U stvari, formule (1) i (2) su kratka notacija uslovne vjerovatnoće zasnovana na tabeli kontingencije karakteristika. Vratimo se na razmatrani primjer (slika 1). Pretpostavimo da saznamo da će porodica kupiti široki ekran. Kolika je vjerovatnoća da će ova porodica zaista kupiti takav televizor?

Rice. 1. Ponašanje kupaca širokog ekrana

U ovom slučaju trebamo izračunati uslovnu vjerovatnoću P (kupovina je izvršena | kupovina je planirana). Pošto znamo da porodica planira kupovinu, prostor za uzorak ne čini svih 1000 porodica, već samo one koje planiraju kupovinu širokog ekrana. Od 250 takvih porodica, njih 200 je zaista kupilo ovaj televizor. Stoga se vjerovatnoća da će porodica zaista kupiti TV sa širokim ekranom, ako to planira, može izračunati pomoću sljedeće formule:

P (kupovina izvršena | planirana kupovina) = broj porodica koje planiraju i kupuju TV sa širokim ekranom / broj porodica koje planiraju kupiti TV sa širokim ekranom = 200/250 = 0,8

Isti rezultat daje formula (2):

gdje je događaj A je da porodica planira da kupi TV sa širokim ekranom i događaj V- je da će ga ona zapravo kupiti. Zamjenom stvarnih podataka u formulu dobijamo:

Stablo odluka

Na sl. 1 porodice su podijeljene u četiri kategorije: one koje su planirale kupiti TV sa širokim ekranom, a nisu planirale, kao i one koje su kupile takav televizor, a nisu. Slična klasifikacija se može izvršiti korištenjem stabla odlučivanja (slika 2). Drvo prikazano na sl. 2 ima dva ogranka, što odgovara porodicama koje su planirale da kupe TV sa širokim ekranom i porodicama koje nisu. Svaka od ovih grana se dijeli na dvije dodatne grane, što odgovara porodicama sa i bez TV-a širokog ekrana. Vjerovatnoće zapisane na krajevima dvije glavne grane su bezuslovne vjerovatnoće događaja A i A'... Vjerovatnoće zapisane na krajevima četiri dodatne grane su uslovne vjerovatnoće svake kombinacije događaja A i V... Uslovne verovatnoće se izračunavaju tako što se zajednička verovatnoća događaja podeli sa odgovarajućom bezuslovnom verovatnoćom svakog od njih.

Rice. 2. Stablo odlučivanja

Na primjer, da bi se izračunala vjerovatnoća da će porodica kupiti TV sa širokim ekranom ako to planira, treba odrediti vjerovatnoću događaja. kupovina je planirana i završena a zatim ga podijeliti vjerovatnoćom događaja planirana kupovina... Krećući se kroz stablo odlučivanja prikazano na sl. 2, dobijamo sljedeći (sličan prethodnom) odgovor:

Statistička nezavisnost

U primjeru kupovine širokog ekrana vjerovatnoća da je slučajno odabrana porodica kupila široki ekran, s obzirom da su to planirali, je 200/250 = 0,8. Podsjetimo da je bezuslovna vjerovatnoća da je slučajno odabrana porodica nabavila TV sa širokim ekranom 300/1000 = 0,3. Iz ovoga proizilazi veoma važan zaključak. Apriorne informacije koje je porodica planirala da kupi utiču na verovatnoću same kupovine. Drugim riječima, ova dva događaja zavise jedan od drugog. Za razliku od ovog primjera, postoje statistički nezavisni događaji čije su vjerovatnoće nezavisne jedna od druge. Statistička nezavisnost se izražava identitetom: P (A | B) = P (A), gdje P (A | B)- vjerovatnoća događaja A pod uslovom da se dogodio neki događaj V, P (A)- bezuslovnu vjerovatnoću događaja A.

Imajte na umu da događaji A i V P (A | B) = P (A)... Ako je u kontingentnoj tabeli karakteristika veličine 2 × 2, ovaj uslov je zadovoljen za najmanje jednu kombinaciju događaja A i V, važiće za bilo koju drugu kombinaciju. U našem primjeru, događaji planirana kupovina i izvršena kupovina nisu statistički nezavisne, jer informacije o jednom događaju utiču na verovatnoću drugog.

Razmotrimo primjer koji pokazuje kako provjeriti statističku nezavisnost dva događaja. Pitajmo 300 porodica koje su kupile TV sa širokim ekranom da li su zadovoljne kupovinom (slika 3). Utvrdite da li su vaše zadovoljstvo kupovinom i tip televizora povezani.

Rice. 3. Podaci koji karakterišu stepen zadovoljstva kupaca širokog ekrana

Sudeći po ovim podacima,

U isto vrijeme,

P (kupac zadovoljan) = 240/300 = 0,80

Dakle, vjerovatnoća da je kupac zadovoljan kupovinom i da je porodica kupila HDTV su jednake, a ovi događaji su statistički nezavisni jer nisu ni na koji način povezani.

Pravilo za množenje vjerovatnoća

Formula za izračunavanje uslovne vjerovatnoće omogućava vam da odredite vjerovatnoću zajedničkog događaja A i B... Formula za rješavanje (1)

u pogledu zajedničke vjerovatnoće P (A i B), dobijamo opšte pravilo za množenje verovatnoća. Vjerovatnoća događaja A i B jednaka vjerovatnoći događaja A pod uslovom da se desio događaj V V:

(3) P (A i B) = P (A | B) * P (B)

Uzmimo kao primjer 80 porodica koje su kupile široki ekran HDTV televizora (slika 3). Iz tabele se vidi da su 64 porodice zadovoljne kupovinom, a 16 nije. Pretpostavimo da su dvije porodice nasumično odabrane među njima. Odredite vjerovatnoću da će oba klijenta biti zadovoljna. Koristeći formulu (3) dobijamo:

P (A i B) = P (A | B) * P (B)

gdje je događaj A je da je druga porodica zadovoljna svojom kupovinom i događajem V- da je prva porodica zadovoljna kupovinom. Vjerovatnoća da će prva porodica biti zadovoljna kupovinom je 64/80. Međutim, vjerovatnoća da će i druga porodica biti zadovoljna kupovinom zavisi od odgovora prve porodice. Ako se prva porodica nakon ankete ne vrati u uzorak (izbor bez povratka), broj ispitanika se smanjuje na 79. Ako je prva porodica bila zadovoljna kupovinom, vjerovatnoća da će i druga porodica biti sretna je 63/ 79, pošto su u uzorku ostale samo 63 porodice zadovoljne kupovinom. Dakle, zamjenom određenih podataka u formulu (3) dobijamo sljedeći odgovor:

P (A i B) = (63/79) (64/80) = 0,638.

Dakle, vjerovatnoća da su obje porodice zadovoljne kupovinom iznosi 63,8%.

Pretpostavimo da se nakon ankete prva porodica vrati uzorku. Odredite vjerovatnoću da će obje porodice biti zadovoljne kupovinom. U ovom slučaju, vjerovatnoće da su obje porodice zadovoljne kupovinom su iste, jednake su 64/80. Dakle, P (A i B) = (64/80) (64/80) = 0,64. Dakle, vjerovatnoća da su obje porodice zadovoljne kupovinom iznosi 64,0%. Ovaj primjer pokazuje da izbor druge porodice ne zavisi od izbora prve. Dakle, zamjenom u formuli (3) uslovna vjerovatnoća P (A | B) vjerovatnoća P (A), dobijamo formulu za množenje verovatnoća nezavisnih događaja.

Pravilo za množenje vjerovatnoća nezavisnih događaja. Ako događaji A i V su statistički nezavisne, vjerovatnoća događaja A i B jednaka vjerovatnoći događaja A pomnoženo sa vjerovatnoćom događaja V.

(4) P (A i B) = P (A) P (B)

Ako ovo pravilo vrijedi za događaje A i V stoga su statistički nezavisni. Dakle, postoje dva načina da se odredi statistička nezavisnost dva događaja:

1. Razvoj A i V su statistički nezavisni jedno od drugog ako i samo ako P (A | B) = P (A).
2. Razvoj A i B su statistički nezavisni jedno od drugog ako i samo ako P (A i B) = P (A) P (B).

Ako je u kontingentnoj tabeli karakteristika veličine 2 × 2, jedan od ovih uslova zadovoljen za najmanje jednu kombinaciju događaja A i B, vrijedit će za bilo koju drugu kombinaciju.

Bezuslovna vjerovatnoća elementarnog događaja

(5) P (A) = P (A | B 1) P (B 1) + P (A | B 2) P (B 2) + ... + P (A | B k) P (B k)

gdje su događaji B 1, B 2,… B k međusobno isključivi i iscrpni.

Ilustrujmo primjenu ove formule na primjeru slike 1. Koristeći formulu (5) dobijamo:

P (A) = P (A | B 1) P (B 1) + P (A | B 2) P (B 2)

gdje P (A)- vjerovatnoća da je kupovina planirana, P (B 1)- vjerovatnoća da je kupovina obavljena, P (B 2)- vjerovatnoća da kupovina nije završena.

Bayesova teorema

Uslovna vjerovatnoća događaja uzima u obzir informaciju da se dogodio neki drugi događaj. Ovaj pristup se može koristiti kako za preciziranje vjerovatnoće, uzimajući u obzir novoprimljene informacije, tako i za izračunavanje vjerovatnoće da je uočeni efekat posljedica nekog specifičnog uzroka. Procedura za preciziranje ovih vjerovatnoća naziva se Bayesova teorema. Prvi ga je razvio Thomas Bayes u 18. vijeku.

Pretpostavimo da gore pomenuta kompanija istražuje tržište za novi model televizora. U prošlosti je 40% televizora koje je kreirala kompanija bilo uspješno, a 60% modela nije dobilo priznanje. Prije nego što najave novi model, trgovci pažljivo istražuju tržište i hvataju potražnju. U prošlosti je 80% modela koji su bili prihvaćeni predviđano unaprijed, dok je 30% povoljnih predviđanja bilo pogrešno. Za novi model, odjel marketinga je dao povoljnu perspektivu. Kolika je vjerovatnoća da će novi model televizora biti tražen?

Bayesova teorema se može izvesti iz definicija uslovne vjerovatnoće (1) i (2). Da biste izračunali vjerovatnoću P (B | A), uzmite formulu (2):

i umjesto P (A i B) zamijenimo vrijednost iz formule (3):

P (A i B) = P (A | B) * P (B)

Zamjenom formule (5) umjesto P (A) dobijamo Bayesov teorem:

gdje su događaji B 1, B 2,… B k međusobno isključivi i iscrpni.

Hajde da uvedemo sljedeću notaciju: događaj S - TV je tražen, događaj S ’- TV nije tražen, događaj F - povoljna prognoza, događaj F '- nepovoljna prognoza... Pretpostavimo da je P (S) = 0,4, P (S ') = 0,6, P (F | S) = 0,8, P (F | S') = 0,3. Primjenom Bayesove teoreme dobijamo:

Vjerovatnoća potražnje za novim modelom televizora, s obzirom na povoljnu prognozu, iznosi 0,64. Dakle, vjerovatnoća izostanka potražnje, s obzirom na povoljnu prognozu, iznosi 1–0,64 = 0,36. Proces proračuna je prikazan na sl. 4.

Rice. 4. (a) Bayesovi proračuni za procjenu vjerovatnoće TV potražnje; (b) Stablo odlučivanja prilikom istraživanja potražnje za novim modelom TV-a

Razmotrimo primjer primjene Bayesove teoreme za medicinsku dijagnostiku. Vjerovatnoća da osoba boluje od određene bolesti je 0,03. Medicinski test vam omogućava da provjerite da li je to slučaj. Ako je osoba zaista bolesna, vjerovatnoća tačne dijagnoze (koja kaže da je osoba bolesna kada je stvarno bolesna) je 0,9. Ako je osoba zdrava, vjerovatnoća lažno pozitivne dijagnoze (koja kaže da je osoba bolesna kada je zdrava) je 0,02. Recimo da je medicinski test pozitivan. Koja je vjerovatnoća da je osoba zaista bolesna? Koja je vjerovatnoća za tačnu dijagnozu?

Hajde da uvedemo sljedeću notaciju: događaj D - osoba je bolesna, događaj D '- covek je zdrav, događaj T - pozitivna dijagnoza, događaj T '- negativna dijagnoza... Iz iskaza problema proizilazi da je P (D) = 0,03, P (D ') = 0,97, P (T | D) = 0,90, P (T | D') = 0,02. Primjenom formule (6) dobijamo:

Vjerovatnoća da je osoba sa pozitivnom dijagnozom zaista bolesna je 0,582 (vidi i sl. 5). Imajte na umu da je imenilac Bayesove formule jednak vjerovatnoći pozitivne dijagnoze, tj. 0,0464.

Profesionalni kladioničar bi trebao biti dobro upućen u kvote, brzo i ispravno procijeniti vjerovatnoću događaja pomoću koeficijenta i, ako je potrebno, biti u mogućnosti pretvoriti kvote iz jednog formata u drugi... U ovom priručniku ćemo govoriti o tome koje su vrste koeficijenata, a također ćemo, koristeći primjere, analizirati kako možete izračunati vjerovatnoću prema poznatom koeficijentu i obrnuto.

Koje su vrste kvota?

Postoje tri glavne vrste kvota koje kladionice nude igračima: decimalne kvote, fractional kvote(engleski) i Američki izgledi... Najčešći koeficijenti u Evropi su decimalni. Američke kvote su popularne u Sjevernoj Americi. Razlomci su najtradicionalniji tip, oni odmah odražavaju informaciju o tome koliko je potrebno da se kladite da biste dobili određeni iznos.

Decimalne kvote

Decimala ili se još zovu evropske kvote- ovo je uobičajeni format broja, predstavljen decimalnim razlomkom s tačnošću od stotih, a ponekad čak i do hiljaditih. Primjer decimalne kvote je 1,91. Izračunavanje profita u slučaju decimalnih kvota je vrlo jednostavno, potrebno je samo da pomnožite iznos vaše opklade sa ovim koeficijentom. Na primjer, u meču između Manchester Uniteda i Arsenala, Manchester United pobjeđuje s koeficijentom 2,05, neriješeno sa kvotom 3,9, a Arsenal pobjeđuje s 2,95. Pretpostavimo da smo uvjereni da će United pobijediti i da se kladimo na 1000 dolara na njih. Tada se naš mogući prihod izračunava na sljedeći način:

2.05 * $1000 = $2050;

Ništa komplikovano, zar ne?! Isto tako, mogući povrat se računa kada se kladi na neriješeno i pobjedu Arsenala.

