U ovoj lekciji ćemo razmotriti osnovne teorijske činjenice o logaritmima i razmotriti rješavanje najjednostavnijih logaritamskih jednadžbi.

Prisjetimo se središnje definicije - definicije logaritma. To uključuje rješavanje eksponencijalne jednačine. Ova jednadžba ima jedan korijen, naziva se logaritam od b prema bazi a:

definicija:

Logaritam od b prema bazi a je eksponent na koji se baza a mora podići da bi se dobilo b.

Da vas podsjetimo osnovni logaritamski identitet.

Izraz (izraz 1) je korijen jednadžbe (izraz 2). Zamijenite vrijednost x iz izraza 1 umjesto x u izraz 2 i dobijete glavni logaritamski identitet:

Dakle, vidimo da je svaka vrijednost povezana s vrijednošću. Označavamo b sa x(), c sa y i tako dobijamo logaritamsku funkciju:

Na primjer:

Prisjetimo se osnovnih svojstava logaritamske funkcije.

Obratimo pažnju još jednom, jer ispod logaritma može postojati striktno pozitivan izraz, kao osnova logaritma.

Rice. 1. Grafikon logaritamske funkcije u različitim bazama

Grafikon funkcije at je prikazan crnom bojom. Rice. 1. Ako se argument povećava od nule do beskonačnosti, funkcija se povećava od minus do plus beskonačno.

Grafikon funkcije at je prikazan crvenom bojom. Rice. 1.

Svojstva ove funkcije:

Domen: ;

Raspon vrijednosti: ;

Funkcija je monotona u cijelom svom domenu definicije. Kada se monotono (strogo) povećava, veća vrijednost argumenta odgovara većoj vrijednosti funkcije. Kada se monotono (strogo) smanjuje, veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije.

Svojstva logaritamske funkcije su ključ za rješavanje raznih logaritamskih jednadžbi.

Razmotrimo najjednostavniju logaritamsku jednačinu, sve ostale logaritamske jednačine se po pravilu svode na ovaj oblik.

Kako su osnove logaritma i sami logaritmi jednaki, jednake su i funkcije pod logaritmom, ali ne smijemo propustiti domen definicije. Pod logaritmom se može pojaviti samo pozitivan broj, imamo:

Otkrili smo da su funkcije f i g jednake, pa je dovoljno odabrati bilo koju nejednakost da bi se uskladila s ODZ.

Dakle, imamo mješoviti sistem u kojem postoji jednačina i nejednakost:

U pravilu nije potrebno riješiti nejednakost, dovoljno je riješiti jednačinu i zamijeniti pronađene korijene u nejednakosti, čime se vrši provjera.

Formulirajmo metodu za rješavanje najjednostavnijih logaritamskih jednadžbi:

Izjednačiti osnove logaritama;

Izjednačiti sublogaritamske funkcije;

Izvršite provjeru.

Pogledajmo konkretne primjere.

Primjer 1 - riješiti jednačinu:

Osnove logaritama su u početku jednake, imamo pravo da izjednačimo sublogaritamske izraze, ne zaboravite na ODZ, biramo prvi logaritam za sastavljanje nejednakosti:

Primjer 2 - riješiti jednačinu:

Ova se jednadžba razlikuje od prethodne po tome što su baze logaritama manje od jedan, ali to ni na koji način ne utječe na rješenje:

Nađimo korijen i zamijenimo ga u nejednakosti:

Dobili smo netačnu nejednakost, što znači da pronađeni korijen ne zadovoljava ODZ.

Primjer 3 - riješiti jednačinu:

Osnove logaritama su u početku jednake, imamo pravo izjednačiti podlogaritamske izraze, ne zaboravite na ODZ, biramo drugi logaritam da sastavimo nejednakost:

Nađimo korijen i zamijenimo ga u nejednakosti:

Očigledno, samo prvi korijen zadovoljava ODZ.

Završni video zapisi u dugoj seriji lekcija o rješavanju logaritamskih jednadžbi. Ovaj put ćemo prvenstveno raditi sa ODZ logaritma – upravo zbog pogrešnog razmatranja (ili čak zanemarivanja) domena definicije najviše grešaka nastaje prilikom rješavanja ovakvih problema.

U ovoj kratkoj video lekciji ćemo se osvrnuti na upotrebu formula za sabiranje i oduzimanje logaritama, a takođe ćemo se pozabaviti i razlomcima racionalnih jednačina, sa kojima mnogi učenici takođe imaju problema.

O čemu ćemo razgovarati? Glavna formula koju bih želio razumjeti izgleda ovako:

log a (f g ) = log a f + log a g

Ovo je standardni prijelaz sa proizvoda na zbir logaritama i nazad. Vjerovatno znate ovu formulu od samog početka proučavanja logaritama. Međutim, postoji jedan problem.

Sve dok su varijable a, f i g obični brojevi, nema problema. Ova formula radi odlično.

