Niveau III

3.1. L'hyperbole touche les lignes 5 X – 6oui – 16 = 0, 13X – 10oui– – 48 = 0. Notez l'équation de l'hyperbole à condition que ses axes coïncident avec les axes de coordonnées.

3.2. Écrire des équations pour les tangentes à une hyperbole

1) passer par un point UN(4, 1), B(5, 2) et C(5, 6);

2) parallèle à la droite 10 X – 3oui + 9 = 0;

3) perpendiculaire à la droite 10 X – 3oui + 9 = 0.

Parabole est le lieu géométrique des points du plan dont les coordonnées satisfont à l'équation

Paramètres de la parabole :

Point F(p/2, 0) est appelé se concentrer paraboles, magnitude p – paramètre , point À PROPOS(0, 0) – haut . Dans ce cas, la droite DE, par rapport à laquelle la parabole est symétrique, définit l'axe de cette courbe.

Ordre de grandeur Où M(X, oui) – un point arbitraire d’une parabole, appelé rayon focal , droit D: X = –p/2 – directrice (il ne coupe pas la région intérieure de la parabole). Ordre de grandeur s'appelle l'excentricité de la parabole.

La principale propriété caractéristique d'une parabole: tous les points de la parabole sont équidistants de la directrice et du foyer (Fig. 24).

Il existe d'autres formes de l'équation canonique de la parabole qui déterminent d'autres directions de ses branches dans le système de coordonnées (Fig. 25) :

Pour définition paramétrique d'une parabole comme paramètre t la valeur en ordonnée du point de la parabole peut être prise :

Où t est un nombre réel arbitraire.

Exemple 1. Déterminez les paramètres et la forme d'une parabole à l'aide de son équation canonique :

Solution. 1. Équation oui 2 = –8X définit une parabole dont le sommet est au point À PROPOS Oh. Ses branches sont dirigées vers la gauche. En comparant cette équation avec l'équation oui 2 = –2px, on trouve : 2 p = 8, p = 4, p/2 = 2. Par conséquent, l’accent est mis sur le point F(–2 ; 0), équation directrice D: X= 2 (Fig.26).

2. Équation X 2 = –4oui définit une parabole dont le sommet est au point Ô(0 ; 0), symétrique par rapport à l'axe Oy. Ses branches sont dirigées vers le bas. En comparant cette équation avec l'équation X 2 = –2py, on trouve : 2 p = 4, p = 2, p/2 = 1. Par conséquent, l’accent est mis sur le point F(0 ; –1), équation directrice D: oui= 1 (Fig. 27).

Exemple 2. Déterminer les paramètres et le type de courbe X 2 + 8X – 16oui– 32 = 0. Faites un dessin.

Solution. Transformons le côté gauche de l'équation en utilisant la méthode d'extraction du carré complet :

X 2 + 8X– 16oui – 32 =0;

(X + 4) 2 – 16 – 16oui – 32 =0;

(X + 4) 2 – 16oui – 48 =0;

(X + 4) 2 – 16(oui + 3).

En conséquence nous obtenons

(X + 4) 2 = 16(oui + 3).

C'est l'équation canonique d'une parabole dont le sommet est au point (–4, –3), le paramètre p= 8, branches pointant vers le haut (), axe X= –4. L'accent est mis sur le point F(–4; –3 + p/2), c'est-à-dire F(–4 ; 1) Directrice D donné par l'équation oui = –3 – p/2 ou oui= –7 (Fig. 28).

Exemple 4.Écrire une équation pour une parabole dont le sommet est au point V(3 ; –2) et concentrez-vous sur le point F(1; –2).

Solution. Le sommet et le foyer d'une parabole donnée se trouvent sur une droite parallèle à l'axe Bœuf(mêmes ordonnées), les branches de la parabole sont dirigées vers la gauche (l'abscisse du foyer est inférieure à l'abscisse du sommet), la distance du foyer au sommet est p/2 = 3 – 1 = 2, p= 4. Par conséquent, l'équation requise

(oui+ 2) 2 = –2 4( X– 3) ou ( oui + 2) 2 = = –8(X – 3).