Izvlačenje: 3.9 * $1000 = $3900;
pobjeda Arsenala: 2.95 * $1000 = $2950;

Kako izračunati vjerovatnoću događaja po decimalnim kvotama?

Zamislite sada da trebamo odrediti vjerovatnoću događaja prema decimalnim kvotama koje je postavio kladioničar. Ovo se takođe može učiniti vrlo jednostavno. Da bismo to učinili, jedinicu podijelimo ovim koeficijentom.

Uzmimo podatke koje već imamo i izračunajmo vjerovatnoću svakog događaja:

Pobjeda Manchester Uniteda: 1 / 2.05 = 0,487 = 48,7%;
Izvlačenje: 1 / 3.9 = 0,256 = 25,6%;
pobjeda Arsenala: 1 / 2.95 = 0,338 = 33,8%;

Razlomne kvote (engleski)

Kao što ime kaže frakcioni faktor predstavljen običnim razlomkom. Primjer engleske kvote je 5/2. Brojilac razlomka sadrži broj koji je potencijalni zbir neto dobitaka, a nazivnik sadrži broj koji označava iznos na koji se mora uložiti da bi se dobio ovaj dobitak. Jednostavno rečeno, moramo se kladiti na 2 dolara da bismo osvojili 5 dolara. Koeficijent 3/2 znači da ćemo, da bismo dobili 3$ neto dobitka, morati da stavimo opkladu od 2$.

Kako izračunati vjerovatnoću događaja koristeći razlomke?

Također nije teško izračunati vjerovatnoću događaja pomoću razlomačkih koeficijenata, samo je potrebno podijeliti imenilac zbirom brojnika i nazivnika.

Za razlomak 5/2 izračunavamo vjerovatnoću: 2 / (5+2) = 2 / 7 = 0,28 = 28%;
Za razlomak 3/2 izračunajte vjerovatnoću:

Američki izgledi

Američki izgledi nepopularan u Evropi, ali veoma ravnomeran u Severnoj Americi. Možda je ova vrsta kvota najteža, ali to je samo na prvi pogled. U stvari, u ovoj vrsti koeficijenata nema ništa komplikovano. Sada da to shvatimo po redu.

Glavna karakteristika američkih kvota je da mogu biti kao pozitivno i negativan... Primjer američkih kvota je (+150), (-120). Američka kvota (+150) znači da da bismo zaradili 150 dolara moramo se kladiti na 100 dolara. Drugim riječima, pozitivan američki koeficijent odražava potencijalnu neto zaradu po stopi od 100 dolara. Negativne američke kvote odražavaju iznos opklade koji se mora uložiti da bi se dobio neto dobitak od 100 dolara. Na primjer, koeficijent (-120) nam govori da ćemo klađenjem na 120 dolara dobiti 100 dolara.

Kako izračunati vjerovatnoću događaja koristeći američke kvote?

Vjerovatnoća događaja prema američkom koeficijentu izračunava se pomoću sljedećih formula:

(- (M)) / ((- (M)) + 100), gdje je M negativni američki koeficijent;
100 / (P + 100), gdje je P pozitivan američki koeficijent;

Na primjer, imamo koeficijent (-120), tada se vjerovatnoća izračunava na sljedeći način:

(- (M)) / ((- (M)) + 100); zamijenite vrijednost (-120) umjesto "M";
(-(-120)) / ((-(-120)) + 100 = 120 / (120 + 100) = 120 / 220 = 0,545 = 54,5%;

Dakle, vjerovatnoća događaja sa koeficijentom u SAD (-120) iznosi 54,5%.

Na primjer, imamo koeficijent (+150), tada se vjerovatnoća izračunava na sljedeći način:

100 / (P + 100); zamijenite vrijednost (+150) umjesto "P";
100 / (150 + 100) = 100 / 250 = 0,4 = 40%;

Dakle, vjerovatnoća događaja sa američkim kvotama (+150) iznosi 40%.

Kako znati postotak vjerovatnoće da se to pretvori u decimalni koeficijent?

Da biste izračunali decimalni koeficijent za poznati procenat vjerovatnoće, trebate podijeliti 100 sa vjerovatnoćom događaja u procentima. Na primjer, ako je vjerovatnoća događaja 55%, onda će decimalni koeficijent ove vjerovatnoće biti 1,81.

100 / 55% = 1,81

Kako znati postotak vjerovatnoće da se to prevede u razlomački koeficijent?

Da biste izračunali koeficijent razlomka za poznati postotak vjerovatnoće, trebate oduzeti jedan od dijeljenja 100 sa vjerovatnoćom događaja u procentima. Na primjer, ako imamo postotak vjerovatnoće od 40%, tada će razlomak ove vjerovatnoće biti 3/2.

(100 / 40%) - 1 = 2,5 - 1 = 1,5;
Faktor frakcije je 1,5/1 ili 3/2.

Kako znati postotak vjerovatnoće da se to prevede u američki koeficijent?

Ako je vjerovatnoća događaja veća od 50%, tada se izračunavanje vrši prema formuli:

- ((V) / (100 - V)) * 100, gdje je V vjerovatnoća;

Na primjer, ako imamo vjerovatnoću događaja od 80%, tada će američki koeficijent ove vjerovatnoće biti jednak (-400).

- (80 / (100 - 80)) * 100 = - (80 / 20) * 100 = - 4 * 100 = (-400);

Ako je vjerovatnoća događaja manja od 50%, tada se izračunavanje vrši prema formuli:

((100 - V) / V) * 100, gdje je V vjerovatnoća;

Na primjer, ako imamo 20% vjerovatnoće događaja, tada će američki koeficijent ove vjerovatnoće biti jednak (+400).

((100 - 20) / 20) * 100 = (80 / 20) * 100 = 4 * 100 = 400;

Kako mogu pretvoriti koeficijent u drugi format?

Postoje slučajevi kada je potrebno pretvoriti kvote iz jednog formata u drugi. Na primjer, imamo razlomak od 3/2 i moramo ga pretvoriti u decimalni. Za pretvaranje razlomačke kvote u decimalni, prvo određujemo vjerovatnoću događaja s razlomkom, a zatim ovu vjerovatnoću pretvaramo u decimalni koeficijent.

Vjerovatnoća događaja sa frakcijskim faktorom 3/2 je 40%.

2 / (3+2) = 2 / 5 = 0,4 = 40%;

Sada pretvorimo vjerovatnoću događaja u decimalni koeficijent, za to podijelimo 100 sa vjerovatnoćom događaja u procentima:

100 / 40% = 2.5;

Dakle, razlomci 3/2 jednaki su decimalnim kvotama od 2,5. Slično, na primjer, američke kvote se pretvaraju u razlomke, decimalne u američke, itd. Najteži dio svega ovoga su samo kalkulacije.

"Nesreće nisu slučajne" ... Zvuči kao da je filozof rekao, ali u stvari je sudbina velike nauke matematike da proučava slučajnost. U matematici, teorija slučajnosti se bavi slučajnošću. U članku će biti predstavljene formule i primjeri zadataka, kao i glavne definicije ove nauke.

Šta je teorija vjerovatnoće?

Teorija vjerovatnoće je jedna od matematičkih disciplina koja proučava slučajne događaje.

Da bude malo jasnije, dajmo mali primjer: ako bacite novčić prema gore, on može pasti "glavom" ili "repom". Sve dok je novčić u zraku, obje ove mogućnosti su moguće. Odnosno, vjerovatnoća mogućih posljedica je 1:1. Ako jednu izvučete iz špila sa 36 karata, vjerovatnoća će biti označena kao 1:36. Čini se da nema šta istraživati ​​i predviđati, posebno uz pomoć matematičkih formula. Ipak, ako više puta ponovite određenu radnju, tada možete identificirati određeni obrazac i na osnovu njega predvidjeti ishod događaja u drugim uvjetima.

Da sumiramo sve navedeno, teorija vjerovatnoće u klasičnom smislu proučava mogućnost pojave jednog od mogućih događaja u numeričkoj vrijednosti.

Sa stranica istorije

Teorija vjerojatnosti, formule i primjeri prvih zadataka pojavili su se u dalekom srednjem vijeku, kada su prvi put pokušani da se predvidi ishod kartaških igara.

U početku, teorija vjerovatnoće nije imala nikakve veze sa matematikom. Bio je zasnovan na empirijskim činjenicama ili svojstvima događaja koji su se mogli reproducirati u praksi. Prvi radovi iz ove oblasti kao matematičke discipline pojavili su se u 17. veku. Osnivači su bili Blaise Pascal i Pierre Fermat. Dugo su proučavali kockanje i vidjeli određene obrasce, o kojima su odlučili ispričati javnosti.

Istu tehniku ​​izmislio je Christian Huygens, iako nije bio upoznat s rezultatima istraživanja Pascala i Fermata. On je uveo pojam "teorije vjerovatnoće", formule i primjere koji se smatraju prvima u historiji discipline.

Važna su i djela Jacoba Bernoullija, Laplaceove i Poissonove teoreme. Učinili su teoriju vjerovatnoće više kao matematičku disciplinu. Teorija vjerovatnoće, formule i primjeri osnovnih zadataka dobili su svoj današnji oblik zahvaljujući Kolmogorovljevim aksiomima. Kao rezultat svih promjena, teorija vjerovatnoće je postala jedna od matematičkih grana.

Osnovni koncepti teorije vjerovatnoće. Razvoj

Glavni koncept ove discipline je "događaj". Postoje tri vrste događaja:

• Vjerodostojno. One koje će se ipak dogoditi (novčić će pasti).
• Nemoguće. Događaji koji se neće dogoditi ni po jednom scenariju (novčić će ostati visjeti u zraku).
• Slučajno. Oni koji će se desiti ili neće. Na njih mogu uticati različiti faktori, koje je veoma teško predvideti. Ako govorimo o novčiću, onda nasumični faktori koji mogu utjecati na rezultat: fizičke karakteristike novčića, njegov oblik, početni položaj, snaga bacanja itd.

Svi događaji u primjerima su označeni velikim latiničnim slovima, osim P, koje ima drugačiju ulogu. Na primjer:

• A = "studenti su došli na predavanje."
• Ā = "studenti nisu došli na predavanje."

U praktičnim vježbama uobičajeno je da se događaji zapisuju riječima.

Jedna od najvažnijih karakteristika događaja je njihova jednaka mogućnost. Odnosno, ako bacite novčić, moguće su sve varijante početnog pada dok ne padne. Ali ni događaji nisu podjednako mogući. To se dešava kada neko posebno utiče na ishod. Na primjer, "označene" karte za igranje ili kockice kod kojih je pomaknut centar gravitacije.

Takođe, događaji su kompatibilni i nekompatibilni. Kompatibilni događaji ne isključuju jedan drugog iz dešavanja. Na primjer:

• A = "student je došao na predavanje."
• B = "student je došao na predavanje."

Ovi događaji su nezavisni jedan od drugog, a pojava jednog od njih ne utiče na pojavu drugog. Nespojivi događaji su određeni činjenicom da pojava jednog isključuje pojavu drugog. Ako govorimo o istom novčiću, onda ispadanje “repova” onemogućava pojavljivanje “glava” u istom eksperimentu.

Akcije na događaje

Događaji se mogu množiti i sabirati, respektivno, u disciplini se uvode logički spojevi "AND" i "OR".

Iznos je određen činjenicom da se ili događaj A, ili B, ili dva mogu desiti u isto vrijeme. U slučaju kada su nekompatibilni, zadnja opcija je nemoguća, ili A ili B će ispasti.

Umnožavanje događaja se sastoji u pojavi A i B u isto vrijeme.

Sada možete dati nekoliko primjera kako biste bolje zapamtili osnove, teoriju vjerojatnosti i formule. Primjeri rješavanja problema dalje.

Vježba 1: Firma učestvuje na konkursu za ugovore za tri vrste radova. Mogući događaji koji se mogu dogoditi:

• A = "firma će dobiti prvi ugovor."
• A 1 = "firma neće primiti prvi ugovor."
• B = "firma će dobiti drugi ugovor."
• B 1 = "firma neće dobiti drugi ugovor"
• C = "firma će dobiti treći ugovor."
• C 1 = "firma neće dobiti treći ugovor."

Pokušajmo izraziti sljedeće situacije koristeći radnje na događaje:

• K = "firma će primiti sve ugovore."

U matematičkom obliku, jednačina će biti sljedeća: K = ABC.

• M = "firma neće dobiti nijedan ugovor."

M = A 1 B 1 C 1.

Komplikuje zadatak: H = "firma će dobiti jedan ugovor." Budući da se ne zna koji će ugovor firma dobiti (prvi, drugi ili treći), potrebno je zabilježiti čitav niz mogućih događaja:

N = A 1 VS 1 υ AB 1 S 1 υ A 1 V 1 S.

A 1 BC 1 je niz događaja u kojima firma ne prima prvi i treći ugovor, ali prima drugi. Drugi mogući događaji snimljeni su odgovarajućom metodom. Simbol υ u disciplini označava vezu "ILI". Ako navedeni primjer prevedemo na ljudski jezik, kompanija će dobiti ili treći ugovor, ili drugi, ili prvi. Slično, možete zapisati i druge uslove u disciplini "Teorija vjerovatnoće". Gore navedene formule i primjeri rješavanja problema pomoći će vam da to učinite sami.

Zapravo, vjerovatnoća

Možda je u ovoj matematičkoj disciplini vjerovatnoća događaja centralni koncept. Postoje 3 definicije vjerovatnoće:

• klasična;
• statistički;
• geometrijski.

Svaki od njih ima svoje mjesto u proučavanju vjerovatnoća. Teorija vjerojatnosti, formule i primjeri (9. razred) uglavnom koriste klasičnu definiciju, koja zvuči ovako:

• Vjerovatnoća situacije A jednaka je omjeru broja ishoda koji pogoduju njenom nastanku i broja svih mogućih ishoda.

