U modernom društvu, sposobnost izvođenja operacija sa jednadžbama koje sadrže kvadratnu varijablu može biti korisna u mnogim područjima aktivnosti i široko se koristi u praksi u naučnom i tehničkom razvoju. Dokaz za to se može naći u dizajnu morskih i riječnih plovila, zrakoplova i projektila. Koristeći takve proračune, određuju se putanje kretanja velikog broja tijela, uključujući svemirske objekte. Primjeri sa rješenjem kvadratnih jednadžbi koriste se ne samo u ekonomskom predviđanju, u projektovanju i izgradnji zgrada, već iu najobičnijim svakodnevnim okolnostima. Mogu biti potrebni na planinarenju, na sportskim događajima, u trgovinama prilikom kupovine iu drugim vrlo čestim situacijama.

Podijelimo izraz na njegove sastavne faktore

Stepen jednačine je određen maksimalnom vrijednošću stepena varijable koju izraz sadrži. Ako je jednako 2, onda se takva jednadžba naziva kvadratnom.

Ako govorimo jezikom formula, onda se navedeni izrazi, ma kako izgledali, uvijek mogu dovesti u oblik kada se lijeva strana izraza sastoji od tri pojma. Među njima: ax 2 (tj. varijabla na kvadratu sa svojim koeficijentom), bx (nepoznata bez kvadrata sa svojim koeficijentom) i c (slobodna komponenta, odnosno običan broj). Sve ovo na desnoj strani jednako je 0. U slučaju kada takvom polinomu nedostaje jedan od njegovih sastavnih članova, sa izuzetkom ose 2, naziva se nepotpuna kvadratna jednačina. Prvo treba razmotriti primjere s rješavanjem takvih problema, vrijednosti varijabli u kojima je lako pronaći.

Ako izraz izgleda kao da ima dva člana na desnoj strani, tačnije ax 2 i bx, najlakši način da pronađete x je stavljanjem varijable iz zagrada. Sada će naša jednadžba izgledati ovako: x(ax+b). Zatim, postaje očigledno da je ili x=0, ili se problem svodi na pronalaženje varijable iz sljedećeg izraza: ax+b=0. Ovo diktira jedno od svojstava množenja. Pravilo kaže da proizvod dva faktora rezultira 0 samo ako je jedan od njih nula.

Primjer

x=0 ili 8x - 3 = 0

Kao rezultat, dobijamo dva korijena jednadžbe: 0 i 0,375.

Jednačine ove vrste mogu opisati kretanje tijela pod uticajem gravitacije, koja su se počela kretati iz određene tačke uzete kao ishodište koordinata. Ovdje matematička notacija ima sljedeći oblik: y = v 0 t + gt 2 /2. Zamjenom potrebnih vrijednosti, izjednačavanjem desne strane sa 0 i pronalaženjem mogućih nepoznanica, možete saznati vrijeme koje prolazi od trenutka kada se tijelo diže do trenutka kada pada, kao i mnoge druge veličine. Ali o tome ćemo kasnije.

Faktoriranje izraza

Gore opisano pravilo omogućava rješavanje ovih problema u složenijim slučajevima. Pogledajmo primjere rješavanja kvadratnih jednadžbi ovog tipa.

X 2 - 33x + 200 = 0

Ovaj kvadratni trinom je potpun. Prvo, transformirajmo izraz i činimo ga faktorima. Ima ih dva: (x-8) i (x-25) = 0. Kao rezultat, imamo dva korijena 8 i 25.

Primjeri rješavanja kvadratnih jednadžbi u 9. razredu omogućavaju ovoj metodi da pronađe varijablu u izrazima ne samo drugog, već čak i trećeg i četvrtog reda.

Na primjer: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Kada se desna strana rastavlja na faktore s promjenljivom, postoje tri od njih, odnosno (x+1), (x-3) i (x+ 3).

Kao rezultat, postaje očigledno da ova jednadžba ima tri korijena: -3; -1; 3.

Kvadratni korijen

Drugi slučaj nepotpune jednačine drugog reda je izraz predstavljen jezikom slova na način da je desna strana konstruisana od komponenti ax 2 i c. Ovdje, da bi se dobila vrijednost varijable, slobodni član se prenosi na desnu stranu, a nakon toga se iz obje strane jednakosti izdvaja kvadratni korijen. Treba napomenuti da u ovom slučaju obično postoje dva korijena jednačine. Jedini izuzetak mogu biti jednakosti koje uopće ne sadrže pojam sa, gdje je varijabla jednaka nuli, kao i varijante izraza kada je desna strana negativna. U potonjem slučaju uopće nema rješenja, jer se gore navedene radnje ne mogu izvesti s korijenima. Treba razmotriti primjere rješenja kvadratnih jednačina ovog tipa.