Tâches pour une solution indépendante

je nivelle

1.1. Déterminez les paramètres de la parabole et construisez-la :

1) oui 2 = 2X; 2) oui 2 = –3X;

3) X 2 = 6oui; 4) X 2 = –oui.

1.2. Écrivez l'équation d'une parabole dont le sommet est à l'origine si vous savez que :

1) la parabole est située dans le demi-plan gauche symétriquement par rapport à l'axe Bœuf Et p = 4;

2) la parabole est située symétriquement par rapport à l'axe Oy et passe par le point M(4; –2).

3) la directrice est donnée par l'équation 3 oui + 4 = 0.

1.3. Écrire une équation pour une courbe dont tous les points sont équidistants du point (2 ; 0) et de la droite X = –2.

Niveau II

2.1. Déterminez le type et les paramètres de la courbe.

Je suggère au reste des lecteurs d'élargir considérablement leurs connaissances scolaires sur les paraboles et les hyperboles. Hyperbole et parabole : sont-elles simples ? ...Je ne peux pas attendre =)

Hyperbole et son équation canonique

La structure générale de la présentation du matériel ressemblera au paragraphe précédent. Commençons par le concept général d'une hyperbole et la tâche de sa construction.

L'équation canonique d'une hyperbole a la forme , où sont des nombres réels positifs. Veuillez noter que, contrairement à ellipse, la condition n'est pas imposée ici, c'est-à-dire que la valeur de « a » peut être inférieure à la valeur de « be ».

Je dois dire, de manière assez inattendue... l'équation de l'hyperbole « scolaire » ne ressemble même pas beaucoup à la notation canonique. Mais ce mystère devra encore nous attendre, mais pour l’instant grattons-nous la tête et rappelons-nous quelles sont les caractéristiques de la courbe en question ? Diffusons-le sur l'écran de notre imagination graphique d'une fonction ….

Une hyperbole a deux branches symétriques.

Pas mal de progrès ! Toute hyperbole a ces propriétés, et maintenant nous allons regarder avec une véritable admiration le décolleté de cette ligne :

Exemple 4

Construire l'hyperbole donnée par l'équation

Solution: dans un premier temps, nous mettons cette équation sous forme canonique. N'oubliez pas la procédure standard. Sur la droite, vous devez obtenir « un », nous divisons donc les deux côtés de l'équation originale par 20 :

Ici, vous pouvez réduire les deux fractions, mais il est plus optimal de faire chacune d'elles trois étages:

Et seulement après cela, effectuez la réduction :

Sélectionnez les carrés dans les dénominateurs :

Pourquoi est-il préférable de réaliser des transformations de cette façon ? Après tout, les fractions du côté gauche peuvent être immédiatement réduites et obtenues. Le fait est que dans l'exemple considéré, nous avons eu un peu de chance : le nombre 20 est divisible à la fois par 4 et par 5. Dans le cas général, un tel nombre ne fonctionne pas. Considérons, par exemple, l'équation . Ici avec la divisibilité tout est plus triste et sans fractions de trois étages ce n'est plus possible :

Alors, utilisons le fruit de notre travail - l'équation canonique :

Comment construire une hyperbole ?

Il existe deux approches pour construire une hyperbole : géométrique et algébrique.
D'un point de vue pratique, dessiner au compas... Je dirais même utopique, il est donc bien plus rentable de recourir encore une fois à des calculs simples pour s'aider.

Il est conseillé de respecter l'algorithme suivant, d'abord le dessin terminé, puis les commentaires :

En pratique, on rencontre souvent une combinaison de rotation d'un angle arbitraire et de translation parallèle de l'hyperbole. Cette situation est discutée en classe Réduire l'équation de la droite du 2ème ordre à la forme canonique.

