Pojam logaritma i osnovni logaritamski identitet

Pojam logaritma i osnovni logaritamski identitet su usko povezani, jer definicija logaritma u matematičkoj notaciji je .

Osnovni logaritamski identitet proizlazi iz definicije logaritma:

Definicija 1

Logaritam oni nazivaju eksponent $n$, kada se podignu na koji brojevi $a$ dobijaju broj $b$.

Napomena 1

Eksponencijalna jednačina $a^n=b$ za $a > 0$, $a \ne 1$ nema rješenja za nepozitivno $b$ i ima jedan korijen za pozitivno $b$. Ovaj korijen se zove logaritam broja $b$ prema bazi $a$ i zapiši:

$a^(\log_(a) b)=b$.

Definicija 2

Izraz

$a^(\log_(a) b)=b$

pozvao osnovni logaritamski identitet pod uslovom da je $a,b > 0$, $a \ne 1$.

Primjer 1

$17^(\log_(17) 6)=6$;

$e^(\ln⁡13) =13$;

$10^(\lg23)=23$.

Osnovni logaritamski identitet

Main logaritamski identitet se naziva jer koristi se skoro uvek kada se radi sa logaritmima. Osim toga, uz njegovu pomoć potkrepljuju se osnovna svojstva logaritama.

Primjer 2

$7^5=16,807$, dakle $\log_(7)16,807=5$.

$3^(-5)=\frac(1)(243)$, dakle $\log_(3)\frac(1)(243)=-5$.

$11^0=1$, dakle $\log_(11)⁡1=0$.

Hajde da razmotrimo posljedica osnovnog logaritamskog identiteta:

Definicija 3

Ako su dva logaritma sa istim osnovama jednaka, onda su logaritamski izrazi jednaki:

ako je $\log_(a)⁡b=\log_(a)⁡c$, onda je $b=c$.

Hajde da razmotrimo ograničenja, koji se koriste za logaritamski identitet:

Jer kada dižemo jedinicu na bilo koji stepen, uvijek dobijemo jedan, a jednakost $x=\log_(a)⁡b$ postoji samo za $b=1$, tada će $\log_(1)⁡1$ biti bilo koji pravi broj. Da biste izbjegli ovu dvosmislenost, uzmite $a \ne 1$.

Logaritam za $a=0$, prema definiciji, može postojati samo za $b=0$. Jer Kada podignemo nulu na bilo koji stepen, uvijek dobijemo nulu, tada $\log_(0)⁡0$ može biti bilo koji realan broj. Da biste izbjegli ovu dvosmislenost, uzmite $a \ne 0$. Za $a racionalno i iracionalno logaritamske vrijednosti, jer stepen sa racionalnim i iracionalnim eksponentom može se izračunati samo za pozitivne baze. Da biste spriječili ovu situaciju, uzmite $a > 0$.

$b > 0$ slijedi iz uslova $a > 0$, budući da $x=\log_(a)⁡b$, a stepen pozitivnog broja a će uvijek biti pozitivan.

Osnovni logaritamski identitet se često koristi za pojednostavljenje logaritamskih izraza.

Primjer 3

Izračunajte $81^(\log_(9) 7)$.

Rješenje.

Da bi se koristio osnovni logaritamski identitet, potrebno je da baza logaritma i potenci budu isti. Zapišimo bazu stepena u obliku:

Sada možemo napisati:

$81^(\log_(9)7)=(9^2)^(\log_(9)7)=$

Koristimo svojstvo snage:

$=9^(2 \cdot \log_(9)7)=9^(\log_(9)7) \cdot 9^(\log_(9)7)=$

osnovni logaritamski identitet sada se može primijeniti na svaki faktor:

$=7 \cdot 7=49$.

Napomena 2

Da biste primijenili osnovni logaritamski identitet, također možete pribjeći zamjeni baze logaritma izrazom koji se pojavljuje ispod znaka logaritma, i obrnuto.

Primjer 4

Izračunajte $7^(\frac(1)(\log_(11) 7))$.

Rješenje.

$7^(\frac(1)(\log_(11) 7))=7^(\log_(7) 11)=11$.

Odgovori: $11$.

Primjer 5

Izračunajte $7^(\frac(3)(\log_(11) 7))$.

