexes, nous nous concentrerons sur le concept mathématique intuitif de fonction, qui consiste dans le fait qu'une ou plusieurs quantités y déterminent complètement la valeur d'une autre quantité si elles sont interdépendantes. Par exemple, dans la formule S = π ∙ r 2 l'aire d'un cercle, la valeur du rayon r détermine de manière complète et unique l'aire du cercle S.

Selon le type, les fonctions peuvent être algébriques, trigonométriques, logarithmiques, etc. Elles peuvent avoir deux, trois arguments ou plus interconnectés. Par exemple, la distance S parcourue, qu'un objet a parcourue à une vitesse uniformément accélérée, est décrite par la fonction S = 0,5 ∙ a ∙ t 2 + V ∙ t, où « t » est le temps de déplacement, l'argument « a " est l'accélération (peut être positive ou négative) et " V " est la vitesse initiale de mouvement. Ainsi, la distance parcourue dépend des valeurs de trois arguments, dont deux (« a » et « V ») sont constants.

Utilisons cet exemple pour démontrer le concept élémentaire de dérivée d'une fonction. Il caractérise le taux de changement de la fonction en un point donné. Dans notre exemple, il s'agira de la vitesse de déplacement de l'objet à un instant précis. Avec les constantes « a » et « V », cela ne dépend que du temps « t », c'est-à-dire qu'en langage scientifique, il faut prendre la dérivée de la fonction S par rapport au temps « t ».

Ce processus est appelé différenciation et est effectué en calculant la limite du rapport entre la croissance d'une fonction et la croissance de son argument d'une valeur négligeable. Résoudre de tels problèmes pour des fonctions individuelles est souvent difficile et n'est pas abordé ici. Il convient également de noter que certaines fonctions, à certains moments, n'ont aucune limite de ce type.

Dans notre exemple, la dérivée S au fil du temps « t » prendra la forme S" = ds/dt = a ∙ t + V, d'où on peut voir que la vitesse S" change selon une loi linéaire en fonction de « t ».

Dérivée de l'exposant

Une fonction exponentielle est appelée fonction exponentielle dont la base est le nombre e. Elle est généralement affichée sous la forme F (x) = e x, où l'exposant x est une quantité variable. Cette fonction a une différentiabilité complète sur toute la plage des nombres réels. À mesure que x grandit, il augmente constamment et est toujours supérieur à zéro. Sa fonction inverse est le logarithme.

Le célèbre mathématicien Taylor a réussi à étendre cette fonction en une série qui porte son nom e x = 1 + x/1 ! +x2/2 ! +x3/3 ! + … dans la plage x de - ∞ à + ∞.

Loi basée sur cette fonction, est appelé exponentiel. Il décrit:

• augmentation des taux d’intérêt bancaires composés ;
• augmentation des populations animales et de la population mondiale ;
• le temps de rigidité cadavérique et bien plus encore.

Répétons encore une fois la propriété remarquable de cette dépendance : la valeur de sa dérivée en tout point est toujours égale à la valeur de la fonction en ce point, c'est-à-dire (e x)" = e x.

Présentons les dérivées pour les cas les plus généraux de l'exponentielle :

• (e hache)" = une ∙ e hache ;
• (e f (x))" = f"(x) ∙ e f (x) .

En utilisant ces dépendances, il est facile de trouver des dérivées pour d’autres types particuliers de cette fonction.

Quelques faits intéressants sur le nombre e

Les noms de scientifiques tels que Napier, Oughtred, Huygens, Bernoulli, Leibniz, Newton, Euler et d'autres sont associés à ce numéro. Ce dernier a effectivement introduit la notation e pour ce nombre, et a également trouvé les 18 premiers signes, en utilisant la série e = 1 + 1/1 qu'il a découverte pour le calcul ! +2/2 ! +3/3 ! ...

Le chiffre e apparaît aux endroits les plus inattendus. Par exemple, il entre dans l'équation de la caténaire, qui décrit l'affaissement d'une corde sous son propre poids lorsque ses extrémités sont fixées à des supports.