Međutim, čim se umjesto f i g pojave funkcije, javlja se problem proširenja ili sužavanja domene definicije ovisno o tome u kojem smjeru transformirati. Procijenite sami: u logaritmu napisanom lijevo, domen definicije je sljedeći:

fg > 0

Ali u količini napisanoj desno, domen definicije je već nešto drugačiji:

f > 0

g > 0

Ovaj skup zahtjeva je stroži od prvobitnog. U prvom slučaju ćemo se zadovoljiti opcijom f< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0 se izvršava).

Dakle, pri prelasku sa lijeve konstrukcije na desnu dolazi do sužavanja domena definicije. Ako smo u početku imali zbroj, pa ga prepišemo u obliku proizvoda, onda se domen definicije širi.

Drugim riječima, u prvom slučaju mogli bismo izgubiti korijenje, au drugom bismo mogli dobiti dodatne. Ovo se mora uzeti u obzir prilikom rješavanja realnih logaritamskih jednačina.

Dakle, prvi zadatak:

[Natpis za sliku]

Na lijevoj strani vidimo zbir logaritama koji koriste istu bazu. Stoga se ovi logaritmi mogu dodati:

[Natpis za sliku]

Kao što vidite, na desnoj strani zamijenili smo nulu koristeći formulu:

a = log b b a

Hajdemo još malo da preuredimo našu jednačinu:

log 4 (x − 5) 2 = log 4 1

Pred nama je kanonski oblik logaritamske jednačine, možemo precrtati log znak i izjednačiti argumente:

(x − 5) 2 = 1

|x − 5| = 1

Napomena: odakle je došao modul? Da vas podsjetim da je korijen tačnog kvadrata jednak modulu:

[Natpis za sliku]

Zatim rješavamo klasičnu jednačinu sa modulom:

|f | = g (g > 0) ⇒f = ±g

x − 5 = ±1 ⇒x 1 = 5 − 1 = 4; x 2 = 5 + 1 = 6

Evo dva odgovora kandidata. Jesu li oni rješenje originalne logaritamske jednadžbe? Nema šanse!

Nemamo pravo sve ostaviti samo tako i zapisati odgovor. Pogledajte korak u kojem zamjenjujemo zbir logaritama jednim logaritmom proizvoda argumenata. Problem je što u originalnim izrazima imamo funkcije. Stoga bi vam trebalo:

x(x − 5) > 0; (x − 5)/x > 0.

Kada smo transformisali proizvod, dobijajući tačan kvadrat, promenili su se zahtevi:

(x − 5) 2 > 0

Kada je ovaj zahtjev ispunjen? Da, skoro uvek! Osim u slučaju kada je x − 5 = 0. To jest nejednakost će se svesti na jednu probušenu tačku:

x − 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ 5

Kao što vidite, proširio se obim definicije, o čemu smo govorili na samom početku lekcije. Shodno tome, mogu se pojaviti dodatni korijeni.

Kako možete spriječiti pojavu ovih dodatnih korijena? Vrlo je jednostavno: gledamo naše dobivene korijene i upoređujemo ih s domenom definicije izvorne jednadžbe. izbrojimo:

x (x − 5) > 0

Rešit ćemo metodom intervala:

x (x − 5) = 0 ⇒ x = 0; x = 5

Rezultirajuće brojeve označavamo na liniji. Sve tačke nedostaju jer je nejednakost stroga. Uzmi bilo koji broj veći od 5 i zamijeni:

[Natpis za sliku]

Zanimaju nas intervali (−∞; 0) ∪ (5; ∞). Ako na segmentu označimo naše korijene, vidjet ćemo da nam x = 4 ne odgovara, jer se taj korijen nalazi izvan domene definicije originalne logaritamske jednadžbe.

Vraćamo se na ukupnost, precrtavamo korijen x = 4 i zapisujemo odgovor: x = 6. Ovo je konačni odgovor na originalnu logaritamsku jednačinu. To je to, problem rešen.

Pređimo na drugu logaritamsku jednačinu:

[Natpis za sliku]

Hajde da to rešimo. Imajte na umu da je prvi član razlomak, a drugi isti razlomak, ali obrnut. Nemojte se plašiti izraza lgx - to je samo decimalni logaritam, možemo ga napisati:

lgx = log 10 x

Pošto imamo dva obrnuta razlomka, predlažem uvođenje nove varijable:

[Natpis za sliku]

Stoga se naša jednadžba može prepisati na sljedeći način:

t + 1/t = 2;

t + 1/t − 2 = 0;

(t 2 − 2t + 1)/t = 0;

(t − 1) 2 /t = 0.

Kao što vidite, brojilac razlomka je tačan kvadrat. Razlomak je jednak nuli kada mu je brojilac nula, a imenilac različit od nule:

(t − 1) 2 = 0; t ≠ 0

Rešimo prvu jednačinu:

t − 1 = 0;

t = 1.

