Podjela prirodnih brojeva, posebno višecifrenih, prikladno se provodi posebnom metodom, koja se zove podjela po koloni (u koloni). Također možete pronaći ime kutna podjela. Odmah napomenimo da se kolona može koristiti i za dijeljenje prirodnih brojeva bez ostatka i za dijeljenje prirodnih brojeva s ostatkom.

U ovom članku ćemo pogledati koliko dugo se podjela izvodi. Ovdje ćemo govoriti o pravilima snimanja i svim srednjim proračunima. Prvo, hajde da se usredsredimo na dijeljenje višecifrenog prirodnog broja jednocifrenim brojem sa kolonom. Nakon toga ćemo se fokusirati na slučajeve kada su i dividenda i djelitelj višeznačni prirodni brojevi. Cijela teorija ovog članka je opskrbljena tipičnim primjerima dijeljenja kolonom prirodnih brojeva sa detaljnim objašnjenjima procesa rješavanja i ilustracijama.

Navigacija po stranici.

Pravila za snimanje prilikom dijeljenja po stupcu

Počnimo s proučavanjem pravila za pisanje dividende, djelitelja, svih međuizračunavanja i rezultata pri dijeljenju prirodnih brojeva stupcem. Recimo odmah da je najpogodnije podjelu stupaca pisati na papiru kariranom linijom - tako je manja šansa da skrenete sa željenog reda i stupca.

Prvo, deljenik i djelitelj se ispisuju u jednom redu s lijeva na desno, nakon čega se između ispisanih brojeva uvlači simbol forme. Na primjer, ako je dividenda broj 6 105, a djelitelj 5 5, tada će njihova ispravna notacija prilikom dijeljenja u stupac biti sljedeća:

Pogledajte sljedeći dijagram da biste ilustrirali gdje treba napisati dividendu, djelitelj, količnik, ostatak i međukalkulacije u dugom dijeljenju.

Iz gornjeg dijagrama je jasno da će traženi količnik (ili nepotpuni količnik pri dijeljenju s ostatkom) biti napisan ispod djelitelja ispod vodoravne linije. A međukalkulacije će se vršiti ispod dividende, i morate unaprijed voditi računa o dostupnosti prostora na stranici. U ovom slučaju, trebali biste se voditi pravilom: što je veća razlika u broju znakova u unosima dividende i djelitelja, to će biti potrebno više prostora. Na primjer, kada se prirodni broj 614.808 dijeli kolonom sa 51.234 (614.808 je šestocifreni broj, 51.234 je petocifreni broj, razlika u broju znakova u zapisima je 6−5 = 1), srednji proračuni će zahtijevati manje prostora nego kod dijeljenja brojeva 8 058 i 4 (ovdje je razlika u broju znakova 4−1=3). Da bismo potvrdili naše riječi, predstavljamo kompletnu evidenciju dijeljenja kolonom ovih prirodnih brojeva:

Sada možete nastaviti direktno s procesom dijeljenja prirodnih brojeva kolonom.

Dijeljenje prirodnog broja u koloni jednocifrenim prirodnim brojem, algoritam dijeljenja stupaca

Jasno je da je dijeljenje jednog jednocifrenog prirodnog broja drugim prilično jednostavno i nema razloga da se ti brojevi dijele u stupac. Međutim, bit će od pomoći da vježbate svoje početne vještine dugog dijeljenja s ovim jednostavnim primjerima.

Primjer.

Trebamo podijeliti kolonom 8 sa 2.

Rješenje.

Naravno, možemo izvršiti dijeljenje pomoću tablice množenja, i odmah zapisati odgovor 8:2=4.

Ali nas zanima kako podijeliti ove brojeve kolonom.

Prvo zapisujemo dividendu 8 i djelitelj 2 prema metodi:

Sada počinjemo otkrivati ​​koliko puta je djelitelj sadržan u dividendi. Da bismo to učinili, uzastopno množimo djelitelj s brojevima 0, 1, 2, 3, ... dok rezultat ne bude broj jednak dividendi (ili broj veći od dividende, ako postoji podjela s ostatkom ). Ako dobijemo broj jednak dividendi, onda ga odmah upisujemo ispod dividende, a na mjesto količnika upisujemo broj kojim smo pomnožili djelitelj. Ako dobijemo broj veći od dividende, onda ispod djelitelja upisujemo broj izračunat na pretposljednjem koraku, a umjesto nepotpunog količnika upisujemo broj kojim je djelitelj pomnožen u pretposljednjem koraku.

Idemo: 2·0=0 ; 2 1=2 ; 2·2=4 ; 2·3=6 ; 2·4=8. Dobili smo broj jednak dividendi, pa ga upišemo ispod dividende, a na mjesto količnika upišemo broj 4. U ovom slučaju, zapis će imati sljedeći oblik:

Ostaje završna faza dijeljenja jednocifrenih prirodnih brojeva kolonom. Ispod broja napisanog ispod dividende potrebno je povući vodoravnu liniju, a brojeve iznad ove linije oduzeti na isti način kao što se radi kod oduzimanja prirodnih brojeva u koloni. Broj koji nastane oduzimanjem bit će ostatak dijeljenja. Ako je jednako nuli, tada se originalni brojevi dijele bez ostatka.

U našem primjeru dobijamo

Sada imamo pred sobom završeni snimak dijeljenja stupca broja 8 sa 2. Vidimo da je količnik 8:2 4 (a ostatak je 0).

odgovor:

8:2=4 .

Pogledajmo sada kako kolona dijeli jednocifrene prirodne brojeve s ostatkom.

Primjer.

Podijelite kolonom 7 sa 3.

Rješenje.

U početnoj fazi unos izgleda ovako:

Počinjemo otkrivati ​​koliko puta dividenda sadrži djelitelj. Pomnožićemo 3 sa 0, 1, 2, 3, itd. dok ne dobijemo broj jednak ili veći od dividende 7. Dobijamo 3·0=0<7 ; 3·1=3<7 ; 3·2=6<7 ; 3·3=9>7 (ako je potrebno, pogledajte članak koji upoređuje prirodne brojeve). Ispod dividende upisujemo broj 6 (dobio je u pretposljednjem koraku), a umjesto nepotpunog količnika upisujemo broj 2 (množenje je obavljeno njime u pretposljednjem koraku).