U ovom slučaju, korijeni jednadžbe će biti brojevi -4 i 4.

Proračun površine zemljišta

Potreba za ovakvim proračunima pojavila se još u antičko doba, jer je razvoj matematike u tim dalekim vremenima u velikoj mjeri bio određen potrebom da se s najvećom preciznošću odrede površine i perimetri zemljišnih parcela.

Trebalo bi razmotriti i primjere rješavanja kvadratnih jednačina zasnovanih na problemima ove vrste.

Dakle, recimo da postoji pravougaona parcela čija je dužina 16 metara veća od širine. Trebali biste pronaći dužinu, širinu i obim lokacije ako znate da je njegova površina 612 m2.

Za početak, prvo napravimo potrebnu jednačinu. Označimo sa x širinu površine, tada će njena dužina biti (x+16). Iz napisanog proizilazi da je površina određena izrazom x(x+16), koji je, prema uslovima našeg zadatka, 612. To znači da je x(x+16) = 612.

Rješavanje kompletnih kvadratnih jednadžbi, a ovaj izraz je upravo to, ne može se raditi na isti način. Zašto? Iako lijeva strana još uvijek sadrži dva faktora, njihov proizvod uopće nije jednak 0, pa se ovdje koriste različite metode.

Diskriminantno

Prije svega, izvršit ćemo potrebne transformacije, a onda će izgled ovog izraza izgledati ovako: x 2 + 16x - 612 = 0. To znači da smo primili izraz u obliku koji odgovara prethodno navedenom standardu, gdje a=1, b=16, c= -612.

Ovo bi mogao biti primjer rješavanja kvadratnih jednadžbi pomoću diskriminanta. Ovdje se vrše potrebni proračuni prema šemi: D = b 2 - 4ac. Ova pomoćna veličina ne samo da omogućava pronalaženje traženih količina u jednačini drugog reda, već određuje i broj mogućih opcija. Ako je D>0, postoje dva; za D=0 postoji jedan korijen. U slučaju D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

O korijenima i njihovoj formuli

U našem slučaju, diskriminanta je jednaka: 256 - 4(-612) = 2704. Ovo sugerira da naš problem ima odgovor. Ako znate k, rješenje kvadratnih jednadžbi mora se nastaviti pomoću formule u nastavku. Omogućava vam izračunavanje korijena.

To znači da je u prikazanom slučaju: x 1 =18, x 2 =-34. Druga opcija u ovoj dilemi ne može biti rješenje, jer se dimenzije parcele ne mogu mjeriti u negativnim veličinama, što znači da je x (odnosno širina parcele) 18 m. Odavde izračunavamo dužinu: 18 +16=34, a obim 2(34+18)=104(m2).

Primjeri i zadaci

Nastavljamo naše proučavanje kvadratnih jednadžbi. Primjeri i detaljna rješenja nekoliko njih bit će dati u nastavku.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Premjestimo sve na lijevu stranu jednakosti, izvršimo transformaciju, odnosno dobićemo onu vrstu jednačine koja se obično naziva standardnom i izjednačiti je sa nulom.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Zbrajanjem sličnih odredimo diskriminanta: D = 49 - 48 = 1. To znači da će naša jednadžba imati dva korijena. Izračunajmo ih prema gornjoj formuli, što znači da će prvi od njih biti jednak 4/3, a drugi 1.

2) A sada da riješimo misterije druge vrste.

Hajde da saznamo ima li ovdje korijena x 2 - 4x + 5 = 1? Da bismo dobili sveobuhvatan odgovor, smanjimo polinom na odgovarajući uobičajeni oblik i izračunajmo diskriminant. U gornjem primjeru nije potrebno rješavati kvadratnu jednačinu, jer to uopće nije suština problema. U ovom slučaju, D = 16 - 20 = -4, što znači da zaista nema korijena.

Vietin teorem

Pogodno je rješavati kvadratne jednadžbe koristeći gornje formule i diskriminant, kada se iz vrijednosti potonjeg uzme kvadratni korijen. Ali to se ne dešava uvijek. Međutim, u ovom slučaju postoji mnogo načina da se dobiju vrijednosti varijabli. Primjer: rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću Vietine teoreme. Ime je dobila po onom koji je živeo u 16. veku u Francuskoj i napravio briljantnu karijeru zahvaljujući njegovom matematičkom talentu i vezama na dvoru. Njegov portret se može vidjeti u članku.

Obrazac koji je slavni Francuz uočio bio je sljedeći. On je dokazao da se korijeni jednadžbe numerički sabiraju na -p=b/a, a njihov proizvod odgovara q=c/a.