I logaritam je usko povezan. I u stvari, to je matematička notacija definicije logaritam. Hajde da detaljno ispitamo šta je logaritam i odakle je došao.

Razmotrimo algebarsku operaciju - izračunavanje eksponenta X prema datim specifičnim vrijednostima stepeni b i osnovu A. Ovaj zadatak je u osnovi rješavanje jednačine sjekira = b, Gdje A I b- neke specificirane vrijednosti, x - nepoznata količina. Imajte na umu da rješenja za ovaj problem ne postoje uvijek.

Kada, na primjer, u jednad. sjekira = b brojA je pozitivan i broj b negativan, tada ova jednadžba nema korijena. Ali ako samo A I b su pozitivni i a ≠ 1, onda sigurno ima samo jednu jedinicu root. Prilično je poznata činjenica da graf eksponencijalne funkcije y = a x svakako se ukršta sa ravno y = b i, štaviše, isključivo u jednom trenutku. Apscisa je tačka preseka i biće korijen jednačine.

Da ukaže korijen jednačine sjekira = b Uobičajeno je koristiti log a b (izgovara se: logaritam broja b prema bazi a).

Logaritam brojevi b na osnovu A Ovo eksponent, na koji se broj mora podići A da dobijem broj b i a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Na osnovu definicije, dobijamo osnovni logaritamski identitet :

Primjeri:

Posljedica osnovni logaritamski identitet je kako slijedi pravilo.

Iz jednakosti dva realni logaritmi dobijamo jednakost logaritamski izrazi.

Zaista, kada je log a b = log a c, onda , gdje, b = c.

Hajde da razmotrimo zašto za logaritamski identitet poduzeta ograničenja a > 0, a ≠ 1, b > 0 .

Prvi uslov a ≠ 1.

Poznato je da jedinica u bilo kojoj stepeniće biti jedinica, a jednakost x = log a b može postojati samo ako b = 1, ali istovremeno dnevnik 1 1će biti bilo koji pravi broj. Da bi se izbjegla ova dvosmislenost, usvaja se a ≠ 1.

Hajde da opravdamo neophodnost uslova a > 0.

At a = 0 By definicija logaritma može postojati samo ako b = 0. I stoga onda log 0 0 može biti bilo šta različito od nule pravi broj, budući da je nula u bilo kojem stepenu osim nule nula. Da bi se spriječila ova dvosmislenost, uvjet a ≠ 0. I kada a< 0 morali bismo napustiti analizu racionalno I iracionalno logaritamske vrijednosti, pošto stepen sa racionalnim i iracionalni indikator definisan samo iz pozitivnih razloga. Iz tog razloga je uvjet propisan a > 0.

I konačno stanje b > 0 je posljedica nejednakosti a > 0, budući da je x = log a b, i vrijednost snage sa pozitivnom bazom a uvek pozitivno.

Logaritam broja N na osnovu A naziva eksponent X , do koje trebate izgraditi A da dobijem broj N

Pod uslovom da
,
,

Iz definicije logaritma slijedi da
, tj.
- ova jednakost je osnovni logaritamski identitet.

Logaritmi na osnovu 10 nazivaju se decimalni logaritmi. Umjesto
pisati
.

Logaritmi bazi e nazivaju se prirodnim i označavaju se
.

Osnovna svojstva logaritama.

Logaritam od jedan je jednak nuli za bilo koju bazu.

Logaritam proizvoda jednak je zbiru logaritama faktora.

3) Logaritam količnika jednak je razlici logaritama

Faktor
nazivamo modulom prijelaza sa logaritama na bazu a na logaritme u osnovi b .

Koristeći svojstva 2-5, često je moguće svesti logaritam složenog izraza na rezultat jednostavnih aritmetičkih operacija nad logaritmima.

Na primjer,

Takve transformacije logaritma nazivaju se logaritmi. Transformacije inverzne logaritmima nazivaju se potenciranje.

Poglavlje 2. Elementi više matematike.

1. Ograničenja

Granica funkcije
je konačan broj A ako je kao xx 0 za svaku unapred određenu
, postoji takav broj
da čim
, To
.

Funkcija koja ima ograničenje razlikuje se od nje za beskonačno mali iznos:
, gdje je- b.m.v., tj.
.

Primjer. Razmotrite funkciju
.