Ostaje izvršiti oduzimanje, a dijeljenje kolonom jednocifrenih prirodnih brojeva 7 i 3 će biti završeno.

Dakle, parcijalni količnik je 2, a ostatak je 1.

odgovor:

7:3=2 (odmor 1) .

Sada možete prijeći na dijeljenje višecifrenih prirodnih brojeva po kolonama na jednocifrene prirodne brojeve.

Sada ćemo to shvatiti algoritam duge podjele. U svakoj fazi prikazat ćemo rezultate dobivene dijeljenjem višecifrenog prirodnog broja 140.288 jednocifrenim prirodnim brojem 4. Ovaj primjer nije slučajno odabran, jer ćemo se prilikom rješavanja susresti sa svim mogućim nijansama i moći ćemo ih detaljno analizirati.

Prvo pogledamo prvu cifru s lijeve strane u zapisu dividende. Ako je broj definiran ovom cifrom veći od djelitelja, onda u sljedećem pasusu moramo raditi s ovim brojem. Ako je ovaj broj manji od djelitelja, tada u razmatranje trebamo dodati sljedeću cifru s lijeve strane u zapisu dividende i nastaviti raditi s brojem koji su određene dvije cifre koje se razmatraju. Radi praktičnosti, u našoj notaciji ističemo broj s kojim ćemo raditi.

Prva cifra slijeva u dividendi 140288 je cifra 1. Broj 1 je manji od djelitelja 4, pa gledamo i sljedeću cifru s lijeve strane u zapisu dividende. U isto vrijeme vidimo broj 14, s kojim moramo dalje raditi. Ovaj broj ističemo u zapisu dividende.

Sljedeći koraci od drugog do četvrtog ponavljaju se ciklički dok se ne završi dijeljenje prirodnih brojeva po stupcu.

Sada moramo odrediti koliko puta je djelitelj sadržan u broju s kojim radimo (zbog pogodnosti, označimo ovaj broj sa x). Da bismo to učinili, uzastopno množimo djelitelj sa 0, 1, 2, 3, ... dok ne dobijemo broj x ili broj veći od x. Kada se dobije broj x, upisujemo ga ispod označenog broja prema pravilima snimanja koja se koriste pri oduzimanju prirodnih brojeva u koloni. Broj kojim je izvršeno množenje upisuje se umjesto količnika tokom prvog prolaza algoritma (u narednim prolazima od 2-4 tačke algoritma, ovaj broj se upisuje desno od brojeva koji su već tamo). Kada se dobije broj veći od broja x, tada ispod označenog broja upisujemo broj dobijen u pretposljednjem koraku, a na mjesto količnika (ili desno od brojeva koji su već tamo) upisujemo broj kao pri čemu je množenje izvršeno u pretposljednjem koraku. (Mi smo izvršili slične akcije u dva primjera o kojima smo gore govorili).

Množite djelitelj 4 brojevima 0, 1, 2, ... dok ne dobijemo broj koji je jednak 14 ili veći od 14. Imamo 4·0=0<14 , 4·1=4<14 , 4·2=8<14 , 4·3=12<14 , 4·4=16>14 . Pošto smo u poslednjem koraku dobili broj 16 koji je veći od 14, onda ispod označenog broja upisujemo broj 12 koji je dobijen na pretposljednjem koraku, a na mjesto količnika upisujemo broj 3, jer u pretposljednja tačka množenje je izvršeno upravo njime.


U ovoj fazi, od odabranog broja, pomoću stupca oduzmite broj koji se nalazi ispod njega. Rezultat oduzimanja upisuje se ispod vodoravne linije. Međutim, ako je rezultat oduzimanja jednak nuli, onda ga ne treba zapisivati ​​(osim ako je oduzimanje u tom trenutku posljednja radnja koja u potpunosti završava proces dugog dijeljenja). Ovdje, radi vlastite kontrole, ne bi bilo loše uporediti rezultat oduzimanja sa djeliteljem i uvjeriti se da je manji od djelitelja. Inače je negdje napravljena greška.

Od broja 14 kolonom trebamo oduzeti broj 12 (za ispravnost zapisa moramo zapamtiti da stavimo znak minus lijevo od brojeva koji se oduzimaju). Nakon završetka ove akcije, ispod vodoravne linije pojavio se broj 2. Sada provjeravamo naše izračune upoređujući rezultirajući broj sa djeliteljem. Pošto je broj 2 manji od djelitelja 4, možete bezbedno preći na sljedeću tačku.


Sada, ispod vodoravne linije desno od brojeva koji se tamo nalaze (ili desno od mjesta gdje nismo zapisali nulu), upisujemo broj koji se nalazi u istoj koloni u zapisu dividende. Ako u evidenciji dividende u ovoj koloni nema brojeva, onda se podjela po kolonu završava tamo. Nakon toga, izaberemo broj formiran ispod horizontalne linije, prihvatimo ga kao radni broj i sa njim ponovimo tačke 2 do 4 algoritma.

Ispod vodoravne crte desno od broja 2 koji je već tamo upisujemo broj 0, jer je to broj 0 koji se nalazi u zapisu dividende 140.288 u ovoj koloni. Dakle, broj 20 se formira ispod horizontalne linije.


Odabiremo ovaj broj 20, uzimamo ga kao radni broj i s njim ponavljamo radnje druge, treće i četvrte tačke algoritma.

Množite djelitelj 4 sa 0, 1, 2, ... dok ne dobijemo broj 20 ili broj koji je veći od 20. Imamo 4·0=0<20 , 4·1=4<20 , 4·2=8<20 , 4·3=12<20 , 4·4=16<20 , 4·5=20 . Так как мы получили число, равное числу 20 , то записываем его под отмеченным числом, а на месте частного, справа от уже имеющегося там числа 3 записываем число 5 (на него производилось умножение).


Oduzimanje izvodimo u stupcu. Pošto oduzimamo jednake prirodne brojeve, onda je na osnovu svojstva oduzimanja jednakih prirodnih brojeva rezultat nula. Ne zapisujemo nulu (pošto ovo nije konačna faza dijeljenja sa stupcem), ali pamtimo mjesto gdje bismo je mogli napisati (radi praktičnosti, ovo mjesto ćemo označiti crnim pravougaonikom).


Ispod horizontalne linije desno od zapamćenog mjesta upisujemo broj 2, jer se upravo on nalazi u evidenciji dividende 140.288 u ovoj koloni. Dakle, ispod horizontalne linije imamo broj 2.