Ova vrijednost zadovoljava drugi zahtjev. Stoga možemo reći da smo u potpunosti riješili našu jednačinu, ali samo u odnosu na varijablu t. Sada se prisjetimo šta je t:

[Natpis za sliku]

Dobili smo proporciju:

lgx = 2 lgx + 1

2 logx − logx = −1

logx = −1

Ovu jednačinu dovodimo do njenog kanonskog oblika:

logx = log 10 −1

x = 10 −1 = 0,1

Kao rezultat, dobili smo jedan korijen, koji je, u teoriji, rješenje originalne jednadžbe. Ipak, igrajmo na sigurno i napišimo domenu definicije originalne jednadžbe:

[Natpis za sliku]

Dakle, naš root zadovoljava sve zahtjeve. Pronašli smo rješenje originalne logaritamske jednadžbe. Odgovor: x = 0,1. Problem je riješen.

Postoji samo jedna ključna točka u današnjoj lekciji: kada koristite formulu za pomicanje od proizvoda do zbroja i nazad, vodite računa da se opseg definicije može suziti ili proširiti ovisno o tome u kojem smjeru se prijelaz vrši.

Kako razumjeti šta se dešava: kontrakcija ili ekspanzija? Veoma jednostavno. Ako su ranije funkcije bile zajedno, a sada su odvojene, onda se opseg definicije suzio (jer ima više zahtjeva). Ako su u početku funkcije stajale odvojeno, a sada su zajedno, onda se domen definicije širi (proizvodu se nameće manje zahtjeva nego pojedinačnim faktorima).

Uzimajući u obzir ovu napomenu, želio bih napomenuti da druga logaritamska jednadžba uopće ne zahtijeva ove transformacije, odnosno nigdje ne sabiramo niti množimo argumente. Međutim, ovdje bih vam skrenuo pažnju na još jednu divnu tehniku ​​koja može značajno pojednostaviti rješenje. Radi se o zamjeni varijable.

Međutim, zapamtite da nas nikakve zamjene ne oslobađaju opsega definicije. Zato nakon što su svi korijeni pronađeni, nismo lijeni i vratili smo se na prvobitnu jednačinu da pronađemo njen ODZ.

Često, prilikom zamjene varijable, dolazi do dosadne greške kada učenici pronađu vrijednost t i misle da je rješenje potpuno. Nema šanse!

Nakon što ste pronašli vrijednost t, morate se vratiti na prvobitnu jednačinu i vidjeti šta smo tačno mislili sa ovim slovom. Kao rezultat, moramo riješiti još jednu jednadžbu, koja će, međutim, biti mnogo jednostavnija od originalne.

To je upravo poenta uvođenja nove varijable. Prvobitnu jednačinu podijelimo na dvije međusobne, od kojih svaka ima mnogo jednostavnije rješenje.

Kako riješiti "ugniježđene" logaritamske jednadžbe

Danas nastavljamo sa proučavanjem logaritamskih jednadžbi i analiziraćemo konstrukcije kada je jedan logaritam pod znakom drugog logaritma. Obje jednačine ćemo riješiti koristeći kanonski oblik.

Danas nastavljamo da proučavamo logaritamske jednačine i analiziraćemo konstrukcije kada je jedan logaritam pod znakom drugog. Obje jednačine ćemo riješiti koristeći kanonski oblik. Da vas podsjetim da ako imamo jednostavnu logaritamsku jednačinu oblika log a f (x) = b, tada za rješavanje takve jednačine izvodimo sljedeće korake. Prije svega, trebamo zamijeniti broj b:

b = log a a b

Imajte na umu da je a b argument. Slično, u originalnoj jednačini, argument je funkcija f(x). Zatim prepisujemo jednačinu i dobijamo ovu konstrukciju:

log a f (x) = log a a b

Tada možemo izvesti treći korak - osloboditi se znaka logaritma i jednostavno napisati:

f (x) = a b

Kao rezultat, dobijamo novu jednačinu. U ovom slučaju nema ograničenja na funkciju f (x). Na primjer, logaritamska funkcija također može zauzeti njeno mjesto. I tada ćemo opet dobiti logaritamsku jednačinu, koju ćemo opet svesti na njen najjednostavniji oblik i riješiti kroz kanonski oblik.

Međutim, dosta tekstova. Hajde da rešimo pravi problem. Dakle, zadatak broj 1:

log 2 (1 + 3 log 2 x ) = 2

Kao što vidite, imamo jednostavnu logaritamsku jednačinu. Uloga f (x) je konstrukcija 1 + 3 log 2 x, a uloga broja b je broj 2 (ulogu a imaju i dvojica). Prepišimo ovo dvoje na sljedeći način:

Važno je shvatiti da su nam prve dvije dvije došle iz baze logaritma, tj. da je u originalnoj jednačini bilo 5, onda bismo dobili da je 2 = log 5 5 2. Općenito, baza ovisi isključivo o logaritmu koji je izvorno dat u zadatku. A u našem slučaju ovo je broj 2.