Formula izgleda ovako: P (A) = m / n.

A je zapravo događaj. Ako postoji slučaj suprotno od A, može se napisati kao Ā ili A 1.

m je broj mogućih povoljnih slučajeva.

n - svi događaji koji se mogu dogoditi.

Na primjer, A = "izvuci kartu srčane boje." U standardnom špilu ima 36 karata, od kojih su 9 srca. U skladu s tim, formula za rješavanje problema će izgledati ovako:

P (A) = 9/36 = 0,25.

Kao rezultat toga, vjerovatnoća da se karta u obliku srca izvuče iz špila je 0,25.

Ka višoj matematici

Sada je postalo malo poznato šta je teorija vjerovatnoće, formule i primjeri rješavanja zadataka koji se sreću u školskom programu. Međutim, teorija vjerovatnoće se nalazi iu višoj matematici, koja se predaje na univerzitetima. Najčešće operišu geometrijskim i statističkim definicijama teorije i složenim formulama.

Teorija vjerovatnoće je vrlo zanimljiva. Bolje je početi učiti formule i primjere (viša matematika) s malim - sa statističkom (ili frekvencijskom) definicijom vjerovatnoće.

Statistički pristup nije u suprotnosti sa klasičnim, ali ga neznatno proširuje. Ako je u prvom slučaju bilo potrebno odrediti s kojim stepenom vjerovatnoće će se događaj dogoditi, onda je u ovoj metodi potrebno naznačiti koliko će se često događati. Ovdje se uvodi novi koncept "relativne frekvencije", koji se može označiti sa W n (A). Formula se ne razlikuje od klasične:

Ako se za predviđanje izračunava klasična formula, onda statistička - prema rezultatima eksperimenta. Uzmite, na primjer, mali zadatak.

Odjel za tehnološku kontrolu provjerava kvalitetu proizvoda. Među 100 proizvoda utvrđeno je da su 3 loše kvalitete. Kako pronalazite vjerovatnoću učestalosti kvalitetnog proizvoda?

A = "izgled kvalitetnog proizvoda."

W n (A) = 97/100 = 0,97

Dakle, frekvencija kvalitetnog proizvoda je 0,97. Odakle ti 97? Od 100 predmeta koji su provjereni, utvrđeno je da su 3 lošeg kvaliteta. Od 100 oduzmemo 3, dobijemo 97, ovo je količina kvalitetnog proizvoda.

Malo o kombinatorici

Druga metoda teorije vjerovatnoće naziva se kombinatorika. Njegov osnovni princip je da ako se određeni izbor A može izvršiti na m različitih načina, a izbor B na n različitih načina, onda se izbor A i B može izvršiti množenjem.

Na primjer, postoji 5 puteva koji vode od grada A do grada B. Postoje 4 načina od grada B do grada C. Na koliko načina možete stići od grada A do grada C?

Jednostavno je: 5x4 = 20, odnosno možete doći od tačke A do tačke C na dvadeset različitih načina.

Hajde da zakomplikujemo zadatak. Na koliko načina postoji kartanje u pasijansu? U špilu se nalazi 36 karata - ovo je početna tačka. Da biste saznali broj načina, trebate "oduzeti" jednu kartu od početne točke i pomnožiti.

To jest, 36x35x34x33x32 ... x2x1 = rezultat ne stane na ekran kalkulatora, tako da ga možete jednostavno označiti kao 36 !. Potpišite "!" pored broja označava da se čitav niz brojeva međusobno množi.

U kombinatorici postoje koncepti kao što su permutacija, postavljanje i kombinacija. Svaki od njih ima svoju formulu.

Uređena kolekcija elemenata skupa naziva se raspored. Položaji se mogu ponavljati, odnosno jedan element se može koristiti više puta. I nema ponavljanja, kada se elementi ne ponavljaju. n su svi elementi, m su elementi koji učestvuju u postavljanju. Formula za plasman bez ponavljanja bi bila:

A n m = n! / (N-m)!

Veze od n elemenata koje se razlikuju samo po redosledu postavljanja nazivaju se permutacije. U matematici, ovo je: P n = n!

Kombinacije n elemenata po m su takvi spojevi u kojima je bitno koji su elementi bili i koliki je njihov ukupan broj. Formula će izgledati ovako:

A n m = n! / M! (N-m)!

Bernulijeva formula

Teorija vjerovatnoće, kao i u svakoj disciplini, ima radove vrhunskih istraživača u svojoj oblasti koji su je podigli na novi nivo. Jedan od ovih radova je Bernoullijeva formula, koja vam omogućava da odredite vjerovatnoću da će se određeni događaj dogoditi pod neovisnim uvjetima. Ovo sugerira da pojava A u eksperimentu ne ovisi o pojavljivanju ili nepojavljivanju istog događaja u prethodnim ili narednim testovima.

Bernulijeva jednačina:

P n (m) = C n m × p m × q n-m.

Vjerovatnoća (p) pojave događaja (A) je nepromijenjena za svako ispitivanje. Vjerovatnoća da će se situacija dogoditi tačno m puta u n broj eksperimenata izračunat će se prema gore prikazanoj formuli. Shodno tome, postavlja se pitanje kako saznati broj q.

Ako se događaj A dogodi p broj puta, odnosno, možda se neće dogoditi. Jedan je broj koji se koristi za označavanje svih ishoda situacije u disciplini. Dakle, q je broj koji označava mogućnost da se događaj ne dogodi.

Sada znate Bernoullijevu formulu (teoriju vjerovatnoće). Dalje ćemo razmotriti primjere rješavanja problema (prvi nivo).

Zadatak 2: Posjetilac trgovine će izvršiti kupovinu sa vjerovatnoćom od 0,2. Samostalno je u radnju ušlo 6 posjetitelja. Kolika je vjerovatnoća da će posjetitelj obaviti kupovinu?

Rješenje: Pošto nije poznato koliko posjetitelja treba da izvrši kupovinu, jedan ili svih šest, potrebno je izračunati sve moguće vjerovatnoće koristeći Bernoullijevu formulu.

A = "posjetilac će izvršiti kupovinu."

U ovom slučaju: p = 0,2 (kako je navedeno u zadatku). Prema tome, q = 1-0,2 = 0,8.

n = 6 (pošto u radnji ima 6 kupaca). Broj m će se promijeniti od 0 (nijedan kupac neće izvršiti kupovinu) na 6 (svi posjetitelji trgovine će nešto kupiti). Kao rezultat, dobijamo rješenje:

P 6 (0) = C 0 6 × p 0 × q 6 = q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Nijedan od kupaca neće izvršiti kupovinu sa vjerovatnoćom od 0,2621.

Kako se još koristi Bernoullijeva formula (teorija vjerovatnoće)? Primjeri rješavanja problema (drugi nivo) u nastavku.

Nakon gornjeg primjera, postavljaju se pitanja gdje su C i p otišli. U odnosu na p, broj na stepen od 0 će biti jednak jedan. Što se tiče C, može se naći po formuli:

C n m = n! / m!(n-m)!

Budući da je u prvom primjeru m = 0, respektivno, C = 1, što u principu ne utiče na rezultat. Koristeći novu formulu, pokušajmo saznati kolika je vjerovatnoća da će dva posjetitelja kupiti robu.

P 6 (2) = C 6 2 × p 2 × q 4 = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Teorija vjerovatnoće nije tako komplikovana. Bernoullijeva formula, čiji su primjeri prikazani gore, izravan je dokaz za to.

Poissonova formula

Poissonova jednadžba se koristi za izračunavanje malo vjerojatnih slučajnih situacija.

osnovna formula:

P n (m) = λ m / m! × e (-λ).

Štaviše, λ = n x p. Evo jednostavne Poissonove formule (teorija vjerovatnoće). Dalje ćemo razmotriti primjere rješavanja problema.

Zadatak 3: Fabrika je proizvodila delove u količini od 100.000 komada. Izgled neispravnog dijela = 0,0001. Kolika je vjerovatnoća da će u seriji biti 5 neispravnih dijelova?

Kao što vidite, brak je malo vjerojatan događaj i stoga se za proračun koristi Poissonova formula (teorija vjerovatnoće). Primjeri rješavanja problema ove vrste se ne razlikuju od ostalih zadataka discipline, potrebne podatke zamjenjujemo u datu formulu:

A = "slučajno odabrani dio će biti neispravan."

p = 0,0001 (prema uslovu zadatka).

n = 100000 (broj delova).

m = 5 (neispravni dijelovi). Zamjenjujemo podatke u formulu i dobivamo:

P 100000 (5) = 10 5/5! X e -10 = 0,0375.

Baš kao i Bernoullijeva formula (teorija vjerovatnoće), primjeri rješenja s kojima su gore napisani, Poissonova jednačina ima nepoznato e. Zapravo, može se naći po formuli:

e -λ = lim n -> ∞ (1-λ / n) n.

Međutim, postoje posebne tablice koje sadrže gotovo sve vrijednosti e.

Moivre-Laplaceova teorema

Ako je broj testova u Bernoullijevoj shemi dovoljno velik, a vjerovatnoća pojave događaja A u svim šemama ista, tada se vjerovatnoća pojave događaja A određeni broj puta u nizu testova može naći pomoću Laplaceova formula:

R n (m) = 1 / √npq x ϕ (X m).

X m = m-np / √npq.

Da biste bolje zapamtili Laplaceovu formulu (teorija vjerojatnosti), primjeri problema koji će vam pomoći u nastavku.

Prvo, nađemo X m, zamijenimo podatke (svi su oni gore navedeni) u formulu i dobijemo 0,025. Koristeći tabele, nalazimo broj ϕ (0,025), čija je vrijednost 0,3988. Sada možete zamijeniti sve podatke u formuli:

R 800 (267) = 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Dakle, vjerovatnoća da će letak ispaliti tačno 267 puta je 0,03.

Bayesova formula

Bayesova formula (teorija vjerovatnoće), primjeri rješavanja zadataka uz pomoć kojih će biti dati u nastavku, je jednačina koja opisuje vjerovatnoću događaja, na osnovu okolnosti koje bi se mogle povezati s njim. Osnovna formula izgleda ovako:

P (A | B) = P (B | A) x P (A) / P (B).

A i B su određeni događaji.

P (A | B) - uslovna vjerovatnoća, odnosno događaj A može se dogoditi pod uslovom da je događaj B istinit.

P (B | A) - uslovna vjerovatnoća događaja B.

Dakle, završni dio kratkog kursa "Teorija vjerojatnosti" je Bayesova formula, primjeri rješavanja problema s kojima su u nastavku.

Zadatak 5: U magacin smo doneli telefone iz tri firme. Istovremeno, deo telefona koji se proizvodi u prvoj fabrici je 25%, u drugoj - 60%, u trećoj - 15%. Takođe je poznato da je prosečan procenat neispravnih proizvoda u prvoj fabrici 2%, u drugoj - 4%, au trećoj - 1%. Potrebno je pronaći vjerovatnoću da će se slučajno odabrani telefon pokazati neispravnim.

A = "slučajno odabran telefon."

B 1 - telefon koji je prva fabrika napravila. Shodno tome, biće ulaz B 2 i B 3 (za drugu i treću fabriku).

Kao rezultat, dobijamo:

P (B 1) = 25% / 100% = 0,25; P (B 2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 - tako smo pronašli vjerovatnoću svake opcije.

Sada morate pronaći uslovne vjerovatnoće željenog događaja, odnosno vjerovatnoću neispravnih proizvoda u firmama:

P (A / B 1) = 2% / 100% = 0,02;

P (A / B 2) = 0,04;

P (A / B 3) = 0,01.

Sada zamjenjujemo podatke u Bayesovu formulu i dobivamo:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

Članak predstavlja teoriju vjerovatnoće, formule i primjere rješavanja problema, ali ovo je samo vrh ledenog brega jedne ogromne discipline. I nakon svega napisanog, logično će se postaviti pitanje da li je teorija vjerovatnoće potrebna u životu. Običnom čovjeku je teško odgovoriti, bolje je pitati o tome od onoga koji je uz njegovu pomoć više puta pogodio džekpot.

Teorija vjerovatnoće je prilično opsežna nezavisna grana matematike. U školskom kursu teorija vjerovatnoće se razmatra vrlo površno, međutim, na ispitu i GIA postoje zadaci na ovu temu. Međutim, rješavanje zadataka školskog predmeta nije tako teško (barem što se aritmetičkih operacija tiče) - ovdje ne morate brojati izvode, uzimati integrale i rješavati složene trigonometrijske transformacije - najvažnije je biti u stanju rukuju prostim brojevima i razlomcima.

Teorija vjerovatnoće - osnovni pojmovi

Glavni pojmovi teorije vjerovatnoće su pokušaj, ishod i slučajni događaj. Test u teoriji vjerovatnoće je eksperiment - baciti novčić, izvući kartu, izvući ždrijeb - sve su to testovi. Rezultat testa, pogađate, zove se ishod.

A šta je slučajnost događaja? U teoriji vjerovatnoće, pretpostavlja se da se test provodi više puta i da ima mnogo ishoda. Mnogi ishodi ispitivanja nazivaju se slučajnim događajem. Na primjer, ako bacite novčić, mogu se dogoditi dva slučajna događaja - glava ili rep.

Nemojte brkati koncepte ishoda i slučajnog događaja. Ishod je jedan rezultat jednog ispitivanja. Slučajni događaj je skup mogućih ishoda. Usput, postoji termin nemogući događaj. Na primjer, događaj "broj 8" na standardnoj kocki nije moguć.

Kako pronalazite vjerovatnoću?

Svi otprilike razumijemo šta je vjerovatnoća i vrlo često koristimo ovu riječ u svom rječniku. Osim toga, možemo čak izvući neke zaključke o vjerovatnoći ovog ili onog događaja, na primjer, ako je snijeg izvan prozora, najvjerovatnije možemo reći da sada nije ljeto. Međutim, kako se ova pretpostavka može numerički izraziti?

Da bismo uveli formulu za pronalaženje vjerovatnoće, uvodimo još jedan pojam - povoljan ishod, odnosno ishod koji je povoljan za određeni događaj. Definicija je, naravno, prilično dvosmislena, međutim, prema stanju problema uvijek je jasno koji je od ishoda povoljan.