Pogledajmo sada konkretne zadatke.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Radi jednostavnosti, transformirajmo izraz:

x 2 + 7x - 18 = 0

Koristimo Vietin teorem, ovo će nam dati sljedeće: zbir korijena je -7, a njihov proizvod je -18. Odavde dobijamo da su korijeni jednadžbe brojevi -9 i 2. Nakon provjere, uvjerit ćemo se da se ove vrijednosti varijabli zaista uklapaju u izraz.

Parabola graf i jednadžba

Koncepti kvadratne funkcije i kvadratne jednadžbe su usko povezani. Primjeri za to su već navedeni ranije. Pogledajmo sada neke matematičke zagonetke malo detaljnije. Bilo koja jednačina opisanog tipa može se vizualno prikazati. Takav odnos, nacrtan kao graf, naziva se parabola. Njegove različite vrste prikazane su na donjoj slici.

Svaka parabola ima vrh, odnosno tačku iz koje izlaze njene grane. Ako je a>0, idu visoko do beskonačnosti, a kada je a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Vizuelni prikazi funkcija pomažu u rješavanju svih jednadžbi, uključujući one kvadratne. Ova metoda se naziva grafička. A vrijednost varijable x je koordinata apscise u tačkama gdje se linija grafikona seče sa 0x. Koordinate vrha se mogu pronaći pomoću formule koja je upravo data x 0 = -b/2a. I zamjenom rezultirajuće vrijednosti u originalnu jednadžbu funkcije, možete saznati y 0, odnosno drugu koordinatu vrha parabole, koja pripada osi ordinate.

Presjek grana parabole sa osom apscise

Postoji mnogo primjera rješavanja kvadratnih jednadžbi, ali postoje i opći obrasci. Pogledajmo ih. Jasno je da je presjek grafa sa 0x osom za a>0 moguć samo ako 0 ima negativne vrijednosti. I za a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Inače D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Iz grafa parabole možete odrediti i korijene. Vrijedi i suprotno. To jest, ako nije lako dobiti vizualni prikaz kvadratne funkcije, možete izjednačiti desnu stranu izraza sa 0 i riješiti rezultirajuću jednadžbu. A znajući tačke preseka sa 0x osom, lakše je konstruisati graf.

Iz istorije

Koristeći jednadžbe koje sadrže kvadratnu varijablu, u starim danima nisu samo pravili matematičke proračune i određivali površine geometrijskih figura. Drevnima su takvi proračuni bili potrebni za velika otkrića u oblastima fizike i astronomije, kao i za pravljenje astroloških prognoza.

Kao što moderni naučnici sugerišu, stanovnici Babilona bili su među prvima koji su rešili kvadratne jednačine. To se dogodilo četiri veka pre naše ere. Naravno, njihovi proračuni su se radikalno razlikovali od onih koji su trenutno prihvaćeni i ispali su mnogo primitivniji. Na primjer, mezopotamski matematičari nisu imali pojma o postojanju negativnih brojeva. Nisu im bile poznate i druge suptilnosti koje zna svaki savremeni školarac.

Možda čak i ranije od babilonskih naučnika, mudrac iz Indije Baudhayama počeo je rješavati kvadratne jednačine. To se dogodilo oko osam vekova pre Hristove ere. Istina, jednačine drugog reda, metode za rješavanje koje je on dao, bile su najjednostavnije. Osim njega, za slična pitanja nekada su se zanimali i kineski matematičari. U Evropi su kvadratne jednačine počele da se rešavaju tek početkom 13. veka, ali su ih kasnije u svojim radovima koristili veliki naučnici kao što su Newton, Descartes i mnogi drugi.

Sa ovim matematičkim programom možete riješiti kvadratnu jednačinu.

Program ne samo da daje odgovor na problem, već i prikazuje proces rješenja na dva načina:
- korištenje diskriminanta
- korištenjem Vietine teoreme (ako je moguće).

Štaviše, odgovor se prikazuje kao tačan, a ne približan.
Na primjer, za jednačinu \(81x^2-16x-1=0\) odgovor je prikazan u sljedećem obliku:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ a ne ovako: \(x_1 = 0,247; \quad x_2 = -0,05\)

Ovaj program može biti od koristi srednjoškolcima u opšteobrazovnim školama prilikom priprema za testove i ispite, prilikom provjere znanja prije Jedinstvenog državnog ispita, kao i roditeljima za kontrolu rješavanja mnogih zadataka iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo unajmiti nastavnika ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite da svoj domaći zadatak iz matematike ili algebre uradite što je brže moguće? U tom slučaju možete koristiti i naše programe sa detaljnim rješenjima.