Uzimamo broj 2 kao radni broj, označimo ga i još jednom ćemo morati izvršiti radnje 2-4 tačke algoritma.

Pomnožimo djelitelj sa 0, 1, 2 i tako dalje, a dobijene brojeve uporedimo sa označenim brojem 2. Imamo 4·0=0<2 , 4·1=4>2. Dakle, ispod označenog broja upisujemo broj 0 (dobio je na pretposljednjem koraku), a na mjesto količnika desno od broja koji je već tamo upisujemo broj 0 (pomnožili smo sa 0 u pretposljednjem koraku ).


Oduzimanje izvodimo u stupcu, ispod vodoravne linije dobivamo broj 2. Provjeravamo se upoređujući rezultirajući broj sa djeliteljem 4. Od 2<4 , то можно спокойно двигаться дальше.


Ispod vodoravne linije desno od broja 2 dodajte broj 8 (pošto se nalazi u ovoj koloni u unosu za dividendu 140 288). Dakle, broj 28 se pojavljuje ispod vodoravne linije.


Ovaj broj uzimamo kao radni broj, označavamo ga i ponavljamo korake 2-4.

Ovdje ne bi trebalo biti nikakvih problema ako ste do sada bili oprezni. Nakon što ste izvršili sve potrebne korake, dobiva se sljedeći rezultat.

Ostaje samo da posljednji put izvršite korake iz tačaka 2, 3, 4 (ovo prepuštamo vama), nakon čega ćete dobiti potpunu sliku dijeljenja prirodnih brojeva 140,288 i 4 u stupac:

Imajte na umu da je broj 0 napisan u samom donjem redu. Da ovo nije zadnji korak dijeljenja po stupcu (odnosno da su u zapisu o dividendi ostali brojevi u stupcima s desne strane), onda ovu nulu ne bismo pisali.

Tako, gledajući kompletiran zapis dijeljenja višecifrenog prirodnog broja 140.288 jednocifrenim prirodnim brojem 4, vidimo da je količnik broj 35.072 (a ostatak dijeljenja je nula, nalazi se na samom dnu linija).

Naravno, kada dijelite prirodne brojeve kolonom, nećete tako detaljno opisati sve svoje radnje. Vaša rješenja će izgledati otprilike poput sljedećih primjera.

Primjer.

Izvršite dugo dijeljenje ako je dividenda 7 136, a djelitelj je jednocifreni prirodni broj 9.

Rješenje.

U prvom koraku algoritma za dijeljenje prirodnih brojeva po stupcima, dobijamo zapis oblika

Nakon izvođenja radnji iz druge, treće i četvrte tačke algoritma, zapis podjele stupaca će poprimiti oblik

Ponavljajući ciklus, imaćemo

Još jedan prolaz će nam dati potpunu sliku kolone podjele prirodnih brojeva 7,136 i 9

Dakle, parcijalni količnik je 792, a ostatak je 8.

odgovor:

7 136:9=792 (preostalo 8) .

I ovaj primjer pokazuje kako bi duga podjela trebala izgledati.

Primjer.

Podijelite prirodni broj 7.042.035 jednocifrenim prirodnim brojem 7.

Rješenje.

Najprikladniji način za podjelu je po koloni.

odgovor:

7 042 035:7=1 006 005 .

Deljenje višecifrenih prirodnih brojeva u kolonama

Žurimo da vas zadovoljimo: ako ste temeljito savladali algoritam podjele stupaca iz prethodnog odlomka ovog članka, gotovo već znate kako to izvesti kolonska podjela višecifrenih prirodnih brojeva. To je tačno, budući da faze 2 do 4 algoritma ostaju nepromijenjene, a samo se manje promjene pojavljuju u prvoj tački.

U prvoj fazi dijeljenja višeznamenkastih prirodnih brojeva u stupac, ne morate gledati na prvu znamenku s lijeve strane u zapisu dividende, već na njihov broj jednak broju znamenki sadržanih u notaciji djelitelja. Ako je broj definisan ovim brojevima veći od djelitelja, onda u sljedećem pasusu moramo raditi s ovim brojem. Ako je ovaj broj manji od djelitelja, onda moramo razmatranju dodati sljedeću cifru s lijeve strane u zapisu dividende. Nakon toga se izvode radnje navedene u paragrafima 2, 3 i 4 algoritma dok se ne dobije konačni rezultat.

Ostaje samo vidjeti primjenu algoritma dijeljenja stupaca za viševrijedne prirodne brojeve u praksi prilikom rješavanja primjera.

Primjer.

Izvršimo kolonu dijeljenja višecifrenih prirodnih brojeva 5,562 i 206.

Rješenje.

Pošto djelitelj 206 sadrži 3 znamenke, gledamo prve 3 cifre s lijeve strane u dividendi 5,562. Ovi brojevi odgovaraju broju 556. Pošto je 556 veći od djelitelja 206, uzimamo broj 556 kao radni broj, biramo ga i prelazimo na sljedeću fazu algoritma.

Sada množimo djelitelj 206 brojevima 0, 1, 2, 3, ... dok ne dobijemo broj koji je ili jednak 556 ili veći od 556. Imamo (ako je množenje teško, onda je bolje množiti prirodne brojeve u stupcu): 206 0 = 0<556 , 206·1=206<556 , 206·2=412<556 , 206·3=618>556. Pošto smo dobili broj veći od broja 556, onda ispod označenog broja upisujemo broj 412 (dobio je na pretposljednjem koraku), a na mjesto količnika upisujemo broj 2 (pošto smo njime množili na pretposlednjem koraku). Unos podjele stupaca ima sljedeći oblik:

Vršimo oduzimanje stupaca. Dobijamo razliku 144, ovaj broj je manji od djelitelja, tako da možete sigurno nastaviti s izvođenjem traženih radnji.

Ispod vodoravne linije desno od broja upisujemo broj 2, pošto se u ovoj koloni nalazi u evidenciji dividende 5562:

Sada radimo sa brojem 1.442, biramo ga i ponovo prolazimo kroz korake od dva do četiri.