Dakle, hajde da prepišemo našu logaritamsku jednačinu uzimajući u obzir činjenicu da je dva sa desne strane zapravo takođe logaritam. Dobijamo:

log 2 (1 + 3 log 2 x ) = log 2 4

Prijeđimo na posljednji korak naše sheme - oslobađanje od kanonskog oblika. Moglo bi se reći, jednostavno precrtavamo znakove balvana. Međutim, s matematičke točke gledišta, nemoguće je "precrtati dnevnik" - ispravnije bi bilo reći da argumente jednostavno izjednačavamo:

1 + 3 log 2 x = 4

Odavde možemo lako pronaći 3 log 2 x:

3 log 2 x = 3

log 2 x = 1

Ponovo smo dobili najjednostavniju logaritamsku jednačinu, vratimo je u kanonski oblik. Da bismo to uradili moramo izvršiti sljedeće promjene:

1 = log 2 2 1 = log 2 2

Zašto je dvojka u bazi? Jer u našoj kanonskoj jednadžbi na lijevoj strani postoji logaritam tačno na osnovu 2. Prepisujemo problem uzimajući u obzir ovu činjenicu:

log 2 x = log 2 2

Ponovo se oslobađamo znaka logaritma, tj. jednostavno izjednačavamo argumente. Na to imamo pravo jer su baze iste, a nikakve dodatne radnje nisu vršene ni s desne ni s lijeve strane:

To je sve! Problem je riješen. Pronašli smo rješenje logaritamske jednačine.

Bilješka! Iako se varijabla x pojavljuje u argumentu (tj. postoje zahtjevi za domenu definicije), nećemo postavljati nikakve dodatne zahtjeve.

Kao što sam rekao gore, ova provjera je suvišna ako se varijabla pojavljuje u samo jednom argumentu samo jednog logaritma. U našem slučaju, x se zaista pojavljuje samo u argumentu i samo pod jednim log znakom. Stoga nisu potrebne dodatne provjere.

Međutim, ako nemate povjerenja u ovu metodu, lako možete provjeriti da je x = 2 zaista korijen. Dovoljno je zamijeniti ovaj broj u originalnu jednačinu.

Pređimo na drugu jednačinu, malo je zanimljivija:

log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = 1

Ako izraz unutar velikog logaritma označimo funkcijom f (x), dobićemo najjednostavniju logaritamsku jednačinu s kojom smo započeli današnju video lekciju. Stoga možemo primijeniti kanonski oblik, za koji ćemo jedinicu morati predstaviti u obliku log 2 2 1 = log 2 2.

Prepišimo našu veliku jednačinu:

log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = log 2 2

Odmaknimo se od znaka logaritma, izjednačavajući argumente. Na to imamo pravo, jer i na lijevoj i na desnoj osnovi su iste. Dodatno, imajte na umu da log 2 4 = 2:

log 1/2 (2x − 1) + 2 = 2

log 1/2 (2x − 1) = 0

Pred nama je opet najjednostavnija logaritamska jednadžba oblika log a f (x) = b. Pređimo na kanonski oblik, odnosno predstavljamo nulu u obliku log 1/2 (1/2)0 = log 1/2 1.

Prepisujemo našu jednačinu i oslobađamo se log znaka, izjednačavajući argumente:

log 1/2 (2x − 1) = log 1/2 1

2x − 1 = 1

Opet, odmah smo dobili odgovor. Nisu potrebne dodatne provjere jer u originalnoj jednadžbi samo jedan logaritam sadrži funkciju kao argument.

Stoga nisu potrebne dodatne provjere. Možemo sa sigurnošću reći da je x = 1 jedini korijen ove jednačine.

Ali ako bi u drugom logaritmu bila neka funkcija od x umjesto četiri (ili 2x nije bilo u argumentu, već u bazi) - tada bi bilo potrebno provjeriti domenu definicije. U suprotnom, postoji velika šansa da naletite na dodatne korijene.

Odakle dolaze ovi dodatni korijeni? Ova tačka mora biti shvaćena vrlo jasno. Pogledajte originalne jednadžbe: svugdje je funkcija x pod znakom logaritma. Shodno tome, pošto smo zapisali log 2 x, automatski postavljamo zahtjev x > 0. Inače, ovaj unos jednostavno nema smisla.

Međutim, kako rješavamo logaritamsku jednadžbu, oslobađamo se svih log znakova i dobivamo jednostavne konstrukcije. Ovdje nisu postavljena ograničenja, jer je linearna funkcija definirana za bilo koju vrijednost x.

Upravo je taj problem, kada je konačna funkcija svugdje i uvijek definirana, ali originalna nije svugdje i ne uvijek, razlog zašto se u rješavanju logaritamskih jednačina vrlo često pojavljuju dodatni korijeni.

