Рассмотрим случай, о котором мы уже говорили (рис. 5.6).

Сначала замкнем соленоид L на источник ЭДС , в нем будет протекать ток . Затем в момент времени переключим ключ в положение 2 – замкнем соленоид на сопротивление R . В цепи будет течь убывающий ток I . При этом будет совершена работа: , или

Выразим энергию магнитного поля через параметры магнитного поля. Для соленоида:

.

; отсюда

Подставим эти значения в формулу (5.5.3):

но т.к. , то

Энергия однородного магнитного поля в длинном соленоиде может быть рассчитана по формуле

Плотность энергии магнитного поля в соленоиде с сердечником будет складываться из энергии поля в вакууме и в магнетике сердечника:

, отсюда .

Т.к. в вакууме , имеем

Контрольные вопросы

1. Какие опыты Фарадея легли в основу открытия явления электромагнитной индукции?

2. Что является причиной возникновения ЭДС индукции в замкнутом проводящем контуре? От чего и как зависит ЭДС индукции, возникающая в контуре?

3. В чем заключается явление электромагнитной индукции?

4. Почему для обнаружения индукционного тока лучше использовать замкнутый проводник в виде катушки, а не в виде одного витка провода?

5. Сформулируйте правило Ленца, проиллюстрировав его примерами.

6. Как направлен индукционный ток?

7. Всегда ли при изменении магнитной индукции в проводящем контуре в нем возникает ЭДС индукции? индукционный ток?

8. Чему равна ЭДС индукции контура?

9. Сформулируйте закон Ома для контура.

10. Как связано направление индукционного тока и направление скорости изменения потока магнитной индукции?

11. Сформулируйте закон Фарадея для контура с током, состоящего из одного и нескольких витков.

12. Возникает ли индукционный ток в проводящей рамке, поступательно движущейся в однородном магнитном поле?

13. Покажите, что закон Фарадея есть следствие закона сохранения энергии.

14. Какова природа ЭДС электромагнитной индукции?

15. Выведите выражение для ЭДС индукции в плоской рамке, равномерно вращающейся в однородном магнитном поле. За счет чего ее можно увеличить?

16. Что такое вихревые токи? Вредны они или полезны?

17. Почему сердечники трансформаторов не делают сплошными?

18. Какое явление называется скин-эффектом?

19. Произведите классификацию ускорителей.

20. Каковы параметры линейных ускорителей.

21. Когда заряженная частица движется в магнитном поле по спирали? От чего зависит шаг спирали? Ответы подтвердите выводами формул.

22. Что такое ускорители заряженных частиц? Какие они бывают и чем характеризуются?

23. Почему для ускорения электронов не применяются циклотроны?

24. В чем заключается принцип автофазировки? Где он используется?

25. Когда ЭДС самоиндукции больше – при замыкании или размыкании цепи постоянного тока?

26. В чем заключается физический смысл индуктивности контура? взаимной индуктивности двух контуров? От чего они зависят?

27. В чем заключаются явления самоиндукции и взаимной индукции? Вычислите ЭДС индукции для обоих случаев.

28. В чем заключается физический смысл времени релаксации ? Докажите, что имеет размерность времени.

29. Запишите и проанализируйте выражения для объемной плотности энергии электростатического и магнитного полей. Чему равна объемная плотность энергии электромагнитного поля?

30. Напряженность магнитного поля возросла в два раза. Как изменилась объемная плотность энергии магнитного поля?

31. Приведите соотношение между точками в первичной и вторичной обмотках повышающего трансформатора.

В таблице 5.1 приведены сравнительные характеристики электрического и магнитного полей.

Таблица 5.1

Электрическое поле	Формулы и обозначения	Магнитное поле	Формулы и обозначения
Точечный заряд
Электрическая постоянная		Магнитная постоянная
Диэлектрическая проницаемость		Магнитная проницаемость
Диэлектрическая восприимчивость		Магнитная восприимчивость
Взаимодействие точечных зарядов		Взаимодействие токов
Силовая характеристика электрич. поля

Магнитная энергия катушки.