Množite djelitelj 206 sa 0, 1, 2, 3, ... dok ne dobijete broj 1442 ili broj veći od 1442. Idemo: 206·0=0<1 442 , 206·1=206<1 442 , 206·2=412<1 332 , 206·3=618<1 442 , 206·4=824<1 442 , 206·5=1 030<1 442 , 206·6=1 236<1 442 , 206·7=1 442 . Таким образом, под отмеченным числом записываем 1 442 , а на месте частного правее уже имеющегося там числа записываем 7 :

Oduzimanje izvodimo u koloni, dobijamo nulu, ali ne zapisujemo je odmah, samo pamtimo njenu poziciju, jer ne znamo da li se deljenje završava ovde, ili ćemo morati da ponavljamo ponovo koraci algoritma:

Sada vidimo da ispod horizontalne linije desno od zapamćene pozicije ne možemo napisati nijedan broj, jer u zapisu dividende u ovoj koloni nema cifara. Dakle, ovim se završava podjela po stupcima i završavamo unos:

• Matematika. Bilo koji udžbenici za 1., 2., 3., 4. razrede opšteobrazovnih ustanova.
• Matematika. Bilo koji udžbenici za 5. razred opšteobrazovnih ustanova.

Najlakši način za podjelu višecifrenih brojeva je kolonom. Podjela kolona se također naziva kutna podjela.

Prije nego što počnemo izvoditi podjelu po koloni, detaljno ćemo razmotriti sam oblik bilježenja podjele po koloni. Prvo zapišite dividendu i stavite okomitu liniju desno od nje:

Iza okomite linije, nasuprot dividende, upišite djelitelj i nacrtajte vodoravnu liniju ispod njega:

Ispod vodoravne linije, rezultujući količnik će se pisati korak po korak:

Međuizračuni će biti upisani ispod dividende:

Puni oblik pisanja podjele po stupcima je sljedeći:

Kako podijeliti po koloni

Recimo da trebamo podijeliti 780 sa 12, upisati radnju u stupac i nastaviti s dijeljenjem:

Podjela stupova se izvodi u fazama. Prvo što treba da uradimo je da odredimo nepotpunu dividendu. Gledamo prvu cifru dividende:

ovaj broj je 7, pošto je manji od djelitelja, od njega ne možemo početi dijeljenje, što znači da trebamo uzeti još jednu cifru od dividende, broj 78 je veći od djelitelja, pa počinjemo dijeljenje od njega:

U našem slučaju će biti broj 78 nepotpuno djeljivo, naziva se nepotpunim jer je samo dio djeljivog.

Odredivši nepotpunu dividendu, možemo saznati koliko će cifara biti u količniku, za to moramo izračunati koliko je cifara ostalo u dividendi nakon nepotpune dividende, u našem slučaju postoji samo jedna znamenka - 0, ovo znači da će se količnik sastojati od 2 znamenke.

Nakon što saznate broj cifara koji bi trebao biti u količniku, možete staviti tačke na njegovo mjesto. Ako se prilikom dijeljenja pokaže da je broj znamenki veći ili manji od naznačenih točaka, onda je negdje napravljena greška:

Počnimo sa podjelom. Moramo odrediti koliko puta je 12 sadržano u broju 78. Da bismo to učinili, množimo uzastopno djelitelj prirodnim brojevima 1, 2, 3, ... dok ne dobijemo broj što je moguće bliži nepotpunoj dividendi ili jednak njemu, ali ga ne prelazi. Tako dobijemo broj 6, upišemo ga pod djelitelj, a od 78 (prema pravilima oduzimanja stupaca) oduzimamo 72 (12 · 6 = 72). Nakon što oduzmemo 72 od 78, ostatak je 6:

Imajte na umu da nam ostatak podjele pokazuje da li smo ispravno odabrali broj. Ako je ostatak jednak ili veći od djelitelja, tada nismo pravilno odabrali broj i trebamo uzeti veći broj.

Rezultirajućem ostatku - 6, dodajte sljedeću znamenku dividende - 0. Kao rezultat, dobijamo nepotpunu dividendu - 60. Odredite koliko puta je 12 sadržano u broju 60. Dobijamo broj 5, upišite ga količnik iza broja 6 i oduzmite 60 od 60 ( 12 5 = 60). Ostatak je nula:

Budući da u dividendi više nema cifara, to znači da je 780 potpuno podijeljeno sa 12. Kao rezultat izvođenja dugog dijeljenja, pronašli smo količnik - on je zapisan ispod djelitelja:

Razmotrimo primjer kada kvocijent rezultira nulama. Recimo da trebamo podijeliti 9027 sa 9.

Određujemo nepotpunu dividendu - to je broj 9. U količnik upisujemo 1 i od 9 oduzimamo 9. Ostatak je nula. Obično, ako je u srednjim proračunima ostatak nula, ne zapisuje se:

Skidamo sljedeću znamenku dividende - 0. Sjećamo se da će prilikom dijeljenja nule bilo kojim brojem biti nula. Zapisujemo nulu u količnik (0: 9 = 0) i oduzimamo 0 od 0 u srednjim proračunima Obično, da ne bi zatrpali međukalkulacije, proračuni sa nulom se ne pišu:

Skidamo sljedeću cifru dividende - 2. U međuproračunima se pokazalo da je nepotpuna dividenda (2) manja od djelitelja (9). U ovom slučaju upišite nulu u količnik i uklonite sljedeću znamenku dividende:

Određujemo koliko puta je 9 sadržano u broju 27. Dobijamo broj 3, zapišemo ga kao količnik i oduzmemo 27 od 27. Ostatak je nula:

Pošto u dividendi nema više cifara, to znači da je broj 9027 potpuno podijeljen sa 9:

Razmotrimo primjer kada se dividenda završava nulama. Recimo da trebamo 3000 podijeliti sa 6.

Određujemo nepotpunu dividendu - to je broj 30. U količnik upisujemo 5 i od 30 oduzimamo 30. Ostatak je nula. Kao što je već spomenuto, nije potrebno pisati nulu u ostatku u srednjim proračunima:

Skidamo sljedeću cifru dividende - 0. Budući da će dijeljenje nule bilo kojim brojem rezultirati nulom, upisujemo nulu u količnik i oduzimamo 0 od 0 u srednjim proračunima:

Skidamo sljedeću cifru dividende - 0. Upisujemo još jednu nulu u količnik i oduzimamo 0 od 0 u srednjim proračunima Kako se u srednjim proračunima obično ne zapisuju proračuni sa nulom, unos se može skratiti, ostavljajući samo. ostatak - 0. Nula u ostatku u na samom kraju računanja obično se piše da pokaže da je deljenje završeno:

Pošto nema više cifara u dividendi, to znači da je 3000 potpuno podijeljeno sa 6:

Dijeljenje kolone s ostatkom

Recimo da trebamo podijeliti 1340 sa 23.