Na taj način možete sami provoditi obuku i/ili obuku vaše mlađe braće ili sestara, dok se nivo obrazovanja u oblasti rješavanja problema povećava.

Ako niste upoznati s pravilima za unos kvadratnog polinoma, preporučujemo da se upoznate s njima.

Pravila za unos kvadratnog polinoma

Bilo koje latinično slovo može djelovati kao varijabla.
Na primjer: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), itd.

Brojevi se mogu unositi kao cijeli ili razlomak.
Štoviše, razlomci se mogu unijeti ne samo u obliku decimale, već iu obliku običnog razlomka.

Pravila za unos decimalnih razlomaka.
U decimalnim razlomcima, razlomak se može odvojiti od cijelog dijela tačkom ili zarezom.
Na primjer, možete unijeti decimalne razlomke ovako: 2,5x - 3,5x^2

Pravila za unos običnih razlomaka.
Samo cijeli broj može biti brojnik, nazivnik i cijeli broj razlomka.

Imenilac ne može biti negativan.

Prilikom unosa brojčanog razlomka, brojilac je odvojen od nazivnika znakom dijeljenja: /
Cijeli dio je odvojen od razlomka znakom ampersanda: &
Ulaz: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Rezultat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

Prilikom unosa izraza možete koristiti zagrade. U ovom slučaju, prilikom rješavanja kvadratne jednadžbe, uvedeni izraz se prvo pojednostavljuje.
Na primjer: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Odluči se

Otkriveno je da neke skripte potrebne za rješavanje ovog problema nisu učitane i program možda neće raditi.
Možda imate omogućen AdBlock.
U tom slučaju, onemogućite ga i osvježite stranicu.

JavaScript je onemogućen u vašem pretraživaču.
Da bi se rješenje pojavilo, morate omogućiti JavaScript.
Evo instrukcija kako da omogućite JavaScript u vašem pretraživaču.

Jer Ima puno ljudi koji su voljni da riješe problem, vaš zahtjev je stavljen u red čekanja.
Za nekoliko sekundi rješenje će se pojaviti ispod.
Molimo pričekajte sec...

Ako ti uočio grešku u rješenju, onda o tome možete pisati u Obrascu za povratne informacije.
Nemoj zaboraviti naznačiti koji zadatak ti odluči šta unesite u polja.

Naše igre, zagonetke, emulatori:

Malo teorije.

Kvadratna jednadžba i njeni korijeni. Nepotpune kvadratne jednadžbe

Svaka od jednačina
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
izgleda kao
\(ax^2+bx+c=0, \)
gdje je x varijabla, a, b i c su brojevi.
U prvoj jednačini a = -1, b = 6 i c = 1,4, u drugoj a = 8, b = -7 i c = 0, u trećoj a = 1, b = 0 i c = 4/9. Takve jednačine se nazivaju kvadratne jednačine.

Definicija.
Kvadratna jednadžba naziva se jednadžba oblika ax 2 +bx+c=0, gdje je x varijabla, a, b i c su neki brojevi, a \(a \neq 0 \).

Brojevi a, b i c su koeficijenti kvadratne jednadžbe. Broj a naziva se prvi koeficijent, broj b je drugi koeficijent, a broj c je slobodni član.

U svakoj od jednadžbi oblika ax 2 +bx+c=0, gdje je \(a\neq 0\), najveća snaga varijable x je kvadrat. Otuda i naziv: kvadratna jednačina.

Imajte na umu da se kvadratna jednačina naziva i jednačina drugog stepena, jer je njena leva strana polinom drugog stepena.

Poziva se kvadratna jednadžba u kojoj je koeficijent od x 2 jednak 1 data kvadratna jednačina. Na primjer, date kvadratne jednadžbe su jednačine
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Ako je u kvadratnoj jednadžbi ax 2 +bx+c=0 barem jedan od koeficijenata b ili c jednak nuli, tada se takva jednačina naziva nepotpuna kvadratna jednadžba. Dakle, jednačine -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 su nepotpune kvadratne jednadžbe. U prvom od njih b=0, u drugom c=0, u trećem b=0 i c=0.

Postoje tri vrste nepotpunih kvadratnih jednadžbi:
1) ax 2 +c=0, gdje je \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, gdje je \(b \neq 0 \);
3) ax 2 =0.

Razmotrimo rješavanje jednadžbi svakog od ovih tipova.

Da biste riješili nepotpunu kvadratnu jednadžbu oblika ax 2 +c=0 za \(c \neq 0 \), pomaknite njen slobodni član na desnu stranu i podijelite obje strane jednačine sa a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Pošto je \(c \neq 0 \), onda \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Ako je \(-\frac(c)(a)>0\), tada jednačina ima dva korijena.