Vidéo

Le sujet de la leçon vidéo est la dérivée de la fonction exponentielle.

Preuve et dérivation des formules pour la dérivée de l'exponentielle (e à la puissance x) et de la fonction exponentielle (a à la puissance x). Exemples de calcul des dérivées de e^2x, e^3x et e^nx. Formules pour les dérivés d'ordres supérieurs.

Contenu

Voir également: Fonction exponentielle - propriétés, formules, graphique
Exposant, e à la puissance x - propriétés, formules, graphique

Formules de base

La dérivée d'un exposant est égale à l'exposant lui-même (la dérivée de e à la puissance x est égale à e à la puissance x) :
(1) (e x )′ = e x.

La dérivée d'une fonction exponentielle de base a est égale à la fonction elle-même multipliée par le logarithme naturel de a :
(2) .

Une exponentielle est une fonction exponentielle dont la base est égale au nombre e, qui est la limite suivante :
.
Ici, il peut s'agir soit d'un nombre naturel, soit d'un nombre réel. Ensuite, nous dérivons la formule (1) pour la dérivée de l’exponentielle.

Dérivation de la formule dérivée exponentielle

Considérons l'exponentielle, e à la puissance x :
y = ex.
Cette fonction est définie pour tout le monde. Trouvons sa dérivée par rapport à la variable x. Par définition, la dérivée est la limite suivante :
(3) .

Transformons cette expression pour la réduire à des propriétés et règles mathématiques connues. Pour ce faire, nous avons besoin des faits suivants :
UN) Propriété de l'exposant :
(4) ;
B) Propriété du logarithme :
(5) ;
DANS) Continuité du logarithme et propriété des limites pour une fonction continue :
(6) .
Voici une fonction qui a une limite et cette limite est positive.
G) La signification de la deuxième limite remarquable :
(7) .

Appliquons ces faits à notre limite (3). On utilise la propriété (4) :
;
.

Faisons une substitution. Alors ; .
En raison de la continuité de l'exponentielle,
.
Par conséquent, lorsque , . En conséquence nous obtenons :
.

Faisons une substitution. Alors . À , . Et nous avons:
.

Appliquons la propriété logarithme (5) :
. Alors
.

Appliquons la propriété (6). Puisqu’il existe une limite positive et que le logarithme est continu, alors :
.
Ici, nous avons également utilisé la deuxième limite remarquable (7). Alors
.

Ainsi, nous avons obtenu la formule (1) pour la dérivée de l'exponentielle.

Dérivation de la formule de la dérivée d'une fonction exponentielle

Nous dérivons maintenant la formule (2) pour la dérivée de la fonction exponentielle avec une base de degré a. Nous le croyons et. Alors la fonction exponentielle
(8)
Défini pour tout le monde.

Transformons la formule (8). Pour ce faire, nous utiliserons les propriétés de la fonction exponentielle et du logarithme.
;
.
Nous avons donc transformé la formule (8) sous la forme suivante :
.

Dérivées d'ordre supérieur de e à la puissance x

Trouvons maintenant les dérivées d'ordres supérieurs. Regardons d'abord l'exposant :
(14) .
(1) .

On voit que la dérivée de la fonction (14) est égale à la fonction (14) elle-même. En différenciant (1), on obtient des dérivées du deuxième et du troisième ordre :
;
.

Cela montre que la dérivée d'ordre n est également égale à la fonction d'origine :
.

Dérivées d'ordre supérieur de la fonction exponentielle

Considérons maintenant une fonction exponentielle de base de degré a :
.
Nous avons trouvé sa dérivée du premier ordre :
(15) .

En différenciant (15), on obtient des dérivées du deuxième et du troisième ordre :
;
.

On voit que chaque différenciation conduit à la multiplication de la fonction originale par . Par conséquent, la dérivée d’ordre n a la forme suivante :
.