Određujemo nepotpunu dividendu - ovo je broj 134. U količnik upisujemo 5 i od 134 oduzimamo 115. Ostatak je 19:

Skidamo sljedeću cifru dividende - 0. Određujemo koliko je puta 23 sadržano u broju 190. Dobijamo broj 8, upisujemo ga u količnik i od 190 oduzimamo 184. Dobijamo ostatak 6:

Pošto u dividendi nema više cifara, podjela je završena. Rezultat je nepotpuni količnik od 58 i ostatak od 6:

1340: 23 = 58 (ostatak 6)

Ostaje da razmotrimo primjer dijeljenja s ostatkom, kada je dividenda manja od djelitelja. Trebamo podijeliti 3 sa 10. Vidimo da 10 nikada nije sadržano u broju 3, pa pišemo 0 kao količnik i oduzimamo 0 od 3 (10 · 0 = 0). Nacrtajte vodoravnu liniju i zapišite ostatak - 3:

3: 10 = 0 (ostatak 3)

Kalkulator dugih podjela

Ovaj kalkulator će vam pomoći da izvršite dugo dijeljenje. Jednostavno unesite dividendu i djelitelj i kliknite na dugme Izračunaj.

Djeca od 2-3 razreda uče novu matematičku operaciju - dijeljenje. Učeniku nije lako shvatiti suštinu ove matematičke operacije, pa mu je potrebna pomoć roditelja. Roditelji treba da shvate kako da svom djetetu prezentiraju nove informacije. TOP 10 primjera će reći roditeljima kako da nauče djecu da dijele brojeve u koloni.

Učenje dugog dijeljenja u obliku igre

Djeca se umaraju u školi, umaraju se od udžbenika. Stoga roditelji treba da se odreknu udžbenika. Predstavite informacije u obliku zabavne igre.

Zadatke možete postaviti na sljedeći način:

1 Organizirajte mjesto za vaše dijete da uči kroz igru. Postavite njegove igračke u krug i dajte djetetu kruške ili slatkiše. Neka učenik podijeli 4 bombona između 2 ili 3 lutke. Da biste postigli razumijevanje od strane djeteta, postepeno povećavajte broj bombona na 8 i 10. Čak i ako bebi treba dugo da djeluje, nemojte vršiti pritisak i vikati na njega. Trebaće vam strpljenje. Ako vaše dijete učini nešto pogrešno, ispravite ga mirno. Zatim, nakon što završi prvu radnju podjele bombona između učesnika u igri, zamolit će ga da izračuna koliko je bombona otišlo na svaku igračku. Sada zaključak. Ako je bilo 8 bombona i 4 igračke, onda je svaki dobio po 2 bombona. Neka vaše dijete shvati da dijeljenje znači dijeljenje jednake količine slatkiša svim igračkama.

2 Možete podučavati matematičke operacije koristeći brojeve. Neka učenik shvati da se brojevi mogu klasifikovati kao kruške ili slatkiši. Recimo da je broj krušaka koje treba podijeliti dividenda. A broj igračaka koje sadrže slatkiše je djelitelj.

3 Dajte svom djetetu 6 krušaka. Dajte mu zadatak: da podijeli broj krušaka između djeda, psa i tate. Zatim ga zamolite da podijeli 6 krušaka između djeda i tate. Objasnite svom djetetu razlog zašto je rezultat dijeljenja drugačiji.

4 Naučite svog učenika o dijeljenju s ostatkom. Dajte svom djetetu 5 bombona i zamolite ga da ih podjednako podijeli između mačke i tate. Djetetu će ostati 1 slatkiš. Recite svom djetetu zašto se to dogodilo na ovaj način. Ovu matematičku operaciju treba razmotriti odvojeno, jer može uzrokovati poteškoće.

Razigrano učenje može pomoći vašem djetetu da brzo razumije cijeli proces dijeljenja brojeva. Moći će naučiti da je najveći broj djeljiv najmanjim ili obrnuto. Odnosno, najveći broj je slatkiša, a najmanji broj učesnika. U koloni 1 broj će biti broj bombona, a 2 će biti broj učesnika.

Nemojte preopteretiti svoje dijete novim znanjima. Morate učiti postepeno. Morate prijeći na novi materijal kada se prethodni materijal objedini.

Učenje dugog dijeljenja pomoću tablice množenja

Učenici do 5. razreda će brže razumjeti dijeljenje ako dobro razumiju množenje.

Roditelji treba da objasne da je dijeljenje slično tablici množenja. Samo su akcije suprotne. Radi jasnoće, moramo dati primjer:

• Recite učeniku da slobodno pomnoži vrijednosti 6 i 5. Odgovor je 30.
• Recite učeniku da je broj 30 rezultat matematičke operacije sa dva broja: 6 i 5. Naime, rezultat množenja.
• Podijelite 30 sa 6. Rezultat matematičke operacije je 5. Učenik će moći vidjeti da je dijeljenje isto kao množenje, ali obrnuto.

Možete koristiti tablicu množenja za ilustraciju dijeljenja ako je dijete dobro savladalo.

Učenje dugog dijeljenja u bilježnici

Učenje treba započeti kada učenik razumije gradivo o dijeljenju u praksi, koristeći igre i tablice množenja.

Morate početi dijeliti na ovaj način, koristeći jednostavne primjere. Dakle, podijelite 105 sa 5.

Matematičku operaciju treba detaljno objasniti:

• Napišite primjer u svoju bilježnicu: 105 podijeljeno sa 5.
• Zapišite ovo kao za dugu podjelu.
• Objasnite da je 105 dividenda, a 5 djelitelj.
• Sa učenikom odredite 1 broj koji se može podijeliti. Vrijednost dividende je 1, ova brojka nije djeljiva sa 5. Ali drugi broj je 0. Rezultat je 10, ova vrijednost se može podijeliti u ovom primjeru. Broj 5 je uključen u broj 10 dvaput.
• U kolonu za podjele, ispod broja 5 upišite broj 2.
• Zamolite svoje dijete da pomnoži broj 5 sa 2. Rezultat množenja je 10. Ova vrijednost mora biti napisana ispod broja 10. Zatim trebate upisati znak za oduzimanje u kolonu. Od 10 trebate oduzeti 10. Dobijate 0.
• Zapišite u kolonu broj koji nastaje oduzimanjem - 0. 105 ostaje broj koji nije bio uključen u dijeljenje - 5. Ovaj broj je potrebno zapisati.
• Rezultat je 5. Ova vrijednost mora biti podijeljena sa 5. Rezultat je broj 1. Ovaj broj se mora napisati ispod 5. Rezultat dijeljenja je 21.