Kada težite
, funkcija y teži nuli:

1.1. Osnovne teoreme o granicama.

Granica konstantne vrijednosti jednaka je ovoj konstantnoj vrijednosti

.

Granica zbira (razlike) konačnog broja funkcija jednaka je zbiru (razlici) granica ovih funkcija.

Granica proizvoda konačnog broja funkcija jednaka je proizvodu granica ovih funkcija.

Granica kvocijenta dvije funkcije jednaka je količniku granica ovih funkcija ako granica nazivnika nije nula.

Wonderful Limits

,
, Gdje

1.2. Primjeri izračuna ograničenja

Međutim, nisu sve granice izračunate tako lako. Češće se izračunavanje granice svodi na otkrivanje nesigurnosti tipa: ili .

.

2. Derivat funkcije

Hajde da imamo funkciju
, kontinuirano na segmentu
.

Argument dobio neko povećanje
. Tada će funkcija dobiti povećanje
.

Vrijednost argumenta odgovara vrijednosti funkcije
.

Vrijednost argumenta
odgovara vrijednosti funkcije.

Dakle, .

Nađimo granicu ovog omjera na
. Ako ova granica postoji, onda se naziva derivacijom date funkcije.

Definicija 3 Derivat date funkcije
argumentom naziva se granica omjera prirasta funkcije i priraštaja argumenta, kada inkrement argumenta proizvoljno teži nuli.

Derivat funkcije
može se označiti na sljedeći način:

; ; ; .

Definicija 4Poziva se operacija nalaženja derivacije funkcije diferencijaciju.

2.1. Mehaničko značenje izvedenice.

Razmotrimo pravolinijsko kretanje nekog krutog tijela ili materijalne tačke.

Neka u nekom trenutku pokretna tačka
bio na distanci sa početne pozicije
.

Nakon nekog vremena
odmakla se
. Stav =- prosječna brzina materijalne tačke
. Nađimo granicu ovog omjera, uzimajući to u obzir
.

Posljedično, određivanje trenutne brzine kretanja materijalne točke svodi se na pronalaženje derivacije putanje u odnosu na vrijeme.

2.2. Geometrijska vrijednost derivacije

Hajde da imamo grafički definisanu funkciju
.

Rice. 1. Geometrijsko značenje izvoda

Ako
, zatim pokažite
, će se kretati duž krive, približavajući se tački
.

Dakle
, tj. vrijednost izvoda za datu vrijednost argumenta numerički jednak tangentu ugla koji formira tangenta u datoj tački sa pozitivnim smerom ose
.

2.3. Tabela osnovnih formula diferencijacije.

Funkcija napajanja

Eksponencijalna funkcija

Logaritamska funkcija

Trigonometrijska funkcija

Inverzna trigonometrijska funkcija

2.4. Pravila diferencijacije.

Derivat od

Derivat zbira (razlike) funkcija

Derivat proizvoda dvije funkcije

Derivat kvocijenta dvije funkcije

2.5. Derivat kompleksne funkcije.

Neka je funkcija data
tako da se može predstaviti u obliku

I
, gdje je varijabla onda je srednji argument

Derivat kompleksne funkcije jednak je umnošku izvoda date funkcije u odnosu na međuargument i derivacije srednjeg argumenta u odnosu na x.

Primjer 1.

Primjer 2.

3. Diferencijalna funkcija.

Neka bude
, diferencibilan na nekom intervalu
pusti to at ova funkcija ima izvod

,

onda možemo pisati

(1),

Gdje - beskonačno mala količina,

od kada

Množenje svih pojmova jednakosti (1) sa
imamo:

Gdje
- b.m.v. višeg reda.

Magnituda
naziva se diferencijalom funkcije
i određen je

.

3.1. Geometrijska vrijednost diferencijala.

Neka je funkcija data
.

Fig.2. Geometrijsko značenje diferencijala.

.

Očigledno, diferencijal funkcije
jednak je inkrementu ordinate tangente u datoj tački.

3.2. Derivati ​​i diferencijali različitih redova.

Ako tamo
, Onda
naziva se prvim izvodom.

Izvod prvog izvoda naziva se izvod drugog reda i piše se
.

Derivat n-tog reda funkcije
naziva se derivat (n-1)-tog reda i piše se:

.

Diferencijal diferencijala funkcije naziva se drugi diferencijal ili diferencijal drugog reda.