При размыкании ключа K лампа ярко вспыхивает

Что собой представляет энергия катушки с током? В начальный момент времени по катушке идет ток , который создает магнитное поле. Исчезновение тока в катушке означает исчезновение магнитного поля. Значит, энергия катушки с током – это энергия её магнитного поля, она может быть найдена как работа убывающего тока

(8)

Для катушки
,
,


,

Объемная плотность энергии

, . (9)

Суммарная плотность энергии электрического и магнитного (электромагнитного) поля

(10)

Глава 1. Электродинамика Магнитное поле

1.21. Самоиндукция. Энергия магнитного поля

Самоиндукция является важным частным случаем электромагнитной индукции, когда изменяющийся магнитный поток, вызывающий ЭДС индукции, создается током в самом контуре. Если ток в рассматриваемом контуре по каким-то причинам изменяется, то изменяется и магнитное поле этого тока, а, следовательно, и собственный магнитный поток, пронизывающий контур. В контуре возникает ЭДС самоиндукции, которая согласно правилу Ленца препятствует изменению тока в контуре.

Собственный магнитный поток Φ, пронизывающий контур или катушку с током, пропорционален силе тока I :

В качестве примера рассчитаем индуктивность длинного соленоида, имеющего N витков, площадь сечения S и длину l . Магнитное поле соленоида определяется формулой (см. § 1.17 )

Следовательно, индуктивность соленоида равна

L = μ 0 n 2 Sl = μ 0 n 2 V ,

где V = Sl – объем соленоида, в котором сосредоточено магнитное поле. Полученный результат не учитывает краевых эффектов, поэтому он приближенно справедлив только для достаточно длинных катушек. Если соленоид заполнен веществом с магнитной проницаемостью μ, то при заданном токе I индукция магнитного поля возрастает по модулю в μ раз (см. § 1.17 ); поэтому индуктивность катушки с сердечником также увеличивается в μ раз:

ЭДС самоиндукции прямо пропорциональна индуктивности катушки и скорости изменения силы тока в ней.

Магнитное поле обладает энергией. Подобно тому, как в заряженном конденсаторе имеется запас электрической энергии, в катушке, по виткам которой протекает ток, имеется запас магнитной энергии. Если включить электрическую лампу параллельно катушке с большой индуктивностью в электрическую цепь постоянного тока, то при размыкании ключа наблюдается кратковременная вспышка лампы (рис. 1.21.1). Ток в цепи возникает под действием ЭДС самоиндукции. Источником энергии, выделяющейся при этом в электрической цепи, является магнитное поле катушки.

Из закона сохранения энергии следует, что вся энергия, запасенная в катушке, выделится в виде джоулева тепла. Если обозначить через R полное сопротивление цепи, то за время Δt выделится количество теплоты ΔQ = I 2 R Δt .

Ток в цепи равен

В этом выражении ΔI < 0; ток в цепи постепенно убывает от первоначального значения I 0 до нуля. Полное количество теплоты, выделившейся в цепи, можно получить, выполнив операцию интегрирования в пределах от I 0 до 0. Это дает

Таким образом, энергия W м магнитного поля катушки с индуктивностью L , создаваемого током I , равна

где V – объем соленоида. Это выражение показывает, что магнитная энергия локализована не в витках катушки, по которым протекает ток, а рассредоточена по всему объему, в котором создано магнитное поле. Физическая величина

равная энергии магнитного поля в единице объема, называется объемной плотностью магнитной энергии . Дж. Максвелл показал, что выражение для объемной плотности магнитной энергии, выведенное здесь для случая длинного соленоида, справедливо для любых магнитных полей.

Электрический ток обладает запасом так называемой магнитной энергии. Если в процессе вычисления данной энергии принимать все провода за идеально проводящие, то это не повлияет на результат, по той причине, что магнитная энергия зависима лишь от величины и распределения токов, а также от магнитных свойств заполняющей пространство среды.

Вывод формулы энергии магнитного поля

Для начала рассмотрим случай с одиночным неподвижным замкнутым контуром (витком проводника).

Пример 1

Пускай изначально сила тока в нем равняется нулю. Не важно каким способом доводим значение тока в витке до I . Вместе с ростом тока в контуре повышается и значение магнитного потока Ф, проходящего через него. Возникает электродвижущая сила (ЭДС) индукции. Элементарная работа, производимая внешним источником против ЭДС индукции, будет эквивалентна следующему выражению: δ A в н е ш = - ε и н д I d t .

Применяя закон Фарадея, выводим: δ A в н е ш = 1 c I d Φ .

Данное соотношение носит общий характер. Оно является справедливым и для ферромагнитных материалов, ведь в процессе его вывода относительно магнитных свойств среды не вводилось никаких предположений. Однако стоит отметить, что в случае, когда среда не обладает гистерезисом, к примеру, являясь пара- или диамагнетиком, δ A в н е ш будет применяться исключительно в целях роста значения магнитной энергии W m , соответственно:

d W m = I c d Φ .