Ako \(-\frac(c)(a) da riješimo nepotpunu kvadratnu jednadžbu oblika ax 2 +bx=0 sa \(b \neq 0 \) faktoriramo njenu lijevu stranu i dobijemo jednačinu
\(x(ax+b)=0 \Strelica desno \levo\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(niz) \desno. \Strelica desno \levo\( \begin (niz)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(niz) \desno.

To znači da nepotpuna kvadratna jednadžba oblika ax 2 +bx=0 za \(b \neq 0 \) uvijek ima dva korijena.

Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika ax 2 =0 je ekvivalentna jednadžbi x 2 =0 i stoga ima jedan korijen 0.

Formula za korijene kvadratne jednadžbe

Razmotrimo sada kako riješiti kvadratne jednadžbe u kojima su i koeficijenti nepoznanica i slobodni član različiti od nule.

Rešimo kvadratnu jednadžbu u opštem obliku i kao rezultat dobijemo formulu za korene. Ova formula se zatim može koristiti za rješavanje bilo koje kvadratne jednadžbe.

Riješite kvadratnu jednačinu ax 2 +bx+c=0

Podijelivši obje strane sa a, dobijamo ekvivalentnu redukovanu kvadratnu jednačinu
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Transformirajmo ovu jednačinu odabirom kvadrata binoma:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Strelica desno \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Radikalni izraz se zove diskriminanta kvadratne jednačine ax 2 +bx+c=0 (“diskriminant” na latinskom - diskriminator). Označava se slovom D, tj.
\(D = b^2-4ac\)

Sada, koristeći diskriminantnu notaciju, prepisujemo formulu za korijene kvadratne jednadžbe:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), gdje je \(D= b^2-4ac \)

Očigledno je da:
1) Ako je D>0, kvadratna jednadžba ima dva korijena.
2) Ako je D=0, kvadratna jednadžba ima jedan korijen \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Ako je D Dakle, u zavisnosti od vrijednosti diskriminanta, kvadratna jednadžba može imati dva korijena (za D > 0), jedan korijen (za D = 0) ili nema korijena (za D Prilikom rješavanja kvadratne jednadžbe koristeći ovaj formule, preporučljivo je učiniti na sljedeći način:
1) izračunati diskriminanta i uporediti ga sa nulom;
2) ako je diskriminanta pozitivna ili jednaka nuli, onda koristite formulu za korijen ako je diskriminanta negativna, onda zapišite da nema korijena;

Vietin teorem

Zadata kvadratna jednadžba ax 2 -7x+10=0 ima korijene 2 i 5. Zbir korijena je 7, a proizvod je 10. Vidimo da je zbir korijena jednak drugom koeficijentu uzetom sa suprotnim znak, a proizvod korijena jednak je slobodnom članu. Svaka redukovana kvadratna jednadžba koja ima korijen ima ovo svojstvo.

Zbir korijena gornje kvadratne jednadžbe jednak je drugom koeficijentu uzetom sa suprotnim predznakom, a proizvod korijena jednak je slobodnom članu.

One. Vietin teorem kaže da korijeni x 1 i x 2 reducirane kvadratne jednadžbe x 2 +px+q=0 imaju svojstvo:
\(\left\( \begin(niz)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(niz) \desno. \)

Formule za korijene kvadratne jednadžbe. Razmatraju se slučajevi realnih, višestrukih i složenih korijena. Faktoriranje kvadratnog trinoma. Geometrijska interpretacija. Primjeri određivanja korijena i faktoringa.

Osnovne formule

Razmotrimo kvadratnu jednačinu:
(1) .
Korijeni kvadratne jednadžbe(1) određuju se formulama:
; .
Ove formule mogu se kombinirati na sljedeći način:
.
Kada su korijeni kvadratne jednadžbe poznati, tada se polinom drugog stepena može predstaviti kao proizvod faktora (faktoriziranih):
.

Zatim pretpostavljamo da su to realni brojevi.
Hajde da razmotrimo diskriminanta kvadratne jednačine:
.
Ako je diskriminant pozitivan, tada kvadratna jednadžba (1) ima dva različita realna korijena:
; .
Tada faktorizacija kvadratnog trinoma ima oblik:
.
Ako je diskriminanta jednaka nuli, tada kvadratna jednadžba (1) ima dva višestruka (jednaka) realna korijena:
.
Faktorizacija:
.
Ako je diskriminanta negativna, tada kvadratna jednadžba (1) ima dva kompleksna konjugirana korijena:
;
.
Ovdje je imaginarna jedinica, ;
i su stvarni i imaginarni dijelovi korijena:
; .
Onda

.