.

.

3.3 Rješavanje bioloških problema pomoću diferencijacije.

Zadatak 1. Istraživanja su pokazala da je rast kolonije mikroorganizama u skladu sa zakonom
, Gdje N – broj mikroorganizama (u hiljadama), t – vrijeme (dani).

b) Hoće li se populacija kolonije povećati ili smanjiti tokom ovog perioda?

Odgovori. Veličina kolonije će se povećati.

Zadatak 2. Voda u jezeru se periodično testira radi praćenja sadržaja patogenih bakterija. Kroz t dana nakon testiranja, koncentracija bakterija se određuje omjerom

.

Kada će jezero imati minimalnu koncentraciju bakterija i hoće li se u njemu moći kupati?

Rješenje: Funkcija dostiže maksimum ili min kada je njen izvod nula.

,

Odredimo max ili min će biti za 6 dana. Da bismo to učinili, uzmimo drugi izvod.

Odgovor: Nakon 6 dana bit će minimalna koncentracija bakterija.

Logaritam broja b (b > 0) na osnovu a (a > 0, a ≠ 1)– eksponent na koji se broj a mora podići da bi se dobio b.

Logaritam od 10 od b može se zapisati kao dnevnik(b), a logaritam bazi e (prirodni logaritam) je ln(b).

Često se koristi pri rješavanju problema s logaritmima:

Svojstva logaritama

Postoje četiri glavna svojstva logaritama.

Neka je a > 0, a ≠ 1, x > 0 i y > 0.

Svojstvo 1. Logaritam proizvoda

Logaritam proizvoda jednak zbiru logaritama:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Svojstvo 2. Logaritam količnika

Logaritam količnika jednaka razlici logaritama:

log a (x / y) = log a x – log a y

Svojstvo 3. Logaritam stepena

Logaritam stepena jednak proizvodu stepena i logaritma:

Ako je osnova logaritma u stepenu, onda se primjenjuje druga formula:

Svojstvo 4. Logaritam korijena

Ovo svojstvo se može dobiti iz svojstva logaritma stepena, jer je n-ti korijen stepena jednak stepenu 1/n:

Formula za pretvaranje iz logaritma u jednoj bazi u logaritam u drugoj bazi

Ova formula se također često koristi pri rješavanju različitih zadataka na logaritmima:

poseban slučaj:

Poređenje logaritama (nejednakosti)

Neka imamo 2 funkcije f(x) i g(x) pod logaritmima sa istim bazama i između njih postoji znak nejednakosti:

Da biste ih uporedili, prvo morate pogledati bazu logaritma a:

• Ako je a > 0, onda je f(x) > g(x) > 0
• Ako je 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Kako riješiti probleme s logaritmima: primjeri

Problemi sa logaritmima uključeni u Jedinstveni državni ispit iz matematike za 11. razred u zadatku 5 i zadatku 7, zadatke sa rješenjima možete pronaći na našoj web stranici u odgovarajućim odjeljcima. Također, zadaci sa logaritmima nalaze se u banci matematičkih zadataka. Sve primjere možete pronaći pretraživanjem stranice.

Šta je logaritam

Logaritmi su oduvijek smatrani teškom temom u školskim predmetima matematike. Postoji mnogo različitih definicija logaritma, ali iz nekog razloga većina udžbenika koristi najsloženije i neuspješnije od njih.

Logaritam ćemo definirati jednostavno i jasno. Da bismo to uradili, napravimo tabelu:

Dakle, imamo moći dvojke.

Logaritmi - svojstva, formule, kako riješiti

Ako uzmete broj iz donje linije, lako ćete pronaći stepen na koji ćete morati podići dva da biste dobili ovaj broj. Na primjer, da biste dobili 16, trebate podići dva na četvrti stepen. A da biste dobili 64, trebate podići dva na šesti stepen. To se vidi iz tabele.

A sada - zapravo, definicija logaritma:

baza a argumenta x je stepen na koji se broj a mora podići da bi se dobio broj x.

Oznaka: log a x = b, gdje je a baza, x je argument, b je ono čemu je logaritam zapravo jednak.

Na primjer, 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (osnovni 2 logaritam od 8 je tri jer je 2 3 = 8). Sa istim uspjehom, log 2 64 = 6, budući da je 2 6 = 64.