Na primjer: U razredu ima 25 ljudi, od kojih su tri Katya. Učiteljica postavlja Olyu na dužnost, a njoj je potreban partner. Kolika je vjerovatnoća da će Katya postati partner?

U ovom primjeru, povoljan ishod je partnerka Katya. Ovaj problem ćemo riješiti malo kasnije. Ali prvo, uz pomoć dodatne definicije, uvodimo formulu za pronalaženje vjerovatnoće.

• P = A / N, gdje je P vjerovatnoća, A je broj povoljnih ishoda, N je ukupan broj ishoda.

Svi školski problemi se vrte oko ove jedne formule, a glavna poteškoća obično leži u pronalaženju ishoda. Ponekad ih je lako pronaći, ponekad nije baš lako.

Kako riješiti vjerovatnoće?

Problem 1

Dakle, hajde da riješimo gore postavljeni problem.

Broj povoljnih ishoda (nastavnik će izabrati Katju) je tri, jer su u razredu tri Katje, a ukupno ima 24 ishoda (25-1, jer je Olya već izabrana). Tada je vjerovatnoća: P = 3/24 = 1/8 = 0,125. Dakle, vjerovatnoća da će Katya biti Olyin partner iznosi 12,5%. Nije teško, zar ne? Pogledajmo nešto malo komplikovanije.

Zadatak 2

Novčić je bačen dvaput, kolika je vjerovatnoća kombinacije: jedna glava i jedna repa?

Dakle, razmotrite ukupne rezultate. Kako kovanice mogu pasti - glave / glave, repovi / repovi, glave / repovi, repovi / glave? To znači da je ukupan broj ishoda 4. Koliko je povoljnih ishoda? Dva - glave / repovi i repovi / glave. Dakle, vjerovatnoća dobijanja kombinacije glava/repa je:

• P = 2/4 = 0,5 ili 50 posto.

Sada razmotrimo sljedeći problem. Maša ima 6 novčića u džepu: dva - 5 rubalja i četiri - 10 rubalja. Maša je stavila 3 novčića u drugi džep. Koja je vjerovatnoća da će novčići od 5 rubalja završiti u različitim džepovima?

Radi jednostavnosti, kovanice ćemo označiti brojevima - 1,2 - kovanice od pet rubalja, 3,4,5,6 - kovanice od deset rubalja. Pa kako kovanice mogu biti u vašem džepu? Ukupno ima 20 kombinacija:

• 123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256, 345, 346, 356, 456.

Na prvi pogled može izgledati da su neke kombinacije nestale, na primjer, 231, ali u našem slučaju kombinacije 123, 231 i 321 su ekvivalentne.

Sada brojimo koliko imamo povoljnih ishoda. Za njih uzimamo one kombinacije u kojima postoji ili broj 1 ili broj 2: 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256. Tako ih je 12. Dakle, njih je 12. Za njih uzimamo one kombinacije u kojima je broj 1 ili broj 2: 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256. , vjerovatnoća je:

• P = 12/20 = 0,6 ili 60%.

Problemi u teoriji vjerovatnoće koji su ovdje predstavljeni su prilično jednostavni, ali nemojte misliti da je teorija vjerovatnoće jednostavna grana matematike. Ukoliko odlučite da nastavite školovanje na fakultetu (s izuzetkom humanitarnih specijalnosti), sigurno ćete imati parove iz više matematike, gdje ćete se upoznati sa složenijim pojmovima ove teorije, a problemi će biti mnogo teži. .

Na njegovom blogu prevedeno je naredno predavanje iz kursa "Principi balansa igre" dizajnera igara Jana Šrajbera, koji je radio na projektima kao što su Marvel Trading Card Game i Playboy: The Mansion.

Do sada je skoro sve o čemu smo pričali bilo determinističko, a prošle nedelje smo pomno pogledali tranzitivnu mehaniku, rastavljajući je sa toliko detalja koliko mogu da objasnim. Ali do sada nismo obraćali pažnju na druge aspekte mnogih igara, odnosno na nedeterminističke momente - drugim riječima, na slučajnost.

Razumijevanje prirode slučajnosti je veoma važno za dizajnere igara. Mi kreiramo sisteme koji utiču na korisničko iskustvo u datoj igri, tako da moramo znati kako ti sistemi rade. Ako postoji slučajnost u sistemu, morate razumjeti prirodu ove nasumice i znati kako je promijeniti da bismo dobili rezultate koji su nam potrebni.

Dice

Počnimo s nečim jednostavnim - bacanjem kocke. Kada većina ljudi pomisli na kocku, pomisli na kockicu sa šest strana poznata kao d6. Ali većina igrača je vidjela mnogo drugih kockica: četverostrane (d4), oktaedarske (d8), dvanaestostrane (d12), dvadesetostrane (d20). Ako ste pravi štreber, možda negdje imate kosti sa 30 ili 100 strana.

Ako niste upoznati s ovom terminologijom, d označava kockicu, a broj iza nje je broj njegovih rubova. Ako je broj ispred d, onda on označava broj kockica koje treba baciti. Na primjer, u Monopolu bacate 2d6.

Dakle, u ovom slučaju, izraz "kocka" je konvencionalna oznaka. Postoji ogroman broj drugih generatora slučajnih brojeva koji ne izgledaju kao plastične figure, ali obavljaju istu funkciju - generiraju slučajni broj od 1 do n. Običan novčić se takođe može predstaviti kao diedralna kocka.

Vidio sam dva dizajna sedmostrane kocke: jedna je ličila na kocku, a druga je više ličila na drvenu olovku sa sedam strana. Tetraedarski dreidel, također poznat kao titotum, analog je tetraedarske kosti. Polje za igru ​​sa strelicom koja se okreće u Chutes & Ladders, gdje rezultat može biti od 1 do 6, odgovara heksadecimalnoj kocki.

Generator slučajnih brojeva u računaru može kreirati bilo koji broj od 1 do 19 ako dizajner da takvu naredbu, iako u računaru nema kockice sa 19 strana (općenito, govorit ću detaljnije o vjerovatnoći dobivanja brojeva na računaru sledeće nedelje). Sve ove stavke izgledaju drugačije, ali u stvarnosti su ekvivalentne: imate jednake šanse za svaki od nekoliko mogućih ishoda.

Kockice imaju neke zanimljive osobine o kojima moramo znati. Prvo, vjerovatnoća da neko lice ispadne je ista (pretpostavljam da bacate kocku ispravnog geometrijskog oblika). Ako želite da znate prosječnu vrijednost kotrljanja (za one koji vole teoriju vjerovatnoće, to je poznato kao matematičko očekivanje), zbrojite vrijednosti na svim rubovima i podijelite taj broj sa brojem rubova.

Zbir vrijednosti svih lica za standardnu ​​heksagonalnu kockicu je 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Podijelite 21 sa brojem lica i dobićemo prosječnu vrijednost bacanja: 21/6 = 3,5 . Ovo je poseban slučaj jer pretpostavljamo da su svi ishodi jednako vjerovatni.

Šta ako imate posebne kockice? Na primjer, vidio sam igru ​​sa šesterokutnom kockom sa posebnim naljepnicama na rubovima: 1, 1, 1, 2, 2, 3, pa se ponaša kao čudna trokutna kocka, koja ima veće šanse da dobije broj 1 nego 2. i vjerovatnije je da će baciti 2 nego 3. Koja je prosječna vrijednost bacanja za ovu kockicu? Dakle, 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10, podijelite sa 6 - ispada 5/3, ili otprilike 1,66. Dakle, ako imate posebnu kockicu i igrači će baciti tri kockice i zatim zbrojiti rezultate, znate da će zbir njihovog bacanja biti oko 5, i možete izbalansirati igru ​​na osnovu ove pretpostavke.

Kockice i nezavisnost

Kao što sam rekao, polazimo od pretpostavke da će svako lice podjednako ispasti. Nije važno koliko kockica bacite. Svako bacanje kockice je nezavisno - to znači da prethodna bacanja ne utiču na rezultate narednih bacanja. Uz dovoljno pokušaja, sigurno ćete primijetiti niz brojeva - na primjer, ispadanje sa uglavnom viših ili nižih vrijednosti - ili drugih karakteristika, ali to ne znači da su kockice "vruće" ili "hladne". Pričaćemo o ovome kasnije.

Ako bacite standardnu ​​šestostranu kocku, a broj 6 se pojavi dva puta zaredom, vjerovatnoća da će sljedeće bacanje rezultirati 6 je također 1/6. Vjerovatnoća se ne povećava od činjenice da je kocka “ zagrijan". Istovremeno, vjerovatnoća se ne smanjuje: pogrešno je tvrditi da je broj 6 ispao dva puta zaredom, što znači da bi sada trebao ispasti još jedan aspekt.

Naravno, ako bacite kocku dvadeset puta i svaki put kada se pojavi broj 6, šansa da dvadeset i prvi put bacite šesticu je prilično velika: možda imate pogrešnu kocku. Ali ako je kocka ispravna, vjerovatnoća da će svako lice biti ispušteno je ista, bez obzira na rezultate ostalih bacanja. Također možete zamisliti da svaki put zamjenjujemo kockicu: ako se broj 6 pojavi dvaput zaredom, uklonite vrući kockicu iz igre i zamijenite je novom. Izvinjavam se ako je neko od vas već znao za ovo, ali morao sam ovo da razjasnim pre nego što nastavim.

Kako učiniti da kockice padaju manje-više nasumično

Razgovarajmo o tome kako postići različite rezultate na različitim kockicama. Ako bacite kockicu samo jednom ili nekoliko puta, igra će se činiti nasumičnijom kada kockice imaju više rubova. Što češće bacate kockice i što više kockica bacate, rezultati se više približavaju prosjeku.

Na primjer, u slučaju 1d6 + 4 (to jest, ako jednom bacite standardnu ​​heksadecimalnu kocku i rezultatu dodate 4), prosjek će biti 5 do 10. Ako bacite 5d2, prosjek će također biti 5 do 10. Bacanje 5d2 će uglavnom rezultirati brojevima 7 i 8, rijetko drugim vrijednostima. Ista serija, čak i isti prosek (7,5 u oba slučaja), ali je priroda slučajnosti drugačija.

Sačekaj minutu. Nisam li upravo rekao da se kockice ne "griju" niti "hlade"? Sada kažem, ako bacate mnogo kockica, rezultati bacanja su blizu prosjeka. Zašto?

Dopusti mi da objasnim. Ako bacite jednu kockicu, vjerovatnoća da će svako lice biti ispušteno je ista. To znači da ako bacite mnogo kockica tokom određenog vremenskog perioda, svako lice će ispasti približno isti broj puta. Što više kockica bacite, to će se kumulativni rezultat više približiti prosjeku.

To nije zato što ispušteni broj "čini" drugi broj koji još nije ispao. Ali zato što mali niz broja 6 (ili 20, ili neki drugi broj) na kraju neće baš toliko uticati na rezultat ako bacite kocku još deset hiljada puta i prosečna vrednost će uglavnom ispasti. Sada ćete dobiti nekoliko velikih brojeva, a kasnije nekoliko malih - i vremenom će se približiti prosječnoj vrijednosti.

To nije zato što prethodna bacanja utječu na kockice (ozbiljno, kockica je napravljena od plastike, nema mozga da pomisli: "Oh, nije se dugo bacala"), već zato što se to obično dešava s velikim broj bacanja kockica.

Dakle, prilično je lako napraviti proračune za jedno nasumično bacanje kocke - barem izračunajte prosječnu vrijednost bacanja. Postoje i načini da se izračuna „koliko se slučajno“ nešto dešava i kaže se da će rezultati bacanja 1d6 + 4 biti „nasumičniji“ od 5d2. Za 5d2, dobijeni rezultati će biti ravnomjernije raspoređeni. Da biste to učinili, morate izračunati standardnu ​​devijaciju: što je veća vrijednost, to će rezultati biti nasumičniji. Ne bih da danas iznosim toliko kalkulacija, kasnije ću objasniti ovu temu.

Jedina stvar koju ću vas zamoliti da zapamtite je da kao opšte pravilo, što manje kockica bacite, to je slučajnost veća. I još više, što više lica ima kocka, to je veća slučajnost, jer postoji više mogućih varijanti vrijednosti.

Kako izračunati vjerovatnoću brojanjem

Možda se pitate: kako možemo izračunati tačnu vjerovatnoću da dobijemo određeni rezultat? U stvari, ovo je vrlo važno za mnoge igre: ako u početku bacite kocku, najvjerovatnije postoji neki optimalan rezultat. Odgovor je: trebamo izbrojati dvije vrijednosti. Prvo, ukupan broj ishoda kada je kocka bačena, i drugo, broj povoljnih ishoda. Ako drugu vrijednost podijelite s prvom, dobijate željenu vjerovatnoću. Da biste dobili postotak, pomnožite rezultat sa 100.

Primjeri

Evo vrlo jednostavnog primjera. Želite da se pojavi 4 ili više i jednom baci šesterokutnu kocku. Maksimalan broj ishoda je 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Od toga su 3 ishoda (4, 5, 6) povoljna. Dakle, da biste izračunali vjerovatnoću, podijelite 3 sa 6 i dobijete 0,5 ili 50%.

Evo primjera koji je malo komplikovaniji. Želite da se parni broj pojavi na bacanju 2d6. Maksimalan broj ishoda je 36 (6 opcija za svaku kocku, jedna kocka ne utiče na drugu, tako da pomnožimo 6 sa 6 i dobijemo 36). Poteškoća s ovom vrstom pitanja je u tome što je lako dvaput prebrojati. Na primjer, pri bacanju 2d6, postoje dva ishoda od 3: 1 + 2 i 2 + 1. Izgledaju isto, ali razlika je u tome koji je broj prikazan na prvom kocku, a koji na drugom.

Također možete zamisliti da su kockice različitih boja: na primjer, u ovom slučaju, jedna kockica je crvena, a druga plava. Zatim prebrojite broj opcija za dobijanje parnog broja:

• 2 (1+1);
• 4 (1+3);
• 4 (2+2);
• 4 (3+1);
• 6 (1+5);
• 6 (2+4);
• 6 (3+3);
• 6 (4+2);
• 6 (5+1);
• 8 (2+6);
• 8 (3+5);
• 8 (4+4);
• 8 (5+3);
• 8 (6+2);
• 10 (4+6);
• 10 (5+5);
• 10 (6+4);
• 12 (6+6).