Ali ponavljam još jednom: to se događa samo u situaciji kada je funkcija ili u nekoliko logaritama ili u osnovi jednog od njih. U problemima koje danas razmatramo, u principu, nema problema sa proširenjem obima definicije.

Slučajevi različitih osnova

Ova lekcija je posvećena složenijim dizajnima. Logaritmi u današnjim jednačinama se više neće odmah rješavati;

Počinjemo rješavati logaritamske jednadžbe s potpuno različitim bazama, koje nisu točne potencije jedna drugoj. Nemojte dopustiti da vas takvi problemi uplaše - nije ih teže riješiti od najjednostavnijih dizajna o kojima smo gore govorili.

Ali prije nego što pređemo direktno na probleme, dopustite mi da vas podsjetim na formulu za rješavanje najjednostavnijih logaritamskih jednadžbi pomoću kanonskog oblika. Razmotrite ovakav problem:

log a f (x) = b

Važno je da je funkcija f (x) samo funkcija, a uloga brojeva a i b treba da budu brojevi (bez ikakvih varijabli x). Naravno, doslovce za minut ćemo pogledati takve slučajeve kada umjesto varijabli a i b postoje funkcije, ali to sada nije o tome.

Kao što se sjećamo, broj b mora biti zamijenjen logaritmom na istu bazu a, koja je na lijevoj strani. Ovo se radi vrlo jednostavno:

b = log a a b

Naravno, riječi "bilo koji broj b" i "bilo koji broj a" znače vrijednosti koje zadovoljavaju opseg definicije. Konkretno, u ovoj jednačini govorimo samo o bazi a > 0 i a ≠ 1.

Međutim, ovaj zahtjev je automatski zadovoljen, jer izvorni problem već sadrži logaritam za bazu a – sigurno će biti veći od 0 i neće biti jednak 1. Stoga nastavljamo rješavati logaritamsku jednačinu:

log a f (x) = log a a b

Takva notacija se zove kanonska forma. Njegova pogodnost leži u činjenici da se možemo odmah riješiti znaka dnevnika izjednačavanjem argumenata:

f (x) = a b

Upravo ovu tehniku ​​ćemo sada koristiti za rješavanje logaritamskih jednadžbi s promjenjivom bazom. Dakle, idemo!

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 0,5 0,125

Šta je sledeće? Neko će sada reći da treba izračunati pravi logaritam, ili ih svesti na istu bazu, ili nešto drugo. I zaista, sada moramo obje baze dovesti u isti oblik - ili 2 ili 0,5. Ali naučimo jednom za svagda sljedeće pravilo:

Ako u logaritamskoj jednadžbi postoje decimale, obavezno pretvorite te razlomke iz decimalnog u uobičajeni zapis. Ova transformacija može uvelike pojednostaviti rješenje.

Takav prijelaz mora se izvršiti odmah, čak i prije izvođenja bilo kakvih radnji ili transformacija. Hajde da pogledamo:

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 1 /2 1/8

Šta nam takav zapis daje? Možemo predstaviti 1/2 i 1/8 kao stepene sa negativnim eksponentom:

[Natpis za sliku]

Pred nama je kanonski oblik. Izjednačavamo argumente i dobijamo klasičnu kvadratnu jednačinu:

x 2 + 4x + 11 = 8

x 2 + 4x + 3 = 0

Pred nama je sljedeća kvadratna jednadžba, koja se lako može riješiti korištenjem Vietinih formula. U srednjoj školi trebalo bi da vidite slične prikaze doslovno usmeno:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = −3

x 2 = −1

To je sve! Originalna logaritamska jednadžba je riješena. Imamo dva korena.

Da vas podsjetim da u ovom slučaju nije potrebno određivati ​​domen definicije, jer je funkcija sa varijablom x prisutna samo u jednom argumentu. Stoga se opseg definicije izvodi automatski.

Dakle, prva jednačina je riješena. Pređimo na drugo:

log 0,5 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 1/9

log 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 9 −1

Sada imajte na umu da se argument prvog logaritma može zapisati i kao stepen sa negativnim eksponentom: 1/2 = 2 −1. Tada možete izvaditi potencije na obje strane jednačine i podijeliti sve sa −1:

[Natpis za sliku]

I sada smo završili vrlo važan korak u rješavanju logaritamske jednadžbe. Možda neko nešto nije primetio, pa da objasnim.

Pogledajte našu jednačinu: i na lijevoj i na desnoj strani nalazi se log znak, ali lijevo je logaritam na bazu 2, a na desnoj je logaritam na bazu 3. Tri nije cijeli broj od dva i, obrnuto, ne možete napisati da je 2 3 u cijelom broju stupnjeva.