Parabole et son équation canonique

C'est fini! C'est la bonne. Prêt à révéler de nombreux secrets. L'équation canonique d'une parabole a la forme , où est un nombre réel. Il est facile de remarquer que dans sa position standard la parabole « repose sur le côté » et que son sommet est à l'origine. Dans ce cas, la fonction spécifie la branche supérieure de cette ligne, et la fonction – la branche inférieure. Il est évident que la parabole est symétrique par rapport à l’axe. En fait, pourquoi s'embêter :

Exemple 6

Construire une parabole

Solution: le sommet est connu, trouvons des points supplémentaires. L'équation détermine l'arc supérieur de la parabole, l'équation détermine l'arc inférieur.

Afin de raccourcir l'enregistrement des calculs, nous effectuerons les calculs « avec un seul pinceau » :

Pour un enregistrement compact, les résultats pourraient être résumés dans un tableau.

Avant d’effectuer un dessin élémentaire point par point, formulons un schéma strict

définition de la parabole :

Une parabole est l'ensemble de tous les points du plan qui sont équidistants d'un point donné et d'une ligne donnée qui ne passe pas par ce point.

Le point s'appelle se concentrer paraboles, ligne droite - directrice (écrit avec un "es") paraboles. La constante "pe" de l'équation canonique est appelée paramètre focal, qui est égale à la distance du foyer à la directrice. Dans ce cas . Dans ce cas, le foyer a des coordonnées , et la directrice est donnée par l'équation .
Dans notre exemple :

La définition d’une parabole est encore plus simple à comprendre que celles d’une ellipse et d’une hyperbole. Pour tout point d'une parabole, la longueur du segment (la distance du foyer au point) est égale à la longueur de la perpendiculaire (la distance du point à la directrice) :

Toutes nos félicitations! Vous êtes nombreux à avoir fait une véritable découverte aujourd’hui. Il s'avère qu'une hyperbole et une parabole ne sont pas du tout des graphiques de fonctions « ordinaires », mais ont une origine géométrique prononcée.

Évidemment, à mesure que le paramètre focal augmente, les branches du graphique « monteront » de haut en bas, se rapprochant infiniment de l’axe. À mesure que la valeur « pe » diminue, ils commenceront à se comprimer et à s'étirer le long de l'axe.

L'excentricité de toute parabole est égale à l'unité :

Rotation et translation parallèle d'une parabole

La parabole est l’une des droites les plus courantes en mathématiques et vous devrez la construire très souvent. Par conséquent, veuillez accorder une attention particulière au dernier paragraphe de la leçon, où je discuterai des options typiques pour l'emplacement de cette courbe.

! Note : comme dans les cas des courbes précédentes, il est plus correct de parler de rotation et de translation parallèle des axes de coordonnées, mais l'auteur se limitera à une version simplifiée de la présentation afin que le lecteur ait une compréhension de base de ces transformations.

Une fonction de la forme où est appelée fonction quadratique.

Graphique d'une fonction quadratique – parabole.

Considérons les cas :

I CASE, PARABOLE CLASSIQUE

C'est , ,

Pour construire, remplissez le tableau en substituant les valeurs x dans la formule :

Marquez les points (0;0); (1;1); (-1;1), etc. sur le plan de coordonnées (plus on fait un pas petit avec les valeurs x (dans ce cas, l'étape 1), et plus on prend de valeurs x, plus la courbe sera lisse), on obtient une parabole :

Il est facile de voir que si l'on prend le cas , , , alors on obtient une parabole symétrique par rapport à l'axe (oh). Il est facile de le vérifier en remplissant un tableau similaire :

II CAS, « a » EST DIFFÉRENT DE L'UNITÉ

Que se passera-t-il si nous prenons , , ? Comment le comportement de la parabole va-t-il changer ? Avec title="(!LANG : Rendu par QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

Sur la première image (voir ci-dessus) on voit clairement que les points du tableau de la parabole (1;1), (-1;1) ont été transformés en points (1;4), (1;-4), c'est-à-dire qu'avec les mêmes valeurs, l'ordonnée de chaque point est multipliée par 4. Cela arrivera à tous les points clés du tableau d'origine. Nous raisonnons de la même manière dans les cas des images 2 et 3.