Ispada da postoji 18 opcija za povoljan ishod od 36 - kao iu prethodnom slučaju, vjerovatnoća je 0,5 ili 50%. Možda neočekivano, ali prilično tačno.

Monte Carlo Simulacija

Šta ako imate previše kockica za brojanje? Na primjer, želite da znate kolika je vjerovatnoća da će iznos od 15 ili više biti bačen na bacanje 8d6. Postoji toliko različitih rezultata za osam kockica, a njihovo ručno brojanje će potrajati jako dugo - čak i ako nađemo neko dobro rješenje za grupiranje različitih serija bacanja kockica.

U ovom slučaju, najlakši način je da ne računate ručno, već da koristite računar. Postoje dva načina za izračunavanje vjerovatnoće na računaru. Prva metoda se može koristiti da bi se dobio tačan odgovor, ali uključuje malo programiranja ili skriptiranja. Računar će pogledati svaku priliku, procijeniti i izbrojati ukupan broj iteracija i broj iteracija koje odgovaraju željenom rezultatu, a zatim će dati odgovore. Vaš kod bi mogao izgledati otprilike ovako:

Ako niste upoznati sa programiranjem i ne treba vam tačan, već približan odgovor, ovu situaciju možete simulirati u Excelu, gdje bacite 8d6 nekoliko hiljada puta i dobijete odgovor. Za roll 1d6 u Excelu koristite formulu = POD (RAND () * 6) +1.

Postoji naziv za situaciju u kojoj ne znate odgovor i samo ga pokušavate iznova i iznova - Monte Carlo simulacija. Ovo je odlično rješenje za korištenje kada je izračunavanje vjerovatnoće preteško. Odlična stvar je što u ovom slučaju ne moramo razumjeti kako matematički proračun funkcionira, a znamo da će odgovor biti "prilično dobar", jer, kao što već znamo, što više bacanja, to se rezultat više približava prosječna vrijednost.

Kako kombinovati nezavisne testove

Ako pitate o višestrukim izazovima koji se ponavljaju, ali neovisni, ishod jednog bacanja ne utječe na ishod drugih bacanja. Postoji još jedno jednostavnije objašnjenje za ovu situaciju.

Kako razlikovati nešto zavisno i nezavisno? U osnovi, ako možete razlikovati svako bacanje (ili niz bacanja) kocke kao poseban događaj, onda je to nezavisno. Na primjer, bacamo 8d6 i želimo ukupno 15. Ovaj događaj se ne može podijeliti na više nezavisnih bacanja kockica. Da biste dobili rezultat, izračunate zbir svih vrijednosti, tako da rezultat koji padne na jednu kockicu utječe na rezultate koji bi trebali pasti na druge.

Evo primjera nezavisnog bacanja: igrate se kockicama i bacate šestostrane kockice nekoliko puta. Da biste ostali u igri, prvo bacanje mora biti 2 ili više. Za drugo bacanje, 3 ili bolje. Za treće je potrebno 4 ili više, za četvrto 5 ili više, a za peto 6. Ako je svih pet bacanja uspješnih, pobjeđujete. U ovom slučaju, sve rolne su neovisne. Da, ako je jedno bacanje neuspješno, to će utjecati na ishod cijele igre, ali jedno bacanje ne utiče na drugo. Na primjer, ako je vaše drugo bacanje kockice vrlo uspješno, to ne znači da će sljedeće bacanje biti jednako dobro. Stoga možemo razmotriti vjerovatnoću svakog bacanja kocke posebno.

Ako imate nezavisne verovatnoće i želite da znate kolika je verovatnoća da će se svi događaji dogoditi, definišete svaku pojedinačnu verovatnoću i pomnožite ih. Drugi način: ako koristite veznik "i" da opišete nekoliko uslova (na primjer, kolika je vjerovatnoća nekog slučajnog događaja i nekog drugog nezavisnog slučajnog događaja?) - prebrojite pojedinačne vjerovatnoće i pomnožite ih.

Nije važno šta mislite - nikada nemojte sabirati nezavisne vjerovatnoće. Ovo je uobičajena greška. Da biste razumjeli zašto je to pogrešno, zamislite situaciju u kojoj bacate novčić i želite znati kolika je vjerovatnoća da će dva puta zaredom izaći "glave". Verovatnoća da svaka strana ispadne je 50%. Ako saberete ove dvije vjerovatnoće, dobijate 100% šanse da dobijete glave, ali znamo da to nije tačno, jer bi dva puta zaredom moglo doći do problema. Ako, umjesto toga, pomnožite dvije vjerovatnoće, dobićete 50% * 50% = 25% - ovo je tačan odgovor za izračunavanje vjerovatnoće da ćete udariti glavom dva puta zaredom.

Primjer

Vratimo se na igru ​​sa šesterostranim kockicama, gdje želite da se prvi pojavi broj veći od 2, zatim više od 3 i tako dalje do 6. Koje su šanse da će svi ishodi biti povoljni u datom serija od pet bacanja?

Kao što je gore navedeno, ovo su nezavisni testovi, tako da izračunavamo vjerovatnoće za svako pojedinačno bacanje i zatim ih množimo. Vjerovatnoća da će ishod prvog bacanja biti povoljan je 5/6. Drugi je 4/6. Treći je 3/6. Četvrti - 2/6, peti - 1/6. Sve rezultate pomnožimo jedni s drugima i dobijemo oko 1,5%. Pobjede u ovoj igri su prilično rijetke, tako da ako dodate ovaj element svojoj igri, trebat će vam prilično veliki džekpot.

Negacija

Evo još jednog korisnog savjeta: ponekad je teško izračunati vjerovatnoću da će se događaj dogoditi, ali je lakše odrediti šanse da se događaj neće dogoditi. Na primjer, pretpostavimo da imamo drugu igru: bacate 6d6 i pobjeđujete ako bacite 6 barem jednom. Kolika je vjerovatnoća pobjede?

U ovom slučaju postoji mnogo opcija koje treba razmotriti. Možda će jedan broj 6 pasti, odnosno jedna od kockica će imati broj 6, a ostale će imati brojeve od 1 do 5, tada postoji 6 opcija koja će od kockica biti 6. Možete dobiti broj 6 na dvije kocke, ili tri, ili čak i više, i svaki put trebate posebno brojati, tako da se ovdje lako možete zbuniti.

Ali pogledajmo problem s druge strane. Izgubit ćete ako nijedna kocka ne baci broj 6. U ovom slučaju imamo 6 nezavisnih pokušaja. Vjerovatnoća da će svaka kocka pasti na broj koji nije 6 je 5/6. Pomnožite ih i dobit ćete oko 33%. Dakle, vjerovatnoća gubitka je jedan prema tri. Stoga je vjerovatnoća pobjede 67% (ili dva do tri).

Očigledno je iz ovog primjera: ako uzmete u obzir vjerovatnoću da se događaj neće dogoditi, rezultat je potrebno oduzeti od 100%. Ako je vjerovatnoća pobjede 67%, onda je vjerovatnoća gubitka 100% minus 67%, odnosno 33%, i obrnuto. Ako je teško izračunati jednu vjerovatnoću, ali je lako izračunati suprotnu, izračunajte suprotnu, a zatim oduzmite taj broj od 100%.

Kombinovanje uslova za jedan nezavisni test

Rekao sam malo iznad da nikada ne treba sabrati vjerovatnoće u nezavisnim ispitivanjima. Postoje li slučajevi u kojima možete zbrojiti vjerovatnoće? Da, u jednoj posebnoj situaciji.

Ako želite izračunati vjerovatnoću za nekoliko nepovezanih povoljnih ishoda istog ispitivanja, dodajte vjerovatnoće svakog povoljnog ishoda. Na primjer, vjerovatnoća dobijanja brojeva 4, 5 ili 6 na 1d6 jednaka je zbiru vjerovatnoće da se dobije broj 4, vjerovatnoće da se dobije broj 5 i vjerovatnoće da se dobije broj 6. Ova situacija može se predstaviti na sljedeći način: ako koristite veznik “ili” u pitanju o vjerovatnoći (na primjer, kolika je vjerovatnoća određenog ishoda jednog slučajnog događaja?) – izračunajte pojedinačne vjerovatnoće i zbrojite ih.

Imajte na umu: kada izračunate sve moguće ishode igre, zbir vjerovatnoća njihovog nastupa mora biti jednak 100%, inače je vaš proračun pogrešno napravljen. Ovo je dobar način da još jednom provjerite svoje proračune. Na primjer, analizirali ste vjerovatnoću da dobijete sve ruke u pokeru. Ako zbrojite sve rezultate koje dobijete, trebali biste završiti s točno 100% (ili barem vrijednošću koja je prilično blizu 100%: ako koristite kalkulator, može doći do male greške zaokruživanja, ali ako dodate tačnu vrijednost brojevi ručno, sve bi trebalo da ispadne) ). Ako se zbroj ne zbroji, to znači da, najvjerovatnije, niste uzeli u obzir neke kombinacije ili ste pogrešno izračunali vjerovatnoće nekih kombinacija, te je potrebno izračune još jednom provjeriti.

Nejednake vjerovatnoće

Do sada smo pretpostavljali da svako lice kockice ispada sa istom frekvencijom, jer kockica tako funkcionira. Ali ponekad se možete suočiti sa situacijom u kojoj su mogući različiti ishodi i različite šanse da budu odbačeni.

Na primjer, u jednom od dodataka za kartašku igru ​​Nuclear War nalazi se polje za igru ​​sa strelicom, o kojoj ovisi rezultat lansiranja rakete. Najčešće nanosi normalnu štetu, jaču ili slabiju, ali ponekad je šteta udvostručena ili utrostručena, ili raketa eksplodira na lansirnoj rampi i povrijedi vas ili se dogodi neki drugi događaj. Za razliku od ploče sa strijelom u Chutes & Ladders ili A Game of Life, rezultati ploče Nuclear War su neujednačeni. Neki delovi igrališta su veći i strelica se kod njih zaustavlja mnogo češće, dok su drugi delovi veoma mali i strelica se kod njih zaustavlja retko.

Dakle, na prvi pogled kost izgleda otprilike ovako: 1, 1, 1, 2, 2, 3 - već smo pričali o tome, to je nešto poput ponderisanog 1d3. Dakle, sve ove isječke treba podijeliti na jednake dijelove, pronaći najmanju mjernu jedinicu, djelitelj kojem je sve višestruko, a zatim prikazati situaciju u obliku d522 (ili nekog drugog), gdje je skup lica kockice će predstavljati istu situaciju, ali sa puno ishoda. Ovo je jedan od načina rješavanja problema, i tehnički je izvodljiv, ali postoji lakša opcija.

Vratimo se na naše standardne heksadecimalne kocke. Rekli smo da da biste izračunali prosječnu vrijednost bacanja za normalnu kocku, trebate zbrojiti vrijednosti na svim rubovima i podijeliti ih brojem rubova, ali kako točno funkcionira proračun? Možete to drugačije izraziti. Za heksagonalnu kocku, vjerovatnoća da svako lice ispadne je tačno 1/6. Sada množimo ishod svakog aspekta sa vjerovatnoćom tog ishoda (u ovom slučaju 1/6 za svaki aspekt), a zatim dodajemo rezultirajuće vrijednosti. Dakle, sumiramo (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6) , dobijamo isti rezultat (3.5) kao u prethodnom proračunu. U stvari, svaki put računamo ovo: svaki ishod množimo vjerovatnoćom tog ishoda.

Možemo li napraviti istu kalkulaciju za strijelca na terenu u Nuklearnom ratu? Naravno da možemo. A ako saberemo sve pronađene rezultate, dobićemo prosjek. Sve što treba da uradimo je da izračunamo verovatnoću svakog ishoda za strelicu na tabli i pomnožimo sa vrednošću ishoda.

Još jedan primjer

Spomenuti način izračunavanja prosjeka je također prikladan ako su rezultati jednako vjerojatni, ali imaju različite prednosti - na primjer, ako bacite kocku i dobijete više na nekim rubovima od drugih. Na primjer, uzmite kazino igru: kladite se i bacate 2d6. Ako ispadnu tri broja s najmanjom vrijednošću (2, 3, 4) ili četiri broja s najvećom vrijednošću (9, 10, 11, 12), dobit ćete iznos jednak vašoj opkladi. Brojevi s najnižom i najvećom vrijednošću su posebni: ako se pojavi 2 ili 12, dobit ćete dvostruko više od vaše opklade. Ako ispadne bilo koji drugi broj (5, 6, 7, 8), izgubit ćete opkladu. To je prilično jednostavna igra. Ali kolika je vjerovatnoća pobjede?

Počnimo s brojanjem koliko puta možete pobijediti. Maksimalan broj ishoda na bacanju 2d6 je 36. Koliko ima uspješnih ishoda?

• Postoji 1 opcija za 2 i 1 opcija za 12.
• Postoje 2 opcije, koje će biti 3 i 2 opcije, kojih će biti 11.
• Postoje 3 opcije za 4 i 3 opcije za 10.
• Postoje 4 opcije, od kojih će biti 9.

Sumirajući sve opcije, dobijamo 16 povoljnih ishoda od 36. Dakle, u normalnim uslovima ćete pobediti 16 puta od 36 mogućih - verovatnoća pobede je nešto manja od 50%.

Ali u dva slučaja od tih šesnaest, dobijete duplo više - to je kao da dobijete dva puta. Ako igrate ovu igru ​​36 puta, kladeći se svaki put 1 dolar, a svaki od svih mogućih ishoda dođe jednom, osvajate 18 dolara (u stvari, pobjeđujete 16 puta, ali dva od njih se računaju kao dvije pobjede). Ako igrate 36 puta i osvojite 18 dolara, ne znači li to da su šanse jednake?