Operacija pronalaženja logaritma broja prema datoj bazi se zove. Dakle, dodajmo novi red u našu tabelu:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Nažalost, nisu svi logaritmi tako lako izračunati. Na primjer, pokušajte pronaći log 2 5. Broj 5 nije u tabeli, ali logika nalaže da će logaritam ležati negdje u intervalu. Jer 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Takvi brojevi se nazivaju iracionalni: brojevi iza decimalnog zareza mogu se pisati beskonačno i nikada se ne ponavljaju. Ako se ispostavi da je logaritam iracionalan, bolje je ostaviti ga tako: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Važno je shvatiti da je logaritam izraz sa dvije varijable (osnovom i argumentom). U početku, mnogi ljudi brkaju gdje je osnova, a gdje argument. Da biste izbjegli dosadne nesporazume, samo pogledajte sliku:

Pred nama nije ništa drugo do definicija logaritma. Zapamtite: logaritam je stepen, u koji se baza mora ugraditi da bi se dobio argument. To je baza koja je podignuta na snagu - na slici je istaknuta crvenom bojom. Ispostavilo se da je baza uvijek na dnu! Svojim učenicima govorim ovo divno pravilo već na prvoj lekciji - i ne nastaje zabuna.

Kako brojati logaritme

Shvatili smo definiciju - preostaje samo da naučimo kako računati logaritme, tj. oslobodite se znaka "log". Za početak, napominjemo da iz definicije proizlaze dvije važne činjenice:

1. Argument i baza uvijek moraju biti veći od nule. Ovo proizilazi iz definicije stepena racionalnim eksponentom, na koji se svodi definicija logaritma.
2. Baza mora biti različita od jedinice, jer jedan u bilo kom stepenu i dalje ostaje jedan. Zbog toga je besmisleno pitanje „na koju snagu se mora podići da bi se dobilo dva“. Ne postoji takva diploma!

Takva ograničenja se nazivaju raspon prihvatljivih vrijednosti(ODZ). Ispada da ODZ logaritma izgleda ovako: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Imajte na umu da nema ograničenja za broj b (vrijednost logaritma). Na primjer, logaritam može biti negativan: log 2 0,5 = −1, jer 0,5 = 2 −1.

Međutim, sada razmatramo samo numeričke izraze, gdje nije potrebno znati VA logaritma. Autori zadataka su već uzeli u obzir sva ograničenja. Ali kada logaritamske jednačine i nejednakosti uđu u igru, DL zahtjevi će postati obavezni. Na kraju krajeva, osnova i argument mogu sadržavati vrlo jake konstrukcije koje nužno ne odgovaraju gornjim ograničenjima.

Pogledajmo sada opću šemu za izračunavanje logaritama. Sastoji se od tri koraka:

1. Izrazite bazu a i argument x kao stepen sa minimalnom mogućom bazom većom od jedan. Usput je bolje da se riješite decimala;
2. Riješite jednačinu za varijablu b: x = a b ;
3. Rezultirajući broj b će biti odgovor.

To je sve! Ako se pokaže da je logaritam iracionalan, to će biti vidljivo već u prvom koraku. Zahtjev da baza bude veća od jedan je vrlo važan: to smanjuje vjerovatnoću greške i uvelike pojednostavljuje proračune. Isto je i s decimalnim razlomcima: ako ih odmah pretvorite u obične, bit će mnogo manje grešaka.

Pogledajmo kako ova shema funkcionira na konkretnim primjerima:

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 5 25

1. Zamislimo bazu i argument kao stepen petice: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

Kreirajmo i riješimo jednačinu:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. Dobili smo odgovor: 2.

Zadatak. Izračunaj logaritam:

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 4 64

1. Zamislimo bazu i argument kao stepen dvojke: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. Kreirajmo i riješimo jednačinu:
   log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Dobili smo odgovor: 3.

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 16 1

1. Zamislimo bazu i argument kao stepen dvojke: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. Kreirajmo i riješimo jednačinu:
   log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Dobili smo odgovor: 0.

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 7 14

1. Zamislimo bazu i argument kao stepen od sedam: 7 = 7 1 ; 14 se ne može predstaviti kao stepen sedam, jer 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Iz prethodnog stava proizilazi da se logaritam ne računa;
3. Odgovor je bez promjene: dnevnik 7 14.