Et quand la parabole « devient plus large » que la parabole :

Résumons :

1)Le signe du coefficient détermine la direction des branches. Avec title="(!LANG : Rendu par QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Valeur absolue Le coefficient (module) est responsable de la « dilatation » et de la « compression » de la parabole. Plus , plus la parabole est étroite ; plus |a| est petite, plus la parabole est large.

CAS III, « C » APPARAÎT

Introduisons maintenant dans le jeu (c'est-à-dire considérons le cas où), nous considérerons des paraboles de la forme . Il n'est pas difficile de deviner (vous pouvez toujours vous référer au tableau) que la parabole se déplacera vers le haut ou vers le bas le long de l'axe selon le signe :

CAS IV, « b » APPARAÎT

Quand la parabole va-t-elle « se détacher » de l'axe et finalement « marcher » le long de tout le plan de coordonnées ? Quand cessera-t-il d’être égal ?

Ici, pour construire une parabole, nous avons besoin formule de calcul du sommet : , .

Donc à ce stade (comme au point (0;0) du nouveau système de coordonnées), nous allons construire une parabole, ce que nous pouvons déjà faire. Si nous traitons du cas, alors à partir du sommet, nous plaçons un segment unitaire vers la droite, un vers le haut, - le point résultant est le nôtre (de même, un pas vers la gauche, un pas vers le haut est notre point) ; si nous avons affaire, par exemple, à partir du sommet, nous plaçons un segment unitaire vers la droite, deux vers le haut, etc.

Par exemple, le sommet d'une parabole :

Maintenant, la principale chose à comprendre est qu'à ce sommet, nous allons construire une parabole selon le modèle de parabole, car dans notre cas.

Lors de la construction d'une parabole après avoir trouvé les coordonnées du sommet trèsIl convient de considérer les points suivants :

1) parabole je passerai certainement par le point . En effet, en substituant x=0 dans la formule, nous obtenons que . C'est-à-dire que l'ordonnée du point d'intersection de la parabole avec l'axe (oy) est . Dans notre exemple (ci-dessus), la parabole coupe l'ordonnée au point , puisque .

2) axe de symétrie paraboles est une ligne droite, donc tous les points de la parabole seront symétriques par rapport à elle. Dans notre exemple, on prend immédiatement le point (0 ; -2) et on le construit symétriquement par rapport à l'axe de symétrie de la parabole, on obtient le point (4 ; -2) par lequel passera la parabole.

3) En égalant à , on retrouve les points d'intersection de la parabole avec l'axe (oh). Pour ce faire, nous résolvons l’équation. En fonction du discriminant, nous obtiendrons un (, ), deux ( title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . Dans l'exemple précédent, notre racine du discriminant n'est pas un entier ; lors de la construction, cela n'a pas beaucoup de sens pour nous de trouver les racines, mais on voit bien que nous aurons deux points d'intersection avec l'axe (oh) (depuis title="(!LANG : Rendu par QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Alors trouvons une solution

Algorithme de construction d'une parabole si elle est donnée sous la forme

1) déterminer la direction des branches (a>0 – vers le haut, a<0 – вниз)

2) on trouve les coordonnées du sommet de la parabole à l'aide de la formule , .

3) on trouve le point d'intersection de la parabole avec l'axe (oy) à l'aide du terme libre, on construit un point symétrique à ce point par rapport à l'axe de symétrie de la parabole (à noter qu'il arrive qu'il ne soit pas rentable de marquer ce point par exemple, car la valeur est grande... on saute ce point...)