Grafička interpretacija

Ako iscrtate funkciju
,
koja je parabola, tada će tačke presjeka grafa sa osom biti korijeni jednadžbe
.
Na , graf siječe x-osu (os) u dvije tačke.
Kada je , graf dodiruje x-osu u jednoj tački.
Kada je , graf ne prelazi x-osu.

U nastavku su primjeri takvih grafikona.

Korisne formule vezane za kvadratne jednadžbe

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Izvođenje formule za korijene kvadratne jednadžbe

Izvodimo transformacije i primjenjujemo formule (f.1) i (f.3):




,
Gdje
; .

Dakle, dobili smo formulu za polinom drugog stepena u obliku:
.
Ovo pokazuje da je jednadžba

izvedeno u
i .
To jest, i su korijeni kvadratne jednadžbe
.

Primjeri određivanja korijena kvadratne jednadžbe

Primjer 1

(1.1) .

Rješenje

.
Upoređujući s našom jednadžbom (1.1), nalazimo vrijednosti koeficijenata:
.
Pronalazimo diskriminanta:
.
Pošto je diskriminanta pozitivan, jednačina ima dva realna korijena:
;
;
.

Iz ovoga dobijamo faktorizaciju kvadratnog trinoma:

.

Grafikon funkcije y = 2 x 2 + 7 x + 3 siječe x-osu u dvije tačke.

Nacrtajmo funkciju
.
Graf ove funkcije je parabola. Presijeca apscisnu osu (os) u dvije tačke:
i .
Ove tačke su korijeni originalne jednadžbe (1.1).

Odgovori

;
;
.

Primjer 2

Pronađite korijene kvadratne jednadžbe:
(2.1) .

Rješenje

Napišimo kvadratnu jednačinu u opštem obliku:
.
Upoređujući s originalnom jednadžbom (2.1), nalazimo vrijednosti koeficijenata:
.
Pronalazimo diskriminanta:
.
Pošto je diskriminanta nula, jednačina ima dva višestruka (jednaka) korijena:
;
.

Tada faktorizacija trinoma ima oblik:
.

Grafikon funkcije y = x 2 - 4 x + 4 dodiruje x-osu u jednoj tački.

Nacrtajmo funkciju
.
Graf ove funkcije je parabola. Dodiruje x-osu (os) u jednoj tački:
.
Ova tačka je korijen originalne jednačine (2.1). Zato što se ovaj korijen rastavlja dva puta:
,
tada se takav korijen obično naziva višestrukim. To jest, oni vjeruju da postoje dva jednaka korijena:
.

Odgovori

;
.

Primjer 3

Pronađite korijene kvadratne jednadžbe:
(3.1) .

Rješenje

Napišimo kvadratnu jednačinu u opštem obliku:
(1) .
Prepišimo prvobitnu jednačinu (3.1):
.
Upoređujući sa (1), nalazimo vrijednosti koeficijenata:
.
Pronalazimo diskriminanta:
.
Diskriminant je negativan, . Stoga nema pravih korijena.

Možete pronaći složene korijene:
;
;
.

Onda


.

Grafikon funkcije ne prelazi x-osu. Nema pravih korena.

Nacrtajmo funkciju
.
Graf ove funkcije je parabola. Ne siječe x-os (os). Stoga nema pravih korijena.

Odgovori

Nema pravih korena. Složeni korijeni:
;
;
.

Upotreba jednačina je široko rasprostranjena u našim životima. Koriste se u mnogim proračunima, izgradnji objekata, pa čak i u sportu. Čovjek je koristio jednačine u drevnim vremenima, a od tada se njihova upotreba samo povećava. Diskriminant vam omogućava da riješite bilo koju kvadratnu jednačinu koristeći opću formulu, koja ima sljedeći oblik:

Diskriminantna formula zavisi od stepena polinoma. Gornja formula je pogodna za rješavanje kvadratnih jednadžbi sljedećeg oblika:

Diskriminant ima sljedeća svojstva koja morate znati:

* "D" je 0 kada polinom ima višestruke korijene (jednaki korijeni);

* "D" je simetričan polinom u odnosu na korijene polinoma i stoga je polinom u svojim koeficijentima; štaviše, koeficijenti ovog polinoma su cijeli brojevi bez obzira na ekstenziju u kojoj su korijeni uzeti.

Recimo da nam je data kvadratna jednadžba sljedećeg oblika:

1 jednadžba

Prema formuli imamo:

Pošto \, jednačina ima 2 korijena. Hajde da ih definišemo:

Gdje mogu riješiti jednačinu koristeći diskriminantni online rješavač?