Roditelji treba da objasne da ova podjela nema ostatka.

Možete započeti dijeljenje brojevima 6,8,9, onda idite na 22, 44, 66 , a zatim na 232, 342, 345 , i tako dalje.

Učenje dijeljenja s ostatkom

Kada dijete savlada gradivo o podjeli, možete otežati zadatak. Deljenje sa ostatkom je sledeći korak u učenju. Morate objasniti koristeći dostupne primjere:

• Pozovite svoje dijete da podijeli 35 sa 8. Upišite problem u kolonu.
• Da bi vašem djetetu bilo što jasnije, možete mu pokazati tablicu množenja. Tabela jasno pokazuje da broj 35 uključuje broj 8 4 puta.
• Zapišite broj 32 ispod broja 35.
• Dijete treba da oduzme 32 od 35. Rezultat je 3. Broj 3 je ostatak.

Jednostavni primjeri za dijete

Možemo nastaviti sa istim primjerom:

• Prilikom dijeljenja 35 sa 8, ostatak je 3. Ostatku morate dodati 0 U ovom slučaju, nakon broja 4 u koloni morate staviti zarez. Sada će rezultat biti razlomak.
• Prilikom dijeljenja 30 sa 8, rezultat je 3. Ovaj broj se mora napisati iza decimalnog zareza.
• Sada trebate napisati 24 ispod vrijednosti 30 (rezultat množenja 8 sa 3). Rezultat će biti 6. Također morate dodati nulu broju 6. Ispostaviće se da je 60.
• Broj 60 sadrži broj 8 uključen 7 puta. Odnosno, ispostavilo se da je 56.
• Kada oduzmete 60 od 56, rezultat je 4. Ovaj broj također treba potpisati 0. Rezultat je 40. U tablici množenja dijete može vidjeti da je 40 rezultat množenja 8 sa 5. To jest, broj 40 uključuje broj 8 5 puta. Nema ostatka. Odgovor izgleda ovako - 4.375.

Ovaj primjer može izgledati teško djetetu. Stoga morate podijeliti vrijednosti koje će imati ostatak više puta.

Nastava podjele pomoću igara

Roditelji mogu koristiti igre s podjelom da podučavaju svoje učenike. Djetetu možete dati bojanke u kojima morate dijeljenjem odrediti boju olovke. Morate odabrati stranice za bojanje s jednostavnim primjerima kako bi dijete moglo riješiti primjere u svojoj glavi.

Slika će biti podijeljena na dijelove koji sadrže rezultate podjele. I boje koje ćete koristiti bit će primjeri. Na primjer, crvena boja je označena primjerom: 15 podijeljeno sa 3. Dobijate 5. Potrebno je pronaći dio slike ispod ovog broja i obojiti ga. Matematičke bojanke očaravaju djecu. Stoga bi roditelji trebali isprobati ovu metodu podučavanja.

Učiti dijeliti po stupcu najmanji broj najvećim

Dijeljenje ovom metodom pretpostavlja da će količnik početi od 0, a nakon njega slijedi zarez.

Da bi učenik pravilno asimilirao primljene informacije, treba dati primjer takvog plana.

Kolona? Kako možete samostalno vježbati vještinu dugog dijeljenja kod kuće ako vaše dijete nije nešto naučilo u školi? Podjela po kolonama se uči u razredima 2-3, za roditelje je to, naravno, pređena faza, ali ako želite, možete zapamtiti tačan zapis i na razumljiv način objasniti svom učeniku šta će mu trebati u životu.

xvatit.com

Šta dijete od 2. do 3. razreda treba znati da bi naučilo da radi dugo dijeljenje?

Kako pravilno objasniti podjelu djetetu 2-3 razreda da ubuduće nema problema? Prvo, hajde da proverimo da li postoje praznine u znanju. Budi siguran da:

• dijete može slobodno izvoditi operacije sabiranja i oduzimanja;
• zna cifre brojeva;
• zna napamet.

Kako objasniti djetetu značenje akcije “podjela”?

• Djetetu treba sve objasniti na jasnom primjeru.

Zamolite da podijelite nešto među članovima porodice ili prijateljima. Na primjer, slatkiši, komadi torte itd. Bitno je da dijete shvati suštinu – treba podijeliti na jednake dijelove, tj. bez traga. Vježbajte na različitim primjerima.

Recimo da 2 grupe sportista moraju da zauzmu mesta u autobusu. Znamo koliko je sportista u svakoj grupi i koliko ima mesta u autobusu. Morate saznati koliko karata treba kupiti jedna i druga grupa. Ili 24 sveske treba podijeliti na 12 učenika, koliko svaki dobije.

• Kada dijete shvati suštinu principa dijeljenja, pokažite matematičku notaciju ove operacije i navedite komponente.
• Objasni to Dijeljenje je suprotna operacija množenja, množenje naopačke.

Pogodno je prikazati odnos između dijeljenja i množenja koristeći tablicu kao primjer.

Na primjer, 3 puta 4 jednako je 12.
3 je prvi množitelj;
4 - drugi faktor;
12 je proizvod (rezultat množenja).

Ako se 12 (proizvod) podijeli sa 3 (prvi faktor), dobijamo 4 (drugi faktor).

Komponente kada su podijeljene zovu se drugačije:

12 - dividenda;
3 - razdjelnik;
4 - količnik (rezultat dijeljenja).

Kako objasniti djetetu dijeljenje dvocifrenog broja jednocifrenim brojem koji nije u koloni?

Za nas odrasle je lakše pisati "u ćošku" na starinski način - i tu je kraj. ALI! Djeca još nisu završila dugu podjelu, šta da rade? Kako naučiti dijete da podijeli dvocifren broj jednocifrenim bez korištenja kolone?