4) Au point trouvé - le sommet de la parabole (comme au point (0;0) du nouveau système de coordonnées), nous construisons une parabole. Si title="(!LANG : Rendu par QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) On retrouve les points d'intersection de la parabole avec l'axe (oy) (s'ils n'ont pas encore « fait surface ») en résolvant l'équation

Exemple 1

Exemple 2

Note 1. Si la parabole nous est initialement donnée sous la forme , où sont des nombres (par exemple, ), alors il sera encore plus facile de la construire, car on nous a déjà donné les coordonnées du sommet . Pourquoi?

Prenons un trinôme quadratique et isolons le carré complet qu'il contient : Regardez, nous avons ça , . Vous et moi appelions auparavant le sommet d'une parabole, c'est-à-dire maintenant.

Par exemple, . On marque le sommet de la parabole sur le plan, on comprend que les branches sont dirigées vers le bas, la parabole est élargie (par rapport à ). C'est-à-dire que nous réalisons les points 1 ; 3 ; 4 ; 5 de l'algorithme de construction d'une parabole (voir ci-dessus).

Note 2. Si la parabole est donnée sous une forme similaire à celle-ci (c'est-à-dire présentée comme un produit de deux facteurs linéaires), alors nous voyons immédiatement les points d'intersection de la parabole avec l'axe (bœuf). Dans ce cas – (0;0) et (4;0). Pour le reste, nous agissons selon l'algorithme en ouvrant les parenthèses.

6. Théorème sur la décomposition d'un déterminant en une somme de déterminants et ses conséquences.

7. Le théorème sur le développement du déterminant en éléments d'une ligne (colonne) et ses conséquences.

8. Opérations sur les matrices et leurs propriétés. Prouvez-en un.

9. Opération de transposition matricielle et ses propriétés.

10. Définition d'une matrice inverse. Montrer que toute matrice inversible n’a qu’une seule inversion.

13. Matrices de blocs. Addition et multiplication de matrices de blocs. Théorème sur le déterminant d'une matrice quasi-triangulaire.

14. Théorème sur le déterminant du produit des matrices.

15. Théorème sur l'existence d'une matrice inverse.

16.Détermination du rang matriciel. Le théorème sur la base mineure et son corollaire.

17. Le concept de dépendance linéaire des lignes et des colonnes d'une matrice. Théorème du rang matriciel.

18. Méthodes de calcul du rang d'une matrice : la méthode des mineurs limitrophes, la méthode des transformations élémentaires.

19. Application de transformations élémentaires de lignes uniquement (colonnes uniquement) pour trouver la matrice inverse.

20. Systèmes d'équations linéaires. Le critère de compatibilité et le critère de certitude.

21. Solution d'un système conjoint d'équations linéaires.

22. Systèmes homogènes d'équations linéaires. Théorème sur l'existence d'un système fondamental de solutions.

23. Opérations linéaires sur les vecteurs et leurs propriétés. Prouvez-en un.

24. Détermination de la différence entre deux vecteurs. Montrer que pour tous les vecteurs, la différence existe et est unique.

25. Définition de la base, coordonnées vectorielles dans la base. Théorème de la décomposition d'un vecteur par rapport à une base.

26. Dépendance linéaire des vecteurs. Les propriétés du concept de dépendance linéaire en prouvent une.

28. Systèmes de coordonnées cartésiennes dans l'espace, sur un plan et sur une ligne. Théorème sur la combinaison linéaire de vecteurs et ses conséquences.

29. Dériver des formules exprimant les coordonnées d'un point dans un DCS à travers les coordonnées du même point dans un autre DCS.

30. Produit scalaire de vecteurs. Définition et propriétés de base.

31. Produit croisé de vecteurs. Définition et propriétés de base.

32. Produit mixte de vecteurs. Définition et propriétés de base.

33. Double produit vectoriel de vecteurs. Définition et formule de calcul (sans preuve).

34. Lignes et surfaces algébriques. Théorèmes sur l'invariance (immuabilité) de l'ordre.

35. Équations générales d'un plan et d'une droite.