Voir également:

Nous présentons un tableau récapitulatif pour plus de commodité et de clarté lors de l'étude du sujet.

Constantey = C Fonction puissance y = x p (x p) " = p x p - 1	Fonction exponentielley = un x (une x) " = une x ln une En particulier, lorsqueune = enous avons y = ex (e x) " = e x
Fonction logarithmique (log a x) " = 1 x ln a En particulier, lorsqueune = enous avons y = journal x (ln x) " = 1 x	Fonctions trigonométriques (sin x) " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x
Fonctions trigonométriques inverses (a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2	Fonctions hyperboliques (s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

Analysons comment les formules du tableau spécifié ont été obtenues ou, en d'autres termes, nous prouverons la dérivation de formules dérivées pour chaque type de fonction.

Dérivée d'une constante

Preuve 1

Pour dériver cette formule, on se base sur la définition de la dérivée d'une fonction en un point. On utilise x 0 = x, où X prend la valeur de n'importe quel nombre réel, ou, en d'autres termes, X est n'importe quel nombre du domaine de la fonction f (x) = C. Notons la limite du rapport de l'incrément d'une fonction à l'incrément de l'argument comme ∆ x → 0 :

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Veuillez noter que l'expression 0 ∆ x relève du signe limite. Il ne s’agit pas de l’incertitude « zéro divisé par zéro », puisque le numérateur ne contient pas une valeur infinitésimale, mais précisément zéro. Autrement dit, l’incrément d’une fonction constante est toujours nul.

Ainsi, la dérivée de la fonction constante f (x) = C est égale à zéro dans tout le domaine de définition.

Exemple 1

Les fonctions constantes sont données :

f 1 (x) = 3, f 2 (x) = une, une ∈ R, f 3 (x) = 4. 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

Solution

Décrivons les conditions données. Dans la première fonction, nous voyons la dérivée de l'entier naturel 3. Dans l’exemple suivant, vous devez prendre la dérivée de UN, Où UN- n'importe quel nombre réel. Le troisième exemple nous donne la dérivée du nombre irrationnel 4. 13 7 22, la quatrième est la dérivée de zéro (zéro est un nombre entier). Enfin, dans le cinquième cas, nous avons la dérivée de la fraction rationnelle - 8 7.

Répondre: les dérivées de fonctions données sont nulles pour tout réel X(sur toute la zone de définition)

f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

Dérivée d'une fonction puissance

Passons à la fonction puissance et à la formule de sa dérivée, qui a la forme : (x p) " = p x p - 1, où l'exposant p est n'importe quel nombre réel.

Preuve 2

Voici la preuve de la formule lorsque l’exposant est un nombre naturel : p = 1, 2, 3, …

Nous nous appuyons encore une fois sur la définition d'une dérivée. Notons la limite du rapport de l'incrément d'une fonction puissance à l'incrément de l'argument :

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

Pour simplifier l’expression au numérateur, nous utilisons la formule binomiale de Newton :

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

Ainsi:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + ... + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 · x p - 1 + 0 + 0 + . . . + 0 = p ! 1 ! · (p - 1) ! · x p - 1 = p · x p - 1

Ainsi, nous avons prouvé la formule de la dérivée d'une fonction puissance lorsque l'exposant est un nombre naturel.

Preuve 3

Pour fournir des preuves du cas où p- tout nombre réel autre que zéro, nous utilisons la dérivée logarithmique (ici nous devons comprendre la différence avec la dérivée d'une fonction logarithmique). Pour avoir une compréhension plus complète, il est conseillé d'étudier la dérivée d'une fonction logarithmique et de mieux comprendre la dérivée d'une fonction implicite et la dérivée d'une fonction complexe.

Considérons deux cas : lorsque X positif et quand X négatif.