Uzmimo 72:3 kao primjer.

To je jednostavno! Rastavljamo 72 na brojeve koji se lako mogu usmeno podijeliti sa 3:
72=30+30+12.

Sve je odmah postalo jasno: možemo podijeliti 30 sa 3, a dijete može lako podijeliti 12 sa 3.
Ostaje samo da se zbroje rezultati, tj. 72:3=10 (dobije se kada se 30 podijeli sa 3) + 10 (30 podijeljeno sa 3) + 4 (12 podijeljeno sa 3).

72:3=24
Nismo koristili dugo dijeljenje, ali dijete je razumjelo rezonovanje i bez poteškoća završilo proračune.

Nakon jednostavnih primjera, možete prijeći na proučavanje dugog dijeljenja i naučiti svoje dijete da pravilno piše primjere u "kut". Za početak koristite samo primjere dijeljenja bez ostatka.

Kako djetetu objasniti dugu podjelu: algoritam rješenja

Velike brojeve je teško podijeliti u vašoj glavi; Da naučite svoje dijete da pravilno izvodi proračune, slijedite algoritam:

• Odredite gdje se u primjeru nalaze dividenda i djelitelj. Zamolite dijete da imenuje brojeve (šta ćemo podijeliti s čim).

213:3
213 - dividenda
3 - razdjelnik

• Zapišite dividendu - "ugao" - djelitelj.

• Odredite koji dio dividende možemo koristiti za dijeljenje datim brojem.

Razmišljamo ovako: 2 nije deljivo sa 3, što znači da uzimamo 21.

• Odredite koliko puta djelitelj "stane" u odabrani dio.

21 podijeljeno sa 3 - uzmite 7.

• Pomnožite djelitelj odabranim brojem, rezultat upišite ispod “ugla”.

7 pomnoženo sa 3 - dobijamo 21. Zapišite.

• Pronađite razliku (ostatak).

U ovoj fazi zaključivanja naučite svoje dijete da se provjerava. Važno je da on razumije da rezultat oduzimanja UVIJEK mora biti manji od djelitelja. Ako ne uspije, potrebno je povećati odabrani broj i ponoviti radnju.

• Ponavljajte korake dok ostatak ne bude 0.

Kako pravilno zaključiti da naučite dijete 2-3 razreda da dijeli po stupcima

Kako djetetu objasniti podijeljenost 204:12=?
1. Zapišite to u kolonu.
204 je dividenda, 12 je djelitelj.

2. 2 nije deljivo sa 12, pa uzimamo 20.
3. Da podijelite 20 sa 12, uzmite 1. Upišite 1 ispod “ugla”.
4. 1 pomnožen sa 12 dobija se 12. Zapisujemo ga ispod 20.
5. 20 minus 12 dobija se 8.
Hajde da se proverimo. Je li 8 manje od 12 (djelitelj)? Ok, tako je, idemo dalje.

6. Uz 8 pišemo 4. 84 podijeljeno sa 12. Koliko treba pomnožiti 12 da dobijemo 84?
Teško je odmah reći, pokušat ćemo koristiti metodu odabira.
Uzmimo 8, na primjer, ali nemojte ih još zapisivati. Računamo usmeno: 8 pomnoženo sa 12 je 96. I imamo 84! Ne odgovara.
Pokušajmo sa manjim... Na primjer, uzmimo 6. Provjeravamo se usmeno: 6 pomnoženo sa 12 je 72. 84-72=12. Dobili smo isti broj kao i naš djelitelj, ali bi trebao biti ili nula ili manji od 12. Dakle, optimalan broj je 7!

7. Upisujemo 7 ispod "ugla" i vršimo proračune. 7 pomnoženo sa 12 daje 84.
8. Rezultat upisujemo u kolonu: 84 minus 84 jednako je nuli. Ura! Tačno smo odlučili!

Dakle, naučili ste svoje dijete da dijeli po stupcima, sada ostaje samo da uvježbate ovu vještinu i dovedete je do automatizma.

Zašto je djeci teško naučiti dugo dijeljenje?

Zapamtite da problemi s matematikom nastaju zbog nemogućnosti brzog obavljanja jednostavnih aritmetičkih operacija. U osnovnoj školi morate vježbati sabiranje i oduzimanje i to učiniti automatskim, te naučiti tablicu množenja od korice do korice. Sve! Ostalo je stvar tehnike, a razvija se praksom.

Budite strpljivi, ne budite lijeni, još jednom objasnite djetetu ono što nije naučilo na lekciji, zamorno ali pomno razumite algoritam rezonovanja i progovorite kroz svaku međuoperaciju prije nego što izgovorite spreman odgovor. Dajte dodatne primjere za uvježbavanje vještina, igrajte matematičke igrice - to će uroditi plodom i vrlo brzo ćete vidjeti rezultate i radovati se uspjehu vašeg djeteta. Obavezno pokažite gdje i kako stečeno znanje možete primijeniti u svakodnevnom životu.

Dragi čitaoci! Recite nam kako svoju djecu učite da rade duge podjele, na koje ste teškoće naišli i kako ste ih savladali.

Kako se radi dugo dijeljenje jedna je od osnovnih vještina potrebnih za rad sa dvocifrenim i trocifrenim brojevima. Znajući redoslijed svih faza dijeljenja, možete podijeliti bilo koji broj. Neće biti problema kada radite ne samo s cijelim brojem, već i s brojem predstavljenim kao decimalni razlomak.

Ova korisna matematička vještina neophodna je ne samo za uspješno savladavanje školskog nastavnog plana i programa iz matematike i niza drugih predmeta. Sposobnost dijeljenja sigurno će svima pomoći u svakodnevnom životu.

Prvi dio. Division

Dakle, dividenda, odnosno broj koji treba podijeliti, mora biti napisan na lijevoj strani. Broj koji se dijeli naziva se djelitelj i piše se na desnoj strani.

Ispod djelitelja je povučena linija ispod koje je upisan količnik (rješenje).

Ispod dividende morate ostaviti prostor potreban za kalkulacije.

Sam problem izgleda ovako: vrećica u kojoj se nalazi šest pečuraka teška je 250 grama. Morate saznati koliko je teška jedna gljiva. Da biste to učinili, 250 je podijeljeno sa 6. Prvi od ova dva broja je napisan na lijevoj strani, a drugi na desnoj strani.