Ne žuri. Ako izbrojite koliko puta možete da izgubite, dobijate 20, a ne 18. Ako igrate 36 puta, kladeći se svaki put po 1$, dobijate ukupno 18$ na sve dobre ishode. Ali ćete izgubiti ukupno 20 dolara na svih 20 negativnih ishoda. Kao rezultat toga, malo ćete zaostajati: gubite u prosjeku 2 USD neto na svakih 36 utakmica (možete reći i da gubite u prosjeku 1/18 USD dnevno). Sada možete vidjeti kako je u ovom slučaju lako pogriješiti i pogrešno izračunati vjerovatnoću.

Permutacija

Do sada smo pretpostavljali da redosled brojeva prilikom bacanja kocke nije bitan. Bacanje 2 + 4 je isto kao i bacanje 4 + 2. U većini slučajeva ručno izračunavamo broj dobrih rezultata, ali ponekad je ova metoda nepraktična i bolje je koristiti matematičku formulu.

Primjer ove situacije je iz igre s kockicama Farkle. Za svaku novu rundu bacate 6d6. Ako ste dovoljno sretni da dobijete sve moguće rezultate 1-2-3-4-5-6 (strejt), dobit ćete veliki bonus. Koja je vjerovatnoća da će se to dogoditi? U ovom slučaju postoji mnogo opcija za ovu kombinaciju.

Rješenje izgleda ovako: jedna od kockica (i samo jedna) treba da ima broj 1. Koliko varijanti broja 1 na jednoj kocki? Postoji 6 opcija, pošto ima 6 kockica, a svaka od njih može imati broj 1. Shodno tome, uzmite jednu kockicu i ostavite je sa strane. Sada bi jedna od preostalih kockica trebala imati broj 2. Za to postoji 5 opcija. Uzmite još jednu kocku i ostavite je sa strane. Tada na 4 preostale kocke može ispasti broj 3, na 3 preostale kockice može ispasti broj 4, na 2 kockice - broj 5. Kao rezultat, ostaje vam jedna kockica na kojoj je broj 6 bi trebalo da padne (u ovom drugom slučaju kockica je jedna kost i nema izbora).

Da bismo izračunali broj povoljnih ishoda za ravnu kombinaciju, množimo sve različite nezavisne opcije: 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 - čini se da postoji prilično veliki broj opcija za ovu kombinaciju.

Da bismo izračunali vjerovatnoću dobivanja prave kombinacije, trebamo podijeliti 720 sa brojem svih mogućih ishoda za bacanje 6d6. Koliki je broj svih mogućih ishoda? Svaka kocka može imati 6 lica, tako da množimo 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 46656 (mnogo više od prethodnog). Podijelite 720 sa 46656 da dobijete vjerovatnoću od oko 1,5%. Ako ste dizajnirali ovu igru, bilo bi korisno da znate kako biste mogli kreirati odgovarajući sistem bodovanja. Sada razumijemo zašto u Farkleu dobijate tako veliki bonus ako dobijete direktnu kombinaciju: ovo je prilično rijetka situacija.

Rezultat je zanimljiv i iz još jednog razloga. Primjer pokazuje kako rijetko u kratkom periodu ispadne rezultat koji odgovara vjerovatnoći. Naravno, ako bismo bacili nekoliko hiljada kockica, različita lica kockica bi često ispadala. Ali kada bacimo samo šest kockica, gotovo se nikada ne desi da svako lice ispadne. Postaje jasno da je glupo očekivati ​​da će sada biti linija koja još nije bila, jer „već dugo nismo dobili broj 6“. Slušaj, tvoj generator slučajnih brojeva je pokvaren.

Ovo nas dovodi do uobičajene zablude da se svi ishodi dešavaju na istoj frekvenciji u kratkom vremenskom periodu. Ako bacimo kocku nekoliko puta, frekvencija svake od ivica neće biti ista.

Ako ste ikada radili na online igrici sa generatorom slučajnih brojeva, onda ste najvjerovatnije naišli na situaciju da igrač piše tehničkoj podršci uz žalbu da generator slučajnih brojeva ne prikazuje slučajne brojeve. Do ovakvog zaključka je došao jer je ubio 4 čudovišta zaredom i dobio 4 potpuno iste nagrade, a ove nagrade bi trebale ispasti samo 10% vremena, tako da se to, očigledno, gotovo nikada ne bi smjelo dogoditi.

Radite matematički proračun. Vjerovatnoća je 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10, odnosno 1 ishod od 10 hiljada je prilično rijedak slučaj. Ovo je ono što igrač pokušava da vam kaže. Postoji li problem u ovom slučaju?

Sve zavisi od okolnosti. Koliko igrača je sada na vašem serveru? Recimo da imate prilično popularnu igru ​​i 100.000 ljudi je igra svaki dan. Koliko igrača će ubiti četiri čudovišta zaredom? Možda sve, nekoliko puta dnevno, ali pretpostavimo da polovina njih jednostavno razmjenjuje različite predmete na aukcijama, prepisuje na RP serverima ili izvodi druge radnje u igri - dakle samo polovina njih lovi čudovišta. Kolika je vjerovatnoća da će neko dobiti istu nagradu? U ovoj situaciji možete očekivati ​​da će se to dogoditi barem nekoliko puta dnevno.

Usput, zato se čini da svakih nekoliko sedmica neko dobije na lutriji, čak i ako taj neko nikada niste bili vi ili neko koga poznajete. Ako dovoljno ljudi igra redovno, velike su šanse da će negdje biti barem jedan sretnik. Ali ako sami igrate lutriju, malo je vjerovatno da ćete dobiti, verovatnije je da ćete biti pozvani da radite u Infinity Wardu.

Mape i ovisnost

Razgovarali smo o nezavisnim događajima, kao što je bacanje kocke, a sada znamo mnogo moćnih alata za analizu slučajnosti u mnogim igrama. Izračunavanje vjerovatnoće je malo teže kada je u pitanju vađenje karata iz špila, jer svaka karta koju izvadimo utiče na one koje ostanu u špilu.

Ako imate standardni špil od 52 karte, iz njega uzimate 10 srca i želite da znate vjerovatnoću da će sljedeća karta biti iste boje - vjerovatnoća se promijenila u odnosu na original jer ste već uklonili jednu kartu od odelo srca sa palube. Svaka karta koju uklonite mijenja vjerovatnoću da se sljedeća karta pojavi u špilu. U ovom slučaju, prethodni događaj utječe na sljedeći, pa ga nazivamo zavisnim od vjerovatnoće.

Imajte na umu da kada kažem "karte" mislim na bilo koju mehaničku igru ​​koja ima skup objekata i vi uklonite jedan od objekata bez da ga zamijenite. "Špil karata" u ovom slučaju je analog kese sa žetonom iz koje se vadi jedan žeton, ili urne iz koje se vade šarene kuglice (nikada nisam video igre sa urnom iz koje su vađene šarene kuglice ali nastavnici teorije vjerovatnoće iz tog razloga preferiraju ovaj primjer).

Svojstva zavisnosti

Želeo bih da pojasnim da kada su u pitanju karte, pretpostavljam da izvlačite karte, gledate ih i vadite iz špila. Svaka od ovih radnji je važno svojstvo. Da imam špil od, recimo, šest karata sa brojevima od 1 do 6, promiješao bih ih i izvadio jednu kartu, a zatim ponovo promiješao svih šest karata - ovo bi bilo slično bacanju šestostrane kocke, jer jedan rezultat ne utiče na sledeće. A ako izvučem karte i ne zamijenim ih, onda vađenjem karte 1 povećavam vjerovatnoću da sljedeći put izvučem kartu sa brojem 6. Vjerovatnoća će se povećavati dok na kraju ne izvadim ovu kartu ili promiješam špil .

Važna je i činjenica da gledamo karte. Ako izvadim kartu iz špila i ne pogledam je, neću imati dodatne informacije i, zapravo, vjerovatnoća se neće promijeniti. Ovo može zvučati kontraintuitivno. Kako jednostavno okretanje karte magično može promijeniti vjerovatnoću? Ali to je moguće jer možete izračunati vjerovatnoću za nepoznate objekte samo na osnovu onoga što znate.

Na primjer, ako promiješate standardni špil karata, pokažete 51 kartu i nijedna od njih nije kraljica trefa, onda možete biti 100% sigurni da je preostala karta kraljica trefa. Ako promiješate standardni špil karata i izvučete 51 kartu ne gledajući ih, tada je vjerovatnoća da je preostala karta kraljica trefa i dalje 1/52. Otvaranjem svake kartice dobijate više informacija.

Izračunavanje vjerovatnoće za zavisne događaje slijedi iste principe kao i za nezavisne događaje, samo što je malo komplikovanije, jer se vjerovatnoće mijenjaju kada otvorite karte. Dakle, trebate pomnožiti mnogo različitih vrijednosti umjesto da množite istu vrijednost. U stvari, to znači da moramo spojiti sve proračune koje smo uradili u jednu kombinaciju.

Primjer

Promiješate standardni špil od 52 karte i izvučete dvije karte. Koja je vjerovatnoća da ćete izvaditi par? Postoji nekoliko načina za izračunavanje ove vjerovatnoće, ali je možda najjednostavniji sljedeći: Kolika je vjerovatnoća da nećete moći izvući par izvlačeći jednu kartu? Ova vjerovatnoća je nula, tako da nije važno koju prvu kartu izvučete, sve dok se poklapa sa drugom. Nije bitno koju kartu prvu izvadimo, još uvijek imamo priliku izvaditi par. Stoga je vjerovatnoća vađenja para nakon vađenja prve kartice 100%.

Kolika je vjerovatnoća da će druga karta biti ista kao prva? U špilu je ostala 51 karta, a 3 od njih odgovaraju prvoj karti (zapravo bi bilo 4 od 52, ali ste već uklonili jednu od odgovarajućih karata kada ste izvadili prvu kartu), tako da je vjerovatnoća 1 /17. Dakle, sledeći put kada momak preko puta vas za stolom igra Texas Hold'em, on kaže: „Kul, još jedan par? Danas imam sreće, “znaćete da on najverovatnije blefira.

Šta ako dodamo dva džokera, tako da imamo 54 karte u špilu, i želimo znati kolika je vjerovatnoća da ćemo izvaditi par? Prva karta može biti džoker, a onda će u špilu biti samo jedna karta koja odgovara, a ne tri. Kako pronalazite vjerovatnoću u ovom slučaju? Podijelit ćemo vjerovatnoće i pomnožiti svaku mogućnost.

Naša prva karta može biti džoker ili neka druga karta. Verovatnoća izvlačenja džokera je 2/54, verovatnoća da se izvuče neka druga karta je 52/54. Ako je prva karta džoker (2/54), onda je vjerovatnoća da će se druga karta poklopiti s prvom 1/53. Pomnožimo vrijednosti (možemo ih pomnožiti jer su to odvojeni događaji i želimo da se dese oba događaja) i dobijemo 1/1431 - manje od jedne desetine procenta.

Ako prvo izvučete neku drugu kartu (52/54), vjerovatnoća podudarnosti sa drugom kartom je 3/53. Pomnožite vrijednosti i dobijete 78/1431 (nešto više od 5,5%). Šta ćemo sa ova dva rezultata? One se ne seku, a mi želimo da znamo verovatnoću svakog od njih, pa sabiramo vrednosti. Dobijamo konačni rezultat 79/1431 (još uvijek oko 5,5%).

Da smo hteli da budemo sigurni u tačnost odgovora, mogli bismo izračunati verovatnoću svih drugih mogućih ishoda: vađenja džokera i neslaganja druge karte, ili vađenja neke druge karte i neslaganja druge karte. Sumirajući ove vjerovatnoće i vjerovatnoću pobjede, dobili bismo tačno 100%. Ovdje neću davati matematičke proračune, ali možete pokušati da ga izračunate da biste provjerili.

Monty Hall paradoks

Ovo nas dovodi do prilično dobro poznatog paradoksa koji često zbunjuje mnoge - paradoksa Monty Halla. Paradoks je dobio ime po voditelju TV emisije Hajde da se dogovorimo.Za one koji ovu TV emisiju nikada nisu gledali, reći ću da je to bilo suprotno od Cijena je prava.

U The Price Is Right, domaćin (ranije je domaćin bio Bob Barker, ko je sada Drew Carey? Šta god) je vaš prijatelj. On želi da osvojite novac ili velike nagrade. Trudi se da vam pruži svaku priliku za pobjedu, pod uslovom da možete pogoditi koliko zapravo koštaju artikli koje su sponzori kupili.

Monty Hall se ponašao drugačije. Bio je kao zli blizanac Boba Barkera. Njegov cilj je bio da izgledaš kao idiot na nacionalnoj televiziji. Ako ste bili u emisiji, on je bio vaš protivnik, igrali ste protiv njega, a šanse za pobjedu su bile u njegovu korist. Možda sam previše oštar, ali gledajući emisiju u koju je veća vjerovatnoća da ću ući ako nosim smiješan kostim, dolazim do upravo takvih zaključaka.

Jedan od najpoznatijih memova emisije bio je ovaj: ispred vas su troja vrata, vrata broj 1, vrata broj 2 i vrata broj 3. Možete izabrati bilo koja vrata besplatno. Jedan od njih ima veliku nagradu - na primjer, novi putnički automobil. Iza druga dva vrata nema nagrada, oba nemaju nikakvu vrijednost. Trebali bi da te ponize, da iza njih ne stoji ništa, već nešto glupo, na primjer, koza ili ogromna tuba paste za zube - sve samo ne novi auto.

Odabereš jedna od vrata, Monty će ih otvoriti da saznaš da li si pobijedio ili ne... ali čekaj. Prije nego što saznamo, pogledajmo jedna od onih vrata koja niste odabrali. Monty zna iza kojih vrata se nalazi nagrada i uvijek može otvoriti vrata iza kojih nema nagrade. “Da li birate vrata broj 3? Onda otvorimo vrata broj 1 da pokažemo da iza njih nema nagrade." I sada, iz velikodušnosti, nudi vam mogućnost da zamenite odabrana vrata broj 3 za ono što se nalazi iza vrata broj 2.

U ovom trenutku postavlja se pitanje vjerovatnoće: da li ova prilika povećava vašu vjerovatnoću za pobjedu, ili je smanjuje, ili ostaje nepromijenjena? Šta ti misliš?