Donc x > 0. Alors : x p > 0 . Logarithmonons l'égalité y = x p en base e et appliquons la propriété du logarithme :

y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x

A ce stade, nous avons obtenu une fonction implicitement spécifiée. Définissons sa dérivée :

(ln y) " = (p · ln x) 1 y · y " = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1

Considérons maintenant le cas où X - un nombre négatif.

Si l'indicateur p est un nombre pair, alors la fonction puissance est définie pour x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Alors xp< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Si p est un nombre impair, alors la fonction puissance est définie pour x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y " (x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p x p - 1

La dernière transition est possible du fait que si p est un nombre impair, alors p-1 soit un nombre pair, soit zéro (pour p = 1), donc pour négatif X l'égalité (- x) p - 1 = x p - 1 est vraie.

Ainsi, nous avons prouvé la formule de la dérivée d'une fonction puissance pour tout réel p.

Exemple 2

Fonctions données :

f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12

Déterminez leurs dérivées.

Solution

Nous transformons certaines des fonctions données sous forme tabulaire y = x p , en fonction des propriétés du degré, puis utilisons la formule :

f 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 " (x) = - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 f 2 " (x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3" ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

Dérivée d'une fonction exponentielle

Preuve 4

Dérivons la formule dérivée en utilisant la définition comme base :

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Nous avons de l’incertitude. Pour le développer, écrivons une nouvelle variable z = a ∆ x - 1 (z → 0 comme ∆ x → 0). Dans ce cas, a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Pour la dernière transition, la formule de transition vers une nouvelle base de logarithme a été utilisée.

Remplaçons dans la limite initiale :

(a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Rappelons la deuxième limite remarquable et on obtient alors la formule de la dérivée de la fonction exponentielle :

(a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a

Exemple 3

Les fonctions exponentielles sont données :

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

Il faut trouver leurs dérivées.

Solution

Nous utilisons la formule de la dérivée de la fonction exponentielle et les propriétés du logarithme :

f 1 " (x) = 2 3 x " = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 " (x) = 1 (e) x " = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Dérivée d'une fonction logarithmique

Preuve 5

Donnons une preuve de la formule de la dérivée d'une fonction logarithmique pour tout X dans le domaine de la définition et des éventuelles valeurs admissibles de la base a du logarithme. En se basant sur la définition de la dérivée, on obtient :

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a

De la chaîne d'égalités indiquée, il ressort clairement que les transformations étaient basées sur la propriété du logarithme. L'égalité lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e est vraie conformément à la deuxième limite remarquable.

Exemple 4

Les fonctions logarithmiques sont données :

f 1 (x) = log ln 3 x , f 2 (x) = ln x

Il faut calculer leurs dérivées.

Solution

Appliquons la formule dérivée :

f 1 " (x) = (log ln 3 x) " = 1 x · ln (ln 3) ; f 2 " (x) = (ln x) " = 1 x ln e = 1 x

Ainsi, la dérivée du logarithme népérien est égale à un divisé par X.

Dérivées de fonctions trigonométriques

Preuve 6

Utilisons quelques formules trigonométriques et la première merveilleuse limite pour dériver la formule de la dérivée d'une fonction trigonométrique.

D'après la définition de la dérivée de la fonction sinus, on obtient :

(péché x) " = lim ∆ x → 0 péché (x + ∆ x) - péché x ∆ x

La formule de la différence des sinus nous permettra d'effectuer les actions suivantes :

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

Enfin, nous utilisons la première merveilleuse limite :

péché " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 péché ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Donc la dérivée de la fonction péché x volonté parce que x.

Nous prouverons également la formule de la dérivée du cosinus :

cos " x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

Ceux. la dérivée de la fonction cos x sera – péché x.

Nous dérivons les formules pour les dérivées de la tangente et de la cotangente basées sur les règles de différenciation :

t g " x = péché x cos x " = péché " x · cos x - péché x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - péché x · (- péché x) cos 2 x = péché 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x péché x " = cos " x · péché x - cos x · péché " x péché 2 x = = - péché x · péché x - cos x · cos x péché 2 x = - péché 2 x + cos 2 x péché 2 x = - 1 péché 2 x

Dérivées de fonctions trigonométriques inverses

La section sur la dérivée des fonctions inverses fournit des informations complètes sur la preuve des formules pour les dérivées de l'arc sinus, de l'arc cosinus, de l'arc tangente et de l'arc cotangente, nous ne dupliquerons donc pas le matériel ici.