Sada moramo izračunati koliko je cijelih brojeva prva cifra djeljiva (računajući od lijevog kraja) djelitelja.

Da bismo riješili naš zadatak, moramo saznati koliko je puta broj 2 djeljiv sa 6. Pošto je to nemoguće, odgovor je 0, što je zapisano ispod djelitelja. U ovom slučaju, nula je prvi broj količnika, ali je moguće odbiti takav unos.

Sada moramo saznati koliko puta su prve dvije cifre dividende podijeljene djeliteljem.

Ako je u prethodnoj akciji odgovor bio 0, potrebno je uzeti u obzir prve dvije cifre dividende. U zadatku koji razmatramo moramo izračunati koliko je puta 25 deljivo sa 6.

Ako je djelitelj dvocifreni broj, morate s njim podijeliti prve tri (četiri, pet, itd.) cifre dividende. Naš cilj: dobiti cijeli broj.

Zatim počinjemo raditi s cijelim brojevima. Ako koristite mikrokalkulator da podijelite 25 sa 6, odgovor će biti 4,167. Ovaj odgovor nije prikladan za dugu podjelu. U ovom slučaju trebate samo uzeti 4.

Rezultat dobijen u trećoj fazi upisuje se direktno ispod odgovarajuće znamenke djelitelja - ispod linije. Ovaj zbroj će biti prva znamenka željenog količnika, odnosno odgovora.

Rezultat se mora napisati ispod odgovarajuće znamenke djelitelja. Ako zanemarite ovaj zahtjev, napravit će se greška, što će utjecati na konačni rezultat: bit će netačan.

U ovom slučaju, 4 je zapisano pod 5, jer je 6 deljivo sa 25, a ne sa 2.

Drugi dio. Množenje

Ova faza predstavlja prijelaz na novi dio posla „kako brojati u koloni“. Deljenje će u ovom slučaju biti zamenjeno... množenjem.

Delitelj se množi brojem koji je napisan ispod njega. To znači da govorimo o prvoj cifri željenog količnika.

Rezultat ovog proizvoda stavlja se pod dividendu.

U primjeru koji se razmatra, 6 x 4 = 24. Broj u odgovoru, odnosno 24, napisan je ispod 25. Važno: 2 mora biti ispod 2, a 4 mora biti ispod 5.

Naglašen je rezultat rada. U našem slučaju govorimo o naglašavanju broja 24.

Treći dio. Oduzimanje i izostavljanje brojeva

Ovdje dolazi do prijelaza na oduzimanje i snižavanje brojeva.

Rezultat se upisuje ispod crte, koja se zauzvrat izvlači ispod broja koji se nalazi ispod dividende.

Moramo oduzeti 24 od 25. Rezultat koji dobijemo je: 1.

Treća znamenka dividende se izostavlja, odnosno upisuje se pored rezultata oduzimanja.

U našem slučaju, 1 se ne može podijeliti sa 6. Zbog toga je treća znamenka dividende izostavljena (treća cifra broja 250 je 0). Stavlja se pored 1. Dobijamo broj 10, koji se može podijeliti sa 6.

Sada morate ponoviti postupak s novim brojem.

Da bismo to učinili, rezultirajući broj se dijeli našim djeliteljem, a dobiveni rezultat stavlja se ispod djelitelja, koji će biti druga znamenka količnika, odnosno našeg odgovora.

U primjeru koji se rješava, dijelimo 10 sa 6, što daje ukupno 1. Jedan se upisuje u količnik - pored 4. Nakon toga, 6 se množi sa 1 i rezultat se oduzima od 10. Trebali bismo dobiti 4 (ostatak).

Ako je dividenda dvo-, tro-, četvero- ili višecifreni broj, gornji postupak se ponavlja sve dok se sve cifre dividende ne izostave. Primjer za ilustraciju: ako znate da je težina gljiva 2.506 g, trebate izostaviti broj 6, odnosno upisati ga pored 4.

Četvrti dio. Pisanje količnika sa ostatkom ili kao decimalni razlomak

Sada prelazimo na pisanje količnika sa ostatkom ili u obliku decimalnog razlomka.

Naš ostatak je bio jednak 4, što je zbog činjenice da ovaj broj - 4 - nije djeljiv sa 6 i da nemamo više brojeva koji se mogu izostaviti.

Odgovor će izgledati ovako: 41 (odmor 4).

Proračuni u ovoj fazi mogu se završiti ako problem zahtijeva pronalaženje nečega što se može izraziti isključivo cijelim brojevima. Možemo govoriti o broju automobila potrebnih za prevoz određenog broja ljudi.

Ako postoji potreba za odgovorom u obliku decimalnog razlomka, možete preći na sljedeće korake algoritma „kako podijeliti u stupac“.

Ako ne želite da zapišete odgovor s ostatkom, odgovor možete pronaći u obliku decimalnog razlomka. Kada dobijete ostatak koji se ne može podijeliti djeliteljem, morate dodati decimalni znak (količniku).

U našem slučaju, broj 250 se može zapisati kao decimalni razlomak: 250.000.

Sada kada postoje brojevi (samo nule) koje se mogu izostaviti, možemo nastaviti s proračunima. Izostavljamo nulu i računamo koliko puta se rezultujući broj može podijeliti s djeliteljem.

U našem primjeru, nakon količnika 41 (koji stavljamo direktno ispod djelitelja), upisujemo decimalni zarez i dodajemo 0 ostatku (4). Tada dobijeni broj, odnosno 40, podijelimo s djeliteljem (koji je 6). Ponovo dobijamo 6, koje zapisujemo kao količnik iza decimalnog mesta. Izgleda kao 41.6. Nakon toga, 6 se množi sa 6, a zatim se rezultat množenja oduzima od 40. Trebalo bi ponovo dobiti 4.

U brojnim situacijama, kada tražite odgovor u obliku decimalnog razlomka, možete naići na ponavljanje brojeva. Da biste to učinili, morate prekinuti proračune i zaokružiti odgovor koji ste već dobili - prema dolje ili prema gore.

Konkretno, u primjeru koji razmatramo, moramo prestati beskonačno dobivati ​​broj 4. Samo trebamo prekinuti proračune i zaokružiti količnik. Budući da je 6 veće od 5, zaokruživanje se vrši naviše, što rezultira djelomičnim odgovorom od 41,67.