Исходя из условий закона Био-Савара-Лапласа, можно заявить, что индукция магнитного поля тока линейно зависима от силы тока. В условиях переменной силы тока, протекающего по жесткому неподвижному контуру, картина силовых линий не претерпевает изменений, а индукция в каждой точке прогрессирует пропорционально силе тока. Соответственно, поток магнитной индукции Ф, проходящий через неизменную и недвижимую площадь, тоже пропорционален силе тока, по этой причине: Φ = L I c ,

где L представляет собой индуктивность контура, постоянный коэффициент пропорциональности, не обладающий зависимостью от силы тока и индукции магнитного поля. Подставим (5) в (4) , получим:

Из формулы (6) следует, что:

Определение 1

Формула W m = L 2 I c 2 = 1 2 c определяет энергию магнитного поля, формирующегося током (I) , который протекает по контуру с индуктивностью L .

Формула W m = L 2 I c 2 = 1 2 c может быть записана в следующем виде: W m = 1 c ∫ ∑ I i " d Φ i " .

Для справедливости формул W m = L 2 I c 2 = 1 2 c и I Φ = Φ 2 2 L незначительно, что виток в процессе возрастания тока остается неподвижным, по той причине, что энергия зависима лишь от состояния системы, а не от способа достижения такого состояния.

Примеры решения задач

Пример 2

Задание: Сила тока в витке эквивалентна I = 1 А. Магнитный поток Ф, проходящий через площадь витка составляет 100 м к В б. Найдите энергию магнитного поля в витке.

Решение

В качестве фундамента решения задачи примем формулу: W m = 1 2 I Φ .

Переведем величину магнитного потока, заданного в условиях задачи, в систему С И: 100 м к В б = 10 - 4 В б.

Проведем вычисления: W m = 1 2 · 1 · 10 - 4 = 5 · 10 - 3 (Д ж) .

Ответ: W m = 5 · 10 - 3 (Д ж) .

Пример 3

Задание: Рядом друг с другом расположены два витка проводника. По первому протекает ток I = 1 А. Второй соединен с баллистическим гальванометром, при выключении тока в контуре (1) через гальванометр проходит заряд q = 10 - 8 К л. Полное сопротивление цепи равно R = 5 О м. Чему равняется взаимная индуктивность витков?

Решение

Магнитная энергия (W m) витка с током может быть записана как: W m = L I 2 2 . С другой стороны энергия витка, который соединен с гальванометром, может быть рассчитана как: W m " = q U 2 . Заряд на втором контуре появляется благодаря тому, что он находится в переменном магнитном поле первого витка, и по закону сохранения энергии мы можем записать, что: W m " = W m . Следовательно, мы можем приравнять и правые части выражений W m = L I 2 2 и W m " = q U 2 , получим: L I 2 2 = q U 2 → L I 2 = q U . Из уравнения выше выразим индуктивность: L = q U I 2 . По закону Ома для участка цепи имеем: U = I R . Соответственно: L = q R I .

Эта задача может быть решена иным способом. Обозначим через ε 2 ЭДС индукции, которая вызвана переменным магнитным полем, которое создается в момент выключения тока в первом контуре: ε 2 = - L d I d t . ЭДС индукции можно записать по закону Ома следующим образом: ε 2 = I 2 R , где силу тока найдем как: I 2 = d q d t , в таком случае выражение ε 2 = I 2 R преобразуется в формулу вида: ε 2 = d q d t R . Приравняем правые части выражений ε 2 = - L d I d t и ε 2 = d q d t R , на выходе получим: - L d I d t = d q d t R → - L d I = R d q .

Проинтегрируем приведенную выше формулу с учетом того, что ток в первом контуре меняется от I до нуля, а заряд во втором от нуля до q , получим: - L ∫ I 0 d I = R ∫ 0 q d q → L I = R q → L = R q I .

Данный метод дает абсолютно такой же результат. Таким образом, раз все величины в условиях задачи приведены в системе С И, произведем вычисления: L = 10 - 8 · 5 1 = 5 · 10 - 8 (Г н) .

Ответ: L = 50 н Г н.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

И на тела, обладающие магнитным моментом, независимо от состояния их движения, магнитная составляющая электромагнитного поля .

Магнитное поле может создаваться током заряженных частиц и/или магнитными моментами электронов в атомах (и магнитными моментами других частиц, хотя в заметно меньшей степени) (постоянные магниты).

Энергия магнитного поля , создаваемого током в замкнутом контуре индуктивностью L, равна где I — сила тока в контуре.