Dérivées de fonctions hyperboliques

Preuve 7

Nous pouvons dériver les formules des dérivées du sinus hyperbolique, du cosinus, de la tangente et de la cotangente en utilisant la règle de différenciation et la formule de la dérivée de la fonction exponentielle :

s h " x = e x - e - x 2 " = 1 2 e x " - e - x " = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h " x = e x + e - x 2 " = 1 2 e x " + e - x " = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h " x = s h x c h x " = s h " x · c h x - s h x · c h " x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h " x = c h x s h x " = c h " x · s h x - c h x · s h " x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

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Concepts de base

Avant d'examiner la question de la dérivée d'une exponentielle à la puissance $x$, rappelons les définitions

1. les fonctions;
2. limite de séquence ;
3. dérivé;
4. exposants.

Ceci est nécessaire pour une compréhension claire de la dérivée d'une exponentielle à la puissance $x$.

Définition 1

Une fonction est une relation entre deux variables.

Prenons $y=f(x)$, où $x$ et $y$ sont des variables. Ici, $x$ est appelé l'argument et $y$ est la fonction. L'argument peut prendre des valeurs arbitraires. À son tour, la variable $y$ change selon une certaine loi en fonction de l'argument. Autrement dit, l'argument $x$ est la variable indépendante et la fonction $y$ est la variable dépendante. Pour toute valeur $x$, il existe une valeur unique $y$.

Si, en vertu d'une loi, chaque nombre naturel $n=1, 2, 3, ...$ est associé à un nombre $x_n$, alors on dit que la suite de nombres $x_1,x_2,..., x_n$ est défini. Sinon, une telle séquence s'écrit $\(x_n\)$. Tous les nombres $x_n$ sont appelés membres ou éléments de la séquence.

Définition 2

La limite d'une séquence est le point fini ou infiniment éloigné de la droite numérique. La limite s'écrit comme suit : $\lim x_n = \lim\limits_(n\to\infty)x_n = a$. Cette notation signifie que la variable $x_n$ tend vers $a$ $x_n\vers a$.

La dérivée de la fonction $f$ au point $x_0$ est appelée la limite suivante :

$\lim\limits_(x\to x_0)\frac(f(x) - f(x_o))(x-x_o)$. Il est noté $f"(x_0)$.

Le nombre $e$ est égal à la limite suivante :

$e=\lim\limits_(x\to\infty) (1+\frac(1)(n))\approx2.718281828459045...$

Dans cette limite, $n$ est un nombre naturel ou réel.

Après avoir maîtrisé les concepts de limite, de dérivée et d'exposant, nous pouvons commencer à prouver la formule $(e^x)"=e^x$.

Dérivation de la dérivée d'une exponentielle à la puissance $x$

Nous avons $e^x$, où $x : -\infty

$y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^(x+\Delta x)-e^x)(\Delta x)$.

Par la propriété de l'exposant $e^(a+bx)=e^a*e^b$ on peut transformer le numérateur de la limite :

$e^(x+\Delta x)-e^x = e^x*e^(\Delta x)-e^x = e^x(e^(\Delta x)-1)$.

Autrement dit, $y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^(x+\Delta x)-e^x)(\Delta x)=\lim\limits_(\Delta x\ à 0) \frac(e^x(e^(\Delta x)-1))(\Delta x)$.

Notons $t=e^(\Delta x)-1$. Nous obtenons $e^(\Delta x)=t+1$, et par la propriété du logarithme, il s'avère que $\Delta x = ln(t+1)$.