Tačan odgovor: mogućnost odabira različitih vrata povećava vjerovatnoću pobjede sa 1/3 na 2/3. Ovo je nelogično. Ako se do sada niste susreli sa ovim paradoksom, onda najvjerovatnije razmišljate: čekajte, kako je: otvaranjem jednih vrata magično smo promijenili vjerovatnoću? Kao što smo vidjeli na primjeru mapa, upravo to se događa kada dobijemo više informacija. Očigledno, kada odaberete prvi put, vjerovatnoća pobjede je 1/3. Kada se jedna vrata otvore, to uopće ne mijenja vjerovatnoću pobjede za prvi izbor: vjerovatnoća je i dalje 1/3. Ali vjerovatnoća da su druga vrata ispravna je sada 2/3.

Pogledajmo ovaj primjer iz druge perspektive. Vi birate vrata. Vjerovatnoća za pobjedu je 1/3. Predlažem da zamijenite druga dva vrata, što Monty Hall radi. Naravno, on otvara jedna od vrata da pokaže da iza toga nema nagrade, ali to uvijek može, tako da to zapravo ništa ne mijenja. Naravno, poželećete da izaberete drugačija vrata.

Ako vam pitanje nije sasvim jasno i trebate uvjerljivije objašnjenje, kliknite na ovaj link da biste došli do predivne male Flash aplikacije koja će vam omogućiti da detaljnije istražite ovaj paradoks. Možete igrati počevši od oko 10 vrata, a zatim postepeno preći na igru ​​sa troje vrata. Tu je i simulator u kojem možete igrati sa bilo kojim brojem vrata od 3 do 50 ili pokrenuti nekoliko hiljada simulacija i vidjeti koliko biste puta pobijedili da ste igrali.

Odaberite jedno od tri vrata - vjerovatnoća pobjede je 1/3. Sada imate dvije strategije: promijenite izbor nakon otvaranja pogrešnih vrata ili ne. Ako ne promijenite svoj izbor, tada će vjerovatnoća ostati 1/3, jer je izbor napravljen samo u prvoj fazi i morate odmah pogoditi. Ako se promijenite, onda možete pobijediti ako prvo odaberete pogrešna vrata (onda otvore još jedna pogrešna vrata, ona će ostati ispravna - promijenite odluku, samo je prihvatite). Vjerovatnoća odabira pogrešnih vrata na početku je 2/3 - pa ispada da predomislivši se udvostručujete vjerovatnoću pobjede.

Primjedba nastavnika više matematike i specijaliste za balans igre Maksima Soldatova - naravno, Schreiber je nije imao, ali bez nje je prilično teško razumjeti ovu magičnu transformaciju

I opet o paradoksu Monty Halla

Što se tiče same emisije, čak i ako Monty Hallovi rivali nisu bili dobri u matematici, on je to dobro znao. Evo šta je uradio da malo promeni igru. Ako ste izabrali vrata iza kojih se nalazila nagrada, čija je vjerovatnoća 1/3, on vam je uvijek nudio mogućnost da odaberete druga vrata. Odabereš putnički auto, a zatim ga zamijeniš za kozu i izgledat ćeš prilično blesavo - što je upravo ono što ti treba, jer je Hall nekako zao tip.

Ali ako odaberete vrata iza kojih neće biti nagrade, onda će vam on ponuditi da odaberete drugu samo polovinu vremena, ili će vam jednostavno pokazati vašu novu kozu, a vi ćete napustiti pozornicu. Hajde da analiziramo ovu novu igru ​​u kojoj Monty Hall može odlučiti hoće li vam ponuditi priliku da odaberete druga vrata ili ne.

Pretpostavimo da on slijedi ovaj algoritam: ako odaberete vrata sa nagradom, on vam uvijek nudi mogućnost da odaberete druga vrata, inače će vam jednako vjerovatno ponuditi da odaberete druga vrata ili vam dati kozu. Koja je vjerovatnoća da ćete pobijediti?

U jednoj od tri opcije odmah birate vrata iza kojih se nalazi nagrada, a domaćin vas poziva da odaberete drugu.

Od preostale dvije opcije od tri (inicijalno birate vrata bez nagrade), u polovini slučajeva domaćin će vam ponuditi da promijenite odluku, au drugoj polovini slučajeva ne.

Pola od 2/3 je 1/3, odnosno u jednom slučaju od tri ćete dobiti kozu, u jednom slučaju od tri ćete izabrati pogrešna vrata i domaćin će vam ponuditi da odaberete druga, au jednom Slučaj od tri ti ćeš izabrati prava vrata, ali on će opet ponuditi druga.

Ako se vođa ponudi da izabere druga vrata, već znamo da se taj jedan od tri slučaja, kada nam da kozu i mi odemo, nije desio. Ovo je korisna informacija: to znači da su se naše šanse za pobjedu promijenile. Dva slučaja od tri kada imamo priliku da biramo: u jednom slučaju to znači da smo tačno pogodili, a u drugom da smo tačno pogodili, dakle, ako nam je uopšte ponuđena mogućnost izbora, onda je verovatnoća našeg dobitka je 1/2, a sa stanovišta matematike nije bitno da li ostajete pri svom izboru ili birate druga vrata.

Kao i poker, ovo je psihološka igra, a ne matematička. Zašto ti je Monty ponudio izbor? On misli da si ti prostakluk koji ne zna da je odabir drugih vrata “prava” odluka i da će se tvrdoglavo držati svog izbora (uostalom, psihički je teže naći situaciju kada si izabrao auto i onda izgubio to)?

Ili vam on, odlučivši da ste pametni i odaberete druga vrata, nudi ovu šansu, jer zna da ste u početku dobro pogodili i da ćete pasti na udicu? Ili je možda netipičan za sebe i tjera vas da uradite nešto korisno za vas, jer dugo nije davao automobile, a proizvođači kažu da je publici dosadno, pa bi bilo bolje da uskoro date veliku nagradu pa da rejting nije pao?

Tako Monty povremeno uspeva da ponudi izbor, dok ukupna verovatnoća pobede ostaje jednaka 1/3. Zapamtite da postoji 1/3 šanse da ćete odmah izgubiti. Vjerovatnoća da ćete ga odmah dobiti je 1/3, au 50% ovih slučajeva ćete pobijediti (1/3 x 1/2 = 1/6).

Verovatnoća da ćete u početku pogrešno pogoditi, ali onda ćete imati priliku da izaberete druga vrata, je 1/3, au polovini ovih slučajeva ćete pobediti (takođe 1/6). Dodajte dve nezavisne šanse za pobedu i dobijate verovatnoću od 1/3, tako da nije važno da li ćete ostati pri svom izboru ili izabrati druga vrata - ukupna verovatnoća vaše pobede je 1/3 tokom cele igre.

Vjerovatnoća ne postaje veća nego u situaciji kada ste pogodili vrata, a voditelj vam je jednostavno pokazao šta je iza njih, a da vam nije ponudio da odaberete druga. Poenta prijedloga nije da se promijeni vjerovatnoća, već da se proces donošenja odluka učini zabavnijim za gledanje televizije.

Inače, ovo je jedan od razloga zašto poker može biti toliko zanimljiv: u većini formata između rundi, kada se oklade (na primjer, flop, turn i river u Texas Hold'emu), karte se postepeno otkrivaju, i ako na početku igre imate jednu šansu za pobjedu, onda se nakon svake runde opklada, kada se otvori više karata, ova vjerovatnoća se mijenja.

Paradoks dečaka i devojčice

Ovo nas dovodi do još jednog dobro poznatog paradoksa, koji po pravilu zbunjuje sve - paradoksa dečaka i devojčice. Jedina stvar o kojoj danas pišem nije direktno vezana za igre (iako pretpostavljam da vas samo moram potaknuti da kreirate odgovarajuću mehaniku igre). Ovo je više zagonetka, ali zanimljiva, a da biste je riješili, morate razumjeti uslovnu vjerovatnoću, o kojoj smo pričali gore.

Problem: Imam prijatelja sa dvoje djece, od kojih je barem jedno djevojčica. Koja je vjerovatnoća da je i drugo dijete djevojčica? Pretpostavimo da su u svakoj porodici šanse da se dobiju devojčica i dečak 50/50, a to važi za svako dete.

U stvari, neki muškarci imaju više sperme sa X ili Y hromozomom u spermi, tako da se šanse malo razlikuju. Ako znate da je jedno dijete djevojčica, šanse da dobijete drugu djevojčicu su nešto veće, osim toga, postoje i druga stanja, poput hermafroditizma. Ali da bismo riješili ovaj problem, nećemo to uzeti u obzir i pretpostaviti da je rođenje djeteta samostalan događaj i da je rođenje dječaka i djevojčice jednako vjerovatno.

Pošto je riječ o šansi 1/2, intuitivno očekujemo da će odgovor najvjerovatnije biti 1/2 ili 1/4, ili će imenilac biti neki drugi višekratnik dva. Ali odgovor je 1/3. Zašto?

Poteškoća u ovom slučaju je što informacije kojima raspolažemo smanjuju broj mogućnosti. Pretpostavimo da su roditelji ljubitelji Ulice Sezam i, bez obzira na pol dece, dali su im imena A i B. U normalnim uslovima postoje četiri podjednako verovatne mogućnosti: A i B su dva dečaka, A i B su dve devojčice, A je dječak i B je djevojčica.A je djevojčica i B je dječak. Pošto znamo da je barem jedno dijete djevojčica, možemo isključiti mogućnost da su A i B dva dječaka. Dakle, ostaju nam tri mogućnosti - i dalje jednako vjerovatne. Ako su sve mogućnosti jednako vjerovatne i postoje tri, onda je vjerovatnoća svake od njih 1/3. Samo u jednoj od ove tri opcije, oba djeteta su djevojčice, tako da je odgovor 1/3.

I opet o paradoksu dječaka i djevojčice

Rješenje problema postaje još nelogičnije. Zamislite da moj prijatelj ima dvoje djece, a jedno od njih je djevojčica koja je rođena u utorak. Pretpostavimo da je pod normalnim uslovima jednako vjerovatno da će se beba roditi bilo kojeg od sedam dana u sedmici. Koja je vjerovatnoća da je i drugo dijete djevojčica?

Možda mislite da bi odgovor i dalje bio 1/3: Šta je utorak bitan? Ali čak i u ovom slučaju, intuicija nas iznevjerava. Odgovor je 13/27, što ne samo da nije intuitivno, već je vrlo čudno. Šta je u ovom slučaju?

Zapravo, utorak mijenja vjerovatnoću jer ne znamo koje je dijete rođeno u utorak, ili su možda oboje rođeno u utorak. U ovom slučaju koristimo se istom logikom: računamo sve moguće kombinacije kada je barem jedno dijete djevojčica koja je rođena u utorak. Kao u prethodnom primjeru, pretpostavimo da se djeca zovu A i B. Kombinacije izgledaju ovako:

• A - djevojčica koja je rođena u utorak, B - dječak (u ovoj situaciji postoji 7 mogućnosti, po jedna za svaki dan u sedmici kada je dječak mogao biti rođen).
• B - devojčica rođena u utorak, A - dečak (takođe 7 mogućnosti).
• A - djevojčica koja je rođena u utorak, B - djevojčica koja je rođena drugog dana u sedmici (6 mogućnosti).
• B - djevojčica koja je rođena u utorak, A - djevojčica koja je rođena neutorkom (takođe 6 vjerovatnoća).
• A i B - dvije djevojčice koje su rođene u utorak (1 mogućnost, treba obratiti pažnju na ovo, kako ne bi brojali dva puta).

Sumiramo i dobijemo 27 različitih podjednako mogućih kombinacija rađanja djece i dana sa barem jednom mogućnošću da u utorak dobijete djevojčicu. Od toga je 13 prilika kada se rode dvije djevojčice. Također izgleda potpuno nelogično - čini se da je ovaj zadatak izmišljen samo da izazove glavobolju. Ako ste još uvijek zbunjeni, stranica teoretičara igara Jespera Yulea ima dobro objašnjenje ovog pitanja.

Ako trenutno radite na igrici

Ako postoji slučajnost u igri koju dizajnirate, ovo je odlična prilika da je analizirate. Odaberite neki element koji želite analizirati. Prvo se zapitajte kolika je vjerovatnoća da će dati element biti u kontekstu igre.

Na primjer, ako gradite RPG i razmišljate o tome kolika je vjerovatnoća da će igrač pobijediti čudovište u borbi, zapitajte se koji vam se postotak pobjeda čini ispravnim. Obično, u slučaju RPG-ova za konzole, igrači se jako uznemire kada izgube, pa je bolje da gube rijetko - 10% vremena ili manje. Ako ste RPG dizajner, vjerojatno znate bolje od mene, ali morate imati osnovnu ideju o tome kolika bi vjerovatnoća trebala biti.

Zatim se zapitajte da li su vaše vjerovatnoće zavisne (kao kod karata) ili nezavisne (kao kod kockica). Analizirajte sve moguće ishode i njihove vjerovatnoće. Uvjerite se da je zbir svih vjerovatnoća 100%. I, naravno, uporedite rezultate sa vašim očekivanjima. Bacate li kockice ili vadite karte kako ste namjeravali, ili vidite da je potrebno prilagoditi vrijednosti. I naravno, ako pronađete nedostatke, možete koristiti iste proračune da odredite koliko promijeniti vrijednosti.

Zadaća

Vaš "domaći zadatak" ove sedmice će vam pomoći da usavršite svoje vještine vjerovatnoće. Ovdje su dvije igre s kockicama i kartaška igra koju ćete analizirati korištenjem vjerovatnoće, kao i čudna mehanika igre koju sam jednom razvio i koju možete koristiti za testiranje Monte Carlo metode.

Igra broj 1 - Zmajeve kosti

Ovo je igra s kockicama koju smo jednom izmislili s kolegama (zahvaljujući Jebu Havensu i Jesse Kingu) - ona namjerno vadi ljudima mozak svojim vjerovatnoćama. Ovo je jednostavna kazino igra pod nazivom "Dragon Bones" i to je takmičenje u kockanju između igrača i kuće.

Dobijate uobičajeno 1d6 kockice. Cilj igre je baciti broj veći od kuće. Tomu se daje nestandardni 1d6 - isti kao i vaš, ali na jednom od njegovih lica umjesto jednog - lik zmaja (dakle, kazino ima kocku zmaja-2-3-4-5-6) . Ako kuća dobije zmaja, ona automatski pobjeđuje, a vi gubite. Ako oba dobiju isti broj, neriješeno je i ponovo bacate kockice. Onaj ko baci najveći broj pobjeđuje.