Posljedično, radi se o logaritmima s različitim bazama koji se ne mogu svesti jedan na drugi jednostavnim zbrajanjem potencija. Jedini način za rješavanje takvih problema je da se riješimo jednog od ovih logaritama. U ovom slučaju, pošto još uvijek razmatramo prilično jednostavne probleme, logaritam desno je jednostavno izračunat i dobili smo najjednostavniju jednačinu – upravo onu o kojoj smo govorili na samom početku današnje lekcije.

Predstavimo broj 2, koji je desno, kao log 2 2 2 = log 2 4. I onda se riješimo znaka logaritma, nakon čega nam jednostavno ostaje kvadratna jednadžba:

log 2 (5x 2 + 9x + 2) = log 2 4

5x 2 + 9x + 2 = 4

5x 2 + 9x − 2 = 0

Pred nama je obična kvadratna jednačina, ali ona nije redukovana jer je koeficijent od x 2 različit od jedinice. Stoga ćemo to riješiti pomoću diskriminanta:

D = 81 − 4 5 (−2) = 81 + 40 = 121

x 1 = (−9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5

x 2 = (−9 − 11)/10 = −2

To je sve! Pronašli smo oba korijena, što znači da smo dobili rješenje originalne logaritamske jednadžbe. Zaista, u originalnom problemu, funkcija s promjenljivom x je prisutna u samo jednom argumentu. Shodno tome, nisu potrebne nikakve dodatne provjere u domeni definicije - oba korijena za koja smo otkrili sigurno ispunjavaju sva moguća ograničenja.

Ovo bi mogao biti kraj današnje video lekcije, ali u zaključku želim još jednom reći: budite sigurni da ste pretvorili sve decimalne razlomke u obične razlomke kada rješavate logaritamske jednadžbe. U većini slučajeva to uvelike pojednostavljuje njihovo rješenje.

Rijetko, vrlo rijetko, naiđete na probleme u kojima uklanjanje decimalnih razlomaka samo komplikuje proračune. Međutim, u takvim jednadžbama, u pravilu, u početku je jasno da nema potrebe da se riješite decimalnih razlomaka.

U većini drugih slučajeva (naročito ako tek počinjete vježbati rješavanje logaritamskih jednadžbi), slobodno se riješite decimala i pretvorite ih u obične. Jer praksa pokazuje da ćete na taj način značajno pojednostaviti naknadno rješenje i proračune.

Suptilnosti i trikovi rješenja

Danas prelazimo na složenije probleme i rješavamo logaritamsku jednadžbu, koja se ne zasniva na broju, već na funkciji.

Čak i ako je ova funkcija linearna, morat će se napraviti male promjene u shemi rješenja, čije se značenje svodi na dodatne zahtjeve nametnute domeni definicije logaritma.

Složeni zadaci

Ovaj vodič će biti prilično dug. U njemu ćemo analizirati dvije prilično ozbiljne logaritamske jednačine, pri rješavanju kojih mnogi učenici griješe. Tokom prakse kao nastavnik matematike, stalno sam nailazio na dvije vrste grešaka:

1. Pojava dodatnih korijena zbog proširenja domena definicije logaritama. Da biste izbjegli takve uvredljive greške, samo pažljivo pratite svaku transformaciju;
2. Gubitak korijena zbog činjenice da je student zaboravio razmotriti neke „suptilne“ slučajeve - to su situacije na koje ćemo se danas fokusirati.

Ovo je posljednja lekcija o logaritamskim jednadžbama. Biće dugo, analiziraćemo složene logaritamske jednačine. Raskomotite se, skuvajte sebi čaj i krenimo.

Prva jednadžba izgleda sasvim standardno:

log x + 1 (x − 0,5) = log x − 0,5 (x + 1)

Odmah primijetimo da su oba logaritma obrnute kopije jedan drugog. Prisjetimo se divne formule:

log a b = 1/log b a

Međutim, ova formula ima niz ograničenja koja nastaju ako umjesto brojeva a i b postoje funkcije varijable x:

b > 0

1 ≠ a > 0

Ovi zahtjevi se odnose na bazu logaritma. S druge strane, u razlomku je potrebno da imamo 1 ≠ a > 0, jer ne samo da je varijabla a u argumentu logaritma (dakle a > 0), već je i sam logaritam u nazivniku razlomka . Ali log b 1 = 0, a imenilac mora biti različit od nule, tako da je a ≠ 1.

Dakle, ograničenja za varijablu a ostaju. Ali šta se dešava sa promenljivom b? S jedne strane, baza implicira b > 0, s druge strane varijabla b ≠ 1, jer baza logaritma mora biti različita od 1. Ukupno, iz desne strane formule slijedi da je 1 ≠ b > 0.

Ali evo problema: drugi zahtjev (b ≠ 1) nedostaje u prvoj nejednakosti, koja se bavi lijevim logaritmom. Drugim riječima, kada vršimo ovu transformaciju moramo provjerite posebno, da je argument b različit od jedan!