Puisque l'exponentielle est continue, nous avons $\lim\limits_(\Delta x\to 0) e^(\Delta x)=e^0=1.$ Par conséquent, si $\Delta x\to 0$, alors $ t \ à 0$.

En conséquence, nous montrons la transformation :

$y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^(\Delta x)-1)(\Delta x)=e^x\lim\limits_(t\to 0)\frac (t)(ln(t+1))$.

Notons $n=\frac (1)(t)$, alors $t=\frac(1)(n)$. Il s'avère que si $t\à 0$, alors $n\à\infty$.

Transformons notre limite :

$y"=e^x\lim\limits_(t\to 0)\frac(t)(ln(t+1))=e^x\lim\limits_(n\to\infty)\frac(1) (n\cdot ln(\frac(1)(n)+1)^n)$.

Par la propriété du logarithme $b\cdot ln c=ln c^b$ on a

$n\cdot ln (\frac(1)(n)+1)=ln(\frac(1)(n)+1)^n=ln(1+\frac(1)(n))^n$ .

La limite est convertie comme suit :

$y"=e^x\lim\limits_(n\to\infty)\frac(1)(n\cdot ln(\frac(1)(n)+1)) = e^x\lim\limits_( n\to\infty)\frac(1)(ln(\frac(1)(n)+1)^n)= e^x\frac(1)(\lim\limits_(n\to\infty) ln (\frac(1)(n)+1)^n)$.

D'après la propriété de continuité du logarithme et la propriété de limites pour une fonction continue : $\lim\limits_(x\to x_0)ln(f(x))=ln(\lim\limits_f(x))$, où $f(x)$ a une limite positive $\lim\limits_(x\to x_0)f(x)$. Ainsi, du fait que le logarithme est continu et qu'il existe une limite positive $\lim\limits_(n\to\infty)(\frac(1)(n)+1)^n$, on peut en déduire :

$\lim\limits_(n\to\infty)ln(1+\frac(1)(n))^n=ln\lim\limits_(n\to\infty)ln(1+\frac(1)( n))^n=ln e=1$.

Utilisons la valeur de la deuxième limite remarquable $\lim\limits_(n\to\infty)(1+\frac(1)(n))^n=e$. On a:

$y"= e^x\frac(1)(\lim\limits_(n\to\infty) ln(\frac(1)(n)+1)^n) = e^x\cdot\frac(1 )(ln e) = e^x\cdot\frac(1)(1)=e^x$.

Ainsi, nous avons dérivé la formule de la dérivée d'une exponentielle et pouvons affirmer que la dérivée d'une exponentielle à la puissance de $x$ est équivalente à la dérivée d'une exponentielle à la puissance de $x$ :

Il existe également d'autres façons de dériver cette formule en utilisant d'autres formules et règles.

Exemple 1

Regardons un exemple de recherche de la dérivée d'une fonction.

Condition: Trouvez la dérivée de la fonction $y=2^x + 3^x + 10^x + e^x$.

Solution: Aux termes $2^x, 3^x$ et $10^x$ on applique la formule $(a^x)"=a^x\cdot ln a$. D'après la formule dérivée $(e^x)" =e^x$ le quatrième terme $e^x$ ne change pas.

Répondre: $y" = 2^x\cdot ln 2 + 3^x\cdot ln 3 + 10^x\cdot ln 10 + e^x$.

Ainsi, nous avons dérivé la formule $(e^x)"=e^x$, tout en donnant des définitions aux concepts de base, et avons analysé un exemple de recherche de la dérivée d'une fonction avec un exposant comme l'un des termes.

Lors de la dérivation de la toute première formule du tableau, nous partirons de la définition de la fonction dérivée en un point. Prenons où X– n'importe quel nombre réel, c'est-à-dire X– n'importe quel nombre du domaine de définition de la fonction. Notons la limite du rapport de l'incrément de la fonction à l'incrément de l'argument à :

Il est à noter que sous le signe limite on obtient l'expression qui n'est pas l'incertitude de zéro divisée par zéro, puisque le numérateur ne contient pas une valeur infinitésimale, mais précisément zéro. Autrement dit, l’incrément d’une fonction constante est toujours nul.