36. Équations paramétriques d'une droite et d'un plan.

37. Transition des équations générales d'un plan et d'une droite sur un plan à leurs équations paramétriques. La signification géométrique des coefficients a, b, c (a, b) dans l'équation générale d'un plan (droite sur un plan).

38. Élimination d'un paramètre des équations paramétriques sur un plan (dans l'espace), équations canoniques d'une droite.

39. Équations vectorielles d'une droite et d'un plan.

40. Équations générales d'une droite dans l'espace, réduction à la forme canonique.

41. Distance d'un point à un plan. Distance d'un point à une ligne. Autres problèmes concernant les lignes et les avions.

42. Définition d'une ellipse. Équation canonique d'une ellipse. Equations paramétriques de l'ellipse. Excentricité de l'ellipse.

44. Définition d'une parabole. Dérivation de l'équation canonique de la parabole.

45. Courbes du second ordre et leur classification. Le théorème principal sur le kvp.

45. Surfaces du second ordre et leur classification. Le théorème principal du PvP. Surfaces de rotation.

47.Définition de l'espace linéaire. Exemples.

49. Définition de l'espace euclidien. Longueur du vecteur. Angle entre les vecteurs. Inégalité de Cauchy-Bunyakovsky. Exemple.

50. Définition de l'espace euclidien. Théorème de Pythagore. Exemple d'inégalité triangulaire.

44. Définition d'une parabole. Dérivation de l'équation canonique de la parabole.

Définition: Une parabole est le lieu des points d'un plan pour lesquels la distance à un point fixe F de ce plan est égale à la distance à une droite fixe. Le point F est appelé foyer de la parabole et la ligne fixe est appelée directrice de la parabole.

Pour dériver l'équation, construisons :

AVEC selon la définition :

Puisque 2 >=0, la parabole se situe dans le demi-plan droit. Lorsque x augmente de 0 à l'infini
. La parabole est symétrique par rapport à Ox. Le point d'intersection d'une parabole avec son axe de symétrie est appelé sommet de la parabole.

45. Courbes du second ordre et leur classification. Le théorème principal sur le kvp.

Il existe 8 types de KVP :

1.ellipses

2.hyperboles

3.paraboles

Les courbes 1,2,3 sont des sections canoniques. Si l'on coupe le cône avec un plan parallèle à l'axe du cône, on obtient une hyperbole. Si le plan est parallèle à la génératrice, alors c'est une parabole. Tous les plans ne passent pas par le sommet du cône. S’il s’agit d’un autre plan, alors c’est une ellipse.

4. paire de droites parallèles y 2 +a 2 =0, a0

5. paire de droites sécantes y 2 -k 2 x 2 =0

6.une droite y 2 =0

7.un point x 2 + y 2 =0

8. ensemble vide - courbe vide (courbe sans points) x 2 + y 2 +1=0 ou x 2 + 1=0

Théorème (théorème principal sur KVP) :Équation de la forme

un 11 X 2 + 2 un 12 x y + une 22 oui 2 + 2 un 1 x + 2a 2 oui + un 0 = 0

ne peut représenter qu’une courbe d’un de ces huit types.

Idée de preuve est de passer à un système de coordonnées dans lequel l'équation KVP prendra la forme la plus simple, lorsque le type de courbe qu'elle représente deviendra évident. Le théorème est prouvé en faisant tourner le système de coordonnées d'un angle auquel le terme avec le produit des coordonnées disparaît. Et avec l'aide du transfert parallèle du système de coordonnées dans lequel disparaît soit le terme avec la variable x, soit le terme avec la variable y.