Pa hajde da to proverimo. Primijenimo našu formulu:

[Natpis za sliku]

1 ≠ x − 0,5 > 0; 1 ≠ x + 1 > 0

Dakle, dobili smo da već iz originalne logaritamske jednadžbe slijedi da i a i b moraju biti veći od 0, a ne jednaki 1. To znači da možemo lako invertirati logaritamsku jednačinu:

Predlažem uvođenje nove varijable:

log x + 1 (x − 0,5) = t

U ovom slučaju, naša konstrukcija će biti prepisana na sljedeći način:

(t 2 − 1)/t = 0

Imajte na umu da u brojniku imamo razliku kvadrata. Otkrivamo razliku kvadrata koristeći skraćenu formulu množenja:

(t − 1)(t + 1)/t = 0

Razlomak je jednak nuli kada mu je brojilac nula, a imenilac različit od nule. Ali brojilac sadrži proizvod, pa svaki faktor izjednačavamo sa nulom:

t 1 = 1;

t 2 = −1;

t ≠ 0.

Kao što vidimo, odgovaraju nam obje vrijednosti varijable t. Međutim, rješenje se tu ne završava, jer moramo pronaći ne t, već vrijednost x. Vraćamo se na logaritam i dobijamo:

log x + 1 (x − 0,5) = 1;

log x + 1 (x − 0,5) = −1.

Stavimo svaku od ovih jednačina u kanonski oblik:

log x + 1 (x − 0,5) = log x + 1 (x + 1) 1

log x + 1 (x − 0,5) = log x + 1 (x + 1) −1

Riješimo se znaka logaritma u prvom slučaju i izjednačavamo argumente:

x − 0,5 = x + 1;

x − x = 1 + 0,5;

Takva jednadžba nema korijena, stoga prva logaritamska jednadžba također nema korijen. Ali sa drugom jednačinom sve je mnogo zanimljivije:

(x − 0,5)/1 = 1/(x + 1)

Rješavajući proporciju dobijamo:

(x − 0,5)(x + 1) = 1

Da vas podsjetim da je pri rješavanju logaritamskih jednadžbi mnogo zgodnije koristiti sve decimalne razlomke kao obične, pa prepišimo našu jednadžbu na sljedeći način:

(x − 1/2)(x + 1) = 1;

x 2 + x − 1/2x − 1/2 − 1 = 0;

x 2 + 1/2x − 3/2 = 0.

Pred nama je kvadratna jednadžba u nastavku, koja se lako može riješiti korištenjem Vietinih formula:

(x + 3/2) (x − 1) = 0;

x 1 = −1,5;

x 2 = 1.

Dobili smo dva korijena - oni su kandidati za rješavanje originalne logaritamske jednadžbe. Da bismo razumjeli koji će korijeni zapravo ući u odgovor, vratimo se izvornom problemu. Sada ćemo provjeriti svaki od naših korijena da vidimo da li se uklapaju u domenu definicije:

1,5 ≠ x > 0,5; 0 ≠ x > −1.

Ovi zahtjevi su jednaki dvostrukoj nejednakosti:

1 ≠ x > 0,5

Odavde odmah vidimo da nam ne odgovara korijen x = −1,5, ali nam sasvim dobro odgovara x = 1. Stoga je x = 1 konačno rješenje logaritamske jednačine.

Pređimo na drugi zadatak:

log x 25 + log 125 x 5 = log 25 x 625

Na prvi pogled može izgledati da svi logaritmi imaju različite baze i različite argumente. Šta učiniti s takvim strukturama? Prije svega, imajte na umu da su brojevi 25, 5 i 625 potenci od 5:

25 = 5 2 ; 625 = 5 4

Sada iskoristimo divno svojstvo logaritma. Poenta je da možete izvući moći iz argumenta u obliku faktora:

log a b n = n ∙ log a b

Ova transformacija je također podložna ograničenjima u slučaju kada je b zamijenjen funkcijom. Ali za nas je b samo broj i nema dodatnih ograničenja. Prepišimo našu jednačinu:

2 ∙ log x 5 + log 125 x 5 = 4 ∙ log 25 x 5

Dobili smo jednačinu sa tri člana koji sadrže log znak. Štaviše, argumenti sva tri logaritma su jednaki.

Vrijeme je da obrnemo logaritme kako bismo ih doveli na istu bazu - 5. Pošto je varijabla b konstanta, ne dolazi do promjena u domenu definicije. Samo prepisujemo:

[Natpis za sliku]

Očekivano, isti logaritmi su se pojavili u nazivniku. Predlažem zamjenu varijable:

log 5 x = t

U ovom slučaju, naša jednačina će biti prepisana na sljedeći način:

Napišimo brojilac i otvorimo zagrade:

2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) − 4t (t + 3) = 2 (t 2 + 5t + 6) + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = 2t 2 + 10t + 12 + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = −t 2 + 12

Vratimo se našem razlomku. Brojilac mora biti nula:

[Natpis za sliku]

I imenilac je drugačiji od nule:

t ≠ 0; t ≠ −3; t ≠ −2

Posljednji zahtjevi se ispunjavaju automatski, jer su svi „vezani“ za cijele brojeve, a svi odgovori su iracionalni.