Ainsi, dérivée d'une fonction constanteest égal à zéro dans tout le domaine de définition.

Dérivée d'une fonction puissance.

La formule de la dérivée d'une fonction puissance a la forme , où l'exposant p– n’importe quel nombre réel.

Démontrons d'abord la formule de l'exposant naturel, c'est-à-dire pour p = 1, 2, 3, …

Nous utiliserons la définition de dérivée. Écrivons la limite du rapport de l'incrément d'une fonction puissance à l'incrément de l'argument :

Pour simplifier l'expression au numérateur, on se tourne vers la formule binomiale de Newton :

Ainsi,

Cela prouve la formule de la dérivée d’une fonction puissance pour un exposant naturel.

Dérivée d'une fonction exponentielle.

Nous présentons la dérivation de la formule dérivée basée sur la définition :

Nous sommes arrivés à l’incertitude. Pour le développer, nous introduisons une nouvelle variable, et à . Alors . Lors de la dernière transition, nous avons utilisé la formule de transition vers une nouvelle base logarithmique.

Remplaçons la limite d'origine :

Si l'on rappelle la deuxième limite remarquable, on arrive à la formule de la dérivée de la fonction exponentielle :

Dérivée d'une fonction logarithmique.

Démontrons la formule de la dérivée d'une fonction logarithmique pour tout X du domaine de définition et de toutes les valeurs valides de la base un logarithme Par définition de dérivée on a :

Comme vous l'avez remarqué, lors de la preuve les transformations ont été effectuées en utilisant les propriétés du logarithme. Égalité est vrai en raison de la deuxième limite remarquable.

Dérivées de fonctions trigonométriques.

Pour dériver des formules de dérivées de fonctions trigonométriques, nous devrons rappeler quelques formules trigonométriques, ainsi que la première limite remarquable.

Par définition de la dérivée de la fonction sinus, nous avons .

Utilisons la formule de la différence des sinus :

Reste à se tourner vers la première limite remarquable :

Ainsi, la dérivée de la fonction péché x Il y a parce que x.

La formule de la dérivée du cosinus se prouve exactement de la même manière.

Donc la dérivée de la fonction parce que x Il y a –péché x.

Nous dériverons des formules pour le tableau des dérivées de la tangente et de la cotangente en utilisant des règles de différenciation éprouvées (dérivée d'une fraction).

Dérivées de fonctions hyperboliques.

Les règles de différenciation et la formule de la dérivée de la fonction exponentielle du tableau des dérivées permettent de dériver des formules pour les dérivées du sinus hyperbolique, du cosinus, de la tangente et de la cotangente.

Dérivée de la fonction inverse.

Pour éviter toute confusion lors de la présentation, notons en indice l'argument de la fonction par laquelle la différenciation est effectuée, c'est-à-dire qu'il s'agit de la dérivée de la fonction f(x) Par X.

Formulons maintenant règle pour trouver la dérivée d’une fonction inverse.

Laissez les fonctions y = f(x) Et x = g(y) mutuellement inverses, définis sur les intervalles et respectivement. Si en un point il existe une dérivée finie non nulle de la fonction f(x), alors au point il y a une dérivée finie de la fonction inverse g(y), et . Dans un autre post .

Cette règle peut être reformulée pour tout Xà partir de l'intervalle, alors on obtient .

Vérifions la validité de ces formules.

Trouvons la fonction inverse du logarithme népérien (Ici oui est une fonction, et X- argument). Ayant résolu cette équation pour X, on obtient (ici X est une fonction, et oui– son argument). C'est, et des fonctions mutuellement inverses.

Du tableau des dérivées, nous voyons que Et .

Assurons-nous que les formules pour trouver les dérivées de la fonction inverse nous conduisent aux mêmes résultats :