Naravno, stvari ne idu u potpunosti u korist igrača, jer kazino ima ivicu u obliku zmajeve ivice. Ali da li je zaista tako? To je ono što morate shvatiti. Ali prvo provjerite svoju intuiciju.

Recimo da je dobitak 2 prema 1. Dakle, ako pobijedite, zadržavate svoju opkladu i udvostručujete se. Na primjer, ako se kladite na 1 dolar i pobijedite, zadržavate taj dolar i dobijate još 2 na vrhu, za ukupno 3 dolara. Ako izgubite, gubite samo svoju opkladu. Da li bi igrao? Da li intuitivno osjećate da je vjerovatnoća veća od 2 prema 1 ili još uvijek mislite da je manja? Drugim riječima, u prosjeku u 3 utakmice, da li očekujete pobjedu više od jednom, manje ili jednom?

Kada shvatite svoju intuiciju, primijenite matematiku. Postoji samo 36 mogućih pozicija za obje kocke, tako da ih sve možete izračunati bez problema. Ako niste sigurni u ovu rečenicu 2 prema 1, razmislite o ovome: Pretpostavimo da ste igrali igru ​​36 puta (kladite se 1 dolar svaki put). Za svaku pobedu dobijate 2$, za svaki gubitak gubite 1$, a remi ništa ne menja. Izračunajte sve svoje vjerojatne pobjede i poraze i odlučite hoćete li izgubiti neki iznos dolara ili dobiti. Zatim se zapitajte koliko je vaša intuicija bila ispravna. Onda shvati kakav sam negativac.

I, da, ako ste već razmišljali o ovom pitanju - namjerno vas zbunjujem iskrivljavajući stvarnu mehaniku igre s kockicama, ali sam siguran da možete savladati ovu prepreku uz samo dobro razmišljanje. Pokušajte sami riješiti ovaj problem.

Igra # 2 - bacanje sreće

To je igra na sreću koja se zove Luck Roll (također Birdcage, jer se ponekad kockice ne bacaju, već stavljaju u veliki žičani kavez, koji podsjeća na kavez iz Binga). Igra je jednostavna i svodi se na nešto ovako: stavite, recimo, $1 na broj između 1 i 6. Zatim bacate 3d6. Za svaku kocku koja pogodi vaš broj, dobijate 1 $ (i zadržavate svoj originalni ulog). Ako se vaš broj ne pojavi ni na jednoj kocki, kazino dobija vaš dolar, a vi - ništa. Dakle, ako se kladite na 1 i dobijete 1 na ivicama tri puta, dobijate 3 dolara.

Intuitivno, čini se da ova utakmica ima jednake šanse. Svaka kocka je pojedinačna šansa 1 prema 6 za pobjedu, tako da na ukupno tri bacanja vaša šansa za pobjedu je 3 prema 6. Međutim, naravno, zapamtite da sastavljate tri odvojene kocke i smijete dodati samo ako govorimo o odvojenim dobitnim kombinacijama istih kockica. Nešto što ćete morati umnožiti.

Kada shvatite sve moguće rezultate (vjerovatno će to biti lakše u Excelu nego ručno, jer ih ima 216), igra i dalje izgleda čudno i ravnomjerno na prvi pogled. U stvari, kazino još uvijek ima više šansi za pobjedu – koliko više? Konkretno, koliko novca u prosjeku očekujete da ćete izgubiti za svaku rundu igre?

Sve što trebate učiniti je sabrati pobjede i poraze svih 216 rezultata, a zatim podijeliti sa 216, što bi trebalo biti prilično jednostavno. Ali, kao što vidite, ovdje možete upasti u nekoliko zamki, zbog čega kažem: ako vam se čini da ova igra ima jednake šanse za pobjedu, sve ste pogriješili.

Igra # 3 - 5 Card Stud Poker

Ako ste se zagrijali u prethodnim igrama, hajde da proverimo šta znamo o uslovnoj verovatnoći sa ovom kartaškom igrom. Zamislimo poker sa špilom od 52 karte. Zamislimo i 5 Card Stud, gdje svaki igrač dobija samo 5 karata. Ne možete odbaciti kartu, ne možete izvući novu, nema zajedničkog špila - dobijate samo 5 karata.

Royal Flush je 10-J-Q-K-A u jednoj ruci, ima ih ukupno četiri, tako da postoje četiri moguća načina da dobijete Royal Flush. Izračunajte vjerovatnoću da ćete dobiti jednu takvu kombinaciju.

Moram vas upozoriti na jednu stvar: zapamtite da ovih pet karata možete izvući bilo kojim redoslijedom. Odnosno, u početku možete izvući keca, ili desetku, nije važno. Zato imajte na umu kada računate da zapravo postoji više od četiri načina da dobijete Royal Flush, pod pretpostavkom da su karte podijeljene po redu.

Igra # 4 - MMF lutrija

Četvrti problem neće biti tako lako riješiti metodama o kojima smo danas govorili, ali možete lako simulirati situaciju koristeći programiranje ili Excel. Upravo na primjeru ovog problema možete razraditi metodu Monte Carlo.

Ranije sam spomenuo igru ​​Chron X na kojoj sam nekada radio, a postojala je i jedna vrlo zanimljiva karta - lutrija MMF-a. Evo kako je to funkcioniralo: koristili ste ga u igrici. Nakon završetka runde, karte su se redistribuirale, a postojala je 10% mogućnost da karta napusti igru ​​i da će nasumični igrač dobiti 5 jedinica svake vrste resursa čiji je token bio prisutan na ovoj kartici. Karta je stavljena u igru ​​bez ijednog žetona, ali svaki put kada je ostala u igri na početku sljedeće runde, dobijala je jedan žeton.

Dakle, postojala je šansa od 10% da ga uvedete u igru, runda će se završiti, karta će napustiti igru ​​i niko neće dobiti ništa. Ako se to ne dogodi (sa vjerovatnoćom od 90%), postoji 10% šanse (zapravo 9%, pošto je ovo 10% od 90%) da će u sljedećem kolu napustiti igru, a neko će dobiti 5 jedinice resursa. Ako karta izađe iz igre nakon jedne runde (10% od raspoloživih 81%, pa je vjerovatnoća 8,1%), neko će dobiti 10 jedinica, nakon druge runde - 15, druge - 20, itd. Pitanje: Koja je opšta očekivana vrednost broja resursa koje ćete dobiti od ove kartice kada ona konačno izađe iz igre?

Obično bismo ovaj problem pokušali riješiti izračunavanjem vjerovatnoće svakog ishoda i množenjem sa brojem svih ishoda. Postoji 10% šanse da ćete dobiti 0 (0,1 * 0 = 0). 9% da ćete dobiti 5 jedinica resursa (9% * 5 = 0,45 resursa). 8,1% od onoga što dobijete 10 (8,1% * 10 = 0,81 resursa - općenito, očekivana vrijednost). itd. A onda bismo sve sabrali.

A sada vam je problem očigledan: uvijek postoji šansa da karta ne izađe iz igre, može ostati u igri zauvijek, beskonačan broj rundi, tako da ne postoji način da se izračuna sva vjerovatnoća. Metode koje smo danas naučili ne daju nam mogućnost izračunavanja beskonačne rekurzije, pa ćemo je morati umjetno stvoriti.

Ako ste dovoljno dobri u programiranju, napišite program koji simulira ovu karticu. Trebali biste imati vremensku petlju koja vraća varijablu na njenu prvobitnu nultu poziciju, prikazuje nasumični broj i sa vjerovatnoćom od 10% varijabla će izaći iz petlje. U suprotnom, dodaje se 5 varijabli i petlja se ponavlja. Kada konačno izađe iz petlje, povećajte ukupan broj probnih pokretanja za 1 i ukupan broj resursa (za koliko ovisi o tome gdje je varijabla stala). Zatim resetirajte varijablu i počnite ispočetka.

Pokrenite program nekoliko hiljada puta. Konačno, podijelite ukupne resurse sa ukupnim brojem trčanja - to će biti vaša očekivana vrijednost u Monte Carlu. Pokrenite program nekoliko puta kako biste bili sigurni da su brojevi koje dobijete otprilike isti. Ako je varijacija i dalje velika, povećajte broj ponavljanja u vanjskoj petlji dok ne počnete dobivati ​​podudaranja. Možete biti sigurni da će sve brojke koje završite biti približno tačne.

Ako niste upoznati s programiranjem (mada čak i ako ste upoznati), evo male vježbe za testiranje vaših Excel vještina. Ako ste dizajner igara, ove vještine nikada neće biti suvišne.

Za sada, funkcije if i rand će dobro doći. Rand ne zahtijeva vrijednost, samo daje nasumični decimalni broj između 0 i 1. Obično ga kombiniramo sa podom i plusom i minusom da simuliramo bacanje kockice, što sam ranije spomenuo. Međutim, u ovom slučaju ostavljamo samo 10% šanse da će karta napustiti igru, tako da možemo samo provjeriti da li je vrijednost randa manja od 0,1 i ne zamarati se više s tim.

Ako ima tri značenja. Redom, uslov koji je tačan ili ne, zatim vrednost koja se vraća ako je uslov tačan i vrednost koja se vraća ako uslov nije tačan. Dakle, sljedeća funkcija će vratiti 5% vremena, a 0 ostalih 90% vremena: = IF (RAND ()<0.1,5,0) .

Postoji mnogo načina za postavljanje ove naredbe, ali ja bih koristio formulu poput ove za ćeliju koja predstavlja prvi krug, recimo da je to ćelija A1: = IF (RAND ()<0.1,0,-1) .

Ovdje koristim negativnu varijablu da znači "ova kartica nije napustila igru ​​i još nije donirala nikakve resurse." Dakle, ako je prva runda završena i karta nije u igri, A1 je 0; inače je –1.

Za sljedeću ćeliju koja predstavlja drugi krug: = IF (A1> -1, A1, IF (RAND ()<0.1,5,-1)) ... Dakle, ako je prva runda gotova i karta odmah napusti igru, A1 je 0 (broj resursa) i ova ćelija će jednostavno kopirati tu vrijednost. U suprotnom slučaju, A1 je -1 (karta još nije izašla iz igre), a ova ćelija se nastavlja nasumično kretati: 10% vremena vraća 5 jedinica resursa, dok će ostatak vremena njena vrijednost i dalje biti biti -1. Ako ovu formulu primijenimo na dodatne ćelije, dobijamo dodatne runde, a koja god ćelija vam ispadne na kraju, dobit ćete konačni rezultat (ili –1 ako karta nije izašla iz igre nakon svih odigranih rundi) .

Uzmite ovaj red ćelija, koji je jedini krug sa ovom karticom, i kopirajte i zalijepite nekoliko stotina (ili hiljada) redova. Možda nećemo moći da uradimo beskonačan Excel test (postoji ograničen broj ćelija u tabeli), ali barem možemo pokriti većinu slučajeva. Zatim odaberite jednu ćeliju u koju ćete smjestiti prosjek rezultata svih rundi - Excel ljubazno pruža funkciju prosjeka () za to.

Na Windows-u, možete barem pritisnuti F9 da ponovno prebrojite sve nasumične brojeve. Kao i prije, uradite ovo nekoliko puta i provjerite da li ćete dobiti iste vrijednosti. Ako je raspon preširok, udvostručite broj trčanja i pokušajte ponovo.

Neriješeni zadaci

Ako ste slučajno diplomirani iz teorije vjerovatnoće i navedeni problemi vam se čine previše laki - ovo su dva problema oko kojih sam godinama zbunjivao, ali nažalost, nisam dobar u matematici da ih riješim.

Neriješen problem #1: lutrija MMF-a

Prvi neriješeni problem je prethodni domaći zadatak. Lako mogu primijeniti Monte Carlo metodu (koristeći C++ ili Excel) i biti siguran u odgovor na pitanje "koliko će resursa igrač dobiti", ali ne znam tačno kako da pružim tačan matematički dokaziv odgovor ( ovo je serija bez kraja)...

Neriješen problem #2: Nizovi oblika

Ovaj problem (takođe daleko prevazilazi zadatke koji se rješavaju na ovom blogu) mi je bacio poznati igrač prije više od deset godina. Dok je igrao blackjack u Vegasu, primijetio je jednu zanimljivu osobinu: kada je vadio karte iz cipele za 8 špilova, vidio je deset komada u nizu (karta na komad ili na komad - 10, Joker, King ili Queen, dakle ima 16 komada). u standardnom špilu od 52 karte ili 128 u cipeli za 416 karata).

Koja je vjerovatnoća da ova cipela sadrži barem jednu sekvencu od deset ili više oblika? Pretpostavimo da su izmiješani iskreno, slučajnim redoslijedom. Ili, ako vam se više sviđa, kolika je vjerovatnoća da se niz od deset ili više oblika ne pojavi nigdje?

Možemo pojednostaviti zadatak. Evo sekvence od 416 dijelova. Svaki dio je 0 ili 1. Postoji 128 jedinica i 288 nula nasumično razbacanih po nizu. Koliko postoji načina da se nasumično ukršta 128 jedinica sa 288 nula, i koliko puta će na ove načine postojati barem jedna grupa od deset ili više jedinica?

Svaki put, čim sam počeo da rešavam ovaj problem, činilo mi se lako i očigledno, ali čim se udubim u detalje, odjednom se raspao i činio se jednostavno nemogućim.

Zato nemojte žuriti sa zamagljivanjem odgovora: sjedite, dobro razmislite, proučite uslove, pokušajte zamijeniti realne brojeve, jer su svi ljudi s kojima sam razgovarao o ovom problemu (uključujući nekoliko diplomiranih studenata koji rade u ovoj oblasti) reagovali oko na isti način: "Savršeno je očigledno... o, ne, čekajte, uopšte nije očigledno." To je slučaj kada nemam metodu za izračunavanje svih opcija. Ja bih, naravno, mogao problem pokrenuti metodom grube sile kroz kompjuterski algoritam, ali bi bilo mnogo zanimljivije znati matematički način njegovog rješavanja.