Mala napomena o posljednjem primjeru. Kako možete biti sigurni da broj nije tačan stepen drugog broja? Vrlo je jednostavno - samo ga uračunajte u osnovne faktore. Ako ekspanzija ima najmanje dva različita faktora, broj nije tačna snaga.

Zadatak. Saznajte da li su brojevi tačni potenci: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - tačan stepen, jer postoji samo jedan množitelj;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - nije tačna snaga, jer postoje dva faktora: 3 i 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - tačan stepen;
35 = 7 · 5 - opet nije tačna snaga;
14 = 7 · 2 - opet nije tačan stepen;

Imajte na umu da su sami prosti brojevi uvijek tačni potenci sami za sebe.

Decimalni logaritam

Neki logaritmi su toliko uobičajeni da imaju poseban naziv i simbol.

argumenta x je logaritam bazi 10, tj. Potencija na koju se broj 10 mora podići da bi se dobio broj x. Oznaka: lg x.

Na primjer, log 10 = 1; LG 100 = 2; lg 1000 = 3 - itd.

Od sada, kada se u udžbeniku pojavi fraza poput „Pronađi lg 0,01“, znajte da ovo nije greška u kucanju. Ovo je decimalni logaritam. Međutim, ako niste upoznati s ovom notacijom, uvijek je možete prepisati:
log x = log 10 x

Sve što vrijedi za obične logaritme vrijedi i za decimalne logaritme.

Prirodni logaritam

Postoji još jedan logaritam koji ima svoju oznaku. Na neki način, to je čak i važnije od decimalnog. Govorimo o prirodnom logaritmu.

argumenta x je logaritam bazi e, tj. stepen na koji se broj e mora podići da bi se dobio broj x. Oznaka: ln x.

Mnogi će se pitati: koji je broj e? Ovo je iracionalan broj, njegova tačna vrijednost se ne može pronaći i zapisati. Navest ću samo prve brojke:
e = 2,718281828459…

Nećemo ulaziti u detalje o tome šta je ovaj broj i zašto je potreban. Samo zapamtite da je e baza prirodnog logaritma:
ln x = log e x

Tako je ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - itd. S druge strane, ln 2 je iracionalan broj. Općenito, prirodni logaritam bilo kojeg racionalnog broja je iracionalan. Osim, naravno, jednog: ln 1 = 0.

Za prirodne logaritme vrijede sva pravila koja vrijede za obične logaritme.

Vidi također:

Logaritam. Svojstva logaritma (snaga logaritma).

Kako predstaviti broj kao logaritam?

Koristimo definiciju logaritma.

Logaritam je eksponent na koji se baza mora podići da bi se dobio broj ispod predznaka logaritma.

Dakle, da biste određeni broj c predstavili kao logaritam prema bazi a, potrebno je potenciranje sa istom osnovom kao i osnova logaritma staviti pod znak logaritma, a ovaj broj c napisati kao eksponent:

Apsolutno svaki broj se može predstaviti kao logaritam - pozitivan, negativan, cijeli, razlomak, racionalan, iracionalan:

Kako ne biste pobrkali a i c u stresnim uvjetima testa ili ispita, možete koristiti sljedeće pravilo pamćenja:

ono što je dole ide dole, ono što je gore ide gore.

Na primjer, trebate predstaviti broj 2 kao logaritam bazi 3.

Imamo dva broja - 2 i 3. Ovi brojevi su baza i eksponent, koje ćemo zapisati pod znakom logaritma. Ostaje da odredimo koji od ovih brojeva treba zapisati, na osnovu stepena, a koji - nagore, na eksponent.

Osnova 3 u zapisu logaritma je na dnu, što znači da kada predstavljamo dva kao logaritam bazi 3, također ćemo zapisati 3 na bazu.

2 je veće od tri. A u notaciji stepena dva pišemo iznad tri, odnosno kao eksponent:

Logaritmi. Prvi nivo.

Logaritmi

Logaritam pozitivan broj b na osnovu a, Gdje a > 0, a ≠ 1, naziva se eksponent na koji se broj mora podići a, Za dobijanje b.

Definicija logaritma može se ukratko napisati ovako:

Ova jednakost važi za b > 0, a > 0, a ≠ 1. Obično se zove logaritamski identitet.
Akcija pronalaženja logaritma broja se zove logaritmom.