Transition vers un nouveau système de coordonnées : 1. Transfert parallèle

2. Rotation

45. Surfaces du second ordre et leur classification. Le théorème principal du PvP. Surfaces de rotation.

P. VP - un ensemble de points dont les coordonnées rectangulaires satisfont à l'équation du 2ème degré : (1)

On suppose qu'au moins un des coefficients des carrés ou des produits est différent de 0. L'équation est invariante quant au choix du système de coordonnées.

Théorème Tout plan coupe le PVP le long du CVP, à l'exception d'un cas particulier où tout le plan est dans la section (le PVP peut être un plan ou une paire de plans).

Il existe 15 types de PvP. Listons-les, en indiquant les équations par lesquelles ils sont spécifiés dans des systèmes de coordonnées appropriés. Ces équations sont dites canoniques (les plus simples). Construire des images géométriques correspondant à des équations canoniques en utilisant la méthode des sections parallèles : Intersecter la surface avec des plans de coordonnées et des plans qui leur sont parallèles. Le résultat est des sections et des courbes qui donnent une idée de la forme de la surface.

1. Ellipsoïde.

Si a=b=c alors nous obtenons une sphère.

2. Hyperboloïdes.

1). Hyperboloïde à feuille unique :

Coupe d'un hyperboloïde monofeuillet par plans de coordonnées : XOZ :
- hyperbole.

YOZ :
- hyperbole.

Avion XOY :
- une ellipse.

2). Hyperboloïde à deux feuilles.

L'origine est un point de symétrie.

Les plans de coordonnées sont des plans de symétrie.

Avion z = h coupe un hyperboloïde le long d'une ellipse
, c'est à dire. avion z = h commence à couper l'hyperboloïde à | h |  c. Coupe d'un hyperboloïde par plans X = 0 Et oui = 0 - ce sont des hyperboles.

Les nombres a, b, c dans les équations (2), (3), (4) sont appelés les demi-axes des ellipsoïdes et des hyperboloïdes.

3. Paraboloïdes.

1). Paraboloïde elliptique :

Coupe du plan z = h Il y a
, Où
. D’après l’équation, il ressort clairement que z  0 est un bol infini.

Intersection d'avions oui = h Et X= h
- c'est une parabole et en général

2). Paraboloïde hyperbolique :

Evidemment, les plans XOZ et YOZ sont des plans de symétrie, l'axe z est l'axe du paraboloïde. Intersection d'un paraboloïde avec un plan z = h– hyperboles :
,
. Avion z=0 coupe un paraboloïde hyperbolique selon deux axes
qui sont des asymptotes.

4. Cône et cylindres du second ordre.

1). Un cône est une surface
. Le cône est formé de droites passant par l’origine 0 (0, 0, 0). La section transversale d'un cône est une ellipse à demi-axes
.

2). Cylindres de deuxième ordre.

C'est un cylindre elliptique
.

Quelle que soit la ligne que nous prenons qui coupe les ellipses et est parallèle à l’axe Oz, elle satisfait à cette équation. En déplaçant cette droite autour de l’ellipse on obtient une surface.

g cylindre hyperbolique :

Sur le plan XOU, c'est une hyperbole. Nous déplaçons la ligne droite coupant l'hyperbole parallèlement à Oz le long de l'hyperbole.

Cylindre parabolique :

N et le plan XOU est une parabole.

Les surfaces cylindriques sont formées par une ligne droite (générative) se déplaçant parallèlement à elle-même le long d'une certaine ligne droite (guide).

10. Paire de plans sécants

11.Paire de plans parallèles

12.
- droit

13. Ligne droite - un « cylindre » construit sur un seul point

14.Un point

15.Ensemble vide

Le théorème principal du PVP : Chaque PVP appartient à l'un des 15 types évoqués ci-dessus. Il n'y a pas d'autre PVP.