Jednačinu možete riješiti na našoj web stranici https://site. Besplatni online rješavač će vam omogućiti da riješite online jednadžbe bilo koje složenosti za nekoliko sekundi. Sve što trebate učiniti je jednostavno unijeti svoje podatke u rješavač. Također možete pogledati video upute i saznati kako riješiti jednačinu na našoj web stranici, a ako imate bilo kakvih pitanja, možete ih postaviti u našoj VKontakte grupi http://vk.com/pocketteacher. Pridružite se našoj grupi, uvijek smo sretni da vam pomognemo.

Ova tema se u početku može činiti komplikovanom zbog mnogih ne tako jednostavnih formula. Ne samo da kvadratne jednadžbe imaju duge oznake, već se i korijeni nalaze preko diskriminanta. Ukupno su dobijene tri nove formule. Nije lako zapamtiti. To je moguće samo nakon čestog rješavanja ovakvih jednačina. Tada će se sve formule pamtiti same.

Opšti pogled na kvadratnu jednačinu

Ovdje predlažemo njihovo eksplicitno bilježenje, kada se prvo upiše najveći stepen, a zatim u opadajućem redoslijedu. Često postoje situacije kada su termini nedosljedni. Tada je bolje prepisati jednačinu u opadajućem redosledu stepena varijable.

Hajde da uvedemo neke oznake. Oni su predstavljeni u tabeli ispod.

Ako prihvatimo ove oznake, sve kvadratne jednadžbe se svode na sljedeću notaciju.

Štaviše, koeficijent a ≠ 0. Neka ova formula bude označena brojem jedan.

Kada je data jednadžba, nije jasno koliko će korijena biti u odgovoru. Jer jedna od tri opcije je uvijek moguća:

• rješenje će imati dva korijena;
• odgovor će biti jedan broj;
• jednadžba uopće neće imati korijene.

I dok se odluka ne donese, teško je razumjeti koja će se opcija pojaviti u konkretnom slučaju.

Vrste zapisa kvadratnih jednačina

U zadacima mogu biti različiti unosi. One neće uvijek izgledati kao opšta formula kvadratne jednačine. Ponekad će nedostajati neki termini. Ono što je gore napisano je kompletna jednačina. Ako iz njega izbacite drugi ili treći termin, dobijate nešto drugo. Ovi zapisi se nazivaju i kvadratne jednačine, samo nepotpune.

Štaviše, samo članovi sa koeficijentima “b” i “c” mogu nestati. Broj "a" ne može biti jednak nuli ni pod kojim okolnostima. Jer se u ovom slučaju formula pretvara u linearnu jednačinu. Formule za nepotpuni oblik jednadžbi će biti sljedeće:

Dakle, postoje samo dva tipa pored potpunih, postoje i nepotpune kvadratne jednačine. Neka prva formula bude broj dva, a druga - tri.

Diskriminanta i zavisnost broja korijena od njegove vrijednosti

Morate znati ovaj broj da biste izračunali korijene jednadžbe. Uvijek se može izračunati, bez obzira koja je formula kvadratne jednačine. Da biste izračunali diskriminanta, trebate koristiti jednakost napisanu ispod, koja će imati broj četiri.

Nakon zamjene vrijednosti koeficijenta u ovu formulu, možete dobiti brojeve s različitim predznacima. Ako je odgovor da, onda će odgovor na jednadžbu biti dva različita korijena. Ako je broj negativan, neće biti korijena kvadratne jednadžbe. Ako je jednako nuli, biće samo jedan odgovor.

Kako riješiti kompletnu kvadratnu jednačinu?

Zapravo, razmatranje ovog pitanja je već počelo. Jer prvo morate pronaći diskriminanta. Nakon što se utvrdi da postoje korijeni kvadratne jednadžbe i njihov broj je poznat, potrebno je koristiti formule za varijable. Ako postoje dva korijena, onda morate primijeniti sljedeću formulu.

Pošto sadrži znak „±“, biće dve vrednosti. Izraz pod znakom kvadratnog korijena je diskriminanta. Stoga se formula može prepisati drugačije.

Formula broj pet. Iz istog zapisa je jasno da ako je diskriminanta jednaka nuli, tada će oba korijena imati iste vrijednosti.

Ako rješavanje kvadratnih jednadžbi još nije razrađeno, onda je bolje zapisati vrijednosti svih koeficijenata prije primjene diskriminantnih i varijabilnih formula. Kasnije ovaj trenutak neće uzrokovati poteškoće. Ali na samom početku postoji konfuzija.

Kako riješiti nepotpunu kvadratnu jednačinu?

Ovdje je sve mnogo jednostavnije. Nema čak ni potrebe za dodatnim formulama. A oni koji su već zapisani za diskriminatorno i nepoznato neće biti potrebni.