Svojstva logaritama:

Logaritam proizvoda:

Logaritam količnika:

Zamjena baze logaritma:

Logaritam stepena:

Logaritam korijena:

Logaritam sa bazom stepena:

Decimalni i prirodni logaritmi.

Decimalni logaritam brojevi pozivaju logaritam ovog broja na bazu 10 i pišu   lg b
Prirodni logaritam brojevi se nazivaju logaritam tog broja prema bazi e, Gdje e- iracionalan broj približno jednak 2,7. U isto vrijeme pišu ln b.

Ostale napomene o algebri i geometriji

Osnovna svojstva logaritama

Osnovna svojstva logaritama

Logaritmi se, kao i svi brojevi, mogu sabirati, oduzimati i transformirati na sve načine. Ali pošto logaritmi nisu baš obični brojevi, ovdje postoje pravila koja se nazivaju glavna svojstva.

Svakako morate znati ova pravila - bez njih se ne može riješiti nijedan ozbiljan logaritamski problem. Osim toga, vrlo ih je malo - sve možete naučiti u jednom danu. Pa počnimo.

Sabiranje i oduzimanje logaritama

Razmotrimo dva logaritma sa istim bazama: log a x i log a y. Tada se mogu sabirati i oduzimati i:

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x − log a y = log a (x: y).

Dakle, zbir logaritama je jednak logaritmu proizvoda, a razlika je jednaka logaritmu količnika. Imajte na umu: ključna stvar je ovdje identične osnove. Ako su razlozi drugačiji, ova pravila ne funkcionišu!

Ove formule će vam pomoći da izračunate logaritamski izraz čak i kada se njegovi pojedinačni dijelovi ne uzimaju u obzir (pogledajte lekciju “Šta je logaritam”). Pogledajte primjere i pogledajte:

Dnevnik 6 4 + log 6 9.

Pošto logaritmi imaju iste baze, koristimo formulu sume:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log 2 48 − log 2 3.

Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log 3 135 − log 3 5.

Opet su baze iste, tako da imamo:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Kao što vidite, originalni izrazi su sastavljeni od „loših“ logaritama, koji se ne računaju zasebno. Ali nakon transformacija dobijaju se sasvim normalni brojevi. Mnogi testovi su zasnovani na ovoj činjenici. Da, izrazi poput testa se nude sa punom ozbiljnošću (ponekad bez ikakvih promjena) na Jedinstvenom državnom ispitu.

Izdvajanje eksponenta iz logaritma

Sada da malo zakomplikujemo zadatak. Šta ako je osnova ili argument logaritma potencija? Tada se eksponent ovog stepena može izvaditi iz predznaka logaritma prema sljedećim pravilima:

Lako je vidjeti da posljednje pravilo slijedi prva dva. Ali ipak je bolje zapamtiti to - u nekim slučajevima to će značajno smanjiti količinu izračuna.

Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se poštuje ODZ logaritma: a > 0, a ≠ 1, x > 0. I još nešto: naučite primjenjivati ​​sve formule ne samo s lijeva na desno, već i obrnuto , tj. Možete unijeti brojeve prije znaka logaritma u sam logaritam.

Kako riješiti logaritme

To je ono što se najčešće traži.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log 7 49 6 .

Oslobodimo se stepena u argumentu koristeći prvu formulu:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

Imajte na umu da nazivnik sadrži logaritam, čija su osnova i argument tačni potenci: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Imamo:

Mislim da posljednji primjer zahtijeva pojašnjenje. Gdje su nestali logaritmi? Do poslednjeg trenutka radimo samo sa imeniocem. Osnovu i argument logaritma koji tu stoji predstavili smo u obliku stepena i iznijeli eksponente - dobili smo razlomak od tri sprata.

Pogledajmo sada glavni razlomak. Brojilac i imenilac sadrže isti broj: log 2 7. Pošto je log 2 7 ≠ 0, možemo smanjiti razlomak - 2/4 će ostati u nazivniku. Prema pravilima aritmetike, četvorka se može prenijeti u brojilac, što je i učinjeno. Rezultat je bio odgovor: 2.

Prelazak na novu osnovu

Govoreći o pravilima za sabiranje i oduzimanje logaritama, posebno sam naglasio da oni rade samo sa istim osnovama. Šta ako su razlozi drugačiji? Šta ako nisu tačne snage istog broja?