Энергия магнитного поля катушки с индуктивностью L, создаваемого током I, равна

Проводник, по которому протекает электрический ток, всегда окружен магнитным полем, причем магнитное поле появляется и исчезает вместе с появлением и исчезновением тока. Магнитное поле, подобно электрическому, является носителем энергии. Естественно предположить, что энергия магнитного поля равна работе, которая затрачивается током на создание этого поля.

Рассмотрим контур индуктивностью L, по которому течет ток I . С данным контуром сцеплен магнитный поток (см. (126.1)) Ф = LI, причем при изменении тока на dI магнитный поток изменяется на dФ = L dI . Однако для изменения магнитного потока на величину dФ (см. § 121) необходимо совершить работу dА = I dФ = LI dI. Тогда работа по созданию магнитного потока Ф будет равна

Следовательно, энергия магнитного поля, связанного с контуром,

Исследование свойств переменных магнитных полей, в частности распространения электромагнитных волн, явилось доказательством того, что энергия магнитного поля локализована в пространстве. Это соответствует представлениям теории поля.

Энергию магнитного поля можно представить как функцию величин, характеризу-ющих это поле в окружающем пространстве. Для этого рассмотрим частный слу-чай — однородное магнитное поле внутри длинного соленоида. Подставив в формулу (130.1) выражение (126.2), получим

Так как I = Bl/ (m 0 mN ) (см. (119.2)) и В = m 0 mH (см. (109.3)), то

(130.2)

где Sl = V — объем соленоида.

Магнитное поле соленоида однородно и сосредоточено внутри него, поэтому энергия (см. (130.2)) заключена в объеме соленоида и распределена в нем с постоянной объемной плотностью

(130.3)

Выражение (130.3) для объемной плотности энергии магнитного поля имеет вид, аналогичный формуле (95.8) для объемной плотности энергии электростатического поля, с той разницей, что электрические величины заменены в нем магнитными. Формула (130.3) выведена для однородного поля, но она справедлива и для неоднород-ных полей. Выражение (130.3) справедливо только для сред, для которых зависимость В от Н линейная, т.е. оно относится только к

При размыкании цепи в опыте (см. рис. 150, в) лампочка ярко вспыхивала. Откуда же бралась энергия, за счет которой в данном случае горела лампочка? Так как это происходило, когда цепь была отключена от источника тока, т. е. при уменьшении индукции магнитного поля катушки, то, следовательно, энергия, потребляемая лампочкой, была раньше запасена в виде энергии магнитного поля. При размыкании цепи оно начинает исчезать и запасенная в нем энергия в процессе самоиндукции превращается в энергию электрического тока, за счет которой горит лампочка. Из рассмотренного делаем вывод: магнитное поле обладает энергией.

Запас энергии магнитного поля катушки равен энергии, израсходованной источником тока на преодоление э. д. с. самоиндукции за весь тот промежуток времени, пока сила тока при замыкании цепи возрастала от нуля до некоторого значения I (см. рис. 150, б). Часть работы э. д. с. источника в катушке идет на нагревание ее проводов, а часть, равная э. д. с. самоиндукции Е ист = Е с , совершает работу против э. д. с. самоиндукции.

Работа тока, идущая на преодоление э. д. с. самоиндукции, равна энергии магнитного поля катушки:

А = W М = ΔЕ ист I ср Δt; W M = E c I cp Δt. (3)

Ток изменялся от 0 до I, следовательно, Поэтому Ток изменялся от 0 до I, тогда изменение тока ΔI = I. Значит,

Подставим Е с и I ср в формулу (3):

Получим формулу энергии магнитного поля катушки

Зависимость энергии магнитного поля катушки от ее индуктивности и силы тока в ней можно видеть на таком опыте. Увеличив реостатом силу тока в катушке, разомкнем цепь. В этом случае лампочка вспыхнула ярче, чем при малом токе в катушке. Значит, энергия магнитного поля катушки тем больше, чем больше сила тока в ней. Удалим из катушки половину сердечника, уменьшив тем самым ее индуктивность. Установим прежнюю силу тока в цепи и затем разомкнем ее. В этом случае лампочка вспыхивает менее ярко. Следовательно, энергия магнитного поля катушки тем больше, чем больше ее индуктивность. Энергия магнитного поля нами используется, например, в подъемном электромагнитном кране для притяжения кусков железа к сердечнику электромагнита крана, для получения тока во вторичной обмотке трансформатора.

Задача 36. В катушке без сердечника за 0,01 сек ток увеличился от 1 до 2 а, при этом в катушке возникла э. д. с. самоиндукции 20 в. Определить индуктивность катушки и изменение энергии ее магнитного поля.