Surfaces de rotation. Soit le PDSC Oxyz et dans le plan Oyz la droite e définie par l'équation F(y,z)=0 (1). Créons une équation pour la surface obtenue en faisant tourner cette ligne autour de l'axe Oz. Prenons un point M(y,z) sur la droite e. Lorsque le plan Oyz tourne autour de Oz, le point M décrira un cercle. Soit N(X,Y,Z) un point arbitraire de ce cercle. Il est clair que z=Z.

.

En substituant les valeurs trouvées de z et y dans l'équation (1), nous obtenons l'égalité correcte :
ceux. les coordonnées du point N satisfont à l'équation
. Ainsi, tout point sur la surface de rotation satisfait à l’équation (2). Il n'est pas difficile de prouver que si un point N(x 1 ,y 1 ,z 1) satisfait à l'équation (2) alors il appartient à la surface considérée. Nous pouvons maintenant dire que l’équation (2) est l’équation souhaitée pour la surface de révolution.

"

Une parabole est le lieu des points du plan équidistants d'un point F donné.

et une droite donnée ne passe pas par un point donné. Cette définition géométrique exprime propriété directrice d'une parabole.

Propriété directrice des paraboles

Le point F est appelé foyer de la parabole, la ligne d est la directrice de la parabole, le milieu O de la perpendiculaire abaissée du foyer à la directrice est le sommet de la parabole, la distance p du foyer à la directrice est le paramètre de la parabole, et la distance p2 du sommet de la parabole à son foyer est la distance focale. La droite perpendiculaire à la directrice et passant par le foyer est appelée axe de la parabole (axe focal de la parabole). Le segment FM reliant un point arbitraire M d'une parabole à son foyer est appelé rayon focal du point

M. Le segment reliant deux points d'une parabole est appelé corde de la parabole.

Pour un point arbitraire d'une parabole, le rapport entre la distance au foyer et la distance à la directrice est égal à un. En comparant les propriétés directrices de l’ellipse, de l’hyperbole et de la parabole, nous concluons que excentricité de la parabole par définition égal à un

Définition géométrique d'une parabole, exprimant sa propriété directrice, équivaut à sa définition analytique - la droite définie par l'équation canonique d'une parabole :

Propriétés

• Il possède un axe de symétrie appelé l'axe de la parabole. L'axe passe par le foyer et le sommet perpendiculairement à la directrice.
• Propriété optique. Un faisceau de rayons parallèles à l'axe de la parabole, réfléchi dans la parabole, est collecté en son foyer. Et vice versa, la lumière d'une source située au foyer est réfléchie par une parabole en un faisceau de rayons parallèle à son axe.
• Si le foyer de la parabole est réfléchi par rapport à la tangente, alors son image se trouvera sur la directrice.
• Un segment reliant le milieu d'une corde arbitraire d'une parabole et le point d'intersection des tangentes à celle-ci aux extrémités de cette corde est perpendiculaire à la directrice, et son milieu se trouve sur la parabole.
• Une parabole est l'antipode d'une droite.
• Toutes les paraboles sont similaires. La distance entre le foyer et la directrice détermine l'échelle.

Fonction d'une variable réelle : concepts de base, exemples.

Définition : Si chaque valeur x d'un ensemble numérique X, selon la règle f, correspond à un seul nombre de l'ensemble Y, alors on dit que la fonction y = f(x) est donnée sur l'ensemble numérique X, les valeurs ​​de x sont déterminés par l'ensemble des valeurs incluses dans le domaine de définition de la fonction (X).
Dans ce cas, x est appelé l’argument et y est la valeur de la fonction. L'ensemble X est appelé le domaine de définition de la fonction, Y est l'ensemble des valeurs de la fonction.
Cette règle est souvent donnée par une formule ; par exemple, y = 2x + 5. Cette méthode de spécification d'une fonction à l'aide d'une formule est appelée analytique.
Une fonction peut également être spécifiée par un graphe - Le graphe d'une fonction y - f(x) est l'ensemble des points du plan dont les coordonnées x satisfont la relation y = f(x).