Prvo, pogledajmo nepotpunu jednačinu broj dva. U ovoj jednakosti potrebno je nepoznatu količinu izvaditi iz zagrada i riješiti linearnu jednačinu koja će ostati u zagradama. Odgovor će imati dva korijena. Prvi je nužno jednak nuli, jer postoji množitelj koji se sastoji od same varijable. Drugi će se dobiti rješavanjem linearne jednadžbe.

Nepotpuna jednačina broj tri rješava se pomicanjem broja s lijeve strane jednakosti na desnu. Zatim trebate podijeliti sa koeficijentom okrenutim prema nepoznatom. Ostaje samo da izvučete kvadratni korijen i zapamtite da ga dvaput zapišete sa suprotnim predznacima.

Ispod su neki koraci koji će vam pomoći da naučite kako riješiti sve vrste jednakosti koje se pretvaraju u kvadratne jednadžbe. Oni će pomoći učeniku da izbjegne greške zbog nepažnje. Ovi nedostaci mogu uzrokovati slabe ocjene pri proučavanju opsežne teme „Kvadratne jednačine (8. razred).“ Nakon toga, ove radnje neće biti potrebno stalno izvoditi. Jer će se pojaviti stabilna vještina.

• Prvo morate napisati jednačinu u standardnom obliku. Odnosno, prvo pojam sa najvećim stepenom varijable, a zatim - bez stepena, i na kraju - samo broj.

• Ako se ispred koeficijenta "a" pojavi minus, to može zakomplicirati posao početniku koji proučava kvadratne jednadžbe. Bolje je da ga se otarasimo. U tu svrhu, sve jednakosti se moraju pomnožiti sa “-1”. To znači da će svi pojmovi promijeniti predznak u suprotan.

• Preporučuje se da se na isti način riješite frakcija. Jednostavno pomnožite jednačinu odgovarajućim faktorom tako da se imenioci ponište.

Primjeri

Potrebno je riješiti sljedeće kvadratne jednadžbe:

x 2 − 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Prva jednačina: x 2 − 7x = 0. Nepotpuna je, stoga se rješava kao što je opisano za formulu broj dva.

Nakon vađenja iz zagrada, ispada: x (x - 7) = 0.

Prvi korijen ima vrijednost: x 1 = 0. Drugi će se naći iz linearne jednačine: x - 7 = 0. Lako je vidjeti da je x 2 = 7.

Druga jednadžba: 5x 2 + 30 = 0. Opet nepotpuna. Samo se to rješava kao što je opisano za treću formulu.

Nakon pomjeranja 30 na desnu stranu jednačine: 5x 2 = 30. Sada trebate podijeliti sa 5. Ispada: x 2 = 6. Odgovori će biti brojevi: x 1 = √6, x 2 = - √6.

Treća jednačina: 15 − 2x − x 2 = 0. U nastavku će rješavanje kvadratnih jednadžbi početi tako što ćemo ih prepisati u standardnom obliku: − x 2 − 2x + 15 = 0. Sada je vrijeme da iskoristimo drugi korisni savjet i sve pomnožimo sa minus jedan. Ispada x 2 + 2x - 15 = 0. Koristeći četvrtu formulu, morate izračunati diskriminanta: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. To je pozitivan broj. Iz onoga što je gore rečeno, ispada da jednačina ima dva korijena. Treba ih izračunati koristeći petu formulu. Ispada da je x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Tada je x 1 = 3, x 2 = - 5.

Četvrta jednačina x 2 + 8 + 3x = 0 pretvara se u ovu: x 2 + 3x + 8 = 0. Njen diskriminanta je jednaka ovoj vrijednosti: -23. Budući da je ovaj broj negativan, odgovor na ovaj zadatak bit će sljedeći unos: "Nema korijena."

Petu jednačinu 12x + x 2 + 36 = 0 treba prepisati na sljedeći način: x 2 + 12x + 36 = 0. Nakon primjene formule za diskriminanta, dobija se broj nula. To znači da će imati jedan korijen, odnosno: x = -12/ (2 * 1) = -6.

Šesta jednačina (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) zahtijeva transformacije, koje se sastoje u tome da treba donijeti slične članove, prvo otvarajući zagrade. Umjesto prvog bit će sljedeći izraz: x 2 + 2x + 1. Nakon jednakosti pojavit će se ovaj unos: x 2 + 3x + 2. Nakon što se prebroje slični članovi, jednačina će dobiti oblik: x 2 - x = 0. Postalo je nepotpuno. Nešto slično ovome je već bilo govora malo više. Korijeni ovoga će biti brojevi 0 i 1.