Dakle, riješena je racionalna jednadžba razlomaka, pronađene su vrijednosti varijable t. Vratimo se rješavanju logaritamske jednadžbe i sjetimo se šta je t:

[Natpis za sliku]

Svodimo ovu jednačinu na kanonski oblik i dobijamo broj sa iracionalnim stepenom. Ne dozvolite da vas ovo zbuni - čak se i takvi argumenti mogu izjednačiti:

[Natpis za sliku]

Imamo dva korena. Preciznije, dva kandidata odgovora - hajde da ih proverimo da li su u skladu sa domenom definicije. Budući da je osnova logaritma varijabla x, potrebno je sljedeće:

1 ≠ x > 0;

Sa istim uspjehom tvrdimo da je x ≠ 1/125, inače će se osnova drugog logaritma pretvoriti u jedinicu. Konačno, x ≠ 1/25 za treći logaritam.

Ukupno smo dobili četiri ograničenja:

1 ≠ x > 0; x ≠ 1/125; x ≠ 1/25

Sada se postavlja pitanje: da li naši korijeni zadovoljavaju ove zahtjeve? Naravno da zadovoljavaju! Zato što će 5 na bilo koji stepen biti veće od nule, a zahtjev x > 0 je automatski zadovoljen.

S druge strane, 1 = 5 0, 1/25 = 5 −2, 1/125 = 5 −3, što znači da ova ograničenja za naše korijene (koji, da vas podsjetim, imaju iracionalan broj u eksponentu) su također zadovoljni, a oba odgovora su rješenja problema.

Dakle, imamo konačan odgovor. Postoje dvije ključne tačke u ovom zadatku:

1. Budite oprezni kada okrećete logaritam kada se argument i baza zamjenjuju. Takve transformacije nameću nepotrebna ograničenja na opseg definicije.
2. Nemojte se bojati transformirati logaritme: oni se ne mogu samo obrnuti, već i proširiti pomoću formule sume i općenito mijenjati pomoću bilo koje formule koju ste proučavali prilikom rješavanja logaritamskih izraza. Međutim, uvijek zapamtite: neke transformacije proširuju opseg definicije, a neke ih sužavaju.

Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti vaše lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti vaše lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

Logaritamski izrazi, primjeri rješavanja. U ovom članku ćemo se osvrnuti na probleme vezane za rješavanje logaritama. U zadacima se postavlja pitanje pronalaženja značenja izraza. Treba napomenuti da se koncept logaritma koristi u mnogim zadacima i razumijevanje njegovog značenja je izuzetno važno. Što se tiče Jedinstvenog državnog ispita, logaritam se koristi pri rješavanju jednačina, u primijenjenim problemima, kao i u zadacima vezanim za proučavanje funkcija.

Navedimo primjere kako bismo razumjeli samo značenje logaritma:

Osnovni logaritamski identitet:

Svojstva logaritama koje se uvijek moraju zapamtiti:

*Logaritam proizvoda jednak je zbiru logaritama faktora.

* * *

*Logaritam količnika (razlomka) jednak je razlici između logaritama faktora.

* * *

*Logaritam eksponenta jednak je proizvodu eksponenta i logaritma njegove baze.

* * *

*Prelazak na novu osnovu

* * *

Više nekretnina:

* * *

Izračunavanje logaritama je usko povezano sa upotrebom svojstava eksponenata.

Navedimo neke od njih:

Suština ovog svojstva je da kada se brojnik prenese na nazivnik i obrnuto, predznak eksponenta se mijenja u suprotan. Na primjer:

Zaključak iz ovog svojstva:

* * *

Kada se stepen diže na stepen, baza ostaje ista, ali se eksponenti množe.

* * *

Kao što ste vidjeli, sam koncept logaritma je jednostavan. Glavna stvar je da vam je potrebna dobra praksa, koja vam daje određenu vještinu. Naravno, potrebno je poznavanje formula. Ako vještina pretvaranja elementarnih logaritama nije razvijena, tada prilikom rješavanja jednostavnih zadataka možete lako pogriješiti.

Vježbajte, riješite prvo najjednostavnije primjere iz matematike, pa pređite na složenije. U budućnosti ću svakako pokazati kako se rješavaju "strašni" logaritmi, neće se pojaviti na Jedinstvenom državnom ispitu, ali su zanimljivi, nemojte ih propustiti!

To je sve! Sretno ti!

S poštovanjem, Alexander Krutitskikh

P.S: Bio bih vam zahvalan ako mi kažete nešto o stranici na društvenim mrežama.