Formule za prelazak na novu podlogu dolaze u pomoć. Formulirajmo ih u obliku teoreme:

Neka je zadan logaritam log a x. Tada je za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 tačna jednakost:

Konkretno, ako postavimo c = x, dobijamo:

Iz druge formule proizilazi da se baza i argument logaritma mogu zamijeniti, ali se u ovom slučaju cijeli izraz „obrće“, tj. logaritam se pojavljuje u nazivniku.

Ove formule se rijetko nalaze u običnim numeričkim izrazima. Koliko su zgodne moguće je procijeniti samo pri rješavanju logaritamskih jednačina i nejednačina.

Međutim, postoje problemi koji se nikako ne mogu riješiti osim preseljenjem u novu osnovu. Pogledajmo par ovih:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log 5 16 log 2 25.

Imajte na umu da argumenti oba logaritma sadrže tačne potencije. Izvadimo indikatore: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Sada "obrnimo" drugi logaritam:

Kako se proizvod ne mijenja pri preraspodjelu faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim se pozabavili logaritmima.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log 9 100 lg 3.

Osnova i argument prvog logaritma su tačni potenci. Zapišimo ovo i riješimo se indikatora:

Sada se riješimo decimalnog logaritma pomicanjem na novu bazu:

Osnovni logaritamski identitet

Često je u procesu rješavanja potrebno predstaviti broj kao logaritam na datu bazu.

U ovom slučaju pomoći će nam sljedeće formule:

U prvom slučaju, broj n postaje eksponent u argumentu. Broj n može biti apsolutno bilo koji, jer je samo logaritamska vrijednost.

Druga formula je zapravo parafrazirana definicija. Tako se to zove: .

U stvari, šta se dešava ako se broj b podigne na takav stepen da broj b na ovaj stepen daje broj a? Tako je: rezultat je isti broj a. Pažljivo pročitajte ovaj odlomak ponovo - mnogi ljudi zaglave u njemu.

Kao i formule za prelazak na novu bazu, osnovni logaritamski identitet je ponekad jedino moguće rješenje.

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

Imajte na umu da je log 25 64 = log 5 8 - jednostavno uzeo kvadrat iz baze i argumenta logaritma. Uzimajući u obzir pravila za množenje potencija sa istom osnovom, dobijamo:

Ako neko ne zna, ovo je bio pravi zadatak sa Jedinstvenog državnog ispita :)

Logaritamska jedinica i logaritamska nula

U zaključku ću dati dva identiteta koja se teško mogu nazvati svojstvima – radije su to posljedice definicije logaritma. Stalno se pojavljuju u problemima i, iznenađujuće, stvaraju probleme čak i „naprednim“ učenicima.

1. log a a = 1 je. Zapamtite jednom za svagda: logaritam bilo koje baze a te baze jednak je jedan.
2. log a 1 = 0 je. Baza a može biti bilo koja, ali ako argument sadrži jedan, logaritam je jednak nuli! Zato što je 0 = 1 direktna posljedica definicije.

To je sva imovina. Obavezno vježbajte u njihovoj primjeni! Preuzmite cheat sheet na početku lekcije, odštampajte ga i riješite probleme.

Šta je logaritam?

Pažnja!
Postoje dodatni
materijala u Posebnom dijelu 555.
Za one koji su veoma "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Šta je logaritam? Kako riješiti logaritme? Ova pitanja zbunjuju mnoge diplomce. Tradicionalno, tema logaritama se smatra složenom, nerazumljivom i zastrašujućom. Posebno jednadžbe sa logaritmima.

Ovo apsolutno nije istina. Apsolutno! Ne veruješ mi? U redu. Sada, za samo 10 - 20 minuta vi:

1. Razumjet ćete šta je logaritam.

2. Naučite riješiti cijelu klasu eksponencijalnih jednačina. Čak i ako niste ništa čuli o njima.

3. Naučite izračunati jednostavne logaritme.

Štaviše, za ovo ćete morati samo znati tablicu množenja i kako podići broj na stepen...

Osećam kao da sumnjaš... Pa, dobro, označi vreme! Idi!

Prvo riješite ovu jednačinu u svojoj glavi:

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)

Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.